PAU Física 2022 · Juny · Sèrie 2 · Exercici 3

P3) El moviment d’una anguila es pot aproximar al d’una ona harmònica transversal que es propaga des del cap fins a la cua. Per a estudiar-ne el moviment hem de simplificar: no considerem l’aportació al moviment de la resta de músculs del cos, i suposem, simple­ ment, que l’ona es genera al cap de l’anguila, que vibra amb una freqüència de 0,50 Hz i amb una amplitud de 5,00 cm. La distància entre dos punts consecutius del cos de l’anguila que estan en el mateix estat de vibració és de 20,0 cm. a) Calculeu la velocitat a la qual es propaga l’ona pel cos de l’anguila, la freqüència angular i el nombre d’ona. Si a l’instant inicial el cap té una elongació zero i la velo­ citat d’osciŀlació transversal és positiva, determineu l’expressió de l’equació d’ona. Per a l’equació d’ona utilitzeu el sistema de coordenades de la figura superior, on el cap de l’anguila es troba sempre a l’origen de les abscisses. [1,25 punts] b) A partir de l’equació d’ona, deduïu i calculeu els mòduls de la velocitat i de l’ac­ celeració màximes de l’osciŀlació transversal. Si la longitud total de l’anguila és de 58,0 cm, calculeu també la velocitat i l’acceleració transversals a la cua 10 s més tard d’haver iniciat el moviment. [1,25 punts]

P3) a) 0,1 p La distància entre dos punts consecutius que estan en el mateix estat de vibració és la longitud d’ona: 𝜆= 0,20 m 0,1 p 𝑣= 𝜆𝑓= 0,2 ∙0,5 = 0,1 m/s 0,1 p La freqüència angular s’expressa com: 𝜔= 2𝜋𝑓= 𝜋 rad/s = 3,14 rad/s 2𝜋 𝜆= 10𝜋 m−1 = 31,4 m−1 0,1 p El nombre d’ona s’expressa com: 𝑘= 0,85 p L’equació d’ona s’expressa com: 𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴∙𝑠𝑖𝑛[𝑘𝑥−𝜔𝑡+ 𝜑0] 𝑣(𝑥, 𝑡) = 𝑑𝑦(𝑥, 𝑡) = −𝐴𝜔∙𝑐𝑜𝑠[𝑘𝑥−𝜔𝑡+ 𝜑0] 𝑑𝑡 Condició inicial: 𝑦(0,0) = 0 ⟹𝑠𝑖𝑛[𝜑0] = 0 ⟹𝜑0 = {0 rad 𝜋 rad 𝑣(0,0) = −𝐴𝜔∙𝑐𝑜𝑠[𝜑0] ⟹{𝜑0 = 0 rad, 𝑣(0,0) < 0 no és la correcte 𝜑0 = 𝜋 rad, 𝑣(0,0) > 0 és la correcte I, finalment: 𝑦(𝑥, 𝑡) = 0,05 ∙𝑠𝑖𝑛[10𝜋𝑥−𝜋𝑡+ 𝜋] amb y i x en m i t en s. També es pot expressar com: 𝑦(𝑥, 𝑡) = 0,05 ∙𝑠𝑖𝑛[𝜋𝑡−10𝜋𝑥] amb y i x en m i t en s. Si no s’analitza la condició de posició inicial nul·la, cal restar 0,25 p. Si no s’analitza la condició de velocitat inicial positiva, cal restar 0,25 p. Alternativament: 𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴∙𝑐𝑜𝑠[𝑘𝑥−𝜔𝑡+ 𝜑0] 𝑣(𝑥, 𝑡) = 𝑑𝑦(𝑥, 𝑡) = 𝐴𝜔∙𝑠𝑖𝑛[𝑘𝑥−𝜔𝑡+ 𝜑0] 𝑑𝑡 Condició inicial: 𝑦(0,0) = 0 ⟹𝑐𝑜𝑠[𝜑0] […]