Exercicis de potències i arrels — Matemàtiques 1r ESO

La base és 2 i l'exponent és 5: cal multiplicar el 2 per ell mateix cinc vegades.
$2^{5}$ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32.

El factor que es repeteix (la base) és 7 i es repeteix 4 vegades (l'exponent).
7 · 7 · 7 · 7 = $7^{4}$ = 49 · 49 = 2401.

Multiplicar per $10^{n}$ és afegir n zeros (o desplaçar la coma n llocs).
3 · $10^{3}$ = 3000.
$10^{5}$ = 100000.
45 · $10^{2}$ = 4500.

Busquem el nombre positiu que elevat al quadrat dona el radicand.
$\sqrt{81}$ = 9, perquè $9^{2}$ = 81.
$\sqrt{144}$ = 12, perquè $12^{2}$ = 144.
$\sqrt{1}$ = 1, perquè $1^{2}$ = 1.

Un quadrat perfecte és el quadrat d'un nombre natural.
25 = $5^{2}$, 64 = $8^{2}$ i 100 = $10^{2}$ són quadrats perfectes.
40, 80 i 120 no ho són: estan entre dos quadrats consecutius (per exemple 36 < 40 < 49).

$(-3)^{2}$ = (-3) · (-3) = 9, perquè l'exponent afecta el -3 sencer.
-$3^{2}$ = -(3 · 3) = -9, perquè l'exponent afecta només el 3.
No són iguals: les parèntesis són imprescindibles.

$5^{3}$ = 5 · 5 · 5 = 125.
$3^{5}$ = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243.
No són iguals: la base i l'exponent no es poden intercanviar.
Error típic: pensar que $5^{3}$ és 5 · 3 = 15.

$(-2)^{3}$ = (-2) · (-2) · (-2) = 4 · (-2) = -8.
$(-2)^{4}$ = (-2) · (-2) · (-2) · (-2) = 16.
Una base negativa dona resultat negatiu si l'exponent és senar i positiu si l'exponent és parell.

Qualsevol nombre elevat a 1 és ell mateix: $9^{1}$ = 9.
Qualsevol nombre diferent de 0 elevat a 0 val 1: $4^{0}$ = 1 i $10^{0}$ = 1.

√49 = 7 i √25 = 5.
√49 + √25 = 7 + 5 = 12.
Atenció: no es pot sumar dins l'arrel, ja que √(49 + 25) = √74 no és 12.

Per multiplicar potències de la mateixa base se sumen els exponents.
$3^{4}$ · $3^{2}$ = $3^{4+2}$ = $3^{6}$ = 729.
Comprovació: 81 · 9 = 729.

Per dividir potències de la mateixa base es resten els exponents.
$5^{7}$ : $5^{4}$ = $5^{7-4}$ = $5^{3}$ = 125.

Quan s'eleva una potència a un altre exponent, es multipliquen els exponents.
$(2^{3})^{2}$ = 2^3·2 = $2^{6}$ = 64.
Comprovació: $2^{3}$ = 8 i $8^{2}$ = 64.

Primer el producte: $2^{5}$ · $2^{3}$ = $2^{8}$.
Després el quocient: $2^{8}$ : $2^{4}$ = $2^{4}$.
$2^{4}$ = 16.

12 000 000 té 6 zeros després del 12: 12 · $10^{6}$.
Amb 1,2 cal desplaçar la coma 7 llocs: 1,2 · $10^{7}$.
Comprovació: 1,2 · $10^{7}$ = 1,2 · 10 000 000 = 12 000 000.

49 < 50 < 64, per tant 7 < $\sqrt{50}$ < 8.
Provem amb decimals: $7{,}0^{2}$ = 49 i $7{,}1^{2}$ = 50,41. Com que 50 és més a prop de 50,41 que de 49, $\sqrt{50}$ ≈ 7,1.
$\sqrt{50}$ no és exacta: no és un quadrat perfecte.

$(-2)^{5}$ = -32 (exponent senar, resultat negatiu).
$(-3)^{2}$ = 9 (exponent parell, resultat positiu).
Suma: -32 + 9 = -23.

L'àrea d'un quadrat és costat², per tant el costat és l'arrel de l'àrea: $\sqrt{169}$ = 13 m, perquè $13^{2}$ = 169.
Pati de 12 m de costat: àrea $12^{2}$ = 144 $\text{m}^{2}$, és a dir 144 baldoses.

Primer potències i arrels: $3^{2}$ = 9, $2^{3}$ = 8, $\sqrt{16}$ = 4.
Després el producte: 4 · 8 = 32.
Finalment sumes i restes: 9 + 32 - 4 = 37.

$2^{6}$ = 64.
$6^{2}$ = 36.
$4^{3}$ = 64.
Són iguals $2^{6}$ i $4^{3}$, tots dos valen 64. De fet $4^{3}$ = $(2^{2})^{3}$ = $2^{6}$.

8 · $10^{4}$ = 80000.
3 · $10^{2}$ = 300.
Suma: 80000 + 300 = 80300.

a) Falsa. Amb la mateixa base se sumen els exponents i la base no canvia: $2^{3}$ · $2^{4}$ = $2^{7}$ = 128, mentre que $4^{7}$ és enorme.
b) Falsa. En una potència de potència es multipliquen els exponents: $(3^{2})^{3}$ = $3^{6}$ = 729.
c) Falsa. Es resten els exponents: $5^{6}$ : $5^{2}$ = $5^{4}$ = 625.

Primer error: $(-4)^{2}$ = (-4) · (-4) = 16. Una base negativa elevada a un exponent parell dona un resultat positiu.
Segon error: $2^{3}$ = 2 · 2 · 2 = 8, no 2 · 3. L'exponent indica quantes vegades es multiplica la base per ella mateixa.
Resultats correctes: 16 i 8.

Provem nombres petits fins trobar el que compleix la igualtat.
a) $6^{3}$ = 6 · 6 · 6 = 216, per tant x = 6.
b) $13^{2}$ = 169, per tant x = 13.
c) $3^{4}$ = 3 · 3 · 3 · 3 = 81, per tant x = 3.

Al cap de n hores hi ha $2^{n}$ bacteris.
Després de 10 hores: $2^{10}$ = 1024 bacteris.
Amb 9 hores n'hi ha $2^{9}$ = 512, que no arriba a 1000, i amb 10 hores se supera.
Calen 10 hores.

Ronda 1: 3 persones; ronda 2: $3^{2}$ = 9; ronda 3: $3^{3}$ = 27; ronda 4: $3^{4}$ = 81; ronda 5: $3^{5}$ = 243.
A la cinquena ronda el saben 243 persones noves.
Total: 1 + 3 + 9 + 27 + 81 + 243 = 364 persones.

Quan dues potències tenen el mateix exponent, es pot multiplicar primer les bases: $a^{n}$ · $b^{n}$ = $(a \cdot b)^{n}$.
$2^{4}$ · $5^{4}$ = $(2 \cdot 5)^{4}$ = $10^{4}$ = 10000.
Comprovació: 16 · 625 = 10000.

Sabem que $14^{2}$ = 196 i $15^{2}$ = 225, per tant 14 < $\sqrt{200}$ < 15.
Provem amb un decimal: $14{,}1^{2}$ = 198,81 (menys de 200) i $14{,}2^{2}$ = 201,64 (més de 200).
Per tant 14,1 < $\sqrt{200}$ < 14,2. L'aproximació per defecte és 14,1 i la per excés és 14,2.

$3^{4}$ = 81.
$2^{7}$ = 128.
$5^{3}$ = 125.
$10^{2}$ = 100.
Ordre: $3^{4}$ < $10^{2}$ < $5^{3}$ < $2^{7}$, és a dir 81 < 100 < 125 < 128.

La casella n té $2^{n-1}$ grans.
a) Casella 8: $2^{7}$ = 128 grans. Casella 10: $2^{9}$ = 512 grans.
b) Total: 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 = 1023 grans, que és $2^{10}$ - 1.