Flashcards: Geometria a l'espai

Totes les targetes del tema

Per fer-hi una ullada ràpida o repassar-les en paper.

1. 1. Com obtens el vector que va del punt A al punt B?

   $\vec{AB} = B - A$: coordenades del punt final menys les de l'inicial. Fet a l'inrevés surt el vector oposat.

2. 2. Fórmula del mòdul del vector $\vec v = (a, b, c)$?

   $|\vec v| = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}$, Pitàgores en tres dimensions. Error típic: sumar les components sense elevar-les al quadrat.

3. 3. Com obtens un vector unitari amb la direcció de $\vec v$?

   Dividint $\vec v$ pel seu mòdul: $\dfrac{\vec v}{|\vec v|}$. El resultat té mòdul 1.

4. 4. Com es calcula el producte escalar de $\vec u = (a_1, b_1, c_1)$ i $\vec v = (a_2, b_2, c_2)$?

   $\vec u\cdot\vec v = a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2$. El resultat és un nombre.

5. 5. Quan són perpendiculars dos vectors?

   Si i només si el seu producte escalar és zero.

6. 6. Fórmula de l'angle entre dos vectors?

   $\cos\alpha = \dfrac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec u|\,|\vec v|}$. Si el producte escalar és negatiu, l'angle és obtús.

7. 7. Què dona el producte vectorial $\vec u\times\vec v$?

   Un vector perpendicular als dos alhora. És l'eina per trobar el vector normal d'un pla a partir de dues direccions.

8. 8. Què representa el mòdul $|\vec u\times\vec v|$?

   L'àrea del paral·lelogram que formen $\vec u$ i $\vec v$. La meitat és l'àrea del triangle.

9. 9. Què representa el valor absolut del producte mixt $[\vec u, \vec v, \vec w]$?

   El volum del paral·lelepípede que formen els tres vectors.

10. 10. Fórmula del volum del tetraedre de vèrtexs A, B, C i D?

    $V = \dfrac{1}{6}\,|[\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD}]|$. El tetraedre és un terç del prisma, que és la meitat del paral·lelepípede.

11. 11. Què vol dir que el producte mixt de tres vectors val zero?

    Que són coplanaris. Amb $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ i $\vec{AD}$, que els quatre punts A, B, C i D són al mateix pla.

12. 12. Quins dos elements determinen una recta a l'espai?

    Un punt de la recta i un vector director, que en marca la direcció.

13. 13. Equació contínua de la recta que passa per $P(x_0, y_0, z_0)$ amb director $(v_1, v_2, v_3)$?

    $\dfrac{x - x_0}{v_1} = \dfrac{y - y_0}{v_2} = \dfrac{z - z_0}{v_3}$.

14. 14. Què és el vector $(A, B, C)$ del pla $Ax + By + Cz + D = 0$?

    Un vector normal al pla, és a dir, perpendicular a ell. Error típic: confondre'l amb un vector director.

15. 15. Equació del pla que passa per $P(x_0, y_0, z_0)$ amb vector normal $(A, B, C)$?

    $A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$, i després en simplifiques els termes.

16. 16. Com trobes el pla que passa per tres punts no alineats A, B i C?

    Fas el vector normal $\vec n = \vec{AB}\times\vec{AC}$ i escrius el pla que passa per A amb aquest normal.

17. 17. Quines quatre posicions relatives poden tenir dues rectes a l'espai?

    Coincidents, paral·leles, secants (es tallen en un punt) o que s'encreuen (ni són paral·leles ni es tallen). L'últim cas només existeix a l'espai.

18. 18. Com saps si dues rectes s'encreuen?

    Amb A i B punts de cada recta i $\vec u$, $\vec v$ els directors: si $[\vec{AB}, \vec u, \vec v]\neq 0$, s'encreuen. Si val zero, són coplanàries: es tallen o són paral·leles.

19. 19. Com detectes si una recta és paral·lela a un pla o hi és continguda?

    El producte escalar del director de la recta pel normal del pla és zero. Després mires si un punt de la recta és al pla: si hi és, està continguda.

20. 20. Com distingeixes si dos plans són secants, paral·lels o coincidents?

    Si els normals no són proporcionals, són secants (es tallen en una recta). Si ho són i el terme independent manté la mateixa proporció, coincidents; si no, paral·lels.

21. 21. Com calcules l'angle entre dos plans?

    Com l'angle entre els seus vectors normals, amb el producte escalar en valor absolut per quedar-te amb l'angle agut: $\cos\alpha = \dfrac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1|\,|\vec n_2|}$.

22. 22. Com es relaciona l'angle entre una recta i un pla amb el director i el normal?

    És el complementari de l'angle que formen el director de la recta i el normal del pla.

23. 23. Fórmula de la distància del punt $P(x_0, y_0, z_0)$ al pla $Ax + By + Cz + D = 0$?

    $d = \dfrac{|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$. Mai és negativa: val zero si el punt és al pla.

24. 24. Fórmula de la distància d'un punt P a la recta que passa per A amb director $\vec d$?

    $\mathrm{dist} = \dfrac{|\vec{AP}\times\vec d|}{|\vec d|}$: l'àrea del paral·lelogram dividida per la base dona l'altura.

25. 25. Fórmula de la distància entre dues rectes que s'encreuen?

    $\mathrm{dist} = \dfrac{|[\vec{AB}, \vec u, \vec v]|}{|\vec u\times\vec v|}$, amb A i B punts de cada recta: el volum dividit per l'àrea de la base.

26. 26. Error típic: quants plans paral·lels a un pla donat hi ha a una distància k?

    Dos, un a cada costat del pla donat, tret que una altra condició (passar per un punt concret) en fixi un de sol.