PAU Física 2024 · Juny · Sèrie 1 · Exercici 1

P1) BepiColombo és una missió espacial que té per objectiu l’exploració de Mercuri. La missió va ser llançada l’any 2018, i hi arribarà el 2025. Un cop allà, posarà en òrbita dos satèŀlits al voltant del planeta. Un dels satèŀlits és el Mercury Planetary Orbiter (MPO), construït per l’Agència Espacial Europea, que orbitarà al voltant de Mercuri amb un radi orbital mitjà de 3 360 km. a) Considereu un satèŀlit que fa una òrbita circular al voltant de Mercuri. Deduïu l’expressió de la velocitat orbital del satèŀlit en funció del radi orbital i la massa de Mercuri (indiqueu clarament en quins principis o lleis físiques us baseu per fer la vostra deducció). Amb aquesta expressió, calculeu la velocitat orbital del satèŀlit MPO mentre orbita al voltant de Mercuri. Calculeu quantes voltes haurà fet al pla- neta al cap d’un any terrestre. [1,25 punts] b) A partir de l’expressió general de l’energia mecànica, obtingueu la seva equació per al cas particular d’un satèŀlit en òrbita circular (cal que l’equació final només estigui expressada en funció de G, el radi orbital i les masses del satèŀlit i del planeta). Una vegada el satèŀlit MPO estigui orbitant al voltant de Mercuri, encara tindrà com- bustible per a poder fer maniobres. Considereu que el combustible disponible pot proporcionar una energia de 4,5 × 109 J. Determineu el valor màxim que podria tenir la massa del MPO per tal que amb l’energia disponible pogués escapar del camp gravitatori de Mercuri. [1,25 punts] Dades: G = 6,67 × 10–11 N m2 kg–2. Massa de Mercuri, MM = 3,285 × 1023 kg. Any terrestre = 365,25 dies.

Per trobar l’expressió de la velocitat orbital 0,10 p. Segons la llei de la gravitació universal, el mòdul de la força sobre el satèl·lit degut a l’atracció de Mercuri és: 𝐹= 𝐺 𝑀𝑀𝑃𝑂𝑀𝑀 𝑟2 0,10 p. La segona llei de Newton estableix que: 𝐹⃗= 𝑀𝑀𝑃𝑂𝑎⃗ 0,15 p. D’altra banda, considerant que el satèl·lit descriu un moviment circular uniforme al voltant de Mercuri, la seva acceleració és l’acceleració centrípeta: 𝑎= 𝑣2/𝑟 0,15 p. Com que sobre el satèl·lit sols actua la força de la gravetat: 𝐺 𝑀𝑀𝑃𝑂𝑀𝑀 = 𝑀𝑀𝑃𝑂𝑣2/𝑟⇒𝑣= √𝐺 𝑀𝑀 r 𝑟2 0,25 p. Utilitzant l’expressió obtenim el valor de la velocitat orbital per la MPO: 3,285×1023 𝑀𝑀 r = √6,67 × 10−11 3,36×106 = 2,55 × 103 m/s 𝑣𝑀𝑃𝑂= √𝐺 0,25 p. Per saber el nombre de voltes que fa la MPO durant un any terrestre hem de comparar els dos temps. 2𝜋 3,36×106 2𝜋𝑟 El període de la MPO: 𝑇= = 8,28 × 103 𝑠 𝑣= 2,55×103 24ℎ 3600 𝑠 0,25 p. I un any amb segons: 𝑡𝑎𝑛𝑦= 365,25 𝑑𝑖𝑒𝑠 = 3,16 × 107 𝑠 1 dia 1h = 3,16 × 107 𝑛𝑣𝑜𝑙𝑡𝑒𝑠/𝑎𝑛𝑦= 𝑡𝑎𝑛𝑦 8,28 × 103 = 3816 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑒𝑠 𝑇 b) 0,5 p. L’e […]