Flashcards: Anàlisi

Totes les targetes del tema

Per fer-hi una ullada ràpida o repassar-les en paper.

1. 1. Quan existeix el límit d'una funció en un punt?

   Quan els dos límits laterals, per l'esquerra i per la dreta, existeixen i coincideixen.

2. 2. Error típic: si en substituir surt $\dfrac{0}{0}$, el límit no existeix?

   No: és una indeterminació, un avís que cal treballar l'expressió (factoritzar, L'Hôpital...). El límit pot ser un nombre concret.

3. 3. Com resols una indeterminació $\dfrac{0}{0}$ en un quocient de polinomis?

   Factoritzant el numerador i el denominador, simplificant el factor comú i tornant a substituir.

4. 4. Què diu la regla de L'Hôpital?

   En una indeterminació $\dfrac{0}{0}$ o $\dfrac{\infty}{\infty}$, $\lim \dfrac{f}{g} = \lim \dfrac{f'}{g'}$, si aquest últim límit existeix. Es deriven el numerador i el denominador per separat, no com un quocient.

5. 5. Quines tres condicions fan que f sigui contínua a $x = a$?

   Que existeixi $f(a)$, que existeixi $\lim_{x\to a} f(x)$ i que tots dos coincideixin.

6. 6. Quina diferència hi ha entre una discontinuïtat evitable i una de salt?

   Evitable: el límit existeix però no coincideix amb $f(a)$ o la funció no hi és definida. De salt: els límits laterals existeixen però són diferents.

7. 7. Com trobes un paràmetre perquè una funció a trossos sigui contínua al punt de canvi de tram?

   Iguales el límit per l'esquerra (fórmula d'abans) al de la dreta (fórmula de després) i al valor de la funció en aquell punt.

8. 8. Què garanteix el teorema de Bolzano i amb quines hipòtesis?

   Que l'equació $f(x) = 0$ té almenys una solució a l'interval obert $(a, b)$, sempre que f sigui contínua a $[a, b]$ i $f(a)$ i $f(b)$ tinguin signes contraris.

9. 9. Error típic: què no et pots saltar mai en aplicar Bolzano?

   Justificar la continuïtat a tot l'interval tancat. Si a dins hi ha una asímptota o un salt, el canvi de signe als extrems no garanteix cap arrel.

10. 10. Com acotes amb Bolzano una solució a les dècimes?

    Amb la bisecció: parteixes l'interval per la meitat, mires el signe de f al punt mig i et quedes la meitat on hi ha canvi de signe. Repeteixes fins a la precisió demanada.

11. 11. Què representa geomètricament $f'(a)$?

    El pendent de la recta tangent a la gràfica a $x = a$. Mesura la variació instantània de la funció.

12. 12. Equació de la recta tangent a la gràfica de f a $x = a$?

    $y - f(a) = f'(a)\,(x - a)$: passa pel punt $(a, f(a))$ i té pendent $f'(a)$.

13. 13. Regla de la cadena?

    $[f(g(x))]' = f'(g(x))\cdot g'(x)$: quan hi ha una funció dins d'una altra, multiplica per la derivada de la de dins. Per exemple, $(e^{u})' = e^{u}\cdot u'$.

14. 14. Derivada de $\ln u$?

    $\dfrac{u'}{u}$. En particular, la derivada de $\ln x$ és $\dfrac{1}{x}$.

15. 15. Derivada d'un quocient $\dfrac{f}{g}$?

    $\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'\cdot g - f\cdot g'}{g^2}$.

16. 16. Quina relació hi ha entre derivabilitat i continuïtat?

    Derivable implica contínua, però no al revés: $|x|$ és contínua a $x = 0$ i no hi és derivable (punt angulós).

17. 17. Què cal comprovar perquè una funció a trossos sigui derivable al punt de canvi de tram?

    Primer, que sigui contínua; després, que les derivades laterals coincideixin. Amb dos paràmetres surten dues equacions.

18. 18. Teorema de Rolle: hipòtesis i conclusió?

    Si f és contínua a $[a, b]$, derivable a $(a, b)$ i $f(a) = f(b)$, existeix almenys un $c\in(a, b)$ amb $f'(c) = 0$.

19. 19. Què afirma el teorema del valor mitjà (Lagrange)?

    Si f és contínua a $[a, b]$ i derivable a $(a, b)$, hi ha algun $c\in(a, b)$ on la derivada iguala el pendent mitjà: $f'(c) = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$.

20. 20. Com estudies el creixement d'una funció amb la derivada?

    Pel signe de $f'$: on $f' > 0$ creix i on $f' < 0$ decreix. Si $f'$ passa de positiva a negativa hi ha un màxim; de negativa a positiva, un mínim.

21. 21. Criteri de la segona derivada en un punt crític ($f'(a) = 0$)?

    Si $f''(a) < 0$, hi ha un màxim; si $f''(a) > 0$, un mínim.

22. 22. Primer pas d'un problema d'optimització amb context?

    Escriure la magnitud a optimitzar com a funció d'una sola variable, fent servir les dades de l'enunciat per eliminar les altres.

23. 23. Error típic: en optimització, n'hi ha prou de resoldre $f'(x) = 0$?

    No. Cal comprovar que és el màxim o el mínim demanat, que és dins del domini amb sentit físic i respondre en el context, amb unitats.

24. 24. Error típic: hi ha asímptota vertical a tot valor que anul·la el denominador?

    No: només si el numerador no s'hi anul·la també. Si s'anul·len tots dos, simplifiques i calcules el límit: si surt finit, és una discontinuïtat evitable.

25. 25. Com trobes l'asímptota obliqua $y = mx + n$?

    $m = \lim \dfrac{f(x)}{x}$ i $n = \lim (f(x) - mx)$ quan x tendeix a infinit. Només n'hi ha si no hi ha asímptota horitzontal.

26. 26. Què diu el signe de $f''$ sobre la curvatura?

    On $f'' > 0$ la funció és còncava cap amunt; on $f'' < 0$, còncava cap avall.

27. 27. Què és un punt d'inflexió?

    Un punt on la funció canvia de concavitat: $f''$ s'hi anul·la i hi canvia de signe.

28. 28. Trobar coeficients: quina equació dona cada condició a $x = p$?

    «Passa per $(p, q)$»: $f(p) = q$. «Màxim, mínim o tangent horitzontal»: $f'(p) = 0$. «Punt d'inflexió»: $f''(p) = 0$. Una equació per condició.