Flashcards: Representació gràfica de funcions

Totes les targetes del tema

Per fer-hi una ullada ràpida o repassar-les en paper.

1. 1. Quins passos segueix l'estudi complet d'una funció per representar-la?

   Domini, simetria, talls amb els eixos, asímptotes, monotonia i extrems (amb $f'$), curvatura i punts d'inflexió (amb $f''$) i, finalment, l'esbós de la gràfica.

2. 2. Domini d'una funció racional $\dfrac{P(x)}{Q(x)}$?

   Tots els nombres reals menys els que anul·len el denominador: $\mathbb{R}-\{x : Q(x)=0\}$.

3. 3. Domini de $\sqrt{g(x)}$, una arrel d'índex parell?

   Els valors on $g(x)\ge0$: el radicand d'una arrel d'índex parell no pot ser negatiu. Les arrels d'índex senar no imposen cap condició.

4. 4. Domini de $\ln g(x)$?

   Els valors on $g(x)>0$, estrictament: el logaritme de 0 o d'un nombre negatiu no existeix. Per exemple, $\ln(x+5)$ té domini $(-5,+\infty)$.

5. 5. Quan és parella una funció i quina simetria té la gràfica?

   Quan $f(-x)=f(x)$ per a tot $x$ del domini. La gràfica és simètrica respecte de l'eix OY.

6. 6. Què vol dir que una funció sigui senar, i com es nota a la gràfica?

   Que $f(-x)=-f(x)$: si canvies el signe de $x$, el resultat també canvia de signe. Es veu com una simetria respecte de l'origen (un gir de $180^\circ$ deixa la gràfica igual).

7. 7. Quan té una funció racional una asímptota vertical $x=a$?

   Quan el denominador s'anul·la a $a$ i el numerador no. Si s'anul·len tots dos, simplifica i calcula el límit: si surt finit, és una discontinuïtat evitable, no una asímptota.

8. 8. Com saps si la gràfica se'n va a $+\infty$ o a $-\infty$ a cada costat d'una asímptota vertical $x=a$?

   Calcules els límits laterals $\lim_{x\to a^-}f(x)$ i $\lim_{x\to a^+}f(x)$: el signe del numerador i del denominador a prop de $a$ et diu cap a on va cada branca.

9. 9. Quan és $y=L$ una asímptota horitzontal?

   Quan $\lim_{x\to+\infty}f(x)=L$ o $\lim_{x\to-\infty}f(x)=L$, amb $L$ finit. Pot existir només per un costat, com passa amb moltes exponencials.

10. 10. Asímptota horitzontal d'una funció racional segons els graus del numerador i del denominador?

    Numerador de grau menor: $y=0$. Graus iguals: $y$ igual al quocient dels coeficients principals. Numerador de grau més gran: no n'hi ha.

11. 11. Quan té asímptota obliqua una funció racional i com la trobes?

    Quan el grau del numerador supera en exactament 1 el del denominador. Fas la divisió de polinomis: el quocient $mx+n$ dona l'asímptota $y=mx+n$.

12. 12. Fórmules per trobar l'asímptota obliqua $y=mx+n$ de qualsevol funció?

    $m=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{f(x)}{x}$ i $n=\lim_{x\to\pm\infty}\left(f(x)-mx\right)$. Cal que $m$ sigui finit i no nul, i que $n$ sigui finit.

13. 13. Error típic: la gràfica d'una funció mai no pot tallar la seva asímptota horitzontal?

    Sí que la pot tallar: l'asímptota només descriu què passa a l'infinit. Per exemple, $f(x)=\dfrac{x-1}{x^{2}}$ té l'asímptota $y=0$ i la talla a $x=1$.

14. 14. Com saps si la gràfica queda per sobre o per sota de l'asímptota obliqua?

    Estudies el signe de $f(x)-(mx+n)$ a cada branca: si és positiu, la corba queda per sobre de l'asímptota; si és negatiu, per sota.

15. 15. Què et diu el signe de $f'$ sobre la monotonia d'una funció?

    En un interval on $f'>0$, la funció és creixent; on $f'<0$, és decreixent.

16. 16. Criteri de la primera derivada per classificar un punt crític $x=a$, amb $f'(a)=0$?

    Si $f'$ passa de positiva a negativa a $a$, hi ha un màxim relatiu; si passa de negativa a positiva, un mínim relatiu.

17. 17. Si $f'(a)=0$, com et diu $f''(a)$ si hi ha un màxim o un mínim?

    Si $f''(a)<0$, hi ha un màxim relatiu; si $f''(a)>0$, un mínim relatiu. Si $f''(a)=0$, el criteri no decideix i cal estudiar el signe de $f'$.

18. 18. Error típic: si $f'(a)=0$, segur que hi ha un màxim o un mínim a $x=a$?

    No: cal que $f'$ hi canviï de signe. Per exemple, $f(x)=x^{3}$ té $f'(0)=0$ però és sempre creixent: a $x=0$ hi ha un punt d'inflexió amb tangent horitzontal.

19. 19. Què et diu el signe de $f''$ sobre la curvatura?

    Si $f''>0$, la funció és convexa, en forma de $\cup$. Si $f''<0$, és còncava, en forma de $\cap$. Compte: alguns llibres fan servir els noms a l'inrevés; fixa't en la forma.

20. 20. Què és un punt d'inflexió i com el detectes?

    Un punt del domini on la funció canvia de curvatura. Busques on $f''=0$ i comproves que $f''$ hi canvia de signe.

21. 21. Error típic: a la taula de signes de $f'$ i $f''$, quins punts has de marcar a més dels zeros?

    També els punts fora del domini, com les asímptotes verticals: el signe hi pot canviar, però no hi pot haver ni extrem ni inflexió perquè la funció no hi està definida.

22. 22. Com treballes una funció amb valor absolut, com $|g(x)|$?

    L'escrius a trossos: $g(x)$ on $g(x)\ge0$ i $-g(x)$ on $g(x)<0$. Als punts de canvi sol haver-hi un punt angulós: contínua, però amb derivades laterals diferents, per tant no derivable.

23. 23. Per trobar els paràmetres d'una funció, quina equació dona cada condició?

    «Passa per $(a,b)$»: $f(a)=b$. «Extrem o tangent horitzontal a $x=a$»: $f'(a)=0$. «Inflexió a $x=a$»: $f''(a)=0$. Una equació per condició, i resols el sistema.

24. 24. Quant valen $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{x^{n}}{e^{x}}$ i $\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}$?

    Tots dos valen 0: l'exponencial creix més de pressa que qualsevol potència, i qualsevol potència positiva més de pressa que el logaritme. Donen asímptotes horitzontals $y=0$.

25. 25. Com fas servir l'estudi d'una funció per saber quantes solucions té $f(x)=k$?

    Comptes quantes vegades la recta horitzontal $y=k$ talla la gràfica. Els valors frontera de $k$ solen ser les ordenades dels extrems relatius i de les asímptotes horitzontals.