PAU Física 2022 · Juny · Sèrie 2 · Exercici 4

P4) Un ciclotró és un accelerador de partícules format per dos elèctrodes buits semicirculars (en forma de D) on actua un camp magnètic homogeni perpendicular al pla horitzon­ tal (pla de la figura). Així, a l’interior dels elèctrodes les partícules carregades positives, que es mouen en el pla horitzontal, descriuen una trajectòria circular. A l’espai buit que separa els dos elèctrodes s’aplica un camp elèctric altern , de manera que les partícules són accelerades. Inicialment, les partícules tenen poca velocitat i a cada cicle, en passar d’un semicercle a l’altre, van augmentant de velocitat i de radi de gir fins que finalment surten fora del ciclotró. a) Les partícules tenen una càrrega elèctrica positiva q i una massa m. Deduïu l’expres­ sió de la velocitat de les partícules en funció del quocient càrrega-massa (q/m), del radi r de la trajectòria de les partícules i del mòdul del camp magnètic. Comproveu que el temps de recorregut dins una D no depèn de la velocitat de les partícules. Per què el camp elèctric ha de ser altern? Trobeu l’expressió de la freqüència del camp elèctric. [1,25 punts] b) El ciclotró té un radi de 0,50 m i un camp magnètic de 0,20 T. Quan hi accelerem protons, quina velocitat tenen quan surten del ciclotró? Quina és la longitud d’ona associada a aquests protons? Quin radi mínim hauria de tenir el ciclotró per a con­ siderar que els protons tenen velocitats relativistes (és a dir, un 10 % de la velocitat de la llum)? [1,25 punts] Dades:  mp = 1,67 × 10–27 kg. |e| = 1,602 × 10–19 C. c = 3,00 × 108 m s–1. h = 6,63 × 10–34 J s.

P4) a) 0,75 p La força magnètica s’expressa com: 𝐹⃗𝑚=q𝑣⃗× 𝐵⃗⃗ Segons el dibuix podem comprovar que el camp magnètic i la velocitat són perpendiculars; el camp magnètic és perpendicular al pla horitzontal mentre que la velocitat està continguda al pla horitzontal, per tant, el mòdul del producte vectorial és: 𝐹𝑚=q𝑣𝐵 D’altra banda, 𝐹⃗𝑚 és el resultat del producte vectorial, i per tant és perpendicular a 𝐵⃗⃗ i a 𝑣⃗. Com que es perpendicular a 𝐵⃗⃗, 𝐹⃗𝑚 es troba al pla horitzontal i com que és perpendicular a 𝑣⃗ llavors és perpendicular a la trajectòria, per aquesta raó les partícules dins els elèctrodes descriuen un moviment circular uniforme, MCU. A més, segons la regla de la mà dreta i tenint en compte que la càrrega és positiva, la força magnètica va dirigida cap al centre dels semicercles. Per tant, la força magnètica és igual a la massa per l’acceleració normal: 𝐹𝑚=q𝑣𝐵= 𝑚𝑣2 𝑟 I, finalment, si agrupem els termes: 𝑟𝐵= 𝑞 𝑣 𝑚⇒𝑣= 𝑟𝐵𝑞 𝑚 Si en la deducció no es justifica a partir de les dire […]