Exercicis de probabilitat i inferència — Matemàtiques 2n Batxillerat

Q: Què és un interval de confiança?

Un interval de valors que conté el paràmetre de la població (per exemple la mitjana) amb una probabilitat fixada, com el 95 %.

Q: Quan es pot multiplicar la probabilitat de dos successos?

Si són independents, la probabilitat que passin tots dos és el producte. Si no ho són, cal multiplicar per la probabilitat condicionada.

Aquest bloc combina la probabilitat amb l'estadística inferencial. Els exercicis et fan calcular probabilitats condicionades amb boles i urnes, aplicar el teorema de la probabilitat total i el de Bayes, i treballar les distribucions binomial i normal. Després passes a la inferència: construeixes intervals de confiança per a la mitjana, com el pes dels nadons d'un hospital, i fas contrastos d'hipòtesis, com comprovar si una màquina embotelladora omple bé les ampolles. Les solucions interpreten cada resultat. Errors típics: confondre la probabilitat de A condicionada a B amb la de B condicionada a A i multiplicar probabilitats sense comprovar si els successos són independents.

Tens examen d'aquest tema? Fes un simulacre de 60 minuts com el de l'institut, amb solucions i criteris de correcció.Fes el simulacre →

Nivell bàsic

Exercici 1

En una bossa hi ha 5 boles vermelles i 3 blaves. Quina és la probabilitat de treure'n una de vermella?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 1

Resultat

P(\text{vermella}) = \dfrac{5}{8} = 0{,}625

Resolució

Dades. A la bossa hi ha 5 boles vermelles i 3 de blaves, és a dir, $5 + 3 = 8$ boles en total.
Regla de Laplace. Si tots els resultats són igual de probables, la probabilitat és el nombre de casos favorables entre el de casos possibles: $P = \dfrac{\text{casos favorables}}{\text{casos possibles}}$
Càlcul. Casos favorables (vermelles): 5; casos possibles: 8. $P(\text{vermella}) = \dfrac{5}{8} = 0{,}625$
Conclusió. La probabilitat de treure una bola vermella és $5/8$ , és a dir, un 62,5%.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 2

En un diagrama d'arbre per a un problema de Bayes, què representen les branques del primer nivell i les del segon? Quina condició han de complir les probabilitats que surten d'un mateix nus?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 2

Resultat

Primer nivell: les causes possibles amb la seva probabilitat; segon nivell: l'efecte observat (o no) dins de cada causa, és a dir, probabilitats condicionades. Les branques que surten d'un mateix nus han de sumar 1.

Resolució

Què es demana. Interpretar els dos nivells d'un diagrama d'arbre de Bayes i la condició que compleixen les branques.
Primer nivell. Les branques són les causes possibles (per exemple, la màquina que ha fet una peça), cadascuna amb la seva probabilitat $P(A_i)$ .
Segon nivell. Les branques indiquen si es produeix o no l'efecte observat dins de cada causa: són probabilitats condicionades, $P(D\mid A_i)$ i $P(\bar D\mid A_i)$ .
Conclusió. Les probabilitats de les branques que surten d'un mateix nus han de sumar 1, perquè recullen tots els casos possibles a partir d'aquell punt.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 3

En una distribució binomial de 5 proves amb probabilitat d'èxit 0,2, quants èxits s'esperen de mitjana? (La mitjana d'una binomial és el nombre de proves per la probabilitat d'èxit.)

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 3

Resultat

E(X) = n\cdot p = 1

: s'espera 1 èxit de mitjana.

Resolució

Dades. $X \sim B(5;\ 0{,}2)$ : $n = 5$ proves amb probabilitat d'èxit $p = 0{,}2$ .
Mitjana d'una binomial. El valor esperat és el nombre de proves per la probabilitat d'èxit: $E(X) = \mu = n\cdot p$
Càlcul. $\mu = 5\cdot 0{,}2 = 1$ .
Conclusió. De mitjana s'espera 1 èxit en les 5 proves.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 4

Siguin A i B dos esdeveniments amb P(A) = 0,4, P(B) = 0,5 i P(A ∩ B) = 0,2. Calcula P(A ∪ B), P( $A^{c}$ ) (esdeveniment contrari de A), P(A ∩ $B^{c}$ ) i P( $A^{c}$ ∩ $B^{c}$ ).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 4

Resultat

P(A\cup B) = 0{,}7

;

P(A^{c}) = 0{,}6

;

P(A\cap B^{c}) = 0{,}2

;

P(A^{c}\cap B^{c}) = 0{,}3

Resolució

Dades. $P(A) = 0{,}4$ , $P(B) = 0{,}5$ i $P(A\cap B) = 0{,}2$ .
Probabilitat de la unió. $P(A\cup B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B) = 0{,}4 + 0{,}5 - 0{,}2 = 0{,}7$
Esdeveniment contrari. $P(A^{c}) = 1 - P(A) = 1 - 0{,}4 = 0{,}6$ .
Diferència. $A\cap B^{c}$ és la part de A que no és de B: $P(A\cap B^{c}) = P(A) - P(A\cap B) = 0{,}4 - 0{,}2 = 0{,}2$ .
Llei de De Morgan. $A^{c}\cap B^{c} = (A\cup B)^{c}$ , de manera que $P(A^{c}\cap B^{c}) = 1 - P(A\cup B) = 1 - 0{,}7 = 0{,}3$ .
Comprovació. Les quatre regions del diagrama de Venn, 0,2 (només A) + 0,2 (A i B) + 0,3 (només B) + 0,3 (cap), sumen 1.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 5

De dos esdeveniments A i B se sap que P(A) = 0,3, P(B) = 0,6 i P(A ∩ B) = 0,18. Calcula P(A|B) i P(B|A), i raona si A i B són independents.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 5

Resultat

P(A\mid B) = 0{,}3

;

P(B\mid A) = 0{,}6

; A i B són independents.

Resolució

Dades. $P(A) = 0{,}3$ , $P(B) = 0{,}6$ i $P(A\cap B) = 0{,}18$ .
Probabilitat condicionada. $P(A\mid B) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(B)} = \dfrac{0{,}18}{0{,}6} = 0{,}3 \qquad P(B\mid A) = \dfrac{P(A\cap B)}{P(A)} = \dfrac{0{,}18}{0{,}3} = 0{,}6$
Independència. Com que $P(A\mid B) = 0{,}3 = P(A)$ , saber que ha passat B no canvia la probabilitat de A.
Comprovació amb la definició. $P(A)\cdot P(B) = 0{,}3\cdot 0{,}6 = 0{,}18 = P(A\cap B)$ . Per tant, A i B són independents.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 6

En una classe de 30 alumnes hi ha 12 nois, dels quals 7 fan esport federat, i 18 noies, de les quals 12 en fan. Es tria un alumne a l'atzar. Calcula la probabilitat que faci esport federat, la probabilitat que sigui noia sabent que fa esport federat i la probabilitat que faci esport federat sabent que és noi.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 6

Resultat

P(E) = \tfrac{19}{30} \approx 0{,}633

;

P(\text{noia}\mid E) = \tfrac{12}{19} \approx 0{,}632

;

P(E\mid \text{noi}) = \tfrac{7}{12} \approx 0{,}583

Resolució

Dades. 30 alumnes: 12 nois (7 fan esport federat) i 18 noies (12 en fan). Fan esport $7 + 12 = 19$ alumnes i no en fan $30 - 19 = 11$ .
Regla de Laplace. $P(E) = \dfrac{19}{30} \approx 0{,}633$ .
Probabilitat condicionada. «Sabent que fa esport» redueix l'espai mostral als 19 esportistes, dels quals 12 són noies: $P(\text{noia}\mid E) = \dfrac{12}{19} \approx 0{,}632$ .
Càlcul. «Sabent que és noi» redueix l'espai mostral als 12 nois, dels quals 7 fan esport: $P(E\mid \text{noi}) = \dfrac{7}{12} \approx 0{,}583$ .
Conclusió. Fixa't que «sabent que» redueix l'espai mostral al grup indicat (els 19 esportistes o els 12 nois), i per això el denominador canvia.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 7

Es llança un dau equilibrat 4 vegades. Calcula la probabilitat d'obtenir exactament dos sisos.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 7

Resultat

P(X = 2) = \dfrac{25}{216} \approx 0{,}1157

(un 11,6%)

Resolució

Dades. Cada llançament és una prova independent amb probabilitat d'èxit (treure un 6) $p = \tfrac{1}{6}$ . El nombre de sisos és $X \sim B\!\left(4,\ \tfrac{1}{6}\right)$ .
Distribució binomial. $P(X = k) = \binom{n}{k}\, p^{k}\,(1-p)^{n-k}$
Càlcul. $P(X = 2) = \binom{4}{2}\left(\tfrac{1}{6}\right)^{2}\left(\tfrac{5}{6}\right)^{2} = 6\cdot\dfrac{1}{36}\cdot\dfrac{25}{36} = \dfrac{150}{1296} = \dfrac{25}{216} \approx 0{,}1157$
Conclusió. Hi ha un 11,6% de probabilitat de treure exactament dos sisos. No oblidis el nombre combinatori $\binom{4}{2} = 6$ : compta de quantes maneres es poden col·locar els dos sisos entre els quatre llançaments.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 8

Sigui Z una variable normal estàndard N(0, 1). Sabent que P(Z ≤ 1,5) = 0,9332, calcula P(Z > 1,5), P(Z ≤ -1,5) i P(-1,5 ≤ Z ≤ 1,5).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 8

Resultat

P(Z > 1{,}5) = 0{,}0668

;

P(Z \le -1{,}5) = 0{,}0668

;

P(-1{,}5 \le Z \le 1{,}5) = 0{,}8664

Resolució

Dades. $Z \sim N(0,1)$ i $P(Z \le 1{,}5) = 0{,}9332$ .
Esdeveniment contrari. $P(Z > 1{,}5) = 1 - P(Z \le 1{,}5) = 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668$ .
Simetria de la normal. La campana és simètrica respecte de 0: $P(Z \le -1{,}5) = P(Z \ge 1{,}5) = 0{,}0668$ .
Càlcul. $P(-1{,}5 \le Z \le 1{,}5) = P(Z \le 1{,}5) - P(Z \le -1{,}5) = 0{,}9332 - 0{,}0668 = 0{,}8664$ .
Comprovació. Les dues cues (0,0668 cadascuna) més la part central (0,8664) sumen 1.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 9

L'alçada dels alumnes de 2n de Batxillerat d'un institut segueix una distribució normal de mitjana 170 cm i desviació típica 8 cm. Calcula la probabilitat que un alumne triat a l'atzar faci més de 180 cm. (Dada: P(Z ≤ 1,25) = 0,8944.)

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 9

Resultat

P(X > 180) = 0{,}1056

: aproximadament un 10,6% dels alumnes.

Resolució

Dades. $X \sim N(170,\ 8)$ (en cm) i volem $P(X > 180)$ .
Tipificació. $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$ . Per a $X = 180$ : $z = \dfrac{180 - 170}{8} = 1{,}25$ .
Càlcul. $P(X > 180) = P(Z > 1{,}25) = 1 - P(Z \le 1{,}25) = 1 - 0{,}8944 = 0{,}1056$ .
Conclusió. Aproximadament un 10,6% dels alumnes fan més de 180 cm. Compte a no donar directament 0,8944: aquesta és la probabilitat de fer menys de 180 cm, i cal restar-la d'1.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 10

D'una població amb mitjana μ = 50 i desviació típica σ = 12 se'n prenen mostres aleatòries de 36 elements. Quina distribució segueix la mitjana mostral $\bar{x}$ ? Calcula la probabilitat que la mitjana d'una mostra superi 53. (Dada: P(Z ≤ 1,5) = 0,9332.)

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 10

Resultat

\bar x \sim N(50,\ 2)

;

P(\bar x > 53) = 0{,}0668

Resolució

Dades. Població amb $\mu = 50$ i $\sigma = 12$ ; mostres de $n = 36$ elements.
Teorema central del límit. Com que $n = 36 \ge 30$ , la mitjana mostral segueix una normal de mitjana $\mu$ i desviació $\sigma/\sqrt{n}$ : $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrac{12}{\sqrt{36}} = \dfrac{12}{6} = 2 \ \Rightarrow\ \bar x \sim N(50,\ 2)$
Tipificació. $z = \dfrac{53 - 50}{2} = 1{,}5$ .
Càlcul. $P(\bar x > 53) = P(Z > 1{,}5) = 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668$ .
Conclusió. Fixa't que la mitjana mostral varia molt menys que un individu (desviació 2 en lloc de 12): com més gran és la mostra, més es concentra al voltant de $\mu$ .

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell intermedi

Exercici 11

Quines expressions d'un enunciat solen indicar que es demana una probabilitat condicionada?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 11

Resultat

Expressions com «sabent que», «si ja ha passat» o «entre els que…»: restringeixen el conjunt a un subgrup.

Resolució

Què es demana. Reconèixer en un enunciat quan es demana una probabilitat condicionada $P(A\mid B)$ .
Idea clau. Una probabilitat condicionada calcula la probabilitat de A dins d'un subgrup: el dels casos en què ja sabem que ha passat B.
Expressions típiques. «Sabent que…», «si ja ha passat…», «entre els que…», «d'entre els…», «si resulta que…».
Conclusió. Totes aquestes expressions restringeixen l'espai mostral a un subgrup, que passa a ser el denominador del càlcul.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 12

En quin resultat es recolza el teorema de Bayes per calcular la probabilitat de l'efecte?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 12

Resultat

En el teorema de la probabilitat total: la probabilitat de l'efecte és la suma dels camins de l'arbre que hi porten.

Resolució

Què es demana. Quin resultat fa servir el teorema de Bayes per obtenir la probabilitat de l'efecte $P(D)$ , que és el seu denominador.
Teorema de la probabilitat total. Si les causes $A_1, A_2, \dots, A_n$ formen un sistema complet, $P(D) = \sum_{i} P(A_i)\cdot P(D\mid A_i)$
Conclusió. Bayes es recolza en la probabilitat total: $P(D)$ és la suma dels camins de l'arbre que porten a l'efecte.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 13

En una fàbrica, la longitud dels cargols segueix una distribució normal amb desviació típica coneguda σ = 0,5 mm. Es pren una mostra de n = 100 cargols i s'obté una longitud mitjana de $\bar{x}$ = 20,3 mm. Construeix l'interval de confiança per a la mitjana de tota la producció amb un nivell de confiança del 95% i interpreta'l.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 13

Resultat

IC al 95%:

(20{,}202;\ 20{,}398)

mm, és a dir,

20{,}3 \pm 0{,}098

mm.

Resolució

Dades. $\sigma = 0{,}5$ mm (coneguda), $n = 100$ , $\bar x = 20{,}3$ mm i nivell de confiança del 95%.
Interval de confiança per a la mitjana. Amb $\sigma$ coneguda, l'interval és estimació ± error: $\bar x \pm z_{\alpha/2}\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ Per al 95%, el valor crític és $z = 1{,}96$ (deixa un 2,5% a cada cua).
Parany. La desviació típica es divideix per $\sqrt{n}$ , no per $n$ ; aquí $\sqrt{100} = 10$ .
Càlcul de l'error. $E = 1{,}96\cdot\dfrac{0{,}5}{10} = 1{,}96\cdot 0{,}05 = 0{,}098\ \text{mm}$
Interval. $20{,}3 \pm 0{,}098$ , és a dir, de 20,202 mm a 20,398 mm.
Interpretació. Amb un 95% de confiança, la longitud mitjana real de tots els cargols de la producció es troba entre 20,20 mm i 20,40 mm (aproximadament). No vol dir que un cargol concret hi caigui, sinó que el mètode encerta el 95% de les vegades.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 14

Una màquina embotelladora hauria d'omplir ampolles amb μ = 500 ml de mitjana, amb una desviació típica coneguda σ = 8 ml. Es pren una mostra de n = 64 ampolles i s'obté una mitjana de $\bar{x}$ = 502 ml. Amb un nivell de significació α = 0,05, es pot afirmar que la màquina NO dosifica correctament? (Contrast bilateral.)

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 14

Resultat

z = 2 > 1{,}96

: es rebutja

H_0

; hi ha prou evidència (

\alpha = 0{,}05

) que la màquina no dosifica correctament.

Resolució

Hipòtesis. Volem posar a prova que la mitjana és la de sempre i sospitem una desviació en qualsevol sentit: $H_0\!: \mu = 500$ i $H_1\!: \mu \ne 500$ .
Parany del contrast bilateral. Com que l'alternativa és «diferent» (dos sentits), $\alpha = 0{,}05$ es reparteix entre les dues cues, $\alpha/2 = 0{,}025$ a cadascuna. El valor crític és $z = 1{,}96$ (no 1,645, que seria d'un contrast unilateral). Zona d'acceptació: entre −1,96 i 1,96; zona de rebuig: fora.
Estadístic de contrast. $z = \dfrac{\bar x - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} = \dfrac{502 - 500}{8/\sqrt{64}} = \dfrac{2}{8/8} = 2$
Decisió. Com que $z = 2 > 1{,}96$ , cau a la zona de rebuig.
Conclusió. Es rebutja $H_0$ : amb un 5% de significació, hi ha prou evidència per afirmar que la màquina no dosifica els 500 ml correctament.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 15

En una fàbrica, la màquina A produeix el 60% de les peces i la màquina B el 40%. El 2% de les peces de A i el 5% de les de B són defectuoses. Es tria una peça a l'atzar.
a) Quina és la probabilitat que sigui defectuosa?
b) Si resulta defectuosa, quina és la probabilitat que l'hagi fet la màquina A?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 15

Apartat a)

Resultat

P(D) = 0{,}032

(un 3,2%)

Resolució

Dades (arbre). $P(A) = 0{,}6$ , $P(D\mid A) = 0{,}02$ ; $P(B) = 0{,}4$ , $P(D\mid B) = 0{,}05$ .
Teorema de la probabilitat total. $P(D) = P(A)\,P(D\mid A) + P(B)\,P(D\mid B)$
Càlcul. $P(D) = 0{,}6\cdot 0{,}02 + 0{,}4\cdot 0{,}05 = 0{,}012 + 0{,}020 = 0{,}032$ .
Conclusió. Un 3,2% de les peces són defectuoses.

Apartat b)

Resultat

P(A\mid D) = 0{,}375

Resolució

Plantejament. Sabem que la peça és defectuosa i volem la probabilitat que vingui de A: $P(A\mid D)$ .
Teorema de Bayes. $P(A\mid D) = \dfrac{P(A)\,P(D\mid A)}{P(D)} = \dfrac{0{,}012}{0{,}032} = 0{,}375$
Interpretació. Encara que A fabrica més peces, només el 37,5% de les defectuoses són seves, perquè la seva taxa de defectes és molt més baixa.
Comprovació. $P(B\mid D) = 0{,}020/0{,}032 = 0{,}625$ , i $0{,}375 + 0{,}625 = 1$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 16

Una malaltia afecta l'1% de la població. Una prova diagnòstica dona positiu en el 95% de les persones malaltes i també en el 8% de les sanes (falsos positius). Si una persona triada a l'atzar dona positiu, quina és la probabilitat que realment estigui malalta? Comenta el resultat.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 16

Resultat

P(M\mid +) \approx 0{,}107

: només un 10,7% dels positius estan realment malalts.

Resolució

Dades. M: malalta, $P(M) = 0{,}01$ ; S: sana, $P(S) = 0{,}99$ ; $P(+\mid M) = 0{,}95$ i $P(+\mid S) = 0{,}08$ .
Probabilitat total. $P(+) = 0{,}01\cdot 0{,}95 + 0{,}99\cdot 0{,}08 = 0{,}0095 + 0{,}0792 = 0{,}0887$ .
Teorema de Bayes. $P(M\mid +) = \dfrac{P(M)\,P(+\mid M)}{P(+)} = \dfrac{0{,}0095}{0{,}0887} \approx 0{,}107$
Comentari. Només un 10,7% de les persones amb resultat positiu estan realment malaltes. Com que la malaltia és poc freqüent, la majoria de positius són falsos positius (0,0792 davant de 0,0095); per això els resultats positius es confirmen amb una segona prova.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 17

Un examen tipus test té 6 preguntes amb 4 opcions cadascuna, només una de correcta. Un alumne respon totes les preguntes a l'atzar. Calcula la probabilitat que no n'encerti cap, que n'encerti almenys una i que n'encerti almenys cinc.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 17

Resultat

P(X = 0) \approx 0{,}178

;

P(X \ge 1) \approx 0{,}822

;

P(X \ge 5) \approx 0{,}0046

Resolució

Dades. Nombre d'encerts $X \sim B(6;\ 0{,}25)$ , amb $q = 0{,}75$ .
Cap encert. $P(X = 0) = 0{,}75^{6} \approx 0{,}178$ .
Esdeveniment contrari. $P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0{,}178 = 0{,}822$ . Passar pel contrari estalvia sumar sis termes.
Almenys cinc. $P(X \ge 5) = \binom{6}{5}0{,}25^{5}\cdot 0{,}75 + 0{,}25^{6} = 6\cdot 0{,}000977\cdot 0{,}75 + 0{,}000244 \approx 0{,}0044 + 0{,}0002 = 0{,}0046$
Conclusió. Responent a l'atzar és gairebé segur encertar-ne alguna (82%), però encertar-ne cinc o més és molt improbable (0,5%).

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 18

El quocient intel·lectual (QI) en una població segueix una normal N(100, 15).
a) Quin valor de QI només és superat pel 10% de la població?
b) Quin percentatge de la població té un QI inferior a 85?
(Dades: P(Z ≤ 1,28) = 0,8997 ≈ 0,90 i P(Z ≤ 1) = 0,8413.)

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 18

Apartat a)

Resultat

x = 119{,}2

: només el 10% de la població té un QI superior a 119,2.

Resolució

Plantejament. $X \sim N(100,\ 15)$ . Busquem $x$ tal que $P(X > x) = 0{,}10$ , és a dir, $P(X \le x) = 0{,}90$ .
Taula de la normal. $P(Z \le 1{,}28) \approx 0{,}90$ , de manera que $z = 1{,}28$ .
Destipificació. $x = \mu + z\cdot\sigma = 100 + 1{,}28\cdot 15 = 119{,}2$ .
Conclusió. Aquí fas el camí invers: de la probabilitat a la $z$ i després a $x$ .

Apartat b)

Resultat

P(X < 85) = 0{,}1587

: un 15,9% de la població.

Resolució

Tipificació. $z = \dfrac{85 - 100}{15} = -1$ .
Simetria de la normal. $P(X < 85) = P(Z < -1) = 1 - P(Z \le 1) = 1 - 0{,}8413 = 0{,}1587$ .
Conclusió. Un 15,9% de la població té un QI inferior a 85. Aquí el camí és el directe: de $x$ a $z$ i després a la probabilitat.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 19

En un calaix hi ha 6 piles, 4 de bones i 2 de gastades, indistingibles a simple vista. En traiem dues a l'atzar, una darrere l'altra i sense tornar-les al calaix. Calcula la probabilitat que les dues siguin bones i la probabilitat que n'hi hagi una de cada tipus.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 19

Resultat

P(\text{dues bones}) = \tfrac{2}{5} = 0{,}4

;

P(\text{una de cada}) = \tfrac{8}{15} \approx 0{,}533

Resolució

Dades. 6 piles: 4 bones (b) i 2 gastades (g). Se'n treuen dues sense reposició, de manera que la segona extracció depèn de la primera.
Probabilitat de la intersecció. $P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B\mid A)$ .
Dues bones. $P(b,b) = \dfrac{4}{6}\cdot\dfrac{3}{5} = \dfrac{12}{30} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4$ .
Una de cada tipus. Pot passar en dos ordres: $P(b,g) + P(g,b) = \dfrac{4}{6}\cdot\dfrac{2}{5} + \dfrac{2}{6}\cdot\dfrac{4}{5} = \dfrac{8}{30} + \dfrac{8}{30} = \dfrac{16}{30} = \dfrac{8}{15} \approx 0{,}533$ Compte a no oblidar que «una de cada» inclou els dos ordres possibles.
Comprovació. $P(g,g) = \dfrac{2}{6}\cdot\dfrac{1}{5} = \dfrac{2}{30} = \dfrac{1}{15}$ , i $\dfrac{6}{15} + \dfrac{8}{15} + \dfrac{1}{15} = 1$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 20

En una enquesta a 400 persones de Vic triades a l'atzar, 120 afirmen haver anat a la biblioteca durant el darrer mes. Calcula un interval de confiança del 95% per a la proporció de la població que hi ha anat, i interpreta'l. (Dada: z_0,975 = 1,96.)

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 20

Resultat

IC al 95%:

(0{,}255;\ 0{,}345)

, és a dir, entre el 25,5% i el 34,5%.

Resolució

Dades. $n = 400$ i proporció mostral $\hat p = \dfrac{120}{400} = 0{,}30$ ; $z_{0{,}975} = 1{,}96$ .
Condicions. Es pot aplicar la normal perquè $n\hat p = 120$ i $n(1 - \hat p) = 280$ són tots dos més grans que 5.
Error màxim. $E = z\cdot\sqrt{\dfrac{\hat p(1 - \hat p)}{n}} = 1{,}96\cdot\sqrt{\dfrac{0{,}3\cdot 0{,}7}{400}} = 1{,}96\cdot\sqrt{0{,}000525} = 1{,}96\cdot 0{,}0229 \approx 0{,}045$
Interval. $(0{,}30 - 0{,}045;\ 0{,}30 + 0{,}045) = (0{,}255;\ 0{,}345)$ .
Interpretació. Amb un 95% de confiança, entre el 25,5% i el 34,5% de la població de Vic ha anat a la biblioteca el darrer mes. Vol dir que, si repetíssim l'enquesta moltes vegades, el 95% dels intervals construïts així contindrien la proporció real.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 21

Siguin A i B dos esdeveniments amb P(A) = 0,3 i P(B) = 0,5.
a) Calcula P(A ∪ B) si A i B són incompatibles.
b) Calcula P(A ∪ B) si A i B són independents.
c) Raona si dos esdeveniments amb aquestes probabilitats poden ser alhora incompatibles i independents.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 21

Apartat a)

Resultat

P(A\cup B) = 0{,}8

Resolució

Incompatibles. No poden passar alhora: $P(A\cap B) = 0$ .
Càlcul. $P(A\cup B) = 0{,}3 + 0{,}5 - 0 = 0{,}8$ .

Apartat b)

Resultat

P(A\cup B) = 0{,}65

Resolució

Independents. $P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B) = 0{,}3\cdot 0{,}5 = 0{,}15$ .
Càlcul. $P(A\cup B) = 0{,}3 + 0{,}5 - 0{,}15 = 0{,}65$ .

Apartat c)

Resultat

No: si fossin independents,

P(A\cap B) = 0{,}15 \ne 0

, i per tant no serien incompatibles.

Resolució

Raonament. Si fossin independents, $P(A\cap B) = 0{,}15 \ne 0$ , de manera que no serien incompatibles.
En general. Dos esdeveniments de probabilitat no nul·la que són incompatibles mai no són independents: si passa un, segur que no passa l'altre, i això ja és informació.
Conclusió. No confonguis «incompatibles» (no coincideixen) amb «independents» (no s'influeixen).

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell avançat

Exercici 22

El temps que tarda un tren de rodalies a fer un trajecte segueix una distribució normal de mitjana μ = 80 minuts i desviació típica σ = 6 minuts. Quina proporció de trajectes duren entre 74 i 92 minuts?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 22

Resultat

P(74 < X < 92) = 0{,}8185

: aproximadament el 82% dels trajectes.

Resolució

Dades. $X \sim N(80,\ 6)$ (minuts) i volem $P(74 < X < 92)$ .
Tipificació dels extrems. $z_1 = \dfrac{74 - 80}{6} = -1$ i $z_2 = \dfrac{92 - 80}{6} = 2$ . Per tant, $P(-1 < Z < 2) = \Phi(2) - \Phi(-1)$ .
Parany de simetria. La taula sol donar només valors positius. Com que la normal és simètrica, $\Phi(-1) = 1 - \Phi(1)$ : no es pot buscar −1 directament.
Càlcul. $\Phi(2) = 0{,}9772$ i $\Phi(-1) = 1 - 0{,}8413 = 0{,}1587$ : $P(-1 < Z < 2) = 0{,}9772 - 0{,}1587 = 0{,}8185$
Conclusió. Aproximadament el 82% dels trajectes duren entre 74 i 92 minuts.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 23

En un hospital es vol estimar el pes mitjà dels nadons en néixer. Se sap que la desviació típica és σ = 400 g. Es vol que l'error de l'estimació no superi els E = 50 g, amb un nivell de confiança del 95%. Quina és la mida mostral mínima necessària?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 23

Resultat

n = 246

nadons com a mínim.

Resolució

Dades. $\sigma = 400$ g, error màxim $E = 50$ g i confiança del 95%, de manera que $z = 1{,}96$ .
Mida mostral. L'error d'un interval per a la mitjana és $E = z\cdot\sigma/\sqrt{n}$ . Aïllant $n$ : $n = \left(\dfrac{z\cdot\sigma}{E}\right)^{2}$
Càlcul. $1{,}96\cdot 400 = 784$ i $784/50 = 15{,}68$ ; elevant al quadrat, $n = 15{,}68^{2} = 245{,}86$ .
Parany clau. La mida mostral sempre s'arrodoneix cap amunt, encara que la part decimal sigui petita. Amb $n = 245$ l'error passaria una mica de 50 g; per garantir que no el supera, cal agafar el següent enter.
Conclusió. Cal una mostra mínima de $n = 246$ nadons.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 24

Un fabricant afirma que les seves bombetes duren de mitjana almenys 1000 hores, amb desviació típica coneguda σ = 120 hores. Una associació de consumidors sospita que duren menys i pren una mostra de n = 36 bombetes, amb una durada mitjana de $\bar{x}$ = 960 hores. Amb α = 0,01, hi ha prou evidència per dir que duren menys de 1000 hores? (Contrast unilateral.)

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 24

Resultat

z = -2 > -2{,}33

: no es rebutja

H_0

; no hi ha prou evidència (

\alpha = 0{,}01

) que durin menys de 1000 h.

Resolució

Hipòtesis. La sospita (l'alternativa) és que duren menys, un sol sentit: $H_0\!: \mu = 1000$ (com a mínim) i $H_1\!: \mu < 1000$ .
Parany del contrast unilateral. Tota la significació $\alpha = 0{,}01$ va a una sola cua (l'esquerra); no es divideix entre 2. El valor crític per a $\alpha = 0{,}01$ en una cua és $z = 2{,}33$ , i la zona de rebuig és $z < -2{,}33$ .
Estadístic de contrast. $z = \dfrac{\bar x - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} = \dfrac{960 - 1000}{120/\sqrt{36}} = -\dfrac{40}{120/6} = -\dfrac{40}{20} = -2$
Decisió. $z = -2$ no és menor que −2,33, per tant no cau a la zona de rebuig.
Conclusió. No es rebutja $H_0$ : amb un 1% de significació, no hi ha prou evidència per afirmar que les bombetes duren menys de 1000 hores. Compte amb el matís: «no rebutjar» no demostra que l'afirmació del fabricant sigui certa, només que aquestes dades no la contradiuen prou.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 25

Una botiga rep els seus productes de tres proveïdors: el 50% del proveïdor A, el 30% del B i el 20% del C. Són defectuosos l'1% dels productes de A, el 2% dels de B i el 4% dels de C.
a) Calcula el percentatge de productes defectuosos que rep la botiga.
b) Un client torna un producte defectuós. Quina és la probabilitat que vingui de cada proveïdor? Quin és el més probable?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 25

Apartat a)

Resultat

P(D) = 0{,}019

: un 1,9% de productes defectuosos.

Resolució

Dades. $P(A) = 0{,}5$ , $P(B) = 0{,}3$ , $P(C) = 0{,}2$ ; $P(D\mid A) = 0{,}01$ , $P(D\mid B) = 0{,}02$ , $P(D\mid C) = 0{,}04$ .
Teorema de la probabilitat total (tres branques): $P(D) = 0{,}5\cdot 0{,}01 + 0{,}3\cdot 0{,}02 + 0{,}2\cdot 0{,}04 = 0{,}005 + 0{,}006 + 0{,}008 = 0{,}019$
Conclusió. Un 1,9% dels productes que rep la botiga són defectuosos.

Apartat b)

Resultat

P(A\mid D) \approx 0{,}263

;

P(B\mid D) \approx 0{,}316

;

P(C\mid D) \approx 0{,}421

. El més probable és C.

Resolució

Teorema de Bayes. $P(\text{proveïdor}\mid D) = \dfrac{\text{branca corresponent}}{P(D)}$ .
Càlcul. $P(A\mid D) = \dfrac{0{,}005}{0{,}019} \approx 0{,}263;\quad P(B\mid D) = \dfrac{0{,}006}{0{,}019} \approx 0{,}316;\quad P(C\mid D) = \dfrac{0{,}008}{0{,}019} \approx 0{,}421$
Interpretació. El proveïdor més probable és C (42,1%), tot i ser el que menys productes envia, perquè la seva taxa de defectes és la més alta.
Comprovació. $0{,}263 + 0{,}316 + 0{,}421 = 1$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 26

En un procés de fabricació, el 5% de les peces surten defectuoses, de manera independent.
a) En una caixa de 10 peces, calcula la probabilitat que hi hagi com a màxim una peça defectuosa.
b) En un lot de 400 peces, aproxima per una normal la probabilitat que hi hagi més de 30 peces defectuoses. (Dada: P(Z ≤ 2,41) = 0,9920.)

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 26

Apartat a)

Resultat

P(X \le 1) \approx 0{,}9139

Resolució

Dades. El nombre de defectuoses a la caixa és $X \sim B(10;\ 0{,}05)$ .
Distribució binomial. $P(X \le 1) = P(X = 0) + P(X = 1)$ .
Càlcul. $P(X \le 1) = 0{,}95^{10} + 10\cdot 0{,}05\cdot 0{,}95^{9} \approx 0{,}5987 + 0{,}3151 = 0{,}9139$
Conclusió. A la caixa petita és molt probable (91%) que hi hagi 0 o 1 peces defectuoses.

Apartat b)

Resultat

P(Y > 30) \approx 0{,}0080

Resolució

Aproximació normal. $Y \sim B(400;\ 0{,}05)$ . Com que $np = 20 \ge 5$ i $nq = 380 \ge 5$ , s'aproxima per una normal amb $\mu = np = 20$ i $\sigma = \sqrt{npq} = \sqrt{19} \approx 4{,}36$ .
Correcció de continuïtat. «Més de 30» ( $Y \ge 31$ ) es converteix en $Y' > 30{,}5$ : $z = \dfrac{30{,}5 - 20}{4{,}36} \approx 2{,}41$
Càlcul. $P(Y > 30) \approx P(Z > 2{,}41) = 1 - 0{,}9920 = 0{,}0080$ .
Conclusió. Al lot gran, trobar més de 30 peces defectuoses és molt poc probable (0,8%); si passés, seria un senyal que el procés ha empitjorat.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 27

Històricament, el 60% dels alumnes d'un centre aproven una determinada prova. Aquest any, d'una mostra aleatòria de 200 alumnes n'han aprovat 132. Amb un nivell de significació del 5% i un contrast bilateral, es pot afirmar que la proporció d'aprovats ha canviat? (Dada: z_0,975 = 1,96.)

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 27

Resultat

z \approx 1{,}73 < 1{,}96

: no es rebutja

H_0

; no hi ha prou evidència al 5% que la proporció hagi canviat.

Resolució

Hipòtesis. $H_0\!: p = 0{,}6$ i $H_1\!: p \ne 0{,}6$ (bilateral). Proporció mostral: $\hat p = 132/200 = 0{,}66$ .
Estadístic de contrast. L'error es calcula amb la proporció de la hipòtesi nul·la, $p_0 = 0{,}6$ (no amb $\hat p = 0{,}66$ ): $z = \dfrac{\hat p - p_0}{\sqrt{p_0(1 - p_0)/n}} = \dfrac{0{,}66 - 0{,}60}{\sqrt{0{,}6\cdot 0{,}4/200}} = \dfrac{0{,}06}{\sqrt{0{,}0012}} = \dfrac{0{,}06}{0{,}0346} \approx 1{,}73$
Regió d'acceptació. Per a $\alpha = 0{,}05$ bilateral: $-1{,}96 \le z \le 1{,}96$ . Com que 1,73 és dins d'aquest interval, no es rebutja $H_0$ .
Conclusió. La diferència observada (66% davant del 60%) és compatible amb l'atzar del mostreig: no hi ha prou evidència, al 5%, que la proporció hagi canviat.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 28

Una companyia d'autobusos afirma que el temps mitjà d'espera a una parada és de 10 minuts, amb desviació típica coneguda σ = 1,4 min. Una associació d'usuaris mesura 49 esperes i obté una mitjana de 10,4 min.
a) Planteja un contrast per decidir, amb α = 0,05, si el temps mitjà d'espera és superior al que diu la companyia.
b) Determina la regió d'acceptació en termes de la mitjana mostral i conclou. (Dada: P(Z ≤ 1,645) = 0,95.)

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 28

Apartat a)

Resultat

H_0\!: \mu = 10

\mu \le 10

H_1\!: \mu > 10

(unilateral per la dreta); estadístic

z = 2

Resolució

Hipòtesis. $H_0\!: \mu = 10$ (o $\mu \le 10$ ) i $H_1\!: \mu > 10$ : contrast unilateral per la dreta, perquè volem detectar si l'espera és més llarga.
Error típic de la mitjana. $\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = \dfrac{1{,}4}{\sqrt{49}} = \dfrac{1{,}4}{7} = 0{,}2$ .
Estadístic. $z = \dfrac{\bar x - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} = \dfrac{10{,}4 - 10}{0{,}2} = 2$

Apartat b)

Resultat

Regió d'acceptació:

\bar x \le 10{,}33

min. Com que

10{,}4 > 10{,}33

, es rebutja

H_0

: l'espera mitjana és superior a 10 min.

Resolució

Valor crític. Amb $\alpha = 0{,}05$ a la cua dreta, es rebutja $H_0$ si $z > 1{,}645$ .
Regió d'acceptació en termes de $\bar x$ . $\bar x \le 10 + 1{,}645\cdot 0{,}2 = 10{,}33$ min.
Decisió. Com que $10{,}4 > 10{,}33$ (equivalentment, $z = 2 > 1{,}645$ ), es rebutja $H_0$ : amb un 5% de significació hi ha evidència que el temps mitjà d'espera és superior a 10 minuts.
Observació. Amb $\alpha = 0{,}01$ (valor crític 2,33) no s'hauria rebutjat: la conclusió depèn del nivell de significació triat.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 29

El temps diari d'estudi dels alumnes d'un centre té una desviació típica σ = 15 min. Es vol estimar el temps mitjà amb una mostra de 100 alumnes.
a) Calcula l'error màxim de l'estimació amb un nivell de confiança del 99%.
b) Quina mida hauria de tenir la mostra per reduir aquest error a la meitat, amb la mateixa confiança?
c) Raona com canviaria l'error de l'apartat a) si la confiança baixés al 95%. (Dades: z_0,995 = 2,575; z_0,975 = 1,96.)

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 29

Apartat a)

Resultat

E \approx 3{,}86

min

Resolució

Dades. $\sigma = 15$ min, $n = 100$ i confiança del 99%, $z_{0{,}995} = 2{,}575$ .
Error màxim. $E = z\cdot\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2{,}575\cdot\dfrac{15}{\sqrt{100}} = 2{,}575\cdot 1{,}5 = 3{,}86\ \text{min}$
Conclusió. L'interval seria $\bar x \pm 3{,}86$ min.

Apartat b)

Resultat

n = 400

alumnes

Resolució

Proporcionalitat. L'error és inversament proporcional a $\sqrt{n}$ . Per dividir-lo per 2 cal multiplicar $\sqrt{n}$ per 2, és a dir, multiplicar $n$ per 4: $n = 400$ .
Comprovació. $2{,}575\cdot\dfrac{15}{\sqrt{400}} = 2{,}575\cdot 0{,}75 = 1{,}93$ min, la meitat de 3,86.
Amb la fórmula. $n \ge \left(\dfrac{z\cdot\sigma}{E}\right)^{2} = \left(\dfrac{2{,}575\cdot 15}{1{,}93}\right)^{2} \approx 400$

Apartat c)

Resultat

L'error baixaria a

E = 2{,}94

min: interval més estret, però amb menys confiança.

Resolució

Nou valor crític. Amb un 95% de confiança el valor crític baixa a 1,96: $E = 1{,}96\cdot 1{,}5 = 2{,}94$ min.
Conclusió. L'interval és més estret, però ara només el 95% dels intervals (en lloc del 99%) contindrien la mitjana real: més precisió a canvi de menys confiança.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 30

El pes de les peces de fruita d'una collita segueix una distribució normal N(μ, σ) de paràmetres desconeguts. Se sap que el 15,87% de les peces pesen menys de 56 g i que el 2,28% pesen més de 71 g.
a) Determina μ i σ.
b) Calcula el percentatge de peces que pesen menys de 66 g. (Dades: P(Z ≤ 1) = 0,8413 i P(Z ≤ 2) = 0,9772.)

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 30

Apartat a)

Resultat

\mu = 61

g i

\sigma = 5

Resolució

Primera condició. $P(X < 56) = 0{,}1587 = 1 - 0{,}8413 = P(Z < -1)$ , de manera que $\dfrac{56 - \mu}{\sigma} = -1$ , és a dir, $56 = \mu - \sigma$ .
Segona condició. $P(X > 71) = 0{,}0228 = 1 - 0{,}9772 = P(Z > 2)$ , de manera que $\dfrac{71 - \mu}{\sigma} = 2$ , és a dir, $71 = \mu + 2\sigma$ .
Sistema. Restant les dues equacions: $71 - 56 = 3\sigma \Rightarrow \sigma = 5$ g, i $\mu = 56 + 5 = 61$ g.
Comprovació. Amb $\mu = 61$ i $\sigma = 5$ , $P(X > 71) = P(Z > 2) = 0{,}0228$ , com diu l'enunciat.

Apartat b)

Resultat

P(X < 66) = 0{,}8413

: un 84,13% de les peces.

Resolució

Tipificació. $z = \dfrac{66 - 61}{5} = 1$ .
Càlcul. $P(X < 66) = P(Z < 1) = 0{,}8413$ .
Conclusió. Un 84,13% de les peces pesen menys de 66 g.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preparat per a la universitat

Els exercicis més exigents: nivell PAU alt i primer curs de grau. Veure totes les matèries

Exercici 31

Un filtre antispam analitza els correus d'una bústia. El 40 % dels correus que arriben són spam ( $S$ ). La paraula «oferta» ( $O$ ) apareix en el 30 % dels spam i en el 5 % dels correus legítims; la paraula «urgent» ( $U$ ) apareix en el 20 % dels spam i en el 2 % dels legítims. Suposa que, dins de cada tipus de correu (spam o legítim), la presència de cada paraula és independent de l'altra.
a) Calcula la probabilitat que un correu contingui «oferta» i, sabent que la conté, la probabilitat que sigui spam.
b) Si un correu conté «oferta» i «urgent» alhora, quina és la probabilitat que sigui spam?
c) I si conté «oferta» però no «urgent»?
d) Demostra que, globalment (sense saber si és spam), «oferta» i «urgent» no són independents, tot i que ho siguin dins de cada tipus. Explica-ho.

Pista 1

Dibuixa un arbre: primer spam o legítim, després «oferta» o no, després «urgent» o no. Com que dins de cada tipus són independents, les probabilitats es multipliquen al llarg d'una branca.

Pista 2

Fes servir el teorema de Bayes: $P(S\mid\text{evidència})=\dfrac{P(S)\,P(\text{evidència}\mid S)}{P(\text{evidència})}$ , amb el denominador per la probabilitat total.

Pista 3

Per a d), compara $P(O\cap U)$ amb $P(O)\,P(U)$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 31

Apartat a)

Resultat

P(O) = 0{,}15

;

P(S\mid O) = 0{,}8

Resolució

Dades (arbre). $P(S) = 0{,}4$ , $P(\bar S) = 0{,}6$ ; $P(O\mid S) = 0{,}3$ , $P(O\mid\bar S) = 0{,}05$ ; $P(U\mid S) = 0{,}2$ , $P(U\mid\bar S) = 0{,}02$ .
Probabilitat total. $P(O) = 0{,}4\cdot 0{,}3 + 0{,}6\cdot 0{,}05 = 0{,}12 + 0{,}03 = 0{,}15$ .
Teorema de Bayes. $P(S\mid O) = \dfrac{P(S)\,P(O\mid S)}{P(O)} = \dfrac{0{,}12}{0{,}15} = 0{,}8$

Apartat b)

Resultat

P(S\mid O\cap U) \approx 0{,}9756

: quasi segur que és spam.

Resolució

Independència dins de cada tipus. Les probabilitats es multipliquen al llarg de la branca: $P(S\cap O\cap U) = 0{,}4\cdot 0{,}3\cdot 0{,}2 = 0{,}024$ i $P(\bar S\cap O\cap U) = 0{,}6\cdot 0{,}05\cdot 0{,}02 = 0{,}0006$ .
Teorema de Bayes. $P(S\mid O\cap U) = \dfrac{0{,}024}{0{,}024 + 0{,}0006} = \dfrac{0{,}024}{0{,}0246} \approx 0{,}9756$
Conclusió. Amb les dues paraules alhora, és quasi segur que el correu és spam.

Apartat c)

Resultat

P(S\mid O\cap\bar U) \approx 0{,}7656

Resolució

Branques. Ara cal $P(\bar U\mid S) = 0{,}8$ i $P(\bar U\mid\bar S) = 0{,}98$ : $P(S\cap O\cap\bar U) = 0{,}4\cdot 0{,}3\cdot 0{,}8 = 0{,}096$ i $P(\bar S\cap O\cap\bar U) = 0{,}6\cdot 0{,}05\cdot 0{,}98 = 0{,}0294$ .
Teorema de Bayes. $P(S\mid O\cap\bar U) = \dfrac{0{,}096}{0{,}096 + 0{,}0294} = \dfrac{0{,}096}{0{,}1254} \approx 0{,}7656$
Interpretació. Que falti «urgent» disminueix una mica la probabilitat respecte del 0,8 de l'apartat a).

Apartat d)

Resultat

P(O\cap U) = 0{,}0246 \ne P(O)\,P(U) = 0{,}0138

: globalment no són independents; només ho són condicionades al tipus de correu.

Resolució

Probabilitats globals. $P(U) = 0{,}4\cdot 0{,}2 + 0{,}6\cdot 0{,}02 = 0{,}092$ i $P(O\cap U) = 0{,}024 + 0{,}0006 = 0{,}0246$ .
Definició d'independència. $P(O)\,P(U) = 0{,}15\cdot 0{,}092 = 0{,}0138 \ne 0{,}0246$ , per tant no són independents. De fet, $P(U\mid O) = 0{,}0246/0{,}15 \approx 0{,}164 > P(U) = 0{,}092$ .
Explicació. La causa és el tipus de correu: saber que hi ha «oferta» fa més probable que sigui spam, i el spam conté «urgent» més sovint. És només una independència condicionada al tipus, que és el supòsit del filtre bayesià ingenu.

Errors típics

Confondre $P(O\mid S)=0{,}3$ amb $P(S\mid O)=0{,}8$ (probabilitat condicionada invertida).
Multiplicar $P(O)\cdot P(U)$ per obtenir $P(O\cap U)$ global, sense tenir en compte que les paraules depenen del tipus de correu.
Oblidar el denominador (la probabilitat total) en aplicar Bayes.
En c), usar $P(\bar U\mid S)=0{,}2$ en lloc de $0{,}8$ .

Conceptes treballats: probabilitat total, teorema de Bayes, independència i independència condicionada, diagrama d'arbre, interpretació de probabilitats condicionades.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 32

En una competició, el 2 % dels esportistes consumeix una substància prohibida ( $D$ ). La prova la detecta en el 90 % dels que la consumeixen (positiu) i dona un fals positiu en el 5 % dels que no la consumeixen. Suposa que, un cop fixat si l'esportista consumeix o no, els resultats de proves repetides són independents.
a) Quina és la probabilitat que una prova doni positiu?
b) Un esportista dona positiu. Quina és la probabilitat que realment hagi consumit la substància? Comenta-ho.
c) Es repeteix la prova i torna a donar positiu. Quina és ara la probabilitat? I si la segona dona negatiu?
d) Quin màxim de falsos positius hauria de tenir la prova (mantenint el 90 % de detecció) perquè un positiu implicés una probabilitat de consum d'almenys 0,9?

Pista 1

Arbre: $D$ (0,02) o $\bar D$ (0,98); després $+$ amb 0,9 o 0,05.

Pista 2

El resultat de b) probablement no és el que esperaves. Pensa en quantes persones netes hi ha en comparació amb les que consumeixen.

Pista 3

Per a c), multiplica les probabilitats dels resultats (independents) condicionats a cada estat, i aplica Bayes amb dues proves.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 32

Apartat a)

Resultat

P(+) = 0{,}067

Resolució

Dades (arbre). $P(D) = 0{,}02$ , $P(\bar D) = 0{,}98$ ; $P(+\mid D) = 0{,}9$ i $P(+\mid\bar D) = 0{,}05$ .
Probabilitat total. $P(+) = 0{,}02\cdot 0{,}9 + 0{,}98\cdot 0{,}05 = 0{,}018 + 0{,}049 = 0{,}067$ .

Apartat b)

Resultat

P(D\mid +) \approx 0{,}2687

: només un 27% dels positius han consumit.

Resolució

Teorema de Bayes. $P(D\mid +) = \dfrac{0{,}018}{0{,}067} \approx 0{,}2687$
Comentari. Només un 27%: la majoria de positius són falsos, perquè hi ha molts més esportistes nets (98%) que consumidors, i el 5% de fals positiu sobre molta gent supera el 90% de detecció sobre poca.
Conclusió. Cal una segona prova abans de sancionar.

Apartat c)

Resultat

Dos positius:

P(D\mid ++) \approx 0{,}8686

; positiu i negatiu:

P(D\mid +-) \approx 0{,}0372

Resolució

Independència condicionada. Fixat l'estat, els resultats es multipliquen: $P(++\mid D) = 0{,}9^{2}$ i $P(++\mid\bar D) = 0{,}05^{2}$ .
Dos positius (Bayes). $P(D\mid ++) = \dfrac{0{,}02\cdot 0{,}9^{2}}{0{,}02\cdot 0{,}9^{2} + 0{,}98\cdot 0{,}05^{2}} = \dfrac{0{,}0162}{0{,}01865} \approx 0{,}8686$
Positiu i negatiu. $P(D\mid +-) = \dfrac{0{,}02\cdot 0{,}9\cdot 0{,}1}{0{,}02\cdot 0{,}9\cdot 0{,}1 + 0{,}98\cdot 0{,}05\cdot 0{,}95} = \dfrac{0{,}0018}{0{,}04835} \approx 0{,}0372$
Conclusió. Un segon positiu fa pujar la probabilitat de consum fins al 87%; un segon negatiu la fa baixar a menys del 4%.

Apartat d)

Resultat

Taxa de falsos positius

f \le 0{,}00204

, uns 0,2%.

Resolució

Plantejament. Sigui $f$ la taxa de fals positiu, amb la detecció del 90%. Volem $P(D\mid +) \ge 0{,}9$ .
Inequació. $\dfrac{0{,}018}{0{,}018 + 0{,}98f} \ge 0{,}9 \iff 0{,}98f \le 0{,}002 \iff f \le 0{,}00204$
Conclusió. La taxa de falsos positius hauria de ser com a màxim d'un 0,2%: una prova unes 25 vegades més selectiva que la inicial.

Errors típics

Confondre la sensibilitat $P(+\mid D)=0{,}9$ amb $P(D\mid +)$ : és l'error de la «fal·làcia del fiscal».
Ignorar la prevalença (2 %) en la interpretació del positiu.
Per a la segona prova, tornar a partir de 0,02 en lloc d'actualitzar amb el resultat de la primera (o multiplicar sense normalitzar).
Dir que «si dos positius són independents, la probabilitat és $0{,}9\cdot0{,}9$ »: això és $P(++\mid D)$ , no $P(D\mid ++)$ .

Conceptes treballats: probabilitat total, teorema de Bayes, actualització de probabilitats amb evidències successives, falsos positius i prevalença, interpretació crítica.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 33

Una empresa rep el 70 % de les peces del proveïdor A (2 % de defectuoses) i el 30 % del proveïdor B (10 % de defectuoses). Per controlar un lot en prenen 10 peces i el rebutgen si en troben 2 o més de defectuoses. Suposa que el lot ve d'un sol proveïdor i que, dins del lot, cada peça és defectuosa de manera independent (model binomial).
a) Calcula $P(R\mid A)$ i $P(R\mid B)$ , on $R$ és «rebutjar el lot».
b) Calcula $P(R)$ .
c) Si un lot ha estat rebutjat, quina és la probabilitat que vingués de B?
d) La direcció proposa rebutjar si hi ha 1 o més peces defectuoses. Calcula $P(R'\mid A)$ , $P(R'\mid B)$ i $P(B\mid R')$ , i valora quin criteri és millor.

Pista 1

Dins de cada proveïdor, el nombre de peces defectuoses a la mostra és $B(10,\,p)$ amb $p=0{,}02$ o $0{,}10$ .

Pista 2

$P(R\mid A)=1-P(0)-P(1)$ , amb $P(k)=\binom{10}{k}p^k(1-p)^{10-k}$ .

Pista 3

Per a c), aplica Bayes: $P(B\mid R)=\dfrac{P(B)P(R\mid B)}{P(R)}$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 33

Apartat a)

Resultat

P(R\mid A) \approx 0{,}0162

;

P(R\mid B) \approx 0{,}2639

Resolució

Model binomial. Dins de cada proveïdor, el nombre de defectuoses a la mostra és $B(10,\ p)$ , amb $p = 0{,}02$ (A) o $p = 0{,}10$ (B), i $P(R) = 1 - P(0) - P(1)$ .
Proveïdor A. $P(0) = 0{,}98^{10} \approx 0{,}8171$ i $P(1) = 10\cdot 0{,}02\cdot 0{,}98^{9} \approx 0{,}1667$ , de manera que $P(R\mid A) = 1 - 0{,}8171 - 0{,}1667 \approx 0{,}0162$ .
Proveïdor B. $P(0) = 0{,}9^{10} \approx 0{,}3487$ i $P(1) = 10\cdot 0{,}1\cdot 0{,}9^{9} \approx 0{,}3874$ , de manera que $P(R\mid B) \approx 0{,}2639$ .

Apartat b)

Resultat

P(R) \approx 0{,}0905

Resolució

Probabilitat total. Cal ponderar per la proporció de cada proveïdor: $P(R) = 0{,}7\cdot 0{,}0162 + 0{,}3\cdot 0{,}2639 \approx 0{,}0113 + 0{,}0792 = 0{,}0905$
Conclusió. Aproximadament un 9% dels lots són rebutjats; la major part d'aquesta probabilitat (0,0792) prové dels lots de B.

Apartat c)

Resultat

P(B\mid R) \approx 0{,}875

Resolució

Teorema de Bayes. $P(B\mid R) = \dfrac{P(B)\,P(R\mid B)}{P(R)} = \dfrac{0{,}0792}{0{,}0905} \approx 0{,}875$
Interpretació. Un 87,5% dels lots rebutjats venen de B, tot i que B només aporta el 30% dels lots.

Apartat d)

Resultat

P(R'\mid A) \approx 0{,}1829

;

P(R'\mid B) \approx 0{,}6513

;

P(B\mid R') \approx 0{,}604

. El millor criteri depèn del cost de cada error.

Resolució

Nou criteri. Es rebutja amb 1 o més defectuoses: $P(R'\mid A) = 1 - 0{,}8171 \approx 0{,}1829$ i $P(R'\mid B) = 1 - 0{,}3487 \approx 0{,}6513$ .
Probabilitat total i Bayes. $P(R') \approx 0{,}7\cdot 0{,}1829 + 0{,}3\cdot 0{,}6513 \approx 0{,}3234$ i $P(B\mid R') \approx \dfrac{0{,}1954}{0{,}3234} \approx 0{,}604$
Valoració. El criteri més estricte detecta molts més lots de B (65% contra 26%), però rebutja també el 18% dels bons lots d'A (contra l'1,6%), i el lot rebutjat és molt menys «probablement de B» (60% contra 87,5%).
Conclusió. Cal decidir segons el cost d'acceptar un lot dolent (devolucions) contra el de rebutjar-ne un de bo.

Errors típics

Calcular $P(R)$ sense ponderar per la proporció de cada proveïdor.
Plantejar $P(R\mid A)$ com $10\cdot0{,}02$ (esperança) en lloc d'usar la binomial.
Confondre «2 o més» amb «exactament 2».
Dir que «el criteri més estricte és millor» sense valorar el cost dels falsos rebuigs.

Conceptes treballats: distribució binomial, probabilitat total, teorema de Bayes, models de decisió i interpretació de risc.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 34

El temps diari que els adolescents d'una població passen davant d'una pantalla, $X$ (hores), segueix una distribució normal de mitjana 6,2 h i desviació típica 1,5 h.
a) Quina proporció passa 8 h o més davant la pantalla?
b) Quin nombre d'hores només és superat pel 5 % dels adolescents?
c) En un grup de 8 adolescents escollits a l'atzar (independents), quina és la probabilitat que almenys 2 passin 8 h o més?
d) Quants adolescents d'aquest tipus s'esperen en un grup de 8? Raona per què la binomial és un model adequat i quina condició podria fallar a la vida real.

Pista 1

Tipifica: $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}$ i consulta la taula de la $N(0,1)$ .

Pista 2

Per a b), cal el valor $z$ tal que $P(Z\gt z)=0{,}05$ , és a dir $z=1{,}645$ .

Pista 3

El nombre d'adolescents del grup amb 8 h o més és binomial $B(8,p)$ , amb $p$ el resultat de a).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 34

Apartat a)

Resultat

P(X \ge 8) = 0{,}1151

: l'11,5%.

Resolució

Dades. $X \sim N(6{,}2;\ 1{,}5)$ (hores).
Tipificació. $z = \dfrac{8 - 6{,}2}{1{,}5} = 1{,}2$ .
Càlcul. $P(X \ge 8) = 1 - \Phi(1{,}2) = 1 - 0{,}8849 = 0{,}1151$ : l'11,5% dels adolescents.

Apartat b)

Resultat

x \approx 8{,}67

Resolució

Valor crític. El valor $z = 1{,}645$ deixa a la dreta el 5%: $P(Z > 1{,}645) = 0{,}05$ .
Destipificació. $x = 6{,}2 + 1{,}645\cdot 1{,}5 \approx 8{,}67$ h.

Apartat c)

Resultat

P(Y \ge 2) \approx 0{,}233

Resolució

Model binomial. El nombre d'adolescents del grup amb 8 h o més és $Y \sim B(8;\ 0{,}1151)$ .
Càlcul. $P(Y = 0) = 0{,}8849^{8} \approx 0{,}376$ i $P(Y = 1) = 8\cdot 0{,}1151\cdot 0{,}8849^{7} \approx 0{,}391$ .
Esdeveniment contrari. $P(Y \ge 2) = 1 - 0{,}376 - 0{,}391 \approx 0{,}233$ .

Apartat d)

Resultat

E(Y) \approx 0{,}92

: menys d'un adolescent per grup. La binomial és adequada si els individus són independents i tenen la mateixa

p

Resolució

Esperança de la binomial. $E(Y) = n\cdot p = 8\cdot 0{,}1151 \approx 0{,}92$ : menys d'un adolescent per grup.
Per què binomial. Hi ha 8 proves amb dos resultats possibles (8 h o més, o no), independents i amb la mateixa probabilitat $p$ per a cada individu.
Què podria fallar. Si els 8 són amics del mateix grup o d'un mateix curs, els hàbits estan correlacionats i les proves no serien independents.

Errors típics

Confondre $P(X\ge8)$ amb $\Phi(1{,}2)$ (oblidar passar al complement).
Calcular $P(Y\ge2)$ com $2\cdot P(Y=2)$ o com $1-P(Y=0)$ .
Aplicar la normal a una variable discreta com $Y$ sense necessitat quan es poden calcular directament els termes de la binomial.
Ignorar la condició d'independència a la mostra de 8.

Conceptes treballats: distribució normal i tipificació, valors crítics, distribució binomial, ús de les dues distribucions en un mateix problema, discussió dels supòsits del model.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 35

Un servidor té una font d'alimentació A en sèrie amb dos discs B i C en mirall (RAID 1): el sistema funciona si A funciona i almenys un dels dos discs funciona. Les probabilitats de fallada en un any són: A, 0,05; B, 0,10; C, 0,20. Totes les fallades són independents.
a) Quina és la probabilitat que el sistema funcioni un any sencer?
b) Sabent que el sistema ha funcionat, quina és la probabilitat que el disc B hagi fallat?
c) Sabent que el sistema ha fallat, quina és la probabilitat que la causa sigui la font A (és a dir, que A hagi fallat)?
d) Es dubta entre dues millores: (i) canviar la font per una de qualitat superior, amb probabilitat de fallada 0,01, i els discs queden iguals, o (ii) afegir un tercer disc igual que C (fallada 0,20) en mirall. Quina dona més fiabilitat? Raona per què.

Pista 1

El sistema falla si falla A o fallen B i C alhora. Treballa amb els successos complementaris.

Pista 2

Per a b) i c), tracta-ho com a probabilitat condicionada: numerador = intersecció de l'enunciat, denominador = probabilitat del succés condicionant.

Pista 3

A d), calcula les dues fiabilitats noves i compara-les amb la inicial.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 35

Apartat a)

Resultat

P(F) = 0{,}931

Resolució

Plantejament. El sistema funciona si A funciona i almenys un disc funciona. Tot és independent.
Discs en paral·lel. Fallen tots dos amb probabilitat $0{,}1\cdot 0{,}2 = 0{,}02$ , i almenys un funciona amb $1 - 0{,}02 = 0{,}98$ .
Font en sèrie. $P(F) = 0{,}95\cdot 0{,}98 = 0{,}931$ .

Apartat b)

Resultat

P(B\text{ falla}\mid F) \approx 0{,}0816

Resolució

Intersecció. Si B ha fallat i el sistema funciona, cal que A i C funcionin: $P(A\text{ ok})\,P(B\text{ falla})\,P(C\text{ ok}) = 0{,}95\cdot 0{,}1\cdot 0{,}8$ .
Probabilitat condicionada. $P(B\text{ falla}\mid F) = \dfrac{0{,}95\cdot 0{,}1\cdot 0{,}8}{0{,}931} = \dfrac{0{,}076}{0{,}931} \approx 0{,}0816$

Apartat c)

Resultat

P(A\text{ falla}\mid\bar F) \approx 0{,}7246

: el 72% de les fallades són culpa de la font.

Resolució

Esdeveniment contrari. $P(\bar F) = 1 - 0{,}931 = 0{,}069$ . Comprovació: $0{,}05 + 0{,}95\cdot 0{,}02 = 0{,}069$ .
Probabilitat condicionada. Si A falla, el sistema falla segur, de manera que $P(A\text{ falla}\cap\bar F) = 0{,}05$ : $P(A\text{ falla}\mid\bar F) = \dfrac{0{,}05}{0{,}069} \approx 0{,}7246$
Conclusió. El 72% de les fallades del sistema són culpa de la font.

Apartat d)

Resultat

(i)

0{,}9702

; (ii)

0{,}9462

. La millora (i) dona més fiabilitat.

Resolució

Millora (i). $0{,}99\cdot 0{,}98 = 0{,}9702$ .
Millora (ii). $0{,}95\cdot(1 - 0{,}1\cdot 0{,}2\cdot 0{,}2) = 0{,}95\cdot 0{,}996 = 0{,}9462$ .
Raonament. A és un component en sèrie: la fiabilitat del sistema mai no pot superar la d'A (0,95), i el coll d'ampolla és A. Afegir redundància als discs, que ja tenien una fiabilitat conjunta de 0,98, aporta molt poc.
Conclusió. És més eficaç la millora (i), canviar la font.

Errors típics

Tractar tots els components com a sèrie (multiplicar 0,95·0,90·0,80) o tots com a paral·lel.
En b), dividir pel producte $P(A\text{ ok})$ en lloc de per $P(F)$ , o oblidar que C ha de funcionar perquè el sistema funcioni quan B falla.
Confondre $P(\bar F\mid A\text{ falla})=1$ amb $P(A\text{ falla}\mid\bar F)$ .
Triar la millora sense calcular: la redundància no és sempre la millor inversió.

Conceptes treballats: probabilitat d'unions, interseccions i complementaris, independència, probabilitat condicionada i Bayes, sistemes en sèrie i en paral·lel, presa de decisions.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 36

Una aerolínia ven 210 bitllets per a un vol de 200 places. Cada passatger amb bitllet es presenta a l'embarcament amb probabilitat 0,92, de manera independent dels altres.
a) Justifica que el nombre de presentats $X$ segueix una binomial $B(210;\,0{,}92)$ i que es pot aproximar per una normal. Troba'n els paràmetres.
b) Calcula la probabilitat que es presentin més passatgers que places (hi ha sobreocupació), fent servir l'aproximació normal amb correcció de continuïtat.
c) Amb una calculadora, el valor exacte amb la binomial és 0,0244. Compara'l amb el de b) i explica la diferència.
d) Si l'aerolínia vengués 220 bitllets, quina seria la probabilitat de sobreocupació? Què en dedueixes?

Pista 1

$X$ compta èxits (presentar-se) en $n=210$ proves independents amb la mateixa $p$ . L'aproximació normal funciona si $np\gt5$ i $nq\gt5$ .

Pista 2

Hi ha sobreocupació si $X\ge201$ . Amb la correcció de continuïtat, $P(X\ge201)\approx P(Y\ge200{,}5)$ amb $Y\sim N(\mu,\sigma)$ .

Pista 3

Per a d), els paràmetres canvien amb $n=220$ ; recalcula $\mu$ i $\sigma$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 36

Apartat a)

Resultat

X \sim B(210;\ 0{,}92) \approx N(193{,}2;\ 3{,}93)

Resolució

Model binomial. $X$ compta èxits (presentar-se) en $n = 210$ proves independents, amb dues respostes possibles i la mateixa $p = 0{,}92$ : $X \sim B(210;\ 0{,}92)$ .
Condicions de l'aproximació normal. $np = 193{,}2 > 5$ i $nq = 16{,}8 > 5$ .
Paràmetres. $\mu = np = 193{,}2 \qquad \sigma = \sqrt{210\cdot 0{,}92\cdot 0{,}08} \approx 3{,}93$

Apartat b)

Resultat

P(X \ge 201) \approx 0{,}0314

: al voltant d'un 3%.

Resolució

Sobreocupació. Hi ha sobreocupació si $X \ge 201$ .
Correcció de continuïtat. $P(X \ge 201) \approx P(Y \ge 200{,}5)$ amb $Y \sim N(193{,}2;\ 3{,}93)$ .
Càlcul. $P\!\left(Z \ge \dfrac{200{,}5 - 193{,}2}{3{,}93}\right) = P(Z \ge 1{,}86) = 1 - 0{,}9686 = 0{,}0314$

Apartat c)

Resultat

L'exacte (0,0244) és a prop de 0,0314 però no igual: la normal és menys precisa a les cues.

Resolució

Comparació. L'exacte és 0,0244, a prop del 0,0314 però no igual.
Explicació. L'aproximació normal és menys precisa a les cues, perquè la binomial és asimètrica ( $p$ propera a 1) i la normal és simètrica.
Conclusió. Tots dos resultats indiquen que la sobreocupació és poc freqüent (entre un 2% i un 3% dels vols).

Apartat d)

Resultat

P(X \ge 201) \approx 0{,}68

: vendre 220 bitllets no és raonable.

Resolució

Nous paràmetres. Amb $n = 220$ : $\mu = 202{,}4$ i $\sigma = \sqrt{220\cdot 0{,}92\cdot 0{,}08} \approx 4{,}02$ .
Càlcul. $P(X \ge 201) \approx P\!\left(Z \ge \dfrac{200{,}5 - 202{,}4}{4{,}02}\right) = P(Z \ge -0{,}47) = 0{,}68$
Interpretació. Amb 220 bitllets, dos de cada tres vols tindrien més presentats que places: l'estratègia deixaria de ser raonable per les compensacions.
Conclusió. L'augment de només 10 bitllets passa la probabilitat de sobreocupació d'un 3% a un 68%, perquè la mitjana de presentats (202,4) ja supera les 200 places.

Errors típics

Oblidar la correcció de continuïtat (usar 200 en lloc de 200,5, o de 201).
Calcular $P(X\le200)$ en lloc de $P(X\ge201)$ (o oblidar el complement).
Aplicar la normal sense comprovar $np\gt5$ i $nq\gt5$ .
Prendre $\sigma=np\,q$ en lloc de $\sqrt{npq}$ .

Conceptes treballats: distribució binomial, aproximació normal amb correcció de continuïtat, tipificació, càlcul de probabilitats en cues, interpretació de riscos.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 37

Un magatzem té dos detectors d'incendi independents. El detector $A$ detecta un foc amb probabilitat 0,85 i el detector $B$ , amb probabilitat 0,90.
a) Quina és la probabilitat que, en cas de foc, almenys un detector doni l'alarma?
b) I que n'hi doni exactament un?
c) Sabent que només un detector ha donat l'alarma, quina és la probabilitat que hagi estat $A$ ?
d) Demostra que si $A$ i $B$ són independents, també ho són $A$ i $\bar B$ , i $\bar A$ i $\bar B$ .
e) Quants detectors idèntics i independents amb probabilitat 0,85 caldria instal·lar perquè la probabilitat que almenys un detecti sigui almenys 0,9999?

Pista 1

«Almenys un» és el complementari de «cap». Com que són independents, la probabilitat de «cap» és un producte.

Pista 2

Per a «exactament un», suma les dues maneres: $A$ detecta i $B$ no, o $B$ detecta i $A$ no.

Pista 3

Per a d), escriu $A=(A\cap B)\cup(A\cap\bar B)$ i aïlla $P(A\cap\bar B)$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 37

Apartat a)

Resultat

P(\text{almenys un}) = 0{,}985

Resolució

Esdeveniment contrari. «Almenys un» és el contrari de «cap». Com que són independents, $P(\bar A\cap\bar B) = 0{,}15\cdot 0{,}10$ .
Càlcul. $P(\text{almenys un}) = 1 - 0{,}15\cdot 0{,}10 = 1 - 0{,}015 = 0{,}985$ .

Apartat b)

Resultat

P(\text{exactament un}) = 0{,}22

Resolució

Dues maneres. A detecta i B no, o B detecta i A no (incompatibles entre si).
Càlcul. $P = 0{,}85\cdot 0{,}10 + 0{,}15\cdot 0{,}90 = 0{,}085 + 0{,}135 = 0{,}22$ .

Apartat c)

Resultat

P(A\mid\text{exactament un}) \approx 0{,}386

Resolució

Probabilitat condicionada. $P(A\mid\text{exactament un}) = \dfrac{0{,}085}{0{,}22} \approx 0{,}386$
Interpretació. És més probable que hagi estat B ( $0{,}135/0{,}22 \approx 0{,}614$ ): perquè només ho faci B cal que A falli, i A falla més sovint (0,15 contra 0,10).

Apartat d)

Resultat

P(A\cap\bar B) = P(A)\,P(\bar B)

P(\bar A\cap\bar B) = P(\bar A)\,P(\bar B)

: els complementaris també són independents.

Resolució

Descomposició. $A = (A\cap B)\cup(A\cap\bar B)$ , unió disjunta, de manera que $P(A\cap\bar B) = P(A) - P(A\cap B)$ .
A i el contrari de B. $P(A\cap\bar B) = P(A) - P(A)P(B) = P(A)\,(1 - P(B)) = P(A)\,P(\bar B)$
Els dos contraris. Per De Morgan i la unió: $P(\bar A\cap\bar B) = 1 - P(A\cup B) = 1 - P(A) - P(B) + P(A)P(B) = (1 - P(A))(1 - P(B)) = P(\bar A)\,P(\bar B)$

Apartat e)

Resultat

Calen

n = 5

detectors.

Resolució

Plantejament. $1 - 0{,}15^{n} \ge 0{,}9999 \iff 0{,}15^{n} \le 10^{-4}$ .
Logaritmes. Dividint per $\ln 0{,}15 < 0$ es gira la desigualtat: $n \ge \dfrac{\ln(10^{-4})}{\ln 0{,}15} \approx 4{,}85$
Conclusió. Cal $n = 5$ detectors (amb 4 s'arriba només a 0,9995).

Errors típics

Calcular «almenys un» com $0{,}85+0{,}90$ (sumar sense restar la intersecció).
Confondre «exactament un» amb «almenys un».
En c), prendre $P(A\mid\text{un})=P(A)$ o $0{,}85$ directament.
Aplicar $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ a successos que no són independents.

Conceptes treballats: independència de successos i complementaris, probabilitat d'unions, probabilitat condicionada, demostració elemental amb conjunts, aplicació a la fiabilitat.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 38

Una màquina envasa bosses de pasta etiquetades amb 500 g. La massa real és una variable normal amb mitjana $\mu$ (ajustable) i desviació típica $\sigma=6$ g. Una norma (fictícia) exigeix que, com a màxim, el 2 % de les bosses tinguin menys de 500 g.
a) Quina és la mitjana mínima a la qual s'ha d'ajustar la màquina?
b) Amb aquesta mitjana, en un paquet de 6 bosses escollides a l'atzar, quina és la probabilitat que n'hi hagi almenys una per sota de 500 g?
c) Una millora redueix la desviació típica a 3 g. Quina és la nova mitjana mínima? Quanta pasta s'estalvia per bossa, i per cada milió de bosses?
d) Interpreta el resultat: per què reduir la variabilitat és rendible?

Pista 1

Cal $P(X\lt500)\le0{,}02$ . El valor $z$ amb $P(Z\lt z)=0{,}02$ és $-2{,}054$ .

Pista 2

Les bosses del paquet són independents, cadascuna per sota de 500 amb probabilitat 0,02.

Pista 3

Per a c), repeteix a) amb $\sigma=3$ i resta.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 38

Apartat a)

Resultat

\mu \ge 512{,}3

Resolució

Condició. $X \sim N(\mu,\ 6)$ i cal $P(X < 500) \le 0{,}02$ . El valor $z$ amb $P(Z < z) = 0{,}02$ és $-2{,}054$ .
Tipificació. $P\!\left(Z < \dfrac{500 - \mu}{6}\right) \le 0{,}02 \iff \dfrac{500 - \mu}{6} \le -2{,}054$
Càlcul. $\mu \ge 500 + 2{,}054\cdot 6 \approx 512{,}3$ g.

Apartat b)

Resultat

P(\text{almenys una}) \approx 0{,}1142

: l'11% dels paquets.

Resolució

Independència. Cada bossa del paquet és per sota de 500 g amb probabilitat 0,02, independentment de les altres.
Esdeveniment contrari. $P(\text{almenys una}) = 1 - 0{,}98^{6} \approx 1 - 0{,}8858 = 0{,}1142$ .
Conclusió. L'11% dels paquets de 6 en tindran alguna de curta.

Apartat c)

Resultat

\mu \ge 506{,}2

g; estalvi d'uns 6,2 g per bossa, unes 6,2 t per milió de bosses.

Resolució

Nova mitjana. Amb $\sigma = 3$ : $\mu \ge 500 + 2{,}054\cdot 3 \approx 506{,}2$ g.
Estalvi. $512{,}3 - 506{,}2 \approx 6{,}2$ g per bossa, és a dir, uns $6{,}2\cdot 10^{6}$ g = 6,2 t per milió de bosses.

Apartat d)

Resultat

Com més petita és

\sigma

, menys «coixí» de pasta cal per sobre de l'etiqueta (

\mu - 500 = 2{,}054\,\sigma

): la precisió estalvia matèria primera.

Resolució

Coixí de seguretat. Per complir la norma amb una màquina poc precisa, cal «regalar» pasta per sobre de l'etiqueta.
Relació. El coixí és proporcional a la desviació típica: $\mu - 500 = 2{,}054\,\sigma$ .
Conclusió. La inversió en una màquina més precisa es compensa amb l'estalvi de matèria primera.

Errors típics

Prendre $z=+2{,}054$ en lloc de $-2{,}054$ (o oblidar el signe en plantejar la desigualtat).
Aplicar el 2 % al paquet de 6 bosses: el 2 % és per bossa, no per paquet.
Calcular l'estalvi amb la diferència de desviacions (6−3) en lloc de la de mitjanes.
Posar $\mu=500$ «per complir» (així el 50 % de les bosses queda per sota).

Conceptes treballats: distribució normal i tipificació, càlcul d'un paràmetre a partir d'una probabilitat, probabilitat del complementari i d'esdeveniments independents, interpretació en context industrial.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 39

Una urna A conté 3 boles vermelles i 2 de blaves; una urna B conté 2 de vermelles i 4 de blaves.
a) Es treu una bola d'A a l'atzar i es passa a B; després es treu una bola de B. Quina és la probabilitat que sigui vermella?
b) Si la bola extreta de B és vermella, quina és la probabilitat que la bola passada d'A fos vermella?
c) Ara es passen dues boles d'A a B (sense reposició) i després se'n treu una de B. Calcula la probabilitat que sigui vermella i, si ho és, la probabilitat que les dues boles passades fossin vermelles.
d) Raona, sense calcular, per què la probabilitat de a) és superior a la proporció de vermelles que hi havia inicialment a B.

Pista 1

Condiciona a quin color té la bola passada: V (probabilitat $\tfrac{3}{5}$ ) o B ( $\tfrac{2}{5}$ ). Després d'afegir-la a B, hi ha 7 boles.

Pista 2

A c), els casos són: dues vermelles, una de cada o dues blaves. Calcula-ne les probabilitats amb combinacions o amb un arbre.

Pista 3

Per a b) i la segona part de c), Bayes.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 39

Apartat a)

Resultat

P(V) = \dfrac{13}{35} \approx 0{,}371

Resolució

Plantejament. Condicionem al color de la bola passada: vermella amb probabilitat $\tfrac{3}{5}$ o blava amb $\tfrac{2}{5}$ . Després B té 7 boles: 3 vermelles en el primer cas i 2 en el segon.
Probabilitat total. $P(V) = \dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{3}{7} + \dfrac{2}{5}\cdot\dfrac{2}{7} = \dfrac{9 + 4}{35} = \dfrac{13}{35} \approx 0{,}371$

Apartat b)

Resultat

P(\text{passada V}\mid V) = \dfrac{9}{13} \approx 0{,}69

Resolució

Plantejament. Sabem que la bola extreta de B és vermella i volem la probabilitat que la passada fos vermella. Del camí de l'arbre, $P(\text{passada V}\cap V) = \dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{3}{7} = \dfrac{9}{35}$ .
Teorema de Bayes. $P(\text{passada V}\mid V) = \dfrac{9/35}{13/35} = \dfrac{9}{13} \approx 0{,}69$
Conclusió. Saber que ha sortit vermella fa pujar la probabilitat que la passada fos vermella del 60% al 69%.

Apartat c)

Resultat

P(V) = \dfrac{2}{5}

;

P(VV\mid V) = \dfrac{3}{8}

Resolució

Boles passades (sense reposició). $P(VV) = \dfrac{\binom{3}{2}}{\binom{5}{2}} = \dfrac{3}{10}$ , $P(VB) = \dfrac{3\cdot 2}{10} = \dfrac{6}{10}$ , $P(BB) = \dfrac{1}{10}$ . B tindrà llavors 8 boles amb 4, 3 o 2 vermelles, respectivament.
Probabilitat total. $P(V) = \dfrac{3}{10}\cdot\dfrac{1}{2} + \dfrac{6}{10}\cdot\dfrac{3}{8} + \dfrac{1}{10}\cdot\dfrac{2}{8} = 0{,}15 + 0{,}225 + 0{,}025 = \dfrac{2}{5}$
Teorema de Bayes. $P(VV\mid V) = \dfrac{0{,}15}{0{,}4} = \dfrac{3}{8}$ .

Apartat d)

Resultat

La bola afegida ve d'A, on el 60% són vermelles, més que l'

\tfrac{1}{3}

de B: en mitjana fa pujar la proporció de vermelles de B.

Resolució

Proporció inicial. Inicialment B té una proporció de vermelles de $\tfrac{2}{6} = \tfrac{1}{3} \approx 0{,}33$ .
Raonament. La bola afegida procedeix d'A, on les vermelles són el 60%: en mitjana, afegir-la fa pujar la proporció de vermelles de B.
Conclusió. Per això $13/35 \approx 0{,}371 > 1/3$ . Amb dues boles passades encara puja més (0,4).

Errors típics

Calcular la probabilitat de a) sense afegir la bola a B (utilitzar les 6 boles originals en lloc de 7).
En c), tractar les extraccions d'A com a independents (amb reposició): hi ha dependència (sense reposició).
Confondre $P(VV\mid V)$ amb $P(V\mid VV)$ .
Oblidar normalitzar en aplicar Bayes.

Conceptes treballats: probabilitat total, probabilitat condicionada i teorema de Bayes, extraccions sense reposició, combinatòria elemental, raonament qualitatiu.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 40

Una empresa de jardineria sembra llavors que germinen amb probabilitat 0,7, independentment les unes de les altres.
a) Quantes llavors cal sembrar en un forat perquè la probabilitat que en germini almenys una sigui d'almenys el 99 %?
b) Per poder fer una selecció cal que en un forat hagin germinat almenys 2 plantes. Si se'n sembren 4 o 5, quina és la probabilitat d'aconseguir-ho en cada cas?
c) Si se'n sembren 5, calcula l'esperança i la desviació típica del nombre de plantes que germinen.
d) L'esperança amb 5 llavors és 3,5. Vol dir això que és gairebé segur que hi haurà almenys 2 plantes? Raona-ho.

Pista 1

El nombre de llavors que germinen en un forat és $X\sim B(n;\,0{,}7)$ .

Pista 2

«Almenys una» és el complementari de «cap»: $1-0{,}3^n\ge0{,}99$ . Aplica logaritmes i recorda el sentit de la desigualtat en dividir per $\ln0{,}3\lt0$ .

Pista 3

Per a b), $P(X\ge2)=1-P(X=0)-P(X=1)$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 40

Apartat a)

Resultat

Cal sembrar

n = 4

llavors.

Resolució

Model. El nombre de llavors que germinen és $X \sim B(n;\ 0{,}7)$ . «Almenys una» és el contrari de «cap»: $1 - 0{,}3^{n} \ge 0{,}99 \iff 0{,}3^{n} \le 0{,}01$ .
Logaritmes. En dividir per $\ln 0{,}3 < 0$ es gira la desigualtat: $n \ge \dfrac{\ln 0{,}01}{\ln 0{,}3} \approx 3{,}82$
Comprovació. Amb 3, $1 - 0{,}3^{3} = 0{,}973 < 0{,}99$ ; amb 4, $1 - 0{,}3^{4} = 0{,}9919$ . Cal $n = 4$ (s'arrodoneix cap amunt).

Apartat b)

Resultat

Amb 4 llavors:

P(X \ge 2) = 0{,}9163

; amb 5:

P(X \ge 2) = 0{,}9692

Resolució

Esdeveniment contrari. $P(X \ge 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)$ .
Quatre llavors. $P(X \ge 2) = 1 - 0{,}3^{4} - 4\cdot 0{,}7\cdot 0{,}3^{3} = 1 - 0{,}0081 - 0{,}0756 = 0{,}9163$ .
Cinc llavors. $P(X \ge 2) = 1 - 0{,}3^{5} - 5\cdot 0{,}7\cdot 0{,}3^{4} = 1 - 0{,}00243 - 0{,}02835 = 0{,}9692$ .

Apartat c)

Resultat

E(X) = 3{,}5

;

\sigma \approx 1{,}02

Resolució

Paràmetres de la binomial. $E(X) = np$ i $\sigma = \sqrt{npq}$ .
Càlcul. $E(X) = 5\cdot 0{,}7 = 3{,}5$ i $\sigma = \sqrt{5\cdot 0{,}7\cdot 0{,}3} = \sqrt{1{,}05} \approx 1{,}02$ .

Apartat d)

Resultat

No: l'esperança és una mitjana a llarg termini; amb 5 llavors encara hi ha un 3,1% de forats amb menys de 2 plantes.

Resolució

Significat de l'esperança. L'esperança és una mitjana a llarg termini, i la dispersió és considerable ( $\sigma \approx 1$ ).
Probabilitat de fallar. Amb 5 llavors, $P(X < 2) = 1 - 0{,}9692 \approx 3{,}1\%$ : uns 3 forats de cada 100 fallarien.
Conclusió. Aquest valor és el que importa per decidir quantes llavors comprar, no l'esperança.

Errors típics

Resoldre $0{,}3^n\le0{,}01$ i oblidar de canviar el sentit de la desigualtat en dividir per $\ln0{,}3$ (negatiu).
Arrodonir cap avall ( $n=3$ ) en lloc de cap amunt: el nombre de llavors ha de ser enter i cal assolir el 99 %.
Calcular $P(X\ge2)$ com $1-P(X=0)$ (oblidant $P(X=1)$ ).
Interpretar $E(X)=3{,}5$ com «sempre hi haurà 3 o 4 plantes».

Conceptes treballats: distribució binomial, probabilitat del complementari, equacions exponencials amb logaritmes, esperança i desviació típica, interpretació de la variabilitat.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preguntes freqüents

Què és un interval de confiança?

Un interval de valors que conté el paràmetre de la població (per exemple la mitjana) amb una probabilitat fixada, com el 95 %.

Quan es pot multiplicar la probabilitat de dos successos?

Si són independents, la probabilitat que passin tots dos és el producte. Si no ho són, cal multiplicar per la probabilitat condicionada.

Tornar a Matemàtiques