Exercicis d'atzar i probabilitat — Matemàtiques 1r ESO

Un experiment és aleatori si no podem predir el resultat abans de fer-lo, encara que sapiguem quins resultats són possibles.
a) Aleatori.
b) Determinista: l'aigua bull sempre.
c) Aleatori.
d) Determinista: l'àrea és sempre 9 cm².

L'espai mostral és el conjunt de tots els resultats possibles.
Moneda: E = {cara, creu}, amb 2 resultats.
Dau: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, amb 6 resultats.

El succés «parell» està format pels resultats del dau que són parells.
A = {2, 4, 6}.
Hi ha 3 casos favorables.

Els múltiples de 3 entre l'1 i el 6 són 3 i 6: 2 casos favorables.
Hi ha 6 casos possibles, tots igualment probables.
Regla de Laplace: P = 2/6 = 1/3.

Hi ha 2 casos possibles (cara i creu), igualment probables, i 1 cas favorable.
P(cara) = 1/2 = 0,5, és a dir, un 50 %.

Casos favorables: 3. Casos possibles: 3 + 5 = 8.
P(vermella) = 3/8 = 0,375.

«Menor que 7» passa sempre, perquè tots els resultats (1 a 6) ho compleixen: és un succés segur i P = 6/6 = 1.
«Surt un 0» no pot passar mai: és un succés impossible i P = 0/6 = 0.
Qualsevol probabilitat està sempre entre 0 i 1.

La baralla té 4 asos (un per coll) i 40 cartes.
P(as) = 4/40 = 1/10 = 0,1.

La freqüència relativa és el nombre de vegades que passa el succés dividit pel nombre de proves.
f_r = 54/100 = 0,54.
Aquest valor s'apropa a la probabilitat teòrica 0,5.

Els senars són 1, 3, 5, 7 i 9: 5 casos favorables de 10 possibles.
P(senar) = 5/10 = 1/2.

Primera manera: casos favorables 1, 2, 3, 4, 5, que són 5 de 6, per tant P = 5/6.
Segona manera, amb el succés contrari: P(no 6) = 1 - P(6) = 1 - 1/6 = 5/6.
Les dues maneres coincideixen.

Total de boles: 4 + 6 + 2 = 12.
a) P(blanca) = 6/12 = 1/2.
b) No verdes: 6 + 2 = 8, per tant P = 8/12 = 2/3.
c) No n'hi ha cap de groga: succés impossible, P = 0.

Cada dau té 6 resultats, així que hi ha 6 · 6 = 36 parelles possibles.
Sumen 7: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1), és a dir 6 casos.
P(suma 7) = 6/36 = 1/6.

Espai mostral (C = cara, X = creu): {CC, CX, XC, XX}, 4 resultats igualment probables.
Dues cares: només CC, P = 1/4.
Almenys una creu: CX, XC, XX, P = 3/4.
Comprovació amb el contrari: 1 - 1/4 = 3/4.

Freqüència relativa del 6: $\tfrac{10}{50} = 0{,}2$.
Probabilitat teòrica: $\tfrac{1}{6} \approx 0{,}167$.
No són iguals, però són pròximes. Si féssim moltes més tirades, la freqüència relativa s'aproparia a la probabilitat teòrica.

Els nombres primers entre l'1 i el 6 són 2, 3 i 5. L'1 no és primer.
Casos favorables: 3. Casos possibles: 6.
P(primer) = 3/6 = 1/2.

a) Copes: 10 cartes de 40, P = 10/40 = 1/4.
b) Figures: 3 per coll, 4 · 3 = 12, P = 12/40 = 3/10.
c) Figures de copes: 3, P = 3/40 = 0,075.

Nois: 25 - 14 = 11.
P(noi) = 11/25 = 0,44.
En percentatge: 0,44 · 100 = 44 %.

Múltiples de 4: 4 i 8, per tant P = 2/8 = 1/4.
Més grans que 5: 6, 7 i 8, per tant P = 3/8.

A = {2, 4, 6} i B = {5, 6}.
«A o B» és el conjunt dels resultats que són d'A, de B o dels dos: {2, 4, 5, 6}. El 6 només es compta una vegada.
P(A o B) = 4/6 = 2/3.

Boles vermelles = P · total = 0,35 · 20 = 7.
Comprovació: $\tfrac{7}{20} = 0{,}35$.

Afegim x boles vermelles: n'hi haurà 3 + x de vermelles i 8 + x en total.
(3 + x)/(8 + x) = 1/2, per tant 2 · (3 + x) = 8 + x, és a dir 6 + 2x = 8 + x i x = 2.
Comprovació: amb 5 vermelles i 5 blanques, P = 5/10 = 1/2.

Hi ha 36 parelles possibles.
Suma 10: (4,6), (5,5), (6,4); suma 11: (5,6), (6,5); suma 12: (6,6). Total 6 casos, P = 6/36 = 1/6.
Suma parella: dues parelles de la mateixa paritat, 3 · 3 + 3 · 3 = 18 casos, P = 18/36 = 1/2.

Hi ha 2 · 2 · 2 = 8 resultats: CCC, CCX, CXC, XCC, CXX, XCX, XXC, XXX.
Exactament dues cares: CCX, CXC, XCC, P = 3/8.
Almenys una cara: tots menys XXX, P = 7/8 (o bé 1 - 1/8).

Hi ha 36 parelles possibles.
Producte 12: (2,6), (6,2), (3,4) i (4,3), és a dir, 4 casos.
P = 4/36 = 1/9.

Estimem la probabilitat amb la freqüència relativa: $\tfrac{36}{50} = 0{,}72$.
En 200 tirs esperaríem 0,72 · 200 = 144 encerts.
És una estimació: el resultat real pot variar una mica.

Reis: 4 cartes. Oros: 10 cartes. El rei d'oros és als dos grups i no s'ha de comptar dues vegades.
Casos favorables: 4 + 10 - 1 = 13.
P = 13/40 = 0,325.

a) Falsa. Cada llançament és independent dels anteriors; segueix sent $\tfrac{1}{2}$ per a cada cara.
b) Falsa. Una probabilitat sempre és entre 0 i 1.
c) Certa. P(no A) = 1 - P(A) = 1 - 0,3 = 0,7.

Múltiples de 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12. Múltiples de 3: 3, 6, 9, 12.
De 2 i de 3 alhora (múltiples de 6): 6 i 12, P = 2/12 = 1/6.
De 2 o de 3: 2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12 (8 números, sense repetir 6 i 12), P = 8/12 = 2/3.

Vermell: 1/3 de 12 = 4 sectors. Blau: 1/4 de 12 = 3 sectors. Verd: 1/6 de 12 = 2 sectors.
Groc: 12 - 4 - 3 - 2 = 3 sectors, per tant P(groc) = 3/12 = 1/4.
Comprovació: 1/3 + 1/4 + 1/6 + 1/4 = 4/12 + 3/12 + 2/12 + 3/12 = 1.