Exercicis d'elasticitat i anàlisi cost-benefici — Economia 1r Batxillerat

L'elasticitat preu de la demanda mesura quant reacciona la quantitat demandada d'un bé quan en canvia el preu: és el quocient entre la variació percentual de la quantitat i la variació percentual del preu, $E_d=\dfrac{\%\Delta Q}{\%\Delta P}$.

Com que preu i quantitat es mouen en sentit contrari, el valor surt negatiu. Que valgui $-2$ vol dir que, si el preu puja un 1 %, la quantitat demandada baixa aproximadament un 2 % (i si el preu puja un 10 %, la quantitat demandada cau aproximadament un 20 %). Com que $|E_d|=2\gt 1$, la demanda és elàstica: els consumidors hi són molt sensibles.

Variació del preu: $\%\Delta P=\dfrac{1{,}65-1{,}50}{1{,}50}\cdot 100=10\,\%$.
Variació de la quantitat: $\%\Delta Q=\dfrac{340-400}{400}\cdot 100=-15\,\%$.
Elasticitat: $E_d=\dfrac{-15}{10}=-1{,}5$.

Classificació: $|E_d|=1{,}5\gt 1$, per tant la demanda és elàstica: la quantitat baixa proporcionalment més del que puja el preu.

1. Inelàstica ($0{,}4\lt 1$).
2. D'elasticitat unitària.
3. Elàstica ($2{,}5\gt 1$).
4. Perfectament inelàstica: $E_d=0$.

Criteri: $|E_d|\gt 1$ és elàstica; $|E_d|\lt 1$ és inelàstica; $|E_d|=1$ és unitària; $|E_d|=0$ és perfectament inelàstica (la quantitat no reacciona mai al preu).

$\%\Delta P=20\,\%$ i $\%\Delta Q=-30\,\%$, de manera que $E_d=-1{,}5$: demanda elàstica.
Ingrés total abans: $10\cdot 100=1.000$ €. Ingrés total després: $12\cdot 70=840$ €.

Relació: amb una demanda elàstica, pujar el preu fa baixar l'ingrés total (1.000 → 840 €), perquè la pèrdua de clients pesa més que el guany per unitat venuda.

$\%\Delta R=\dfrac{1.980-1.800}{1.800}\cdot 100=10\,\%$.
$\%\Delta Q=\dfrac{23-20}{20}\cdot 100=15\,\%$.
$E_R=\dfrac{15}{10}=1{,}5$.

Classificació: $E_R\gt 1$, per tant el cinema és un bé de luxe per a aquesta família: el consum creix proporcionalment més que la renda.

1. $E_R=0{,}5$: bé normal necessari (el consum creix menys que la renda).
2. $E_R=1{,}8$: bé de luxe (el consum creix més que la renda).
3. $E_R=-0{,}6$: bé inferior (quan la renda puja, se'n consumeix menys).

Regla: $E_R\lt 0$ inferior; $0\lt E_R\lt 1$ normal necessari; $E_R\gt 1$ de luxe.

• Cafè A i cafè B: $E_{AB}=\dfrac{12}{8}=1{,}5$. És positiva: són béns substitutius (si un es fa més car, la gent passa a l'altre).
• Cafeteres i càpsules: $E=\dfrac{-10}{5}=-2$. És negativa: són béns complementaris (es consumeixen junts).

Signe positiu: substitutius; signe negatiu: complementaris; zero: independents.

Resposta correcta: a. Amb una demanda inelàstica ($|E_d|\lt 1$) la quantitat baixa proporcionalment menys del que puja el preu; per tant, l'ingrés total $P\cdot Q$ augmenta.

Les altres opcions no són certes: l'ingrés només baixaria amb una demanda elàstica, no es manté si l'elasticitat no és exactament 1, i sí que es pot saber el sentit del canvi coneixent l'elasticitat.

$\%\Delta P=10\,\%$ i $\%\Delta Q_o=\dfrac{345-300}{300}\cdot 100=15\,\%$.
$E_o=\dfrac{15}{10}=1{,}5$.

Classificació: l'elasticitat de l'oferta és positiva (preu i quantitat ofertada es mouen en el mateix sentit) i $E_o\gt 1$: l'oferta és elàstica.

Saldo: $B-C=150.000-120.000=30.000$ €.
Raó benefici/cost: $\dfrac{B}{C}=\dfrac{150.000}{120.000}=1{,}25$.

Decisió: el saldo és positiu i la raó supera 1 (cada euro invertit en genera 1,25 de benefici social), de manera que el projecte és rendible socialment segons aquestes dades.

Punt mitjà: $\%\Delta Q=\dfrac{600-800}{(800+600)/2}\cdot 100=\dfrac{-200}{700}\cdot 100=-28{,}57\,\%$ i $\%\Delta P=\dfrac{7-5}{(5+7)/2}\cdot 100=\dfrac{2}{6}\cdot 100=33{,}33\,\%$. Així, $E_d=-0{,}86$.

Variació respecte del punt inicial: $\%\Delta Q=-25\,\%$ i $\%\Delta P=40\,\%$, de manera que $E_d=-0{,}625$.

Per què difereixen: el mètode inicial pren com a base el valor de partida, de manera que dona un resultat diferent segons si es puja o es baixa el preu. El del punt mitjà usa la mitjana dels dos punts com a base i dona el mateix valor en els dos sentits. En tots dos casos $|E_d|\lt 1$: demanda inelàstica.

$\%\Delta Q=\dfrac{300-200}{250}\cdot 100=40\,\%$ i $\%\Delta P=\dfrac{8-12}{10}\cdot 100=-40\,\%$, de manera que $E_d=-1$.
Ingrés total: $12\cdot 200=2.400$ € i $8\cdot 300=2.400$ €.

Interpretació: és una demanda d'elasticitat unitària en aquest tram: la variació percentual de la quantitat compensa exactament la del preu i l'ingrés total no canvia.

En una demanda lineal, la variació de $Q$ per cada euro és el pendent $-8$ i l'elasticitat puntual és $E_d=-8\cdot\dfrac{P}{Q}$.

• $P=5$: $Q=120-40=80$, $E_d=-8\cdot\dfrac{5}{80}=-0{,}5$ (inelàstica).
• $P=10$: $Q=120-80=40$, $E_d=-8\cdot\dfrac{10}{40}=-2$ (elàstica).

Elasticitat unitària: $8\cdot\dfrac{P}{120-8P}=1\Rightarrow 8P=120-8P\Rightarrow P=7{,}5$ €, amb $Q=60$ unitats i $E_d=-1$.
Ingrés total: $7{,}5\cdot 60=450$ €, que és el màxim possible: a la part superior de la corba l'elasticitat és alta i a la inferior, baixa.

Resposta correcta: c. El signe negatiu indica que, quan puja el preu de X, baixa la demanda de Y: són béns complementaris. El valor absolut, inferior a 1, indica una relació moderada: la demanda de Y reacciona menys que proporcionalment al preu de X.

Substitutius tindrien elasticitat creuada positiva, i béns independents, una elasticitat propera a zero.

Nou preu: $40\cdot 0{,}96=38{,}40$ €. Ingrés inicial: $40\cdot 1.000=40.000$ €. Si $\%\Delta P=-4\,\%$, llavors $\%\Delta Q=E_d\cdot\%\Delta P$.

• (a) $\%\Delta Q=-2{,}5\cdot(-4)=+10\,\%$; $Q=1.100$ parells; ingrés $=38{,}40\cdot 1.100=42.240$ €, és a dir, puja (+2.240 €).
• (b) $\%\Delta Q=-0{,}6\cdot(-4)=+2{,}4\,\%$; $Q=1.024$ parells; ingrés $=38{,}40\cdot 1.024=39.321{,}60$ €, és a dir, baixa (−678,40 €).

Recomanació: amb una demanda elàstica, baixar el preu fa créixer l'ingrés total; amb una demanda inelàstica, no convé baixar-lo, perquè la quantitat guanyada no compensa el que es cedeix per unitat.

$\%\Delta R=\dfrac{2.120-2.000}{2.000}\cdot 100=6\,\%$.

• Pasta de marca blanca: $\%\Delta Q=\dfrac{48{,}5-50}{50}\cdot 100=-3\,\%$, de manera que $E_R=\dfrac{-3}{6}=-0{,}5\lt 0$: bé inferior.
• Viatges en avió: $\%\Delta Q=\dfrac{11{,}2-10}{10}\cdot 100=12\,\%$, de manera que $E_R=\dfrac{12}{6}=2\gt 1$: bé de luxe.

Interpretació: quan la renda puja, les famílies passen de la marca blanca a altres productes i augmenten molt la despesa en viatges.

$\%\Delta Q_o=\dfrac{700-500}{600}\cdot 100=33{,}33\,\%$ i $\%\Delta P=\dfrac{60-40}{50}\cdot 100=40\,\%$, de manera que $E_o=0{,}83$.

Com que $E_o\lt 1$, l'oferta és inelàstica. A curt termini, un bé que necessita temps de producció (en el formatge, la maduració) o capacitat d'instal·lacions i bestiar limitada no pot augmentar de pressa la quantitat quan puja el preu. A llarg termini l'oferta sol ser més elàstica.

$\%\Delta P=10\,\%$ i $\%\Delta Q=-4\,\%$, de manera que $E_d=-0{,}4$: demanda inelàstica.
Ingrés total abans: $10\cdot 2.000=20.000$ €. Després: $11\cdot 1.920=21.120$ €.

L'ingrés total puja 1.120 €, així que a curt termini pujar el preu és favorable. A llarg termini, però, els consumidors tenen més temps per trobar substituts (altres olis o marques), de manera que l'elasticitat augmenta i el benefici pot desaparèixer.

$VAN=-100.000+\dfrac{40.000}{1{,}05}+\dfrac{40.000}{1{,}05^2}+\dfrac{40.000}{1{,}05^3}$
$=-100.000+38.095{,}24+36.281{,}18+34.553{,}50=8.929{,}92$ €.

Decisió: el VAN és positiu, així que els cobraments futurs, un cop actualitzats, superen la inversió: el projecte és convenient amb aquesta taxa. (Si el VAN fos negatiu, no ho seria.)

• Costos totals: $300.000+5\cdot 10.000=350.000$ €. Beneficis totals: $5\cdot 90.000=450.000$ €. Saldo: $100.000$ €. Raó benefici/cost: $\dfrac{450.000}{350.000}=1{,}29$.
• El benefici net anual és $90.000-10.000=80.000$ €. Amb un factor d'actualització a 5 anys del 3 % de $4{,}5797$: $VAN=-300.000+80.000\cdot 4{,}5797=66.376{,}57$ €.

Conclusió: tant sense actualitzar com actualitzant, els beneficis superen els costos, de manera que el projecte és socialment rendible. El VAN és menor que el saldo perquè els beneficis futurs valen menys que els diners d'avui.

$Q=300-20P$ i $E_d=-20\cdot\dfrac{P}{Q}$.

• $P=5$: $Q=200$, $IT=1.000$ €, $E_d=-0{,}5$ (inelàstica).
• $P=7{,}5$: $Q=150$, $IT=1.125$ €, $E_d=-1$ (unitària).
• $P=10$: $Q=100$, $IT=1.000$ €, $E_d=-2$ (elàstica).

Conclusió: l'ingrés es maximitza a $P=7{,}5$ €, on l'elasticitat és $-1$. Per sota d'aquest preu la demanda és inelàstica i pujar-lo fa créixer l'ingrés; per sobre, és elàstica i pujar-lo fa que baixi. Al màxim, l'efecte preu i l'efecte quantitat es compensen.

Resposta correcta: d. $\%\Delta Q=-1{,}8\cdot(-5\,\%)=+9\,\%$. L'ingrés es multiplica per $0{,}95\cdot 1{,}09=1{,}0355$: augmenta aproximadament un 3,55 %, perquè la demanda és elàstica.

Les altres opcions són falses: l'ingrés baixaria només amb una demanda inelàstica, la quantitat augmenta (no cau) quan baixa el preu, i l'ingrés només es mantindria amb elasticitat unitària.

$\%\Delta P=\dfrac{1{,}32-1{,}20}{1{,}20}\cdot 100=10\,\%$.

• Cafè: $\%\Delta Q=-5\,\%$; $E_d=\dfrac{-5}{10}=-0{,}5$, demanda inelàstica.
• Croissants: $\%\Delta Q=-5\,\%$; $E_{\mathrm{creuada}}=-0{,}5\lt 0$: complementari del cafè.
• Te: $\%\Delta Q=7{,}5\,\%$; $E_{\mathrm{creuada}}=0{,}75\gt 0$: substitutiu del cafè.

Ingrés del cafè: abans $1{,}20\cdot 600=720$ €, després $1{,}32\cdot 570=752{,}40$ €. Puja 32,40 €, tal com cal esperar d'una demanda inelàstica. Cal tenir en compte, però, que es perden vendes de croissants (complementari), de manera que la valoració global ha de considerar també aquest marge.

Per a una oferta lineal, $E_o=10\cdot\dfrac{P}{Q_o}$.

• $P=6$: $Q_o=20$, $E_o=\dfrac{60}{20}=3$.
• $P=8$: $Q_o=40$, $E_o=\dfrac{80}{40}=2$.
• $P=10$: $Q_o=60$, $E_o=\dfrac{100}{60}=1{,}67$.

Observació: l'oferta és elàstica en tots tres punts ($E_o\gt 1$), però l'elasticitat disminueix a mesura que creix el preu. Com que el pendent és constant, cada euro addicional representa un percentatge cada cop més petit sobre un preu i una quantitat més grans. En la pràctica també apareixen límits de superfície i de mà d'obra: com més s'acosta la producció a la capacitat màxima, menys elàstica és l'oferta.

Cada any, $\%\Delta Q=E_R\cdot 4\,\%$:

• Viatges: $1{,}8\cdot 4=+7{,}2\,\%$ l'any. En dos anys: $1{,}072^2-1=+14{,}92\,\%$.
• Pa: $0{,}5\cdot 4=+2\,\%$. En dos anys: $1{,}02^2-1=+4{,}04\,\%$.
• Pasta instantània: $-0{,}7\cdot 4=-2{,}8\,\%$. En dos anys: $0{,}972^2-1=-5{,}52\,\%$.

Implicacions: el turisme creix més que la renda (bé de luxe) i li va bé una economia en expansió; el pa creix menys que la renda (bé necessari), un mercat més estable; la pasta de baix cost és un bé inferior i el seu mercat es redueix quan millora la renda, de manera que els productors haurien de reorientar-se.

Factor d'actualització d'una renda de 4 anys: al 4 %, $3{,}6299$; al 15 %, $2{,}8550$.

• Al 4 %: $VAN_A=-200.000+70.000\cdot 3{,}6299=54.092{,}67$ €; $VAN_B=-150.000+50.000\cdot 3{,}6299=31.494{,}76$ €. Tots dos són positius i A té el VAN més alt; també és més rendible per euro invertit ($0{,}270$ contra $0{,}210$).
• Al 15 %: $VAN_A=-151{,}51$ € i $VAN_B=-7.251{,}08$ €. Tots dos són negatius (A és gairebé zero).

Decisió: amb una taxa del 4 % convé el projecte A. Amb una taxa del 15 % no convé cap dels dos, perquè el cost d'oportunitat del capital és massa alt: cal pujar la rendibilitat dels projectes o buscar-ne altres.

Resposta correcta: b. La sal representa una part molt petita del pressupost de les famílies i no té substituts propers, de manera que una pujada de preu gairebé no canvia les quantitats comprades.

Les altres opcions apunten a factors que farien la demanda més elàstica (molts substituts, un bé de luxe, o un període de temps llarg).

$\%\Delta Q=\dfrac{340-400}{370}\cdot 100=-16{,}22\,\%$ i $\%\Delta P=\dfrac{30-25}{27{,}5}\cdot 100=18{,}18\,\%$, de manera que $E_d=-0{,}89$: demanda inelàstica.

• 25 €: ingrés $25\cdot 400=10.000$ €; marge sobre el cost variable $(25-4)\cdot 400=8.400$ €.
• 30 €: ingrés $30\cdot 340=10.200$ €; marge $(30-4)\cdot 340=8.840$ €.

Recomanació: amb una demanda inelàstica, pujar el preu fa créixer l'ingrés (+200 €) i, a més, es redueix el nombre d'espectadors i els costos variables, de manera que el marge augmenta encara més (+440 €). Convé l'entrada a 30 €, tenint en compte que 25 € omple la sala i 30 € deixa butaques buides, un factor que l'empresa pot valorar per raons no econòmiques (reputació, programació).

Factor d'actualització d'una renda de 10 anys al 3 %: $8{,}5302$.

• (a) Benefici net anual: $95.000-20.000=75.000$ €. $VAN=-500.000+75.000\cdot 8{,}5302=139.765{,}21$ €. Positiu: el projecte és socialment rendible.
• (b) $VAN=-500.000+(60.000-20.000)\cdot 8{,}5302=-158.791{,}89$ €. Negatiu: amb aquests beneficis no es justificaria.
• (c) Cal que $(B-20.000)\cdot 8{,}5302\ge 500.000$, és a dir, $B\ge 20.000+\dfrac{500.000}{8{,}5302}=78.615{,}25$ € l'any.

Reflexió: els beneficis socials no tenen preu de mercat i són difícils de mesurar; si se sobrevaloren, es poden aprovar projectes que no ho mereixen. Per això convé fer anàlisis de sensibilitat com la de l'apartat (b).

Una pujada del 10 % fa variar la quantitat un $E_d\cdot 10\,\%$: turistes, $-16\,\%$; negocis, $-4\,\%$.

• (a) Ingrés: $100\cdot 8.000+100\cdot 2.000=1.000.000$ €.
• (b) Turistes: $8.000\cdot 0{,}84=6.720$; negocis: $2.000\cdot 0{,}96=1.920$. Ingrés: $110\cdot(6.720+1.920)=950.400$ € (baixa).
• (c) Turistes: 8.000 a 100 €; negocis: 1.920 a 110 €. Ingrés: $800.000+110\cdot 1.920=1.011.200$ € (puja).

Recomanació: l'estratègia (c). Els turistes tenen una demanda elàstica (no convé pujar-los el preu) i els viatgers de negocis una demanda inelàstica (poden suportar la pujada). Això és una discriminació de preus basada en l'elasticitat, tot i que a la pràctica cal poder separar els dos grups.