Flashcards: Probabilitat i inferència

Totes les targetes del tema

Per fer-hi una ullada ràpida o repassar-les en paper.

1. 1. Què és la probabilitat condicionada $P(A\mid B)$?

   La probabilitat que passi A sabent que ha passat B. Tenir aquesta informació pot fer A més probable o menys.

2. 2. Fórmula de la probabilitat condicionada $P(A\mid B)$?

   $P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$, sempre que $P(B)>0$. És com si l'espai mostral es reduís als casos en què passa B.

3. 3. Quines expressions d'un enunciat t'indiquen que et demanen una probabilitat condicionada?

   «Sabent que», «si ja ha passat», «entre els que…»: restringeixen el conjunt a un subgrup B, i el que es demana és $P(A\mid B)$, no $P(A)$.

4. 4. Quan són independents dos esdeveniments A i B?

   Quan el fet que passi un no afecta la probabilitat de l'altre: $P(A\mid B)=P(A)$. Si $P(A\mid B)\neq P(A)$, són dependents.

5. 5. Com calcules $P(A\cap B)$ en general?

   $P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B\mid A)$: la probabilitat d'un per la probabilitat de l'altre condicionada al primer.

6. 6. Error típic: quan pots calcular $P(A\cap B)$ com $P(A)\cdot P(B)$?

   Només si A i B són independents, perquè llavors $P(B\mid A)=P(B)$. En extraccions sense reposició, per exemple, no ho són.

7. 7. Error típic: $P(A\mid B)$ i $P(B\mid A)$ són el mateix?

   No. $P(A\mid B)$ és A sabent B, i $P(B\mid A)$ és B sabent A. El teorema de Bayes serveix precisament per passar de l'una a l'altra.

8. 8. En un diagrama d'arbre, què porten les branques i com obtens la probabilitat d'un camí?

   Les del primer nivell, la probabilitat de cada cas; les següents, probabilitats condicionades al cas anterior. La probabilitat d'un camí és el producte de les seves branques.

9. 9. Com calcules $P(A\mid B)$ a partir d'una taula de contingència?

   Divideixes els casos que compleixen A i B alhora pel total de la fila o la columna de B, no pel total general de la taula.

10. 10. Què diu el teorema de la probabilitat total?

    Si les causes $A_1,\dots,A_n$ són incompatibles i cobreixen tots els casos, $P(B)=\sum P(A_i)\cdot P(B\mid A_i)$. A l'arbre: sumes tots els camins que porten a B.

11. 11. Quin problema resol el teorema de Bayes?

    Dona la volta a una condicionada: calcula $P(\text{causa}\mid\text{efecte})$ quan el que coneixes és $P(\text{efecte}\mid\text{causa})$.

12. 12. Fórmula del teorema de Bayes?

    $P(A_i\mid B)=\dfrac{P(A_i)\cdot P(B\mid A_i)}{P(B)}$, amb $P(B)$ calculada per la probabilitat total. A l'arbre: el camí de la causa dividit per la suma dels camins que donen B.

13. 13. Per què, amb una malaltia rara, molts dels que donen positiu en una prova poden estar sans?

    Perquè els sans són moltíssims més: encara que només en doni positiu un percentatge petit, aporten molts falsos positius. Bayes ho quantifica.

14. 14. Quines condicions ha de complir un experiment perquè el nombre d'èxits segueixi una binomial?

    Nombre fix de proves $n$, dos resultats possibles en cada prova (èxit o fracàs), la mateixa probabilitat d'èxit $p$ i proves independents.

15. 15. Fórmula de $P(X=k)$ per a una binomial $B(n,p)$?

    $P(X=k)=\binom{n}{k}p^{k}(1-p)^{n-k}$, amb $k=0,\,1,\dots,n$. El nombre combinatori compta de quantes maneres es poden repartir els $k$ èxits.

16. 16. Error típic: de la binomial i la normal, quina és discreta i quina contínua?

    La binomial és discreta: compta èxits en un nombre fix de proves (valors enters). La normal és contínua: la campana de Gauss, per a magnituds com alçades o pesos.

17. 17. Quins dos paràmetres determinen una distribució normal $N(\mu,\sigma)$?

    La mitjana $\mu$, que diu on està centrada la campana, i la desviació típica $\sigma$, que diu com d'ampla és. Amb només la mitjana no n'hi ha prou.

18. 18. Com tipifiques una variable $X$ que segueix una $N(\mu,\sigma)$?

    Fas $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$. La nova variable segueix la normal estàndard $N(0,\,1)$, i ja pots consultar la taula.

19. 19. Com calcules $P(a<Z<b)$ amb la taula de la $N(0,\,1)$?

    Restes les dues acumulades: $P(a<Z<b)=P(Z<b)-P(Z<a)$. Per a valors negatius, fas servir la simetria: $P(Z<-c)=1-P(Z<c)$.

20. 20. Quan pots aproximar una binomial $B(n,p)$ per una normal, i per quina?

    Quan $n$ és gran (criteri habitual: $np\ge5$ i $n(1-p)\ge5$). S'aproxima per $N\!\left(np,\sqrt{np(1-p)}\right)$.

21. 21. Què és un interval de confiança?

    Un rang de valors, calculat a partir d'una mostra, on s'estima que hi ha un paràmetre desconegut de la població (per exemple, la mitjana), amb un cert nivell de confiança.

22. 22. Error típic: què vol dir un nivell de confiança del 95 %?

    Que si repetissis el mostreig moltes vegades, aproximadament el 95 % dels intervals contindrien el valor real. És una propietat del mètode, no la probabilitat d'un interval ja calculat.

23. 23. Si augmentes el nivell de confiança i mantens la mostra, com canvia l'interval?

    Es fa més ample: per estar més segur de no deixar fora el valor real, has d'abastar més valors. Guanyes seguretat i perds precisió.

24. 24. Si augmentes la mida de la mostra, com canvia l'interval de confiança?

    Es fa més estret: més dades, més precisió. El marge és proporcional a $\dfrac{1}{\sqrt{n}}$, i per reduir-lo a la meitat has de quadruplicar la mostra.

25. 25. En un contrast, què són la hipòtesi nul·la $H_0$ i l'alternativa $H_1$?

    $H_0$ és l'afirmació que es posa a prova (normalment «no hi ha canvi»), que es dona per bona mentre les dades no la contradiguin. $H_1$ és el que sospites o vols demostrar.

26. 26. Quan es rebutja la hipòtesi nul·la en un contrast?

    Quan el resultat de la mostra cau a la zona de rebuig: resultats tan poc probables si $H_0$ fos certa que és més raonable rebutjar-la a favor de $H_1$.

27. 27. Error típic: no rebutjar $H_0$ vol dir que has demostrat que és certa?

    No. Només vol dir que les dades no la contradiuen prou: pot faltar evidència o mostra. Es conclou «no hi ha prou evidència en contra».