Flashcards: Integrals

Totes les targetes del tema

Per fer-hi una ullada ràpida o repassar-les en paper.

1. 1. Què és una primitiva d'una funció f?

   Una funció F tal que $F' = f$. Integrar és l'operació inversa de derivar.

2. 2. Per què la integral indefinida porta $+C$?

   Perquè si F és primitiva de f, $F + C$ també ho és (la derivada d'una constant és zero). La integral indefinida representa totes les primitives.

3. 3. Com comproves que has calculat bé una primitiva?

   Derivant-la: ha de tornar exactament la funció de partida.

4. 4. Primitiva d'una potència $x^n$?

   $\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$: puja l'exponent en 1 i divideix pel nou exponent. Només val si $n\neq -1$.

5. 5. Primitiva de $\dfrac{1}{x}$, és a dir, de $x^{-1}$?

   $\ln|x| + C$. És el cas en què falla la regla de la potència.

6. 6. Primitives de $\sin x$ i de $\cos x$?

   La de $\sin x$ és $-\cos x + C$; la de $\cos x$ és $\sin x + C$.

7. 7. Integral de $\dfrac{f'(x)}{f(x)}$?

   $\ln|f(x)| + C$. És el cas en què el numerador és la derivada del denominador.

8. 8. Quin senyal indica que toca fer un canvi de variable?

   Que dins la integral hi ha una funció i, aproximadament, la seva derivada. Fas t igual a aquella funció i la derivada es converteix en dt.

9. 9. Si $t = x^2 - 5$ però a la integral només hi ha $x\,dx$, com ho ajustes?

   Com que $dt = 2x\,dx$, escrius $x\,dx = \dfrac{dt}{2}$: la constant que falta surt fora de la integral.

10. 10. Error típic: com acabes una integral feta per canvi de variable?

    Desfent el canvi, és a dir, tornant a escriure el resultat en x, i afegint la constant $+C$.

11. 11. Fórmula de la integració per parts?

    $\int u\,dv = u\,v - \int v\,du$. Error típic: oblidar el signe menys.

12. 12. Quan fas servir la integració per parts?

    Per integrar productes de funcions de tipus diferent: un polinomi per una exponencial, per un logaritme o per un sinus.

13. 13. A la integració per parts, quin factor tries com a u?

    El que se simplifica en derivar-lo (un logaritme desapareix, un polinomi baixa de grau). Com a dv, el fàcil d'integrar (exponencial, sinus). Ordre de preferència per a u: logaritmes, polinomis, exponencials i trigonomètriques.

14. 14. Quan s'integra una funció racional per fraccions simples?

    Quan el numerador no és la derivada del denominador, el seu grau és més petit que el del denominador i el denominador té arrels reals.

15. 15. Fraccions simples: com descomposes si el denominador té una arrel doble a?

    Amb dues fraccions: $\dfrac{A}{x - a} + \dfrac{B}{(x - a)^2}$.

16. 16. Error típic: quina primitiva té $\dfrac{B}{(x - a)^2}$?

    És una potència, no un logaritme: $-\dfrac{B}{x - a} + C$. Només $\dfrac{A}{x - a}$ dona $A\ln|x - a|$.

17. 17. Què és la integral definida de f a $[a, b]$?

    Un nombre, no una funció. Geomètricament, és l'àrea amb signe entre la gràfica de f i l'eix horitzontal en aquell interval.

18. 18. Regla de Barrow?

    $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$, on F és una primitiva de f. No cal la constant: es cancel·la en restar.

19. 19. Pot sortir negativa una integral definida?

    Sí, quan la funció és per sota de l'eix horitzontal en aquell tram. Una àrea, en canvi, sempre és positiva.

20. 20. Com calcules l'àrea entre f i l'eix horitzontal si f canvia de signe a l'interval?

    Parteixes l'interval pels zeros de f, integres cada tram per separat i sumes els resultats en valor absolut.

21. 21. Quant val la integral d'una funció imparella en un interval simètric $[-a, a]$?

    Zero: la part de sota l'eix compensa la de sobre. Però l'àrea no és zero: per calcular-la cal partir l'interval.

22. 22. Primer pas per calcular l'àrea tancada entre dues corbes?

    Trobar-ne els punts de tall igualant les dues funcions: són els límits d'integració.

23. 23. Fórmula de l'àrea entre dues corbes f (la de dalt) i g (la de baix) entre els punts de tall a i b?

    $\int_a^b (f(x) - g(x))\,dx$: s'integra la de dalt menys la de baix. Un esbós previ t'ajuda a veure quina va per sobre.