PAU Física 2024 · Setembre · Sèrie 3 · Exercici 1

P1) Els sistemes planetaris tendeixen a formar-se en ressonància. Això vol dir que, quan un planeta completa n òrbites, el planeta veí en completa m, en què n i m són nombres enters. El novembre de 2023 la revista Nature publicava el descobriment de sis planetes que orbitaven en ressonància al voltant de l’estrella HD110067. a) Suposem que aquesta estrella té la massa del Sol i que els planetes tenen òrbites cir- culars. El sisè planeta, el més exterior, té un període de 54,7 dies. Calculeu la distàn- cia entre el planeta i l’estrella. Representeu l’estrella i el planeta, dibuixeu el vector d’acceleració normal i calculeu-ne el mòdul. [1,25 punts] b) El cinquè planeta completa 4 òrbites en el mateix temps que el sisè planeta en com- pleta 3 (relació 4:3). Calculeu el radi de l’òrbita del cinquè planeta i la seva energia mecànica suposant que la seva massa és 2,5 vegades la terrestre. [1,25 punts] Dades: G = 6,67 × 10–11 N m2 kg–2. Massa de la Terra, MT = 5,98 × 1024 kg. Massa del Sol, MS = 1,98 × 1030 kg.

Trobar l’expressió de la velocitat orbital 0,15 p Segons la llei de la gravitació universal, el mòdul de la força sobre el 6è planeta 𝑀6𝑀𝐻𝐷 a causa de l’atracció de l’estrella HD110067 és: 𝐹= 𝐺 𝑟2 0,15 p Suposant un moviment circular uniforme al voltant de l’estel, l’acceleració 𝑣2 2𝜋 centrípeta del planeta és 𝑎𝑛= 𝑟= 𝜔2 𝑟 en què la velocitat angular és 𝜔= 𝑇. 24·3600 𝑠 0,15 p El període en segons: 𝑇= 54,7𝑑 = 4,73 · 106 𝑠. 1𝑑 𝑀6𝑀𝐻𝐷 0,30 p Com que sobre el planeta sols actua la força de la gravetat: 𝐺 = 𝑀6𝜔2 𝑟 𝑟2 𝐺𝑀𝐻𝐷𝑇2 6,67·10−111,98·1030(4,73·106)2 3 3 Per tant, trobem 𝑟= √ = 4,214 · 1010 𝑚 = √ 4𝜋2 4𝜋2 0,25 p La representació de l’acceleració normal. 0,25 p El mòdul de l’acceleració normal: 4𝜋2 4𝜋2 (4,73·106)2 4,214 · 1010 = 7,44 · 10−2 𝑚/𝑠2 𝑎𝑛= 𝜔2 𝑟= 𝑇2 𝑟= b) 0,5 p Els períodes del 5è i 6è planetes tenen la relació: 3 · 𝑇6 = 4 · 𝑇5. Per tant, utilitzant la 3a llei de Kepler, (que també podem deduir de l’anterior relació radi- 2 = 𝑟5 3/𝑇6 3/𝑇5 2, tenim que període): 𝑟6 3 𝑇5 = 𝑟6√9 3 = 3 […]