Flashcards: Vectors a l'espai: producte escalar, vectorial i mixt

Totes les targetes del tema

Per fer-hi una ullada ràpida o repassar-les en paper.

1. 1. Mòdul del vector $\vec u=(u_1,u_2,u_3)$?

   $|\vec u|=\sqrt{u_1^{2}+u_2^{2}+u_3^{2}}$. És la longitud del vector i sempre és positiu o zero.

2. 2. Coordenades del vector $\overrightarrow{AB}$ a partir dels punts A i B?

   Les de l'extrem menys les de l'origen: $\overrightarrow{AB}=B-A$. Error típic: fer $A-B$, que dona el vector oposat.

3. 3. Quan tenen la mateixa direcció (són paral·lels) dos vectors no nuls?

   Quan un és múltiple de l'altre, $\vec v=k\,\vec u$: és a dir, quan les seves components són proporcionals.

4. 4. Com obtens un vector unitari amb la mateixa direcció que $\vec u$?

   Divideixes pel mòdul: $\dfrac{\vec u}{|\vec u|}$. N'hi ha dos, aquest i el seu oposat, un per cada sentit.

5. 5. Com comproves si tres vectors de l'espai formen una base?

   Calcules el determinant de les seves components. Si és diferent de 0, són linealment independents i formen base; si val 0, són dependents i no la formen.

6. 6. Com calcules el producte escalar $\vec u\cdot\vec v$ en components?

   $\vec u\cdot\vec v=u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3$. El resultat és un escalar (un nombre), no un vector.

7. 7. Expressió geomètrica del producte escalar?

   $\vec u\cdot\vec v=|\vec u|\,|\vec v|\cos\alpha$, on $\alpha$ és l'angle que formen els dos vectors, entre $0^\circ$ i $180^\circ$.

8. 8. Com calcules l'angle que formen dos vectors?

   Aïlles el cosinus del producte escalar, $\cos\alpha=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec u|\,|\vec v|}$, i després fas l'arccosinus.

9. 9. Què et diu el signe del producte escalar de dos vectors no nuls?

   Si és positiu, formen un angle agut; si és negatiu, un angle obtús; si és zero, són perpendiculars.

10. 10. Error típic: si $\vec u\cdot\vec v=0$, un dels dos vectors ha de ser nul?

    No: amb vectors no nuls, $\vec u\cdot\vec v=0$ vol dir que són perpendiculars. Per exemple, $\vec i\cdot\vec j=0$.

11. 11. Com calcules $|\vec u+\vec v|$ si coneixes $|\vec u|$, $|\vec v|$ i $\vec u\cdot\vec v$?

    Fas servir que $\vec w\cdot\vec w=|\vec w|^{2}$: $|\vec u+\vec v|^{2}=|\vec u|^{2}+2\,\vec u\cdot\vec v+|\vec v|^{2}$. Després fas l'arrel quadrada.

12. 12. Projecció escalar i projecció vectorial de $\vec u$ sobre $\vec v$?

    Escalar: $\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec v|}$, un nombre amb signe. Vectorial: $\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec v|^{2}}\,\vec v$, un vector en la direcció de $\vec v$.

13. 13. Com és el producte vectorial $\vec u\times\vec v$: direcció, sentit i mòdul?

    És un vector perpendicular a $\vec u$ i a $\vec v$ alhora, amb el sentit de la regla de la mà dreta (o del llevataps) i mòdul $|\vec u|\,|\vec v|\sin\alpha$.

14. 14. Com calcules $\vec u\times\vec v$ en components?

    Amb el determinant $3\times3$ que té $\vec i,\vec j,\vec k$ a la primera fila, les components de $\vec u$ a la segona i les de $\vec v$ a la tercera, desenvolupat per la primera fila.

15. 15. Què mesura $|\vec u\times\vec v|$?

    L'àrea del paral·lelogram que determinen $\vec u$ i $\vec v$. Per això el producte vectorial és l'eina per calcular àrees a l'espai.

16. 16. Àrea del triangle de vèrtexs A, B i C?

    $S=\tfrac12\,|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|$: la meitat del paral·lelogram que formen dos costats amb un vèrtex comú.

17. 17. Què passa si canvies l'ordre dels vectors en un producte vectorial?

    Canvia el sentit del resultat: $\vec v\times\vec u=-(\vec u\times\vec v)$. El producte vectorial és anticommutatiu.

18. 18. Quan val $\vec 0$ el producte vectorial de dos vectors?

    Quan són paral·lels (o un dels dos és nul), perquè llavors $\sin\alpha=0$. És una manera ràpida de comprovar si dos vectors tenen la mateixa direcció.

19. 19. Què és el producte mixt $[\vec u,\vec v,\vec w]$ i com es calcula?

    És el nombre $\vec u\cdot(\vec v\times\vec w)$. Es calcula com el determinant $3\times3$ que té per files les components de $\vec u$, $\vec v$ i $\vec w$.

20. 20. Interpretació geomètrica del producte mixt?

    El seu valor absolut és el volum del paral·lelepípede determinat pels tres vectors: $V=|[\vec u,\vec v,\vec w]|$.

21. 21. Volum del tetraedre de vèrtexs A, B, C i D?

    $V=\tfrac16\,|[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}]|$: el tetraedre és la sisena part del paral·lelepípede que determinen les tres arestes.

22. 22. Què vol dir que el producte mixt de tres vectors valgui 0?

    Que el volum és zero: els tres vectors són coplanaris. Si $[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}]=0$, els quatre punts A, B, C i D són al mateix pla.

23. 23. Com canvia el producte mixt si permutes els vectors?

    Una permutació cíclica no el canvia: $[\vec u,\vec v,\vec w]=[\vec v,\vec w,\vec u]$. Si intercanvies només dos vectors, canvia de signe.

24. 24. Altura del paral·lelepípede determinat per $\vec u$, $\vec v$ i $\vec w$, sobre la base que formen $\vec u$ i $\vec v$?

    Divideixes el volum per l'àrea de la base: $h=\dfrac{|[\vec u,\vec v,\vec w]|}{|\vec u\times\vec v|}$.

25. 25. Què és una base ortonormal?

    Una base de vectors unitaris i perpendiculars dos a dos, com $\{\vec i,\vec j,\vec k\}$. Les coordenades d'un vector s'hi obtenen fent el producte escalar amb cada vector de la base.