Exercicis de límits i asímptotes — Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 2n Batxillerat

El numerador es queda a 5 i el denominador creix sense límit, de manera que el quocient s'acosta a 0. El límit és 0.

Perquè el denominador no s'anul·la mai: $x^{2}$ + 1 ≥ 1 per a qualsevol x. La funció està definida a tots els reals i no es dispara enlloc.

Numerador i denominador són de grau 1: el límit a l'infinit és el quocient dels coeficients principals, $\tfrac{6}{2} = 3$. L'asímptota horitzontal és y = 3.

En un polinomi, quan x es fa molt gran (en valor absolut) el terme de grau més alt domina sobre tots els altres: el límit és el mateix que el de −2x³.
Quan x → +∞, $x^{3}$ → +∞ i, en multiplicar per −2, el límit és −∞.
Quan x → −∞, $x^{3}$ → −∞ (l'exponent senar conserva el signe) i, en multiplicar per −2, el límit és +∞.
Comprovació: per a x = 100, −2·$10^{6}$ + 5·$10^{4}$ − 1 = −1950001, un valor negatiu i molt gran.
Error típic: mirar el terme 5x² perquè és positiu; només compta el de grau més alt.

En x = 3 el denominador s'anul·la i el numerador val 2 ≠ 0, així que el límit serà infinit; cal mirar el signe de cada costat.
Per l'esquerra (x → 3^-, per exemple x = 2,9): x - 3 és un negatiu molt petit, 2/(x - 3) → -∞.
Per la dreta (x → 3⁺, per exemple x = 3,1): x - 3 és un positiu molt petit, 2/(x - 3) → +∞.
Com que almenys un dels límits laterals és infinit, x = 3 és una asímptota vertical de f.
Comprovació: f(2,99) = 2/(-0,01) = -200 i f(3,01) = 200.

La funció és racional i el denominador no s'anul·la en x = 2 (val 3), així que la funció és contínua en aquest punt i el límit s'obté substituint directament.
lim (x → 2) (x² + 3x - 1)/(x + 1) = (4 + 6 - 1)/(2 + 1) = 9/3 = 3.
Només calen tècniques especials (factoritzar, comparar graus…) quan la substitució dona una indeterminació com 0/0 o ∞/∞.

En un quocient de polinomis quan x → +∞ només compten els termes de grau més alt.
a) Grau del numerador (1) menor que el del denominador (3): el denominador creix molt més de pressa i el límit és 0.
b) Graus iguals (2 i 2): el límit és el quocient dels coeficients principals, $\tfrac{4}{1} = 4$.
c) Grau del numerador (3) més gran que el del denominador (1): el límit és infinit; com que els dos coeficients principals són positius, és +∞.
Comprovació de b): per a x = 1000, $\tfrac{(4000000 - 3)}{(1000000 + 1)} \approx 3{,}99999$.

Una potència de base entre 0 i 1 es fa cada cop més petita quan l'exponent creix: $0{,}6^{x}$ → 0 quan x → +∞ (per exemple, $0{,}6^{10}$ ≈ 0,006).
Per tant, lim (x → +∞) 4·$0{,}6^{x}$ = 4·0 = 0.
lim (x → +∞) (10 - 4·$0{,}6^{x}$) = 10 - 0 = 10.
La funció g s'acosta a 10 sense arribar-hi: la recta y = 10 és la seva asímptota horitzontal (per la dreta).
Observació: g(0) = 10 - 4 = 6 i els valors pugen cap a 10 a mesura que x creix.

a) Certa: és exactament la definició d'asímptota horitzontal (la gràfica s'acosta a la recta y = 3 quan x es fa molt gran).
b) Falsa. L'asímptota descriu què passa quan x → ±∞, no al mig de la gràfica. Per exemple, f(x) = x/(x² + 1) té asímptota y = 0 i la talla en x = 0, perquè f(0) = 0.
c) Certa. Per exemple, f(x) = 1/(x² - 1) té el denominador nul en x = 1 i en x = -1 (i el numerador no), així que té les asímptotes verticals x = 1 i x = -1.

Domini: cal x - 2 > 0, és a dir, Dom f = (2, +∞).
Asímptota vertical: quan x → $2^{+}$, l'argument x - 2 → $0^{+}$ i el logaritme d'un nombre positiu molt petit és un negatiu molt gran: lim (x → $2^{+}$) ln(x - 2) = -∞. La recta x = 2 és asímptota vertical.
Asímptota horitzontal: quan x → +∞, ln(x - 2) → +∞ (el logaritme creix molt lentament, però sense límit), així que no hi ha asímptota horitzontal.
Comprovació: f(2,001) = ln(0,001) ≈ -6,9 i f(1000) = ln(998) ≈ 6,9.

En substituir surt zero partit per zero. El numerador és una diferència de quadrats: (x - 5)(x + 5). Simplificant el factor comú queda x + 5, i substituint, el límit val 10.

Separant, C(x) = 4500/x + 18. Quan x creix, el primer terme s'acosta a zero, així que el límit és 18 € per unitat: el cost mitjà mai no baixa del cost variable.

Es mira si el numerador s'anul·la al mateix valor que el denominador. Si no s'hi anul·la, el límit és infinit i hi ha asímptota; si s'hi anul·la, hi ha un factor comú i, un cop simplificat, el límit és finit: és un forat.

No en té: el grau del numerador és 2 i el del denominador és 1, així que la funció creix sense límit i no s'acosta a cap recta horitzontal.

Factoritzem el denominador: $x^{2}$ - x - 6 = (x - 3)(x + 2), que s'anul·la en x = 3 i x = -2. El numerador en aquests punts val 4 i -1, diferents de zero: hi ha asímptota vertical en tots dos.
En x = 3 (numerador 4 > 0): per l'esquerra x - 3 < 0 i x + 2 > 0, el denominador és negatiu i f → -∞; per la dreta el denominador és positiu i f → +∞.
En x = -2 (numerador -1 < 0): per l'esquerra x + 2 < 0 i x - 3 < 0, el denominador és positiu i f → -∞; per la dreta x + 2 > 0 i x - 3 < 0, el denominador és negatiu i f → +∞.
Asímptota horitzontal: el grau del numerador (1) és menor que el del denominador (2), així que lim (x → ±∞) f(x) = 0: la recta y = 0.

Factoritzem: x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) i x² - 9 = (x - 3)(x + 3).
En x = 3, numerador i denominador s'anul·len (indeterminació 0/0). Simplificant el factor comú, per a x ≠ 3: f(x) = (x - 2)/(x + 3), i lim (x → 3) f(x) = 1/6. El límit és finit: en x = 3 no hi ha asímptota, sinó una discontinuïtat evitable (un «forat» a la gràfica).
En x = -3, el denominador s'anul·la però el numerador val 9 + 15 + 6 = 30 ≠ 0: el límit és infinit i x = -3 és una asímptota vertical.
Signes: amb f(x) = (x - 2)/(x + 3), per l'esquerra de -3 el numerador és negatiu i el denominador negatiu molt petit, f → +∞; per la dreta, f → -∞.

Vendes inicials: V(0) = 3000 - 2400·1 = 600 unitats.
Sisè mes: V(6) = 3000 - 2400·$0{,}8^{6}$ = 3000 - 2400·0,2621 = 3000 - 629,15 ≈ 2371 unitats.
Límit: com que $0{,}8^{t}$ → 0 quan t → +∞, lim V(t) = 3000 - 0 = 3000.
Interpretació: les vendes creixen cada mes però s'estabilitzen cap a 3000 unitats mensuals, un sostre (saturació del mercat) al qual s'acosten sense arribar-hi mai.
L'asímptota horitzontal és la recta V = 3000.

Asímptota vertical en x = 2: el denominador s'ha d'anul·lar en x = 2, 2 + b = 0, d'on b = -2 (i el numerador no s'hi ha d'anul·lar, cosa que comprovarem).
Asímptota horitzontal: numerador i denominador tenen grau 1, així que lim (x → ±∞) f(x) = $\tfrac{a}{1} = a$. Volem a = -3.
La funció és f(x) = $\tfrac{(-3x + 1)}{(x - 2)}$.
Comprovació: en x = 2 el numerador val -5 ≠ 0, així que sí que hi ha asímptota vertical; i per a x molt gran, f(x) ≈ -3x/x = -3.

N(0) = 200/4 = 50 persones ho saben en el moment de publicar-se.
N(16) = (12800 + 200)/20 = 13000/20 = 650 persones al cap de 16 hores.
Límit: numerador i denominador són de grau 1, lim (t → +∞) N(t) = 800/1 = 800. La recta N = 800 és una asímptota horitzontal.
L'afirmació és falsa en sentit estricte: el nombre de persones s'acosta tant com vulguem a 800, però no hi arriba mai, perquè N(t) = 800 no té solució (800t + 200 = 800t + 3200 és impossible). Sí que és cert que gairebé tothom ho acabarà sabent.
Comprovació: N(26) = 21000/30 = 700 i N(36) = 29000/40 = 725, cada cop més a prop de 800.

a) Perquè el denominador s'anul·li en -1 i en 2 posem els factors (x + 1)(x - 2), i perquè el límit a l'infinit sigui 0 el numerador ha de tenir grau menor: per exemple f(x) = 1/((x + 1)(x - 2)) = 1/(x² - x - 2).
Justificació: en x = -1 i x = 2 el denominador és 0 i el numerador 1 ≠ 0 (límits infinits); lim (x → ±∞) f(x) = 0 perquè el grau del denominador (2) supera el del numerador (0).
b) Cal el factor (x - 2) al denominador i graus iguals amb quocient de coeficients principals 3: per exemple g(x) = 3x/(x - 2).
Justificació: en x = 2 el numerador val 6 ≠ 0 (asímptota vertical) i lim (x → ±∞) 3x/(x - 2) = 3/1 = 3.
Hi ha infinites respostes vàlides; qualsevol numerador que no s'anul·li als punts de l'asímptota i tingui el grau adequat serveix.

El primer terme tendeix a +∞ (grau 2 sobre grau 1) i el segon també: apareix la indeterminació ∞ - ∞.
Es resol operant les dues expressions en una sola fracció: (x² + 3x)/(x + 1) - x = (x² + 3x - x(x + 1))/(x + 1) = (x² + 3x - x² - x)/(x + 1) = 2x/(x + 1).
Ara és un quocient de polinomis del mateix grau: lim (x → +∞) 2x/(x + 1) = 2/1 = 2.
Comprovació: per a x = 1000, (1000000 + 3000)/1001 - 1000 ≈ 1001,998 - 1000 = 1,998 ≈ 2.
Observació: el resultat diu que, per a x gran, (x² + 3x)/(x + 1) s'assembla a x + 2 (la recta y = x + 2 és la seva asímptota obliqua).

C(150) = 6000/50 = 120 € i C(190) = 6000/10 = 600 €. Quan x tendeix a 200, el numerador es manté a 6.000 i el denominador tendeix a zero, així que el límit és infinit. La lectura és que el cost per unitat es dispara en acostar-se a la capacitat màxima: les últimes unitats surten caríssimes i el model diu que arribar a 200 és inassolible.

El denominador s'anul·la a x = 120 i el numerador val 3.000, així que hi ha una asímptota vertical a x = 120. Cau just al límit del domini real, que va de 0 a 120 usuaris. La interpretació és que acostar-se a la capacitat màxima dispara el cost per usuari: amb 110 usuaris és de 300 € i amb 119, de 3.000 €, i el model diu que arribar als 120 és impossible.

El denominador s'anul·la a x = 0 i el numerador hi val 7.200, així que hi ha asímptota vertical a x = 0: amb molt pocs usuaris el cost per usuari es dispara. Separant la fracció, C(x) = 7200/x + 25, i el límit a l'infinit val 25, així que l'asímptota horitzontal és y = 25: per molts usuaris que hi hagi, el cost mitjà no baixa dels 25 € que costa atendre cadascun.

a) x² − 4 = 0 en x = 2 i x = −2: Dom f = R − {−2, 2}.
b) El numerador 2x² + 1 és sempre positiu, així que en x = ±2 hi ha asímptotes verticals i el signe el decideix el denominador (x − 2)(x + 2).
En x = 2: per l'esquerra (per exemple x = 1,9) el denominador és negatiu, f → −∞; per la dreta és positiu, f → +∞.
En x = −2: per l'esquerra (x = −2,1) el denominador és positiu, f → +∞; per la dreta és negatiu, f → −∞.
c) Graus iguals: lim (x → ±∞) f(x) = 2/1 = 2, asímptota horitzontal y = 2. Si la tallés, 2x² + 1 = 2(x² − 4), és a dir 1 = −8, impossible: no la talla mai.
d) f(0) = 1/(−4) = −0,25 < 0 i f(3) = 19/5 = 3,8 > 0. Entre les asímptotes verticals la funció és negativa (per sota de y = 2) i a la dreta de x = 2 és positiva i més gran que 2: s'acosta a l'asímptota y = 2 des de dalt quan x → +∞.

a) El denominador s'anul·la en x = 1 i el numerador val 1 - 3 + 5 = 3 ≠ 0: asímptota vertical x = 1. Per l'esquerra, x - 1 → $0^{-}$ i f → -∞; per la dreta, f → +∞.
b) El grau del numerador (2) supera en 1 el del denominador: lim (x → ±∞) f(x) = ±∞, així que no hi ha asímptota horitzontal, però sí obliqua.
c) Dividim: $x^{2}$ - 3x + 5 = (x - 1)(x - 2) + 3, de manera que f(x) = x - 2 + $\tfrac{3}{(x - 1)}$.
Com que $\tfrac{3}{(x - 1)}$ → 0 quan x → ±∞, la gràfica s'acosta a la recta y = x - 2: és l'asímptota obliqua.
d) f(4) = $\tfrac{(16 - 12 + 5)}{3} = 3$ i la recta dona 4 - 2 = 2. Com que f(4) = 3 > 2, per a x > 1 la gràfica va per sobre de l'asímptota (el terme $\tfrac{3}{(x - 1)}$ és positiu).

a) P(5) = 500/10 = 50 %; P(20) = 2000/25 = 80 %.
b) Numerador i denominador de grau 1: lim (h → +∞) P(h) = 100/1 = 100. Per moltes hores que s'estudiïn, el percentatge d'aprovats s'acosta al 100 % però de manera cada cop més lenta: P = 100 és una asímptota horitzontal.
c) 100h/(h + 5) = 90 → 100h = 90h + 450 → 10h = 450 → h = 45 hores.
d) No: 100h/(h + 5) = 100 implicaria 100h = 100h + 500, és a dir 0 = 500, impossible. El 100 % és el límit del model, no un valor que s'assoleixi.
Fixa't que passar del 50 % al 80 % costa 15 hores més, però passar del 80 % al 90 % en costa 25: és l'efecte de l'asímptota.

a) Perquè no hi hagi asímptota el numerador també s'ha d'anul·lar en x = 3: 9 − a = 0, a = 9. Llavors f(x) = $\tfrac{(x^{2} - 9)}{(x - 3)}$ = (x − 3)(x + 3)/(x − 3) = x + 3 per a x ≠ 3, i lim (x → 3) f(x) = 6: discontinuïtat evitable.
b) Amb a = 4, f(x) = $\tfrac{(x^{2} - 4)}{(x - 3)}$; el numerador en x = 3 val 5 ≠ 0. Per l'esquerra, x − 3 → $0^{-}$ i f → −∞; per la dreta, f → +∞. La recta x = 3 és asímptota vertical (discontinuïtat asimptòtica).
c) Tot depèn del numerador en x = 3: si val zero (només quan a = 9), hi ha un factor comú (x − 3) que se simplifica i el límit és finit (forat); si no val zero (qualsevol altre a), el límit és infinit i hi ha asímptota vertical.

a) Límit per l'esquerra: 2² - 1 = 3 (i f(2) = 3). Límit per la dreta: (2 + 7)/(2 - 5) = 9/(-3) = -3. Els límits laterals són finits però diferents: discontinuïtat de salt en x = 2.
b) El tram racional té el denominador nul en x = 5, que sí pertany a la zona x > 2, i el numerador val 12 ≠ 0. Per l'esquerra (x → 5^-), x - 5 → 0^- i f → -∞; per la dreta, f → +∞. Asímptota vertical x = 5. El tram polinòmic no en té cap.
c) lim (x → +∞) (x + 7)/(x - 5) = 1: asímptota horitzontal y = 1 per la dreta. lim (x → -∞) (x² - 1) = +∞: per l'esquerra no hi ha asímptota horitzontal.
d) Primer tram: x² - 1 = 0 dona x = 1 i x = -1, tots dos ≤ 2: vàlids. Segon tram: x + 7 = 0 dona x = -7, que no compleix x > 2: es descarta. f s'anul·la en x = -1 i x = 1.

Factoritzem: x² − 1 = (x − 1)(x + 1) i x² − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2).
Primer error: en x = 1 el numerador també s'anul·la. Simplificant, per a x ≠ 1, f(x) = (x + 1)/(x − 2), i lim (x → 1) f(x) = 2/(−1) = −2. En x = 1 no hi ha asímptota, sinó una discontinuïtat evitable (forat).
x = 2 sí que és asímptota vertical: el numerador simplificat val 3 ≠ 0; per l'esquerra f → −∞ i per la dreta f → +∞.
Segon error: l'asímptota horitzontal no depèn de si el numerador és constant, sinó dels graus. Aquí són iguals (2 i 2), així que lim (x → ±∞) f(x) = 1/1 = 1: asímptota horitzontal y = 1, no y = 0.
Resposta correcta: asímptota vertical x = 2, asímptota horitzontal y = 1 i un forat en x = 1 (de valor −2).

a) $M(x)=\dfrac{5000}{x}+20+0{,}01x$. $M(100)=50+20+1=71$ €, $M(500)=10+20+5=35$ € i $M(1000)=5+20+10=35$ €.
Sorprèn que 500 i 1 000 unitats tinguin el mateix cost mitjà: entre aquests dos valors el cost mitjà primer baixa i després torna a pujar. No és cert que «com més es produeix, més barata surt cada unitat».

b) Asímptota vertical $x=0$: $\lim_{x\to 0^+}M(x)=+\infty$. Amb molt poques unitats, el cost fix de 5 000 € es reparteix entre gairebé res i el cost per unitat es dispara.
Horitzontal: no n'hi ha, perquè $\lim_{x\to+\infty}M(x)=+\infty$.
Obliqua: $m=\lim_{x\to+\infty}\frac{M(x)}{x}=0{,}01$ i $n=\lim_{x\to+\infty}\,[M(x)-0{,}01x]=\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{5000}{x}+20\right)=20$. L'asímptota és $y=0{,}01x+20$: per a produccions grans, el pes del cost fix desapareix i el cost mitjà es comporta com el cost variable més el sobrecost, que creix amb la producció.

c) $M(x)-(0{,}01x+20)=\dfrac{5000}{x}\gt 0$ per a $x\gt 0$: la gràfica sempre és per sobre de l'asímptota obliqua, i s'hi acosta a mesura que $x$ creix. La diferència és menor que 1 € si $\frac{5000}{x}\lt 1\iff x\gt 5000$ unitats.

d) Amb un cost fix de 10 000 €: $M(x)=\frac{10\,000}{x}+20+0{,}01x$. Les asímptotes són les mateixes ($x=0$ i $y=0{,}01x+20$), perquè el cost fix només afecta el terme que tendeix a 0; la diferència passa a ser $\frac{10\,000}{x}$ i cal $x\gt 10\,000$ per tenir-la per sota d'1 €.
Sense el terme quadràtic, $M(x)=\frac{5000}{x}+20$: l'asímptota obliqua desapareix i passa a haver-hi una asímptota horitzontal $y=20$. El cost mitjà seria sempre decreixent i s'acostaria al cost variable de 20 €.

Errors típics

• Buscar una asímptota horitzontal i concloure que «no hi ha asímptotes a l'infinit», sense provar l'obliqua.
• Calcular $n$ com $\lim M(x)$ en lloc de $\lim\,[M(x)-mx]$.
• Pensar que el cost fix canvia l'asímptota obliqua: només canvia com de ràpid s'hi acosta la funció.

Conceptes treballats: cost mitjà, límits a l'infinit i laterals, asímptotes vertical, horitzontal i obliqua, posició relativa respecte d'una asímptota, interpretació econòmica.

a) $N(0)=\dfrac{12\,000}{1+11}=1000$ usuaris. Com que $e^{-0{,}5t}\to 0$ quan $t\to+\infty$, $\lim_{t\to+\infty}N(t)=\dfrac{12\,000}{1+0}=12\,000$. La recta $y=12\,000$ és una asímptota horitzontal: és el nivell de saturació, el nombre màxim d'usuaris potencials del servei a la ciutat.

b) $\dfrac{12\,000}{1+11e^{-0{,}5t}}=10\,800\iff 1+11e^{-0{,}5t}=\dfrac{10}{9}\iff e^{-0{,}5t}=\dfrac{1}{99}\iff t=2\ln 99\approx 9{,}19$ setmanes. En unes 9 setmanes s'arriba al 90 % del màxim.

c) Valors aproximats:
• $t=2$: $N\approx 2378$, $E\approx 2718$.
• $t=4$: $N\approx 4822$, $E\approx 7389$.
• $t=8$: $N\approx 9988$, $E\approx 54\,598$.
Al principi els dos models s'assemblen (el logístic creix gairebé exponencialment mentre queda molt marge), però després l'exponencial es dispara sense límit: a la setmana 8 ja preveu més de 54 000 usuaris, una xifra que pot superar la població interessada. El logístic és més realista perquè té en compte la saturació.

d) No. Com que $11e^{-0{,}5t}\gt 0$ per a tot $t$, el denominador és sempre més gran que 1 i $N(t)\lt 12\,000$. També es pot veure així: $12\,000-N(t)=\dfrac{132\,000\,e^{-0{,}5t}}{1+11e^{-0{,}5t}}\gt 0$. La funció s'acosta tant com es vulgui a l'asímptota, però no hi arriba mai; a la pràctica, en poques setmanes la diferència és menor que un usuari i el servei es pot considerar saturat.

Errors típics

• Pensar que $e^{-0{,}5t}$ tendeix a $+\infty$ o a 1 quan $t\to+\infty$.
• Equivocar-se en aïllar: passar de $1+11e^{-0{,}5t}=\frac{10}{9}$ a $11e^{-0{,}5t}=\frac{10}{9}$ oblidant restar 1.
• Creure que una funció no pot acostar-se indefinidament a un valor sense arribar-hi.

Conceptes treballats: funcions exponencials, model logístic, límits a l'infinit, asímptota horitzontal, equacions exponencials, comparació de models.

a) $T(1)=\dfrac{270}{5}=54$ min, $T(16)=\dfrac{720}{20}=36$ min i $\lim_{n\to+\infty}\dfrac{30n+240}{n+4}=30$ min. Amb l'experiència el temps baixa, però s'estabilitza: 30 minuts és el temps mínim de muntatge, el que necessitaria un treballador molt expert. La recta $T=30$ és una asímptota horitzontal.

b) $\dfrac{30n+240}{n+4}\le 32\iff 30n+240\le 32n+128\iff 112\le 2n\iff n\ge 56$. A partir de la cadira 56 ($T(56)=\frac{1920}{60}=32$ min).

c) $T(n)-30=\dfrac{30n+240-30n-120}{n+4}=\dfrac{120}{n+4}\gt 0$ per a tot $n\ge 1$. El temps és sempre més gran que 30 minuts: s'hi acosta, però no hi arriba mai. Segons el model, el cap de producció no té raó.
La productivitat és $P(n)=\dfrac{60}{T(n)}$ cadires per hora, i $\lim_{n\to+\infty}P(n)=\dfrac{60}{30}=2$: a la llarga, gairebé 2 cadires per hora, però sempre una mica menys.

d) Valor per a $n=0$: $\frac{b}{4}=60\Rightarrow b=240$. Límit: $\lim_{n\to+\infty}\frac{an+b}{n+4}=a=25$. El model és $T(n)=\dfrac{25n+240}{n+4}$. Observa que la constant $b$ fixa el punt de partida i el coeficient $a$ fixa el nivell final: són dues informacions independents.

Errors típics

• Calcular el límit a l'infinit substituint per un nombre gran i arrodonint, en lloc de comparar els coeficients principals.
• Pensar que, com que el límit és 30, en algun moment el temps serà exactament 30 o menys.
• Considerar l'asímptota vertical $n=-4$ com a significativa: queda fora del domini del context ($n\ge 1$).

Conceptes treballats: funcions racionals, límits a l'infinit, asímptota horitzontal, inequacions racionals, determinació de paràmetres, interpretació d'una corba d'aprenentatge.

a) $M(t)=\dfrac{100\,(t^2+at+b)}{200\,t\,(6-t)}=\dfrac{t^2+at+b}{2t\,(6-t)}$. Quan $t\to 0^+$ el denominador tendeix a 0. Si $b\neq 0$, el numerador tendeix a $b\neq 0$ i el quocient seria del tipus $\frac{b}{0}$, és a dir, infinit. Per tenir límit finit cal $b=0$, i llavors

Per tant, $K(t)=100\,(t^2+18t)$ i, per a $0\lt t\lt 6$, $M(t)=\dfrac{t+18}{2\,(6-t)}$.

b) És una discontinuïtat evitable: el límit existeix i és finit (1,50 €), però $M(0)$ no està definit, perquè surt $\frac{0}{0}$. Definint $M(0)=1{,}5$, la funció passa a ser contínua a $t=0$. Interpretació: el dia de l'obertura no hi ha usuaris ni costos acumulats, però el cost per usuari dels primers dies és d'uns 1,50 €; és el valor que tindria sentit posar al full de càlcul en lloc d'un error de divisió per zero.

c) Quan $t\to 6^-$, el numerador tendeix a $24$ i el denominador $2(6-t)$ tendeix a $0^+$: $\lim_{t\to 6^-}M(t)=+\infty$. La recta $t=6$ és una asímptota vertical: al final de la temporada gairebé no queden usuaris, però el cost continua sent alt ($K(6)=14\,400$ €), i cada usuari «carrega» amb un cost cada vegada més gran.
$\dfrac{t+18}{2(6-t)}\gt 6\iff t+18\gt 72-12t\iff 13t\gt 54\iff t\gt 4{,}15$ mesos. A partir d'uns 4 mesos i 5 dies, cada usuari costa més de 6 €. Si la tarifa no cobreix aquest cost, convindria escurçar la temporada o reduir el servei (menys patinets i menys manteniment) durant les últimes setmanes.

d) Amb $b=5$, $M(t)=\dfrac{t^2+18t+5}{2t\,(6-t)}$ i, quan $t\to 0^+$, el numerador tendeix a 5 i el denominador a $0^+$: $\lim_{t\to 0^+}M(t)=+\infty$. La discontinuïtat a $t=0$ deixaria de ser evitable i passaria a ser una altra asímptota vertical: una despesa fixa repartida entre gairebé cap usuari fa que el cost per usuari dels primers dies sigui enorme. Les dues «puntes» de la temporada serien cares.

Errors típics

• Simplificar la $t$ del numerador i del denominador sense haver imposat abans $b=0$.
• Pensar que una discontinuïtat evitable vol dir que la funció «no existeix» en aquell punt sense estudiar-ne el límit.
• Calcular el límit a $t=6$ per tots dos costats, o el límit a l'infinit: el model només té sentit per a $0\le t\le 6$.
• Equivocar-se amb el sentit de la desigualtat de c) en multiplicar pel denominador.

Conceptes treballats: funcions racionals, indeterminació 0/0, discontinuïtat evitable, límits laterals, asímptota vertical, inequacions racionals, paràmetres, interpretació econòmica.

a) $M_A(x)=\dfrac{8000+12x}{x}=12+\dfrac{8000}{x}$ i $M_B(x)=\dfrac{2000+15x}{x}=15+\dfrac{2000}{x}$.
$\lim_{x\to 0^+}M_A(x)=\lim_{x\to 0^+}M_B(x)=+\infty$: asímptota vertical $x=0$ en totes dues; amb una producció molt petita, el cost fix fa que cada unitat surti caríssima.
$\lim_{x\to+\infty}M_A(x)=12$ i $\lim_{x\to+\infty}M_B(x)=15$: asímptotes horitzontals $y=12$ i $y=15$. A llarg termini el cost fix es dilueix i el cost per unitat s'acosta al cost variable.

b) $12+\dfrac{8000}{x}\lt 15+\dfrac{2000}{x}\iff\dfrac{6000}{x}\lt 3\iff x\gt 2000$. A partir de 2 000 unitats al mes, A és més barata per unitat (per exemple, amb 3 000 unitats, $M_A\approx 14{,}67$ € i $M_B\approx 15{,}67$ €). Per sota de 2 000, B és millor perquè té menys cost fix.

c) Cal $M_A(x)-12=\dfrac{8000}{x}\lt 0{,}6\iff x\gt 13\,333{,}3$. Com que es produeixen unitats senceres, calen almenys 13 334 unitats al mes.

d) Si B té un cost unitari de 12 €, $M_B(x)=12+\frac{2000}{x}$: les dues funcions tenen la mateixa asímptota horitzontal $y=12$, i $M_A(x)-M_B(x)=\dfrac{6000}{x}\gt 0$ per a tot $x\gt 0$. B seria més barata per a qualsevol producció, i la diferència tendiria a 0 per a produccions molt grans. Comprar la tecnologia A només té sentit si el seu cost variable és més baix que el de B: és l'asímptota (el cost variable), i no el cost fix, el que decideix a llarg termini.

Errors típics

• Comparar els costos totals en lloc dels costos mitjans, o igualar només els costos fixos.
• Calcular el 5 % sobre el cost mitjà de cada producció en lloc de fer-ho sobre el valor límit.
• Arrodonir 13 333,3 per sota: amb 13 333 unitats encara no es compleix la condició.

Conceptes treballats: cost mitjà, límits a l'infinit i laterals, asímptotes vertical i horitzontal, inequacions racionals, presa de decisions econòmiques.

a) $m=\lim_{x\to+\infty}\dfrac{ax^2+bx+120}{x^2+4x}=a\Rightarrow a=2$. Després,

El cost fix és $C(0)=\dfrac{120}{4}=30$: 30 000 € al mes encara que no es produeixi res.

b) $(x+4)(2x+15)=2x^2+23x+60$, de manera que el numerador és $(x+4)(2x+15)+60$ i

El pendent, 2, vol dir que per a produccions grans cada miler de menús addicional costa uns 2 000 € (2 € per menú): és el cost variable a gran escala. L'ordenada, 15, és la part fixa «efectiva» (15 000 €) que queda quan la cuina funciona a ple rendiment. El terme $\frac{60}{x+4}$ recull les ineficiències de treballar amb poca producció (personal i equips infrautilitzats): val 15 a $x=0$, cosa que explica que el cost fix total sigui de 30 000 €, i tendeix a 0 quan la producció creix.

c) $C(x)-(2x+15)=\dfrac{60}{x+4}\gt 0$ per a $x\ge 0$: el cost real queda sempre per sobre de la recta i s'hi acosta a mesura que creix la producció. La diferència és menor que 1 (mil euros) si $\frac{60}{x+4}\lt 1\iff x\gt 56$, és a dir, a partir de 56 000 menús al mes.
Per a 10 000 menús: $C(10)=20+15+\frac{60}{14}\approx 39{,}29$, uns 39 290 €, mentre que la recta dona 35 000 €. La recta subestima el cost en uns 4 290 €: per a produccions petites, l'aproximació lineal no és fiable.

d) No: $\lim_{x\to+\infty}C(x)=+\infty$. Si una funció racional té asímptota obliqua cap a $+\infty$, no en pot tenir d'horitzontal cap al mateix costat. En canvi, el cost mitjà $M(x)=2+\dfrac{15}{x}+\dfrac{60}{x(x+4)}$ tendeix a 2: el cost per menú s'acosta a 2 €, el pendent de l'asímptota obliqua.
Si el terme independent fos 60, el numerador seria exactament $(x+4)(2x+15)$ i $C(x)=2x+15$ per a tot $x\ge 0$: el model seria lineal, sense cap terme d'ineficiència, i la funció coincidiria amb la seva «asímptota» (només quedaria un forat a $x=-4$, fora del context). El cost fix seria de 15 000 €.

Errors típics

• Calcular $n$ com el límit de $C(x)$ en lloc del límit de $C(x)-mx$.
• Interpretar l'ordenada de l'asímptota (15) com el cost fix real, que és $C(0)=30$.
• Oblidar les unitats: $x$ i $C$ són en milers, així que $x\gt 56$ vol dir 56 000 menús i una diferència d'1 vol dir 1 000 €.
• Pensar que la funció pot tenir alhora asímptota horitzontal i obliqua cap a $+\infty$.

Conceptes treballats: funcions racionals, límits a l'infinit, asímptota obliqua, divisió de polinomis, posició relativa, cost total i cost mitjà, interpretació econòmica.

a) $V_A(0)=1000$ i $V_B(0)=0$. $\lim_{t\to+\infty}V_A(t)=200$ i $\lim_{t\to+\infty}V_B(t)=1000$, de manera que les asímptotes horitzontals són $y=200$ i $y=1000$. Quan s'acaba la campanya, les vendes d'A baixen fins a un nivell estable de 200 unitats (clients habituals); B creix fins a saturar el seu mercat potencial, d'unes 1 000 unitats setmanals.

b) A: $800e^{-0{,}3t}\lt 10\iff e^{-0{,}3t}\lt\frac{1}{80}\iff -0{,}3t\lt-\ln 80\iff t\gt \dfrac{\ln 80}{0{,}3}\approx 14{,}6$ setmanes.
B: $1-e^{-0{,}2t}\ge 0{,}95\iff e^{-0{,}2t}\le 0{,}05\iff t\ge\dfrac{\ln 20}{0{,}2}\approx 15{,}0$ setmanes.
En unes 15 setmanes tots dos productes han arribat, a efectes pràctics, al seu nivell estable.

c) $T(0)=1000$, $T(1)=200+800e^{-0{,}3}+1000(1-e^{-0{,}2})\approx 973{,}9$, $T(5)\approx 1010{,}6$, $T(20)\approx 1183{,}7$, i $\lim_{t\to+\infty}T(t)=200+1000=1200$ unitats.
Al principi les vendes totals baixen (de 1 000 a unes 974), perquè A perd vendes més de pressa que no en guanya B; després B pren el relleu i el total creix cap a 1 200. La suma de dues funcions monòtones de sentit contrari no té per què ser monòtona; el límit de la suma, en canvi, és la suma dels límits.

d) Si el límit fos 0, voldria dir que, sense publicitat, ningú no compraria el producte A. El terme constant 200 representa la demanda de base, la dels clients fidels, que es manté quan l'efecte de la campanya (el terme $800e^{-0{,}3t}$) s'esvaeix.

Errors típics

• Pensar que $e^{-0{,}3t}$ tendeix a 1 o que $V_A$ tendeix a 0 perquè «l'exponencial decreix».
• No canviar el sentit de la desigualtat en dividir per $-0{,}3$ o per $-0{,}2$.
• Suposar que, si el límit total és més gran que el valor inicial, les vendes totals creixen des del primer moment.

Conceptes treballats: funcions exponencials, límits a l'infinit, asímptotes horitzontals, inequacions exponencials, límit d'una suma, interpretació de models de vendes.

a) $V(1)=\dfrac{a}{1+b}=4\Rightarrow a=4+4b$. $V(2)=\dfrac{2a}{4+b}=4\Rightarrow 2a=16+4b$. Substituint, $8+8b=16+4b\Rightarrow b=2$ i $a=12$. El model és $V(t)=\dfrac{12t}{t^2+2}$.

b) El grau del denominador (2) és més gran que el del numerador (1): $\lim_{t\to+\infty}\dfrac{12t}{t^2+2}=0$. L'asímptota horitzontal és $y=0$: amb el temps, l'efecte de la notícia s'esvaeix del tot i el web torna a les visites habituals.
Si el numerador tingués grau igual o més gran, el límit seria un nombre positiu o infinit: la notícia aportaria visites extra per sempre, o cada cop més, cosa que no s'ajusta al comportament d'una notícia viral, que perd interès amb els dies.

c) $\dfrac{12t}{t^2+2}\ge 1\iff 12t\ge t^2+2\iff t^2-12t+2\le 0$. Les arrels són $t=6\pm\sqrt{34}$, és a dir, $t\approx 0{,}169$ i $t\approx 11{,}831$. La paràbola és negativa entre les arrels, de manera que la notícia aporta almenys 1 000 visites extra per dia per a $t\in[6-\sqrt{34},\,6+\sqrt{34}]$: des d'unes 4 hores després de publicar-la ($0{,}169\cdot 24\approx 4$ h) fins a uns 11 dies i 20 hores ($0{,}831\cdot 24\approx 20$ h).

d) $\lim_{t\to+\infty}\dfrac{12t}{t+2}=12$: segons aquest model, el ritme de visites extra no deixaria de créixer i s'estabilitzaria en 12 000 visites per dia, com si la notícia no perdés mai l'interès. A més, no reprodueix les dades (dona $V(1)=4$, però $V(2)=6$). No és adequat.

Errors típics

• Resoldre malament el sistema, per exemple dividint en lloc de multiplicar en creu.
• Quedar-se amb una sola arrel a c) o prendre l'exterior de l'interval: $t^2-12t+2\le 0$ es compleix entre les arrels.
• Interpretar el límit 0 com «el web deixa de tenir visites», quan el model només descriu les visites addicionals.

Conceptes treballats: funcions racionals, sistemes d'equacions, límits a l'infinit, asímptota horitzontal, inequacions de segon grau, validesa d'un model.

a) $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{ax+b}{x+50}=a=6$. Continuïtat a $x=100$: $P(100)=\dfrac{600+b}{150}=10\Rightarrow b=900$. Per tant, $P(x)=\dfrac{6x+900}{x+50}$ per a $x\gt 100$.

b) $P(x)=6+\dfrac{600}{x+50}$, i com que $\frac{600}{x+50}\gt 0$, el preu és sempre més gran que 6 €: s'hi acosta, però cap client no hi arriba. Per a la segona pregunta: $\dfrac{6x+900}{x+50}\le 7\iff 6x+900\le 7x+350\iff x\ge 550$. A partir de 550 llibretes, el preu és com a molt de 7 € per unitat.

c) $C(x)=\dfrac{6x^2+900x}{x+50}$. Dividint: $6x^2+900x=(x+50)(6x+600)-30\,000$, és a dir,

Com que $\frac{30\,000}{x+50}\to 0$, l'asímptota obliqua és $y=6x+600$. El pendent (6) és el preu per unitat al qual tendeix una comanda gran, i l'ordenada (600) és un «sobrecost» respecte de pagar-ho tot a 6 €: per a comandes molt grans, és com pagar 6 € per llibreta més uns 600 € fixos. La gràfica de $C$ queda per sota de l'asímptota.
També es comprova la continuïtat del cost a $x=100$: per l'esquerra $100\cdot 10=1000$ i per la dreta $6\cdot 100+600-\frac{30\,000}{150}=1000$.

d) $P(1000)=\dfrac{6900}{1050}\approx 6{,}57$ € per llibreta i $C(1000)\approx 6571{,}43$ €. L'asímptota dona $6\cdot 1000+600=6600$ €, uns 29 € més: la diferència és $\frac{30\,000}{1050}\approx 28{,}57$ €, i cada cop és més petita a mesura que la comanda creix.

Errors típics

• Imposar la continuïtat fent servir $x=101$ en lloc d'igualar el valor a $x=100$.
• Confondre l'asímptota del preu per unitat (horitzontal, $y=6$) amb la del cost total (obliqua, $y=6x+600$).
• Concloure que, com que el límit és 6, les comandes molt grans paguen exactament 6 € per unitat.

Conceptes treballats: funcions a trossos, funcions racionals, límits a l'infinit, continuïtat amb paràmetres, asímptotes horitzontal i obliqua, inequacions racionals.

a) Tots dos termes tendeixen a $+\infty$: indeterminació $\infty-\infty$. Multipliquem i dividim pel conjugat:

Comprovació: $R_1(100)-R_2(100)\approx 29{,}56$ i $R_1(1000)-R_2(1000)\approx 29{,}96$. La diferència tendeix a 30 milers d'euros.

b) El numerador tendeix a 30 i el denominador a $+\infty$: el límit és 0. Interpretació: en termes absoluts, el model simplificat sempre es queda curt en uns 30 000 €, però en termes relatius aquest error és cada cop més petit (amb 100 mesos ja és menys d'un 3 % de l'ingrés, i amb 1 000 mesos, un 0,3 %). Per a horitzons llargs és una bona aproximació, sempre que se li sumin els 30 000 € (el model $10x+30$ és, de fet, l'asímptota obliqua de $R_1$).

c) Per a $x\gt 0$, $\sqrt{4x^2+1}=x\sqrt{4+1/x^2}$ i $\lim_{x\to+\infty}g(x)=\lim\dfrac{x\sqrt{4+1/x^2}}{x+3}=2$.
Per a $x\lt 0$, $\sqrt{4x^2+1}=|x|\sqrt{4+1/x^2}=-x\sqrt{4+1/x^2}$, de manera que $\lim_{x\to-\infty}g(x)=-2$.
Asímptotes horitzontals: $y=2$ (cap a $+\infty$) i $y=-2$ (cap a $-\infty$).
A $x=-3$ el numerador val $\sqrt{37}\gt 0$: $\lim_{x\to -3^-}g(x)=-\infty$ i $\lim_{x\to -3^+}g(x)=+\infty$. Asímptota vertical $x=-3$.
En una funció racional, el límit a $\pm\infty$ depèn només dels termes de grau màxim, que tenen el mateix comportament als dos costats, i per això dona el mateix valor. Aquí l'arrel introdueix un valor absolut, $\sqrt{x^2}=|x|$, que canvia de signe segons el costat.

Errors típics

• Fer $\infty-\infty=0$, o «simplificar» $\sqrt{x^2+6x}$ com $x+\sqrt{6x}$.
• Escriure $\sqrt{x^2}=x$ també quan $x\to-\infty$ i obtenir el mateix límit als dos costats.
• Confondre l'error absolut (que tendeix a 30) amb l'error relatiu (que tendeix a 0).

Conceptes treballats: límits a l'infinit, indeterminacions ∞ − ∞ i ∞/∞, conjugat, valor absolut, asímptotes horitzontals i verticals, error absolut i relatiu.