Flashcards: Àlgebra lineal

Totes les targetes del tema

Per fer-hi una ullada ràpida o repassar-les en paper.

1. 1. Què vol dir que una matriu és de mida $m\times n$?

   Que té $m$ files i $n$ columnes. L'element $a_{ij}$ és el de la fila $i$ i la columna $j$.

2. 2. Què és la matriu identitat $I$?

   Una matriu quadrada amb 1 a la diagonal i 0 a la resta. Fa el paper de l'1 en el producte: $A\cdot I = A$.

3. 3. Quan es poden multiplicar dues matrius $A\cdot B$ i quina mida té el resultat?

   Quan el nombre de columnes de A coincideix amb el de files de B. Si A és $m\times n$ i B és $n\times p$, el producte és $m\times p$.

4. 4. Error típic: el producte de matrius és commutatiu?

   No: en general $A\cdot B \neq B\cdot A$. Fins i tot pot passar que un dels dos productes no estigui ni definit.

5. 5. Què és la matriu inversa $A^{-1}$?

   La matriu que compleix $A\cdot A^{-1} = A^{-1}\cdot A = I$. Només en poden tenir les matrius quadrades, i no totes.

6. 6. Com aïlles X a l'equació matricial $A\cdot X = B$?

   Multiplicant els dos costats per $A^{-1}$ per l'esquerra: $X = A^{-1}\cdot B$. L'ordre importa: $B\cdot A^{-1}$ seria incorrecte.

7. 7. Fórmula del determinant d'una matriu $2\times 2$ de files $(a, b)$ i $(c, d)$?

   $ad - bc$: el producte de la diagonal principal menys el de la secundària. Error típic: sumar-los.

8. 8. Com es calcula el determinant d'una matriu $3\times 3$?

   Amb la regla de Sarrus: productes de les diagonals descendents menys els de les ascendents. També es pot desenvolupar per una fila o una columna.

9. 9. Quina relació hi ha entre el determinant i la matriu inversa?

   Una matriu quadrada té inversa si i només si $\det(A)\neq 0$. Per saber quan no és invertible, iguales el determinant a zero.

10. 10. Quan pots dir que un determinant val zero sense calcular-lo?

    Quan té una fila (o columna) tota de zeros, o dues files (o columnes) iguals o proporcionals.

11. 11. Què passa amb el determinant si intercanvies dues files?

    Canvia de signe: conserva el valor absolut.

12. 12. Quant val el determinant del producte de dues matrius quadrades del mateix ordre?

    El producte dels determinants: $\det(A\cdot B) = \det(A)\cdot\det(B)$.

13. 13. Què és el rang d'una matriu?

    El nombre de files (o columnes) linealment independents: la informació «nova» que aporta. Una fila que és combinació d'altres no compta.

14. 14. Què és un menor i com et dona el rang?

    Un menor és el determinant d'una submatriu quadrada. El rang és l'ordre del menor no nul més gran que hi pots trobar.

15. 15. Error típic: una matriu $3\times 3$ té sempre rang 3?

    No: el rang no és la mida. Si $\det(A)=0$, el rang és menor que 3; si a més hi ha un menor $2\times 2$ no nul, és exactament 2.

16. 16. Què és la matriu ampliada $A|b$ d'un sistema $Ax = b$?

    La matriu de coeficients A amb la columna de termes independents b afegida al final.

17. 17. Quan es pot aplicar la regla de Cramer?

    Quan hi ha tantes equacions com incògnites i $\det(A)\neq 0$, perquè s'hi divideix. Si $\det(A)=0$, cal Gauss o l'estudi de rangs.

18. 18. Fórmula de Cramer per a la incògnita $x_i$?

    $x_i = \dfrac{\det(A_i)}{\det(A)}$, on $A_i$ és la matriu A amb la columna i substituïda per la de termes independents.

19. 19. En què consisteix el mètode de Gauss?

    Fer operacions amb les files fins a deixar el sistema escalonat i aïllar les incògnites de baix cap a dalt. Funciona sempre, també quan Cramer no es pot aplicar.

20. 20. Quins tres tipus de sistema hi ha segons les solucions?

    Compatible determinat (una única solució), compatible indeterminat (infinites solucions) i incompatible (cap solució).

21. 21. Rouché-Frobenius: quan és incompatible un sistema?

    Quan $\operatorname{rang}(A)\neq \operatorname{rang}(A|b)$.

22. 22. Rouché-Frobenius: quan és compatible determinat i quan indeterminat?

    Si $\operatorname{rang}(A) = \operatorname{rang}(A|b) = n$ (nombre d'incògnites), determinat. Si el rang comú és més petit que n, indeterminat, amb $n - \operatorname{rang}(A)$ paràmetres lliures.

23. 23. Primer pas per discutir un sistema $3\times 3$ que depèn d'un paràmetre?

    Calcular $\det(A)$ en funció del paràmetre i igualar-lo a zero: els valors que l'anul·len són els casos especials.

24. 24. En la discussió per paràmetre, què fas amb els valors que anul·len $\det(A)$?

    Els estudies a part, calculant amb menors $\operatorname{rang}(A)$ i $\operatorname{rang}(A|b)$ per distingir incompatible d'indeterminat. Per a la resta de valors, el sistema és compatible determinat.

25. 25. Interpretació geomètrica: què vol dir que un sistema de tres plans és compatible determinat?

    Que els tres plans es tallen en un únic punt.

26. 26. Tres equacions amb tres incògnites i $\operatorname{rang}(A) = \operatorname{rang}(A|b) = 2$: què passa geomètricament?

    Les solucions formen una recta: els tres plans tenen una recta en comú (per exemple, formen un feix de plans).

27. 27. Quina condició ha de complir una equació nova perquè el sistema mantingui una solució donada?

    Que aquella solució la verifiqui: substituint-hi els valors, la igualtat s'ha de complir. Si la solució era única i no la compleix, el sistema passa a ser incompatible.