PAU Física 2023 · Setembre · Sèrie 2 · Exercici 1

P1) El mes de novembre del 2021, la NASA va llançar la missió DART (Double Asteroid Redirection Test). Aquesta missió té per objectiu canviar l’òrbita de Dimorphos, un petit asteroide que orbita al voltant de Didymos, que és un asteroide més gran. Esquema de la missió DART. Nota: La imatge no està escalada, les proporcions entre les òrbi- tes i els objectes no es corresponen a les escales reals. Font: NASA. a) A partir de la llei de la gravitació universal, trobeu l’expressió de la intensitat del camp gravitatori que crea un objecte astronòmic esfèric de massa M i radi R a la seva super- fície. El diàmetre de Didymos és de 781 m i la seva densitat és de 2 146 kg/m3. Calculeu el valor de la intensitat del camp gravitatori que crea Didymos a la seva superfície. Si Dimorphos té una massa de 4,42 × 1010 kg i el radi orbital mitjà (distància entre els cen- tres dels dos objectes) és d’1,12 km, calculeu el mòdul de la força gravitatòria mitjana entre Didymos i Dimorphos. [1,25 punts] b) L’objectiu de la missió DART és colpejar Dimorphos, de tal manera que orbiti en una nova òrbita de radi menor, com s’indica en la figura anterior. Deduïu, a partir de principis fonamentals, l’expressió de la velocitat orbital d’un satèŀlit en funció del radi de l’òrbita. Argumenteu si Dimorphos orbitarà a més velocitat a la nova òrbita o a l’òrbita original. [1,25 punts] Dada: G = 6,67 × 10–11 N m2 kg–2. Nota: Considereu que les òrbites són circulars i que els dos asteroides són esfèrics.

P1) a) Segons la llei de gravitació universal, el mòdul de la força sobre un objecte de massa m a la superfície d’un objecte astronòmic esfèric de radi R i massa M s'expressa com: 𝐹= 𝐺 𝑚𝑀 𝑅2 0,2 p I el mòdul de la força que experimenta un objecte de massa m sota l’acció d’un camp gravitatori d’intensitat g és 𝐹= 𝑚𝑔 Igualant les dues expressions i dividint als dos costats per m obtenim: 𝑔= 𝐺 𝑀 𝑅2 0,1 p 781 El radi de Didymos és 𝑅𝐷= 2 =390,5 m i la seva massa és: 𝑀𝐷= 𝑉· 𝜌= 4 3𝜌= 4 3 𝜋· 390,53 · 2146 = 5,35 × 1011 kg 3 𝜋𝑅𝐷 0,2 p Per tant obtenim: 2 = 6,67 × 10−11 5,35 × 1011 𝑔= 𝐺 𝑀𝐷 = 2,34 × 10−4 m 2 390,52 s 𝑅𝐷 0,35 p Segons la llei de gravitació universal, el mòdul de la força és = 6,67 × 10−11 4,42 × 1010 · 5,35 × 1011 𝐹= 𝐺 𝑚𝑀𝐷 = 1,26 × 106 N 𝑅2 11202 0,4 p b) Segons la llei de gravitació universal, el mòdul de la força sobre Dimorphos, massa m, degut a la atracció de Didymos és: 𝐹= 𝐺 𝑚𝑀𝐷 𝑅2 0,2 p I la segona llei de Newton estableix que: 𝐹⃗= 𝑚𝑎⃗ 0,2 p D'altra banda, considerant que el […]