Exercicis de divisibilitat — Matemàtiques 1r ESO

Sí: 24 : 6 = 4 exacte, sense residu. Per tant 24 és múltiple de 6 (i 6 és divisor de 24).

Primer: els seus únics divisors són l'1 i l'11, cap altre nombre el divideix de manera exacta.

Descomponc: 6 = 2 · 3 i 9 = $3^{2}$. L'únic factor comú és el 3, amb l'exponent més petit $3^{1}$. Per tant el m.c.d. de 6 i 9 és 3.

Els múltiples de 7 s'obtenen multiplicant 7 per 1, 2, 3, 4 i 5.
7 · 1 = 7, 7 · 2 = 14, 7 · 3 = 21, 7 · 4 = 28 i 7 · 5 = 35.
Els cinc primers múltiples de 7 són 7, 14, 21, 28 i 35.

Per 2: sí, perquè acaba en 2 (xifra parella).
Per 3 i per 9: la suma de les xifres és 3 + 4 + 2 = 9, que és múltiple de 3 i de 9; per tant, sí als dos.
Per 5 i per 10: no, perquè no acaba en 0 ni en 5.
Resum: 342 és divisible per 2, 3 i 9, però no per 5 ni per 10.

Busquem els nombres que divideixen 12 exactament, per parelles: 1 · 12 = 12, 2 · 6 = 12 i 3 · 4 = 12.
Els divisors de 12 són 1, 2, 3, 4, 6 i 12.

Descartem els parells (excepte el 2) i els que acaben en 5, i comprovem els divisors dels que queden: 21 = 3 · 7, 27 = 3 · 9, 33 = 3 · 11, 39 = 3 · 13.
Els que no tenen cap altre divisor que 1 i ells mateixos són 23, 29, 31 i 37.
Els primers entre 20 i 40 són 23, 29, 31 i 37.

Escrivim els primers múltiples de cada nombre.
Múltiples de 4: 4, 8, 12, 16, 20...
Múltiples de 6: 6, 12, 18, 24...
El primer que tenen en comú és el 12, per tant m.c.m.(4, 6) = 12.

Divisors de 16: 1, 2, 4, 8 i 16.
Divisors de 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 i 24.
El divisor comú més gran és el 8, per tant m.c.d.(16, 24) = 8.

És fals.
Un nombre primer ha de tenir exactament dos divisors diferents: l'1 i ell mateix. El 1 només té un divisor (ell mateix), per tant no és primer. Tampoc no és compost: és un cas a part.

Provo a dividir 18 per 1, 2, 3... i em quedo els exactes: 18 : 1 = 18, 18 : 2 = 9, 18 : 3 = 6, 18 : 6 = 3, 18 : 9 = 2, 18 : 18 = 1. Els divisors de 18 són: 1, 2, 3, 6, 9, 18.

Es poden dividir per 5 els que acaben en 0 o en 5: 15 (acaba en 5) i 40 (acaba en 0). El 28 i el 53 no.

No té raó, ho ha dit al revés. 21 és múltiple de 7 (perquè 7 · 3 = 21), i 7 és divisor de 21. El múltiple sempre és el nombre gran; el divisor, el petit que hi cap.

Vull repartir sense que sobri i el màxim de grups: és un m.c.d. Descomponc: 18 = 2 · $3^{2}$ i 24 = $2^{3}$ · 3. Factors comuns amb l'exponent més petit: el 2 amb $2^{1}$ i el 3 amb $3^{1}$, o sigui m.c.d. = 2 · 3 = 6. Pot fer 6 lots (cada un amb 3 llapis i 4 gomes).

Un nombre és divisible per 3 si la suma de les seves xifres ho és.
La suma és 4 + 8 + * = 12 + *, i 12 ja és múltiple de 3; per tant, * ha de ser múltiple de 3.
Les xifres possibles són 0, 3, 6 i 9, i els nombres són 480, 483, 486 i 489.
Comprovació: 483 : 3 = 161 exacte.

Dividim successivament pels primers: 360 = 2 · 180 = 2 · 2 · 90 = 2 · 2 · 2 · 45 = $2^{3}$ · $3^{2}$ · 5.
El nombre de divisors és el producte dels exponents augmentats en 1: (3 + 1) · (2 + 1) · (1 + 1) = 4 · 3 · 2 = 24.
Així, 360 té 24 divisors.

36 = $2^{2}$ · $3^{2}$ i 60 = $2^{2}$ · 3 · 5.
El m.c.d. és el producte dels factors comuns amb l'exponent més petit: $2^{2}$ · 3 = 12.
El m.c.m. és el producte de tots els factors, comuns i no comuns, amb l'exponent més gran: $2^{2}$ · $3^{2}$ · 5 = 180.
Comprovació: 12 · 180 = 2160 = 36 · 60.

La llargada ha de dividir 84 i 120 alhora i ha de ser la més gran possible: és el m.c.d.
84 = $2^{2}$ · 3 · 7 i 120 = $2^{3}$ · 3 · 5, per tant m.c.d. = $2^{2}$ · 3 = 12.
Cada tros mesura 12 cm. De la cinta de 84 cm en surten 84 : 12 = 7 i de la de 120 cm, 120 : 12 = 10.
En total hi ha 17 trossos.

Tornaran a coincidir al cap d'un temps que sigui múltiple de 15 i de 20, i la primera coincidència és el m.c.m.
15 = 3 · 5 i 20 = $2^{2}$ · 5, per tant m.c.m. = $2^{2}$ · 3 · 5 = 60 minuts.
Tornaran a sortir juntes a les 9:00 h.

Dividim 200 entre 13: 200 : 13 = 15 i sobren 5, per tant 13 · 15 = 195 és més petit que 200.
El múltiple següent és 13 · 16 = 208.
El menor múltiple de 13 més gran que 200 és 208.

És fals.
El 12 és divisible per 4 (12 : 4 = 3) i per 6 (12 : 6 = 2), però no ho és per 24 (12 : 24 no és exacte).
El que sí és cert és que un nombre divisible per 4 i per 6 és divisible pel m.c.m.(4, 6) = 12, no pel producte 24.

El 45 no és parell, així que no puc començar pel 2. Provo el 3: 45 : 3 = 15; 15 : 3 = 5; 5 : 5 = 1. Per tant 45 = $3^{2}$ · 5.

Coincidència de dos ritmes que es repeteixen: és un m.c.m. Descomponc: 8 = $2^{3}$ i 12 = $2^{2}$ · 3. Agafo tots els factors amb l'exponent més gran: $2^{3}$ i 3, o sigui m.c.m. = $2^{3}$ · 3 = 24. Tornaran a coincidir d'aquí a 24 segons.

Descomponc: 20 = $2^{2}$ · 5 i 30 = 2 · 3 · 5. m.c.d.: factors comuns amb l'exponent més petit, el 2 amb $2^{1}$ i el 5 amb $5^{1}$, o sigui 2 · 5 = 10. m.c.m.: tots els factors amb l'exponent més gran, $2^{2}$ · 3 · 5 = 60.

Si el nombre menys 1 és divisible per 4, per 6 i per 10, aleshores aquest nombre menys 1 és múltiple comú de 4, 6 i 10.
4 = $2^{2}$, 6 = 2 · 3 i 10 = 2 · 5, per tant m.c.m. = $2^{2}$ · 3 · 5 = 60.
El menor nombre és 60 + 1 = 61.
Comprovació: 61 = 4 · 15 + 1 = 6 · 10 + 1 = 10 · 6 + 1.

El nombre d'alumnes ha de ser múltiple de 8 i de 12, és a dir, múltiple del m.c.m.(8, 12).
8 = $2^{3}$ i 12 = $2^{2}$ · 3, per tant m.c.m. = $2^{3}$ · 3 = 24.
Els múltiples de 24 són ..., 96, 120, 144, 168...; els que estan entre 100 i 150 són 120 i 144.
Pot haver-hi 120 o 144 alumnes.

Provem amb cada primer petit i mirem si la resta també és primera.
2 + 28: el 28 no és primer. 3 + 27: el 27 no és primer. 5 + 25: el 25 no és primer.
7 + 23: tots dos són primers. 11 + 19: tots dos són primers. 13 + 17: tots dos són primers.
Per tant, 30 = 7 + 23 = 11 + 19 = 13 + 17 (hi ha tres maneres).

a) Ha de ser divisible per 9, és a dir, la suma de xifres 7 + a + 4 = 11 + a ha de ser múltiple de 9. L'únic valor possible entre 0 i 9 és a = 7 (11 + 7 = 18). El nombre és 774.
b) Ha de ser divisible per 2 i per 3. Com que acaba en 4, ja és parell. Per ser divisible per 3, 11 + a ha de ser múltiple de 3, així que a val 1, 4 o 7.
Els nombres són 714, 744 i 774.

Per a dos nombres a i b es compleix que m.c.d.(a, b) · m.c.m.(a, b) = a · b.
Per tant 6 · 180 = 36 · b, d'on b = 1080 : 36 = 30.
Comprovació: 36 = $2^{2}$ · $3^{2}$ i 30 = 2 · 3 · 5, per tant m.c.d. = 2 · 3 = 6 i m.c.m. = $2^{2}$ · $3^{2}$ · 5 = 180.
L'altre nombre és 30.

Coincideixen al cap d'un nombre de segons que sigui múltiple de 40, 60 i 90: el m.c.m.
40 = $2^{3}$ · 5, 60 = $2^{2}$ · 3 · 5 i 90 = 2 · $3^{2}$ · 5, per tant m.c.m. = $2^{3}$ · $3^{2}$ · 5 = 360 s, és a dir, 6 minuts.
Voltes: 360 : 40 = 9, 360 : 60 = 6 i 360 : 90 = 4.
Tornen a coincidir al cap de 6 minuts, amb 9, 6 i 4 voltes respectivament.