Exercicis de vectors a l'espai — Matemàtiques 2n Batxillerat

En aquest tema repassaràs les eines amb vectors que necessitaràs després a tota la geometria de l'espai. Començaràs per les operacions bàsiques, el mòdul, els vectors unitaris i la dependència lineal, i aprendràs a decidir quan tres vectors formen una base. Després treballaràs els tres productes: l'escalar, per calcular angles, projeccions i comprovar perpendicularitats; el vectorial, per obtenir vectors perpendiculars i calcular àrees de paral·lelograms i triangles; i el mixt, per calcular volums de paral·lelepípedes i tetraedres i comprovar si quatre punts són coplanaris. Els exercicis avançats inclouen paràmetres, demostracions curtes i raonaments a l'estil PAU. Vigila els errors típics: confondre el producte escalar (un nombre) amb el vectorial (un vector), equivocar un signe al determinant del producte vectorial i oblidar el factor 1/6 en el volum del tetraedre.

Tens examen d'aquest tema? Fes un simulacre de 60 minuts com el de l'institut, amb solucions i criteris de correcció.Fes el simulacre →

Nivell bàsic

Exercici 1

Donats els vectors u = (1, −2, 3) i v = (2, 0, −1), calcula u + v, 2u − 3v i el mòdul d'u.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 1

Resultat

\vec u+\vec v=(3,\,-2,\,2)

;

2\vec u-3\vec v=(-4,\,-4,\,9)

;

|\vec u|=\sqrt{14}\approx3{,}74

Resolució

Dades. $\vec u=(1,-2,3)$ i $\vec v=(2,0,-1)$ . Les operacions amb vectors es fan component a component.
Suma. $\vec u+\vec v=(1+2,\ -2+0,\ 3+(-1))=(3,\,-2,\,2)$
Combinació lineal. Primer multiplica per cada escalar: $2\vec u=(2,-4,6)$ i $3\vec v=(6,0,-3)$ . Després resta: $2\vec u-3\vec v=(2-6,\ -4-0,\ 6+3)=(-4,\,-4,\,9)$ Error típic: en restar $3\vec v$ , oblidar que $-3\cdot(-1)=+3$ a la tercera component.
Mòdul. $|\vec u|=\sqrt{u_1^{2}+u_2^{2}+u_3^{2}}=\sqrt{1^{2}+(-2)^{2}+3^{2}}=\sqrt{1+4+9}=\sqrt{14}\approx3{,}74$ .

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 2

Calcula el producte escalar de u = (1, 1, 1) i v = (1, 1, 0) i l'angle que formen.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 2

Resultat

\vec u\cdot\vec v=2

;

\alpha\approx35{,}26^\circ

Resolució

Dades. $\vec u=(1,1,1)$ i $\vec v=(1,1,0)$ . Volem el producte escalar i l'angle que formen.
Producte escalar. $\vec u\cdot\vec v=1\cdot1+1\cdot1+1\cdot0=2$ . Mòduls: $|\vec u|=\sqrt3$ i $|\vec v|=\sqrt2$ .
Angle entre vectors. $\cos\alpha=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec u|\,|\vec v|}=\dfrac{2}{\sqrt3\cdot\sqrt2}=\dfrac{2}{\sqrt6}\approx0{,}8165$
Conclusió. $\alpha=\arccos(0{,}8165)\approx35{,}26^\circ$ . Fixa't que, com que el producte escalar és positiu, ja sabies que l'angle havia de ser agut.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 3

Troba el valor de k perquè els vectors u = (1, k, 2) i v = (k, 2, -3) siguin perpendiculars.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 3

Resultat

k=2

Resolució

Condició de perpendicularitat. Dos vectors no nuls són perpendiculars si i només si el seu producte escalar és zero.
Producte escalar. $\vec u\cdot\vec v=1\cdot k+k\cdot2+2\cdot(-3)=3k-6$ .
Càlcul. $3k-6=0\Rightarrow k=2$ .
Comprovació. Amb $k=2$ : $\vec u=(1,2,2)$ , $\vec v=(2,2,-3)$ i $\vec u\cdot\vec v=2+4-6=0$ .

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 4

Troba els dos vectors unitaris que tenen la mateixa direcció que u = (6, −2, 3).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 4

Resultat

\left(\tfrac67,\,-\tfrac27,\,\tfrac37\right)

\left(-\tfrac67,\,\tfrac27,\,-\tfrac37\right)

Resolució

Plantejament. Un vector unitari de la mateixa direcció que $\vec u$ s'obté dividint $\vec u$ pel seu mòdul; l'altre és el seu oposat (sentit contrari).
Mòdul. $|\vec u|=\sqrt{36+4+9}=\sqrt{49}=7$ .
Vectors unitaris. Mateix sentit: $\dfrac{\vec u}{|\vec u|}=\left(\tfrac67,-\tfrac27,\tfrac37\right)$ . Sentit contrari: $\left(-\tfrac67,\tfrac27,-\tfrac37\right)$ .
Comprovació. $\left(\tfrac67\right)^{2}+\left(\tfrac27\right)^{2}+\left(\tfrac37\right)^{2}=\dfrac{36+4+9}{49}=1$

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 5

Calcula el producte vectorial u × v de u = (1, 2, 0) i v = (0, 1, 3), i comprova que el resultat és perpendicular a u i a v.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 5

Resultat

\vec u\times\vec v=(6,\,-3,\,1)

, perpendicular a

\vec u

i a

\vec v

Resolució

Determinant simbòlic. El producte vectorial es calcula amb el determinant de files $(\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$ , $(1,2,0)$ i $(0,1,3)$ : $\vec u\times\vec v=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\1&2&0\\0&1&3\end{vmatrix}$
Càlcul. $\vec u\times\vec v=(2\cdot3-0\cdot1,\ 0\cdot0-1\cdot3,\ 1\cdot1-2\cdot0)=(6,\,-3,\,1)$ . Error típic: el signe de la segona component; recorda que és $-(1\cdot3-0\cdot0)=-3$ .
Comprovació. $(6,-3,1)\cdot(1,2,0)=6-6+0=0$ i $(6,-3,1)\cdot(0,1,3)=0-3+3=0$ .
Conclusió. Els dos productes escalars són zero: $\vec u\times\vec v$ és perpendicular a tots dos vectors, com ha de passar sempre.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 6

Calcula l'àrea del paral·lelogram determinat pels vectors u = (3, 4, 0) i v = (0, 0, 2), i explica per què el resultat també es pot obtenir sense producte vectorial.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 6

Resultat

Àrea

=10

unitats quadrades;

\vec u\perp\vec v

, i el paral·lelogram és un rectangle de costats 5 i 2.

Resolució

Àrea i producte vectorial. L'àrea del paral·lelogram determinat per $\vec u$ i $\vec v$ és $|\vec u\times\vec v|$ .
Càlcul. $\vec u\times\vec v=(4\cdot2-0\cdot0,\ 0\cdot0-3\cdot2,\ 3\cdot0-4\cdot0)=(8,\,-6,\,0)$ , i $|\vec u\times\vec v|=\sqrt{64+36+0}=\sqrt{100}=10$ unitats quadrades.
Sense producte vectorial. $\vec u\cdot\vec v=0$ : els vectors són perpendiculars i el paral·lelogram és un rectangle de costats $|\vec u|=5$ i $|\vec v|=2$ . Àrea $=5\cdot2=10$ .
Conclusió. En general, $|\vec u\times\vec v|=|\vec u|\,|\vec v|\sin\alpha$ ; aquí $\sin90^\circ=1$ i tots dos camins donen el mateix.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 7

Calcula el producte mixt [u, v, w] dels vectors u = (1, 0, 2), v = (0, 1, 1) i w = (2, 1, 0), i dedueix el volum del paral·lelepípede que determinen.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 7

Resultat

[\vec u,\vec v,\vec w]=-5

; volum

V=5

unitats cúbiques

Resolució

Producte mixt. $[\vec u,\vec v,\vec w]$ és el determinant de la matriu de files $(1,0,2)$ , $(0,1,1)$ i $(2,1,0)$ .
Càlcul. Desenvolupant per la primera fila: $\begin{vmatrix}1&0&2\\0&1&1\\2&1&0\end{vmatrix}=1\cdot(1\cdot0-1\cdot1)-0+2\cdot(0\cdot1-1\cdot2)=-1-4=-5$
Volum. El volum del paral·lelepípede és el valor absolut del producte mixt: $V=|-5|=5$ unitats cúbiques.
Conclusió. El signe negatiu només indica l'orientació dels tres vectors; el volum sempre és positiu.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 8

Raona si els vectors u = (1, -1, 2), v = (2, 1, 0) i w = (4, -1, 4) són linealment dependents o independents.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 8

Resultat

Són linealment dependents:

\det=0

\vec w=2\vec u+\vec v

Resolució

Criteri. Tres vectors de l'espai són linealment independents si i només si el determinant que formen és diferent de zero.
Càlcul. $\begin{vmatrix}1&-1&2\\2&1&0\\4&-1&4\end{vmatrix}=1\cdot(4-0)-(-1)\cdot(8-0)+2\cdot(-2-4)=4+8-12=0$
Conclusió. Són linealment dependents: un d'ells és combinació lineal dels altres i, per tant, no formen una base de l'espai.
Comprovació. $2\vec u+\vec v=(2,-2,4)+(2,1,0)=(4,-1,4)=\vec w$ .

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 9

De dos vectors u i v se sap que |u| = 3, |v| = 2 i que formen un angle de 60°. Calcula u·v, u·u i (u + v)·(u − v).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 9

Resultat

\vec u\cdot\vec v=3

;

\vec u\cdot\vec u=9

;

(\vec u+\vec v)\cdot(\vec u-\vec v)=5

Resolució

Dades. $|\vec u|=3$ , $|\vec v|=2$ i l'angle entre ells és $60^\circ$ . No cal conèixer les components: n'hi ha prou amb les propietats del producte escalar.
Definició del producte escalar. $\vec u\cdot\vec v=|\vec u|\,|\vec v|\cos60^\circ=3\cdot2\cdot\tfrac12=3$ .
Producte d'un vector per ell mateix. $\vec u\cdot\vec u=|\vec u|^{2}=9$ (l'angle d'un vector amb ell mateix és $0^\circ$ i $\cos0^\circ=1$ ).
Propietat distributiva. $(\vec u+\vec v)\cdot(\vec u-\vec v)=\vec u\cdot\vec u-\vec u\cdot\vec v+\vec v\cdot\vec u-\vec v\cdot\vec v=|\vec u|^{2}-|\vec v|^{2}=9-4=5$ Els termes creuats es cancel·len perquè el producte escalar és commutatiu.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 10

Donats els punts A(1, 0, 2), B(3, 1, 1) i C(4, 3, 0), troba el punt D perquè ABCD (en aquest ordre) sigui un paral·lelogram.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 10

Resultat

D(2,\,2,\,1)

Resolució

Propietat del paral·lelogram. En un paral·lelogram $ABCD$ , els costats oposats són vectors iguals: $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$ (i també $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$ ).
Càlcul. $\overrightarrow{AB}=B-A=(2,1,-1)$ . Com que $\overrightarrow{DC}=C-D$ ha de valer $(2,1,-1)$ : $D=C-\overrightarrow{AB}=(4-2,\ 3-1,\ 0+1)=(2,\,2,\,1)$
Comprovació. Amb l'altra parella: $\overrightarrow{AD}=D-A=(1,2,-1)$ i $\overrightarrow{BC}=C-B=(1,2,-1)$ , iguals.
Compte. Error típic: fer $D=A+\overrightarrow{AB}$ o confondre l'ordre dels vèrtexs; dibuixa'n un esquema per no equivocar l'ordre.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell intermedi

Exercici 11

Comprova que u = (1, 0, 1), v = (0, 1, 1) i t = (1, 1, 0) formen una base de l'espai i expressa el vector w = (4, 3, 5) com a combinació lineal d'ells.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 11

Resultat

Formen base (

\det=-2\neq0

);

\vec w=3\vec u+2\vec v+\vec t

, coordenades

(3,\,2,\,1)

Resolució

Criteri de base. $\begin{vmatrix}1&0&1\\0&1&1\\1&1&0\end{vmatrix}=1\cdot(0-1)-0+1\cdot(0-1)=-2\neq0$ Són independents i, com que són tres vectors en un espai de dimensió 3, formen una base.
Plantejament. Busquem $a,b,c$ amb $a\vec u+b\vec v+c\vec t=\vec w$ : $(a+c,\ b+c,\ a+b)=(4,3,5)$ , és a dir, $a+c=4$ , $b+c=3$ , $a+b=5$ .
Resolució del sistema. Sumant les tres equacions, $2(a+b+c)=12\Rightarrow a+b+c=6$ . Restant-hi cada equació: $b=2$ , $a=3$ , $c=1$ .
Conclusió. $\vec w=3\vec u+2\vec v+\vec t$ : les coordenades de $\vec w$ en aquesta base són $(3,2,1)$ .
Comprovació. $3(1,0,1)+2(0,1,1)+(1,1,0)=(3+1,\ 2+1,\ 3+2)=(4,3,5)$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 12

Calcula la projecció escalar i la projecció vectorial del vector u = (2, 3, -1) sobre el vector v = (1, 2, 2).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 12

Resultat

Projecció escalar

=2

; projecció vectorial

=\left(\tfrac23,\,\tfrac43,\,\tfrac43\right)

Resolució

Dades. $\vec u\cdot\vec v=2\cdot1+3\cdot2+(-1)\cdot2=2+6-2=6$ i $|\vec v|=\sqrt{1+4+4}=3$ .
Projecció escalar. És la longitud (amb signe) de l'«ombra» de $\vec u$ sobre la direcció de $\vec v$ : $\operatorname{proj}_{\vec v}\vec u=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec v|}=\dfrac63=2$
Projecció vectorial. És el vector de mòdul 2 en la direcció de $\vec v$ : $\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec v|^{2}}\,\vec v=\dfrac69\,(1,2,2)=\left(\tfrac23,\tfrac43,\tfrac43\right)$
Comprovació. El mòdul de $\left(\tfrac23,\tfrac43,\tfrac43\right)$ és $\tfrac{\sqrt{4+16+16}}{3}=\tfrac{\sqrt{36}}{3}=2$ , i $\vec u$ menys la projecció, $\left(\tfrac43,\tfrac53,-\tfrac73\right)$ , és perpendicular a $\vec v$ : $\tfrac43+\tfrac{10}3-\tfrac{14}3=0$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 13

Determina el valor de a perquè els vectors u = (a, 1, 1) i v = (1, 1, 0) formin un angle de 60°. Comprova si totes les solucions de l'equació que obtinguis són vàlides.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 13

Resultat

a=0

(la solució

a=-4

no és vàlida: dona un angle de

120^\circ

Resolució

Angle entre vectors. $\vec u\cdot\vec v=a+1$ , $|\vec u|=\sqrt{a^{2}+2}$ , $|\vec v|=\sqrt2$ . Imposem $\cos60^\circ=\tfrac12$ : $\dfrac{a+1}{\sqrt{a^{2}+2}\cdot\sqrt2}=\dfrac12\ \Rightarrow\ 2(a+1)=\sqrt{2a^{2}+4}$
Condició de signe. Com que l'arrel és positiva, cal $a+1\gt 0$ .
Càlcul. Elevant al quadrat: $4(a+1)^{2}=2a^{2}+4\Rightarrow4a^{2}+8a+4=2a^{2}+4\Rightarrow2a^{2}+8a=0\Rightarrow a=0$ o $a=-4$ .
Comprovació de les solucions. $a=-4$ no és vàlida: aleshores $\vec u\cdot\vec v=-3\lt 0$ i l'angle seria obtús (de fet, $120^\circ$ ); és una solució falsa introduïda en elevar al quadrat.
Conclusió. $a=0$ . Comprovació: $\vec u=(0,1,1)$ , $\vec u\cdot\vec v=1$ , $|\vec u|=|\vec v|=\sqrt2$ , $\cos\alpha=\tfrac12$ i $\alpha=60^\circ$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 14

Troba un vector unitari que sigui perpendicular alhora a u = (1, 0, -1) i a v = (2, 1, 0). Quants n'hi ha?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 14

Resultat

\pm\dfrac{1}{\sqrt6}(1,\,-2,\,1)\approx\pm(0{,}41;\ -0{,}82;\ 0{,}41)

; n'hi ha exactament dos.

Resolució

Producte vectorial. $\vec u\times\vec v$ dona una direcció perpendicular a tots dos: $\vec u\times\vec v=(0\cdot0-(-1)\cdot1,\ (-1)\cdot2-1\cdot0,\ 1\cdot1-0\cdot2)=(1,\,-2,\,1)$
Normalització. $|\vec u\times\vec v|=\sqrt{1+4+1}=\sqrt6$ , i el vector unitari és $\dfrac{(1,-2,1)}{\sqrt6}=\left(\tfrac1{\sqrt6},-\tfrac2{\sqrt6},\tfrac1{\sqrt6}\right)\approx(0{,}41;\ -0{,}82;\ 0{,}41)$ .
Quants n'hi ha. Exactament dos: aquest i el seu oposat, $\left(-\tfrac1{\sqrt6},\tfrac2{\sqrt6},-\tfrac1{\sqrt6}\right)$ , perquè la direcció perpendicular a dos vectors independents és única i només en queden els dos sentits.
Comprovació. $(1,-2,1)\cdot(1,0,-1)=1-1=0$ i $(1,-2,1)\cdot(2,1,0)=2-2=0$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 15

Calcula l'àrea del triangle de vèrtexs A(1, 1, 0), B(3, 2, 1) i C(2, 0, 2) fent servir el producte vectorial.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 15

Resultat

Àrea

=\dfrac{3\sqrt3}{2}\approx2{,}60

unitats quadrades

Resolució

Vectors dels costats. Des de $A$ : $\overrightarrow{AB}=(2,1,1)$ i $\overrightarrow{AC}=(1,-1,2)$ .
Producte vectorial. $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(1\cdot2-1\cdot(-1),\ 1\cdot1-2\cdot2,\ 2\cdot(-1)-1\cdot1)=(3,\,-3,\,-3)$ , de mòdul $\sqrt{9+9+9}=\sqrt{27}=3\sqrt3$ (àrea del paral·lelogram).
Àrea del triangle. $S=\tfrac12\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|=\dfrac{3\sqrt3}{2}\approx2{,}60\ \text{u}^{2}$
Compte. Error típic: oblidar dividir per 2; el producte vectorial dona l'àrea del paral·lelogram, que és el doble de la del triangle.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 16

Donat el tetraedre de vèrtexs A(1, 0, 1), B(3, 2, 2), C(2, −2, 3) i D(3, −1, −1), calcula el seu volum, l'àrea de la cara ABC i l'altura des del vèrtex D sobre aquesta cara.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 16

Resultat

V=\tfrac92=4{,}5

unitats cúbiques; àrea

ABC=\tfrac92=4{,}5

unitats quadrades; altura

h=3

unitats

Resolució

Vectors des d'A. $\overrightarrow{AB}=(2,2,1)$ , $\overrightarrow{AC}=(1,-2,2)$ , $\overrightarrow{AD}=(2,-1,-2)$ .
Volum del tetraedre. És $\tfrac16$ del valor absolut del producte mixt: $\begin{vmatrix}2&2&1\\1&-2&2\\2&-1&-2\end{vmatrix}=2\cdot(4+2)-2\cdot(-2-4)+1\cdot(-1+4)=12+12+3=27$ $V=\tfrac{|27|}{6}=\tfrac92=4{,}5$ unitats cúbiques.
Àrea de la cara ABC. $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(2\cdot2-1\cdot(-2),\ 1\cdot1-2\cdot2,\ 2\cdot(-2)-2\cdot1)=(6,-3,-6)$ , de mòdul $\sqrt{36+9+36}=9$ . Àrea $=\tfrac92=4{,}5$ unitats quadrades.
Altura. $V=\tfrac13\cdot\text{àrea}\cdot h\Rightarrow h=\dfrac{3V}{\text{àrea}}=\dfrac{3\cdot4{,}5}{4{,}5}=3$ unitats.
Comprovació. La projecció d' $\overrightarrow{AD}$ sobre la normal unitària $\tfrac{(6,-3,-6)}{9}$ val $\tfrac{12+3+12}{9}=3$ , que és la distància de $D$ al pla de la cara.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 17

Comprova, amb el producte mixt, si els punts A(1, 0, 0), B(0, 1, 0), C(0, 0, 1) i D(1, 1, -1) són coplanaris.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 17

Resultat

Sí, són coplanaris:

[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}]=0

Resolució

Criteri. Quatre punts són coplanaris si els vectors $\overrightarrow{AB}$ , $\overrightarrow{AC}$ i $\overrightarrow{AD}$ són linealment dependents, és a dir, si el seu producte mixt és zero (el tetraedre tindria volum zero).
Vectors. $\overrightarrow{AB}=(-1,1,0)$ , $\overrightarrow{AC}=(-1,0,1)$ , $\overrightarrow{AD}=(0,1,-1)$ .
Producte mixt. $\begin{vmatrix}-1&1&0\\-1&0&1\\0&1&-1\end{vmatrix}=-1\cdot(0\cdot(-1)-1\cdot1)-1\cdot((-1)\cdot(-1)-1\cdot0)+0=1-1=0$
Conclusió. Són coplanaris. De fet, $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$ : $(-1,1,0)-(-1,0,1)=(0,1,-1)$ . Els quatre punts són al pla $x+y+z=1$ , com pots comprovar substituint.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 18

De dos vectors u i v només se sap que u × v = (1, -2, 2). Calcula, raonant quina propietat fas servir: v × u, (2u) × v, u × (u + v), |u × v| i u·(u × v).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 18

Resultat

\vec v\times\vec u=(-1,2,-2)

;

(2\vec u)\times\vec v=(2,-4,4)

;

\vec u\times(\vec u+\vec v)=(1,-2,2)

;

|\vec u\times\vec v|=3

;

\vec u\cdot(\vec u\times\vec v)=0

Resolució

Anticommutativitat. $\vec v\times\vec u=-(\vec u\times\vec v)=(-1,2,-2)$ .
Escalars. Els escalars surten fora del producte: $(2\vec u)\times\vec v=2(\vec u\times\vec v)=(2,-4,4)$ .
Propietat distributiva. $\vec u\times(\vec u+\vec v)=\vec u\times\vec u+\vec u\times\vec v=\vec 0+(1,-2,2)=(1,-2,2)$ , perquè el producte vectorial d'un vector per ell mateix és el vector nul.
Mòdul. $|\vec u\times\vec v|=\sqrt{1+4+4}=3$ : és l'àrea del paral·lelogram que formen $\vec u$ i $\vec v$ .
Perpendicularitat. $\vec u\cdot(\vec u\times\vec v)=0$ , perquè $\vec u\times\vec v$ és perpendicular a $\vec u$ (i també a $\vec v$ ).

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 19

Troba tots els vectors de la forma w = (1, a, b) que són ortogonals a u = (2, -1, 1) i tenen mòdul $\sqrt{11}$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 19

Resultat

\vec w=(1,\,3,\,1)

\vec w=(1,\,-1,\,-3)

Resolució

Ortogonalitat. $\vec w\cdot\vec u=2-a+b=0\Rightarrow b=a-2$ .
Mòdul. $1+a^{2}+b^{2}=11\Rightarrow1+a^{2}+(a-2)^{2}=11\Rightarrow2a^{2}-4a+5=11\Rightarrow a^{2}-2a-3=0\Rightarrow a=3$ o $a=-1$ .
Solucions. Si $a=3$ , $b=1$ : $\vec w=(1,3,1)$ . Si $a=-1$ , $b=-3$ : $\vec w=(1,-1,-3)$ .
Comprovació. $(1,3,1)\cdot(2,-1,1)=2-3+1=0$ i $|(1,3,1)|=\sqrt{11}$ ; $(1,-1,-3)\cdot(2,-1,1)=2+1-3=0$ i $|(1,-1,-3)|=\sqrt{11}$ .
Interpretació. Hi ha dues solucions perquè els vectors ortogonals a $\vec u$ formen un pla, i en aquest pla hi ha dos vectors amb primera component 1 i el mòdul demanat.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 20

Comprova que els vectors $e_{1}$ = ( $\tfrac{1}{\sqrt{2}}$ , $\tfrac{1}{\sqrt{2}}$ , 0), $e_{2}$ = (− $\tfrac{1}{\sqrt{2}}$ , $\tfrac{1}{\sqrt{2}}$ , 0) i $e_{3}$ = (0, 0, 1) formen una base ortonormal, i troba les coordenades del vector w = ( $\sqrt{2}$ , 0, 3) en aquesta base.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 20

Resultat

És una base ortonormal; coordenades de

\vec w

(1,\,-1,\,3)

, és a dir,

\vec w=e_{1}-e_{2}+3e_{3}

Resolució

Ortogonals dos a dos. $e_{1}\cdot e_{2}=-\tfrac12+\tfrac12+0=0$ ; $e_{1}\cdot e_{3}=0$ ; $e_{2}\cdot e_{3}=0$ .
Unitaris. $|e_{1}|=\sqrt{\tfrac12+\tfrac12}=1$ , $|e_{2}|=1$ , $|e_{3}|=1$ . Tres vectors ortogonals no nuls són independents, així que formen una base ortonormal.
Coordenades en una base ortonormal. Cada coordenada és el producte escalar del vector pel vector de la base: $\vec w\cdot e_{1}=\tfrac{\sqrt2}{\sqrt2}=1$ ; $\vec w\cdot e_{2}=-\tfrac{\sqrt2}{\sqrt2}=-1$ ; $\vec w\cdot e_{3}=3$ .
Conclusió. Les coordenades de $\vec w$ són $(1,-1,3)$ : $\vec w=e_{1}-e_{2}+3e_{3}$ .
Comprovació. $e_{1}-e_{2}=\left(\tfrac{2}{\sqrt2},0,0\right)=(\sqrt2,0,0)$ , i sumant $3e_{3}$ surt $(\sqrt2,0,3)$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 21

Calcula els cosinus directors del vector u = (2, −1, 2), és a dir, els cosinus dels angles que forma amb els tres eixos de coordenades, i comprova que la suma dels seus quadrats és 1. Dona també els tres angles.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 21

Resultat

\cos\alpha=\tfrac23

\cos\beta=-\tfrac13

\cos\gamma=\tfrac23

; suma de quadrats

=1

;

\alpha\approx48{,}19^\circ

\beta\approx109{,}47^\circ

\gamma\approx48{,}19^\circ

Resolució

Cosinus directors. $|\vec u|=\sqrt{4+1+4}=3$ . L'angle amb cada eix es calcula amb el vector unitari de l'eix: $\cos\alpha=\tfrac{\vec u\cdot\vec\imath}{|\vec u|}=\tfrac23$ , $\cos\beta=\tfrac{\vec u\cdot\vec\jmath}{|\vec u|}=-\tfrac13$ , $\cos\gamma=\tfrac{\vec u\cdot\vec k}{|\vec u|}=\tfrac23$ .
Suma de quadrats. $\tfrac49+\tfrac19+\tfrac49=\tfrac99=1$ . Sempre passa, perquè $(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma)=\tfrac{\vec u}{|\vec u|}$ és un vector unitari.
Angles. $\alpha=\arccos\tfrac23\approx48{,}19^\circ$ ; $\beta=\arccos\left(-\tfrac13\right)\approx109{,}47^\circ$ (obtús, perquè la component és negativa); $\gamma\approx48{,}19^\circ$ .
Interpretació. Fixa't que els angles no sumen $180^\circ$ : no són angles d'un triangle, sinó inclinacions respecte de tres direccions perpendiculars.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell avançat

Exercici 22

Donats u = (1, 2, -1) i v = (0, 1, 1), troba els vectors w que són perpendiculars a u i a v i tals que el paral·lelepípede determinat per u, v i w té volum 22.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 22

Resultat

\vec w=(6,\,-2,\,2)

\vec w=(-6,\,2,\,-2)

Resolució

Direcció perpendicular. Tot vector perpendicular a $\vec u$ i a $\vec v$ és proporcional a $\vec u\times\vec v=(2\cdot1-(-1)\cdot1,\ (-1)\cdot0-1\cdot1,\ 1\cdot1-2\cdot0)=(3,\,-1,\,1)$ Escrivim $\vec w=\lambda(3,-1,1)$ .
Volum amb el producte mixt. $V=|[\vec u,\vec v,\vec w]|=|(\vec u\times\vec v)\cdot\vec w|=|\lambda|\,|\vec u\times\vec v|^{2}=|\lambda|\,(9+1+1)=11|\lambda|$
Càlcul. $11|\lambda|=22\Rightarrow\lambda=2$ o $\lambda=-2$ . Solucions: $\vec w=(6,-2,2)$ i $\vec w=(-6,2,-2)$ .
Comprovació. Amb $\vec w=(6,-2,2)$ : $\begin{vmatrix}1&2&-1\\0&1&1\\6&-2&2\end{vmatrix}=1\cdot(2+2)-2\cdot(0-6)+(-1)\cdot(0-6)=4+12+6=22$
Interpretació. Com que $\vec w$ és perpendicular a la base formada per $\vec u$ i $\vec v$ , el volum és l'àrea de la base ( $\sqrt{11}$ ) per l'altura ( $|\vec w|=2\sqrt{11}$ ): $\sqrt{11}\cdot2\sqrt{11}=22$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 23

a) Demostra, amb les propietats del producte escalar, la identitat |u + v|² + |u − v|² = 2(|u|² + |v|²) (llei del paral·lelogram).
b) Si |u| = 3, |v| = 4 i |u + v| = 5, calcula |u − v| i l'angle que formen u i v.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 23

Apartat a)

Resultat

|\vec u+\vec v|^{2}+|\vec u-\vec v|^{2}=2\left(|\vec u|^{2}+|\vec v|^{2}\right)

: els termes

2\,\vec u\cdot\vec v

es cancel·len en sumar.

Resolució

Mòdul i producte escalar. Fes servir $|\vec p|^{2}=\vec p\cdot\vec p$ i la propietat distributiva: $|\vec u+\vec v|^{2}=(\vec u+\vec v)\cdot(\vec u+\vec v)=|\vec u|^{2}+2\,\vec u\cdot\vec v+|\vec v|^{2}$
Diferència. $|\vec u-\vec v|^{2}=(\vec u-\vec v)\cdot(\vec u-\vec v)=|\vec u|^{2}-2\,\vec u\cdot\vec v+|\vec v|^{2}$
Suma. Els termes $2\,\vec u\cdot\vec v$ es cancel·len: $|\vec u+\vec v|^{2}+|\vec u-\vec v|^{2}=2|\vec u|^{2}+2|\vec v|^{2}$ .
Interpretació geomètrica. En un paral·lelogram, la suma dels quadrats de les diagonals és igual a la suma dels quadrats dels quatre costats.

Apartat b)

Resultat

|\vec u-\vec v|=5

;

\vec u\cdot\vec v=0

, angle

=90^\circ

Resolució

Llei del paral·lelogram. $|\vec u-\vec v|^{2}=2(9+16)-25=25\Rightarrow|\vec u-\vec v|=5$ .
Producte escalar. De $|\vec u+\vec v|^{2}=|\vec u|^{2}+2\,\vec u\cdot\vec v+|\vec v|^{2}$ : $25=9+2\,\vec u\cdot\vec v+16\Rightarrow\vec u\cdot\vec v=0$ .
Angle. $\cos\alpha=0\Rightarrow\alpha=90^\circ$ : els vectors són perpendiculars.
Interpretació. El paral·lelogram és un rectangle $3\times4$ amb diagonals de 5, com el triangle rectangle 3-4-5.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 24

Considera els punts A(1, 0, 0), B(0, 2, 0), C(0, 0, 3) i D(1, 1, k).
a) Expressa en funció de k el volum del tetraedre ABCD.
b) Troba els valors de k per als quals el volum és 2.
c) Per a quin valor de k els quatre punts són coplanaris?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 24

Apartat a)

Resultat

V(k)=\dfrac{|2k+3|}{6}

Resolució

Vectors des d'A. $\overrightarrow{AB}=(-1,2,0)$ , $\overrightarrow{AC}=(-1,0,3)$ , $\overrightarrow{AD}=(0,1,k)$ .
Producte mixt. $\begin{vmatrix}-1&2&0\\-1&0&3\\0&1&k\end{vmatrix}=-1\cdot(0\cdot k-3\cdot1)-2\cdot((-1)\cdot k-3\cdot0)+0=3+2k$
Volum del tetraedre. És $\tfrac16$ del valor absolut del producte mixt: $V(k)=\dfrac{|3+2k|}{6}$ .

Apartat b)

Resultat

k=\tfrac92=4{,}5

k=-\tfrac{15}{2}=-7{,}5

Resolució

Equació. $\dfrac{|3+2k|}{6}=2\Rightarrow|3+2k|=12$ .
Valor absolut. $3+2k=12\Rightarrow k=4{,}5$ , o bé $3+2k=-12\Rightarrow k=-7{,}5$ . No oblidis cap dels dos signes.

Apartat c)

Resultat

k=-\tfrac32=-1{,}5

Resolució

Coplanaritat. Els quatre punts són coplanaris quan el volum és zero: $3+2k=0\Rightarrow k=-1{,}5$ . Aleshores $D(1,\,1,\,-1{,}5)$ és al pla que passa per $A$ , $B$ i $C$ .
Comprovació. El pla $ABC$ és $6x+3y+2z=6$ (talla els eixos en 1, 2 i 3), i $6\cdot1+3\cdot1+2\cdot(-1{,}5)=6$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 25

Troba el vector w = (a, b, c) sabent que w × j = (−1, 0, 2), on j = (0, 1, 0), que |w| = 3 i que w forma un angle agut amb j.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 25

Resultat

\vec w=(2,\,2,\,1)

Resolució

Producte vectorial. $\vec w\times\vec\jmath=(b\cdot0-c\cdot1,\ c\cdot0-a\cdot0,\ a\cdot1-b\cdot0)=(-c,\,0,\,a)$ .
Igualació. Amb $(-1,0,2)$ : $c=1$ i $a=2$ . Fixa't que la component $b$ no queda determinada pel producte vectorial (els vectors $\vec w$ i $\vec w+\lambda\vec\jmath$ tenen el mateix producte amb $\vec\jmath$ ).
Mòdul. $a^{2}+b^{2}+c^{2}=9\Rightarrow4+b^{2}+1=9\Rightarrow b^{2}=4\Rightarrow b=\pm2$ .
Angle agut. L'angle amb $\vec\jmath$ és agut si $\vec w\cdot\vec\jmath=b\gt0$ , per tant $b=2$ .
Conclusió i comprovació. $\vec w=(2,2,1)$ : $(2,2,1)\times(0,1,0)=(2\cdot0-1\cdot1,\ 1\cdot0-2\cdot0,\ 2\cdot1-2\cdot0)=(-1,0,2)$ i $|\vec w|=\sqrt9=3$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 26

Donat el triangle de vèrtexs A(1, 2, 3), B(3, 2, 1) i C(2, 5, 2):
a) Calcula'n l'àrea.
b) Calcula l'altura corresponent al vèrtex C (sobre el costat AB).
c) Classifica el triangle segons els costats.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 26

Apartat a)

Resultat

Àrea

=3\sqrt2\approx4{,}24

unitats quadrades

Resolució

Vectors. $\overrightarrow{AB}=(2,0,-2)$ i $\overrightarrow{AC}=(1,3,-1)$ .
Producte vectorial. $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(0\cdot(-1)-(-2)\cdot3,\ (-2)\cdot1-2\cdot(-1),\ 2\cdot3-0\cdot1)=(6,0,6)$ , de mòdul $\sqrt{72}=6\sqrt2$ .
Àrea del triangle. $S=\tfrac12\cdot6\sqrt2=3\sqrt2\approx4{,}24$ unitats quadrades.

Apartat b)

Resultat

h_C=3

unitats

Resolució

Àrea amb base i altura. $S=\tfrac12|\overrightarrow{AB}|\,h$ , amb $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{4+0+4}=2\sqrt2$ .
Càlcul. $h=\dfrac{2S}{|\overrightarrow{AB}|}=\dfrac{6\sqrt2}{2\sqrt2}=3$ unitats. (Equivalentment, $h=\dfrac{|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{AB}|}$ .)
Comprovació. Com que el triangle és isòsceles amb $AC=BC$ (apartat c), l'altura des de $C$ cau al punt mitjà d' $AB$ , $M(2,2,2)$ , i $|\overrightarrow{MC}|=|(0,3,0)|=3$ .

Apartat c)

Resultat

Triangle isòsceles:

|AC|=|BC|=\sqrt{11}

|AB|=2\sqrt2

Resolució

Costats. $|AB|=2\sqrt2\approx2{,}83$ ; $|AC|=\sqrt{1+9+1}=\sqrt{11}\approx3{,}32$ ; $|BC|=|(-1,3,1)|=\sqrt{11}$ .
Conclusió. Té dos costats iguals: és un triangle isòsceles (de base $AB$ ).

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 27

Siguin u = (1, 0, 1), v = (0, 1, 1) i w = (1, m, 2).
a) Determina per a quins valors de m els tres vectors formen una base de l'espai.
b) Per al valor de m en què no la formen, expressa w com a combinació lineal de u i v.
c) Per a m = 0, calcula el volum del paral·lelepípede que determinen.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 27

Apartat a)

Resultat

Formen base per a tot

m\neq1

Resolució

Criteri de base. Tres vectors formen base si el determinant que formen és diferent de zero.
Càlcul. $\begin{vmatrix}1&0&1\\0&1&1\\1&m&2\end{vmatrix}=1\cdot(2-m)-0+1\cdot(0-1)=1-m$
Conclusió. $1-m\neq0\iff m\neq1$ .

Apartat b)

Resultat

Per a

m=1

\vec w=\vec u+\vec v

Resolució

Plantejament. Per a $m=1$ , $\vec w=(1,1,2)$ . Busquem $a,b$ amb $a(1,0,1)+b(0,1,1)=(a,\,b,\,a+b)=(1,1,2)$ .
Càlcul. $a=1$ , $b=1$ i, efectivament, $1+1=2$ . Per tant, $\vec w=\vec u+\vec v$ .

Apartat c)

Resultat

V=1

unitat cúbica

Resolució

Producte mixt. Per a $m=0$ , $[\vec u,\vec v,\vec w]=1-0=1$ , i el volum és $|1|=1$ unitat cúbica.
Observació. El determinant $1-m$ mesura el volum (amb signe): a mesura que $m$ s'acosta a 1, el paral·lelepípede s'aixafa fins a tenir volum zero.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 28

a) Demostra, amb les propietats del producte vectorial, que (u + v) × (u − v) = −2(u × v) per a qualssevol vectors u i v.
b) Comprova-ho amb u = (1, 0, 2) i v = (0, 1, 1).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 28

Apartat a)

Resultat

(\vec u+\vec v)\times(\vec u-\vec v)=-2(\vec u\times\vec v)

Resolució

Propietat distributiva. $(\vec u+\vec v)\times(\vec u-\vec v)=\vec u\times\vec u-\vec u\times\vec v+\vec v\times\vec u-\vec v\times\vec v$
Propietats del producte vectorial. $\vec u\times\vec u=\vec 0$ , $\vec v\times\vec v=\vec 0$ i $\vec v\times\vec u=-(\vec u\times\vec v)$ (anticommutativa).
Conclusió. Queda $-\vec u\times\vec v-\vec u\times\vec v=-2(\vec u\times\vec v)$ . Error típic: tractar el producte vectorial com si fos commutatiu i obtenir $\vec 0$ en lloc de $-2(\vec u\times\vec v)$ .

Apartat b)

Resultat

Tots dos costats valen

(4,\,2,\,-2)

Resolució

Costat dret. $\vec u\times\vec v=(0\cdot1-2\cdot1,\ 2\cdot0-1\cdot1,\ 1\cdot1-0\cdot0)=(-2,-1,1)$ , així que $-2(\vec u\times\vec v)=(4,2,-2)$ .
Costat esquerre. $\vec u+\vec v=(1,1,3)$ i $\vec u-\vec v=(1,-1,1)$ : $(\vec u+\vec v)\times(\vec u-\vec v)=(1\cdot1-3\cdot(-1),\ 3\cdot1-1\cdot1,\ 1\cdot(-1)-1\cdot1)=(4,2,-2)$
Conclusió. Coincideixen, com havia de passar.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 29

Raona si cada afirmació és certa o falsa, amb una justificació o un contraexemple:
a) Si u·v = 0, aleshores u = 0 o v = 0.
b) Si u i v són no nuls, |u × v| = |u|·|v| si i només si u i v són perpendiculars.
c) Si u × v = u × w, aleshores v = w.
d) [u, v, w] = [v, w, u] per a qualssevol tres vectors.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 29

Apartat a)

Resultat

Falsa:

(1,0,0)\cdot(0,1,0)=0

amb tots dos vectors no nuls.

Resolució

Raonament. El producte escalar val zero també quan els vectors són perpendiculars, no només quan un és nul.
Contraexemple. $(1,0,0)\cdot(0,1,0)=0$ , però cap dels dos és el vector nul.

Apartat b)

Resultat

Certa:

|\vec u\times\vec v|=|\vec u|\,|\vec v|\iff\sin\alpha=1\iff\alpha=90^\circ

Resolució

Mòdul del producte vectorial. $|\vec u\times\vec v|=|\vec u|\,|\vec v|\sin\alpha$ .
Conclusió. Amb vectors no nuls, aquest valor és igual a $|\vec u|\,|\vec v|$ si i només si $\sin\alpha=1$ , és a dir, $\alpha=90^\circ$ .

Apartat c)

Resultat

Falsa: n'hi ha prou que

\vec v-\vec w

sigui paral·lel a

\vec u

Resolució

Raonament. $\vec u\times\vec v=\vec u\times\vec w$ equival a $\vec u\times(\vec v-\vec w)=\vec 0$ , i això passa sempre que $\vec v-\vec w$ sigui paral·lel a $\vec u$ , no només si $\vec v=\vec w$ .
Contraexemple. $\vec u=(1,0,0)$ , $\vec v=(0,1,0)$ , $\vec w=(1,1,0)$ : $\vec u\times\vec v=\vec u\times\vec w=(0,0,1)$ , però $\vec v\neq\vec w$ .

Apartat d)

Resultat

Certa: una permutació cíclica no canvia el producte mixt.

Resolució

Raonament. El producte mixt és un determinant, i permutar cíclicament les tres files equival a dues transposicions, que no canvien el seu valor: $[\vec u,\vec v,\vec w]=[\vec v,\vec w,\vec u]=[\vec w,\vec u,\vec v]$ .
Compte. En canvi, intercanviar-ne només dues canvia el signe: $[\vec v,\vec u,\vec w]=-[\vec u,\vec v,\vec w]$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 30

Una força constant F = (3, -1, 2) (en newtons) desplaça un objecte en línia recta des del punt A(1, 0, 2) fins al punt B(4, 2, 3) (coordenades en metres).
a) Calcula el treball fet per la força (W = F·d, amb d el vector desplaçament) i l'angle entre la força i el desplaçament.
b) Calcula el moment de la força respecte de l'origen quan està aplicada en A (M = r × F, amb r = OA).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 30

Apartat a)

Resultat

W=9\ \text{J}

;

\alpha\approx50{,}0^\circ

Resolució

Desplaçament. $\vec d=\overrightarrow{AB}=(4-1,\ 2-0,\ 3-2)=(3,2,1)\ \text{m}$ .
Treball com a producte escalar. $W=\vec F\cdot\vec d=3\cdot3+(-1)\cdot2+2\cdot1=9-2+2=9\ \text{J}$ .
Angle. $|\vec F|=\sqrt{9+1+4}=\sqrt{14}$ i $|\vec d|=\sqrt{9+4+1}=\sqrt{14}$ : $\cos\alpha=\dfrac{9}{\sqrt{14}\cdot\sqrt{14}}=\dfrac{9}{14}\approx0{,}643\ \Rightarrow\ \alpha\approx50{,}0^\circ$
Interpretació. El treball és positiu perquè l'angle és agut: la força ajuda el moviment.

Apartat b)

Resultat

\vec M=(2,\,4,\,-1)\ \text{N}\cdot\text{m}

;

|\vec M|=\sqrt{21}\approx4{,}58\ \text{N}\cdot\text{m}

Resolució

Dades. $\vec r=\overrightarrow{OA}=(1,0,2)\ \text{m}$ i $\vec F=(3,-1,2)\ \text{N}$ .
Moment com a producte vectorial. $\vec M=\vec r\times\vec F=(0\cdot2-2\cdot(-1),\ 2\cdot3-1\cdot2,\ 1\cdot(-1)-0\cdot3)=(2,\,4,\,-1)\ \text{N}\cdot\text{m}$
Mòdul. $|\vec M|=\sqrt{4+16+1}=\sqrt{21}\approx4{,}58\ \text{N}\cdot\text{m}$ .
Comprovació. El moment és perpendicular a $\vec r$ i a $\vec F$ : $(2,4,-1)\cdot(1,0,2)=0$ i $(2,4,-1)\cdot(3,-1,2)=0$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preparat per a la universitat

Els exercicis més exigents: nivell PAU alt i primer curs de grau. Veure totes les matèries

Exercici 31

Es vol afluixar una femella amb una clau anglesa. L'eix de la femella és l'eix $OZ$ i el punt d'aplicació de la força té vector de posició $\vec r=(0{,}2;\ 0{,}4;\ 0)$ m respecte de l'eix. Un operari aplica la força $\vec F_1=(20,\,-10,\,30)$ N i un altre aplica $\vec F_2=(25,\,0,\,30)$ N. El moment d'una força és $\vec M=\vec r\times\vec F$ .
a) Calcula $\vec M$ per a $\vec F_1$ i el seu mòdul. Comprova que $\vec r\perp\vec F_1$ i explica la relació amb el mòdul.
b) Comprova que $\vec F_2$ produeix el mateix moment i explica per què, sense calcular-lo, mirant $\vec F_2-\vec F_1$ i $\vec r$ .
c) Calcula l'angle que formen $\vec r$ i $\vec F_2$ .
d) La femella només gira per la component $M_z$ del moment. Si calen 15 N·m per afluixar-la, ho aconsegueixen? Quina és la força horitzontal mínima necessària, aplicada al mateix punt?

Pista 1

Recorda el determinant formal amb les files $\vec\imath,\vec\jmath,\vec k$ , $\vec r$ i $\vec F$ .

Pista 2

El producte vectorial de dos vectors paral·lels és el vector nul. Què té de particular $\vec F_2-\vec F_1$ ?

Pista 3

A d), la força que gira més eficaçment és la perpendicular a $\vec r$ i continguda en el pla horitzontal.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 31

Apartat a)

Resultat

\vec M_1=(12,\,-6,\,-10)\ \text{N}\cdot\text{m}

;

|\vec M_1|=2\sqrt{70}\approx16{,}73\ \text{N}\cdot\text{m}

;

\vec r\perp\vec F_1

, i per això

|\vec M_1|=|\vec r|\,|\vec F_1|

Resolució

Dades. $\vec r=(0{,}2;\ 0{,}4;\ 0)\ \text{m}$ i $\vec F_1=(20,-10,30)\ \text{N}$ . El moment és $\vec M=\vec r\times\vec F$ .
Producte vectorial. $\vec M_1=\begin{vmatrix}\vec\imath&\vec\jmath&\vec k\\0{,}2&0{,}4&0\\20&-10&30\end{vmatrix}=(0{,}4\cdot30-0,\ 0-0{,}2\cdot30,\ 0{,}2\cdot(-10)-0{,}4\cdot20)=(12,\,-6,\,-10)\ \text{N}\cdot\text{m}$
Mòdul. $|\vec M_1|=\sqrt{144+36+100}=\sqrt{280}=2\sqrt{70}\approx16{,}73\ \text{N}\cdot\text{m}$ .
Perpendicularitat. $\vec r\cdot\vec F_1=4-4+0=0$ : són perpendiculars i $\sin\theta=1$ .
Relació amb el mòdul. Com que $|\vec r\times\vec F|=|\vec r|\,|\vec F|\sin\theta$ , aquí $|\vec M_1|=|\vec r|\,|\vec F_1|=\sqrt{0{,}2}\cdot\sqrt{1400}\approx0{,}447\cdot37{,}42=16{,}73\ \text{N}\cdot\text{m}$ : és el valor màxim possible per a aquesta força.

Apartat b)

Resultat

\vec r\times\vec F_2=(12,\,-6,\,-10)\ \text{N}\cdot\text{m}=\vec M_1

, perquè

\vec F_2-\vec F_1=25\,\vec r

és paral·lel a

\vec r

Resolució

Càlcul directe. $\vec r\times\vec F_2=(0{,}4\cdot30-0,\ 0-0{,}2\cdot30,\ 0-0{,}4\cdot25)=(12,-6,-10)$ : el mateix moment.
Diferència de forces. $\vec F_2-\vec F_1=(5,10,0)=25\,\vec r$ , paral·lel a $\vec r$ .
Propietat. El producte vectorial de dos vectors paral·lels és nul: $\vec r\times(\vec F_2-\vec F_1)=\vec 0\Rightarrow\vec r\times\vec F_2=\vec r\times\vec F_1$ .
Interpretació. Una força en la direcció del braç no fa girar: la part que $\vec F_2$ té de més no aporta moment.

Apartat c)

Resultat

\theta\approx73{,}4^\circ

Resolució

Angle entre vectors. $\vec r\cdot\vec F_2=0{,}2\cdot25+0+0=5$ , $|\vec r|=\sqrt{0{,}2}$ i $|\vec F_2|=\sqrt{625+900}=\sqrt{1525}$ .
Càlcul. $\cos\theta=\dfrac{\vec r\cdot\vec F_2}{|\vec r|\,|\vec F_2|}=\dfrac{5}{\sqrt{0{,}2}\cdot\sqrt{1525}}\approx0{,}2863\ \Rightarrow\ \theta\approx73{,}4^\circ$
Comparació. Amb $\vec F_1$ l'angle és de $90^\circ$ . $\vec F_2$ és més gran, però com que no és perpendicular al braç dona el mateix moment.

Apartat d)

Resultat

No l'afluixen (

|M_z|=10\ \text{N}\cdot\text{m}\lt15\ \text{N}\cdot\text{m}

); la força horitzontal mínima és

F_h=\dfrac{15}{\sqrt{0{,}2}}=15\sqrt5\approx33{,}5\ \text{N}

Resolució

Component útil. Només compta $M_z=-10\ \text{N}\cdot\text{m}$ , de valor absolut $10\ \text{N}\cdot\text{m}\lt15\ \text{N}\cdot\text{m}$ : no l'afluixen. Les components verticals de la força (30 N) no hi contribueixen.
D'on surt aquest 10. La component horitzontal de $\vec F_1$ , $(20,-10)$ , té mòdul $\sqrt{500}\approx22{,}4\ \text{N}$ i és perpendicular a $\vec r$ : dona $|M_z|=0{,}447\cdot22{,}4=10\ \text{N}\cdot\text{m}$ .
Força mínima. Per a una força horitzontal, $M_z=r_xF_y-r_yF_x$ , i el seu valor és màxim quan la força és perpendicular a $\vec r$ : $|M_z|=|\vec r|\,F_h$ . Per assolir $15\ \text{N}\cdot\text{m}$ : $F_h=\dfrac{15}{|\vec r|}=\dfrac{15}{\sqrt{0{,}2}}=15\sqrt5\approx33{,}5\ \text{N}$
Comprovació. Per exemple, $\vec F=(30,-15,0)\ \text{N}$ (mateix sentit de gir que $\vec F_1$ ) té mòdul $\sqrt{1125}\approx33{,}5\ \text{N}$ i dona $M_z=0{,}2\cdot(-15)-0{,}4\cdot30=-15\ \text{N}\cdot\text{m}$ .

Errors típics

Calcular $\vec F\times\vec r$ en comptes de $\vec r\times\vec F$ (signe oposat).
Pensar que una força més gran sempre produeix un moment més gran: només compta la component perpendicular al braç.
Fer servir el mòdul de $\vec M$ (16,7 N·m) per decidir si la femella gira, quan només compta la component al llarg de l'eix.
Oblidar les unitats: el moment és en N·m.

Conceptes treballats: producte vectorial i moment d'una força, producte escalar i angle entre vectors, vectors paral·lels i producte vectorial nul, components d'un vector, aplicació a la física.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 32

Considera el vector $\vec d=(1,1,1)$ .
a) Troba tots els vectors unitaris $\vec w$ perpendiculars a $\vec d$ que formin un angle de $45^\circ$ amb el semieix positiu $OZ$ .
b) Existeix algun vector unitari perpendicular a $\vec d$ que formi $30^\circ$ amb $OZ$ ? Raona-ho.
c) Troba el vector unitari perpendicular a $\vec d$ que formi l'angle més petit possible amb $OZ$ i digues quin és aquest angle.
d) Interpreta geomètricament el resultat de c).

Pista 1

Un vector $\vec w=(a,b,c)$ és unitari i perpendicular a $\vec d$ si $a^2+b^2+c^2=1$ i $a+b+c=0$ . L'angle amb $OZ$ fixa $c=\cos45^\circ$ .

Pista 2

Per a b), calcula el valor de $\cos30^\circ$ i compara'l amb el màxim valor possible de $c$ sota les condicions.

Pista 3

Pel que fa a c), pensa en la projecció del vector $(0,0,1)$ sobre el pla $x+y+z=0$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 32

Apartat a)

Resultat

\vec w=\left(0,\,-\tfrac{\sqrt2}{2},\,\tfrac{\sqrt2}{2}\right)

\vec w=\left(-\tfrac{\sqrt2}{2},\,0,\,\tfrac{\sqrt2}{2}\right)

Resolució

Condicions. $\vec w=(a,b,c)$ unitari i perpendicular a $\vec d$ : $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$ i $a+b+c=0$ . L'angle amb el semieix positiu $OZ$ fixa $c=\vec w\cdot\vec k=\cos45^\circ=\tfrac{\sqrt2}{2}$ .
Sistema. $a+b=-\tfrac{\sqrt2}{2}$ i $a^{2}+b^{2}=1-\tfrac12=\tfrac12$ .
Càlcul. $2ab=(a+b)^{2}-(a^{2}+b^{2})=\tfrac12-\tfrac12=0$ , de manera que $a=0$ o $b=0$ ; l'altra component val $-\tfrac{\sqrt2}{2}$ .
Conclusió. Hi ha dues solucions: $\left(0,-\tfrac{\sqrt2}{2},\tfrac{\sqrt2}{2}\right)$ i $\left(-\tfrac{\sqrt2}{2},0,\tfrac{\sqrt2}{2}\right)$ .

Apartat b)

Resultat

No n'hi ha cap: caldria

c=\cos30^\circ\approx0{,}866

, i el màxim possible és

c=\sqrt{2/3}\approx0{,}816

Resolució

Plantejament. Ara $c=\cos30^\circ=\tfrac{\sqrt3}{2}\approx0{,}866$ : $a+b=-c$ i $a^{2}+b^{2}=1-c^{2}=\tfrac14$ .
Desigualtat. Sempre $a^{2}+b^{2}\ge\dfrac{(a+b)^{2}}{2}$ (equival a $(a-b)^{2}\ge0$ ). Aquí: $a^{2}+b^{2}\ge\tfrac{c^{2}}{2}=\tfrac38\gt\tfrac14$ .
Conclusió. Contradicció: no existeix cap vector així. Fixa't que «30° és menor que 45°» no basta: hi ha un angle mínim (apartat c).

Apartat c)

Resultat

\vec w=\dfrac{(-1,\,-1,\,2)}{\sqrt6}

; angle mínim

=\arccos\sqrt{2/3}\approx35{,}26^\circ

Resolució

Condició general. $a^{2}+b^{2}=1-c^{2}\ge\tfrac{c^{2}}{2}\Rightarrow c^{2}\le\tfrac23\Rightarrow c\le\sqrt{\tfrac23}\approx0{,}8165$ .
Angle mínim. L'angle amb $OZ$ és mínim quan $c=\cos\theta$ és màxim: $\theta_{\min}=\arccos\sqrt{\tfrac23}\approx35{,}26^\circ$ .
Vector. La igualtat es dona quan $a=b=-\tfrac c2$ : $\vec w=\dfrac{(-1,-1,2)}{\sqrt6}$ . Comprovació: $c=\tfrac{2}{\sqrt6}=\sqrt{\tfrac23}$ , $-1-1+2=0$ i $|\vec w|=1$ .

Apartat d)

Resultat

\vec w

és la direcció de la projecció de

\vec k

sobre el pla

x+y+z=0

, i

35{,}26^\circ

és l'angle entre l'eix

OZ

i aquest pla.

Resolució

Pla perpendicular. Els vectors perpendiculars a $\vec d$ són els del pla $x+y+z=0$ .
Projecció. El vector d'aquest pla que forma l'angle més petit amb $OZ$ és la projecció de $\vec k$ sobre el pla: $\vec k-\dfrac{\vec k\cdot\vec d}{|\vec d|^{2}}\,\vec d=(0,0,1)-\tfrac13(1,1,1)=\left(-\tfrac13,-\tfrac13,\tfrac23\right)\parallel(-1,-1,2)$
Angle vector-pla. L'angle entre $\vec k$ i el pla és $90^\circ-\angle(\vec k,\vec d)=90^\circ-\arccos\tfrac{1}{\sqrt3}=90^\circ-54{,}74^\circ=35{,}26^\circ$ , el mateix que a c).

Errors típics

Oblidar la condició de perpendicularitat i només imposar l'angle amb l'eix.
Dir que 30° és possible perquè «30° és menor que 45°»: hi ha un mínim geomètric de 35,26°.
Confondre l'angle entre dos vectors amb l'angle entre un vector i un pla.
No normalitzar el vector final de c).

Conceptes treballats: producte escalar, mòdul, angle entre vectors, vectors unitaris i perpendiculars, desigualtats, projecció d'un vector sobre un pla.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 33

Pista 1

Per a a), $\cos\theta=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec u||\vec v|}$ .

Pista 2

Per a b) i c), usa $|\vec u\times\vec v|=|\vec u||\vec v|\sin\theta$ i $|\vec p|^2=\vec p\cdot\vec p$ desenvolupant el producte escalar.

Pista 3

Per a d), desenvolupa els dos termes de l'esquerra en coordenades i observa quins productes es cancel·len.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 33

Apartat a)

Resultat

\theta=60^\circ

Resolució

Angle entre vectors. $\cos\theta=\dfrac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec u|\,|\vec v|}=\dfrac{6}{3\cdot4}=\dfrac12$ .
Conclusió. $\theta=60^\circ$ .

Apartat b)

Resultat

|\vec u\times\vec v|=6\sqrt3\approx10{,}39

; àrea del paral·lelogram

=6\sqrt3\approx10{,}39

Resolució

Mòdul del producte vectorial. $|\vec u\times\vec v|=|\vec u|\,|\vec v|\sin\theta$ .
Càlcul. $|\vec u\times\vec v|=3\cdot4\cdot\sin60^\circ=12\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}=6\sqrt3\approx10{,}39$ .
Interpretació. Aquest mòdul és també l'àrea del paral·lelogram determinat per $\vec u$ i $\vec v$ .

Apartat c)

Resultat

|\vec u+\vec v|=\sqrt{37}\approx6{,}08

;

|2\vec u-\vec v|=2\sqrt7\approx5{,}29

Resolució

Mòdul amb el producte escalar. Fes servir $|\vec p|^{2}=\vec p\cdot\vec p$ i desenvolupa.
Suma. $|\vec u+\vec v|^{2}=|\vec u|^{2}+2\,\vec u\cdot\vec v+|\vec v|^{2}=9+12+16=37\Rightarrow|\vec u+\vec v|=\sqrt{37}$ .
Combinació. $|2\vec u-\vec v|^{2}=4|\vec u|^{2}-4\,\vec u\cdot\vec v+|\vec v|^{2}=36-24+16=28\Rightarrow|2\vec u-\vec v|=2\sqrt7$ .

Apartat d)

Resultat

La identitat es compleix per a tot

\vec u,\vec v

; aquí

|\vec u\times\vec v|^{2}=9\cdot16-36=108\Rightarrow|\vec u\times\vec v|=6\sqrt3

, com a b).

Resolució

Components. $\vec u\times\vec v=(u_2v_3-u_3v_2,\ u_3v_1-u_1v_3,\ u_1v_2-u_2v_1)$ .
Primer terme. Elevant al quadrat i sumant, tots els termes creuats apareixen amb signe negatiu: $|\vec u\times\vec v|^{2}=\sum_{i\ne j}u_i^{2}v_j^{2}-2\sum_{i\lt j}u_iv_iu_jv_j$
Segon terme. $(\vec u\cdot\vec v)^{2}=\sum_iu_i^{2}v_i^{2}+2\sum_{i\lt j}u_iv_iu_jv_j$
Suma. Els termes creuats es cancel·len i queda $\sum_iu_i^{2}v_i^{2}+\sum_{i\ne j}u_i^{2}v_j^{2}=\Big(\sum_iu_i^{2}\Big)\Big(\sum_jv_j^{2}\Big)=|\vec u|^{2}|\vec v|^{2}$
Aplicació a b). $|\vec u\times\vec v|^{2}=|\vec u|^{2}|\vec v|^{2}-(\vec u\cdot\vec v)^{2}=9\cdot16-6^{2}=108$ , de manera que $|\vec u\times\vec v|=\sqrt{108}=6\sqrt3$ , com a b).

Apartat e)

Resultat

\theta=45^\circ

Resolució

Plantejament. $|\vec u|\,|\vec v|\sin\theta=|\vec u|\,|\vec v|\cos\theta\iff\sin\theta=\cos\theta$ (vectors no nuls).
Conclusió. $\tan\theta=1$ amb $\theta\in[0^\circ,180^\circ]$ (i $\cos\theta\ge0$ , perquè el mòdul és positiu): $\theta=45^\circ$ .

Errors típics

Escriure $|\vec u+\vec v|=|\vec u|+|\vec v|$ : això només val si són paral·lels i del mateix sentit.
Fer $|2\vec u-\vec v|^2=4|\vec u|^2-|\vec v|^2$ (oblidar el terme creuat i el signe del quadrat).
Confondre el producte escalar (un nombre) amb el vectorial (un vector).
Desenvolupar $(\vec u\cdot\vec v)^2$ sense els termes creuats.

Conceptes treballats: producte escalar i vectorial, angle entre vectors, mòdul d'una suma, identitat de Lagrange i demostració algebraica.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 34

Una càrrega de pes 60 N penja d'un punt $O$ subjectada per tres cables que surten d' $O$ cap amunt amb vectors directors $\vec u=(1,0,3)$ , $\vec v=(0,1,3)$ i $\vec w=(-1,a,3)$ (eix $OZ$ vertical i $a$ un paràmetre). La tensió resultant és $\lambda_1\vec u+\lambda_2\vec v+\lambda_3\vec w$ , amb $\lambda_i\ge0$ (un cable només pot estirar, no empènyer). Per equilibrar la càrrega cal que la resultant sigui $(0,0,60)$ .
a) Per a quins valors d' $a$ formen $\vec u,\vec v,\vec w$ una base de l'espai?
b) Per a $a=-1$ , calcula els coeficients $\lambda_i$ i la tensió de cada cable (mòdul de $\lambda_i\vec u_i$ ).
c) Per a $a=2$ , raona per què és impossible equilibrar la càrrega.
d) Demostra que per a $a\ne2$ els coeficients són $\lambda_1=\lambda_3=\dfrac{20}{2-a}$ , $\lambda_2=\dfrac{-20a}{2-a}$ i dedueix per a quins valors d' $a$ tots els cables estiren. Què passa per a $a=4$ ?

Pista 1

Tres vectors formen una base si el seu determinant és diferent de zero.

Pista 2

El sistema $\lambda_1\vec u+\lambda_2\vec v+\lambda_3\vec w=(0,0,60)$ té tres equacions i tres incògnites.

Pista 3

Per a c), mira si $\vec w$ és combinació lineal de $\vec u$ i $\vec v$ , i en aquest cas si $(0,0,60)$ és al pla que generen.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 34

Apartat a)

Resultat

Formen base per a tot

a\neq2

(

\det=6-3a

Resolució

Criteri. Tres vectors formen base si el seu determinant és diferent de zero.
Càlcul. Amb els vectors en columnes: $\begin{vmatrix}1&0&-1\\0&1&a\\3&3&3\end{vmatrix}=1\cdot(3-3a)+(-1)\cdot(0-3)=6-3a=-3(a-2)$
Conclusió. És una base si i només si $a\neq2$ .

Apartat b)

Resultat

\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=\tfrac{20}{3}

; tensions

T_1=T_2=\tfrac{20}{3}\sqrt{10}\approx21{,}08\ \text{N}

T_3=\tfrac{20}{3}\sqrt{11}\approx22{,}11\ \text{N}

Resolució

Sistema. Per components, $\lambda_1\vec u+\lambda_2\vec v+\lambda_3\vec w=(0,0,60)$ dona $\lambda_1-\lambda_3=0$ , $\lambda_2+a\lambda_3=0$ , $3(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)=60$ .
Cas $a=-1$ . $\lambda_1=\lambda_3$ , $\lambda_2=\lambda_3$ i $3\cdot3\lambda_3=60$ , de manera que $\lambda_3=\tfrac{20}{3}$ . Tots tres coeficients valen $\tfrac{20}{3}$ .
Tensions. La tensió és el mòdul de $\lambda_i\vec u_i$ , no $\lambda_i$ : $\tfrac{20}{3}|\vec u|=\tfrac{20}{3}\sqrt{10}\approx21{,}08\ \text{N}$ , igual per al segon cable ( $|\vec v|=\sqrt{10}$ ), i $\tfrac{20}{3}|\vec w|=\tfrac{20}{3}\sqrt{11}\approx22{,}11\ \text{N}$ .

Apartat c)

Resultat

Per a

a=2

\vec w=-\vec u+2\vec v

: els tres cables són coplanaris i

(0,0,60)

no és al seu pla; el sistema és incompatible.

Resolució

Dependència. Per a $a=2$ : $\vec w=(-1,2,3)=-\vec u+2\vec v$ . Els tres cables són coplanaris, i qualsevol combinació seva és al pla generat per $\vec u$ i $\vec v$ .
El vector pes és fora del pla. Normal del pla: $\vec u\times\vec v=(-3,-3,1)$ , i $(0,0,60)\cdot(-3,-3,1)=60\neq0$ : $(0,0,60)$ no pertany al pla.
Conclusió. El sistema és incompatible: no hi ha equilibri. Fixa't que no n'hi ha prou amb $\det=0$ per dir-ho; cal comprovar que $(0,0,60)$ no és al pla.

Apartat d)

Resultat

\lambda_1=\lambda_3=\dfrac{20}{2-a}

\lambda_2=\dfrac{-20a}{2-a}

; tots els cables estiren si

a\le0

. Per a

a=4

\lambda=(-10,\,40,\,-10)

, no hi ha equilibri amb cables.

Resolució

Resolució general. De les dues primeres equacions, $\lambda_1=\lambda_3$ i $\lambda_2=-a\lambda_3$ . La tercera dona $3\lambda_3(1-a+1)=60$ , per tant $\lambda_3=\dfrac{20}{2-a}$ , i $\lambda_1=\dfrac{20}{2-a}$ , $\lambda_2=\dfrac{-20a}{2-a}$ .
Condició física. Tots són no negatius si $\dfrac{20}{2-a}\ge0$ (és a dir, $a\lt2$ ) i $\dfrac{-20a}{2-a}\ge0$ (és a dir, $a\le0$ ). Cal $a\le0$ ; per a $a=0$ el cable 2 queda sense tensió.
Cas $a=4$ . $\lambda_1=\lambda_3=\tfrac{20}{-2}=-10$ i $\lambda_2=\tfrac{-80}{-2}=40$ : dos coeficients negatius. Els cables 1 i 3 haurien d'empènyer, i no pot ser: no hi ha equilibri amb cordes.

Errors típics

Formar la base calculant el determinant per files equivocades o amb un error de signe.
Prendre $\lambda_i$ com a tensió: la tensió és el mòdul de $\lambda_i\vec u_i$ , que inclou $|\vec u_i|$ .
Treure la conclusió «no hi ha solució» per a $a=2$ només perquè $\det=0$ , sense mirar si $(0,0,60)$ està al pla.
Acceptar coeficients negatius sense interpretar-los físicament.

Conceptes treballats: base i dependència lineal, determinant, sistemes lineals, combinació lineal, interpretació física dels signes dels coeficients, discussió d'un paràmetre.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 35

Un paral·lelepípede està determinat pels vectors $\vec u=(2,1,0)$ , $\vec v=(0,1,2)$ i $\vec w=(1,m,1)$ , amb $m$ un paràmetre real.
a) Expressa el seu volum en funció de $m$ . Per a quin valor de $m$ els tres vectors són coplanaris?
b) Troba els valors de $m$ per als quals el volum és 12.
c) Per a aquests valors, calcula l'àrea de la base determinada per $\vec u$ i $\vec v$ i l'altura del paral·lelepípede.
d) Per a cada valor d' $m$ trobat a b), estudia la posició de $\vec w$ respecte de la base: per a quin dels dos és un prisma recte? Quin angle forma $\vec w$ amb el pla de la base en l'altre cas?

Pista 1

El volum d'un paral·lelepípede és el valor absolut del producte mixt.

Pista 2

Quan el volum és 0, els tres vectors estan en un mateix pla.

Pista 3

L'altura és el volum dividit per l'àrea de la base. Un prisma és recte si l'aresta lateral és perpendicular a la base.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 35

Apartat a)

Resultat

V(m)=|4-4m|

; coplanaris per a

m=1

Resolució

Producte vectorial de la base. $\vec u\times\vec v=(1\cdot2-0\cdot1,\ 0\cdot0-2\cdot2,\ 2\cdot1-1\cdot0)=(2,-4,2)$ .
Producte mixt. $[\vec u,\vec v,\vec w]=(\vec u\times\vec v)\cdot\vec w=2-4m+2=4-4m$ . El volum és el valor absolut: $V=|4-4m|$ .
Coplanaritat. Els tres vectors són coplanaris si $V=0\iff m=1$ .

Apartat b)

Resultat

m=-2

m=4

Resolució

Equació. $|4-4m|=12\iff4-4m=\pm12$ .
Solucions. $4-4m=12\Rightarrow m=-2$ ; $4-4m=-12\Rightarrow m=4$ . No oblidis el valor absolut, o en perdràs una.

Apartat c)

Resultat

Àrea de la base

=2\sqrt6\approx4{,}90

; altura

h=\sqrt6\approx2{,}45

(per als dos valors)

Resolució

Àrea de la base. $|\vec u\times\vec v|=\sqrt{4+16+4}=\sqrt{24}=2\sqrt6\approx4{,}90$ (no depèn d' $m$ ).
Altura. Volum $=$ base $\times$ altura: $h=\dfrac{V}{|\vec u\times\vec v|}=\dfrac{12}{2\sqrt6}=\sqrt6\approx2{,}45$ , igual per a $m=-2$ i $m=4$ .

Apartat d)

Resultat

Per a

m=-2

, prisma recte (

\vec w\parallel\vec u\times\vec v

); per a

m=4

, oblic, amb

\sin\varphi=\tfrac{1}{\sqrt3}

\varphi\approx35{,}3^\circ

Resolució

Cas $m=-2$ . $\vec w=(1,-2,1)=\tfrac12(2,-4,2)$ és paral·lel a $\vec u\times\vec v$ , és a dir, perpendicular a la base, i $|\vec w|=\sqrt6=h$ : prisma recte.
Cas $m=4$ . $\vec w=(1,4,1)$ , amb $|\vec w|=3\sqrt2\approx4{,}24\gt h$ : l'aresta lateral és obliqua.
Angle amb el pla. L'altura és la component de $\vec w$ perpendicular a la base, de manera que $\sin\varphi=\dfrac{h}{|\vec w|}=\dfrac{\sqrt6}{3\sqrt2}=\dfrac{1}{\sqrt3}\ \Rightarrow\ \varphi\approx35{,}3^\circ$

Errors típics

Oblidar el valor absolut del producte mixt i trobar només una solució.
Dividir el volum per l'àrea d'una cara equivocada (cal la base determinada per $\vec u$ i $\vec v$ ).
Confondre l'angle entre $\vec w$ i el pla ( $\sin\varphi=h/|\vec w|$ ) amb l'angle entre $\vec w$ i la normal.
Pensar que $m=1$ dona volum màxim: dona volum 0.

Conceptes treballats: producte mixt i volum, producte vectorial i àrea, altura d'un paral·lelepípede, angle entre un vector i un pla, discussió amb un paràmetre.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 36

Un bloc de pes $\vec W=(0,0,-90)$ N reposa sobre una rampa plana. El vector unitari perpendicular a la rampa, que apunta cap a fora d'ella, és $\hat n=\dfrac13(2,1,2)$ .
a) Descompon el pes en una component normal a la rampa $\vec W_n$ i una component tangent $\vec W_t$ , i calcula'n els mòduls.
b) Quin angle forma la rampa amb l'horitzontal?
c) El coeficient de fregament estàtic entre el bloc i la rampa és 0,8 (la força de fregament màxima és $\mu\,|\vec W_n|$ ). El bloc llisca? Quanta força neta té cap avall de la rampa?
d) Troba el coeficient de fregament mínim perquè el bloc no llisqui i relaciona'l amb l'angle de b).

Pista 1

La component de $\vec W$ en la direcció de $\hat n$ és $(\vec W\cdot\hat n)\,\hat n$ . La resta és la component tangent.

Pista 2

L'angle entre la rampa i l'horitzontal és el que formen els seus vectors normals: $\hat n$ i $\vec k$ .

Pista 3

El bloc no llisca si $|\vec W_t|\le\mu|\vec W_n|$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 36

Apartat a)

Resultat

\vec W_n=(-40,\,-20,\,-40)\ \text{N}

|\vec W_n|=60\ \text{N}

;

\vec W_t=(40,\,20,\,-50)\ \text{N}

|\vec W_t|=30\sqrt5\approx67{,}1\ \text{N}

Resolució

Projecció sobre la normal. La component normal és $(\vec W\cdot\hat n)\,\hat n$ , amb $\vec W\cdot\hat n=\tfrac13(0+0-180)=-60$ .
Component normal. $\vec W_n=-60\,\hat n=(-40,-20,-40)\ \text{N}$ , de mòdul $60\ \text{N}$ .
Component tangent. És la resta: $\vec W_t=\vec W-\vec W_n=(40,20,-50)\ \text{N}$ . Comprovació: $\vec W_t\cdot\hat n=\tfrac13(80+20-100)=0$ .
Mòdul. $|\vec W_t|=\sqrt{1600+400+2500}=\sqrt{4500}=30\sqrt5\approx67{,}1\ \text{N}$ . (I $60^{2}+4500=8100=90^{2}$ , com ha de ser.)

Apartat b)

Resultat

\alpha=\arccos\tfrac23\approx48{,}2^\circ

Resolució

Angle entre plans. L'angle de la rampa amb l'horitzontal és el que formen els seus vectors normals, $\hat n$ i $\vec k$ : $\cos\alpha=|\hat n\cdot\vec k|=\tfrac23$ .
Càlcul. $\alpha=\arccos\tfrac23\approx48{,}2^\circ$ .
Comprovació. $|\vec W_n|=90\cos\alpha=60\ \text{N}$ i $|\vec W_t|=90\sin\alpha=67{,}1\ \text{N}$ .

Apartat c)

Resultat

Sí, llisca:

48\ \text{N}\lt67{,}1\ \text{N}

; força neta cap avall

\approx19{,}1\ \text{N}

Resolució

Fregament màxim. $F_{\max}=\mu\,|\vec W_n|=0{,}8\cdot60=48\ \text{N}$ (amb la component normal, no amb el pes sencer).
Comparació. $48\ \text{N}\lt67{,}1\ \text{N}$ : el fregament no pot compensar la component tangent i el bloc llisca.
Força neta. Cap avall de la rampa: $67{,}1-48\approx19{,}1\ \text{N}$ .

Apartat d)

Resultat

\mu_{\min}=\dfrac{\sqrt5}{2}\approx1{,}12=\tan\alpha

Resolució

Condició de repòs. El bloc no llisca si $|\vec W_t|\le\mu\,|\vec W_n|$ , és a dir, $\mu\ge\dfrac{|\vec W_t|}{|\vec W_n|}=\dfrac{30\sqrt5}{60}=\dfrac{\sqrt5}{2}\approx1{,}12$ .
Relació amb l'angle. $\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\dfrac{\sqrt5/3}{2/3}=\dfrac{\sqrt5}{2}$ : coincideix.
Conclusió. El bloc es manté en repòs si i només si $\mu\ge\tan\alpha$ , independentment del pes.

Errors típics

Donar la component normal sense el signe o oblidar de restar-la per obtenir la tangent.
Confondre l'angle entre els vectors normals amb l'angle entre $\hat n$ i l'horitzontal.
Fer servir el pes (90 N) en lloc de la component normal (60 N) en la fórmula del fregament.
Escriure $\hat n$ sense comprovar que és unitari.

Conceptes treballats: projecció ortogonal d'un vector, descomposició en components normal i tangent, producte escalar, angle entre plans, aplicació a la física (pla inclinat).

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 37

Considera els punts $A(1,0,2)$ , $B(3,2,0)$ i $C(1,a,0)$ , amb $a\in\mathbb R$ .
a) Troba els valors d' $a$ per als quals el triangle $ABC$ té l'angle recte en $C$ .
b) Interpreta geomètricament el resultat amb l'esfera de diàmetre $AB$ (teorema de Tales).
c) Existeixen valors d' $a$ per als quals l'angle recte sigui en $A$ o en $B$ ? Troba'ls.
d) Calcula l'àrea del triangle en cada un dels casos trobats.

Pista 1

L'angle en $C$ és recte si $\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=0$ .

Pista 2

Els punts $C$ des dels quals es veu el segment $AB$ sota un angle recte formen l'esfera de diàmetre $AB$ . $C$ també és sobre la recta $x=1,\ z=0$ .

Pista 3

Per a c), repeteix el producte escalar amb $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$ i $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 37

Apartat a)

Resultat

a=0

a=2

Resolució

Condició. L'angle en $C$ és recte si $\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=0$ .
Vectors. $\overrightarrow{CA}=(0,-a,2)$ i $\overrightarrow{CB}=(2,2-a,0)$ .
Càlcul. $\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}=-a(2-a)=a(a-2)=0\iff a=0$ o $a=2$ . (No divideixis per $a$ : perdries $a=0$ .)

Apartat b)

Resultat

Els dos punts trobats són les interseccions de la recta

x=1,\ z=0

amb l'esfera de diàmetre

AB

(centre

M(2,1,1)

, radi

\sqrt3

Resolució

Teorema de Tales a l'espai. Els punts $C$ des dels quals es veu el segment $AB$ sota un angle recte formen l'esfera de diàmetre $AB$ .
Esfera. Centre al punt mitjà $M(2,1,1)$ i radi $\tfrac12|AB|=\tfrac12\sqrt{12}=\sqrt3$ .
Intersecció amb la recta. Els punts $(1,a,0)$ a distància $\sqrt3$ de $M$ : $1+(a-1)^{2}+1=3\iff(a-1)^{2}=1\iff a=0,\ 2$ , els mateixos valors que a a).
Conclusió. $C$ forma angle recte amb $A$ i $B$ exactament quan és a l'esfera.

Apartat c)

Resultat

Sí: angle recte en

A

per a

a=-2

i en

B

per a

a=4

Resolució

Angle recte en A. $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=(2,2,-2)\cdot(0,a,-2)=2a+4=0\iff a=-2$ .
Angle recte en B. $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=(-2,-2,2)\cdot(-2,a-2,0)=4-2a+4=8-2a=0\iff a=4$ .
Conclusió. El triangle és rectangle per a $a\in\{-2,0,2,4\}$ .

Apartat d)

Resultat

a=0

a=2

: àrea

=2\sqrt2\approx2{,}83

;

a=-2

a=4

: àrea

=2\sqrt6\approx4{,}90

Resolució

Àrea amb el producte vectorial. $S=\tfrac12|\vec p\times\vec q|$ , amb $\vec p,\vec q$ dos costats des d'un mateix vèrtex.
Casos $a=0$ i $a=2$ . Per a $a=0$ : $\overrightarrow{CA}\times\overrightarrow{CB}=(0,0,2)\times(2,2,0)=(-4,4,0)$ , de mòdul $4\sqrt2$ : àrea $2\sqrt2$ . Per a $a=2$ també surt $2\sqrt2$ .
Casos $a=-2$ i $a=4$ . Per a $a=-2$ : $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=(2,2,-2)\times(0,-2,-2)=(-8,4,-4)$ , de mòdul $4\sqrt6$ : àrea $2\sqrt6\approx4{,}90$ . Per a $a=4$ també $2\sqrt6$ .

Errors típics

Plantejar el producte escalar de $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{BC}$ (l'angle entre dos vectors ha d'estar a un vèrtex comú).
Quedar-se només amb l'angle recte en $C$ i oblidar que l'enunciat pot admetre altres vèrtexs.
Resoldre $a(a-2)=0$ dividint per $a$ , perdent la solució $a=0$ .
Calcular l'àrea amb $|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|$ sense dividir per 2.

Conceptes treballats: producte escalar i perpendicularitat, equacions de segon grau, esfera de diàmetre un segment (Tales a l'espai), producte vectorial i àrea d'un triangle.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 38

Els vectors $\vec u,\vec v,\vec w$ de l'espai compleixen $[\vec u,\vec v,\vec w]=5$ (producte mixt).
a) Calcula $[\vec u+\vec v,\ \vec v+\vec w,\ \vec w+\vec u]$ .
b) Calcula $[2\vec u,\ \vec u-\vec v,\ 3\vec w]$ .
c) Calcula $[\vec u-\vec v,\ \vec v-\vec w,\ \vec w-\vec u]$ i explica geomètricament el resultat.
d) Quin és el volum del paral·lelepípede determinat per $\vec u,\vec v,\vec w$ i el del tetraedre corresponent? I el del paral·lelepípede d'a)?
e) Demostra que $[\vec u,\vec v,\vec u\times\vec v]=|\vec u\times\vec v|^2$ i dedueix que $\vec u,\vec v,\vec u\times\vec v$ formen una base d'orientació positiva si $\vec u$ i $\vec v$ són independents.

Pista 1

El producte mixt és lineal en cada argument i s'anul·la si dos arguments són iguals o proporcionals; canvia de signe en intercanviar-ne dos.

Pista 2

A c), suma els tres vectors: què obtens? Què vol dir sobre la seva dependència?

Pista 3

A e), recorda que $[\vec a,\vec b,\vec c]=(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 38

Apartat a)

Resultat

[\vec u+\vec v,\ \vec v+\vec w,\ \vec w+\vec u]=10

Resolució

Linealitat. El producte mixt és lineal en cada argument: desenvolupant surten 8 termes.
Termes nuls. Tots els termes amb un vector repetit valen 0. Només sobreviuen $[\vec u,\vec v,\vec w]$ i $[\vec v,\vec w,\vec u]$ .
Permutació cíclica. $[\vec v,\vec w,\vec u]=[\vec u,\vec v,\vec w]$ . Total: $2\cdot5=10$ .

Apartat b)

Resultat

[2\vec u,\ \vec u-\vec v,\ 3\vec w]=-30

Resolució

Escalars. $[2\vec u,\vec u-\vec v,3\vec w]=6\,[\vec u,\vec u-\vec v,\vec w]$ .
Linealitat. $6\big([\vec u,\vec u,\vec w]-[\vec u,\vec v,\vec w]\big)=6(0-5)=-30$ .

Apartat c)

Resultat

[\vec u-\vec v,\ \vec v-\vec w,\ \vec w-\vec u]=0

: els tres vectors són coplanaris.

Resolució

Suma. $(\vec u-\vec v)+(\vec v-\vec w)+(\vec w-\vec u)=\vec 0$ : un és combinació lineal dels altres dos.
Conclusió. Són linealment dependents, és a dir, coplanaris, i el producte mixt és 0.
Interpretació geomètrica. Són els costats d'un triangle que es tanca; el paral·lelepípede que determinen és degenerat (volum 0).

Apartat d)

Resultat

Paral·lelepípede:

5

; tetraedre:

\tfrac56

; paral·lelepípede d'a):

10

Resolució

Volum i producte mixt. El volum del paral·lelepípede és el valor absolut del producte mixt: $|5|=5$ .
Tetraedre. El seu volum és $\tfrac16$ del del paral·lelepípede: $\tfrac56$ .
Paral·lelepípede d'a). $|10|=10$ : el doble de l'original.

Apartat e)

Resultat

[\vec u,\vec v,\vec u\times\vec v]=|\vec u\times\vec v|^{2}\gt0

\vec u,\vec v

són independents: formen una base d'orientació positiva.

Resolució

Definició. $[\vec a,\vec b,\vec c]=(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c$ , així que $[\vec u,\vec v,\vec u\times\vec v]=(\vec u\times\vec v)\cdot(\vec u\times\vec v)=|\vec u\times\vec v|^{2}$ .
Signe. Si $\vec u$ i $\vec v$ són independents, $\vec u\times\vec v\neq\vec 0$ i, per tant, $|\vec u\times\vec v|^{2}\gt0$ .
Conclusió. El determinant és diferent de zero (formen una base) i positiu (orientació positiva).

Errors típics

Pensar que $[\vec u+\vec v,\ldots]=[\vec u,\ldots]+[\vec v,\ldots]$ també amb els tres arguments alhora: la linealitat és argument a argument.
Oblidar el factor $2\cdot3$ en b) o el signe negatiu de $-\vec v$ .
Dir que el volum pot ser negatiu: el producte mixt té signe, el volum és el valor absolut.
Confondre $\tfrac16$ del volum del tetraedre amb $\tfrac12$ (l'àrea del triangle).

Conceptes treballats: producte mixt i les seves propietats, volum de paral·lelepípede i tetraedre, dependència lineal, base positiva, demostració.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 39

Considera els vectors $\vec u=(1,1,0)$ i $\vec v=(1,-1,2)$ .
a) Raona per què, perquè existeixi un vector $\vec w$ amb $\vec u\times\vec w=\vec v$ , cal que $\vec u\cdot\vec v=0$ . Comprova-ho.
b) Troba tots els vectors $\vec w$ tals que $\vec u\times\vec w=\vec v$ i interpreta geomètricament el conjunt de solucions.
c) Troba el vector $\vec w$ solució que a més és perpendicular a $\vec u$ i comprova que $|\vec w|=\dfrac{|\vec v|}{|\vec u|}$ .
d) Existeix algun $\vec w$ amb $\vec u\times\vec w=(1,0,0)$ ? Raona la resposta.

Pista 1

El producte vectorial $\vec u\times\vec w$ és sempre perpendicular a $\vec u$ .

Pista 2

Posa $\vec w=(p,q,r)$ i escriu les tres equacions de $\vec u\times\vec w=\vec v$ .

Pista 3

Si $\vec w$ és solució, $\vec w+\lambda\vec u$ també ho és. Per què?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 39

Apartat a)

Resultat

\vec u\times\vec w

sempre és perpendicular a

\vec u

, per tant cal

\vec u\cdot\vec v=0

; aquí

\vec u\cdot\vec v=1-1+0=0

Resolució

Propietat. El producte vectorial $\vec u\times\vec w$ és perpendicular a $\vec u$ per definició.
Condició necessària. Si $\vec u\times\vec w=\vec v$ , aleshores $\vec v\perp\vec u$ , és a dir, $\vec u\cdot\vec v=0$ .
Comprovació. $\vec u\cdot\vec v=1\cdot1+1\cdot(-1)+0\cdot2=0$ : la condició es compleix.

Apartat b)

Resultat

\vec w=(p,\,p+2,\,1)=(0,2,1)+p\,(1,1,0)

p\in\mathbb R

: una recta de direcció

\vec u

Resolució

Plantejament. Amb $\vec w=(p,q,r)$ : $\vec u\times\vec w=(1\cdot r-0\cdot q,\ 0\cdot p-1\cdot r,\ 1\cdot q-1\cdot p)=(r,\,-r,\,q-p)$ .
Sistema. $(r,-r,q-p)=(1,-1,2)\iff r=1,\ q=p+2$ : sistema compatible indeterminat.
Solucions. $\vec w=(p,p+2,1)=(0,2,1)+p\,(1,1,0)$ .
Interpretació. És una recta de direcció $\vec u$ : afegir un múltiple de $\vec u$ no canvia $\vec u\times\vec w$ , perquè $\vec u\times\vec u=\vec 0$ .

Apartat c)

Resultat

\vec w=(-1,\,1,\,1)

;

|\vec w|=\sqrt3=\dfrac{|\vec v|}{|\vec u|}

Resolució

Perpendicularitat. $\vec w\cdot\vec u=p+(p+2)=0\iff p=-1$ , de manera que $\vec w=(-1,1,1)$ .
Mòduls. $|\vec w|=\sqrt3$ i $\dfrac{|\vec v|}{|\vec u|}=\dfrac{\sqrt6}{\sqrt2}=\sqrt3$ .
Per què. Si $\vec w\perp\vec u$ , $|\vec u\times\vec w|=|\vec u|\,|\vec w|$ , és a dir, $|\vec v|=|\vec u|\,|\vec w|$ .

Apartat d)

Resultat

No:

\vec u\cdot(1,0,0)=1\neq0

, i un producte

\vec u\times\vec w

sempre és perpendicular a

\vec u

Resolució

Condició necessària. Per l'apartat a), caldria $\vec u\cdot(1,0,0)=0$ , però val $1\neq0$ .
Comprovació. Les equacions serien $r=1$ i $-r=0$ : incompatibles. No existeix cap $\vec w$ .

Errors típics

Trobar només una solució $\vec w$ i oblidar que n'hi ha infinites.
Escriure malament les components del producte vectorial (signe de la component central).
Pensar que el producte vectorial té «invers»: no es pot dividir per $\vec u$ .
No comprovar la condició necessària $\vec u\cdot\vec v=0$ abans de resoldre.

Conceptes treballats: producte vectorial i les seves propietats, perpendicularitat, equacions vectorials, conjunt de solucions d'un sistema indeterminat, raonament de necessitat.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 40

Considera els vectors $\vec u=(1,2,2)$ i $\vec v=(1,1,0)$ .
a) Construeix una base ortonormal positiva $\{\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3\}$ amb $\vec e_1$ en la direcció i el sentit de $\vec u$ i $\vec e_3$ perpendicular al pla que determinen $\vec u$ i $\vec v$ (amb $\vec e_3$ en el sentit de $\vec u\times\vec v$ ).
b) Comprova que és ortonormal i d'orientació positiva.
c) Troba les coordenades del vector $\vec w=(3,3,3)$ en aquesta base i comprova que se'n conserva el mòdul.
d) Comprova que $\vec e_2$ és al pla determinat per $\vec u$ i $\vec v$ . Per què havia de passar?

Pista 1

$\vec e_1=\vec u/|\vec u|$ , $\vec e_3=(\vec u\times\vec v)/|\vec u\times\vec v|$ . Falta $\vec e_2$ : ha de ser perpendicular als altres dos.

Pista 2

Una manera de garantir l'orientació positiva és $\vec e_2=\vec e_3\times\vec e_1$ .

Pista 3

En una base ortonormal, les coordenades d'un vector són els productes escalars amb els vectors de la base.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 40

Apartat a)

Resultat

\vec e_1=\tfrac13(1,2,2)

\vec e_2=\tfrac13(2,1,-2)

\vec e_3=\tfrac13(-2,2,-1)

Resolució

Primer vector. $|\vec u|=3$ , de manera que $\vec e_1=\dfrac{\vec u}{|\vec u|}=\tfrac13(1,2,2)$ .
Tercer vector. $\vec u\times\vec v=(2\cdot0-2\cdot1,\ 2\cdot1-1\cdot0,\ 1\cdot1-2\cdot1)=(-2,2,-1)$ , de mòdul 3: $\vec e_3=\tfrac13(-2,2,-1)$ .
Segon vector. Perquè sigui perpendicular als altres dos i la base sigui positiva, $\vec e_2=\vec e_3\times\vec e_1$ : $\vec e_2=\tfrac19(-2,2,-1)\times(1,2,2)=\tfrac19(6,3,-6)=\tfrac13(2,1,-2)$ (Si fessis $\vec e_1\times\vec e_3$ , obtindries l'oposat i una base negativa.)

Apartat b)

Resultat

Els tres vectors són unitaris i ortogonals dos a dos, i

\det(\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3)=+1

: base ortonormal positiva.

Resolució

Mòduls. Tots tres valen $\tfrac13\sqrt9=1$ .
Ortogonalitat. $\vec e_1\cdot\vec e_2=\tfrac19(2+2-4)=0$ , $\vec e_1\cdot\vec e_3=\tfrac19(-2+4-2)=0$ , $\vec e_2\cdot\vec e_3=\tfrac19(-4+2+2)=0$ .
Orientació. $\vec e_1\times\vec e_2=\vec e_3$ (per construcció), o equivalentment $\det(\vec e_1,\vec e_2,\vec e_3)=+1$ .

Apartat c)

Resultat

Coordenades

(5,\,1,\,-1)

;

\sqrt{25+1+1}=\sqrt{27}=|\vec w|

: el mòdul es conserva.

Resolució

Coordenades en una base ortonormal. Són els productes escalars amb els vectors de la base.
Càlcul. $\vec w\cdot\vec e_1=\tfrac13(3+6+6)=5$ , $\vec w\cdot\vec e_2=\tfrac13(6+3-6)=1$ , $\vec w\cdot\vec e_3=\tfrac13(-6+6-3)=-1$ . Coordenades: $(5,1,-1)$ .
Mòdul. $\sqrt{25+1+1}=\sqrt{27}=3\sqrt3=|(3,3,3)|$ : es conserva, com passa sempre en un canvi de base ortonormal.

Apartat d)

Resultat

\vec e_2=-\tfrac13\vec u+\vec v

és al pla de

\vec u

\vec v

, perquè és perpendicular a

\vec e_3

, la normal d'aquest pla.

Resolució

Raonament. $\vec e_2$ és perpendicular a $\vec e_3$ , i $\vec e_3$ és la normal del pla de $\vec u$ i $\vec v$ ; tot vector perpendicular a $\vec e_3$ és d'aquest pla.
Verificació. $\det\begin{pmatrix}1&1&2\\2&1&1\\2&0&-2\end{pmatrix}=0$ (columnes $\vec u$ , $\vec v$ , $3\vec e_2$ ): són coplanaris.
Combinació explícita. $-\tfrac13(1,2,2)+(1,1,0)=\left(\tfrac23,\tfrac13,-\tfrac23\right)=\vec e_2$ .

Errors típics

Oblidar normalitzar els vectors (una base ortogonal no és ortonormal).
Calcular $\vec e_2=\vec e_1\times\vec e_3$ (que dona el vector oposat i una base negativa).
Fer servir les coordenades de $\vec w$ en la base canònica com si fossin les de la nova base.
Confondre ortogonal (producte escalar zero) amb ortonormal (a més, mòdul 1).

Conceptes treballats: base ortonormal, producte vectorial i orientació, canvi de coordenades amb productes escalars, conservació del mòdul, raonament geomètric.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preguntes freqüents

Quina diferència hi ha entre el producte escalar i el producte vectorial?

El producte escalar u·v és un nombre: val |u|·|v|·cos de l'angle, i serveix per calcular angles, projeccions i comprovar perpendicularitats (u·v = 0). El producte vectorial u × v és un vector perpendicular a u i a v, de mòdul |u|·|v|·sin de l'angle, que coincideix amb l'àrea del paral·lelogram que formen.

Com es calcula el volum d'un tetraedre amb vectors?

Amb el producte mixt. Si A, B, C i D són els vèrtexs, el volum és el valor absolut del determinant format per AB, AC i AD dividit per 6. El mateix determinant sense dividir dona el volum del paral·lelepípede, i si val zero, els quatre punts són coplanaris.

Què vol dir que una base és ortonormal?

Que els seus tres vectors són perpendiculars dos a dos (producte escalar zero) i tots tenen mòdul 1. En una base ortonormal, les coordenades d'un vector s'obtenen simplement amb productes escalars, i les fórmules del mòdul i dels productes tenen l'expressió habitual.

Tornar a Matemàtiques