Exercicis de proporcionalitat i percentatges — Matemàtiques 1r ESO

6/9. Dividint els dos per 3: 6/9 = 2/3. Per cada 2 pomes hi ha 3 peres.

Sí, directament proporcionals: com més pastissos, més sucre, en la mateixa proporció.

300 · $\tfrac{10}{100} = 30$. (Amb el 10% n'hi ha prou de dividir per 10.)

El 50% és la meitat: 84 : 2 = 42.
El 50% de 84 és 42.

Busquem el preu d'un bolígraf: 6 : 3 = 2 €.
Cinc bolígrafs costen 5 · 2 = 10 €.
Són magnituds directament proporcionals: a més bolígrafs, més diners.

El 25% és la quarta part, perquè 25/100 = 1/4.
120 : 4 = 30.
El 25% de 120 és 30.

Un tant per cent és una fracció de denominador 100: 30% = 30/100.
Simplifiquem dividint per 10: 30/100 = 3/10.
En decimal: 30 : 100 = 0,3.

Són inversament proporcionals.
Quants més pintors treballen alhora, menys temps triguen a pintar la mateixa paret (si es dobla el nombre de pintors, el temps es redueix a la meitat).

El 20% és 20/100 = 1/5.
45 : 5 = 9.
El 20% de 45 és 9.
Altra manera: 45 · 0,20 = 9.

Han de tenir el mateix producte en creu: 6 · 12 = 9 · x.
72 = 9x, per tant x = 72 : 9 = 8.
Comprovació: 6/9 = 2/3 i 8/12 = 2/3.

Producte creuat: 4 · 9 = 36 i 6 · 6 = 36. Donen igual, així que sí formen proporció.

Producte creuat: 12 · x = 3 · 20 = 60. Per tant x = 60/12 = 5.

Directa: x = (250 · 5) / 100 = 1250/100 = 12,5 litres.

Directa: x = (7 · 30) / 2 = 210/2 = 105 km.

Descompte: 25 · $\tfrac{20}{100} = 5$ €. Preu final: 25 - 5 = 20 €.

IVA: 12 · $\tfrac{10}{100} = 1{,}20$ €. Total: 12 + 1,20 = 13,20 €.

Són magnituds directament proporcionals.
Per persona calen 300 : 4 = 75 g.
Per a 10 persones: 75 · 10 = 750 g.
Calen 750 g d'arròs.

Són magnituds inversament proporcionals: menys obrers, més dies.
El treball total és 6 · 10 = 60 dies d'obrer.
Amb 4 obrers: 60 : 4 = 15 dies.
Trigarien 15 dies.

L'augment és 92 - 80 = 12 €.
El percentatge és $\tfrac{12}{80} = 0{,}15$, és a dir, el 15%.
El preu ha augmentat un 15%.

Descompte: 15% de 60 = 60 · 0,15 = 9 €.
Preu final: 60 - 9 = 51 €.
Altra manera: pagues el 85% del preu, 60 · 0,85 = 51 €.

Nois: 25 - 15 = 10.
Percentatge: $\tfrac{10}{25} = 0{,}40$, és a dir, el 40%.
Comprovació: les noies són el 60% i 60% + 40% = 100%.

Constant: $\tfrac{8}{1} = 8$ € per hora. Per a 3 hores: 3 · 8 = 24 €. Per a 5 hores: 5 · 8 = 40 €.

Amb el descompte del 20% es paga el 80% del preu original.
Si el 80% del preu és 40 €, el 10% és 40 : 8 = 5 € i el 100% és 50 €.
El preu original era 50 €.
Comprovació: el 20% de 50 és 10 i 50 - 10 = 40. Error típic: calcular el 20% de 40 i sumar-lo.

Després de l'augment: 50 · 1,10 = 55 €.
Després de la rebaixa: 55 · 0,90 = 49,50 €.
No torna a valer 50 €: costa 49,50 €.
El segon 10% s'aplica sobre un preu més gran (55 €) i per això treu més diners (5,50 €) dels que s'havien afegit (5 €).

Són magnituds directament proporcionals. En 1 minut imprimeix 240 : 8 = 30 fulls.
a) En 20 minuts: 30 · 20 = 600 fulls.
b) 450 : 30 = 15 minuts.

Són magnituds inversament proporcionals: més persones, menys dies.
El menjar total equival a 12 · 15 = 180 dies de persona.
Ara hi ha 12 + 6 = 18 persones: 180 : 18 = 10 dies.
El menjar durarà 10 dies.

Treure el 25% equival a quedar-se amb el 75%: 800 · 0,75 = 600 L.
Treure el 40% del que queda és quedar-se amb el 60%: 600 · 0,60 = 360 L.
Percentatge sobre l'inicial: $\tfrac{360}{800} = 0{,}45$, o sigui el 45%.
Queden 360 L, que és el 45% de l'aigua inicial (no el 35%).

L'escala 1:50000 vol dir que 1 cm del mapa són 50000 cm de la realitat (0,5 km).
a) 6,4 · 50000 = 320000 cm = 3200 m = 3,2 km.
b) 7,5 km = 750000 cm; 750000 : 50000 = 15 cm.
Les distàncies són 3,2 km i 15 cm.

En total han posat 20 + 30 + 50 = 100 €, així que a cada euro aportat li corresponen 400 : 100 = 4 € de premi.
El primer: 20 · 4 = 80 €. El segon: 30 · 4 = 120 €. El tercer: 50 · 4 = 200 €.
Comprovació: 80 + 120 + 200 = 400 €.

En total hi ha 4 + 5 = 9 parts, i cada part és 18 : 9 = 2 litres.
Blanca: 4 · 2 = 8 litres. Negra: 5 · 2 = 10 litres.
Comprovació: 8 + 10 = 18 litres i 8/10 = 4/5.