Flashcards: Distribucions binomial i normal

Totes les targetes del tema

Per fer-hi una ullada ràpida o repassar-les en paper.

1. 1. Quines quatre condicions ha de complir una situació per ser una binomial $B(n, p)$?

   Nombre fix de repeticions $n$, només dos resultats a cada repetició, probabilitat d'èxit $p$ constant i repeticions independents.

2. 2. Fórmula de $P(X = k)$ en una binomial $B(n, p)$?

   $P(X = k) = \binom{n}{k}\, p^k\, (1-p)^{n-k}$. És la probabilitat d'obtenir exactament $k$ èxits.

3. 3. Què compta el combinatori $\binom{n}{k}$ de la fórmula binomial?

   De quantes maneres es poden repartir els $k$ èxits entre les $n$ repeticions. Si l'oblides, el resultat surt molt més petit del que toca.

4. 4. Mitjana i desviació típica d'una binomial $B(n, p)$?

   $\mu = np$ i $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$.

5. 5. Per a quin valor de $p$ és màxima la desviació típica d'una binomial?

   Per a $p = 0{,}5$, el cas de màxima incertesa. S'acosta a zero quan $p$ és molt petita o molt gran.

6. 6. Camí curt per calcular la probabilitat de «com a mínim un èxit»?

   El succés contrari: $P(X \geq 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1-p)^n$.

7. 7. Quan deixa de servir el model binomial en un mostreig?

   Sense reposició en una població petita: la probabilitat d'èxit canvia a cada extracció i deixa de ser constant.

8. 8. Què indiquen els paràmetres d'una normal $N(\mu, \sigma)$?

   La mitjana $\mu$ marca el centre de la campana i la desviació típica $\sigma$, l'amplada.

9. 9. Per què en una normal coincideixen mitjana, mediana i moda?

   Perquè la corba és simètrica respecte de la mitjana.

10. 10. Fórmula de tipificació? Què et diu el valor $z$?

    $z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}$: a quantes desviacions típiques de la mitjana és el valor. Converteix qualsevol normal en la $N(0, 1)$.

11. 11. Error típic: buscar un valor $x$ directament a la taula. Què és correcte?

    La taula només val per a la normal estàndard $N(0, 1)$: primer has de tipificar el valor.

12. 12. Què dona la taula de la normal estàndard?

    La probabilitat acumulada $P(Z \leq z)$: la de quedar per sota del valor tipificat.

13. 13. Com calcules $P(Z > z)$ amb la taula?

    Restant d'1 l'acumulada: $P(Z > z) = 1 - P(Z \leq z)$.

14. 14. Com calcules $P(Z \leq -z)$ si la taula només té valors positius?

    Per simetria: $P(Z \leq -z) = 1 - P(Z \leq z)$.

15. 15. Com calcules la probabilitat d'un interval, $P(a \leq Z \leq b)$?

    Restant les dues acumulades: $P(Z \leq b) - P(Z \leq a)$.

16. 16. En una variable contínua, quant val la probabilitat d'un valor exacte? Per què?

    Zero: la probabilitat és l'àrea sota la corba, i un segment sense amplada no té àrea.

17. 17. Què diu la regla del 68 i el 95 en una normal?

    Aproximadament el 68 % de les dades cau entre $\mu - \sigma$ i $\mu + \sigma$, i el 95 %, entre $\mu - 2\sigma$ i $\mu + 2\sigma$. Val per a qualsevol normal.

18. 18. Problema invers: com trobes el valor $x$ que deixa una probabilitat donada per sota?

    Busques la probabilitat dins de la taula, en lliges el $z$ i desfàs la tipificació: $x = \mu + z\,\sigma$.

19. 19. Problema invers: et demanen el valor a partir del qual hi ha el 10 % més alt. Quina acumulada busques?

    0,90: la taula dona acumulades, o sigui que passes al complementari.

20. 20. Problema invers: si l'acumulada buscada és menor que 0,5, quin signe té $z$?

    Negatiu: el valor cau per sota de la mitjana. Comprova-ho abans de donar la resposta.

21. 21. Quins $z$ deixen per sota el 95 %, el 97,5 % i el 99,5 %?

    $1{,}645$, $1{,}96$ i $2{,}576$. Els retrobaràs com a valors crítics dels intervals de confiança.

22. 22. Condició per aproximar una binomial per una normal?

    $np > 5$ i $n(1-p) > 5$. Escriure aquesta comprovació forma part de la resposta.

23. 23. Amb quina normal aproximes una binomial $B(n, p)$?

    Amb la que té els mateixos paràmetres: $\mu = np$ i $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$.

24. 24. Correcció de continuïtat: amb quin valor calcules $P(X \leq k)$ i $P(X \geq k)$?

    $P(X \leq k)$ amb $k + 0{,}5$ i $P(X \geq k)$ amb $k - 0{,}5$.

25. 25. Correcció de continuïtat: com calcules $P(X = k)$ amb la normal?

    Com la probabilitat de l'interval de $k - 0{,}5$ a $k + 0{,}5$.

26. 26. Per què cal la correcció de continuïtat?

    La binomial és discreta i la normal, contínua: cada valor sencer s'ha de representar per l'interval de mig punt al seu voltant. Sense correcció, el resultat surt desplaçat.