Exercicis d'integrals — Matemàtiques 2n Batxillerat

Les integrals tanquen el bloc d'anàlisi de 2n de Batxillerat, i aquests exercicis t'ensenyen a calcular-les i a aplicar-les. Comences amb integrals immediates i continues amb els mètodes de substitució, per parts i de descomposició de fraccions racionals. Després calcules integrals definides amb la regla de Barrow i àrees de recintes, separant els trams on la funció és negativa, com a l'àrea entre una paràbola i l'eix entre 0 i 3. També calcules àrees entre dues corbes. Les solucions mostren la primitiva i la comprovació. Errors típics: oblidar la constant + C a la integral indefinida i fer un canvi de variable sense comprovar que la derivada hi és.

Tens examen d'aquest tema? Fes un simulacre de 60 minuts com el de l'institut, amb solucions i criteris de correcció.Fes el simulacre →

Nivell bàsic

Exercici 1

Calcula la integral indefinida de 3x² + 2x.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 1

Resultat

\displaystyle\int(3x^{2}+2x)\,dx = x^{3}+x^{2}+C

Resolució

Plantejament. Integrar és l'operació inversa de derivar: busquem una funció que, en derivar-la, doni $3x^{2}+2x$ . Ho fem terme a terme.
Integral d'una potència. $\int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad(n\neq-1)$
Càlcul. $\int 3x^{2}\,dx=3\cdot\dfrac{x^{3}}{3}=x^{3}$ i $\int 2x\,dx=2\cdot\dfrac{x^{2}}{2}=x^{2}$ . Afegim la constant d'integració: $x^{3}+x^{2}+C$ .
Comprovació. Si derivem $x^{3}+x^{2}+C$ tornem a obtenir $3x^{2}+2x$ .

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 2

Per a cadascuna d'aquestes integrals, digues si la faries per parts o per substitució, i per què: (a) x·sin(x); (b) x·cos( $x^{2}$ ); (c) $x^{2}$ · $e^{x}$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 2

Apartat a)

Resultat

\int x\sin x\,dx

: per parts, amb

u=x

Resolució

Tipus d'integrand. És un producte de dues funcions de tipus diferent (un polinomi i una trigonomètrica) i cap factor no és la derivada de l'altre: no hi ha cap canvi de variable que el simplifiqui.
Integració per parts. Prenem $u=x$ (en derivar es converteix en 1) i $dv=\sin x\,dx$ : la integral nova és més senzilla. De fet, $\int x\sin x\,dx=-x\cos x+\sin x+C$ .

Apartat b)

Resultat

\int x\cos(x^{2})\,dx

: per substitució, amb

t=x^{2}

Resolució

Tipus d'integrand. El factor $x$ és, llevat d'una constant, la derivada de l'argument $x^{2}$ : $(x^{2})'=2x$ .
Canvi de variable. Amb $t=x^{2}$ , $dt=2x\,dx$ i la integral queda $\tfrac12\int\cos t\,dt$ , immediata: $\tfrac12\sin(x^{2})+C$ .

Apartat c)

Resultat

\int x^{2}e^{x}\,dx

: per parts, dues vegades (primer

u=x^{2}

, després

u=x

Resolució

Tipus d'integrand. Producte d'un polinomi per una exponencial: cap factor no és la derivada de l'altre, així que la substitució no ajuda.
Integració per parts repetida. Amb $u=x^{2}$ i $dv=e^{x}\,dx$ , i després $u=x$ : cada aplicació rebaixa un grau el polinomi fins que desapareix. Resultat: $e^{x}(x^{2}-2x+2)+C$ .

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 3

Calcula l'àrea sota la corba y = $x^{2}$ entre x = 0 i x = 2.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 3

Resultat

A=\dfrac{8}{3}\approx2{,}67

unitats quadrades

Resolució

Plantejament. A $[0,2]$ la funció $y=x^{2}$ és positiva, així que l'àrea sota la corba és la integral definida $\int_0^2x^{2}\,dx$ .
Primitiva. Una primitiva de $x^{2}$ és $F(x)=\dfrac{x^{3}}{3}$ .
Regla de Barrow. $A=F(2)-F(0)=\dfrac{2^{3}}{3}-\dfrac{0^{3}}{3}=\dfrac{8}{3}$
Conclusió. L'àrea és $\tfrac83$ , aproximadament 2,67 unitats quadrades.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 4

Calcula la integral indefinida ∫ (4x³ - $\tfrac{3}{x^{2}}$ + 2 $\sqrt{x}$ ) dx escrivint primer cada terme com una potència de x.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 4

Resultat

\displaystyle\int\Big(4x^{3}-\frac{3}{x^{2}}+2\sqrt{x}\Big)dx=x^{4}+\frac{3}{x}+\frac{4}{3}x\sqrt{x}+C

Resolució

Potències de x. Escrivim $\dfrac{3}{x^{2}}=3x^{-2}$ i $2\sqrt{x}=2x^{1/2}$ .
Integral d'una potència. A cada terme apliquem $\int x^{n}\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ .
Càlcul. $\int4x^{3}\,dx=x^{4}$ ; $\int-3x^{-2}\,dx=-3\cdot\dfrac{x^{-1}}{-1}=\dfrac{3}{x}$ ; $\int2x^{1/2}\,dx=2\cdot\dfrac{x^{3/2}}{3/2}=\dfrac43x^{3/2}=\dfrac43x\sqrt{x}$ .
Comprovació. Derivant $x^{4}+\tfrac3x+\tfrac43x^{3/2}$ s'obté $4x^{3}-\tfrac{3}{x^{2}}+2x^{1/2}$ , que és l'integrand.
Error típic. No integris $\tfrac{3}{x^{2}}$ com si fos un logaritme: només $\tfrac1x$ dona $\ln|x|$ .

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 5

Calcula les integrals quasi-immediates: a) ∫ x·e^{$x^{2}$} dx; b) ∫ 2x/( $x^{2}$ + 3) dx.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 5

Apartat a)

Resultat

\displaystyle\int x\,e^{x^{2}}\,dx=\tfrac12e^{x^{2}}+C

Resolució

Observació. La derivada de $x^{2}$ és $2x$ , que és «gairebé» el factor $x$ que acompanya l'exponencial.
Integral quasi-immediata. Ajustem la constant per tenir la forma $\int u'e^{u}\,dx=e^{u}+C$ : $\int x\,e^{x^{2}}\,dx=\tfrac12\int2x\,e^{x^{2}}\,dx=\tfrac12e^{x^{2}}+C$
Comprovació. Derivant $\tfrac12e^{x^{2}}$ surt $\tfrac12\cdot2x\,e^{x^{2}}=x\,e^{x^{2}}$ .

Apartat b)

Resultat

\displaystyle\int\frac{2x}{x^{2}+3}\,dx=\ln(x^{2}+3)+C

Resolució

Observació. El numerador $2x$ és exactament la derivada del denominador $x^{2}+3$ .
Integral quasi-immediata (logarítmica). $\int\dfrac{u'}{u}\,dx=\ln|u|+C$ , per tant $\int\dfrac{2x}{x^{2}+3}\,dx=\ln(x^{2}+3)+C$ .
Valor absolut. No cal posar-lo, perquè $x^{2}+3>0$ sempre.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 6

Un ciclista es mou per una recta amb velocitat v(t) = 2t + 3 (t en segons, v en m/s). Si en l'instant t = 0 és a 5 m del punt de referència, troba la funció de posició s(t) i la distància que recorre durant els 4 primers segons.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 6

Resultat

s(t)=t^{2}+3t+5

(m); distància en els 4 primers segons:

28\ \text{m}

Resolució

Dades. $v(t)=2t+3$ m/s i $s(0)=5$ m. La posició és una primitiva de la velocitat.
Primitiva. $s(t)=\int(2t+3)\,dt=t^{2}+3t+C$ .
Condició inicial. $s(0)=5\Rightarrow C=5$ . Per tant, $s(t)=t^{2}+3t+5$ .
Distància. La velocitat és positiva per a $t\ge0$ (no hi ha canvis de sentit), així que la distància és $s(4)-s(0)=(16+12+5)-5=28\ \text{m}$ .
Comprovació. És la integral definida de $v$ entre 0 i 4: $\big[t^{2}+3t\big]_0^4=16+12=28\ \text{m}$ .

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 7

Calcula amb la regla de Barrow la integral definida $\int_0^1 (e^x + 2x)\,dx$ i dona'n el valor exacte i l'aproximat.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 7

Resultat

\displaystyle\int_0^1(e^{x}+2x)\,dx=e\approx2{,}72

Resolució

Primitiva. $F(x)=e^{x}+x^{2}$ . No cal la constant en una integral definida, perquè es cancel·la.
Regla de Barrow. $\int_0^1(e^{x}+2x)\,dx=F(1)-F(0)=(e^{1}+1^{2})-(e^{0}+0)=e+1-1=e$
Resultat. Valor exacte: $e$ ; valor aproximat: 2,72.
Error típic. Oblidar que $e^{0}=1$ (i no 0) en avaluar $F(0)$ .

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 8

D'una funció f contínua se sap que $\int_0^3 f(x)\,dx = 5$ i $\int_3^5 f(x)\,dx = -2$ . Calcula, aplicant les propietats de la integral definida: a) $\int_0^5 f(x)\,dx$ ; b) $\int_5^0 f(x)\,dx$ ; c) $\int_0^5 (2f(x) + 1)\,dx$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 8

Apartat a)

Resultat

\displaystyle\int_0^5f(x)\,dx=3

Resolució

Additivitat respecte de l'interval. $\int_0^5f=\int_0^3f+\int_3^5f$ .
Càlcul. $5+(-2)=3$ .

Apartat b)

Resultat

\displaystyle\int_5^0f(x)\,dx=-3

Resolució

Propietat. Intercanviar els límits d'integració canvia el signe: $\int_5^0f=-\int_0^5f$ .
Càlcul. $-3$ .

Apartat c)

Resultat

\displaystyle\int_0^5\big(2f(x)+1\big)\,dx=11

Resolució

Linealitat. $\int_0^5(2f(x)+1)\,dx=2\int_0^5f(x)\,dx+\int_0^51\,dx$ .
Integral d'una constant. La integral d'una constant $k$ a $[a,b]$ val $k\,(b-a)$ : $\int_0^51\,dx=5-0=5$ .
Càlcul. $2\cdot3+5=11$ .

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 9

Calcula l'àrea del recinte limitat per la paràbola y = 4 - $x^{2}$ i l'eix OX.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 9

Resultat

A=\dfrac{32}{3}\approx10{,}67

unitats quadrades

Resolució

Punts de tall amb OX. $4-x^{2}=0\Rightarrow x=-2$ i $x=2$ .
Signe. Entre aquests valors la paràbola és positiva (en $x=0$ val 4), així que l'àrea coincideix amb la integral.
Regla de Barrow. $A=\int_{-2}^{2}(4-x^{2})\,dx=\Big[4x-\frac{x^{3}}{3}\Big]_{-2}^{2}=\Big(8-\frac83\Big)-\Big(-8+\frac83\Big)=16-\frac{16}{3}=\frac{32}{3}$
Comprovació. Com que la funció és parella, l'àrea és el doble de la de $[0,2]$ : $2\big(8-\tfrac83\big)=\tfrac{32}{3}\approx10{,}67$ u².

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 10

Calcula: a) ∫ sin(3x) dx; b) ∫ $\tfrac{1}{(2x - 1)}$ dx.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 10

Apartat a)

Resultat

\displaystyle\int\sin(3x)\,dx=-\tfrac13\cos(3x)+C

Resolució

Argument lineal. L'argument és $3x$ , i cal compensar la seva derivada, 3.
Càlcul. $\int\sin(3x)\,dx=\tfrac13\int3\sin(3x)\,dx=-\tfrac13\cos(3x)+C$ .
Comprovació. La derivada de $-\tfrac13\cos(3x)$ és $-\tfrac13\cdot(-\sin(3x))\cdot3=\sin(3x)$ .
Error típic. Oblidar el factor $\tfrac13$ o escriure $+\cos(3x)$ en lloc de $-\cos(3x)$ .

Apartat b)

Resultat

\displaystyle\int\frac{1}{2x-1}\,dx=\tfrac12\ln|2x-1|+C

Resolució

Argument lineal. El denominador és $2x-1$ , amb derivada 2: busquem la forma $\int\dfrac{u'}{u}\,dx=\ln|u|$ .
Càlcul. $\int\dfrac{1}{2x-1}\,dx=\tfrac12\int\dfrac{2}{2x-1}\,dx=\tfrac12\ln|2x-1|+C$ .
Error típic. Oblidar el factor $\tfrac12$ o el valor absolut del logaritme.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell intermedi

Exercici 11

Calcula aquestes tres integrals immediates: integral de cos(x)dx, integral de $e^{2x}dx$ i integral de $\tfrac{1}{(1 + x^{2})}$ dx.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 11

Resultat

\int\cos x\,dx=\sin x+C

;

\int e^{2x}\,dx=\dfrac{e^{2x}}{2}+C

;

\int\dfrac{dx}{1+x^{2}}=\arctan x+C

Resolució

Plantejament. Cada una és la inversa d'una derivada coneguda: busquem la funció que, en derivar-la, dona l'integrand.
Cosinus. La funció que en derivar dona $\cos x$ és el sinus: $\int\cos x\,dx=\sin x+C$ .
Exponencial. En derivar $e^{2x}$ apareix un factor 2 (regla de la cadena); per compensar-lo dividim per 2: $\int e^{2x}\,dx=\dfrac{e^{2x}}{2}+C$ . Parany: no és $e^{2x}$ sol, cal dividir per la derivada de l'exponent.
Arctangent. La derivada de $\arctan x$ és exactament $\dfrac{1}{1+x^{2}}$ , per tant $\int\dfrac{dx}{1+x^{2}}=\arctan x+C$ .
Conclusió. Cada resultat porta la seva constant d'integració $+C$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 12

Calcula la integral indefinida de $\tfrac{1}{(x^{2} - 1)}$ descomponent-la en fraccions simples.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 12

Resultat

\displaystyle\int\frac{dx}{x^{2}-1}=\tfrac12\ln|x-1|-\tfrac12\ln|x+1|+C

Resolució

Factorització. El denominador té dues arrels reals simples: $x^{2}-1=(x-1)(x+1)$ (arrels $x=1$ i $x=-1$ ).
Fraccions simples. Una fracció per cada arrel: $\frac{1}{(x-1)(x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}\ \Rightarrow\ 1=A(x+1)+B(x-1)$
Constants. Donem a $x$ el valor de cada arrel. Amb $x=1$ : $1=2A$ , $A=\tfrac12$ . Amb $x=-1$ : $1=-2B$ , $B=-\tfrac12$ .
Integració. Queden dues integrals immediates de tipus logaritme: $\tfrac12\int\dfrac{dx}{x-1}-\tfrac12\int\dfrac{dx}{x+1}=\tfrac12\ln|x-1|-\tfrac12\ln|x+1|+C$ , que també es pot escriure $\tfrac12\ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|+C$ .
Parany. No oblidis el valor absolut dins dels logaritmes ni la constant $+C$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 13

En una integral per parts, quin factor s'ha de triar com a u i per què?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 13

Resultat

Com a

u

es tria el factor que se simplifica en derivar-lo (un polinomi, que baixa de grau, o un logaritme, que desapareix), i com a

dv

el que és fàcil d'integrar.

Resolució

Fórmula. La integració per parts diu $\int u\,dv=u\,v-\int v\,du$ : la dificultat passa a la integral nova, $\int v\,du$ .
Criteri. Convé que $du$ sigui més senzill que $u$ : un polinomi baixa de grau en derivar-lo i un logaritme es converteix en una fracció ( $(\ln x)'=\tfrac1x$ ). Així la integral nova queda més fàcil que la de partida.
Per què no a l'inrevés. Si es tria al revés (per exemple, $u=e^{x}$ i $dv=x\,dx$ a $\int xe^{x}\,dx$ ), el polinomi puja de grau i sovint la integral nova surt més difícil.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 14

Calcula la integral definida de 2x entre 1 i 3 amb la regla de Barrow.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 14

Resultat

\displaystyle\int_1^32x\,dx=8

Resolució

Primitiva. Una primitiva de $2x$ és $F(x)=x^{2}$ .
Regla de Barrow. Avaluem als extrems i restem: $F(3)-F(1)=3^{2}-1^{2}=9-1=8$ .
Interpretació. La integral definida val 8, que és l'àrea sota la recta $y=2x$ entre $x=1$ i $x=3$ (la funció hi és positiva).

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 15

Calcula ∫ ln x dx pel mètode d'integració per parts i comprova el resultat derivant-lo.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 15

Resultat

\displaystyle\int\ln x\,dx=x\ln x-x+C

Resolució

Plantejament. Encara que només hi hagi un factor, escrivim $\ln x=\ln x\cdot1$ i prenem $u=\ln x$ (es simplifica en derivar) i $dv=dx$ . Aleshores $du=\tfrac1x\,dx$ i $v=x$ .
Integració per parts. $\int u\,dv=u\,v-\int v\,du$
Càlcul. $\int\ln x\,dx=x\ln x-\int x\cdot\tfrac1x\,dx=x\ln x-\int1\,dx=x\ln x-x+C$ .
Comprovació. $(x\ln x-x)'=1\cdot\ln x+x\cdot\tfrac1x-1=\ln x$ .
Aplicació habitual. $\int_1^e\ln x\,dx=\big[x\ln x-x\big]_1^e=(e-e)-(0-1)=1$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 16

Calcula ∫ x· $e^{2x}$ dx integrant per parts.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 16

Resultat

\displaystyle\int x\,e^{2x}\,dx=\frac{x}{2}e^{2x}-\frac14e^{2x}+C=\frac{e^{2x}}{4}(2x-1)+C

Resolució

Elecció. $u=x$ (en derivar es converteix en una constant) i $dv=e^{2x}\,dx$ . Aleshores $du=dx$ i $v=\tfrac12e^{2x}$ .
Integració per parts. $\int u\,dv=u\,v-\int v\,du$ : $\int x\,e^{2x}\,dx=\frac{x}{2}e^{2x}-\int\frac12e^{2x}\,dx=\frac{x}{2}e^{2x}-\frac14e^{2x}+C$
Factorització. Es pot escriure $\dfrac{e^{2x}}{4}(2x-1)+C$ .
Comprovació. Derivant $\tfrac x2e^{2x}-\tfrac14e^{2x}$ surt $\tfrac12e^{2x}+x\,e^{2x}-\tfrac12e^{2x}=x\,e^{2x}$ .
Error típic. Prendre $v=e^{2x}$ sense el factor $\tfrac12$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 17

Calcula ∫ x· $\sqrt{x^{2} + 1}$ dx fent el canvi de variable u = $x^{2}$ + 1. Escriu el resultat final en funció de x.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 17

Resultat

\displaystyle\int x\sqrt{x^{2}+1}\,dx=\frac13(x^{2}+1)^{3/2}+C=\frac13(x^{2}+1)\sqrt{x^{2}+1}+C

Resolució

Canvi de variable. $u=x^{2}+1\Rightarrow du=2x\,dx\Rightarrow x\,dx=\dfrac{du}{2}$ .
Integral en u. $\int\sqrt{u}\,\frac{du}{2}=\frac12\int u^{1/2}\,du=\frac12\cdot\frac{u^{3/2}}{3/2}+C=\frac13u^{3/2}+C$
Desfem el canvi. $\tfrac13(x^{2}+1)^{3/2}+C=\tfrac13(x^{2}+1)\sqrt{x^{2}+1}+C$ .
Comprovació. Derivant: $\tfrac13\cdot\tfrac32(x^{2}+1)^{1/2}\cdot2x=x\sqrt{x^{2}+1}$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 18

Calcula ∫ $\tfrac{(x + 5)}{(x^{2} + x - 2)}$ dx descomponent l'integrand en fraccions simples.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 18

Resultat

\displaystyle\int\frac{x+5}{x^{2}+x-2}\,dx=2\ln|x-1|-\ln|x+2|+C

Resolució

Factorització. $x^{2}+x-2=(x-1)(x+2)$ : dues arrels reals simples.
Fraccions simples. $\frac{x+5}{(x-1)(x+2)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+2}\ \Rightarrow\ x+5=A(x+2)+B(x-1)$
Constants. Amb $x=1$ : $6=3A\Rightarrow A=2$ . Amb $x=-2$ : $3=-3B\Rightarrow B=-1$ . Comprovació amb $x=0$ : $2A-B=4+1=5$ , que coincideix amb $x+5$ en $x=0$ .
Integració. $\int\Big(\dfrac{2}{x-1}-\dfrac{1}{x+2}\Big)dx=2\ln|x-1|-\ln|x+2|+C$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 19

Calcula ∫ $\tfrac{(x^{2} + 1)}{(x - 1)}$ dx. Fixa't que el grau del numerador no és més petit que el del denominador.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 19

Resultat

\displaystyle\int\frac{x^{2}+1}{x-1}\,dx=\frac{x^{2}}{2}+x+2\ln|x-1|+C

Resolució

Plantejament. Quan el grau del numerador és igual o més gran que el del denominador, primer es fa la divisió de polinomis.
Divisió. $(x^{2}+1):(x-1)$ dona quocient $x+1$ i residu 2, perquè $x^{2}+1=(x-1)(x+1)+2$ . Comprovació: $(x-1)(x+1)+2=x^{2}-1+2=x^{2}+1$ .
Reescriptura. $\frac{x^{2}+1}{x-1}=x+1+\frac{2}{x-1}$
Integració. $\int\Big(x+1+\dfrac{2}{x-1}\Big)dx=\dfrac{x^{2}}{2}+x+2\ln|x-1|+C$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 20

Calcula l'àrea del recinte tancat entre la paràbola y = $x^{2}$ - 2x i la recta y = x.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 20

Resultat

A=\dfrac92=4{,}5

unitats quadrades

Resolució

Punts de tall. $x^{2}-2x=x\Rightarrow x^{2}-3x=0\Rightarrow x(x-3)=0\Rightarrow x=0$ i $x=3$ .
Quina és a dalt. En $x=1$ : la recta val 1 i la paràbola, $-1$ ; entre 0 i 3 la recta és la de dalt.
Àrea entre dues corbes. S'integra (la de dalt) − (la de sota): $A=\int_0^3\big(x-(x^{2}-2x)\big)\,dx=\int_0^3(3x-x^{2})\,dx=\Big[\frac{3x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}\Big]_0^3=\frac{27}{2}-9=\frac92$
Conclusió. L'àrea és $\tfrac92=4{,}5$ u². Si ho fas al revés surt negativa: senyal que cal canviar l'ordre.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 21

Sigui $F(x) = \int_1^x (t^2 - 3t)\,dt$ . Sense calcular la integral, troba F'(x) i F'(2), i determina els valors de x en què F té un màxim o un mínim relatiu.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 21

Resultat

F'(x)=x^{2}-3x

;

F'(2)=-2

; màxim relatiu a

x=0

i mínim relatiu a

x=3

Resolució

Teorema fonamental del càlcul. Si $f$ és contínua, la funció integral $F(x)=\int_1^xf(t)\,dt$ és derivable i $F'(x)=f(x)$ .
Derivada. $F'(x)=x^{2}-3x$ , i $F'(2)=4-6=-2$ .
Punts crítics. $F'(x)=x(x-3)=0\Rightarrow x=0$ i $x=3$ .
Classificació. $F''(x)=2x-3$ : $F''(0)=-3<0$ , màxim relatiu a $x=0$ ; $F''(3)=3>0$ , mínim relatiu a $x=3$ .
Observació. No ha calgut conèixer l'expressió de $F$ ; el límit inferior 1 només fa que $F(1)=0$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell avançat

Exercici 22

Calcula la integral indefinida de $\tfrac{(3x - 2)}{(x^{2} - 2x + 1)}$ . (El denominador té una arrel doble.)

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 22

Resultat

\displaystyle\int\frac{3x-2}{x^{2}-2x+1}\,dx=3\ln|x-1|-\frac{1}{x-1}+C

Resolució

Factorització. El denominador és un quadrat perfecte: $x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}$ , una arrel doble a $x=1$ .
Fraccions simples amb arrel doble. L'arrel doble porta dos termes: $\frac{3x-2}{(x-1)^{2}}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{(x-1)^{2}}\ \Rightarrow\ 3x-2=A(x-1)+B$
Constants. Igualant coeficients: el terme en $x$ dona $A=3$ ; el terme independent, $-A+B=-2$ , és a dir $-3+B=-2$ , $B=1$ .
Integració. $3\int\dfrac{dx}{x-1}=3\ln|x-1|$ , un logaritme. En canvi, $\int\dfrac{dx}{(x-1)^{2}}=\int(x-1)^{-2}\,dx=-(x-1)^{-1}$ és una potència. Resultat: $3\ln|x-1|-\dfrac{1}{x-1}+C$ .
Parany. Amb arrel doble cal el terme $\tfrac{B}{(x-1)^{2}}$ , i aquest segon tros s'integra com una potència (dona $-\tfrac{1}{x-1}$ ), no com un logaritme.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 23

Calcula l'àrea del recinte limitat per la gràfica de f(x) = $x^{2}$ − 4x + 3, l'eix OX i les rectes x = 0 i x = 3. Explica per què no es pot calcular amb una sola integral de 0 a 3.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 23

Resultat

A=\dfrac83\approx2{,}67

u²; una sola integral de 0 a 3 dona 0, perquè la part positiva i la negativa es compensen.

Resolució

Talls amb l'eix. $x^{2}-4x+3=0\Rightarrow x=1$ i $x=3$ . Entre 0 i 1 la funció és positiva, i entre 1 i 3, negativa.
Primitiva. $F(x)=\dfrac{x^{3}}{3}-2x^{2}+3x$ .
Regla de Barrow per trams. $\int_0^1f=F(1)-F(0)=\tfrac43$ . $\int_1^3f=F(3)-F(1)=0-\tfrac43=-\tfrac43$ : és negativa perquè la funció és sota l'eix, i l'àrea és el seu valor absolut.
Àrea. $A=\tfrac43+\tfrac43=\tfrac83\approx2{,}67$ unitats quadrades.
Per què no una sola integral. $\int_0^3f=\tfrac43-\tfrac43=0$ : les dues parts es compensen, però l'àrea no és zero. Cal separar en els punts on la funció canvia de signe.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 24

Calcula l'àrea compresa entre la corba y = $x^{2}$ − 1 i l'eix horitzontal, entre x = 0 i x = 2.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 24

Resultat

A=2

unitats quadrades

Resolució

Canvi de signe. $x^{2}-1=0\Rightarrow x=1$ (l'altra arrel, $x=-1$ , queda fora). A $[0,1]$ la funció és negativa (a $x=0$ val $-1$ ) i a $[1,2]$ , positiva.
Plantejament. Com que canvia de signe, separem en trams i en sumem els valors absoluts. Una primitiva és $F(x)=\dfrac{x^{3}}{3}-x$ .
Tram [0, 1]. $F(1)-F(0)=\big(\tfrac13-1\big)-0=-\tfrac23$ : surt negativa, així que l'àrea del tram és $\tfrac23$ .
Tram [1, 2]. $F(2)-F(1)=\big(\tfrac83-2\big)-\big(\tfrac13-1\big)=\tfrac23+\tfrac23=\tfrac43$ .
Àrea total. $\tfrac23+\tfrac43=2$ . Parany: si s'integra directament de 0 a 2 surt $F(2)-F(0)=\tfrac23$ , que no és l'àrea: el tram negatiu i el positiu es compensen.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 25

Calcula l'àrea total del recinte limitat per la corba y = $x^{3}$ - 4x i l'eix OX. Explica per què cal dividir l'interval d'integració.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 25

Resultat

A=8

unitats quadrades; cal dividir a

x=0

perquè la funció hi canvia de signe (d'una sola tirada la integral de −2 a 2 donaria 0).

Resolució

Talls amb OX. $x^{3}-4x=x(x-2)(x+2)=0\Rightarrow x=-2,\ 0,\ 2$ .
Signe. A $(-2,0)$ la funció és positiva (en $x=-1$ val 3) i a $(0,2)$ , negativa (en $x=1$ val $-3$ ). Si integréssim de $-2$ a 2 directament, les dues parts es cancel·larien: la funció és senar i la integral seria 0.
Primitiva. $F(x)=\dfrac{x^{4}}{4}-2x^{2}$ .
Càlcul per trams. $\int_{-2}^0f=F(0)-F(-2)=0-(4-8)=4$ ; $\int_0^2f=F(2)-F(0)=(4-8)-0=-4$ .
Àrea. $A=|4|+|-4|=8$ u². Comprovació: per la simetria senar, l'àrea és el doble de la de $[0,2]$ : $2\cdot4=8$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 26

La paràbola y = $x^{2}$ i la recta horitzontal y = a (amb a > 0) delimiten un recinte tancat. Expressa l'àrea d'aquest recinte en funció de a i troba el valor de a perquè l'àrea sigui 36.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 26

Resultat

A(a)=\dfrac43a^{3/2}=\dfrac43a\sqrt a

;

A=36\iff a=9

Resolució

Punts de tall. $x^{2}=a\Rightarrow x=\pm\sqrt a$ . Entre ells la recta $y=a$ és per sobre de la paràbola.
Àrea en funció de a. Com que l'integrand és parell: $A(a)=\int_{-\sqrt a}^{\sqrt a}(a-x^{2})\,dx=2\Big[ax-\frac{x^{3}}{3}\Big]_0^{\sqrt a}=2\Big(a\sqrt a-\frac{a\sqrt a}{3}\Big)=\frac43a^{3/2}$
Condició A = 36. $\tfrac43a^{3/2}=36\Rightarrow a^{3/2}=27\Rightarrow a=27^{2/3}=\big(\sqrt[3]{27}\big)^{2}=3^{2}=9$ .
Comprovació. Amb $a=9$ els talls són $x=\pm3$ i l'àrea és $2\,(27-9)=36$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 27

D'una funció f se sap que f''(x) = 12x - 4, que la recta tangent a la gràfica en x = 1 és horitzontal i que f(1) = 2. Troba l'expressió de f(x).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 27

Resultat

f(x)=2x^{3}-2x^{2}-2x+4

Resolució

Primera integració. $f'(x)=\int(12x-4)\,dx=6x^{2}-4x+C_{1}$ .
Tangent horitzontal. Vol dir $f'(1)=0$ : $6-4+C_{1}=0\Rightarrow C_{1}=-2$ . Així, $f'(x)=6x^{2}-4x-2$ .
Segona integració. $f(x)=2x^{3}-2x^{2}-2x+C_{2}$ .
Condició f(1) = 2. $2-2-2+C_{2}=2\Rightarrow C_{2}=4$ . Per tant, $f(x)=2x^{3}-2x^{2}-2x+4$ .
Comprovació. $f''(x)=12x-4$ , $f'(1)=6-4-2=0$ i $f(1)=2-2-2+4=2$ . Error típic: fer servir la mateixa constant a les dues integracions.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 28

Troba la recta tangent a la paràbola y = $x^{2}$ en el punt d'abscissa x = 2 i calcula l'àrea del recinte limitat per la paràbola, aquesta tangent i l'eix OY.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 28

Resultat

Tangent:

y=4x-4

; àrea

=\dfrac83\approx2{,}67

u²

Resolució

Recta tangent. $f(2)=4$ i $f'(x)=2x\Rightarrow f'(2)=4$ . Recta: $y-4=4(x-2)\Rightarrow y=4x-4$ .
Recinte. Va de $x=0$ (eix OY) fins a $x=2$ (punt de tangència). La paràbola queda per sobre de la tangent (una paràbola convexa sempre està per sobre de les seves tangents): en $x=0$ , la paràbola val 0 i la tangent, $-4$ .
Càlcul. $A=\int_0^2\big(x^{2}-(4x-4)\big)\,dx=\int_0^2(x-2)^{2}\,dx=\Big[\frac{(x-2)^{3}}{3}\Big]_0^2=0-\Big(-\frac83\Big)=\frac83$
Comprovació. Desenvolupant, $\int_0^2(x^{2}-4x+4)\,dx=\tfrac83-8+8=\tfrac83\approx2{,}67$ u².

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 29

Calcula $\int_0^1 x^2 e^x\,dx$ aplicant la integració per parts dues vegades.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 29

Resultat

\displaystyle\int_0^1x^{2}e^{x}\,dx=e-2\approx0{,}72

Resolució

Primera integració per parts. $u=x^{2}$ , $dv=e^{x}\,dx\Rightarrow du=2x\,dx$ , $v=e^{x}$ : $\int x^{2}e^{x}\,dx=x^{2}e^{x}-\int2x\,e^{x}\,dx$ .
Segona integració per parts. Per a $\int2x\,e^{x}\,dx$ : $u=2x$ , $dv=e^{x}\,dx\Rightarrow du=2\,dx$ , $v=e^{x}$ : $\int2x\,e^{x}\,dx=2x\,e^{x}-\int2e^{x}\,dx=2x\,e^{x}-2e^{x}$ .
Primitiva. $x^{2}e^{x}-2x\,e^{x}+2e^{x}=e^{x}(x^{2}-2x+2)$ . Comprovació: derivant surt $e^{x}(x^{2}-2x+2)+e^{x}(2x-2)=x^{2}e^{x}$ .
Regla de Barrow. $\Big[e^{x}(x^{2}-2x+2)\Big]_0^1=e\,(1-2+2)-1\cdot(0-0+2)=e-2\approx0{,}72$

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 30

Calcula l'àrea del recinte tancat entre les corbes y = $x^{2}$ i y = $\sqrt{x}$ . Justifica quina de les dues corbes està per sobre a l'interval d'integració.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 30

Resultat

A=\dfrac13

u²; a

(0,1)

la corba de dalt és

y=\sqrt x

Resolució

Punts de tall. $x^{2}=\sqrt x\Rightarrow x^{4}=x\Rightarrow x(x^{3}-1)=0\Rightarrow x=0$ i $x=1$ (cal $x\ge0$ per l'arrel). Les corbes es tallen a $(0,0)$ i $(1,1)$ .
Quina és a dalt. A $(0,1)$ , $\sqrt x>x^{2}$ : per exemple, en $x=\tfrac14$ , $\sqrt x=\tfrac12$ i $x^{2}=\tfrac1{16}$ .
Càlcul. $A=\int_0^1(\sqrt x-x^{2})\,dx=\int_0^1(x^{1/2}-x^{2})\,dx=\Big[\frac23x^{3/2}-\frac{x^{3}}{3}\Big]_0^1=\frac23-\frac13=\frac13$
Observació. Les dues corbes són simètriques respecte de la recta $y=x$ (són funcions inverses), així que l'àrea entre $y=\sqrt x$ i $y=x$ és la mateixa que entre $y=x$ i $y=x^{2}$ : $\tfrac16$ cadascuna.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preparat per a la universitat

Els exercicis més exigents: nivell PAU alt i primer curs de grau. Veure totes les matèries

Exercici 31

Una parcel·la té la forma del recinte limitat per la paràbola $y=6x-x^2$ i l'eix $OX$ (unitats: hm, de manera que l'àrea es mesura en hectàrees).
a) Calcula'n l'àrea.
b) Més en general, per a la paràbola $y=ax-x^2$ amb $a$ real no nul, demostra que l'àrea del recinte limitat amb l'eix $OX$ és $|a|^3/6$ i determina tots els valors d' $a$ pels quals val 36.
c) Es vol dividir la parcel·la en dues de la mateixa àrea amb un camí rectilini que surt de l'origen, $y=mx$ amb $0\lt m\lt6$ . Troba $m$ .
d) Comprova el resultat calculant l'àrea sota el camí i dins de la parcel·la.

Pista 1

Els punts de tall de la paràbola amb l'eix $OX$ són $x=0$ i $x=a$ .

Pista 2

El camí $y=mx$ talla la paràbola a l'origen i a un altre punt: calcula'l. L'àrea entre la recta i la paràbola és la d'una paràbola «desplaçada», com a b).

Pista 3

L'àrea entre la recta i la paràbola ha de ser la meitat de l'àrea total, 18.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 31

Apartat a)

Resultat

A=36\ \text{ha}

Resolució

Plantejament. La paràbola $y=6x-x^{2}=x(6-x)$ talla l'eix $OX$ a $x=0$ i $x=6$ i entre tots dos és positiva: l'àrea és la integral definida.
Regla de Barrow. $\int_0^6(6x-x^{2})\,dx=\Big[3x^{2}-\frac{x^{3}}{3}\Big]_0^6=108-72=36$
Conclusió. Amb unitats en hm, l'àrea és de 36 ha.

Apartat b)

Resultat

A=\dfrac{|a|^{3}}{6}

; val 36 per a

a=6

a=-6

Resolució

Talls. $ax-x^{2}=x(a-x)=0\Rightarrow x=0$ i $x=a$ .
Cas a > 0. $\int_0^a(ax-x^{2})\,dx=\Big[\frac{ax^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}\Big]_0^a=\frac{a^{3}}{2}-\frac{a^{3}}{3}=\frac{a^{3}}{6}$
Cas a < 0. Els talls són $a$ i $0$ i, a $[a,0]$ , $ax-x^{2}=x(a-x)\ge0$ . L'àrea és $\int_a^0(ax-x^{2})\,dx=-\dfrac{a^{3}}{6}=\dfrac{|a|^{3}}{6}$ (per simetria). En tots dos casos, $A=\dfrac{|a|^{3}}{6}$ .
Condició A = 36. $\dfrac{|a|^{3}}{6}=36\iff|a|^{3}=216\iff|a|=6$ : $a=6$ o $a=-6$ (paràboles simètriques respecte de l'eix $OY$ ). No oblidis el cas negatiu.

Apartat c)

Resultat

m=6-3\sqrt[3]{4}\approx1{,}24

Resolució

Talls del camí amb la paràbola. $6x-x^{2}=mx\iff x=0$ o $x=6-m$ . Entre els dos punts, la paràbola és per sobre de la recta.
Àrea entre recta i paràbola. $6x-x^{2}-mx=(6-m)x-x^{2}$ : és l'apartat b) amb $a=6-m$ : $\int_0^{6-m}\big((6-m)x-x^{2}\big)\,dx=\frac{(6-m)^{3}}{6}$
Condició. Ha de ser la meitat de l'àrea total, 18: $(6-m)^{3}=108\iff6-m=\sqrt[3]{108}=3\sqrt[3]{4}\approx4{,}762$ .
Conclusió. $m=6-3\sqrt[3]{4}\approx1{,}24$ . Fixa't que el camí no arriba a $x=6$ : talla la paràbola a $x=6-m$ .

Apartat d)

Resultat

Àrea sota el camí i dins la parcel·la:

18\ \text{ha}

(

\approx14{,}04+3{,}96

), la meitat de 36.

Resolució

Recinte. Amb $x_0=6-m=\sqrt[3]{108}\approx4{,}762$ , la part sota el camí és el triangle de vèrtexs $(0,0)$ , $(x_0,0)$ i $(x_0,mx_0)$ més la part sota la paràbola entre $x_0$ i 6.
Càlcul. $\frac{m\,x_0^{2}}{2}+\int_{x_0}^{6}(6x-x^{2})\,dx=\frac{(6-x_0)\,x_0^{2}}{2}+36-3x_0^{2}+\frac{x_0^{3}}{3}=36-\frac{x_0^{3}}{6}=36-\frac{108}{6}=18$
Numèricament. Triangle $\approx14{,}04$ ha i tros de paràbola $\approx3{,}96$ ha: total 18 ha.
Conclusió. Coincideix amb $36-18=18$ : les dues parcel·les fan 18 ha cadascuna i el resultat de c) és correcte.

Errors típics

Plantejar que l'àrea sota la recta entre $0$ i $6$ sigui 18: el camí no arriba a $x=6$ , sinó que talla la paràbola a $x=6-m$ .
Prendre $m=3$ per «posar la recta al mig» (l'àrea no es reparteix per l'angle).
Oblidar el cas $a\lt0$ i donar només una solució en b).
Integrar entre els límits equivocats (fins a $6$ en lloc de fins a $6-m$ ).

Conceptes treballats: integral definida i regla de Barrow, àrea entre una paràbola i una recta, resolució d'equacions amb arrels cúbiques, generalització amb paràmetres, interpretació.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 32

La secció d'un túnel és el recinte limitat per la paràbola $y=4-x^2$ i el terra $y=0$ (unitats: m).
a) Calcula l'àrea de la secció.
b) Un forjat horitzontal a l'alçada $y=c$ $(0\lt c\lt4)$ separa la secció en una part inferior i una part superior (sota la paràbola, per sobre del forjat). Demostra que l'àrea de la part superior és $\tfrac43(4-c)^{3/2}$ .
c) Troba l'alçada $c$ perquè les dues parts tinguin la mateixa àrea i l'amplada del forjat en aquest cas.
d) La normativa exigeix almenys 2 m d'alçada lliure sota el forjat. Es compleix amb la divisió de c)? Quina fracció de la secció queda per sobre d'un forjat a 2 m?

Pista 1

Els talls de la paràbola amb el terra són $x=\pm2$ . A l'alçada $c$ , els talls són $x=\pm\sqrt{4-c}$ .

Pista 2

L'àrea de la part superior és la integral entre els talls de «paràbola menys alçada del forjat», $4-x^2-c$ .

Pista 3

Iguala l'àrea de la part superior a la meitat de l'àrea total i aïlla $c$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 32

Apartat a)

Resultat

A=\dfrac{32}{3}\approx10{,}67\ \text{m}^{2}

Resolució

Talls amb el terra. $4-x^{2}=0\Rightarrow x=\pm2$ ; entre ells la paràbola és positiva.
Càlcul (funció parella). $\int_{-2}^{2}(4-x^{2})\,dx=2\Big[4x-\frac{x^{3}}{3}\Big]_0^2=2\Big(8-\frac83\Big)=\frac{32}{3}\approx10{,}67\ \text{m}^{2}$

Apartat b)

Resultat

A_{\text{sup}}(c)=\dfrac43(4-c)^{3/2}

Resolució

Talls amb el forjat. $4-x^{2}=c\Rightarrow x=\pm\sqrt{4-c}$ . La part superior és entre aquests talls, sota la paràbola i per sobre de $y=c$ : s'integra «paràbola menys alçada del forjat», $4-x^{2}-c$ .
Canvi de notació. Amb $u=\sqrt{4-c}$ (de manera que $4-c=u^{2}$ ): $\int_{-u}^{u}(u^{2}-x^{2})\,dx=2\Big(u^{3}-\frac{u^{3}}{3}\Big)=\frac43u^{3}=\frac43(4-c)^{3/2}$
Comprovació. Per a $c=0$ dona $\tfrac43\cdot8=\tfrac{32}{3}$ , com a a).

Apartat c)

Resultat

c=4-2\sqrt[3]{2}\approx1{,}48\ \text{m}

; amplada del forjat

2\sqrt[3]{4}\approx3{,}17\ \text{m}

Resolució

Condició. La part superior ha de ser la meitat de la secció: $\tfrac43(4-c)^{3/2}=\tfrac{16}{3}\iff(4-c)^{3/2}=4$ .
Aïllament. Elevem a $\tfrac23$ (no dividim per $\tfrac32$ ): $4-c=4^{2/3}=2\sqrt[3]{2}$ , per tant $c=4-2\sqrt[3]{2}\approx1{,}48\ \text{m}$ .
Amplada. $2\sqrt{4-c}=2\sqrt{2\sqrt[3]{2}}=2\sqrt[3]{4}\approx3{,}17\ \text{m}$ .
Observació. «Meitat d'àrea» no vol dir «meitat d'alçada» ( $c=2$ ).

Apartat d)

Resultat

No es compleix (1,48 m < 2 m). Amb el forjat a 2 m queda per sobre

\tfrac{\sqrt2}{4}\approx35\,\%

de la secció (

\approx3{,}77\ \text{m}^{2}

Resolució

Normativa. Amb la divisió per àrees iguals, l'alçada lliure sota el forjat és només $c\approx1{,}48<2$ m: no es compleix.
Forjat a 2 m. Per l'apartat b), la part superior té àrea $\tfrac43\cdot2^{3/2}=\tfrac{8\sqrt2}{3}\approx3{,}77\ \text{m}^{2}$ .
Fracció. $\frac{8\sqrt2/3}{32/3}=\frac{\sqrt2}{4}\approx0{,}354\approx35\,\%$
Interpretació. Per complir la normativa, la part superior no pot ser tan gran com la inferior: queda per sobre menys de la meitat de la secció.

Errors típics

Calcular l'àrea de la part superior integrant $4-x^2$ entre $-2$ i $2$ en lloc d'integrar «paràbola menys alçada» entre els talls amb la recta.
Oblidar els límits $\pm\sqrt{4-c}$ i usar $\pm2$ .
Passar de $(4-c)^{3/2}=4$ a $4-c=4/\tfrac32$ (exponent mal aïllat); cal elevar a $\tfrac23$ .
Interpretar «mitat d'àrea» com «mitat d'alçada» (c = 2).

Conceptes treballats: àrea entre una funció i una recta, integral definida amb límits que depenen d'un paràmetre, equacions amb potències racionals, modelització d'una secció, interpretació del resultat.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 33

Un pluviòmetre registra la intensitat de la pluja, en mm/h, durant una tempesta: $r(t)=3t\,e^{-t/2}$ , amb $t$ en hores des de l'inici ( $t\ge0$ ).
a) Calcula, amb integració per parts, la pluja total (en mm) caiguda durant les primeres 6 hores.
b) Quan és més intensa la pluja i quant val aquesta intensitat màxima?
c) Compara la pluja caiguda a les 2 primeres hores amb la de les 2 últimes (de $t=4$ a $t=6$ ).
d) Calcula la pluja total que cauria si la tempesta no s'acabés mai (integral impròpia) i el percentatge que ha caigut a les primeres 6 hores.

Pista 1

Per a $\int t\,e^{-t/2}\,dt$ , aplica integració per parts amb $u=t$ i $dv=e^{-t/2}dt$ .

Pista 2

Després d'integrar per parts, comprova la primitiva derivant-la: n'has de recuperar $3t\,e^{-t/2}$ .

Pista 3

A d), la integral impròpia és $\lim_{b\to\infty}\int_0^b r(t)\,dt$ ; recorda que $be^{-b/2}\to0$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 33

Apartat a)

Resultat

\displaystyle\int_0^6r(t)\,dt=12-48e^{-3}\approx9{,}61\ \text{mm}

Resolució

Plantejament. La pluja total és la integral de la intensitat: $\int_0^63t\,e^{-t/2}\,dt$ .
Integració per parts. $u=3t$ , $dv=e^{-t/2}\,dt\Rightarrow du=3\,dt$ , $v=-2e^{-t/2}$ (no oblidis el factor $-2$ ): $\int3t\,e^{-t/2}\,dt=-6t\,e^{-t/2}+6\int e^{-t/2}\,dt=-6t\,e^{-t/2}-12e^{-t/2}=-6(t+2)e^{-t/2}+C$
Comprovació. Derivant $R(t)=-6(t+2)e^{-t/2}$ : $-6e^{-t/2}+3(t+2)e^{-t/2}=3t\,e^{-t/2}$ .
Regla de Barrow. $\int_0^6r(t)\,dt=\Big[-6(t+2)e^{-t/2}\Big]_0^6=-48e^{-3}+12\approx9{,}61\ \text{mm}$

Apartat b)

Resultat

Màxim a

t=2\ \text{h}

r(2)=\dfrac6e\approx2{,}21\ \text{mm/h}

Resolució

Derivada. $r'(t)=3e^{-t/2}-\tfrac32t\,e^{-t/2}=3e^{-t/2}\big(1-\tfrac t2\big)$ .
Punt crític. $r'(t)=0\iff t=2$ h; $r'$ és positiva abans i negativa després: és un màxim.
Valor. $r(2)=6e^{-1}=\tfrac6e\approx2{,}21$ mm/h. Compte: és el moment de màxima intensitat, no el moment en què ha plogut més en total.

Apartat c)

Resultat

Primeres 2 h:

12-\tfrac{24}{e}\approx3{,}17\ \text{mm}

; de 4 a 6 h:

36e^{-2}-48e^{-3}\approx2{,}48\ \text{mm}

. Plou més a les 2 primeres hores.

Resolució

Primeres dues hores. $R(2)-R(0)=-24e^{-1}+12\approx3{,}17$ mm.
De l'hora 4 a la 6. $R(6)-R(4)=-48e^{-3}+36e^{-2}\approx2{,}48$ mm.
Interpretació. Les dues primeres hores aporten més pluja: al primer tram la intensitat puja fins a 2,2 mm/h, mentre que al segon baixa d'1,6 a 0,9 mm/h.

Apartat d)

Resultat

Pluja total:

12\ \text{mm}

; a les 6 primeres hores n'ha caigut

\approx80\,\%

Resolució

Integral impròpia. $\int_0^{\infty}r(t)\,dt=\lim_{b\to\infty}\Big[-6(t+2)e^{-t/2}\Big]_0^b=\lim_{b\to\infty}\Big(-6(b+2)e^{-b/2}\Big)+12=0+12=12\ \text{mm}$ perquè $b\,e^{-b/2}\to0$ . Cal passar al límit, no avaluar directament a $\infty$ .
Percentatge. $\dfrac{9{,}61}{12}\approx0{,}80$ : en 6 hores ha caigut aproximadament el 80 % del total.

Errors típics

Oblidar el factor $-2$ en integrar $e^{-t/2}$ (donar $e^{-t/2}$ en comptes de $-2e^{-t/2}$ ).
Integrar $3te^{-t/2}$ com si fos $3\cdot\dfrac{t^2}{2}\cdot e^{-t/2}$ : la integral d'un producte no és el producte de les integrals.
Interpretar el màxim de la intensitat ( $t=2$ ) com el moment en què ha plogut més en total.
En la integral impròpia, oblidar de passar al límit i avaluar a $\infty$ directament.

Conceptes treballats: integració per parts, regla de Barrow, interpretació de la integral com a quantitat acumulada, màxim de la intensitat, integral impròpia de primera espècie.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 34

Sigui $F(x)=\displaystyle\int_0^x\sin(t^2)\,dt$ per a $x\ge0$ . (La funció $\sin(t^2)$ no té una primitiva elemental, de manera que $F$ s'estudia a través de la seva derivada.)
a) Calcula $F'(x)$ i $F''(x)$ . Justifica que $F$ és creixent en un entorn de $0$ .
b) Calcula $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{F(x)}{x^3}$ .
c) Troba els extrems relatius de $F$ a $[0,3]$ i classifica'ls.
d) Quin és el màxim absolut de $F$ a $[0,3]$ ? Justifica-ho sense calcular $F(3)$ amb exactitud.

Pista 1

Pel teorema fonamental del càlcul, $F'(x)=\sin(x^2)$ .

Pista 2

Per a b), el límit és $\dfrac00$ : aplica L'Hôpital derivant numerador i denominador.

Pista 3

A c) i d), estudia el signe de $\sin(x^2)$ : canvia de signe quan $x^2$ és un múltiple de $\pi$ . A d), fes el canvi $u=t^2$ i compara l'àrea negativa de $[\pi,2\pi]$ amb la positiva de $[2\pi,9]$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 34

Apartat a)

Resultat

F'(x)=\sin(x^{2})

F''(x)=2x\cos(x^{2})

;

F'>0

per a

0<x<\sqrt\pi

, així que

F

creix prop de 0.

Resolució

Teorema fonamental del càlcul. Com que $\sin(t^{2})$ és contínua, $F'(x)=\sin(x^{2})$ . Compte: $2x\cos(x^{2})$ és $F''$ , no $F'$ .
Segona derivada. Per la regla de la cadena, $F''(x)=2x\cos(x^{2})$ .
Creixement. Per a $x$ petit, $x^{2}\in(0,\pi)$ i $F'(x)=\sin(x^{2})>0$ : $F$ és creixent en un entorn de 0 (amb $F(0)=0$ ).

Apartat b)

Resultat

\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{F(x)}{x^{3}}=\frac13

Resolució

Indeterminació. $F(0)=0$ , així que el límit és $\tfrac00$ .
Regla de L'Hôpital. $\lim_{x\to0}\frac{F(x)}{x^{3}}=\lim_{x\to0}\frac{\sin(x^{2})}{3x^{2}}=\frac13\lim_{u\to0}\frac{\sin u}{u}=\frac13\quad(u=x^{2})$
Interpretació. Prop de 0, $F(x)\approx\dfrac{x^{3}}{3}$ .

Apartat c)

Resultat

Màxim relatiu a

x=\sqrt\pi\approx1{,}77

(

F\approx0{,}895

); mínim relatiu a

x=\sqrt{2\pi}\approx2{,}51

(

F\approx0{,}430

Resolució

Punts crítics. $F'(x)=0\iff\sin(x^{2})=0\iff x^{2}=k\pi\iff x=\sqrt{k\pi}$ . A $[0,3]$ : $\sqrt\pi\approx1{,}77$ i $\sqrt{2\pi}\approx2{,}51$ ; $\sqrt{3\pi}\approx3{,}07>3$ queda fora.
Signe de F'. $\sin(x^{2})$ passa de positiva a negativa a $\sqrt\pi$ (màxim relatiu) i de negativa a positiva a $\sqrt{2\pi}$ (mínim relatiu).
Valors (numèrics). $F(\sqrt\pi)\approx0{,}895$ i $F(\sqrt{2\pi})\approx0{,}430$ .

Apartat d)

Resultat

El màxim absolut és

F(\sqrt\pi)\approx0{,}895

, perquè

F(3)<F(\sqrt\pi)

Resolució

Candidats. $F(0)=0$ , $F(\sqrt\pi)$ i $F(3)$ . $F$ creix fins a $\sqrt\pi$ , decreix fins a $\sqrt{2\pi}$ i torna a créixer fins a 3: només cal veure que $\int_{\sqrt\pi}^{3}\sin(t^{2})\,dt<0$ .
Canvi u = t². Amb $dt=\frac{du}{2\sqrt u}$ : $F(3)-F(\sqrt\pi)=\int_{\pi}^{2\pi}\frac{\sin u}{2\sqrt u}\,du+\int_{2\pi}^{9}\frac{\sin u}{2\sqrt u}\,du$ El primer terme és negatiu i el segon, positiu ( $9<3\pi$ ).
Comparació. Amb $u=v-\pi$ al primer, $\sin u=-\sin v$ i $\left|\int_{\pi}^{2\pi}\frac{\sin u}{2\sqrt u}\,du\right|=\int_{2\pi}^{3\pi}\frac{\sin v}{2\sqrt{v-\pi}}\,dv>\int_{2\pi}^{3\pi}\frac{\sin v}{2\sqrt v}\,dv\ge\int_{2\pi}^{9}\frac{\sin v}{2\sqrt v}\,dv,$ perquè $\frac{1}{\sqrt{v-\pi}}>\frac{1}{\sqrt v}$ i $\sin v\ge0$ a $[2\pi,3\pi]$ .
Conclusió. La part negativa pesa més: $F(3)<F(\sqrt\pi)$ , i el màxim absolut és $F(\sqrt\pi)\approx0{,}895$ (comprovació numèrica: $F(3)\approx0{,}774$ ). Intuïtivament, els lòbuls de $\sin(t^{2})$ són cada cop més estrets i el tram final és un lòbul incomplet; el màxim absolut no és a l'extrem dret.

Errors típics

Intentar calcular $F(x)$ integrant $\sin(t^2)$ «de cap» (no és una integral elemental): cal fer servir $F'$ .
Derivar $F$ aplicant la regla de la cadena de manera equivocada: $F'(x)=\sin(x^2)$ , no $2x\cos(x^2)$ (aquesta és $F''$ ).
Oblidar comprovar si les arrels de $F'$ són dins de l'interval $[0,3]$ .
Suposar que el màxim absolut és sempre a l'extrem dret de l'interval.

Conceptes treballats: teorema fonamental del càlcul, funció definida per una integral, L'Hôpital, extrems relatius i absoluts, raonament sobre àrees positives i negatives.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 35

Considera la funció $f(x)=\dfrac{x^2+3}{x+1}$ per a $x\gt-1$ .
a) Escriu $f(x)$ com $x-1+\dfrac{4}{x+1}$ i dedueix que la recta $y=x-1$ és una asímptota obliqua.
b) Calcula l'àrea del recinte limitat per la corba, l'asímptota i les rectes $x=0$ i $x=3$ .
c) Troba el valor de $k\gt0$ pel qual l'àrea compresa entre la corba, l'asímptota i les rectes $x=0$ i $x=k$ val 10.
d) Estudia si l'àrea compresa entre la corba i l'asímptota, des de $x=0$ fins a $+\infty$ , és finita. Compara-ho amb el cas d'una funció que s'acosti a una asímptota exponencialment, com $e^{-x}$ .

Pista 1

Divideix $x^2+3$ entre $x+1$ : quocient $x-1$ i residu 4.

Pista 2

L'àrea entre la corba i l'asímptota és $\int\big(f(x)-(x-1)\big)dx=\int\frac{4}{x+1}dx$ .

Pista 3

A d), calcula $\lim_{k\to\infty}\int_0^k\dfrac{4}{x+1}dx$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 35

Apartat a)

Resultat

f(x)=x-1+\dfrac{4}{x+1}

; com que

f(x)-(x-1)\to0

y=x-1

és asímptota obliqua (i la corba és per sobre).

Resolució

Divisió de polinomis. $(x-1)(x+1)=x^{2}-1$ , de manera que $x^{2}+3=(x-1)(x+1)+4$ i $f(x)=x-1+\dfrac{4}{x+1}$ .
Asímptota obliqua. $f(x)-(x-1)=\dfrac{4}{x+1}\to0$ quan $x\to+\infty$ : la recta $y=x-1$ és asímptota obliqua.
Posició. Com que $\dfrac{4}{x+1}>0$ per a $x>-1$ , la corba és per sobre de l'asímptota.

Apartat b)

Resultat

A=4\ln4=8\ln2\approx5{,}55

u²

Resolució

Plantejament. L'àrea entre la corba i l'asímptota és la integral de la diferència $f(x)-(x-1)=\dfrac{4}{x+1}$ (no de $f$ sola).
Càlcul. $A=\int_0^3\frac{4}{x+1}\,dx=\Big[4\ln(x+1)\Big]_0^3=4\ln4=8\ln2\approx5{,}55$

Apartat c)

Resultat

k=e^{2{,}5}-1\approx11{,}18

Resolució

Àrea fins a k. $A(k)=\int_0^k\dfrac{4}{x+1}\,dx=4\ln(k+1)$ .
Equació. $4\ln(k+1)=10\iff\ln(k+1)=2{,}5\iff k=e^{2{,}5}-1\approx11{,}18$ .

Apartat d)

Resultat

L'àrea fins a

+\infty

és infinita; en canvi,

\int_0^{\infty}e^{-x}\,dx=1

és finita.

Resolució

Integral impròpia. $\displaystyle\lim_{k\to\infty}4\ln(k+1)=+\infty$ : l'àrea és infinita, tot i que la distància entre la corba i la recta tendeix a 0.
Comparació. Amb $e^{-x}$ passaria el contrari: $\int_0^{\infty}e^{-x}\,dx=1$ és finita.
Interpretació. La diferència és la rapidesa amb què la funció s'acosta a l'asímptota: $\tfrac{1}{x+1}$ ho fa massa lentament perquè l'àrea convergeixi. «Si la diferència tendeix a 0, l'àrea és finita» és fals.

Errors típics

Calcular l'àrea integrant $f(x)$ en lloc de $f(x)-(x-1)$ (això dona l'àrea sota la corba, no l'entre corba i asímptota).
Integrar $\dfrac{4}{x+1}$ com $4\ln x$ o com $\dfrac{4}{\ln(x+1)}$ .
Pensar que «si la diferència tendeix a 0, l'àrea és finita»: la integral de $1/x$ a l'infinit divergeix.
Equivocar-se amb el signe de la diferència $f(x)-(x-1)$ .

Conceptes treballats: asímptotes obliqües i divisió de polinomis, integral de funcions racionals (logaritme), àrea entre una corba i la seva asímptota, integrals impròpies, comparació de ritmes.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 36

Considera la integral $I=\displaystyle\int_{\ln3}^{\ln5}\frac{e^x}{e^{2x}-3e^x+2}\,dx$ .
a) Fes el canvi de variable $t=e^x$ i transforma la integral.
b) Descompon el nou integrand en fraccions simples i calcula'n el valor exacte.
c) Calcula també $\displaystyle\int_{\ln3}^{+\infty}\frac{e^x}{e^{2x}-3e^x+2}\,dx$ . Té sentit que sigui finita?
d) Es pot aplicar la regla de Barrow directament a $\int_0^{\ln5}$ amb aquesta primitiva? Raona-ho estudiant l'integrand a $[0,\ln5]$ .

Pista 1

Si $t=e^x$ , llavors $dt=e^x\,dx$ i $e^{2x}=t^2$ . Canvia també els límits.

Pista 2

El denominador $t^2-3t+2$ factoritza com $(t-1)(t-2)$ . Busca $A,B$ tals que $\frac{1}{(t-1)(t-2)}=\frac{A}{t-1}+\frac{B}{t-2}$ .

Pista 3

A d), estudia on s'anul·la el denominador $e^{2x}-3e^x+2$ a l'interval.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 36

Apartat a)

Resultat

\displaystyle I=\int_3^5\frac{dt}{t^{2}-3t+2}

Resolució

Canvi de variable. $t=e^{x}\Rightarrow dt=e^{x}\,dx$ i $e^{2x}=t^{2}$ .
Límits. $x=\ln3\Rightarrow t=3$ ; $x=\ln5\Rightarrow t=5$ . No oblidis canviar-los (ni substituir $dx$ ).
Resultat. $I=\displaystyle\int_3^5\frac{dt}{t^{2}-3t+2}$ .

Apartat b)

Resultat

I=\ln\dfrac32\approx0{,}405

Resolució

Fraccions simples. $t^{2}-3t+2=(t-1)(t-2)$ i $\dfrac{1}{(t-1)(t-2)}=\dfrac{1}{t-2}-\dfrac{1}{t-1}$ ( $A=-1,\ B=1$ ). Comprovació amb $t=3$ : $\tfrac12=1-\tfrac12$ .
Primitiva. $\ln|t-2|-\ln|t-1|=\ln\left|\dfrac{t-2}{t-1}\right|$ (el logaritme d'un quocient és la diferència de logaritmes).
Regla de Barrow. $I=\ln\frac34-\ln\frac12=\ln\frac32\approx0{,}405$
Coherència. L'integrand és positiu per a $x>\ln2$ , així que un resultat positiu és coherent.

Apartat c)

Resultat

\displaystyle\int_{\ln3}^{+\infty}\frac{e^{x}\,dx}{e^{2x}-3e^{x}+2}=\ln2\approx0{,}693

; sí, és finita.

Resolució

Integral impròpia. Amb el mateix canvi, $\int_3^{\infty}\frac{dt}{(t-1)(t-2)}=\lim_{b\to\infty}\ln\frac{b-2}{b-1}-\ln\frac12=0+\ln2\approx0{,}693$
Interpretació. Té sentit que sigui finita: per a $x$ gran l'integrand es comporta com $\dfrac{e^{x}}{e^{2x}}=e^{-x}$ , que decreix prou ràpid perquè l'àrea sigui finita.

Apartat d)

Resultat

No: l'integrand no és continu a

[0,\ln5]

(s'anul·la el denominador a

x=0

i a

x=\ln2

Resolució

Zeros del denominador. $e^{2x}-3e^{x}+2=(e^{x}-1)(e^{x}-2)$ s'anul·la a $x=0$ i a $x=\ln2\approx0{,}69$ , tots dos dins de $[0,\ln5]\approx[0;\,1{,}61]$ .
Comportament. L'integrand no hi està definit i té asímptotes verticals: prop de $x=0$ es comporta com $-\tfrac1x$ i prop de $\ln2$ , com $\tfrac{1}{x-\ln2}$ . Les integrals impròpies corresponents divergeixen.
Conclusió. La primitiva $\ln\left|\tfrac{t-2}{t-1}\right|$ no és contínua a $t=1$ i $t=2$ , de manera que la regla de Barrow no s'hi pot aplicar. Abans d'aplicar Barrow cal comprovar sempre que l'integrand és continu a l'interval.

Errors típics

Fer el canvi de variable i oblidar de canviar els límits (o de substituir $dx$ ).
Descompondre en fraccions simples amb coeficients mal signats; comprova amb un valor, per exemple $t=3$ : $\tfrac12=1-\tfrac12$ .
Aplicar Barrow sense comprovar que l'integrand és continu a l'interval.
Escriure $\ln(t-2)-\ln(t-1)=\ln\!\big(t-2-(t-1)\big)$ : el logaritme d'un quocient és la diferència, no al revés.

Conceptes treballats: integració per canvi de variable, descomposició en fraccions simples, integral definida, integrals impròpies, condicions d'aplicació de la regla de Barrow.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 37

Una partícula es mou sobre una guia recta amb velocitat (en m/s, positiva cap a la dreta) $v(t)=3t^2-12t+9$ , $0\le t\le4$ s. Inicialment és a l'origen.
a) Calcula el desplaçament net entre $t=0$ i $t=4$ .
b) Calcula la distància total recorreguda. Per què no coincideix amb el desplaçament?
c) Troba la posició $s(t)$ i els instants en què la partícula és a l'origen.
d) Calcula la velocitat mitjana i la rapidesa mitjana (distància total entre temps) i interpreta la diferència.

Pista 1

La velocitat és positiva o negativa segons el signe de $3(t-1)(t-3)$ . Fes la taula de signes.

Pista 2

La distància total és la integral del valor absolut de la velocitat: integra tram a tram.

Pista 3

La posició és la primitiva de la velocitat amb $s(0)=0$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 37

Apartat a)

Resultat

Desplaçament net:

4\ \text{m}

, cap a la dreta

Resolució

Plantejament. El desplaçament és la integral de la velocitat entre 0 i 4.
Regla de Barrow. $\int_0^4(3t^{2}-12t+9)\,dt=\Big[t^{3}-6t^{2}+9t\Big]_0^4=64-96+36=4\ \text{m}$

Apartat b)

Resultat

Distància total:

12\ \text{m}

. No coincideix perquè la partícula va i torna.

Resolució

Signe de la velocitat. $v=3(t-1)(t-3)$ : positiva a $(0,1)$ , negativa a $(1,3)$ i positiva a $(3,4)$ .
Integrals per trams. $\int_0^1v=4$ , $\int_1^3v=-4$ , $\int_3^4v=4$ .
Distància. És la integral de $|v|$ : $4+|-4|+4=12$ m.
Interpretació. El desplaçament compta els trams amb signe i la distància, amb valor absolut: com que la partícula va i torna, no coincideixen.

Apartat c)

Resultat

s(t)=t^{3}-6t^{2}+9t=t(t-3)^{2}

; és a l'origen a

t=0

i a

t=3\ \text{s}

Resolució

Primitiva amb condició inicial. $s(t)=t^{3}-6t^{2}+9t+C$ i $s(0)=0\Rightarrow C=0$ .
Factorització. $s(t)=t(t^{2}-6t+9)=t(t-3)^{2}$ .
Instants a l'origen. $s(t)=0\iff t=0$ o $t=3$ . A $t=3$ l'arrel és doble: la partícula arriba a l'origen, s'atura ( $v(3)=0$ ) i torna a avançar cap a la dreta sense creuar-lo. Màxim relatiu $s(1)=4$ , i $s(4)=4$ .

Apartat d)

Resultat

Velocitat mitjana:

1\ \text{m/s}

; rapidesa mitjana:

3\ \text{m/s}

Resolució

Velocitat mitjana. $\dfrac{\text{desplaçament}}{\text{temps}}=\dfrac{4}{4}=1$ m/s.
Rapidesa mitjana. $\dfrac{\text{distància total}}{\text{temps}}=\dfrac{12}{4}=3$ m/s.
Interpretació. La velocitat mitjana té signe (és vectorial) i compensa anades i tornades; la rapidesa mitjana, no.

Errors típics

Calcular la distància total com la integral de $v$ (sense valor absolut), que dona el desplaçament net.
Equivocar-se en la taula de signes de $3t^2-12t+9$ (les arrels són 1 i 3).
Confondre la integral de la velocitat (desplaçament) amb la posició (amb la constant inicial).
Prendre $s(4)=4$ com la distància recorreguda.

Conceptes treballats: interpretació cinemàtica de la integral, signe de l'integrand, valor absolut i distància total, primitiva amb condició inicial, velocitat mitjana vs. rapidesa mitjana.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 38

La temperatura en una sala de proves, en °C, entre les 9 h i les 21 h és $T(t)=15+6\sin\!\left(\dfrac{\pi(t-9)}{12}\right)$ , amb $t$ en hores.
a) Calcula la temperatura mitjana de l'interval $[9,21]$ .
b) Demostra que hi ha almenys un instant on la temperatura és igual a la mitjana i calcula'ls tots (en hores i minuts).
c) Durant quantes hores la temperatura supera els 18 °C?
d) Calcula la temperatura mitjana durant aquest període de temperatura superior a 18 °C.

Pista 1

El valor mitjà d'una funció a $[a,b]$ és $\dfrac{1}{b-a}\int_a^bT(t)\,dt$ .

Pista 2

El teorema del valor mitjà per a integrals diu que una funció contínua assoleix el seu valor mitjà. Resol $T(t)=$ mitjana: tindràs dues solucions per simetria del sinus.

Pista 3

A c), $T\gt18\iff\sin(\ldots)\gt\tfrac12$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 38

Apartat a)

Resultat

\bar T=15+\dfrac{12}{\pi}\approx18{,}82\ ^{\circ}\text{C}

Resolució

Valor mitjà. $\bar T=\dfrac{1}{b-a}\int_a^bT(t)\,dt$ , amb $[a,b]=[9,21]$ (amplada 12 h).
Integral. $\int_9^{21}T\,dt=15\cdot12+6\cdot\frac{12}{\pi}\Big[-\cos\frac{\pi(t-9)}{12}\Big]_9^{21}=180+\frac{72}{\pi}\cdot2=180+\frac{144}{\pi}$
Mitjana. $\bar T=\dfrac{1}{12}\Big(180+\dfrac{144}{\pi}\Big)=15+\dfrac{12}{\pi}\approx18{,}82$ °C. No oblidis dividir per l'amplada de l'interval.

Apartat b)

Resultat

t_1\approx11{,}64\ \text{h}

(11 h 38 min) i

t_2\approx18{,}36\ \text{h}

(18 h 22 min)

Resolució

Existència. $T$ és contínua a $[9,21]$ : pel teorema del valor mitjà per a integrals, assoleix el seu valor mitjà en algun instant.
Equació. Amb $\theta=\dfrac{\pi(t-9)}{12}\in[0,\pi]$ : $15+6\sin\theta=15+\dfrac{12}{\pi}\iff\sin\theta=\dfrac{2}{\pi}\approx0{,}637$ .
Solucions. En radians: $\theta_1=\arcsin\dfrac2\pi\approx0{,}690$ rad i, per simetria del sinus, $\theta_2=\pi-\theta_1$ .
Instants. $t_1=9+\dfrac{12\theta_1}{\pi}\approx11{,}64$ h (11:38) i $t_2=30-t_1\approx18{,}36$ h (18:22).

Apartat c)

Resultat

De les 11 h a les 19 h: 8 hores

Resolució

Inequació. $T>18\iff6\sin\theta>3\iff\sin\theta>\tfrac12$ .
Interval. Amb $\theta\in[0,\pi]$ : $\theta\in\big(\tfrac\pi6,\tfrac{5\pi}6\big)\iff t-9\in(2,10)\iff t\in(11,19)$ .
Conclusió. La temperatura supera els 18 °C durant 8 hores.

Apartat d)

Resultat

\bar T_{[11,19]}=15+\dfrac{9\sqrt3}{\pi}\approx19{,}96\ ^{\circ}\text{C}

Resolució

Plantejament. Valor mitjà a $[11,19]$ (amplada 8 h), que no s'ha de confondre amb la mitjana de tot el dia.
Càlcul. $\bar T=15+\frac68\cdot\frac{12}{\pi}\Big[-\cos\theta\Big]_{\pi/6}^{5\pi/6}=15+\frac{9}{\pi}\Big(\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt3}{2}\Big)=15+\frac{9\sqrt3}{\pi}\approx19{,}96\ ^{\circ}\text{C}$

Errors típics

Calcular el valor mitjà com la mitjana dels valors als extrems o oblidar dividir per l'amplada de l'interval.
Usar la calculadora en graus en lloc de radians en resoldre $\sin\theta=2/\pi$ .
Quedar-se només amb la primera solució de l'equació trigonomètrica: per simetria n'hi ha una altra.
Confondre «temperatura mitjana» amb «temperatura mitjana de les hores en què supera 18 °C».

Conceptes treballats: valor mitjà d'una funció, integral de funcions trigonomètriques, teorema del valor mitjà integral, equacions trigonomètriques, interpretació en una situació real.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 39

a) Calcula $\displaystyle\int_{-2}^{2}\big(x^5\cos x+3x^2\big)\,dx$ sense trobar cap primitiva de $x^5\cos x$ .
b) Demostra que si $f$ és una funció contínua senar, $\displaystyle\int_{-a}^af(x)\,dx=0$ .
c) Calcula $\displaystyle\int_0^{2\pi}\sin x\,dx$ i l'àrea del recinte limitat per $y=\sin x$ i l'eix $OX$ entre $0$ i $2\pi$ . Per què són diferents?
d) Es compleix el recíproc de b)? És a dir, si $\int_{-a}^af=0$ , és $f$ senar? Raona-ho amb un contraexemple.

Pista 1

Descompon l'integrand en una part senar i una part parella. Quina és la integral d'una funció senar en un interval simètric?

Pista 2

Per a b), separa $\int_{-a}^a=\int_{-a}^0+\int_0^a$ i fes el canvi $u=-x$ a la primera.

Pista 3

A d), busca una funció parella (o ni parella ni senar) amb integral zero en un interval simètric: alguna part ha de ser negativa.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 39

Apartat a)

Resultat

\displaystyle\int_{-2}^{2}\big(x^{5}\cos x+3x^{2}\big)\,dx=16

Resolució

Simetria. $x^{5}\cos x$ és senar ( $x^{5}$ senar per $\cos x$ parell), així que la seva integral a $[-2,2]$ és 0. No cal buscar-ne cap primitiva per parts.
Part parella. $\displaystyle\int_{-2}^{2}3x^{2}\,dx=\Big[x^{3}\Big]_{-2}^{2}=8-(-8)=16$ .

Apartat b)

Resultat

f

és senar,

\int_{-a}^{0}f=-\int_0^af

i, per tant,

\int_{-a}^{a}f=0

Resolució

Separació. $\int_{-a}^{a}f=\int_{-a}^{0}f+\int_0^af$ .
Canvi u = −x. A la primera, $dx=-du$ i els límits passen de $-a,0$ a $a,0$ : $\int_{-a}^{0}f(x)\,dx=\int_a^0f(-u)(-du)=\int_0^af(-u)\,du=-\int_0^af(u)\,du$ perquè $f(-u)=-f(u)$ .
Conclusió. $\int_{-a}^{a}f=-\int_0^af+\int_0^af=0$ .

Apartat c)

Resultat

\int_0^{2\pi}\sin x\,dx=0

; àrea

=4

u². La integral és «àrea amb signe» i els trams sota l'eix resten.

Resolució

Integral. $\displaystyle\int_0^{2\pi}\sin x\,dx=\Big[-\cos x\Big]_0^{2\pi}=-1-(-1)=0$ .
Àrea. $\sin x\ge0$ a $[0,\pi]$ i $\le0$ a $[\pi,2\pi]$ : $A=\int_0^{\pi}\sin x\,dx+\left|\int_\pi^{2\pi}\sin x\,dx\right|=2+2=4$
Per què són diferents. La integral és àrea amb signe (els trams per sota de l'eix resten); l'àrea és sempre positiva i s'ha de calcular tram a tram o amb $|f|$ .

Apartat d)

Resultat

No: per exemple,

f(x)=3x^{2}-1

[-1,1]

té integral 0 i és parella, no senar.

Resolució

Contraexemple. $\displaystyle\int_{-1}^{1}(3x^{2}-1)\,dx=\Big[x^{3}-x\Big]_{-1}^{1}=0-0=0$ , però $f(x)=3x^{2}-1$ és parella i no és senar.
Interpretació. Una integral zero només diu que les àrees positiva i negativa es compensen, no que la funció sigui senar.

Errors típics

Calcular una primitiva de $x^5\cos x$ amb dues o tres integrals per parts, quan la simetria ho resol immediatament.
Pensar que $\int_{-a}^a f=0$ per a qualsevol $f$ , o que és senar si la integral és zero.
Prendre la integral de $\sin x$ entre $0$ i $2\pi$ com a àrea (és 0, però l'àrea val 4).
Oblidar el canvi de signe dels límits en el canvi de variable $u=-x$ .

Conceptes treballats: propietats de simetria de les funcions parelles i senars, integral definida, àrea vs. integral amb signe, demostració i contraexemple.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 40

Considera la funció $f(x)=\ln x$ i la recta $t$ tangent a la seva gràfica que passa per l'origen.
a) Demostra que hi ha una única recta tangent que passa per l'origen i troba'n l'equació.
b) Dedueix que $\ln x\le\dfrac xe$ per a tot $x\gt0$ . (Indicació: la corba és còncava.)
c) Calcula l'àrea del recinte limitat per la corba, la tangent i l'eix $OX$ .
d) Torna a calcular-la integrant respecte de $y$ i comprova que dona el mateix resultat.

Pista 1

La tangent a $x=a$ és $y=\ln a+\frac{1}{a}(x-a)$ . Imposa que passi per $(0,0)$ i resol l'equació en $a$ .

Pista 2

El recinte és sota la tangent entre $x=0$ i $x=e$ , i s'ha de restar l'àrea sota la corba entre $x=1$ i $x=e$ .

Pista 3

Per a d), expressa les dues corbes com a $x$ en funció de $y$ : la recta és $x=ey$ i la corba, $x=e^y$ , per a $0\le y\le1$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 40

Apartat a)

Resultat

Única tangent per l'origen: a

x=e

y=\dfrac{x}{e}

Resolució

Tangent a x = a. Amb $f'(x)=\tfrac1x$ : $y=\ln a+\dfrac1a(x-a)$ .
Condició. Passa per $(0,0)$ si $0=\ln a-1\iff a=e$ . La solució és única perquè $\ln$ és injectiva (estrictament creixent).
Equació. $y=1+\dfrac{x-e}{e}=\dfrac{x}{e}$ .

Apartat b)

Resultat

Com que

\ln

és còncava, la gràfica és per sota de la tangent:

\ln x\le\dfrac xe

per a tot

x>0

(igualtat només a

x=e

Resolució

Concavitat. $f''(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}<0$ : $f$ és còncava a $(0,+\infty)$ .
Propietat. La gràfica d'una funció còncava és per sota de qualsevol de les seves tangents.
Conclusió. Aplicant-ho a la tangent de a): $\ln x\le\dfrac xe$ per a tot $x>0$ , amb igualtat només a $x=e$ .

Apartat c)

Resultat

A=\dfrac e2-1\approx0{,}359

u²

Resolució

Recinte. Té per vèrtexs l'origen, el punt $(1,0)$ (on la corba talla l'eix) i el punt de tangència $(e,1)$ .
Àrea sota la tangent. $\displaystyle\int_0^e\frac xe\,dx=\frac e2$ .
Àrea sota la corba. $\displaystyle\int_1^e\ln x\,dx=\Big[x\ln x-x\Big]_1^e=1$ (primitiva per parts), que cal restar.
Resultat. $A=\dfrac e2-1\approx0{,}359$ u².

Apartat d)

Resultat

\displaystyle\int_0^1(e^{y}-ey)\,dy=\frac e2-1

, el mateix resultat.

Resolució

Corbes en funció de y. Per a $0\le y\le1$ , l'extrem esquerre del recinte és la recta ( $x=ey$ ) i el dret, la corba ( $x=e^{y}$ ), amb $e^{y}\ge ey$ . Els límits són en $y$ : de 0 a 1.
Càlcul. $\int_0^1(e^{y}-ey)\,dy=\Big[e^{y}-\frac{e\,y^{2}}{2}\Big]_0^1=(e-1)-\frac e2=\frac e2-1$
Conclusió. Coincideix amb c): $\tfrac e2-1\approx0{,}359$ u².

Errors típics

Plantejar la condició de tangència com «la recta passa per l'origen» sense usar el pendent $f'(a)$ .
Integrar $\ln x$ com a $1/x$ o com a $x\ln x$ ; la primitiva és $x\ln x-x$ .
Calcular l'àrea entre la tangent i l'eix $OX$ sense restar la part sota la corba.
En integrar respecte de $y$ , prendre els límits en $x$ en lloc de $y$ .

Conceptes treballats: recta tangent i derivada, concavitat i desigualtats, integració per parts de $\ln x$ , àrea entre corbes, integració respecte d' $y$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preguntes freqüents

Per què cal separar en trams per calcular una àrea?

Perquè on la funció és sota l'eix la integral surt negativa. Cal trobar els punts de tall, integrar cada tram per separat i sumar-ne els valors absoluts.

Quan es fa servir la integració per parts?

Quan l'integrand és un producte de dues funcions de tipus diferent, com un polinomi per una exponencial o per un logaritme.

Tornar a Matemàtiques