PAU Física 2021 · Juny · Sèrie 2 · Exercici 1

Problemes Suma de notes parcials Responeu a QUATRE dels vuit problemes següents. En el cas que respongueu a més problemes, només es valoraran els quatre primers. Cada problema val 2,5 punts. P1) Gràcies a les valuoses dades sobre les posicions dels astres que Tycho Brahe va recollir al llarg de la seva vida, Johannes Kepler va poder formular les seves famoses tres lleis. a) Deduïu la tercera llei de Kepler a partir de la segona llei de Newton i de la llei de gravitació universal, suposant que els planetes descriuen moviments circulars uni­ formes. [1,25 punts] b) A partir de les dades de la taula, determineu la massa del Sol. [1,25 punts] Planeta Radi de l’òrbita (109 m) Període (anys) Mercuri 57,90 0,240 8 Venus 108,2 0,615 2 Terra 149,6 1,000 Mart 228,0 1,881 Dada:  G = 6,67 × 10–11 N m2 kg–2.

P1) a) 0,2 p. La tercera llei de Kepler estableix que el quadrat del període orbital és directament proporcional al cub del semieix major de la òrbita. Així doncs, en el cas d’òrbites circulars s’ha de complir que el quadrat del període orbital és directament proporcional al cub del radi de la òrbita, 0,2 p. Si el planeta descriu un moviment circular uniforme al voltant del Sol, la seva 𝑣2 𝑟 o 𝑎𝑁=𝜔2𝑟 acceleració centrípeta és: 𝑎𝑁= 2πr I la velocitat es pot expressar en funció del període com: 𝑣= 𝑇 2π Llavors, l’acceleració centrípeta es pot expressar com: 𝑎𝑁= ( 𝑟 0,1 p. 𝑇) 0,2 p. I segons la llei de gravitació universal, el mòdul de la força s'expressa com: 𝑚𝑀𝑆𝑜𝑙 𝑟2 𝐹= 𝐺 0,1 p. La segona llei de Newton estableix que: 𝐹⃗= 𝑚𝑎⃗, on m és la massa del planeta. 𝑀𝑆𝑜𝑙 Per tant, obtenim que: 𝑎=G 𝑟2 0,2 p. I com que la força de la gravetat és perpendicular a la trajectòria, l’acceleració és igual a l’acceleració centrípeta: 𝐺𝑀𝑆𝑜𝑙 𝑟2 = (2𝜋 𝑟 𝑇) I, finalment, si aïllem 𝑇2 obtenim la tercera llei d […]