Exercicis de representació gràfica de funcions — Matemàtiques 2n Batxillerat

Q: Quins passos cal seguir per fer l'estudi complet d'una funció?

Primer el domini, les simetries i els talls amb els eixos; després les asímptotes (verticals, horitzontals i obliqües); a continuació la primera derivada per a la monotonia i els extrems, i la segona per a la curvatura i els punts d'inflexió. Amb tota aquesta informació ja pots esbossar la gràfica.

Q: Quan una funció racional té asímptota obliqua?

Quan el grau del numerador és exactament una unitat més gran que el del denominador. Dividint els polinomis, el quocient dona la recta y = mx + n de l'asímptota. Si els graus són iguals hi ha asímptota horitzontal, i una funció no pot tenir les dues alhora al mateix costat.

Q: Si la derivada s'anul·la en un punt, segur que hi ha un màxim o un mínim?

No. Cal que la derivada canviï de signe en aquest punt. Per exemple, f(x) = x³ té f'(0) = 0, però la funció és creixent a tot arreu: en x = 0 hi ha un punt d'inflexió amb tangent horitzontal, no un extrem.

En aquest tema treballaràs l'estudi complet d'una funció, el procediment que permet dibuixar-ne la gràfica sense calculadora i que apareix cada any a les PAU. Començaràs pels passos bàsics: domini, simetries, talls amb els eixos i asímptotes verticals, horitzontals i obliqües. Després hi afegiràs la primera derivada per decidir on creix, on decreix i on hi ha màxims i mínims, i la segona derivada per estudiar la curvatura i els punts d'inflexió. Als exercicis intermedis i avançats faràs l'estudi sencer de funcions racionals, exponencials, logarítmiques i amb valor absolut, i resoldràs problemes amb paràmetres a l'estil PAU. Vigila els errors típics: oblidar el domini abans de buscar asímptotes, confondre asímptota horitzontal i obliqua, i donar per extrem un punt on la derivada s'anul·la sense canviar de signe.

Tens examen d'aquest tema? Fes un simulacre de 60 minuts com el de l'institut, amb solucions i criteris de correcció.Fes el simulacre →

Nivell bàsic

Exercici 1

Determina el domini de les funcions f(x) = $\tfrac{(x + 1)}{(x^{2} - 4)}$ i g(x) = $\sqrt{x - 3}$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 1

Resultat

\text{Dom}\, f = \mathbb{R} - \{-2,\ 2\}

;

\text{Dom}\, g = [3,\ +\infty)

Resolució

Dades. Busquem els valors de $x$ per als quals es poden calcular $f(x) = \dfrac{x + 1}{x^{2} - 4}$ i $g(x) = \sqrt{x - 3}$ .
Funció racional. El domini de $f$ són tots els reals excepte els que anul·len el denominador: $x^{2} - 4 = 0 \Rightarrow x = -2$ i $x = 2$ . Per tant, $\text{Dom}\, f = \mathbb{R} - \{-2,\ 2\}$ .
Arrel quadrada. A $g$ el radicand ha de ser més gran o igual que zero: $x - 3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3$ . Per tant, $\text{Dom}\, g = [3,\ +\infty)$ .
Conclusió. Fixa't que no s'han d'excloure els valors que anul·len el numerador: $x = -1$ sí que és del domini de $f$ , i hi val $f(-1) = 0$ .

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 2

Determina el domini de h(x) = ln(x² - 1) i de k(x) = 1/√(4 - x).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 2

Resultat

\text{Dom}\, h = (-\infty,\ -1) \cup (1,\ +\infty)

;

\text{Dom}\, k = (-\infty,\ 4)

Resolució

Dades. Volem el domini de $h(x) = \ln(x^{2} - 1)$ i de $k(x) = \dfrac{1}{\sqrt{4 - x}}$ .
Logaritme. El logaritme només existeix per a arguments estrictament positius: $x^{2} - 1 > 0 \Rightarrow x^{2} > 1 \Rightarrow x < -1$ o $x > 1$ . Per tant, $\text{Dom}\, h = (-\infty,\ -1) \cup (1,\ +\infty)$ .
Arrel al denominador. L'arrel exigeix $4 - x \geq 0$ i, com que és al denominador, no pot valer zero: $4 - x > 0 \Rightarrow x < 4$ . Per tant, $\text{Dom}\, k = (-\infty,\ 4)$ .
Conclusió. Error típic a $h$ : escriure només $x > 1$ i oblidar la branca negativa; recorda que $(-2)^{2} - 1 = 3 > 0$ .

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 3

Estudia si cadascuna d'aquestes funcions és parella, senar o cap de les dues coses, i digues quina simetria té la gràfica en cada cas: a) f(x) = $x^{4}$ - 3x²; b) g(x) = $x^{3}$ - x; c) h(x) = $x^{2}$ + x.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 3

Apartat a)

Resultat

f

és parella: gràfica simètrica respecte de l'eix OY.

Resolució

Definicions. Una funció és parella si $f(-x) = f(x)$ (simetria respecte de l'eix OY) i senar si $f(-x) = -f(x)$ (simetria respecte de l'origen).
Càlcul. $f(-x) = (-x)^{4} - 3(-x)^{2} = x^{4} - 3x^{2} = f(x)$ .
Conclusió. $f$ és parella i la seva gràfica és simètrica respecte de l'eix OY.

Apartat b)

Resultat

g

és senar: gràfica simètrica respecte de l'origen.

Resolució

Càlcul. $g(-x) = (-x)^{3} - (-x) = -x^{3} + x = -(x^{3} - x) = -g(x)$ .
Conclusió. $g$ és senar i la seva gràfica és simètrica respecte de l'origen de coordenades.

Apartat c)

Resultat

h

no és ni parella ni senar: no té cap d'aquestes simetries.

Resolució

Càlcul. $h(-x) = (-x)^{2} + (-x) = x^{2} - x$ , que no és ni $h(x)$ ni $-h(x)$ . Per exemple, $h(1) = 2$ i $h(-1) = 0$ .
Conclusió. $h$ no és ni parella ni senar. Regla pràctica en polinomis: només exponents parells → parella; només exponents senars → senar; barreja → cap de les dues.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 4

Troba els punts de tall amb els eixos de f(x) = $x^{2}$ − 5x + 6 i estudia el signe de la funció a cada interval.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 4

Resultat

Talls:

(0,\ 6)

(2,\ 0)

(3,\ 0)

;

f > 0

(-\infty,\ 2) \cup (3,\ +\infty)

f < 0

(2,\ 3)

Resolució

Tall amb OY. Fem $x = 0$ : $f(0) = 6$ , punt $(0,\ 6)$ .
Talls amb OX. Resolem $f(x) = 0$ : $x^{2} - 5x + 6 = 0 \Rightarrow x = 2$ i $x = 3$ . Punts $(2,\ 0)$ i $(3,\ 0)$ .
Signe. Les arrels divideixen la recta en tres intervals. Provem un valor a cadascun: $f(0) = 6 > 0$ , $f(2{,}5) = -0{,}25 < 0$ , $f(4) = 2 > 0$ .
Conclusió. $f$ és positiva a $(-\infty,\ 2) \cup (3,\ +\infty)$ (gràfica per sobre de l'eix) i negativa a $(2,\ 3)$ (per sota). És coherent amb una paràbola de branques cap amunt.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 5

Troba les asímptotes de la funció f(x) = $\tfrac{(2x - 1)}{(x + 3)}$ i indica com s'hi acosta la gràfica a cada costat de l'asímptota vertical.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 5

Resultat

x = -3

(

f \to +\infty

per l'esquerra i

f \to -\infty

per la dreta); AH

y = 2

; no hi ha obliqua.

Resolució

Dades. $f(x) = \dfrac{2x - 1}{x + 3}$ és racional; el denominador s'anul·la a $x = -3$ i el numerador hi val $-7 \neq 0$ .
Asímptota vertical i límits laterals. $x = -3$ . Si $x \to -3^{-}$ , numerador $\to -7$ i denominador $\to 0^{-}$ : quocient $\to +\infty$ . Si $x \to -3^{+}$ , $\tfrac{-7}{0^{+}} \to -\infty$ .
Asímptota horitzontal. Graus iguals: el límit és el quocient de coeficients principals, $\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{2x - 1}{x + 3} = \dfrac{2}{1} = 2.$ AH: $y = 2$ . No hi ha asímptota obliqua, perquè ja n'hi ha d'horitzontal.
Conclusió. La gràfica puja cap a $+\infty$ a l'esquerra de $x = -3$ , surt de $-\infty$ a la dreta i s'aplana cap a la recta $y = 2$ als dos extrems.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 6

Determina els intervals de creixement i decreixement i els extrems relatius de f(x) = 2x³ - 9x² + 12x.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 6

Resultat

Creixent a

(-\infty,\ 1) \cup (2,\ +\infty)

, decreixent a

(1,\ 2)

; màxim relatiu

(1,\ 5)

i mínim relatiu

(2,\ 4)

Resolució

Derivada. $f'(x) = 6x^{2} - 18x + 12 = 6(x^{2} - 3x + 2) = 6(x - 1)(x - 2)$ , que s'anul·la a $x = 1$ i $x = 2$ .
Signe de f'. A $x = 0$ , $f' = 12 > 0$ ; a $x = 1{,}5$ , $f' = 6 \cdot 0{,}5 \cdot (-0{,}5) < 0$ ; a $x = 3$ , $f' = 12 > 0$ . Creixent a $(-\infty,\ 1) \cup (2,\ +\infty)$ i decreixent a $(1,\ 2)$ .
Extrems. A $x = 1$ passa de créixer a decréixer: màxim relatiu $(1,\ f(1)) = (1,\ 5)$ . A $x = 2$ passa de decréixer a créixer: mínim relatiu $(2,\ f(2)) = (2,\ 4)$ .
Comprovació. Amb la segona derivada, $f''(x) = 12x - 18$ : $f''(1) = -6 < 0$ (màxim) i $f''(2) = 6 > 0$ (mínim).

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 7

Estudia la curvatura (concavitat i convexitat) de f(x) = $x^{4}$ - 6x² i troba'n els punts d'inflexió.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 7

Resultat

Convexa (∪) a

(-\infty,\ -1) \cup (1,\ +\infty)

, còncava (∩) a

(-1,\ 1)

; punts d'inflexió

(-1,\ -5)

(1,\ -5)

Resolució

Derivades. $f'(x) = 4x^{3} - 12x$ i $f''(x) = 12x^{2} - 12 = 12(x - 1)(x + 1)$ , que s'anul·la a $x = -1$ i $x = 1$ .
Signe de f''. A $x = -2$ , $f'' = 36 > 0$ ; a $x = 0$ , $f'' = -12 < 0$ ; a $x = 2$ , $f'' = 36 > 0$ .
Curvatura. Convexa (forma ∪) a $(-\infty,\ -1) \cup (1,\ +\infty)$ i còncava (forma ∩) a $(-1,\ 1)$ .
Conclusió. Com que $f''$ canvia de signe a $x = -1$ i a $x = 1$ , tots dos són punts d'inflexió: $(-1,\ f(-1)) = (-1,\ -5)$ i $(1,\ -5)$ . Error típic: dir que hi ha inflexió només perquè $f'' = 0$ ; cal comprovar el canvi de signe.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 8

Comprova que f(x) = $\tfrac{(x^{2} + 1)}{x}$ té una asímptota obliqua i troba'n l'equació. Té també asímptota vertical?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 8

Resultat

Asímptota obliqua

y = x

; sí, té asímptota vertical

x = 0

Resolució

Dades. A $f(x) = \dfrac{x^{2} + 1}{x}$ el grau del numerador (2) supera en una unitat el del denominador (1): hi ha asímptota obliqua $y = mx + n$ .
Divisió. $\dfrac{x^{2} + 1}{x} = x + \dfrac{1}{x}$ . Quan $x \to \pm\infty$ , $\tfrac{1}{x} \to 0$ , de manera que la gràfica s'acosta a la recta $y = x$ .
Amb les fórmules. $m = \lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x} = \lim \dfrac{x^{2} + 1}{x^{2}} = 1,\qquad n = \lim_{x \to \infty} \big(f(x) - x\big) = \lim \dfrac{1}{x} = 0.$ AO: $y = x$ .
Asímptota vertical. $x = 0$ : el denominador s'anul·la i el numerador val 1; el límit per l'esquerra és $-\infty$ i per la dreta $+\infty$ .
Conclusió. No hi ha asímptota horitzontal, perquè el límit a l'infinit és infinit.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 9

Donada f(x) = 1 + 2e^−x, calcula els límits quan x → +∞ i quan x → −∞, indica si té asímptotes horitzontals i raona si la funció és creixent o decreixent.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 9

Resultat

\lim_{x \to +\infty} f = 1

\lim_{x \to -\infty} f = +\infty

; AH

y = 1

només per la dreta;

f

és estrictament decreixent.

Resolució

Límit a +∞. Quan $x \to +\infty$ , $e^{-x} \to 0$ , així que $f(x) \to 1 + 0 = 1$ : asímptota horitzontal $y = 1$ per la dreta. La gràfica s'hi acosta per sobre, perquè $2e^{-x} > 0$ .
Límit a −∞. Quan $x \to -\infty$ , $e^{-x} = e^{|x|} \to +\infty$ , així que $f(x) \to +\infty$ : no hi ha asímptota per l'esquerra.
Monotonia. $f'(x) = -2e^{-x} < 0$ per a tot $x$ : la funció és estrictament decreixent a tot $\mathbb{R}$ i no té extrems.
Conclusió. A més, talla l'eix OY a $(0,\ 3)$ i no talla l'eix OX, perquè $f(x) > 1$ sempre.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 10

Per a la funció f(x) = ln(x − 2), determina el domini, les asímptotes i el punt de tall amb l'eix OX.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 10

Resultat

\text{Dom}\, f = (2,\ +\infty)

; AV

x = 2

(sense horitzontal ni obliqua); tall amb OX a

(3,\ 0)

Resolució

Domini. L'argument del logaritme ha de ser positiu: $x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2$ . $\text{Dom}\, f = (2,\ +\infty)$ .
Asímptota vertical. A l'extrem del domini, $\lim_{x \to 2^{+}} \ln(x - 2) = \ln(0^{+}) = -\infty$ . AV: $x = 2$ .
Comportament a l'infinit. $\lim_{x \to +\infty} \ln(x - 2) = +\infty$ : no hi ha asímptota horitzontal; ni obliqua, perquè $\ln$ creix més a poc a poc que qualsevol recta ( $\lim f(x)/x = 0$ ).
Tall amb OX. $\ln(x - 2) = 0 \Rightarrow x - 2 = 1 \Rightarrow x = 3$ , punt $(3,\ 0)$ . No talla OY, perquè $x = 0$ no és del domini.
Conclusió. És la gràfica de $\ln x$ desplaçada 2 unitats cap a la dreta.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell intermedi

Exercici 11

Donada f(x) = - $x^{3}$ + 3x², determina els punts de tall amb els eixos, els extrems relatius i el punt d'inflexió, i descriu com és la gràfica quan x → ±∞.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 11

Resultat

Talls

(0,\ 0)

(3,\ 0)

; mínim relatiu

(0,\ 0)

, màxim relatiu

(2,\ 4)

; inflexió

(1,\ 2)

;

f \to +\infty

x \to -\infty

f \to -\infty

x \to +\infty

Resolució

Talls. $f(x) = x^{2}(3 - x) = 0 \Rightarrow x = 0$ (arrel doble) i $x = 3$ : punts $(0,\ 0)$ i $(3,\ 0)$ . Amb OY, $(0,\ 0)$ .
Monotonia i extrems. $f'(x) = -3x^{2} + 6x = -3x(x - 2) = 0 \Rightarrow x = 0,\ x = 2$ . $f' < 0$ si $x < 0$ , $f' > 0$ a $(0,\ 2)$ i $f' < 0$ si $x > 2$ : mínim relatiu $(0,\ 0)$ i màxim relatiu $(2,\ f(2)) = (2,\ 4)$ .
Curvatura. $f''(x) = -6x + 6 = 0 \Rightarrow x = 1$ ; $f'' > 0$ si $x < 1$ (convexa) i $f'' < 0$ si $x > 1$ (còncava): punt d'inflexió $(1,\ 2)$ .
Comportament a l'infinit. Mana el terme $-x^{3}$ : $f(x) \to +\infty$ quan $x \to -\infty$ i $f(x) \to -\infty$ quan $x \to +\infty$ (sense asímptotes).
Conclusió. La gràfica baixa des de $+\infty$ , toca l'eix a $(0,\ 0)$ , puja fins a $(2,\ 4)$ i torna a baixar passant per $(3,\ 0)$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 12

Per a f(x) = $\tfrac{(x^{2} - 1)}{(x^{2} + 1)}$ , estudia el domini, la simetria, els talls amb els eixos, les asímptotes i els extrems relatius.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 12

Resultat

\text{Dom}\, f = \mathbb{R}

; parella (simetria OY); talls

(0,\ -1)

(-1,\ 0)

(1,\ 0)

; AH

y = 1

, sense AV; mínim relatiu (i absolut)

(0,\ -1)

Resolució

Domini. $x^{2} + 1 > 0$ sempre: $\text{Dom}\, f = \mathbb{R}$ i no hi ha asímptotes verticals.
Simetria i talls. $f(-x) = \dfrac{(-x)^{2} - 1}{(-x)^{2} + 1} = f(x)$ : parella, simètrica respecte de l'eix OY. $f(0) = -1 \Rightarrow (0,\ -1)$ ; $f(x) = 0 \Rightarrow x^{2} = 1 \Rightarrow (-1,\ 0)$ i $(1,\ 0)$ .
Asímptota horitzontal. $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \tfrac{1}{1} = 1$ : $y = 1$ . La gràfica s'hi acosta per sota, perquè $f(x) < 1$ sempre.
Derivada. $f'(x) = \dfrac{2x(x^{2} + 1) - (x^{2} - 1) \cdot 2x}{(x^{2} + 1)^{2}} = \dfrac{4x}{(x^{2} + 1)^{2}}.$ $f' < 0$ si $x < 0$ i $f' > 0$ si $x > 0$ : mínim relatiu (i absolut) a $(0,\ -1)$ .
Conclusió. La gràfica és una «U» aixafada entre $y = -1$ i $y = 1$ , simètrica, que s'aplana cap a $y = 1$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 13

Donada f(x) = $\tfrac{(x^{2} - 2x + 2)}{(x - 1)}$ , troba'n les asímptotes i els extrems relatius, i indica a quin costat de l'asímptota obliqua queda la gràfica a cada branca.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 13

Resultat

x = 1

, AO

y = x - 1

; màxim relatiu

(0,\ -2)

, mínim relatiu

(2,\ 2)

; per sobre de l'obliqua si

x > 1

i per sota si

x < 1

Resolució

Divisió. Domini $\mathbb{R} - \{1\}$ . Dividint els polinomis, $f(x) = x - 1 + \dfrac{1}{x - 1}.$
Asímptotes. Vertical $x = 1$ : $\lim_{x \to 1^{-}} f = -\infty$ ( $\tfrac{1}{0^{-}}$ ) i $\lim_{x \to 1^{+}} f = +\infty$ . Obliqua $y = x - 1$ , perquè $\tfrac{1}{x - 1} \to 0$ quan $x \to \pm\infty$ .
Posició respecte de l'obliqua. Si $x > 1$ , $\tfrac{1}{x - 1} > 0$ i la gràfica queda per sobre de la recta; si $x < 1$ , queda per sota.
Extrems. $f'(x) = 1 - \dfrac{1}{(x - 1)^{2}} = 0 \Rightarrow (x - 1)^{2} = 1 \Rightarrow x = 0$ o $x = 2$ . Amb $f''(x) = \dfrac{2}{(x - 1)^{3}}$ : $f''(0) = -2 < 0$ → màxim relatiu $(0,\ -2)$ ; $f''(2) = 2 > 0$ → mínim relatiu $(2,\ 2)$ .
Conclusió. Observa que el màxim (−2) és més petit que el mínim (2): és normal en una funció amb asímptota vertical, perquè són extrems relatius de branques diferents.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 14

Sigui f(x) = $x^{2}$ · $e^{-x}$ . Determina els intervals de monotonia i els extrems relatius, calcula els límits quan x → +∞ i x → -∞ i indica les asímptotes.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 14

Resultat

Decreixent a

(-\infty,\ 0) \cup (2,\ +\infty)

, creixent a

(0,\ 2)

; mínim

(0,\ 0)

, màxim

(2,\ 4e^{-2}) \approx (2;\ 0{,}54)

;

\lim_{x \to +\infty} f = 0

\lim_{x \to -\infty} f = +\infty

; AH

y = 0

per la dreta.

Resolució

Derivada. Domini $\mathbb{R}$ . Per la regla del producte, $f'(x) = 2x e^{-x} - x^{2} e^{-x} = x(2 - x)e^{-x}$ . Com que $e^{-x} > 0$ , el signe depèn de $x(2 - x)$ : negatiu si $x < 0$ , positiu a $(0,\ 2)$ i negatiu si $x > 2$ .
Monotonia i extrems. Decreixent a $(-\infty,\ 0) \cup (2,\ +\infty)$ i creixent a $(0,\ 2)$ . Mínim relatiu $(0,\ 0)$ (també absolut, ja que $f \geq 0$ ) i màxim relatiu $(2,\ 4e^{-2}) \approx (2;\ 0{,}54)$ .
Límit a +∞ (L'Hôpital). $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^{2}}{e^{x}}$ és $\tfrac{\infty}{\infty}$ ; aplicant L'Hôpital dues vegades, $\lim \dfrac{2}{e^{x}} = 0$ . Asímptota horitzontal $y = 0$ per la dreta.
Límit a −∞. $x^{2} \to +\infty$ i $e^{-x} \to +\infty$ : el producte tendeix a $+\infty$ . No hi ha asímptota per l'esquerra, ni verticals (la funció és contínua a $\mathbb{R}$ ).
Conclusió. Error típic: creure que $f(x) \to \infty$ també per la dreta perquè $x^{2}$ creix; l'exponencial $e^{x}$ creix més de pressa que qualsevol polinomi.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 15

Estudia la funció f(x) = x·ln x: domini, punts de tall amb els eixos, límit quan x → $0^{+}$ , monotonia, extrems i curvatura.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 15

Resultat

\text{Dom}\, f = (0,\ +\infty)

; tall

(1,\ 0)

;

\lim_{x \to 0^{+}} f = 0

; decreixent a

(0,\ 1/e)

, creixent a

(1/e,\ +\infty)

; mínim

(1/e,\ -1/e) \approx (0{,}37;\ -0{,}37)

; convexa a tot el domini.

Resolució

Domini i talls. Cal $x > 0$ : $\text{Dom}\, f = (0,\ +\infty)$ . Tall amb OX: $x \ln x = 0 \Rightarrow \ln x = 0 \Rightarrow x = 1$ , punt $(1,\ 0)$ ( $x = 0$ no és del domini). No talla OY.
Límit a 0⁺ (L'Hôpital). És del tipus $0 \cdot (-\infty)$ ; escrivint-ho com a quocient, $\lim_{x \to 0^{+}} \dfrac{\ln x}{1/x} = \lim_{x \to 0^{+}} \dfrac{1/x}{-1/x^{2}} = \lim_{x \to 0^{+}} (-x) = 0.$ La gràfica surt del punt $(0,\ 0)$ sense tocar-lo i no hi ha asímptota vertical.
Monotonia i extrems. $f'(x) = \ln x + 1 = 0 \Rightarrow \ln x = -1 \Rightarrow x = 1/e \approx 0{,}37$ . $f' < 0$ a $(0,\ 1/e)$ i $f' > 0$ a $(1/e,\ +\infty)$ : mínim relatiu (i absolut) a $(1/e,\ -1/e) \approx (0{,}37;\ -0{,}37)$ .
Curvatura. $f''(x) = 1/x > 0$ a tot el domini: la funció és convexa i no té punts d'inflexió.
Conclusió. $\lim_{x \to +\infty} f = +\infty$ , sense asímptota horitzontal ni obliqua, perquè $f(x)/x = \ln x \to \infty$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 16

Donada f(x) = $|x^{2} - 4|$ , escriu-la com a funció definida a trossos, troba els talls amb els eixos i els extrems relatius, i indica en quins punts no és derivable.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 16

Resultat

f(x) = x^{2} - 4

x \leq -2

x \geq 2

;

f(x) = 4 - x^{2}

-2 < x < 2

. Talls

(\pm 2,\ 0)

(0,\ 4)

; màxim relatiu

(0,\ 4)

, mínims relatius

(\pm 2,\ 0)

; no derivable a

x = \pm 2

Resolució

Funció a trossos. $x^{2} - 4$ és negatiu a $(-2,\ 2)$ i positiu fora. Per tant, $f(x) = x^{2} - 4$ si $x \leq -2$ o $x \geq 2$ , i $f(x) = 4 - x^{2}$ si $-2 < x < 2$ .
Talls. Amb OX, $(-2,\ 0)$ i $(2,\ 0)$ ; amb OY, $f(0) = |0 - 4| = 4$ , punt $(0,\ 4)$ . La funció és parella.
Monotonia i extrems. Al tros central, $f' = -2x$ : positiva a $(-2,\ 0)$ i negativa a $(0,\ 2)$ , màxim relatiu $(0,\ 4)$ . Als trossos exteriors, $f' = 2x$ : decreixent si $x < -2$ i creixent si $x > 2$ . Els punts $(-2,\ 0)$ i $(2,\ 0)$ són mínims relatius (i absoluts, ja que $f \geq 0$ ).
Derivabilitat. A $x = 2$ les derivades laterals són $-4$ (tros $4 - x^{2}$ ) i $4$ (tros $x^{2} - 4$ ), diferents; el mateix passa a $x = -2$ . Són punts angulosos: $f$ no és derivable a $x = \pm 2$ , tot i ser-hi contínua.
Conclusió. La gràfica és la paràbola $y = x^{2} - 4$ amb la part negativa reflectida cap amunt.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 17

Troba totes les asímptotes de f(x) = (3x² + 1)/( $x^{2}$ - x - 2), calcula els límits laterals a cada asímptota vertical i determina els punts de tall amb els eixos.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 17

Resultat

x = -1

(

+\infty

per l'esquerra,

-\infty

per la dreta) i

x = 2

(

-\infty

per l'esquerra,

+\infty

per la dreta); AH

y = 3

; no talla OX; tall amb OY

(0,\ -\tfrac{1}{2})

Resolució

Domini. $x^{2} - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$ : domini $\mathbb{R} - \{-1,\ 2\}$ . El numerador no s'anul·la mai ( $3x^{2} + 1 \geq 1$ ), així que no hi ha discontinuïtats evitables.
Asímptotes verticals. $x = -1$ i $x = 2$ . A $x = -1$ el numerador val 4: si $x \to -1^{-}$ , el denominador és $(-)(-) = +$ petit → $+\infty$ ; si $x \to -1^{+}$ , $(-)(+)$ → $-\infty$ . A $x = 2$ el numerador val 13: si $x \to 2^{-}$ , $(-)(+)$ → $-\infty$ ; si $x \to 2^{+}$ , $(+)(+)$ → $+\infty$ .
Asímptota horitzontal. Graus iguals: $y = \tfrac{3}{1} = 3$ (per tant, no hi ha obliqua).
Talls. Amb OX cap, perquè $3x^{2} + 1 \neq 0$ ; amb OY, $f(0) = \tfrac{1}{-2} = -\tfrac{1}{2}$ , punt $(0,\ -\tfrac{1}{2})$ .
Conclusió. Pista per al dibuix: entre les dues asímptotes verticals la gràfica va de $-\infty$ a $-\infty$ passant per $(0,\ -\tfrac{1}{2})$ , i fora s'acosta a $y = 3$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 18

Per a f(x) = $\tfrac{x}{x^{2} - 1}$ , estudia el domini, la simetria, les asímptotes i la monotonia, i justifica que no té cap extrem relatiu.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 18

Resultat

\text{Dom}\, f = \mathbb{R} - \{-1,\ 1\}

; senar; AV

x = \pm 1

, AH

y = 0

; decreixent a

(-\infty,\ -1)

(-1,\ 1)

(1,\ +\infty)

; sense extrems perquè

f'

no s'anul·la mai.

Resolució

Domini i simetria. $x^{2} - 1 \neq 0$ : $\mathbb{R} - \{-1,\ 1\}$ . $f(-x) = \dfrac{-x}{x^{2} - 1} = -f(x)$ : senar, simètrica respecte de l'origen. Talla els eixos només a $(0,\ 0)$ .
Asímptotes verticals. $x = -1$ i $x = 1$ . A $x = 1$ (numerador → 1): $\lim_{x \to 1^{-}} f = \tfrac{1}{0^{-}} = -\infty$ i $\lim_{x \to 1^{+}} f = +\infty$ . Per la simetria, a $x = -1$ : per l'esquerra $-\infty$ i per la dreta $+\infty$ .
Asímptota horitzontal. El grau del numerador és més petit: $\lim_{x \to \pm\infty} f = 0$ , $y = 0$ .
Monotonia. $f'(x) = \dfrac{(x^{2} - 1) - x \cdot 2x}{(x^{2} - 1)^{2}} = -\dfrac{x^{2} + 1}{(x^{2} - 1)^{2}} < 0$ per a tot $x$ del domini: $f$ és decreixent a cadascun dels tres intervals $(-\infty,\ -1)$ , $(-1,\ 1)$ i $(1,\ +\infty)$ .
Conclusió. Com que $f'$ no s'anul·la mai, no hi ha extrems relatius. Atenció: no és decreixent «a tot $\mathbb{R}$ », perquè entre branques salta de $-\infty$ a $+\infty$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 19

Determina els valors d'a i b perquè la funció f(x) = $\tfrac{ax + b}{x - 2}$ tingui l'asímptota horitzontal y = 3 i passi pel punt (0, 1). Amb els valors trobats, indica l'asímptota vertical i el tall amb l'eix OX.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 19

Resultat

a = 3

b = -2

f(x) = \dfrac{3x - 2}{x - 2}

; AV

x = 2

; tall amb OX

(\tfrac{2}{3},\ 0)

Resolució

Asímptota horitzontal. $\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{ax + b}{x - 2} = \dfrac{a}{1} = a$ . Imposem $a = 3$ .
Pas pel punt (0, 1). $f(0) = \dfrac{0 + b}{0 - 2} = -\dfrac{b}{2} = 1 \Rightarrow b = -2$ . Per tant, $f(x) = \dfrac{3x - 2}{x - 2}$ .
Asímptota vertical i tall. AV $x = 2$ (el numerador hi val $4 \neq 0$ ). Tall amb OX: $3x - 2 = 0 \Rightarrow x = \tfrac{2}{3}$ , punt $(\tfrac{2}{3},\ 0)$ .
Comprovació. $f(0) = \tfrac{-2}{-2} = 1$ i, dividint, $f(x) = 3 + \dfrac{4}{x - 2}$ , que confirma l'AH $y = 3$ (la gràfica queda per sobre si $x > 2$ i per sota si $x < 2$ ).

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 20

La funció f(x) = ax³ + bx té un màxim relatiu en el punt (1, 2). Calcula a i b, i troba després el mínim relatiu i el punt d'inflexió de la funció.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 20

Resultat

a = -1

b = 3

f(x) = -x^{3} + 3x

; mínim relatiu

(-1,\ -2)

; punt d'inflexió

(0,\ 0)

Resolució

Condicions. $f(1) = 2 \Rightarrow a + b = 2$ ; màxim a $x = 1$ → $f'(1) = 0$ , amb $f'(x) = 3ax^{2} + b$ → $3a + b = 0$ .
Sistema. Restant les equacions: $2a = -2 \Rightarrow a = -1$ , $b = 3$ . Per tant, $f(x) = -x^{3} + 3x$ . Comprovem que és màxim: $f''(x) = -6x$ , $f''(1) = -6 < 0$ . Correcte.
Mínim. $f'(x) = -3x^{2} + 3 = 0 \Rightarrow x = \pm 1$ ; $f''(-1) = 6 > 0$ → mínim relatiu $(-1,\ -2)$ .
Inflexió. $f''(x) = -6x = 0 \Rightarrow x = 0$ , i $f''$ hi canvia de signe: punt d'inflexió $(0,\ 0)$ .
Conclusió. Té sentit: la funció és senar (només exponents senars), i el mínim és el simètric del màxim respecte de l'origen.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 21

Donada f(x) = $x^{3}$ - 3x² + 2, troba els extrems relatius i el punt d'inflexió, escriu la recta tangent en el punt d'inflexió i comprova que aquest punt és el punt mitjà del segment que uneix el màxim i el mínim.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 21

Resultat

Màxim

(0,\ 2)

, mínim

(2,\ -2)

; inflexió

(1,\ 0)

; tangent

y = -3x + 3

; el punt mitjà de màxim i mínim és

(1,\ 0)

, el punt d'inflexió.

Resolució

Extrems. $f'(x) = 3x^{2} - 6x = 3x(x - 2) = 0 \Rightarrow x = 0,\ x = 2$ . Amb $f''(x) = 6x - 6$ : $f''(0) = -6 < 0$ , màxim relatiu $(0,\ 2)$ ; $f''(2) = 6 > 0$ , mínim relatiu $(2,\ -2)$ .
Inflexió. $f''(x) = 0 \Rightarrow x = 1$ , amb canvi de signe (còncava abans, convexa després): punt $(1,\ f(1)) = (1,\ 0)$ .
Recta tangent. Pendent $f'(1) = 3 - 6 = -3$ ; $y - 0 = -3(x - 1)$ , és a dir, $y = -3x + 3$ . És la tangent de pendent mínim de tota la corba.
Punt mitjà. Entre el màxim $(0,\ 2)$ i el mínim $(2,\ -2)$ : $\left(\tfrac{0 + 2}{2},\ \tfrac{2 - 2}{2}\right) = (1,\ 0)$ , que coincideix amb el punt d'inflexió.
Conclusió. Aquesta propietat val per a qualsevol cúbica: la gràfica és simètrica respecte del seu punt d'inflexió.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell avançat

Exercici 22

Fes l'estudi complet de f(x) = $\tfrac{x^{2}}{x - 1}$ : domini, talls amb els eixos, asímptotes, monotonia, extrems relatius i curvatura. Descriu després la gràfica.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 22

Resultat

\text{Dom} = \mathbb{R} - \{1\}

; tall

(0,\ 0)

; AV

x = 1

, AO

y = x + 1

; creixent a

(-\infty,\ 0) \cup (2,\ +\infty)

, decreixent a

(0,\ 1) \cup (1,\ 2)

; màxim

(0,\ 0)

, mínim

(2,\ 4)

; còncava si

x < 1

, convexa si

x > 1

, sense inflexions.

Resolució

Domini i talls. $\text{Dom}\, f = \mathbb{R} - \{1\}$ . $f(x) = 0 \Rightarrow x = 0$ : únic punt de tall $(0,\ 0)$ . No és ni parella ni senar.
Asímptotes. Vertical $x = 1$ , amb $\lim_{x \to 1^{-}} f = \tfrac{1}{0^{-}} = -\infty$ i $\lim_{x \to 1^{+}} f = +\infty$ . Dividint, $f(x) = x + 1 + \dfrac{1}{x - 1}$ : obliqua $y = x + 1$ (no hi ha horitzontal). La gràfica queda per sobre de l'obliqua si $x > 1$ i per sota si $x < 1$ .
Monotonia i extrems. $f'(x) = \dfrac{2x(x - 1) - x^{2}}{(x - 1)^{2}} = \dfrac{x(x - 2)}{(x - 1)^{2}}.$ Zeros $x = 0$ i $x = 2$ . Signe: $+$ a $(-\infty,\ 0)$ , $-$ a $(0,\ 1) \cup (1,\ 2)$ , $+$ a $(2,\ +\infty)$ . Màxim relatiu $(0,\ 0)$ i mínim relatiu $(2,\ 4)$ .
Curvatura. $f''(x) = \dfrac{2}{(x - 1)^{3}}$ : negativa si $x < 1$ (còncava) i positiva si $x > 1$ (convexa). No hi ha punts d'inflexió: el canvi de curvatura es produeix a l'asímptota.
Gràfica. Branca esquerra còncava que puja des de l'obliqua fins al màxim $(0,\ 0)$ i cau a $-\infty$ a $x = 1$ ; branca dreta convexa que baixa des de $+\infty$ fins al mínim $(2,\ 4)$ i torna a pujar enganxant-se a $y = x + 1$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 23

Fes l'estudi complet de f(x) = $\tfrac{x^{2} - 4}{x^{2} - 1}$ : domini, simetria, talls amb els eixos, asímptotes amb límits laterals, monotonia, extrems i curvatura.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 23

Resultat

\text{Dom} = \mathbb{R} - \{\pm 1\}

; parella; talls

(\pm 2,\ 0)

(0,\ 4)

; AV

x = \pm 1

, AH

y = 1

; decreixent a

(-\infty,\ -1) \cup (-1,\ 0)

, creixent a

(0,\ 1) \cup (1,\ +\infty)

; mínim

(0,\ 4)

; convexa a

(-1,\ 1)

, còncava fora; sense inflexions.

Resolució

Domini, simetria i talls. $\text{Dom}\, f = \mathbb{R} - \{-1,\ 1\}$ . Parella (només potències parells de $x$ ): simètrica respecte d'OY, n'hi ha prou d'estudiar $x \geq 0$ . Talls: OX a $x^{2} = 4 \Rightarrow (-2,\ 0)$ i $(2,\ 0)$ ; OY a $f(0) = 4 \Rightarrow (0,\ 4)$ .
Asímptotes verticals. $x = 1$ i $x = -1$ . A $x = 1$ el numerador val $-3$ : $\lim_{x \to 1^{-}} f = \tfrac{-3}{0^{-}} = +\infty$ i $\lim_{x \to 1^{+}} f = -\infty$ . Per simetria, a $x = -1$ : per l'esquerra $-\infty$ i per la dreta $+\infty$ .
Asímptota horitzontal. Graus iguals: $y = 1$ . Com que $f(x) - 1 = -\dfrac{3}{x^{2} - 1}$ , la gràfica queda per sota de $y = 1$ si $|x| > 1$ i per sobre si $|x| < 1$ .
Monotonia. $f'(x) = \dfrac{2x(x^{2} - 1) - (x^{2} - 4) \cdot 2x}{(x^{2} - 1)^{2}} = \dfrac{6x}{(x^{2} - 1)^{2}}:$ negativa si $x < 0$ , positiva si $x > 0$ . Decreixent a $(-\infty,\ -1) \cup (-1,\ 0)$ , creixent a $(0,\ 1) \cup (1,\ +\infty)$ . Mínim relatiu $(0,\ 4)$ .
Curvatura. $f''(x) = -\dfrac{6(3x^{2} + 1)}{(x^{2} - 1)^{3}}$ : el signe és el contrari del de $(x^{2} - 1)^{3}$ . Convexa a $(-1,\ 1)$ i còncava a $(-\infty,\ -1) \cup (1,\ +\infty)$ . Sense punts d'inflexió.
Gràfica. Part central en forma d'U amb vèrtex $(0,\ 4)$ que puja cap a $+\infty$ a prop de $x = \pm 1$ ; a l'exterior, dues branques còncaves que surten de $-\infty$ , tallen l'eix a $x = \pm 2$ i s'acosten per sota a $y = 1$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 24

Fes l'estudi complet de f(x) = (x - 1)· $e^{x}$ : domini, talls, límits a l'infinit i asímptotes, monotonia, extrems, curvatura i punts d'inflexió.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 24

Resultat

\text{Dom} = \mathbb{R}

; talls

(1,\ 0)

(0,\ -1)

;

\lim_{x \to +\infty} f = +\infty

\lim_{x \to -\infty} f = 0

(AH

y = 0

per l'esquerra); decreixent a

(-\infty,\ 0)

, creixent a

(0,\ +\infty)

; mínim

(0,\ -1)

; còncava a

(-\infty,\ -1)

, convexa a

(-1,\ +\infty)

; inflexió

(-1,\ -\tfrac{2}{e}) \approx (-1;\ -0{,}74)

Resolució

Domini i talls. Domini $\mathbb{R}$ (producte de funcions contínues). $f(x) = 0 \Rightarrow x = 1$ , punt $(1,\ 0)$ ; $f(0) = -1$ , punt $(0,\ -1)$ . Signe: negativa si $x < 1$ , positiva si $x > 1$ .
Límits i asímptotes. Si $x \to +\infty$ , $(x - 1)e^{x} \to +\infty$ , sense asímptota horitzontal ni obliqua ( $f(x)/x \to \infty$ ). Si $x \to -\infty$ , és del tipus $\infty \cdot 0$ ; escrivint $\dfrac{x - 1}{e^{-x}}$ i aplicant L'Hôpital, $\dfrac{1}{-e^{-x}} \to 0$ . Asímptota horitzontal $y = 0$ per l'esquerra, amb la gràfica per sota ( $f < 0$ si $x < 1$ ).
Monotonia i extrems. $f'(x) = e^{x} + (x - 1)e^{x} = x e^{x}$ : negativa si $x < 0$ , positiva si $x > 0$ . Decreixent a $(-\infty,\ 0)$ , creixent a $(0,\ +\infty)$ . Mínim relatiu i absolut $(0,\ -1)$ .
Curvatura. $f''(x) = e^{x} + x e^{x} = (x + 1)e^{x}$ : còncava a $(-\infty,\ -1)$ , convexa a $(-1,\ +\infty)$ . Punt d'inflexió $(-1,\ -\tfrac{2}{e}) \approx (-1;\ -0{,}74)$ .
Gràfica. Ve de l'esquerra enganxada a $y = 0$ per sota, baixa suaument (canvia de curvatura a $x = -1$ ), toca el mínim $(0,\ -1)$ , talla l'eix a $(1,\ 0)$ i puja de manera exponencial.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 25

Fes l'estudi complet de f(x) = $\ln(x^{2} + 1)$ : domini, simetria, talls, asímptotes, monotonia, extrems, curvatura i punts d'inflexió.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 25

Resultat

\text{Dom} = \mathbb{R}

; parella; tall

(0,\ 0)

; sense asímptotes; decreixent a

(-\infty,\ 0)

, creixent a

(0,\ +\infty)

; mínim

(0,\ 0)

; convexa a

(-1,\ 1)

, còncava fora; inflexions

(\pm 1,\ \ln 2) \approx (\pm 1;\ 0{,}69)

Resolució

Domini i simetria. $x^{2} + 1 > 0$ sempre: $\text{Dom}\, f = \mathbb{R}$ . $f(-x) = \ln(x^{2} + 1) = f(x)$ : parella, simètrica respecte d'OY.
Talls. $f(x) = 0 \Rightarrow x^{2} + 1 = 1 \Rightarrow x = 0$ : únic punt $(0,\ 0)$ . A més, $f \geq 0$ sempre, perquè $x^{2} + 1 \geq 1$ .
Asímptotes. Cap de vertical (contínua a $\mathbb{R}$ ). $\lim_{x \to \pm\infty} f = +\infty$ : no hi ha horitzontal; tampoc obliqua, perquè per L'Hôpital $\lim \dfrac{f(x)}{x} = \lim \dfrac{2x}{x^{2} + 1} = 0$ : la gràfica creix cada vegada més a poc a poc.
Monotonia. $f'(x) = \dfrac{2x}{x^{2} + 1}$ : negativa si $x < 0$ , positiva si $x > 0$ . Decreixent a $(-\infty,\ 0)$ , creixent a $(0,\ +\infty)$ ; mínim absolut $(0,\ 0)$ .
Curvatura. $f''(x) = \dfrac{2(x^{2} + 1) - 2x \cdot 2x}{(x^{2} + 1)^{2}} = \dfrac{2(1 - x^{2})}{(x^{2} + 1)^{2}}:$ positiva a $(-1,\ 1)$ (convexa) i negativa fora (còncava). Punts d'inflexió $(-1,\ \ln 2)$ i $(1,\ \ln 2) \approx (\pm 1;\ 0{,}69)$ .
Gràfica. Forma d'U molt oberta amb vèrtex a l'origen, que es torna còncava a $x = \pm 1$ i continua pujant lentament, com un logaritme, cap als dos costats.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 26

Sigui f(x) = x·|x - 2|.
a) Escriu f com a funció definida a trossos i troba els talls amb els eixos.
b) Estudia la monotonia i els extrems relatius.
c) Estudia la derivabilitat en x = 2 i descriu la gràfica.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 26

Apartat a)

Resultat

f(x) = -x^{2} + 2x

x < 2

;

f(x) = x^{2} - 2x

x \geq 2

. Talls

(0,\ 0)

(2,\ 0)

Resolució

Valor absolut. $|x - 2| = x - 2$ si $x \geq 2$ i $2 - x$ si $x < 2$ .
Funció a trossos. Multiplicant per $x$ : $f(x) = -x^{2} + 2x$ si $x < 2$ , i $f(x) = x^{2} - 2x$ si $x \geq 2$ .
Talls. $f(x) = 0 \Rightarrow x = 0$ o $x = 2$ : punts $(0,\ 0)$ i $(2,\ 0)$ .

Apartat b)

Resultat

Creixent a

(-\infty,\ 1) \cup (2,\ +\infty)

, decreixent a

(1,\ 2)

; màxim relatiu

(1,\ 1)

i mínim relatiu

(2,\ 0)

Resolució

Tros x < 2. $f'(x) = -2x + 2 = 0 \Rightarrow x = 1$ ; $f' > 0$ a $(-\infty,\ 1)$ i $f' < 0$ a $(1,\ 2)$ : màxim relatiu $(1,\ 1)$ .
Tros x > 2. $f'(x) = 2x - 2 > 0$ : creixent.
Conclusió. Creixent a $(-\infty,\ 1) \cup (2,\ +\infty)$ i decreixent a $(1,\ 2)$ . A $x = 2$ la funció passa de decréixer a créixer: mínim relatiu $(2,\ 0)$ , tot i que $f'$ no hi existeix.

Apartat c)

Resultat

f

és contínua però no derivable a

x = 2

(punt angulós:

f'(2^{-}) = -2

f'(2^{+}) = 2

Resolució

Derivades laterals. Per l'esquerra, $-2 \cdot 2 + 2 = -2$ ; per la dreta, $2 \cdot 2 - 2 = 2$ .
Derivabilitat. Són diferents: $f$ és contínua però no derivable a $x = 2$ (punt angulós).
Gràfica. A l'esquerra de $x = 2$ , un tros de paràbola invertida amb vèrtex $(1,\ 1)$ que passa per $(0,\ 0)$ i $(2,\ 0)$ ; a la dreta, un tros de paràbola cap amunt que surt de $(2,\ 0)$ amb una «punxa» i puja indefinidament. Quan $x \to -\infty$ , $f \to -\infty$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 27

Sigui f(x) = $\tfrac{(x^{2} + a)}{(x + b)}$ .
a) Determina a i b sabent que f té una asímptota vertical en x = 1 i un extrem relatiu en x = 3.
b) Amb els valors trobats, calcula l'asímptota obliqua, classifica tots els extrems relatius i estudia la curvatura.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 27

Apartat a)

Resultat

a = 3

b = -1

f(x) = \dfrac{x^{2} + 3}{x - 1}

Resolució

Asímptota vertical. A $x = 1$ el denominador s'ha d'anul·lar: $1 + b = 0 \Rightarrow b = -1$ .
Derivada (regla del quocient). $f'(x) = \dfrac{2x(x - 1) - (x^{2} + a)}{(x - 1)^{2}} = \dfrac{x^{2} - 2x - a}{(x - 1)^{2}}.$
Extrem a x = 3. $f'(3) = 0 \Rightarrow 9 - 6 - a = 0 \Rightarrow a = 3$ .
Comprovació. El numerador val $1 + 3 = 4 \neq 0$ a $x = 1$ , de manera que $x = 1$ és realment asímptota.

Apartat b)

Resultat

y = x + 1

; màxim relatiu

(-1,\ -2)

, mínim relatiu

(3,\ 6)

; còncava si

x < 1

, convexa si

x > 1

, sense inflexions.

Resolució

Asímptota obliqua. Dividint, $f(x) = \dfrac{x^{2} + 3}{x - 1} = x + 1 + \dfrac{4}{x - 1}$ : asímptota obliqua $y = x + 1$ .
Punts crítics. $f'(x) = \dfrac{x^{2} - 2x - 3}{(x - 1)^{2}} = \dfrac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 1)^{2}} = 0 \Rightarrow x = -1$ i $x = 3$ .
Classificació. $f''(x) = \dfrac{8}{(x - 1)^{3}}$ : $f''(-1) = -1 < 0$ → màxim relatiu $(-1,\ f(-1)) = (-1,\ -2)$ ; $f''(3) = 1 > 0$ → mínim relatiu $(3,\ f(3)) = (3,\ 6)$ . Comprovació: $f(3) = \tfrac{12}{2} = 6$ i $f(-1) = \tfrac{4}{-2} = -2$ .
Curvatura. $f'' < 0$ si $x < 1$ (còncava) i $f'' > 0$ si $x > 1$ (convexa); sense punts d'inflexió.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 28

D'una funció f derivable a tot ℝ només se'n coneix la derivada: f'(x) = $(x - 1)^{2}$ (x + 2). Sense trobar f, determina els intervals de monotonia, els extrems relatius, els intervals de curvatura i les abscisses dels punts d'inflexió. Explica què passa en x = 1.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 28

Resultat

Decreixent a

(-\infty,\ -2)

, creixent a

(-2,\ +\infty)

; mínim relatiu a

x = -2

; convexa a

(-\infty,\ -1) \cup (1,\ +\infty)

, còncava a

(-1,\ 1)

; inflexions a

x = -1

x = 1

. A

x = 1

hi ha un punt d'inflexió amb tangent horitzontal, no un extrem.

Resolució

Signe de f'. Zeros de $f'$ : $x = 1$ (doble) i $x = -2$ . Com que $(x - 1)^{2} \geq 0$ sempre, el signe de $f'$ és el de $x + 2$ : negatiu si $x < -2$ i positiu si $x > -2$ (excepte el zero aïllat a $x = 1$ ).
Monotonia i extrems. Decreixent a $(-\infty,\ -2)$ i creixent a $(-2,\ 1) \cup (1,\ +\infty)$ (de fet, creixent a tot $(-2,\ +\infty)$ ). Mínim relatiu a $x = -2$ .
Què passa a x = 1. $f'(1) = 0$ però $f'$ no hi canvia de signe (és positiva a banda i banda): no hi ha extrem, és un punt amb tangent horitzontal.
Curvatura. Per la regla del producte, $f''(x) = 2(x - 1)(x + 2) + (x - 1)^{2} = (x - 1)(2x + 4 + x - 1) = 3(x - 1)(x + 1).$ Signe: $+$ si $x < -1$ , $-$ a $(-1,\ 1)$ , $+$ si $x > 1$ .
Conclusió. Convexa a $(-\infty,\ -1) \cup (1,\ +\infty)$ , còncava a $(-1,\ 1)$ ; punts d'inflexió a $x = -1$ i $x = 1$ ( $f''$ canvia de signe als dos). Així, a $x = 1$ hi ha un punt d'inflexió amb tangent horitzontal, com el de $y = x^{3}$ a l'origen. Error típic: marcar $x = 1$ com a extrem només perquè $f'(1) = 0$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 29

Fes l'estudi complet de la funció polinòmica f(x) = $x^{4} - 4x^{3}$ : talls amb els eixos, comportament a l'infinit, monotonia, extrems relatius, curvatura i punts d'inflexió. Explica per què en x = 0 la derivada s'anul·la però no hi ha extrem.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 29

Resultat

Talls

(0,\ 0)

(4,\ 0)

;

f \to +\infty

\pm\infty

; decreixent a

(-\infty,\ 3)

, creixent a

(3,\ +\infty)

; mínim

(3,\ -27)

; convexa a

(-\infty,\ 0) \cup (2,\ +\infty)

, còncava a

(0,\ 2)

; inflexions

(0,\ 0)

(2,\ -16)

. A

x = 0

f'

no canvia de signe: no hi ha extrem.

Resolució

Talls i infinit. Domini $\mathbb{R}$ , sense asímptotes (polinomi). $f(x) = x^{3}(x - 4) = 0 \Rightarrow (0,\ 0)$ i $(4,\ 0)$ . Signe: negativa a $(0,\ 4)$ , positiva fora. Quan $x \to \pm\infty$ , $f \to +\infty$ (grau parell, coeficient principal positiu).
Monotonia. $f'(x) = 4x^{3} - 12x^{2} = 4x^{2}(x - 3) = 0 \Rightarrow x = 0$ (doble) i $x = 3$ . Com que $4x^{2} \geq 0$ , el signe de $f'$ és el de $x - 3$ : negatiu si $x < 3$ (també a banda i banda de 0) i positiu si $x > 3$ .
Extrems. Decreixent a $(-\infty,\ 3)$ , creixent a $(3,\ +\infty)$ . Mínim relatiu i absolut $(3,\ f(3)) = (3,\ -27)$ . A $x = 0$ la tangent és horitzontal, però $f'$ no canvia de signe: no és extrem.
Curvatura. $f''(x) = 12x^{2} - 24x = 12x(x - 2) = 0 \Rightarrow x = 0,\ x = 2$ . Signe: $+$ si $x < 0$ , $-$ a $(0,\ 2)$ , $+$ si $x > 2$ . Convexa a $(-\infty,\ 0) \cup (2,\ +\infty)$ , còncava a $(0,\ 2)$ . Punts d'inflexió $(0,\ 0)$ (amb tangent horitzontal) i $(2,\ -16)$ .
Gràfica. Baixa des de $+\infty$ , s'aplana a $(0,\ 0)$ sense girar, continua baixant (còncava fins a $(2,\ -16)$ , després convexa) fins al mínim $(3,\ -27)$ , i puja tallant l'eix a $(4,\ 0)$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 30

Raona si cada afirmació és certa o falsa, amb una justificació o un contraexemple:
a) La gràfica d'una funció mai no pot tallar la seva asímptota horitzontal.
b) Si f'(a) = 0, la funció f té un màxim o un mínim relatiu en x = a.
c) Una funció racional pot tenir asímptota horitzontal i asímptota obliqua pel mateix costat.
d) Si f és parella i derivable en x = 0, aleshores f'(0) = 0.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 30

Apartat a)

Resultat

Falsa. Per exemple,

f(x) = \dfrac{x}{x^{2} + 1}

té asímptota horitzontal

y = 0

i la talla a

x = 0

Resolució

Què diu l'asímptota. L'asímptota horitzontal només descriu el comportament quan $x \to \pm\infty$ ; en una zona finita (per exemple, a prop de l'origen) la gràfica la pot creuar.
Contraexemple. $f(x) = \dfrac{x}{x^{2} + 1}$ compleix $\lim_{x \to \pm\infty} f = 0$ (AH $y = 0$ ) i $f(0) = 0$ : talla l'asímptota a $x = 0$ .

Apartat b)

Resultat

Falsa.

f(x) = x^{3}

té

f'(0) = 0

i no té cap extrem a

x = 0

Resolució

Condició. Perquè hi hagi extrem cal, a més, que $f'$ canviï de signe a $x = a$ .
Contraexemple. $f(x) = x^{3}$ : $f'(0) = 0$ , però $f$ és creixent a tot $\mathbb{R}$ ; a $x = 0$ hi ha un punt d'inflexió amb tangent horitzontal.

Apartat c)

Resultat

Falsa. Pel mateix costat, una funció no pot tenir asímptota horitzontal i obliqua alhora.

Resolució

Horitzontal exclou obliqua. Si $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ és finit (hi ha horitzontal), aleshores $\lim f(x)/x = 0$ i no hi pot haver obliqua (de pendent no nul).
Obliqua exclou horitzontal. Si hi ha obliqua, $f(x) \to \pm\infty$ i no hi ha horitzontal.
Funcions racionals. A més, en una funció racional el tipus d'asímptota depèn només dels graus del numerador i del denominador, i és el mateix als dos costats.

Apartat d)

Resultat

Certa. Derivant

f(-x) = f(x)

s'obté

f'(0) = -f'(0)

, és a dir,

f'(0) = 0

Resolució

Regla de la cadena. Derivem la igualtat $f(-x) = f(x)$ : $-f'(-x) = f'(x)$ .
A x = 0. Queda $-f'(0) = f'(0)$ , d'on $f'(0) = 0$ .
Interpretació. La tangent a l'eix de simetria és horitzontal, com a $y = x^{2}$ o $y = \cos x$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preparat per a la universitat

Els exercicis més exigents: nivell PAU alt i primer curs de grau. Veure totes les matèries

Exercici 31

Estudia la funció $f(x)=\dfrac{x^3}{x^2-4}$ .
a) Domini, simetries i punts de tall amb els eixos.
b) Asímptotes verticals i obliqües; posició de la corba respecte de l'asímptota obliqua.
c) Monotonia i extrems relatius.
d) Curvatura i punts d'inflexió. Fes un esbós de la gràfica.
e) Utilitzant l'estudi anterior, discuteix quantes solucions té l'equació $f(x)=k$ segons el valor de $k$ .

Pista 1

El denominador s'anul·la a $x=\pm2$ . Comprova la paritat: $f(-x)$ en relació amb $f(x)$ .

Pista 2

Per a l'asímptota obliqua, divideix: $f(x)=x+\dfrac{4x}{x^2-4}$ .

Pista 3

Per a e), mira per separat cadascun dels tres intervals de definició i la imatge de $f$ en cada un.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 31

Apartat a)

Resultat

\text{Dom}\, f = \mathbb{R} \setminus \{-2,\ 2\}

; senar (simètrica respecte de l'origen); únic tall

(0,\ 0)

Resolució

Domini. El denominador $x^{2} - 4$ s'anul·la a $x = \pm 2$ : $\text{Dom}\, f = \mathbb{R} \setminus \{-2,\ 2\}$ .
Simetria. $f(-x) = \dfrac{(-x)^{3}}{(-x)^{2} - 4} = -\dfrac{x^{3}}{x^{2} - 4} = -f(x)$ : senar, simètrica respecte de l'origen.
Talls. $f(x) = 0 \iff x^{3} = 0 \iff x = 0$ , i $f(0) = 0$ : només talla els eixos a $(0,\ 0)$ .

Apartat b)

Resultat

x = 2

x = -2

; AO

y = x

; la corba és per sobre de l'obliqua quan

x \to +\infty

i per sota quan

x \to -\infty

Resolució

Asímptotes verticals. $x = 2$ : $\lim_{x \to 2^{\pm}} f = \pm\infty$ . $x = -2$ : $\lim_{x \to -2^{+}} f = +\infty$ i $\lim_{x \to -2^{-}} f = -\infty$ .
Asímptota obliqua. Dividint, $f(x) = x + \dfrac{4x}{x^{2} - 4},$ i com que $\dfrac{4x}{x^{2} - 4} \to 0$ quan $x \to \pm\infty$ , l'obliqua és $y = x$ .
Posició. $f(x) - x = \dfrac{4x}{x^{2} - 4}$ és positiu per a $x > 2$ (la corba és per sobre) i negatiu per a $x < -2$ (per sota).

Apartat c)

Resultat

Creixent a

(-\infty,\ -2\sqrt{3})

i a

(2\sqrt{3},\ +\infty)

, decreixent a la resta; màxim relatiu

(-2\sqrt{3},\ -3\sqrt{3})

, mínim relatiu

(2\sqrt{3},\ 3\sqrt{3}) \approx (3{,}46;\ 5{,}20)

;

x = 0

no és extrem.

Resolució

Derivada. $f'(x) = \dfrac{3x^{2}(x^{2} - 4) - x^{3} \cdot 2x}{(x^{2} - 4)^{2}} = \dfrac{x^{2}(x^{2} - 12)}{(x^{2} - 4)^{2}}.$
Signe de f'. Zeros: $x = 0$ i $x = \pm 2\sqrt{3} \approx \pm 3{,}46$ . $f' > 0$ si $|x| > 2\sqrt{3}$ i $f' < 0$ si $|x| < 2\sqrt{3}$ ( $x \neq 0,\ \pm 2$ ). Els intervals s'han de tallar a les asímptotes $x = \pm 2$ .
Extrems. Creix a $(-\infty,\ -2\sqrt{3})$ i a $(2\sqrt{3},\ \infty)$ ; decreix a $(-2\sqrt{3},\ -2)$ , $(-2,\ 2)$ i $(2,\ 2\sqrt{3})$ . Màxim relatiu $(-2\sqrt{3},\ -3\sqrt{3})$ i mínim relatiu $(2\sqrt{3},\ 3\sqrt{3}) \approx (3{,}46;\ 5{,}20)$ .
Conclusió. A $x = 0$ , $f' = 0$ però no hi ha canvi de signe: no és un extrem.

Apartat d)

Resultat

Còncava a

(-\infty,\ -2)

(0,\ 2)

, convexa a

(-2,\ 0)

(2,\ +\infty)

; únic punt d'inflexió

(0,\ 0)

, amb tangent horitzontal.

Resolució

Segona derivada. $f''(x) = \dfrac{8x(x^{2} + 12)}{(x^{2} - 4)^{3}},$ que s'anul·la només a $x = 0$ .
Signe de f''. $< 0$ a $(-\infty,\ -2)$ , $> 0$ a $(-2,\ 0)$ , $< 0$ a $(0,\ 2)$ i $> 0$ a $(2,\ \infty)$ .
Inflexió. Punt d'inflexió únic a $(0,\ 0)$ , amb tangent horitzontal ( $f'(0) = 0$ ).
Esbós. Tres branques: a $(-2,\ 2)$ la corba baixa de $+\infty$ a $-\infty$ travessant l'origen; a l'esquerra i a la dreta, branques que s'acosten a $y = x$ amb el màxim $(-2\sqrt{3},\ -3\sqrt{3})$ i el mínim $(2\sqrt{3},\ 3\sqrt{3})$ .

Apartat e)

Resultat

1 solució si

|k| < 3\sqrt{3}

; 2 si

|k| = 3\sqrt{3}

; 3 si

|k| > 3\sqrt{3}

Resolució

Branca central. A $(-2,\ 2)$ , $f$ decreix estrictament de $+\infty$ a $-\infty$ : una solució per a tot $k$ .
Branca dreta. A $(2,\ \infty)$ , $f$ va de $+\infty$ al mínim $3\sqrt{3}$ i torna a $+\infty$ : 2 solucions si $k > 3\sqrt{3}$ , 1 si $k = 3\sqrt{3}$ i 0 si $k < 3\sqrt{3}$ .
Branca esquerra. A $(-\infty,\ -2)$ , simètricament: 2 solucions si $k < -3\sqrt{3}$ , 1 si $k = -3\sqrt{3}$ i 0 en cas contrari.
Conclusió. Sumant les tres branques: 1 solució si $|k| < 3\sqrt{3}$ ; 2 si $|k| = 3\sqrt{3}$ ; 3 si $|k| > 3\sqrt{3}$ .

Errors típics

Dir que $x=0$ és un extrem perquè $f'(0)=0$ , sense mirar el canvi de signe.
Confondre les asímptotes horitzontals i obliqües: el grau del numerador supera en 1 el del denominador, hi ha obliqua.
Estudiar el signe de $f'$ sense tenir en compte les asímptotes verticals (els intervals de monotonia s'han de tallar a $\pm2$ ).
Comptar el nombre de solucions de $f(x)=k$ només amb els extrems, oblidant la branca central.

Conceptes treballats: estudi complet d'una funció racional: domini, simetria, asímptotes (verticals i obliqües), monotonia, extrems, curvatura i inflexions; discussió del nombre de solucions d'una equació a partir de la gràfica.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 32

Considera la funció $f(x)=\dfrac{e^x}{x}$ .
a) Domini, signe, límits a l'infinit i asímptotes (inclosa l'obliqua, si n'hi ha).
b) Monotonia i extrems.
c) Curvatura i inflexions. Esbossa la gràfica.
d) Dedueix que $e^x\ge e\,x$ per a tot $x\gt0$ i discuteix quantes solucions té l'equació $e^x=kx$ segons $k$ .

Pista 1

Estudia per separat els límits quan $x\to0^+$ , $x\to0^-$ , $x\to+\infty$ i $x\to-\infty$ .

Pista 2

$f'(x)=\dfrac{e^x(x-1)}{x^2}$ . El signe de $f'$ depèn només de $x-1$ .

Pista 3

Per a d), un cop trobat el mínim de $f$ a $(0,\infty)$ , tradueix « $f(x)\ge e$ » a una desigualtat per a $e^x$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 32

Apartat a)

Resultat

\text{Dom} = \mathbb{R} \setminus \{0\}

;

f

té el signe de

x

i no talla els eixos; AV

x = 0

(

-\infty

per l'esquerra,

+\infty

per la dreta); AH

y = 0

només a

-\infty

; no hi ha obliqua.

Resolució

Domini i signe. Domini $\mathbb{R} \setminus \{0\}$ . Com que $e^{x} > 0$ , $f > 0$ si $x > 0$ i $f < 0$ si $x < 0$ ; no talla cap eix.
Límits a l'infinit. $x \to -\infty$ : $f \to 0^{-}$ , asímptota horitzontal $y = 0$ a l'esquerra. $x \to +\infty$ : $f \to +\infty$ (l'exponencial guanya) i $f(x)/x \to +\infty$ , per tant no hi ha asímptota obliqua.
Límits a 0. $x \to 0^{+}$ : $+\infty$ ; $x \to 0^{-}$ : $-\infty$ . Asímptota vertical $x = 0$ .

Apartat b)

Resultat

Decreixent a

(-\infty,\ 0)

i a

(0,\ 1)

, creixent a

(1,\ +\infty)

; mínim relatiu

(1,\ e)

Resolució

Derivada (regla del quocient). $f'(x) = \dfrac{e^{x} \cdot x - e^{x}}{x^{2}} = \dfrac{e^{x}(x - 1)}{x^{2}}.$
Signe. $e^{x}$ i $x^{2}$ són positius: el signe és el de $x - 1$ . Negativa per a $x < 1$ ( $x \neq 0$ ) i positiva per a $x > 1$ .
Conclusió. Decreix a $(-\infty,\ 0)$ i a $(0,\ 1)$ ; creix a $(1,\ \infty)$ . Mínim relatiu a $(1,\ e)$ .

Apartat c)

Resultat

Còncava a

(-\infty,\ 0)

, convexa a

(0,\ +\infty)

; sense punts d'inflexió.

Resolució

Segona derivada. $f''(x) = \dfrac{e^{x}(x^{2} - 2x + 2)}{x^{3}}.$ El factor $x^{2} - 2x + 2$ és sempre positiu (discriminant $4 - 8 < 0$ ), de manera que el signe és el de $x$ .
Curvatura. Còncava (cap avall) a $(-\infty,\ 0)$ i convexa a $(0,\ \infty)$ . No té punts d'inflexió, perquè $x = 0$ no és del domini.
Esbós. A la dreta, una «U» amb mínim $(1,\ e)$ que puja a $+\infty$ per l'asímptota vertical i per l'exponencial; a l'esquerra, una branca negativa que arrenca de $y = 0^{-}$ i cau a $-\infty$ cap a $x = 0$ .

Apartat d)

Resultat

e^{x} \geq e\,x

per a

x > 0

e^{x} = kx

té 1 solució si

k < 0

; cap si

0 \leq k < e

; 1 si

k = e

; 2 si

k > e

Resolució

Desigualtat. A $(0,\ \infty)$ el mínim de $f$ és $e$ , de manera que $\dfrac{e^{x}}{x} \geq e$ i, multiplicant per $x > 0$ , $e^{x} \geq e\,x$ .
Equació. $x = 0$ no és solució per a cap $k$ ( $e^{0} = 1 \neq 0$ ), així que $e^{x} = kx \iff f(x) = k$ amb $x \neq 0$ .
Discussió. $k < 0$ : 1 solució (a $(-\infty,\ 0)$ , on $f$ decreix de $0^{-}$ a $-\infty$ ); $k = 0$ : cap ( $f$ no s'anul·la); $0 < k < e$ : cap; $k = e$ : 1 ( $x = 1$ ); $k > e$ : 2 (una a $(0,\ 1)$ i una a $(1,\ \infty)$ ).

Errors típics

Dir que «hi ha asímptota obliqua» perquè la funció tendeix a infinit; cal que $f(x)/x$ tingui límit finit.
Oblidar l'asímptota horitzontal $y=0$ a $-\infty$ (és només a un costat).
Derivar com $e^x/1$ (oblidar la regla del quocient).
En l'equació $e^x=kx$ , comptar $x=0$ com a possible solució (no ho és per a cap $k$ ).

Conceptes treballats: estudi complet d'una funció amb exponencial, límits i asímptotes, extrems, curvatura, desigualtats a partir d'un mínim, nombre de solucions d'una equació amb paràmetre.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 33

Considera la família de funcions $f_k(x)=x^3-3kx$ , amb $k$ un paràmetre real.
a) Estudia, segons el valor de $k$ , la monotonia i l'existència d'extrems relatius.
b) Per a $k\gt0$ , demostra que els extrems relatius de totes les funcions $f_k$ es troben sobre una mateixa corba $y=g(x)$ i troba $g$ .
c) Determina $k$ perquè el màxim relatiu de $f_k$ valgui 16 i fes l'esbós de la gràfica d'aquesta funció.
d) Estudia el pendent de la tangent al punt d'inflexió i el nombre d'arrels reals de $f_k$ segons $k$ .

Pista 1

$f_k'(x)=3(x^2-k)$ . Quan s'anul·la, segons el signe de $k$ ?

Pista 2

Els punts crítics són $x=\pm\sqrt k$ . Calcula $f_k(\pm\sqrt k)$ i intenta escriure l'ordenada en funció de l'abscissa, eliminant $k$ .

Pista 3

A c), identifica quin dels dos extrems és el màxim (el de l'esquerra).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 33

Apartat a)

Resultat

k \leq 0

f_k

és estrictament creixent i no té extrems; si

k > 0

, creix fora de

[-\sqrt{k},\ \sqrt{k}]

i decreix dins, amb màxim a

x = -\sqrt{k}

i mínim a

x = \sqrt{k}

Resolució

Derivada. $f_k'(x) = 3x^{2} - 3k = 3(x^{2} - k)$ .
Cas k < 0. $x^{2} - k > 0$ sempre: $f_k' > 0$ i $f_k$ és estrictament creixent, sense extrems.
Cas k = 0. $f_0 = x^{3}$ , creixent, amb tangent horitzontal a 0 (que és un punt d'inflexió): sense extrems.
Cas k > 0. Zeros a $x = \pm\sqrt{k}$ ; $f_k' > 0$ fora de $[-\sqrt{k},\ \sqrt{k}]$ i $< 0$ dins: màxim a $x = -\sqrt{k}$ i mínim a $x = \sqrt{k}$ .

Apartat b)

Resultat

Tots els extrems són sobre la cúbica

y = g(x) = -2x^{3}

Resolució

Ordenades dels extrems. $f_k(\sqrt{k}) = k\sqrt{k} - 3k\sqrt{k} = -2k\sqrt{k}$ i $f_k(-\sqrt{k}) = 2k\sqrt{k}$ .
Eliminem k (mínim). Amb $x = \sqrt{k}$ (és a dir, $k = x^{2}$ ): $y = -2k\sqrt{k} = -2x^{3}$ .
Eliminem k (màxim). Amb $x = -\sqrt{k}$ : $y = 2k\sqrt{k} = -2(-\sqrt{k})^{3} = -2x^{3}$ .
Conclusió. En els dos casos $y = -2x^{3}$ : tots els extrems són sobre la corba $g(x) = -2x^{3}$ .

Apartat c)

Resultat

k = 4

f_4(x) = x^{3} - 12x

, amb màxim

(-2,\ 16)

, mínim

(2,\ -16)

, arrels

0,\ \pm 2\sqrt{3}

i inflexió

(0,\ 0)

Resolució

Condició. El màxim és el de l'esquerra: $f_k(-\sqrt{k}) = 2k\sqrt{k} = 16 \iff k^{3/2} = 8 \iff k = 4$ .
Funció. $f_4(x) = x^{3} - 12x = x(x^{2} - 12)$ : arrels $0$ i $\pm 2\sqrt{3} \approx \pm 3{,}46$ .
Esbós. Màxim $(-2,\ 16)$ , mínim $(2,\ -16)$ i inflexió a l'origen amb tangent $y = -12x$ ; $f_4 \to \pm\infty$ quan $x \to \pm\infty$ .

Apartat d)

Resultat

Inflexió sempre a

(0,\ 0)

amb pendent

-3k

; 3 arrels reals si

k > 0

i només

x = 0

k \leq 0

Resolució

Inflexió. $f_k''(x) = 6x$ , que canvia de signe a $x = 0$ : inflexió sempre a l'origen, amb pendent de la tangent $f_k'(0) = -3k$ .
Arrels. $f_k(x) = x(x^{2} - 3k) = 0$ .
Discussió. Si $k > 0$ : tres arrels $0,\ \pm\sqrt{3k}$ . Si $k \leq 0$ : només $x = 0$ (simple si $k < 0$ , triple si $k = 0$ ).

Errors típics

Suposar que sempre hi ha extrems relatius, sense discutir el signe de $k$ .
Escriure $\sqrt{k}$ per a $k\lt0$ o oblidar que $k\gt0$ per tenir punts crítics.
Identificar el màxim amb $x=\sqrt k$ en lloc de $x=-\sqrt k$ : comprova el signe de $f_k''$ .
Eliminar $k$ sense tractar per separat els dos extrems.

Conceptes treballats: estudi d'una família de funcions, discussió segons un paràmetre, extrems i inflexions, lloc geomètric dels extrems, nombre d'arrels reals.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 34

Considera la funció $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ .
a) Domini, límits, asímptotes i punts de tall.
b) Monotonia, extrems i curvatura; esbossa la gràfica.
c) Dedueix, comparant $f(\pi)$ i $f(e)$ , quin dels nombres $e^\pi$ i $\pi^e$ és més gran, i comprova-ho amb la calculadora.
d) Troba tots els parells d'enters positius $a\lt b$ tals que $a^b=b^a$ . Justifica que no n'hi ha cap més que el que trobes.

Pista 1

El domini és $x\gt0$ . Calcula $\lim_{x\to0^+}$ i $\lim_{x\to\infty}$ (L'Hôpital).

Pista 2

Per a c): $\ln\pi/\pi$ és més gran o més petit que $1/e$ ? Reescriu la desigualtat com a comparació de potències.

Pista 3

Per a d), $a^b=b^a\iff b\ln a=a\ln b\iff f(a)=f(b)$ . Recorda en quins intervals $f$ és injectiva.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 34

Apartat a)

Resultat

\text{Dom} = (0,\ +\infty)

;

\lim_{x \to 0^{+}} f = -\infty

(AV

x = 0

\lim_{x \to \infty} f = 0

(AH

y = 0

); tall

(1,\ 0)

Resolució

Domini. El logaritme exigeix $x > 0$ : $\text{Dom}\, f = (0,\ \infty)$ .
Límit a 0⁺. $\ln x \to -\infty$ i $x \to 0^{+}$ : $\lim_{x \to 0^{+}} \dfrac{\ln x}{x} = -\infty$ . Asímptota vertical $x = 0$ .
Límit a l'infinit (L'Hôpital). $\lim_{x \to \infty} \dfrac{\ln x}{x} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{1/x}{1} = 0:$ asímptota horitzontal $y = 0$ (per la dreta).
Tall. $\ln x = 0 \iff x = 1$ : talla l'eix OX a $(1,\ 0)$ .

Apartat b)

Resultat

Creixent a

(0,\ e)

, decreixent a

(e,\ \infty)

; màxim absolut

(e,\ \tfrac{1}{e}) \approx (2{,}72;\ 0{,}368)

; còncava a

(0,\ e^{3/2})

, convexa després; inflexió

(e^{3/2},\ \tfrac{3}{2}e^{-3/2}) \approx (4{,}48;\ 0{,}335)

Resolució

Monotonia. $f'(x) = \dfrac{1 - \ln x}{x^{2}}$ : positiva a $(0,\ e)$ , negativa a $(e,\ \infty)$ . Màxim absolut a $\left(e,\ \tfrac{1}{e}\right) \approx (2{,}72;\ 0{,}368)$ .
Curvatura. $f''(x) = \dfrac{2\ln x - 3}{x^{3}}$ : zero a $x = e^{3/2} \approx 4{,}48$ ; còncava a $(0,\ e^{3/2})$ i convexa després.
Inflexió. $\left(e^{3/2},\ \tfrac{3}{2}e^{-3/2}\right) \approx (4{,}48;\ 0{,}335)$ .
Esbós. Creix des de $-\infty$ fins al màxim, travessant $(1,\ 0)$ , i després decreix lentament tendint a 0.

Apartat c)

Resultat

\pi^{e} < e^{\pi}

(

e^{\pi} \approx 23{,}14

\pi^{e} \approx 22{,}46

Resolució

Monotonia. Com que $\pi > e$ i $f$ decreix a $[e,\ \infty)$ : $f(\pi) < f(e)$ .
Desigualtat. $\dfrac{\ln\pi}{\pi} < \dfrac{1}{e} \iff e\ln\pi < \pi \iff \ln(\pi^{e}) < \ln(e^{\pi}),$ i com que $\ln$ és creixent, $\pi^{e} < e^{\pi}$ . Compte a no invertir la desigualtat en passar a potències.
Comprovació. Amb la calculadora, $e^{\pi} \approx 23{,}14$ i $\pi^{e} \approx 22{,}46$ .

Apartat d)

Resultat

L'únic parell és

(a,\ b) = (2,\ 4)

2^{4} = 4^{2} = 16

Resolució

Traducció. $a^{b} = b^{a} \iff b\ln a = a\ln b \iff \dfrac{\ln a}{a} = \dfrac{\ln b}{b} \iff f(a) = f(b)$ .
Injectivitat per trams. $f$ és estrictament creixent a $(0,\ e]$ i estrictament decreixent a $[e,\ \infty)$ ; per tant, si $a < b$ i $f(a) = f(b)$ , cal $a < e < b$ , i com que $a$ és enter positiu, $a \in \{1,\ 2\}$ .
Cas a = 1. $f(1) = 0$ i $f(b) > 0$ per a $b > 1$ : impossible.
Cas a = 2. $f(2) = \dfrac{\ln 2}{2} = \dfrac{2\ln 2}{4} = \dfrac{\ln 4}{4} = f(4)$ , i com que $f$ és injectiva a $[e,\ \infty)$ , $b = 4$ és l'única possibilitat. L'únic parell és $(2,\ 4)$ .

Errors típics

Escriure que $\lim_{x\to0^+}\ln x/x=0$ (és $-\infty$ ).
Concloure $\pi^e\gt e^\pi$ per haver invertit la desigualtat en passar de $\ln\pi/\pi\lt 1/e$ a potències.
Intentar resoldre $a^b=b^a$ per tempteig sense justificar que no n'hi ha més.
Oblidar que $f$ no és injectiva a tot el domini: només a cada tram de monotonia.

Conceptes treballats: estudi d'una funció amb logaritme, extrems absoluts, desigualtats numèriques a partir de la monotonia, injectivitat per trams, raonament.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 35

Estudia la funció $f(x)=(x^2+1)\,e^{-x}$ .
a) Domini, signe, punts de tall, límits a $\pm\infty$ i asímptotes.
b) Monotonia i extrems. Té extrems relatius? Raona-ho.
c) Curvatura i punts d'inflexió (amb les seves ordenades).
d) Dibuixa'n la gràfica i dedueix quantes solucions té $f(x)=k$ segons $k$ .

Pista 1

Per a $x\to+\infty$ , $e^{-x}$ tendeix a 0 més de pressa que qualsevol polinomi creix.

Pista 2

Deriva amb la regla del producte i simplifica: obtindràs un factor quadrat.

Pista 3

A d), usa que $f$ és contínua, estrictament monòtona i quins límits té.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 35

Apartat a)

Resultat

\text{Dom} = \mathbb{R}

;

f > 0

sempre, cap tall amb OX, tall

(0,\ 1)

;

\lim_{x \to +\infty} f = 0^{+}

(AH

y = 0

\lim_{x \to -\infty} f = +\infty

(sense asímptota a l'esquerra).

Resolució

Domini, signe i talls. Domini $\mathbb{R}$ . $x^{2} + 1 > 0$ i $e^{-x} > 0$ : $f > 0$ sempre, cap tall amb OX; $f(0) = 1$ , punt $(0,\ 1)$ .
Límit a +∞. $e^{-x}$ tendeix a 0 més de pressa que creix qualsevol polinomi: $\lim_{x \to +\infty} f = 0^{+}$ , asímptota horitzontal $y = 0$ .
Límit a −∞. $\lim_{x \to -\infty} f = +\infty$ : no hi ha asímptota horitzontal a l'esquerra, ni obliqua, perquè $f(x)/x \to -\infty$ .

Apartat b)

Resultat

f

és estrictament decreixent a tot

\mathbb{R}

: no té extrems (a

x = 1

hi ha tangent horitzontal sense canvi de signe).

Resolució

Regla del producte. $f'(x) = 2x e^{-x} - (x^{2} + 1)e^{-x} = -(x^{2} - 2x + 1)e^{-x} = -(x - 1)^{2} e^{-x} \leq 0$ , amb zero només a $x = 1$ .
Monotonia. $f$ és estrictament decreixent a tot $\mathbb{R}$ (el zero de $f'$ és aïllat).
Conclusió. No té extrems relatius: a $x = 1$ hi ha tangent horitzontal, però $f'$ no canvia de signe.

Apartat c)

Resultat

Convexa a

(-\infty,\ 1)

(3,\ \infty)

, còncava a

(1,\ 3)

; inflexions

(1,\ \tfrac{2}{e}) \approx (1;\ 0{,}74)

(3,\ 10e^{-3}) \approx (3;\ 0{,}50)

Resolució

Segona derivada. $f''(x) = \big(-2(x - 1) + (x - 1)^{2}\big)e^{-x} = (x - 1)(x - 3)e^{-x}$ .
Signe. Positiva a $(-\infty,\ 1)$ (convexa), negativa a $(1,\ 3)$ (còncava) i positiva a $(3,\ \infty)$ (convexa).
Inflexions. $\left(1,\ \tfrac{2}{e}\right) \approx (1;\ 0{,}74)$ , amb tangent horitzontal, i $\left(3,\ 10e^{-3}\right) \approx (3;\ 0{,}50)$ .

Apartat d)

Resultat

f(x) = k

té una solució per a cada

k > 0

i cap per a

k \leq 0

Resolució

Gràfica. Baixa des de $+\infty$ , passa per $(0,\ 1)$ , s'aplana un moment a $(1,\ \tfrac{2}{e})$ i tendeix a 0 per la dreta.
Imatge. $f$ és contínua i estrictament decreixent, amb límits $+\infty$ i $0$ : la seva imatge és $(0,\ \infty)$ .
Conclusió. Cada valor $k > 0$ s'assoleix exactament una vegada (una solució); si $k \leq 0$ , cap. Fixa't que, encara que no hi hagi extrems, sí que es pot dir el nombre de solucions.

Errors típics

Dir que $x=1$ és un extrem perquè $f'(1)=0$ .
Equivocar-se en la derivada de $e^{-x}$ (oblidar el signe menys).
Afirmar que hi ha asímptota horitzontal a $-\infty$ : el límit és $+\infty$ .
Pensar que si no hi ha extrems, no es pot dir res sobre el nombre de solucions.

Conceptes treballats: estudi d'una funció amb exponencial, límits, derivades successives, factorització, extrems vs. punts crítics, imatge d'una funció monòtona.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 36

Estudia la funció $f(x)=x\sqrt{4-x^2}$ .
a) Domini, simetria i punts de tall amb els eixos.
b) Monotonia, extrems i comportament de la derivada als extrems del domini (tangents verticals).
c) Curvatura i inflexions. Esbossa la gràfica.
d) Calcula l'àrea del recinte tancat per la gràfica i l'eix $OX$ . Interpreta $2f(x)$ com l'àrea d'un rectangle inscrit en una semicircumferència de radi 2 i troba'n el màxim.

Pista 1

El radicand ha de ser no negatiu: $4-x^2\ge0$ . Comprova la paritat de $f$ .

Pista 2

$f'(x)=\sqrt{4-x^2}-\dfrac{x^2}{\sqrt{4-x^2}}$ . Redueix a comú denominador.

Pista 3

Per a l'àrea, una primitiva de $x\sqrt{4-x^2}$ és $-\tfrac13(4-x^2)^{3/2}$ ; i recorda que hi ha dos lòbuls.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 36

Apartat a)

Resultat

\text{Dom} = [-2,\ 2]

; senar; talls

(-2,\ 0)

(0,\ 0)

(2,\ 0)

Resolució

Domini. El radicand ha de ser no negatiu: $4 - x^{2} \geq 0 \iff -2 \leq x \leq 2$ . $\text{Dom}\, f = [-2,\ 2]$ .
Simetria. $f(-x) = -x\sqrt{4 - x^{2}} = -f(x)$ : senar, simètrica respecte de l'origen.
Talls. $f(x) = 0 \iff x = 0$ o $4 - x^{2} = 0$ : punts $(0,\ 0)$ , $(-2,\ 0)$ i $(2,\ 0)$ .

Apartat b)

Resultat

Decreixent a

(-2,\ -\sqrt{2})

, creixent a

(-\sqrt{2},\ \sqrt{2})

, decreixent a

(\sqrt{2},\ 2)

; mínim

(-\sqrt{2},\ -2)

, màxim

(\sqrt{2},\ 2)

; tangents verticals a

(\pm 2,\ 0)

Resolució

Derivada. Per la regla del producte i la de la cadena, $f'(x) = \sqrt{4 - x^{2}} - \dfrac{x^{2}}{\sqrt{4 - x^{2}}} = \dfrac{4 - 2x^{2}}{\sqrt{4 - x^{2}}},$ amb zeros a $x = \pm\sqrt{2}$ .
Monotonia i extrems. $f$ decreix a $(-2,\ -\sqrt{2})$ , creix a $(-\sqrt{2},\ \sqrt{2})$ i decreix a $(\sqrt{2},\ 2)$ . Mínim relatiu $(-\sqrt{2},\ -2)$ i màxim relatiu $(\sqrt{2},\ 2)$ , ja que $f(\sqrt{2}) = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2$ .
Extrems del domini. Quan $x \to 2^{-}$ , el numerador tendeix a $-4$ i el denominador a $0^{+}$ : $f'(x) \to -\infty$ . Tangent vertical a $(2,\ 0)$ i, per simetria, a $(-2,\ 0)$ . No s'han de confondre aquests punts amb extrems relatius.

Apartat c)

Resultat

Convexa a

(-2,\ 0)

, còncava a

(0,\ 2)

; inflexió a l'origen amb pendent

f'(0) = 2

Resolució

Segona derivada. $f''(x) = \dfrac{2x(x^{2} - 6)}{(4 - x^{2})^{3/2}},$ que dins del domini només s'anul·la a $x = 0$ ( $\pm\sqrt{6}$ són fora).
Signe. Com que $x^{2} - 6 < 0$ a $[-2,\ 2]$ : a $(0,\ 2)$ , $f'' < 0$ (còncava); a $(-2,\ 0)$ , $f'' > 0$ (convexa).
Inflexió i esbós. Inflexió a l'origen, amb pendent $f'(0) = 2$ . La gràfica són dos lòbuls (un per sota de l'eix a $[-2,\ 0]$ i un per sobre a $[0,\ 2]$ ), amb tangents verticals als extrems.

Apartat d)

Resultat

Àrea

= \tfrac{16}{3}\ \text{u}^{2}

; rectangle d'àrea màxima

2f(\sqrt{2}) = 4

, amb base

2\sqrt{2}

i alçada

\sqrt{2}

Resolució

Àrea d'un lòbul. $\int_{0}^{2} x\sqrt{4 - x^{2}}\,dx = \Big[-\tfrac{1}{3}(4 - x^{2})^{3/2}\Big]_{0}^{2} = 0 + \tfrac{8}{3} = \tfrac{8}{3}.$
Àrea total. Hi ha dos lòbuls iguals: $2 \cdot \tfrac{8}{3} = \tfrac{16}{3}$ . Compte: la integral entre $-2$ i $2$ dona 0 per la simetria senar; cal doblar l'àrea d'un lòbul.
Rectangle inscrit. Inscrit en la semicircumferència $y = \sqrt{4 - x^{2}}$ amb base $[-x,\ x]$ , té base $2x$ i alçada $\sqrt{4 - x^{2}}$ : àrea $2x\sqrt{4 - x^{2}} = 2f(x)$ .
Màxim. És màxima on $f$ és màxima, a $x = \sqrt{2}$ : àrea $2 \cdot 2 = 4$ , amb base $2\sqrt{2}$ i alçada $\sqrt{2}$ .

Errors típics

No restringir el domini a $[-2,2]$ .
Calcular l'àrea com la integral entre $-2$ i $2$ : dona 0 per la simetria senar; cal doblar l'àrea d'un lòbul.
Derivar $\sqrt{4-x^2}$ sense la regla de la cadena (oblidar el $-2x$ i el $\tfrac12$ ).
Confondre un punt amb tangent vertical amb un extrem relatiu.

Conceptes treballats: estudi d'una funció amb arrel, domini restringit, tangents verticals, extrems, curvatura, integral definida d'una funció amb arrel, relació amb un problema d'optimització geomètrica.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 37

Considera la funció $f(x)=x+2\cos x$ .
a) Troba els punts crítics de $f$ a $[0,2\pi]$ , la monotonia i els extrems relatius.
b) Troba els punts d'inflexió a $[0,2\pi]$ i la curvatura.
c) Determina el màxim i el mínim absoluts de $f$ a $[0,2\pi]$ .
d) Demostra, amb l'estudi anterior, que l'equació $f(x)=1$ té exactament dues solucions a $[0,2\pi]$ .
e) La recta $y=x$ és asímptota obliqua de $f$ a $+\infty$ ? Raona-ho.

Pista 1

$f'(x)=1-2\sin x$ . Quins angles a $[0,2\pi]$ tenen sinus $\tfrac12$ ?

Pista 2

Per a c), a més dels punts crítics, calcula $f(0)$ i $f(2\pi)$ .

Pista 3

Per a d), mira la imatge de $f$ a cada interval de monotonia. Quins intervals poden contenir una solució de $f(x)=1$ ?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 37

Apartat a)

Resultat

Punts crítics

x = \tfrac{\pi}{6}

x = \tfrac{5\pi}{6}

; creixent a

[0,\ \tfrac{\pi}{6})

(\tfrac{5\pi}{6},\ 2\pi]

, decreixent a

(\tfrac{\pi}{6},\ \tfrac{5\pi}{6})

; màxim relatiu

\tfrac{\pi}{6} + \sqrt{3} \approx 2{,}26

, mínim relatiu

\tfrac{5\pi}{6} - \sqrt{3} \approx 0{,}89

Resolució

Punts crítics. $f'(x) = 1 - 2\sin x = 0 \iff \sin x = \tfrac{1}{2} \iff x = \tfrac{\pi}{6},\ \tfrac{5\pi}{6}$ a $[0,\ 2\pi]$ . No t'oblidis del segon angle.
Signe de f'. $f' > 0$ a $[0,\ \tfrac{\pi}{6})$ , $f' < 0$ a $(\tfrac{\pi}{6},\ \tfrac{5\pi}{6})$ i $f' > 0$ a $(\tfrac{5\pi}{6},\ 2\pi]$ .
Extrems relatius. Màxim a $x = \tfrac{\pi}{6}$ , $f = \tfrac{\pi}{6} + \sqrt{3} \approx 2{,}26$ ; mínim a $x = \tfrac{5\pi}{6}$ , $f = \tfrac{5\pi}{6} - \sqrt{3} \approx 0{,}89$ .

Apartat b)

Resultat

Còncava a

[0,\ \tfrac{\pi}{2})

(\tfrac{3\pi}{2},\ 2\pi]

, convexa a

(\tfrac{\pi}{2},\ \tfrac{3\pi}{2})

; inflexions

(\tfrac{\pi}{2},\ \tfrac{\pi}{2})

(\tfrac{3\pi}{2},\ \tfrac{3\pi}{2})

Resolució

Segona derivada. $f''(x) = -2\cos x = 0 \iff x = \tfrac{\pi}{2},\ \tfrac{3\pi}{2}$ .
Signe. $f'' < 0$ a $[0,\ \tfrac{\pi}{2})$ i a $(\tfrac{3\pi}{2},\ 2\pi]$ (còncava); $f'' > 0$ a $(\tfrac{\pi}{2},\ \tfrac{3\pi}{2})$ (convexa).
Inflexions. $\left(\tfrac{\pi}{2},\ \tfrac{\pi}{2}\right)$ i $\left(\tfrac{3\pi}{2},\ \tfrac{3\pi}{2}\right)$ , tots dos sobre la recta $y = x$ (perquè hi $\cos x = 0$ ).

Apartat c)

Resultat

Màxim absolut

2\pi + 2 \approx 8{,}28

x = 2\pi

; mínim absolut

\tfrac{5\pi}{6} - \sqrt{3} \approx 0{,}89

x = \tfrac{5\pi}{6}

Resolució

Candidats. A més dels punts crítics, cal mirar els extrems de l'interval: $f(0) = 2$ , $f(\tfrac{\pi}{6}) \approx 2{,}26$ , $f(\tfrac{5\pi}{6}) \approx 0{,}89$ , $f(2\pi) = 2\pi + 2 \approx 8{,}28$ .
Conclusió. Màxim absolut $2\pi + 2$ a $x = 2\pi$ ; mínim absolut $\tfrac{5\pi}{6} - \sqrt{3}$ a $x = \tfrac{5\pi}{6}$ .

Apartat d)

Resultat

L'equació

f(x) = 1

té exactament dues solucions a

[0,\ 2\pi]

(

x \approx 2{,}24

x \approx 2{,}97

Resolució

Primer tram. A $[0,\ \tfrac{\pi}{6}]$ , $f$ creix de 2 a 2,26: sempre $> 1$ , cap solució.
Segon tram. A $[\tfrac{\pi}{6},\ \tfrac{5\pi}{6}]$ , $f$ decreix de 2,26 a 0,89; com que és contínua (Bolzano) i estrictament monòtona, pren el valor 1 exactament una vegada.
Tercer tram. A $[\tfrac{5\pi}{6},\ 2\pi]$ , $f$ creix de 0,89 a 8,28: pren el valor 1 exactament una vegada.
Conclusió. En total, dues solucions. Bolzano en garanteix l'existència i la monotonia, la unicitat a cada tram (numèricament, $x \approx 2{,}24$ i $x \approx 2{,}97$ ).

Apartat e)

Resultat

No:

f(x) - x = 2\cos x

no tendeix a 0 quan

x \to +\infty

Resolució

Condició d'asímptota. $y = x$ seria asímptota obliqua si $\lim_{x \to +\infty} \big(f(x) - x\big) = 0$ ; no n'hi ha prou que $f(x)$ «s'assembli» a $x$ .
Càlcul. $f(x) - x = 2\cos x$ , que oscil·la entre $-2$ i $2$ i no té límit.
Conclusió. $y = x$ no és asímptota: la gràfica oscil·la al voltant de la recta, tallant-la a cada $x = \tfrac{\pi}{2} + k\pi$ .

Errors típics

Oblidar els valors als extrems de l'interval en buscar el màxim i el mínim absoluts.
Resoldre $\sin x=\tfrac12$ i quedar-se només amb $\tfrac\pi6$ (falta $\tfrac{5\pi}6$ ).
Dir que $y=x$ és asímptota perquè $f(x)$ «s'assembla» a $x$ ; la diferència ha de tendir a 0.
Comptar solucions de $f(x)=1$ només amb Bolzano sense usar la monotonia per assegurar la unicitat.

Conceptes treballats: estudi d'una funció trigonomètrica, extrems relatius i absoluts en un interval tancat, curvatura, nombre de solucions d'una equació, asímptotes obliqües.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 38

Es vol una funció de la forma $f(x)=\dfrac{ax^2+bx}{x+c}$ que tingui asímptota vertical $x=3$ i asímptota obliqua $y=2x+1$ .
a) Determina $a$ , $b$ i $c$ i comprova que la gràfica passa per l'origen.
b) Per a la funció trobada: domini, talls amb els eixos, posició de la corba respecte de l'asímptota obliqua.
c) Monotonia i extrems relatius; curvatura.
d) Esbossa la gràfica i determina per a quins valors de $k$ l'equació $f(x)=k$ no té cap solució.

Pista 1

L'asímptota vertical $x=3$ obliga que el denominador s'anul·li a 3. Per a l'obliqua, divideix els polinomis en funció dels paràmetres.

Pista 2

Un cop trobats $a$ , $b$ i $c$ , escriu $f$ com a $2x+1+\dfrac{R}{x-3}$ (amb $R$ el residu de la divisió): la derivada i la posició respecte de l'asímptota surten de seguida.

Pista 3

Per a d), la imatge de $f$ és la unió de dos intervals: estudia els valors dels extrems relatius.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 38

Apartat a)

Resultat

a = 2

b = -5

c = -3

f(x) = \dfrac{2x^{2} - 5x}{x - 3} = 2x + 1 + \dfrac{3}{x - 3}

;

f(0) = 0

, passa per l'origen.

Resolució

Asímptota vertical. El denominador s'ha d'anul·lar a $x = 3$ : $3 + c = 0 \Rightarrow c = -3$ .
Divisió. $\dfrac{ax^{2} + bx}{x - 3} = ax + (b + 3a) + \dfrac{3(b + 3a)}{x - 3}.$
Asímptota obliqua. Ha de ser $y = 2x + 1$ : $a = 2$ i $b + 3a = 1$ , per tant $b = -5$ . Així $f(x) = \dfrac{2x^{2} - 5x}{x - 3} = 2x + 1 + \dfrac{3}{x - 3}$ .
Comprovacions. El numerador no té terme independent: $f(0) = 0$ , passa per l'origen. El numerador a $x = 3$ val $18 - 15 = 3 \neq 0$ : la vertical és real.

Apartat b)

Resultat

\text{Dom} = \mathbb{R} \setminus \{3\}

; talls

(0,\ 0)

(\tfrac{5}{2},\ 0)

; per sobre de l'obliqua si

x > 3

i per sota si

x < 3

Resolució

Domini i talls. Domini $\mathbb{R} \setminus \{3\}$ . $x(2x - 5) = 0$ : $(0,\ 0)$ i $\left(\tfrac{5}{2},\ 0\right)$ .
Posició. $f(x) - (2x + 1) = \dfrac{3}{x - 3}$ : positiu per a $x > 3$ (la corba és per sobre de l'asímptota) i negatiu per a $x < 3$ (per sota).
Vertical. $\lim_{x \to 3^{\pm}} f = \pm\infty$ .

Apartat c)

Resultat

Creixent a

(-\infty,\ 3 - \tfrac{\sqrt{6}}{2})

(3 + \tfrac{\sqrt{6}}{2},\ \infty)

, decreixent entre (excepte a 3); màxim

7 - 2\sqrt{6} \approx 2{,}10

x \approx 1{,}78

, mínim

7 + 2\sqrt{6} \approx 11{,}90

x \approx 4{,}22

; còncava si

x < 3

, convexa si

x > 3

Resolució

Punts crítics. $f'(x) = 2 - \dfrac{3}{(x - 3)^{2}} = 0 \iff (x - 3)^{2} = \tfrac{3}{2} \iff x = 3 \pm \tfrac{\sqrt{6}}{2} \approx 1{,}78;\ 4{,}22.$
Monotonia. $f' > 0$ a $(-\infty,\ 3 - \tfrac{\sqrt{6}}{2})$ i a $(3 + \tfrac{\sqrt{6}}{2},\ \infty)$ ; $f' < 0$ entre aquests valors (excepte a 3).
Extrems. Màxim relatiu a $x = 3 - \tfrac{\sqrt{6}}{2}$ , amb $f = 7 - 2\sqrt{6} \approx 2{,}10$ ; mínim relatiu a $x = 3 + \tfrac{\sqrt{6}}{2}$ , amb $f = 7 + 2\sqrt{6} \approx 11{,}90$ .
Curvatura. $f''(x) = \dfrac{6}{(x - 3)^{3}}$ : còncava a $x < 3$ , convexa a $x > 3$ , sense inflexions.

Apartat d)

Resultat

f(x) = k

no té cap solució per a

7 - 2\sqrt{6} < k < 7 + 2\sqrt{6}

(aprox.

2{,}10 < k < 11{,}90

Resolució

Esbós. A l'esquerra de la vertical, $f$ puja (seguint l'obliqua per sota) fins al màxim $7 - 2\sqrt{6}$ i baixa a $-\infty$ ; a la dreta, baixa des de $+\infty$ fins al mínim $7 + 2\sqrt{6}$ i torna a pujar per sobre de l'obliqua.
Imatge. $(-\infty,\ 7 - 2\sqrt{6}] \cup [7 + 2\sqrt{6},\ \infty)$ .
Conclusió. L'equació $f(x) = k$ no té cap solució per a $7 - 2\sqrt{6} < k < 7 + 2\sqrt{6}$ . Observa que el màxim relatiu és menor que el mínim relatiu, perquè hi ha una asímptota vertical entre els dos.

Errors típics

Plantejar l'asímptota vertical igualant el numerador a zero.
No fer la divisió i voler deduir l'obliqua amb el límit de $f(x)/x$ sense simplificar bé.
Pensar que un màxim relatiu ha de ser més gran que qualsevol mínim relatiu (aquí no ho és, perquè hi ha una asímptota vertical entre els dos).
Oblidar comprovar que el numerador no s'anul·la a $x=3$ , cosa que invalidaria l'asímptota.

Conceptes treballats: determinació de paràmetres a partir d'asímptotes, divisió de polinomis, estudi d'una funció racional, extrems i imatge d'una funció discontínua.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 39

Considera la funció $f(x)=\ln\!\big(x^2-2x+a\big)$ , amb $a$ un paràmetre real.
a) Discuteix, segons $a$ , el domini de $f$ .
b) Determina $a$ perquè $f$ tingui un mínim relatiu al punt d'ordenada 0.
c) Amb aquest valor d' $a$ , fes l'estudi complet: simetria, límits, asímptotes, monotonia, extrems, curvatura i inflexions, i esbossa la gràfica.
d) Determina la imatge de $f$ i el nombre de solucions de $f(x)=k$ segons $k$ .

Pista 1

Completa el quadrat: $x^2-2x+a=(x-1)^2+(a-1)$ . Perquè el logaritme existeixi, l'argument ha de ser positiu.

Pista 2

El mínim de $f$ és el de l'argument del logaritme, perquè $\ln$ és creixent.

Pista 3

Per a la simetria, observa que $f(1+t)=f(1-t)$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 39

Apartat a)

Resultat

a > 1

\text{Dom} = \mathbb{R}

; si

a = 1

\mathbb{R} \setminus \{1\}

; si

a < 1

(-\infty,\ 1 - \sqrt{1 - a}) \cup (1 + \sqrt{1 - a},\ \infty)

Resolució

Completem el quadrat. $x^{2} - 2x + a = (x - 1)^{2} + (a - 1)$ , i l'argument del logaritme ha de ser positiu.
Cas a > 1. L'argument és positiu per a tot $x$ : domini $\mathbb{R}$ .
Cas a = 1. $(x - 1)^{2} > 0$ per a $x \neq 1$ : domini $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ (amb asímptota vertical $x = 1$ ).
Cas a < 1. Cal $(x - 1)^{2} > 1 - a$ , és a dir, $|x - 1| > \sqrt{1 - a}$ : domini $(-\infty,\ 1 - \sqrt{1 - a}) \cup (1 + \sqrt{1 - a},\ \infty)$ .

Apartat b)

Resultat

a = 2

f(x) = \ln(x^{2} - 2x + 2)

Resolució

Mínim de l'argument. Si $a > 1$ , l'argument $(x - 1)^{2} + (a - 1)$ és mínim a $x = 1$ , amb valor $a - 1$ .
ln és creixent. El mínim de $f$ és el de l'argument: mínim a $(1,\ \ln(a - 1))$ . (Si $a \leq 1$ , $f$ no té mínim: $x = 1$ queda fora del domini.)
Condició. $\ln(a - 1) = 0 \iff a - 1 = 1 \iff a = 2$ . Així, $f(x) = \ln(x^{2} - 2x + 2)$ .

Apartat c)

Resultat

Domini

\mathbb{R}

f \geq 0

, simètrica respecte de

x = 1

;

\lim_{x \to \pm\infty} f = +\infty

, sense asímptotes; decreixent a

(-\infty,\ 1)

, creixent a

(1,\ \infty)

, mínim

(1,\ 0)

; convexa a

(0,\ 2)

, còncava fora; inflexions

(0,\ \ln 2)

(2,\ \ln 2)

Resolució

Domini i simetria. $x^{2} - 2x + 2 = (x - 1)^{2} + 1 \geq 1$ : domini $\mathbb{R}$ i $f \geq 0$ . Simètrica respecte de la recta $x = 1$ , perquè $f(1 + t) = \ln(t^{2} + 1) = f(1 - t)$ . Només talla OX a $(1,\ 0)$ i OY a $(0,\ \ln 2)$ .
Límits i asímptotes. $\lim_{x \to \pm\infty} f = +\infty$ ; no hi ha asímptotes verticals ni horitzontals, ni obliqües, perquè $\lim f(x)/x = 0$ .
Monotonia. $f'(x) = \dfrac{2(x - 1)}{x^{2} - 2x + 2}$ (derivada de $\ln u$ : $u'/u$ ): decreix a $(-\infty,\ 1)$ i creix a $(1,\ \infty)$ ; mínim absolut $(1,\ 0)$ .
Curvatura. $f''(x) = \dfrac{-2x(x - 2)}{(x^{2} - 2x + 2)^{2}}:$ negativa (còncava) per a $x < 0$ i $x > 2$ , positiva (convexa) a $(0,\ 2)$ . Inflexions a $(0,\ \ln 2)$ i $(2,\ \ln 2)$ ; el mínim no és inflexió ( $f''(1) = 2 > 0$ ).
Interpretació. Té sentit: prop del mínim la corba és com una paràbola (convexa), però lluny creix només com $2\ln|x|$ , que és còncava.

Apartat d)

Resultat

Imatge

[0,\ \infty)

;

f(x) = k

no té solució si

k < 0

, en té una (

x = 1

) si

k = 0

i dues si

k > 0

Resolució

Imatge. $f$ és contínua, té mínim 0 i tendeix a $+\infty$ : imatge $[0,\ \infty)$ .
Resolució. $\ln\big((x - 1)^{2} + 1\big) = k \iff (x - 1)^{2} = e^{k} - 1$ .
Discussió. Cap solució si $k < 0$ ; una ( $x = 1$ ) si $k = 0$ ; dues si $k > 0$ : $x = 1 \pm \sqrt{e^{k} - 1}$ , simètriques respecte de $x = 1$ .

Errors típics

Oblidar la discussió segons $a$ (assumir que el domini sempre és $\mathbb R$ ).
Plantejar el mínim de $f$ com $f'(x)=0$ amb l'argument sense simplificar, o derivar $\ln u$ com $u'$ sense dividir per $u$ .
Dir que no hi ha asímptota obliqua perquè «no s'acosta a cap recta» sense calcular $\lim f(x)/x=0$ .
Confondre el punt d'inflexió amb el mínim ( $f''(1)=2\gt0$ , no és una inflexió).

Conceptes treballats: domini d'una funció amb logaritme i discussió segons un paràmetre, extrems, curvatura, inflexions, simetria, imatge d'una funció.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 40

El nombre de bacteris (en milers) d'un cultiu $t$ dies després d'iniciar-lo és $P(t)=\dfrac{10}{1+9e^{-t}}$ , $t\ge0$ .
a) Calcula $P(0)$ i el límit quan $t\to\infty$ . Què representa aquest límit?
b) Demostra que $P$ és creixent. Calcula $P'$ i $P''$ .
c) Troba el punt d'inflexió. Quin significat té respecte del ritme de creixement? Quin és el ritme màxim?
d) Quan assolirà el cultiu el 90 % de la seva capacitat? Esbossa la gràfica.

Pista 1

El límit de $e^{-t}$ quan $t\to\infty$ és 0.

Pista 2

Deriva $P=10\,(1+9e^{-t})^{-1}$ amb la regla de la cadena i simplifica.

Pista 3

El ritme de creixement és $P'(t)$ . El seu màxim s'assoleix on $P''=0$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 40

Apartat a)

Resultat

P(0) = 1

(mil bacteris);

\lim_{t \to \infty} P(t) = 10

: la capacitat de càrrega del medi (10 000 bacteris), asímptota horitzontal

y = 10

Resolució

Valor inicial. $P(0) = \dfrac{10}{1 + 9} = 1$ , és a dir, 1000 bacteris.
Límit. Com que $e^{-t} \to 0$ , $\lim_{t \to \infty} P(t) = \dfrac{10}{1 + 0} = 10$ .
Interpretació. És la capacitat de càrrega del medi (10 milers de bacteris): asímptota horitzontal $y = 10$ .

Apartat b)

Resultat

P'(t) = \dfrac{90e^{-t}}{(1 + 9e^{-t})^{2}} > 0

(creixent);

P''(t) = \dfrac{90e^{-t}(9e^{-t} - 1)}{(1 + 9e^{-t})^{3}}

Resolució

Regla de la cadena. $P = 10(1 + 9e^{-t})^{-1}$ , i la derivada de $1 + 9e^{-t}$ és $-9e^{-t}$ : $P'(t) = -10(1 + 9e^{-t})^{-2} \cdot (-9e^{-t}) = \dfrac{90e^{-t}}{(1 + 9e^{-t})^{2}}.$
Creixement. Numerador i denominador són positius: $P' > 0$ i $P$ és creixent.
Segona derivada. Derivant $P'$ i simplificant, $P''(t) = \dfrac{90e^{-t}\,(9e^{-t} - 1)}{(1 + 9e^{-t})^{3}}.$

Apartat c)

Resultat

Inflexió a

(\ln 9,\ 5) \approx (2{,}20;\ 5)

: el ritme passa de créixer a disminuir; ritme màxim

P'(\ln 9) = 2{,}5

milers de bacteris/dia.

Resolució

Inflexió. $P'' = 0 \iff 9e^{-t} = 1 \iff t = \ln 9 \approx 2{,}20$ dies, amb $P(\ln 9) = \dfrac{10}{1 + 1} = 5$ .
Significat. $P'' > 0$ abans (el ritme de creixement augmenta) i $P'' < 0$ després (el ritme disminueix). La inflexió és quan la població és la meitat de la capacitat; no és el moment en què deixa de créixer, sinó quan deixa d'accelerar-se.
Ritme màxim. El ritme és $P'$ , i és màxim on $P'' = 0$ : $P'(\ln 9) = \dfrac{90/9}{(1 + 1)^{2}} = 2{,}5\ \text{milers de bacteris/dia}.$

Apartat d)

Resultat

t = \ln 81 \approx 4{,}39

dies.

Resolució

Plantejament. El 90 % de la capacitat és $P = 9$ (milers), no $P = 0{,}9$ .
Càlcul. $\dfrac{10}{1 + 9e^{-t}} = 9 \iff 1 + 9e^{-t} = \tfrac{10}{9} \iff e^{-t} = \tfrac{1}{81} \iff t = \ln 81 \approx 4{,}39\ \text{dies}.$
Esbós. Corba en forma de S que surt de $(0,\ 1)$ , creix cada cop més de pressa fins a $(2{,}2;\ 5)$ i després s'aplana tendint a 10.

Errors típics

Oblidar que $\lim e^{-t}=0$ i donar el límit com a 10/(1+9)=1.
Derivar el quocient sense regla de la cadena (el factor $-9e^{-t}$ ).
Interpretar el punt d'inflexió com «el moment en què la població deixa de créixer»: només és quan deixa d'accelerar-se.
Confondre el 90 % de la capacitat amb $P=0{,}9$ .

Conceptes treballats: funcions logístiques, límits a l'infinit i asímptotes, primera i segona derivada, inflexió i ritme màxim de creixement, interpretació en un model biològic.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preguntes freqüents

Quins passos cal seguir per fer l'estudi complet d'una funció?

Primer el domini, les simetries i els talls amb els eixos; després les asímptotes (verticals, horitzontals i obliqües); a continuació la primera derivada per a la monotonia i els extrems, i la segona per a la curvatura i els punts d'inflexió. Amb tota aquesta informació ja pots esbossar la gràfica.

Quan una funció racional té asímptota obliqua?

Quan el grau del numerador és exactament una unitat més gran que el del denominador. Dividint els polinomis, el quocient dona la recta y = mx + n de l'asímptota. Si els graus són iguals hi ha asímptota horitzontal, i una funció no pot tenir les dues alhora al mateix costat.

Si la derivada s'anul·la en un punt, segur que hi ha un màxim o un mínim?

No. Cal que la derivada canviï de signe en aquest punt. Per exemple, f(x) = $x^{3}$ té f'(0) = 0, però la funció és creixent a tot arreu: en x = 0 hi ha un punt d'inflexió amb tangent horitzontal, no un extrem.

Tornar a Matemàtiques