Exercicis de geometria a l'espai — Matemàtiques 2n Batxillerat

La geometria a l'espai és un altre dels blocs fixos de la PAU, i aquests exercicis la cobreixen sencera. Treballes vectors a l'espai, el mòdul i els productes escalar, vectorial i mixt, i els fas servir per calcular angles, àrees de triangles i volums. Després escrius equacions de rectes i plans, com el pla que passa per tres punts o el pla mediador d'un segment, i estudies posicions relatives. Al final calcules distàncies entre punts, rectes i plans. Les solucions expliquen quin vector o quina equació fas servir a cada pas. Errors típics: confondre el vector director d'una recta amb el vector normal d'un pla i restar en l'ordre invers per trobar un vector.

Tens examen d'aquest tema? Fes un simulacre de 60 minuts com el de l'institut, amb solucions i criteris de correcció.Fes el simulacre →

Nivell bàsic

Exercici 1

Calcula el mòdul del vector AB si A(2, 1, 0) i B(2, 4, 4).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 1

Resultat

|\overrightarrow{AB}| = 5

Resolució

Dades. Tens $A(2, 1, 0)$ i $B(2, 4, 4)$ i et demanen el mòdul del vector $\overrightarrow{AB}$ .
Vector. $\overrightarrow{AB} = B - A = (2-2,\ 4-1,\ 4-0) = (0, 3, 4)$ .
Mòdul. $|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{0^{2} + 3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{0 + 9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
Conclusió. El vector $\overrightarrow{AB}$ té mòdul 5 (és la distància entre A i B).

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 2

Dues rectes tenen vectors directors $d_{1}$ = (1, 2, 3) i $d_{2}$ = (2, 4, 6). Poden ser paral·leles?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 2

Resultat

Sí:

d_{2} = 2\,d_{1}

, els directors són proporcionals i les rectes són paral·leles o coincidents.

Resolució

Plantejament. Dues rectes són paral·leles (o coincidents) quan els seus vectors directors són proporcionals.
Comparació. $d_{2} = (2, 4, 6) = 2\cdot(1, 2, 3) = 2\,d_{1}$ : és exactament el doble.
Conclusió. Com que tenen la mateixa direcció, les rectes són paral·leles o coincidents. Per distingir entre les dues opcions caldria comprovar si comparteixen algun punt (un punt d'una recta que sigui de l'altra).

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 3

Calcula la distància entre els punts A(1, 2, 2) i B(1, 4, 4).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 3

Resultat

d(A, B) = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83

Resolució

Plantejament. La distància entre dos punts és el mòdul del vector que els uneix.
Vector. $\overrightarrow{AB} = B - A = (1-1,\ 4-2,\ 4-2) = (0, 2, 2)$ .
Mòdul. $d(A, B) = \sqrt{0^{2} + 2^{2} + 2^{2}} = \sqrt{0 + 4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$
Conclusió. La distància és $2\sqrt{2}$ , aproximadament $2{,}83$ unitats.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 4

Comprova si els punts A(1, 2, 3), B(3, 3, 5) i C(7, 5, 9) estan alineats.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 4

Resultat

Sí, estan alineats:

\overrightarrow{AC} = 3\,\overrightarrow{AB}

Resolució

Criteri. Tres punts estan alineats si els vectors $\overrightarrow{AB}$ i $\overrightarrow{AC}$ tenen la mateixa direcció, és a dir, si són proporcionals.
Vectors. $\overrightarrow{AB} = (3-1,\ 3-2,\ 5-3) = (2, 1, 2)$ i $\overrightarrow{AC} = (7-1,\ 5-2,\ 9-3) = (6, 3, 6)$ .
Proporcionalitat. $\tfrac{6}{2} = \tfrac{3}{1} = \tfrac{6}{2} = 3$ , per tant $\overrightarrow{AC} = 3\,\overrightarrow{AB}$ : els vectors són proporcionals i els tres punts estan alineats.
Comprovació. $C = A + 3\,\overrightarrow{AB} = (1 + 6,\ 2 + 3,\ 3 + 6) = (7, 5, 9)$ , que és exactament C.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 5

Escriu les equacions paramètriques i l'equació contínua de la recta que passa pels punts A(1, -2, 0) i B(3, 1, 4).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 5

Resultat

Paramètriques:

x = 1 + 2t,\ y = -2 + 3t,\ z = 4t

; contínua:

\dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y+2}{3} = \dfrac{z}{4}

Resolució

Vector director. $\vec u = \overrightarrow{AB} = (3-1,\ 1-(-2),\ 4-0) = (2, 3, 4)$ .
Equacions paramètriques. Amb el punt A i el vector $\vec u$ : $x = 1 + 2t,\quad y = -2 + 3t,\quad z = 4t\qquad (t\in\mathbb{R})$
Equació contínua. Aïllant t de cada equació i igualant: $\dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y+2}{3} = \dfrac{z}{4}$
Comprovació. Per a $t = 1$ s'obté $(3, 1, 4)$ , que és el punt B.
Compte! Un error típic és escriure $\tfrac{y-2}{3}$ en lloc de $\tfrac{y+2}{3}$ : a la contínua es resta la coordenada del punt, i $-(-2) = +2$ .

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 6

Troba l'equació general del pla que passa pel punt P(2, -1, 3) i té com a vector normal n = (1, 2, -2). Comprova si el punt Q(0, -3, 0) pertany a aquest pla.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 6

Resultat

\pi:\ x + 2y - 2z + 6 = 0

; Q sí que pertany al pla.

Resolució

Plantejament. Si el vector normal és $(A, B, C)$ , el pla té equació $Ax + By + Cz + D = 0$ ; aquí, $x + 2y - 2z + D = 0$ .
Càlcul de D. Imposem que P hi pertanyi: $2 + 2\cdot(-1) - 2\cdot3 + D = 0$ , és a dir, $2 - 2 - 6 + D = 0$ , d'on $D = 6$ .
Pla. $\pi:\ x + 2y - 2z + 6 = 0$ .
Comprovació de Q. Substituïm $Q(0, -3, 0)$ : $0 + 2\cdot(-3) - 2\cdot0 + 6 = -6 + 6 = 0$ . Per tant, Q pertany al pla.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 7

Raona si els plans $π_{1}$ : 2x - y + 3z = 5 i $π_{2}$ : -4x + 2y - 6z = 1 són paral·lels i, si ho són, si coincideixen.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 7

Resultat

Són paral·lels i diferents (no coincideixen): no tenen cap punt en comú.

Resolució

Criteri. Dos plans són paral·lels quan els seus vectors normals són proporcionals; són el mateix pla si la proporció es manté també en el terme independent.
Normals. $\vec n_{1} = (2, -1, 3)$ i $\vec n_{2} = (-4, 2, -6) = -2\,\vec n_{1}$ : sí que són paral·lels.
Terme independent. Multiplicant $\pi_{1}$ per $-2$ : $-4x + 2y - 6z = -10$ . Però $\pi_{2}$ té $1 \neq -10$ : les dues equacions són incompatibles.
Conclusió. Són plans paral·lels diferents, sense cap punt en comú.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 8

Calcula la distància del punt P(1, 2, 3) al pla π: 2x - y + 2z - 3 = 0.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 8

Resultat

d(P, \pi) = 1

unitat

Resolució

Fórmula. Distància d'un punt a un pla: $d(P, \pi) = \dfrac{|A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D|}{\sqrt{A^{2} + B^{2} + C^{2}}}$
Numerador. $|2\cdot1 - 2 + 2\cdot3 - 3| = |2 - 2 + 6 - 3| = 3$ .
Denominador. $\sqrt{2^{2} + (-1)^{2} + 2^{2}} = \sqrt{9} = 3$ .
Resultat. $d(P, \pi) = \tfrac{3}{3} = 1$ unitat.
Compte! Error típic: oblidar el valor absolut o el terme D en substituir.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 9

Donada la recta r: (x, y, z) = (1, -1, 1) + t·(2, 1, 3), comprova si els punts P(5, 1, 7) i Q(3, 0, 5) hi pertanyen.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 9

Resultat

P sí que pertany a r (amb

t = 2

); Q no hi pertany.

Resolució

Criteri. Un punt pertany a la recta si existeix un únic valor de t que dona les tres coordenades alhora: $x = 1 + 2t,\ y = -1 + t,\ z = 1 + 3t$ .
Punt P(5, 1, 7). $1 + 2t = 5 \Rightarrow t = 2$ ; $-1 + t = 1 \Rightarrow t = 2$ ; $1 + 3t = 7 \Rightarrow t = 2$ . El mateix valor a les tres equacions: P pertany a r.
Punt Q(3, 0, 5). $1 + 2t = 3 \Rightarrow t = 1$ ; $-1 + t = 0 \Rightarrow t = 1$ ; però $1 + 3t = 5 \Rightarrow t = \tfrac{4}{3}$ . Els valors no coincideixen: Q no pertany a r.
Compte! Error típic: comprovar només una o dues coordenades; cal que les tres donin el mateix t.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 10

Expressa la recta r: x = 1 + 2t, y = -t, z = 3 + t com a intersecció de dos plans (equacions implícites).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 10

Resultat

r:\ \begin{cases} x + 2y - 1 = 0 \\ y + z - 3 = 0 \end{cases}

Resolució

Equació contínua. Aïllem el paràmetre: $t = \tfrac{x-1}{2}$ , $t = -y$ , $t = z - 3$ . Per tant $\dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y}{-1} = \dfrac{z-3}{1}$
Primer pla. Igualant el primer i el segon membre: $x - 1 = -2y \Rightarrow x + 2y - 1 = 0$ .
Segon pla. Igualant el segon i el tercer: $-y = z - 3 \Rightarrow y + z - 3 = 0$ .
Comprovació. El punt $(1, 0, 3)$ ( $t = 0$ ) compleix $1 + 0 - 1 = 0$ i $0 + 3 - 3 = 0$ , i el director $(2, -1, 1)$ és perpendicular als dos normals: $(2,-1,1)\cdot(1,2,0) = 2 - 2 = 0$ i $(2,-1,1)\cdot(0,1,1) = -1 + 1 = 0$ .

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell intermedi

Exercici 11

Com s'obté un vector unitari amb la mateixa direcció que un vector v donat?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 11

Resultat

Es divideix el vector pel seu mòdul:

\vec u = \dfrac{\vec v}{|\vec v|}

Resolució

Què es demana. Un vector de mòdul 1 (unitari) amb la mateixa direcció que $\vec v$ .
Normalització. Divideix cada component de $\vec v$ pel seu mòdul: $\vec u = \dfrac{\vec v}{|\vec v|}$ . Com que només el multipliques per un nombre positiu, conserva la direcció i el sentit.
Comprovació. $|\vec u| = \dfrac{|\vec v|}{|\vec v|} = 1$ . Per exemple, si $\vec v = (3, 4, 0)$ , $|\vec v| = 5$ i $\vec u = \left(\tfrac{3}{5}, \tfrac{4}{5}, 0\right)$ .
Conclusió. El vector unitari en la direcció de $\vec v$ és $\vec v/|\vec v|$ (si vols el sentit contrari, $-\vec v/|\vec v|$ ).

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 12

Calcula el cosinus de l'angle entre els vectors u = (1, 0, -1) i v = (2, 1, 0).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 12

Resultat

\cos\alpha = \dfrac{2}{\sqrt{10}} = \dfrac{\sqrt{10}}{5} \approx 0{,}63

(

\alpha \approx 50{,}8^{\circ}

)

Resolució

Fórmula. L'angle entre dos vectors es troba amb $\cos\alpha = \dfrac{\vec u\cdot\vec v}{|\vec u|\,|\vec v|}$ .
Producte escalar. $\vec u\cdot\vec v = 1\cdot2 + 0\cdot1 + (-1)\cdot0 = 2$ .
Mòduls. $|\vec u| = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}$ i $|\vec v| = \sqrt{4 + 1 + 0} = \sqrt{5}$ .
Resultat. $\cos\alpha = \dfrac{2}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{5}} = \dfrac{2}{\sqrt{10}} \approx 0{,}63$ un angle proper a $50^{\circ}$ ( $\alpha \approx 50{,}8^{\circ}$ ).

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 13

Una recta ve donada com a intersecció dels plans x + y + z - 1 = 0 i x - y + z - 3 = 0. Escriu-ne les equacions paramètriques.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 13

Resultat

r:\ x = 2 + t,\ y = -1,\ z = -t

Resolució

Plantejament. Una recta escrita com a tall de dos plans té per vector director el producte vectorial dels dos vectors normals, perquè el director és paral·lel als dos plans alhora.
Director. Amb $\vec n_{1} = (1, 1, 1)$ i $\vec n_{2} = (1, -1, 1)$ : $\vec d = \vec n_{1}\times\vec n_{2} = \big(1\cdot1 - 1\cdot(-1),\ 1\cdot1 - 1\cdot1,\ 1\cdot(-1) - 1\cdot1\big) = (2, 0, -2)$ que podem simplificar a $(1, 0, -1)$ .
Un punt. Donem un valor, per exemple $z = 0$ , i resolem $x + y = 1,\ x - y = 3$ . Sumant: $2x = 4$ , $x = 2$ ; per tant $y = -1$ . Un punt és $P(2, -1, 0)$ .
Equacions paramètriques. Punt més múltiple del director: $x = 2 + t,\ y = -1,\ z = -t$ .
Comprovació. Substituint als dos plans: $(2 + t) - 1 - t - 1 = 0$ i $(2 + t) + 1 - t - 3 = 0$ per a qualsevol t.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 14

Troba l'equació del pla mediador del segment de punts P = (2, 0, 1) i Q = (4, 2, 3) (el pla format per tots els punts que estan a la mateixa distància de P que de Q).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 14

Resultat

x + y + z - 6 = 0

Resolució

Plantejament. El pla mediador passa pel punt mitjà de PQ i té com a vector normal el vector $\overrightarrow{PQ}$ .
Punt mitjà. $M = \left(\tfrac{2+4}{2},\ \tfrac{0+2}{2},\ \tfrac{1+3}{2}\right) = (3, 1, 2)$ .
Vector normal. $\overrightarrow{PQ} = Q - P = (2, 2, 2)$ , que simplifiquem a $(1, 1, 1)$ .
Equació. $1(x-3) + 1(y-1) + 1(z-2) = 0$ , és a dir, $x + y + z - 6 = 0$ .
Comprovació. M compleix $3 + 1 + 2 - 6 = 0$ . Tot punt d'aquest pla és equidistant de P i Q; per exemple, $X(6, 0, 0)$ : $|XP| = |XQ| = \sqrt{17}$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 15

Troba la recta perpendicular al pla π: x - 2y + 2z = 10 que passa pel punt P(1, 1, 1), el punt on talla el pla (projecció ortogonal de P) i la distància de P a π.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 15

Resultat

Recta:

x = 1 + t,\ y = 1 - 2t,\ z = 1 + 2t

; projecció

Q(2, -1, 3)

;

d(P, \pi) = 3

Resolució

Recta perpendicular. Té com a director el vector normal del pla, $\vec n = (1, -2, 2)$ : $r:\ x = 1 + t,\ y = 1 - 2t,\ z = 1 + 2t$ .
Intersecció amb el pla. Substituïm a $\pi$ : $(1 + t) - 2(1 - 2t) + 2(1 + 2t) = 10 \;\Rightarrow\; 9t + 1 = 10 \;\Rightarrow\; t = 1$
Projecció ortogonal. Per a $t = 1$ : $Q(2, -1, 3)$ .
Distància. $|\overrightarrow{PQ}| = |(1, -2, 2)| = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3$ .
Comprovació amb la fórmula. $d(P, \pi) = \dfrac{|1 - 2 + 2 - 10|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \dfrac{9}{3} = 3$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 16

Estudia la posició relativa de la recta r: (x, y, z) = (1, 0, 2) + t·(1, 1, -1) i el pla π: 2x + y + 3z = 5. Si són paral·lels, calcula la distància entre ells.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 16

Resultat

r i

\pi

són paral·lels;

d(r, \pi) = \dfrac{3}{\sqrt{14}} \approx 0{,}80

unitats.

Resolució

Director i normal. $\vec u = (1, 1, -1)$ , $\vec n = (2, 1, 3)$ : $\vec u\cdot\vec n = 2 + 1 - 3 = 0$ , així que la recta és paral·lela al pla o hi està continguda. (Si $\vec u\cdot\vec n$ hagués estat diferent de zero, la recta tallaria el pla en un sol punt.)
Un punt de r. $A(1, 0, 2)$ : $2\cdot1 + 0 + 3\cdot2 = 8 \neq 5$ . No és del pla: r i $\pi$ són paral·lels (cap punt comú).
Distància. És la de qualsevol punt de r al pla: $d = \dfrac{|8 - 5|}{\sqrt{4 + 1 + 9}} = \dfrac{3}{\sqrt{14}} \approx 0{,}80$
Conclusió. La recta és paral·lela al pla, a una distància d'unes $0{,}80$ unitats.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 17

Troba l'equació general del pla que conté la recta r: $\tfrac{(x - 1)}{2}$ = $\tfrac{y}{1}$ = $\tfrac{(z + 1)}{(-1)}$ i passa pel punt P(0, 1, 2).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 17

Resultat

\pi:\ 4x - 5y + 3z - 1 = 0

Resolució

Dades de r. Punt $A(1, 0, -1)$ i director $\vec u = (2, 1, -1)$ . Segon vector del pla: $\overrightarrow{AP} = (0-1,\ 1-0,\ 2-(-1)) = (-1, 1, 3)$ .
Vector normal. $\vec n = \vec u\times\overrightarrow{AP} = \big(1\cdot3 - (-1)\cdot1,\ (-1)\cdot(-1) - 2\cdot3,\ 2\cdot1 - 1\cdot(-1)\big) = (4, -5, 3)$
Equació. $4x - 5y + 3z + D = 0$ . Amb A: $4 - 0 - 3 + D = 0 \Rightarrow D = -1$ . Per tant $\pi:\ 4x - 5y + 3z - 1 = 0$ .
Comprovació. P: $0 - 5 + 6 - 1 = 0$ ; el punt $(3, 1, -2)$ de r ( $t = 1$ ): $12 - 5 - 6 - 1 = 0$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 18

Calcula l'angle que formen els plans $π_{1}$ : x + y = 2 i $π_{2}$ : x + z = 5.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 18

Resultat

\alpha = 60^{\circ}

Resolució

Plantejament. L'angle entre dos plans és l'angle (agut) entre els seus vectors normals: $\vec n_{1} = (1, 1, 0)$ i $\vec n_{2} = (1, 0, 1)$ .
Compte amb els zeros. La coordenada que falta a cada equació (z a $\pi_{1}$ , y a $\pi_{2}$ ) és un 0 al vector normal; cal tenir-ho present en fer el producte.
Càlcul. $\cos\alpha = \dfrac{|\vec n_{1}\cdot\vec n_{2}|}{|\vec n_{1}|\,|\vec n_{2}|} = \dfrac{|1 + 0 + 0|}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \dfrac{1}{2}$
Conclusió. $\alpha = \arccos\tfrac{1}{2} = 60^{\circ}$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 19

Donats la recta r: (x, y, z) = (0, 0, 1) + t·(1, 2, 2) i el pla π: 2x + 2y + z = 9, calcula el punt on es tallen i l'angle que formen.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 19

Resultat

Punt de tall

(1, 2, 3)

; angle

\alpha = \arcsin\tfrac{8}{9} \approx 62{,}73^{\circ}

Resolució

Punt de tall. Substituïm $x = t,\ y = 2t,\ z = 1 + 2t$ a $\pi$ : $2t + 4t + 1 + 2t = 9 \Rightarrow 8t = 8 \Rightarrow t = 1$ . Punt: $(1, 2, 3)$ .
Angle recta-pla. El sinus de l'angle $\alpha$ és el cosinus de l'angle entre el director $\vec u = (1, 2, 2)$ i la normal $\vec n = (2, 2, 1)$ .
Càlcul. $\sin\alpha = \dfrac{|\vec u\cdot\vec n|}{|\vec u|\,|\vec n|} = \dfrac{|2 + 4 + 2|}{3\cdot3} = \dfrac{8}{9} \;\Rightarrow\; \alpha = \arcsin\dfrac{8}{9} \approx 62{,}73^{\circ}$
Compte! Error típic: fer servir el cosinus en lloc del sinus; amb $\cos\alpha = \tfrac{8}{9}$ sortiria l'angle entre la recta i la normal ( $27{,}27^{\circ}$ ), que és el complementari.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 20

Calcula el punt simètric de P(2, 3, 4) respecte del pla π: x - y + 2z + 5 = 0.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 20

Resultat

P'(-2, 7, -4)

Resolució

Recta perpendicular. Per P amb director $\vec n = (1, -1, 2)$ : $(2 + t,\ 3 - t,\ 4 + 2t)$ .
Peu de la perpendicular. $(2 + t) - (3 - t) + 2(4 + 2t) + 5 = 0 \Rightarrow 6t + 12 = 0 \Rightarrow t = -2$ . Punt $M(0, 5, 0)$ .
Simètric. M és el punt mitjà entre P i el simètric P': $P' = 2M - P = (0 - 2,\ 10 - 3,\ 0 - 4) = (-2, 7, -4)$
Comprovació. $d(P, \pi) = \dfrac{|2 - 3 + 8 + 5|}{\sqrt{6}} = \dfrac{12}{\sqrt{6}}$ i $d(P', \pi) = \dfrac{|-2 - 7 - 8 + 5|}{\sqrt{6}} = \dfrac{12}{\sqrt{6}}$ : iguals, i P i P' donen signes oposats (estan a bandes diferents del pla).

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 21

Calcula la distància del punt P(6, 2, 6) a la recta r: $\tfrac{(x - 1)}{2}$ = $\tfrac{y}{2}$ = $\tfrac{(z - 2)}{1}$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 21

Resultat

d(P, r) = 3

unitats

Resolució

Dades. Punt de r: $A(1, 0, 2)$ ; director $\vec u = (2, 2, 1)$ , amb $|\vec u| = \sqrt{4 + 4 + 1} = 3$ . Vector $\overrightarrow{AP} = (5, 2, 4)$ .
Fórmula amb el producte vectorial. $d(P, r) = \dfrac{|\overrightarrow{AP}\times\vec u|}{|\vec u|}$ .
Càlcul. $\overrightarrow{AP}\times\vec u = (2\cdot1 - 4\cdot2,\ 4\cdot2 - 5\cdot1,\ 5\cdot2 - 2\cdot2) = (-6, 3, 6)$ , de mòdul $\sqrt{36 + 9 + 36} = \sqrt{81} = 9$ . Per tant $d(P, r) = \tfrac{9}{3} = 3$ .
Comprovació per l'altre mètode. El punt genèric de r és $(1 + 2t,\ 2t,\ 2 + t)$ ; imposant que el vector fins a P sigui perpendicular a $\vec u$ : $2(5 - 2t) + 2(2 - 2t) + (4 - t) = 18 - 9t = 0 \Rightarrow t = 2$ , peu $Q(5, 4, 4)$ i $|\overrightarrow{PQ}| = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell avançat

Exercici 22

Calcula el volum del tetraedre de vèrtexs A(1, 1, 1), B(3, 0, 1), C(2, 2, 0) i D(0, 1, 3).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 22

Resultat

V = \dfrac{5}{6} \approx 0{,}83

unitats cúbiques

Resolució

Fórmula. El producte mixt de tres vectors dona (en valor absolut) el volum del paral·lelepípede que formen, i el del tetraedre n'és una sisena part: $V = \tfrac{1}{6}\,\big|[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}]\big|$ .
Vectors des de A. $\overrightarrow{AB} = (2, -1, 0)$ , $\overrightarrow{AC} = (1, 1, -1)$ i $\overrightarrow{AD} = (-1, 0, 2)$ .
Producte vectorial. $\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD} = \big(1\cdot2 - (-1)\cdot0,\ (-1)\cdot(-1) - 1\cdot2,\ 1\cdot0 - 1\cdot(-1)\big) = (2, -1, 1)$ .
Producte mixt. $\overrightarrow{AB}\cdot(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{AD}) = (2, -1, 0)\cdot(2, -1, 1) = 4 + 1 + 0 = 5$ .
Volum. El paral·lelepípede té volum $|5| = 5$ i el tetraedre $V = \tfrac{5}{6} \approx 0{,}83$ u³. Com que el mixt no és zero, els quatre punts no són coplanaris i el tetraedre existeix de debò.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 23

Donats els punts A(2, 1, 0), B(1, 3, 2) i C(0, 0, 1), troba l'equació general del pla que els conté i, com que |u × v| ja el tens, calcula també l'àrea del triangle ABC.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 23

Resultat

\pi:\ 4x - 3y + 5z - 5 = 0

; àrea

= \dfrac{5\sqrt{2}}{2} \approx 3{,}54

unitats quadrades.

Resolució

Vectors del pla. Des de A: $\vec u = \overrightarrow{AB} = (-1, 2, 2)$ i $\vec v = \overrightarrow{AC} = (-2, -1, 1)$ .
Vector normal. $\vec n = \vec u\times\vec v = \big(2\cdot1 - 2\cdot(-1),\ 2\cdot(-2) - (-1)\cdot1,\ (-1)\cdot(-1) - 2\cdot(-2)\big) = (4, -3, 5)$
Equació del pla. Per $A(2, 1, 0)$ : $4(x - 2) - 3(y - 1) + 5(z - 0) = 0$ , és a dir, $4x - 3y + 5z - 5 = 0$ . Comprovació amb C: $0 - 0 + 5 - 5 = 0$ .
Àrea. $|\vec u\times\vec v|$ és l'àrea del paral·lelogram: $|\vec n| = \sqrt{16 + 9 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$ . L'àrea del triangle n'és la meitat: $S = \dfrac{5\sqrt{2}}{2} \approx 3{,}54$

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 24

Estudia la posició relativa de les rectes r (passa per A(1, 0, 0) amb director u = (1, 0, 1)) i s (passa per B(0, 1, 0) amb director v = (0, 1, 1)). Si es tallen, troba el punt de tall.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 24

Resultat

Les rectes són secants: es tallen al punt

(0, 0, -1)

Resolució

Directors. $\vec u = (1, 0, 1)$ i $\vec v = (0, 1, 1)$ no són proporcionals: les rectes no són ni paral·leles ni coincidents; només poden ser secants o encreuar-se.
Criteri del producte mixt. Si $[\overrightarrow{AB}, \vec u, \vec v] = 0$ , les rectes són coplanàries i, per tant, es tallen; si no, s'encreuen.
Càlcul. $\overrightarrow{AB} = (-1, 1, 0)$ , $\vec u\times\vec v = (0\cdot1 - 1\cdot1,\ 1\cdot0 - 1\cdot1,\ 1\cdot1 - 0\cdot0) = (-1, -1, 1)$ i $\overrightarrow{AB}\cdot(\vec u\times\vec v) = 1 - 1 + 0 = 0$ : són secants.
Punt de tall. $r:\ (1 + t,\ 0,\ t)$ , $s:\ (0,\ 1 + p,\ p)$ . De la x: $1 + t = 0 \Rightarrow t = -1$ ; de la y: $0 = 1 + p \Rightarrow p = -1$ ; la z: $t = p$ , coherent.
Conclusió. Amb $t = -1$ a r el punt de tall és $(0, 0, -1)$ (i a s amb $p = -1$ surt el mateix).

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 25

Considera els plans $π_{1}$ : x + y + z = 1, $π_{2}$ : 2x - y + z = 3 i $π_{3}$ : x + ay + 2z = 0.
a) Discuteix, segons el valor del paràmetre a, la posició relativa dels tres plans.
b) Per al valor de a en què no es tallen en un sol punt, troba les equacions paramètriques de la recta que tenen en comú.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 25

Apartat a)

Resultat

a \neq 4

: els tres plans es tallen en un únic punt. Si

a = 4

: es tallen en una recta (feix de plans).

Resolució

Plantejament. Estudiem el sistema format per les tres equacions amb el determinant de la matriu de coeficients (teorema de Rouché-Fröbenius).
Determinant. $\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \\ 1 & a & 2 \end{vmatrix} = 1\cdot(-2 - a) - 1\cdot(4 - 1) + 1\cdot(2a + 1) = a - 4$
Cas $a \neq 4$ . $\det \neq 0$ : sistema compatible determinat, els tres plans es tallen en un únic punt.
Cas $a = 4$ . $\operatorname{rang}(A) = 2$ . Fixa't que $3\pi_{1} - \pi_{2}$ dona $(3-2)x + (3+1)y + (3-1)z = 3 - 3$ , és a dir, $x + 4y + 2z = 0$ , que és exactament $\pi_{3}$ . Per tant $\operatorname{rang}(A|B) = 2$ : compatible indeterminat, i els tres plans (diferents) passen per una mateixa recta.

Apartat b)

Resultat

Per a

a = 4

x = 2 + 2t,\ y = t,\ z = -1 - 3t

Resolució

Plantejament. La recta comuna és la intersecció de $\pi_{1}$ i $\pi_{2}$ ( $\pi_{3}$ n'és combinació).
Director. $\vec n_{1}\times\vec n_{2} = (1, 1, 1)\times(2, -1, 1) = \big(1\cdot1 - 1\cdot(-1),\ 1\cdot2 - 1\cdot1,\ 1\cdot(-1) - 1\cdot2\big) = (2, 1, -3)$ .
Un punt. Amb $y = 0$ : $x + z = 1$ i $2x + z = 3 \Rightarrow x = 2,\ z = -1$ : $A(2, 0, -1)$ . Comprovem $\pi_{3}$ : $2 + 0 - 2 = 0$ .
Recta. $x = 2 + 2t,\ y = t,\ z = -1 - 3t$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 26

Siguin les rectes r: (x - 1)/1 = (y - 2)/1 = z/2 i s: x = 2 + λ, y = a + 2λ, z = 2 + λ.
a) Determina el valor de a perquè r i s es tallin, i troba el punt de tall.
b) Quina és la posició relativa de r i s per als altres valors de a?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 26

Apartat a)

Resultat

a = 3

; punt de tall

(2, 3, 2)

Resolució

Dades. r passa per $A(1, 2, 0)$ amb director $\vec u = (1, 1, 2)$ ; s passa per $B(2, a, 2)$ amb director $\vec v = (1, 2, 1)$ . Com que $\vec u$ i $\vec v$ no són proporcionals, no poden ser paral·leles: o es tallen o s'encreuen.
Condició de tall. Es tallen si $\overrightarrow{AB} = (1, a - 2, 2)$ , $\vec u$ i $\vec v$ són coplanaris: $\det(\overrightarrow{AB}, \vec u, \vec v) = 1\cdot(1 - 4) - (a - 2)\cdot(1 - 2) + 2\cdot(2 - 1) = a - 3 = 0 \;\Rightarrow\; a = 3$
Punt de tall. Igualem $(1 + t,\ 2 + t,\ 2t) = (2 + \lambda,\ 3 + 2\lambda,\ 2 + \lambda)$ . De la primera, $t = 1 + \lambda$ ; a la segona, $3 + \lambda = 3 + 2\lambda \Rightarrow \lambda = 0$ , $t = 1$ . Tercera: $2\cdot1 = 2 + 0$ , correcte.
Conclusió. Per a $a = 3$ les rectes es tallen al punt $(2, 3, 2)$ .

Apartat b)

Resultat

a \neq 3

, r i s s'encreuen.

Resolució

Determinant. Si $a \neq 3$ , $\det(\overrightarrow{AB}, \vec u, \vec v) = a - 3 \neq 0$ : els tres vectors no són coplanaris.
Conclusió. Les rectes no es tallen i tampoc no són paral·leles (els directors no són proporcionals): s'encreuen.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 27

Donats la recta r: x = 1 + t, y = t, z = 2 + t i el pla π: 2x - y + z = 0:
a) Troba l'equació del pla π' que conté r i és perpendicular a π.
b) Troba les equacions paramètriques de la projecció ortogonal de r sobre π.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 27

Apartat a)

Resultat

\pi':\ 2x + y - 3z + 4 = 0

Resolució

Dades. Director de r: $\vec u = (1, 1, 1)$ ; normal de $\pi$ : $\vec n = (2, -1, 1)$ . Com que $\vec u\cdot\vec n = 2 - 1 + 1 = 2 \neq 0$ , r talla $\pi$ .
Normal de $\pi'$ . $\pi'$ ha de contenir $\vec u$ (conté r) i també $\vec n$ (és perpendicular a $\pi$ ): $\vec n' = \vec u\times\vec n = \big(1\cdot1 - 1\cdot(-1),\ 1\cdot2 - 1\cdot1,\ 1\cdot(-1) - 1\cdot2\big) = (2, 1, -3)$
Equació. $2x + y - 3z + D = 0$ ; amb el punt $(1, 0, 2)$ de r: $2 - 6 + D = 0 \Rightarrow D = 4$ . Per tant $\pi':\ 2x + y - 3z + 4 = 0$ .

Apartat b)

Resultat

x = -1 + s,\ y = -2 + 4s,\ z = 2s

Resolució

Plantejament. La projecció de r sobre $\pi$ és la recta intersecció de $\pi'$ i $\pi$ : $\{2x + y - 3z + 4 = 0,\ 2x - y + z = 0\}$ .
Director. $\vec n'\times\vec n = (2, 1, -3)\times(2, -1, 1) = \big(1\cdot1 - (-3)\cdot(-1),\ (-3)\cdot2 - 2\cdot1,\ 2\cdot(-1) - 1\cdot2\big) = (-2, -8, -4)$ , proporcional a $(1, 4, 2)$ .
Un punt. El de tall de r amb $\pi$ : $2(1 + t) - t + 2 + t = 0 \Rightarrow 2t + 4 = 0 \Rightarrow t = -2$ , punt $(-1, -2, 0)$ , que compleix les dues equacions.
Projecció. $x = -1 + s,\ y = -2 + 4s,\ z = 2s$ . Comprovació: $(1, 4, 2)\cdot(2, -1, 1) = 2 - 4 + 2 = 0$ , el director és paral·lel a $\pi$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 28

Donades les rectes r: (x, y, z) = (0, 0, 1) + t·(1, 1, 1) i s: (x, y, z) = (2, 2, 0) + λ·(1, -1, 0), comprova que s'encreuen i calcula la distància entre elles.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 28

Resultat

S'encreuen (

\det = 6 \neq 0

);

d(r, s) = \sqrt{6} \approx 2{,}45

unitats.

Resolució

Dades. Directors $\vec u = (1, 1, 1)$ i $\vec v = (1, -1, 0)$ , no proporcionals: no són paral·leles. Punts $A(0, 0, 1)$ de r i $B(2, 2, 0)$ de s; $\overrightarrow{AB} = (2, 2, -1)$ .
Posició relativa. $\det(\overrightarrow{AB}, \vec u, \vec v) = 2\cdot(1\cdot0 - 1\cdot(-1)) - 2\cdot(1\cdot0 - 1\cdot1) + (-1)\cdot(1\cdot(-1) - 1\cdot1) = 2 + 2 + 2 = 6 \neq 0$ els tres vectors no són coplanaris: les rectes s'encreuen.
Fórmula de la distància. $d(r, s) = \dfrac{|\det(\overrightarrow{AB}, \vec u, \vec v)|}{|\vec u\times\vec v|}$ , amb $\vec u\times\vec v = (1\cdot0 - 1\cdot(-1),\ 1\cdot1 - 1\cdot0,\ 1\cdot(-1) - 1\cdot1) = (1, 1, -2)$ , de mòdul $\sqrt{6}$ .
Càlcul. $d(r, s) = \dfrac{6}{\sqrt{6}} = \sqrt{6} \approx 2{,}45$ unitats.
Interpretació. $|\det|$ és el volum del paral·lelepípede format per $\overrightarrow{AB}$ , $\vec u$ i $\vec v$ , i $|\vec u\times\vec v|$ l'àrea de la base; el quocient és l'altura, que és la distància entre les rectes.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 29

Troba els punts de la recta r: (x, y, z) = (1, 1, 0) + t·(2, -1, 2) que estan a distància 4 del pla π: x + 2y - 2z = 7. Raona primer per què n'hi ha exactament dos.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 29

Resultat

(5, -1, 4)

(-7, 5, -8)

Resolució

Per què n'hi ha dos. $\vec u = (2, -1, 2)$ , $\vec n = (1, 2, -2)$ : $\vec u\cdot\vec n = 2 - 2 - 4 = -4 \neq 0$ , la recta talla el pla. En allunyar-se del punt de tall cap a una banda o l'altra, la distància creix, així que hi ha exactament un punt a distància 4 a cada banda.
Punt genèric. $P(t) = (1 + 2t,\ 1 - t,\ 2t)$ . Distància al pla: $d = \dfrac{|(1 + 2t) + 2(1 - t) - 2\cdot2t - 7|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \dfrac{|-4t - 4|}{3}$
Equació. $\dfrac{|-4t - 4|}{3} = 4 \Rightarrow |t + 1| = 3 \Rightarrow t = 2$ o $t = -4$ .
Punts. $t = 2 \Rightarrow (5, -1, 4)$ ; $t = -4 \Rightarrow (-7, 5, -8)$ .
Comprovació. $(5, -1, 4)$ : $\tfrac{|5 - 2 - 8 - 7|}{3} = \tfrac{12}{3} = 4$ ; $(-7, 5, -8)$ : $\tfrac{|-7 + 10 + 16 - 7|}{3} = \tfrac{12}{3} = 4$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 30

Donats el punt P(2, 3, 5) i la recta r: (x, y, z) = (1, 1, 0) + t·(1, 0, 1):
a) Troba la projecció ortogonal de P sobre r.
b) Calcula el punt simètric de P respecte de r i la distància de P a r.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 30

Apartat a)

Resultat

Projecció ortogonal:

Q(4, 1, 3)

Resolució

Punt genèric de r. $Q(t) = (1 + t,\ 1,\ t)$ , i $\overrightarrow{PQ} = (t - 1,\ -2,\ t - 5)$ .
Condició de perpendicularitat. $\overrightarrow{PQ}$ ha de ser perpendicular al director $\vec u = (1, 0, 1)$ : $(t - 1) + 0 + (t - 5) = 2t - 6 = 0 \Rightarrow t = 3$ .
Conclusió. La projecció de P sobre r és $Q(4, 1, 3)$ .

Apartat b)

Resultat

Simètric

P'(6, -1, 1)

;

d(P, r) = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46

unitats.

Resolució

Simètric. Q és el punt mitjà entre P i P': $P' = 2Q - P = (8 - 2,\ 2 - 3,\ 6 - 5) = (6, -1, 1)$ .
Distància. $d(P, r) = |\overrightarrow{PQ}| = |(2, -2, -2)| = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46$ .
Comprovació. $|\overrightarrow{P'Q}| = |(-2, 2, 2)| = \sqrt{12}$ , la mateixa distància, i $\overrightarrow{PQ}\cdot\vec u = 2 + 0 - 2 = 0$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preparat per a la universitat

Els exercicis més exigents: nivell PAU alt i primer curs de grau. Veure totes les matèries

Exercici 31

Un dron segueix la trajectòria rectilínia $P(t)=(1,-2,25)+t\,(2,2,-1)$ (coordenades en metres, $t$ en segons, $z$ és l'alçada). La coberta d'un edifici és el pla $\pi:\ x+2y+2z=67$ (la considerem il·limitada) i a $A(6,0,21)$ hi ha una antena.
a) En quin instant i en quin punt xoca el dron amb la coberta? Quina és la seva velocitat?
b) Amb quin angle respecte de la coberta hi impacta?
c) Calcula la distància mínima entre l'antena i la trajectòria i l'instant en què el dron passa pel punt de la trajectòria més proper a l'antena. Hi ha risc de col·lisió si la zona de seguretat al voltant de l'antena és de 3,5 m?
d) Comprova que l'antena és «a l'aire» (al mateix costat de la coberta que el punt de sortida del dron) i calcula la seva distància a la coberta.

Pista 1

El dron toca la coberta quan el punt $P(t)$ satisfà l'equació del pla: substitueix-hi les tres coordenades.

Pista 2

L'angle entre una recta i un pla es calcula amb el sinus (no el cosinus) de l'angle entre el vector director i la normal.

Pista 3

Per a c) pots usar $d=\dfrac{|\overrightarrow{P_0A}\times\vec v|}{|\vec v|}$ i, per saber l'instant, la projecció de $\overrightarrow{P_0A}$ sobre $\vec v$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 31

Apartat a)

Resultat

Xoca a

t = 5\ \text{s}

al punt

(11, 8, 20)

; velocitat

|\vec v| = 3\ \text{m/s}

Resolució

Plantejament. El dron toca la coberta quan $P(t) = (1 + 2t,\ -2 + 2t,\ 25 - t)$ satisfà l'equació del pla.
Intersecció recta-pla. $(1 + 2t) + 2(-2 + 2t) + 2(25 - t) = 47 + 4t = 67 \iff t = 5\ \text{s}$
Punt d'impacte. $P(5) = (11, 8, 20)$ .
Velocitat. És el mòdul del vector director (m per s): $|\vec v| = \sqrt{4 + 4 + 1} = 3\ \text{m/s}$ .

Apartat b)

Resultat

\theta = \arcsin\tfrac{4}{9} \approx 26{,}4^{\circ}

respecte de la coberta.

Resolució

Dades. $\vec v = (2, 2, -1)$ i la normal $\vec n = (1, 2, 2)$ , amb $|\vec n| = 3$ .
Angle recta-pla. Es calcula amb el sinus: $\sin\theta = \dfrac{|\vec v\cdot\vec n|}{|\vec v|\,|\vec n|} = \dfrac{|2 + 4 - 2|}{3\cdot3} = \dfrac{4}{9} \;\Rightarrow\; \theta \approx 26{,}4^{\circ}$
Interpretació. L'impacte és força rasant. Si fessis servir el cosinus obtindries l'angle amb la normal ( $63{,}6^{\circ}$ ), que és el complementari.

Apartat c)

Resultat

d_{\min} = 3\ \text{m}

t = 2\ \text{s}

(punt

(5, 2, 23)

); com que

3 < 3{,}5

, hi ha risc.

Resolució

Dades. $P_{0} = (1, -2, 25)$ i $\vec w = \overrightarrow{P_{0}A} = (5, 2, -4)$ .
Distància punt-recta. $\vec w\times\vec v = (6, -3, 6)$ , de mòdul 9, i $d = \dfrac{|\vec w\times\vec v|}{|\vec v|} = \dfrac{9}{3} = 3\ \text{m}$
Instant. Projecció de $\vec w$ sobre $\vec v$ : $t = \dfrac{\vec w\cdot\vec v}{\vec v\cdot\vec v} = \dfrac{18}{9} = 2\ \text{s}$ , és a dir, $P(2) = (5, 2, 23)$ . Comprovació: $|A - P(2)| = |(1, -2, -2)| = 3$ .
Conclusió. Com que $t = 2$ s és anterior a l'impacte ( $t = 5$ s), aquesta mínima aproximació es produeix realment. I com que $3 < 3{,}5$ , el dron entra a la zona de seguretat: hi ha risc de col·lisió.

Apartat d)

Resultat

L'antena és al mateix costat que

P_{0}

(a l'aire);

d(A, \pi) = \tfrac{19}{3} \approx 6{,}33\ \text{m}

Resolució

Criteri. Dos punts són al mateix costat del pla si $x + 2y + 2z - 67$ hi té el mateix signe.
Càlcul. $x + 2y + 2z$ val 47 a $P_{0}$ i 48 a l'antena, tots dos menors que 67: són al mateix costat de la coberta (a l'aire).
Distància. $d(A, \pi) = \dfrac{|48 - 67|}{3} = \dfrac{19}{3} \approx 6{,}33\ \text{m}$

Errors típics

Calcular l'angle amb el cosinus i obtenir l'angle amb la normal ( $63{,}6^\circ$ ) en lloc de l'angle amb el pla.
Oblidar dividir per $|\vec v|$ en la distància d'un punt a una recta.
Considerar que el punt més proper a l'antena és el d'impacte; cal minimitzar la distància sobre tota la trajectòria.
Comparar la distància mínima a la recta sense comprovar que s'assoleix abans de l'impacte.

Conceptes treballats: equacions d'una recta i d'un pla, intersecció recta-pla, angle recta-pla, distància d'un punt a una recta i a un pla, posició relativa respecte d'un pla.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 32

Dues avionetes volen en línia recta amb velocitat constant. Prenent com a unitats el km i el minut ( $z$ és l'altitud), les seves posicions són $P(t)=(0,0,2)+t\,(2,2,0)$ i $Q(t)=(20,-1,2{,}3)+t\,(-2,2,0)$ .
a) Demostra que les trajectòries (rectes) no es tallen i calcula la distància entre aquestes dues rectes.
b) Troba el punt de cada recta que determina aquesta distància mínima i en quin instant hi passa cada avioneta. Poden xocar?
c) Calcula la distància entre les avionetes en funció del temps, l'instant de màxima proximitat i aquesta distància mínima. Si el protocol exigeix almenys 1,2 km de separació en tot moment, es compleix?
d) Per què la distància mínima entre les rectes no coincideix amb la mínima distància entre les avionetes?

Pista 1

Dues rectes que no són paral·leles ni es tallen es creuen: la distància es calcula amb el producte mixt dividit pel mòdul del producte vectorial dels vectors directors.

Pista 2

El segment mínim entre les rectes és perpendicular a totes dues; imposa $\overrightarrow{PQ}\cdot\vec u=0$ i $\overrightarrow{PQ}\cdot\vec w=0$ amb paràmetres diferents.

Pista 3

A c), el temps és el mateix per a totes dues avionetes: restes $Q(t)-P(t)$ i minimitzes el quadrat del mòdul.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 32

Apartat a)

Resultat

Les rectes es creuen (producte mixt

2{,}4 \neq 0

);

d(r, s) = 0{,}3\ \text{km}

Resolució

Directors. $\vec u = (2, 2, 0)$ i $\vec w = (-2, 2, 0)$ , no proporcionals: les rectes no són paral·leles.
Producte mixt. $\vec u\times\vec w = (0, 0, 8)$ i $\overrightarrow{P_{0}Q_{0}} = (20, -1, 0{,}3)$ : $[\overrightarrow{P_{0}Q_{0}}, \vec u, \vec w] = 0{,}3\cdot8 = 2{,}4 \neq 0$ . No són coplanàries: es creuen (no es tallen).
Distància entre rectes. $d = \dfrac{|2{,}4|}{|(0, 0, 8)|} = \dfrac{2{,}4}{8} = 0{,}3\ \text{km}$

Apartat b)

Resultat

Punts

(9{,}5;\ 9{,}5;\ 2)

(9{,}5;\ 9{,}5;\ 2{,}3)

; la primera avioneta hi passa a

t = 4{,}75

min i la segona a

t = 5{,}25

min. No poden xocar.

Resolució

Plantejament. Amb paràmetres diferents, $P(t)$ i $Q(s) = (20 - 2s,\ -1 + 2s,\ 2{,}3)$ : $\overrightarrow{PQ} = (20 - 2s - 2t,\ -1 + 2s - 2t,\ 0{,}3)$ . El segment mínim és perpendicular a les dues rectes.
Perpendicular comuna. $\overrightarrow{PQ}\cdot\vec u = 38 - 8t = 0$ i $\overrightarrow{PQ}\cdot\vec w = -42 + 8s = 0$ , d'on $t = 4{,}75$ i $s = 5{,}25$ .
Punts. $P(4{,}75) = (9{,}5;\ 9{,}5;\ 2)$ i $Q(5{,}25) = (9{,}5;\ 9{,}5;\ 2{,}3)$ : un just a sobre de l'altre.
Conclusió. La primera avioneta hi passa a $t = 4{,}75$ min i la segona a $t = 5{,}25$ min: 30 segons de diferència i $0{,}3$ km de desnivell. A més, les trajectòries no es tallen: no hi ha col·lisió.

Apartat c)

Resultat

d(t) = \sqrt{(20 - 4t)^{2} + 1{,}09}

; mínima a

t = 5

min,

d_{\min} = \sqrt{1{,}09} \approx 1{,}044\ \text{km}

. Com que

1{,}044 < 1{,}2

, el protocol no es compleix.

Resolució

Plantejament. Ara el temps és el mateix per a totes dues: $Q(t) - P(t) = (20 - 4t,\ -1,\ 0{,}3)$ .
Distància al quadrat. $d(t)^{2} = (20 - 4t)^{2} + 1 + 0{,}09 = (20 - 4t)^{2} + 1{,}09$ . Minimitzar $d^{2}$ és més còmode que minimitzar $d$ .
Mínim. El terme $(20 - 4t)^{2}$ s'anul·la a $t = 5$ min, i $d_{\min} = \sqrt{1{,}09} \approx 1{,}044\ \text{km}$ .
Conclusió. Com que $1{,}044 < 1{,}2$ , el protocol de separació no es compleix.

Apartat d)

Resultat

Perquè la distància entre rectes compara punts de cada trajectòria en instants diferents, i les avionetes no arriben alhora als peus de la perpendicular comuna.

Resolució

Distància entre rectes. Considera qualsevol parell de punts, també els que no es donen al mateix temps.
Distància entre avionetes. Només compara posicions simultànies. Les avionetes no estan mai alhora als peus de la perpendicular comuna (4,75 min i 5,25 min), de manera que la seva distància mínima real ( $1{,}044$ km) és més gran que $0{,}3$ km.
Conclusió. Només s'apropiarien a $0{,}3$ km si una d'elles volés mig minut abans o després, de manera que arribessin alhora als peus de la perpendicular comuna.

Errors típics

Calcular la distància entre rectes amb la fórmula punt-recta (només val per a rectes paral·leles).
Confondre «les trajectòries es tallen» amb «els avions xoquen»: cal que passin pel mateix punt al mateix instant.
Minimitzar $d(t)$ en lloc de $d(t)^2$ i complicar-se amb l'arrel, o oblidar que els dos avions comparteixen el paràmetre $t$ .
Treure la conclusió d'a) per a un instant concret sense comprovar-ho amb la funció $d(t)$ .

Conceptes treballats: posició relativa de dues rectes a l'espai, producte vectorial i mixt, distància entre rectes que es creuen, perpendicular comuna, optimització d'una distància en funció del temps.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 33

Un raig làser surt del punt $A(2,2,6)$ , es reflecteix en un mirall pla que ocupa el pla $\pi:\ x+2y+2z=9$ i arriba al detector $B(2,6,2)$ (unitats: dm).
a) Comprova que $A$ i $B$ són al mateix costat de $\pi$ i calcula'n la distància al mirall.
b) Calcula el simètric $B'$ de $B$ respecte de $\pi$ .
c) Troba el punt $R$ del mirall on es reflecteix el raig.
d) Calcula la longitud del recorregut $AR+RB$ i demostra que, per a qualsevol altre punt $X$ del mirall, $AX+XB$ és més gran. Comprova que els angles d'incidència i de reflexió són iguals.

Pista 1

Per saber si dos punts són al mateix costat d'un pla, mira el signe de $x+2y+2z-9$ en cadascun.

Pista 2

El simètric s'obté sumant al punt dues vegades el vector que va del punt al pla en perpendicular: calcula la recta perpendicular a $\pi$ per $B$ i troba'n el peu.

Pista 3

El raig $A\to R\to B$ és com un segment recte $A\to R\to B'$ desplegat: R és el tall de $AB'$ amb $\pi$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 33

Apartat a)

Resultat

A i B són al mateix costat de

\pi

;

d(A, \pi) = d(B, \pi) = 3\ \text{dm}

Resolució

Criteri. Mira el signe de $x + 2y + 2z - 9$ a cada punt; $\vec n = (1, 2, 2)$ , $|\vec n| = 3$ .
Càlcul. A: $2 + 4 + 12 - 9 = 9 > 0$ ; B: $2 + 12 + 4 - 9 = 9 > 0$ . Mateix signe: mateix costat.
Distàncies. $d = \tfrac{9}{3} = 3\ \text{dm}$ per als dos punts.

Apartat b)

Resultat

B'(0, 2, -2)

Resolució

Fórmula del simètric. Se suma a B dues vegades el vector perpendicular que el porta al pla: $B' = B - 2\cdot\dfrac{\vec n\cdot B - 9}{|\vec n|^{2}}\,\vec n$
Càlcul. $B' = (2, 6, 2) - 2\cdot\tfrac{9}{9}\,(1, 2, 2) = (0, 2, -2)$ .
Comprovació. $0 + 4 - 4 - 9 = -9$ : B' és a l'altre costat, a la mateixa distància (3 dm).

Apartat c)

Resultat

R(1, 2, 2)

Resolució

Idea. El raig $A \to R \to B$ és com el segment recte $A \to R \to B'$ desplegat: R és el tall de $AB'$ amb $\pi$ .
Recta AB'. $(2, 2, 6) + \lambda(-2, 0, -8)$ .
Intersecció amb $\pi$ . $(2 - 2\lambda) + 2\cdot2 + 2(6 - 8\lambda) = 18 - 18\lambda = 9 \iff \lambda = \tfrac{1}{2}$ . Per tant $R = (1, 2, 2)$ .

Apartat d)

Resultat

AR + RB = 2\sqrt{17} \approx 8{,}25\ \text{dm}

, el mínim possible; els angles d'incidència i de reflexió són iguals (

\cos = \tfrac{3}{\sqrt{17}}

, uns

43{,}3^{\circ}

Resolució

Longitud. $AR = |(-1, 0, -4)| = \sqrt{17}$ i $RB = |(1, 4, 0)| = \sqrt{17}$ : recorregut $2\sqrt{17} \approx 8{,}25$ dm, que és també $|AB'| = |(-2, 0, -8)| = \sqrt{68}$ .
Mínim (desigualtat triangular). Per a qualsevol $X \in \pi$ , $XB = XB'$ ( $\pi$ és el pla mediador de $BB'$ ), de manera que $AX + XB = AX + XB' \ge AB'$ , amb igualtat només si X és al segment $AB'$ , és a dir, $X = R$ .
Angles. El cosinus de l'angle amb la normal és $\dfrac{(A - R)\cdot\vec n}{|A - R|\,|\vec n|} = \dfrac{9}{3\sqrt{17}} \quad\text{i}\quad \dfrac{(B - R)\cdot\vec n}{|B - R|\,|\vec n|} = \dfrac{9}{3\sqrt{17}}$
Conclusió. Són iguals (uns $43{,}3^{\circ}$ ), com exigeix la llei de la reflexió.

Errors típics

Calcular el simètric de $B$ respecte d'un punt del pla en lloc de respecte del pla.
Fer servir $A$ i $B$ directament (sense reflexió) i buscar el tall de $AB$ amb $\pi$ : no existeix perquè són al mateix costat.
Oblidar dividir per $|\vec n|^2$ en la fórmula del simètric.
Donar per bona la propietat «angles iguals» sense comprovar-la numèricament.

Conceptes treballats: pla i recta perpendicular, simètric d'un punt respecte d'un pla, distància punt-pla, intersecció recta-pla, optimització geomètrica i desigualtat triangular.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 34

Considera la recta $r$ definida com a intersecció dels plans $\pi_1:\ x+y-z=1$ i $\pi_2:\ 2x-y+z=2$ , i el feix de plans que la contenen.
a) Escriu l'equació del feix i el vector normal d'un pla qualsevol del feix.
b) Troba el pla del feix que passa per $P(2,1,1)$ .
c) Troba el pla del feix paral·lel a la direcció $\vec d=(1,2,0)$ .
d) Troba el pla del feix perpendicular al pla $\sigma:\ x-y+2z=0$ .
e) Demostra que tots els plans del feix són paral·lels al vector $(0,1,1)$ i raona per què cap pla del feix pot ser paral·lel al pla $z=0$ .

Pista 1

Els plans que contenen $r$ són $a(x+y-z-1)+b(2x-y+z-2)=0$ , amb $(a,b)\ne(0,0)$ .

Pista 2

Un pla és paral·lel a una direcció si el seu vector normal hi és perpendicular; dos plans són perpendiculars si ho són els seus normals.

Pista 3

A e), calcula la direcció de $r$ : és el producte vectorial dels normals de $\pi_1$ i $\pi_2$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 34

Apartat a)

Resultat

a(x + y - z - 1) + b(2x - y + z - 2) = 0

(a, b) \neq (0, 0)

; normal

\vec n = (a + 2b,\ a - b,\ -a + b)

Resolució

Feix de plans. Tots els plans que contenen r són combinació lineal de $\pi_{1}$ i $\pi_{2}$ : $a(x + y - z - 1) + b(2x - y + z - 2) = 0$ , amb $(a, b) \neq (0, 0)$ ; només importa la raó $a : b$ .
Forma desenvolupada. $(a + 2b)x + (a - b)y + (-a + b)z - (a + 2b) = 0$ .
Vector normal. $\vec n = (a + 2b,\ a - b,\ -a + b)$ .

Apartat b)

Resultat

y - z = 0

(és a dir,

y = z

)

Resolució

Substitució de P. A $P(2, 1, 1)$ : $\pi_{1}$ dona $2 + 1 - 1 - 1 = 1$ i $\pi_{2}$ dona $4 - 1 + 1 - 2 = 2$ . Cal $a\cdot1 + b\cdot2 = 0$ , és a dir, $a + 2b = 0$ .
Pla. Amb $(a, b) = (2, -1)$ : $2(x + y - z - 1) - (2x - y + z - 2) = 3y - 3z = 0$ , és a dir, $y = z$ .

Apartat c)

Resultat

\pi_{2}:\ 2x - y + z = 2

Resolució

Condició. Un pla és paral·lel a una direcció si el seu normal hi és perpendicular: $\vec n\cdot\vec d = (a + 2b) + 2(a - b) = 3a = 0$ , per tant $a = 0$ .
Pla. És $\pi_{2}:\ 2x - y + z = 2$ . Comprovació: $(2, -1, 1)\cdot(1, 2, 0) = 2 - 2 + 0 = 0$ .

Apartat d)

Resultat

3x + y - z = 3

Resolució

Condició. Dos plans són perpendiculars si ho són els seus normals. Normal de $\sigma$ : $(1, -1, 2)$ . Cal $\vec n\cdot(1, -1, 2) = (a + 2b) - (a - b) + 2(-a + b) = -2a + 5b = 0$
Pla. Amb $(a, b) = (5, 2)$ : $5(x + y - z - 1) + 2(2x - y + z - 2) = 9x + 3y - 3z - 9 = 0$ , o sigui, $3x + y - z = 3$ .
Comprovació. $(3, 1, -1)\cdot(1, -1, 2) = 3 - 1 - 2 = 0$ .

Apartat e)

Resultat

\vec n\cdot(0, 1, 1) = 0

per a tots

a, b

: tots els plans són paral·lels a

(0, 1, 1)

, la direcció de r; cap no pot ser paral·lel a

z = 0

perquè r no hi és paral·lela.

Resolució

Paral·lelisme amb (0, 1, 1). $\vec n\cdot(0, 1, 1) = (a - b) + (-a + b) = 0$ per a tots els $a, b$ .
Direcció de r. $(1, 1, -1)\times(2, -1, 1) = (0, -3, -3)$ , proporcional a $(0, 1, 1)$ : és exactament la direcció de r, com cal perquè tots els plans contenen r.
Pla paral·lel a z = 0? Hauria de tenir normal $(0, 0, k)$ : $a + 2b = 0$ i $a - b = 0$ donen $a = b = 0$ , que no és cap pla.
Interpretació geomètrica. Un pla així contindria r, però r té direcció $(0, 1, 1)$ , amb component vertical, i no és paral·lela a $z = 0$ .

Errors típics

Oblidar la condició $(a,b)\ne(0,0)$ o no veure que només importa la raó $a:b$ .
Confondre «pla paral·lel a una recta» amb «pla perpendicular a una recta» (producte escalar zero entre normal i direcció, no producte vectorial).
Plantejar la perpendicularitat entre plans amb el producte vectorial dels normals en lloc del producte escalar.
Treballar amb els plans $\pi_1,\pi_2$ com si fossin els únics del feix.

Conceptes treballats: feix de plans, vector normal, paral·lelisme i perpendicularitat de plans i rectes, producte escalar i vectorial, raonament geomètric.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 35

Dos tubs rectilinis són les rectes $r:\ (x,y,z)=(1,0,0)+t\,(1,1,0)$ i $s:\ (x,y,z)=(0,0,2)+\sigma\,(0,1,1)$ . Des del punt $P(1,2,1)$ es vol llançar un raig que toqui tots dos tubs.
a) Demostra que $r$ i $s$ es creuen.
b) Troba l'equació de la recta que passa per $P$ i talla $r$ i $s$ .
c) Calcula els dos punts de tall.
d) Raona en quines situacions no existiria cap recta així, o n'hi hauria infinites.

Pista 1

La recta buscada ha d'estar continguda en el pla que determinen $P$ i $r$ (si ha de tallar $r$ ).

Pista 2

Troba el punt $Q$ on la recta $s$ talla aquest pla. La recta que busques és $PQ$ .

Pista 3

A d), pensa què ha de passar entre $s$ i el pla $\pi(P,r)$ perquè existeixi $Q$ i sigui únic.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 35

Apartat a)

Resultat

\vec u

\vec v

no proporcionals i producte mixt

= 1 \neq 0

: r i s es creuen.

Resolució

Directors. $\vec u = (1, 1, 0)$ i $\vec v = (0, 1, 1)$ , no proporcionals: no són paral·leles.
Producte mixt. $\vec u\times\vec v = (1, -1, 1)$ i $\overrightarrow{R_{0}S_{0}} = (-1, 0, 2)$ : producte escalar $-1 + 2 = 1 \neq 0$ .
Conclusió. No són coplanàries, per tant es creuen.

Apartat b)

Resultat

(x, y, z) = (1, 2, 1) + \lambda\,(-1, -5, -2)

Resolució

Pla que conté P i r. Normal $\vec u\times\overrightarrow{R_{0}P} = (1, 1, 0)\times(0, 2, 1) = (1, -1, 2)$ , i passa per $R_{0}(1, 0, 0)$ : $x - y + 2z = 1$ (P el compleix: $1 - 2 + 2 = 1$ ).
Tall de s amb aquest pla. El punt $(0, \sigma, 2 + \sigma)$ compleix $-\sigma + 4 + 2\sigma = 1 \iff \sigma = -3$ : $Q = (0, -3, -1)$ .
Recta PQ. Està al pla de P i r i passa per Q de s: $(x, y, z) = (1, 2, 1) + \lambda\,(-1, -5, -2)$
Compte! No s'ha de confondre amb la perpendicular comuna, i Q no pot ser qualsevol punt de s: ha de ser el que és al pla $\pi(P, r)$ .

Apartat c)

Resultat

Talla s a

Q(0, -3, -1)

i r a

\left(\tfrac{1}{2}, -\tfrac{1}{2}, 0\right)

Resolució

Tall amb s. Per construcció, a $Q = (0, -3, -1)$ ( $\lambda = 1$ ).
Tall amb r. Amb paràmetres diferents: $(1 - \lambda,\ 2 - 5\lambda,\ 1 - 2\lambda) = (1 + t,\ t,\ 0)$ . La tercera coordenada dona $\lambda = \tfrac{1}{2}$ ; aleshores $t = -\tfrac{1}{2}$ .
Comprovació. El punt és $\left(\tfrac{1}{2}, -\tfrac{1}{2}, 0\right)$ i les tres equacions es compleixen: la recta PQ talla realment r (no hi és paral·lela).

Apartat d)

Resultat

Cap recta si s és paral·lela a

\pi(P, r)

sense ser-hi (o si PQ surt paral·lela a r); infinites si s és continguda en

\pi(P, r)

Resolució

Cap solució. Si s és paral·lela a $\pi(P, r)$ i no hi és continguda, Q no existeix i no hi ha cap recta (també falla si la recta PQ resultés paral·lela a r).
Infinites solucions. Si s està continguda en $\pi(P, r)$ , qualsevol punt de s serveix i n'hi ha infinites.
Casos especials. Si P fos sobre r o sobre s, el problema canvia (infinites o cap solució).
Cas general. Com aquí, la recta és única: és la intersecció dels plans $\pi(P, r)$ i $\pi(P, s)$ .

Errors típics

Buscar una recta que passi per P i tingui direcció perpendicular a $r$ i $s$ (és el problema de la perpendicular comuna, diferent).
Prendre $Q$ com a qualsevol punt d' $s$ i no pel que està al pla $\pi(P,r)$ .
Oblidar comprovar que la recta $PQ$ talla realment $r$ (no sigui paral·lela).
Fer servir el mateix paràmetre per a les dues rectes quan es resol el sistema de tall.

Conceptes treballats: posició relativa de rectes que es creuen, pla determinat per punt i recta, intersecció recta-pla, recta que talla dues rectes, raonament sobre existència i unicitat.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 36

Dues canonades rectes, $r:\ (0,-1,0)+t\,(1,1,0)$ i $s:\ (1,0,-3)+\sigma\,(1,-1,1)$ (metres), s'han de connectar amb el tub més curt possible.
a) Comprova que $r$ i $s$ ni es tallen ni són paral·leles.
b) Troba els punts de $r$ i de $s$ que uneix el tub i la seva longitud.
c) Escriu l'equació de la recta que conté el tub (la perpendicular comuna).
d) Comprova la longitud amb la fórmula de distància entre rectes i explica per què el tub més curt és perpendicular a totes dues canonades.

Pista 1

El punt de $r$ és $R(t)$ i el de $s$ és $S(\sigma)$ . El tub més curt té vector $\overrightarrow{R(t)S(\sigma)}\perp\vec u$ i $\perp\vec v$ .

Pista 2

Això són dues equacions amb dues incògnites $t,\sigma$ : els productes escalars amb els directors han de ser zero.

Pista 3

La direcció del tub és la del producte vectorial dels directors.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 36

Apartat a)

Resultat

Els directors no són proporcionals i el producte mixt val

6 \neq 0

: r i s es creuen.

Resolució

Paral·lelisme. $\vec u = (1, 1, 0)$ , $\vec v = (1, -1, 1)$ : no proporcionals, no són paral·leles.
Coplanarietat. $\vec u\times\vec v = (1, -1, -2)$ i $\overrightarrow{R_{0}S_{0}} = (1, 1, -3)$ : producte escalar $1 - 1 + 6 = 6 \neq 0$ , no són coplanàries.
Conclusió. Ni es tallen ni són paral·leles: es creuen.

Apartat b)

Resultat

R(1, 0, 0)

S(2, -1, -2)

; longitud del tub

\sqrt{6} \approx 2{,}45\ \text{m}

Resolució

Punts genèrics. $R(t) = (t,\ t - 1,\ 0)$ , $S(\sigma) = (1 + \sigma,\ -\sigma,\ \sigma - 3)$ , amb paràmetres diferents. $\overrightarrow{RS} = (1 + \sigma - t,\ 1 - \sigma - t,\ \sigma - 3)$ .
Condicions de perpendicularitat. $\overrightarrow{RS}\cdot\vec u = 2 - 2t = 0$ i $\overrightarrow{RS}\cdot\vec v = 3\sigma - 3 = 0$ , per tant $t = \sigma = 1$ .
Punts i longitud. $R = (1, 0, 0)$ i $S = (2, -1, -2)$ ; $|\overrightarrow{RS}| = |(1, -1, -2)| = \sqrt{6} \approx 2{,}45\ \text{m}$ .

Apartat c)

Resultat

(x, y, z) = (1, 0, 0) + \lambda\,(1, -1, -2)

Resolució

Recta del tub. Passa per $R(1, 0, 0)$ amb direcció $\overrightarrow{RS} = (1, -1, -2)$ .
Comprovació. Aquesta direcció és $\vec u\times\vec v$ , com era d'esperar per a la perpendicular comuna: $(x, y, z) = (1, 0, 0) + \lambda\,(1, -1, -2)$ .

Apartat d)

Resultat

d = \dfrac{6}{\sqrt{6}} = \sqrt{6}

, coincideix; el tub més curt és perpendicular a les dues perquè és on s'anul·len les derivades de

|RS|^{2}

Resolució

Fórmula de distància entre rectes. $d = \dfrac{|\overrightarrow{R_{0}S_{0}}\cdot(\vec u\times\vec v)|}{|\vec u\times\vec v|} = \dfrac{6}{\sqrt{6}} = \sqrt{6}$ coincideix amb b).
Per què és perpendicular. La funció $|RS|^{2}$ de $(t, \sigma)$ és mínima on les derivades parcials s'anul·len, i aquestes derivades són (a un factor) $\overrightarrow{RS}\cdot\vec u$ i $\overrightarrow{RS}\cdot\vec v$ .
Conclusió. Per tant, el tub més curt és perpendicular a totes dues canonades.

Errors típics

Resoldre les dues condicions de perpendicularitat amb el mateix paràmetre per a les dues rectes.
Prendre per longitud del tub la distància entre els dos punts inicials $R_0$ i $S_0$ .
Aplicar la fórmula de distància entre rectes sense el valor absolut o sense dividir per $|\vec u\times\vec v|$ .
Pensar que la perpendicular comuna passa per $R_0$ o $S_0$ .

Conceptes treballats: rectes que es creuen, producte escalar i vectorial, perpendicular comuna, distància entre rectes, minimització d'una distància en dues variables.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 37

Considera els punts $A(1,0,0)$ , $B(0,2,0)$ , $C(0,0,2)$ i el punt $D$ variable sobre la recta $r:\ (x,y,z)=(1,1,2)+t\,(1,0,1)$ .
a) Expressa el volum del tetraedre $ABCD$ en funció de $t$ .
b) Per a quins punts $D$ de $r$ el volum és 2?
c) Per a $D=(2,1,3)$ , calcula l'equació del pla $ABC$ , l'àrea del triangle $ABC$ i l'altura des de $D$ ; comprova que el volum surt 2.
d) Si la recta $r$ tingués direcció $(1,-1,-1)$ en lloc de $(1,0,1)$ , el volum seria constant. Raona-ho geomètricament i digues quin valor tindria.

Pista 1

El volum d'un tetraedre és $\tfrac16$ del valor absolut del producte mixt $[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}]$ .

Pista 2

Si imposes $V=2$ has d'obtenir dues solucions: el valor absolut produeix dos signes.

Pista 3

A d), pensa en l'altura del tetraedre: depèn de la distància de $D$ al pla $ABC$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 37

Apartat a)

Resultat

V(t) = \dfrac{|6t + 6|}{6} = |t + 1|

Resolució

Vectors. $\overrightarrow{AB} = (-1, 2, 0)$ , $\overrightarrow{AC} = (-1, 0, 2)$ , $\overrightarrow{AD} = (t, 1, 2 + t)$ amb $D = (1 + t,\ 1,\ 2 + t)$ .
Producte mixt. $[\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}] = \begin{vmatrix} -1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \\ t & 1 & 2 + t \end{vmatrix} = 6t + 6$
Volum. $V(t) = \tfrac{1}{6}|6t + 6| = |t + 1|$ .

Apartat b)

Resultat

D = (2, 1, 3)

(

t = 1

) o

D = (-2, 1, -1)

(

t = -3

Resolució

Equació. $|t + 1| = 2$ : el valor absolut dona dos signes, $t + 1 = 2$ o $t + 1 = -2$ .
Solucions. $t = 1 \Rightarrow D = (2, 1, 3)$ ; $t = -3 \Rightarrow D = (-2, 1, -1)$ .

Apartat c)

Resultat

Pla

ABC:\ 2x + y + z = 2

; àrea

\sqrt{6}

; altura

\sqrt{6}

;

V = \tfrac{1}{3}\cdot\sqrt{6}\cdot\sqrt{6} = 2

Resolució

Pla ABC. $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC} = (4, 2, 2)$ ; el pla és $4(x - 1) + 2y + 2z = 0$ , o sigui, $2x + y + z = 2$ .
Àrea. $S = \tfrac{1}{2}|(4, 2, 2)| = \tfrac{1}{2}\sqrt{24} = \sqrt{6}$ .
Altura. Distància de $D(2, 1, 3)$ al pla: $h = \dfrac{|4 + 1 + 3 - 2|}{\sqrt{6}} = \dfrac{6}{\sqrt{6}} = \sqrt{6}$ .
Volum. $V = \tfrac{1}{3}\cdot S\cdot h = \tfrac{1}{3}\cdot\sqrt{6}\cdot\sqrt{6} = 2$ , coherent amb l'apartat a).

Apartat d)

Resultat

La recta seria paral·lela al pla ABC: altura constant i

V = 1

Resolució

Paral·lelisme. La normal del pla ABC és $(2, 1, 1)$ i $(2, 1, 1)\cdot(1, -1, -1) = 0$ : la recta seria paral·lela al pla ABC.
Raonament geomètric. Tots els seus punts són a la mateixa distància del pla, per tant l'altura (i el volum) no canvien.
Valor. Amb $D_{0} = (1, 1, 2)$ : altura $\dfrac{|2 + 1 + 2 - 2|}{\sqrt{6}} = \dfrac{3}{\sqrt{6}}$ i $V = \tfrac{1}{3}\cdot\sqrt{6}\cdot\dfrac{3}{\sqrt{6}} = 1$ .
Comparació. Amb la recta original, en canvi, $(2, 1, 1)\cdot(1, 0, 1) = 3 \neq 0$ : la recta talla el pla i la distància varia linealment; per això $V = |t + 1|$ s'anul·la a $t = -1$ (D al pla, tetraedre pla).

Errors típics

Oblidar el factor $\tfrac16$ , o prendre $\tfrac12$ (àrea del triangle) en lloc del volum.
No posar valor absolut al producte mixt i perdre una de les dues solucions.
Fer servir $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}$ com a normal normalitzada sense dividir pel mòdul en calcular l'altura.
A d), calcular el volum amb un únic valor de $t$ i no veure la constància.

Conceptes treballats: producte mixt i volum d'un tetraedre, equació del pla per tres punts, àrea d'un triangle amb producte vectorial, distància punt-pla, raonament geomètric (paral·lelisme recta-pla).

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 38

Un robot es desplaça per la recta $r:\ (x,y,z)=(1,0,0)+t\,(0,1,1)$ entre dos murs plans, $\pi_1:\ x+2y+2z=3$ i $\pi_2:\ 2x-y+2z=1$ (unitats: m).
a) Escriu la distància del punt de $r$ de paràmetre $t$ a cadascun dels dos murs.
b) Troba els punts de $r$ que són a la mateixa distància dels dos murs. Per què n'hi ha dos?
c) Comprova que cada un d'aquests punts pertany a un pla bisector dels dos murs i escriu les equacions d'aquests dos plans bisectors.
d) Què passaria si els murs fossin paral·lels?

Pista 1

La distància d'un punt $(x_0,y_0,z_0)$ al pla $ax+by+cz+d=0$ és $\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ .

Pista 2

Una igualtat de valors absoluts, $|A|=|B|$ , té dues solucions: $A=B$ i $A=-B$ .

Pista 3

Els punts que són a la mateixa distància de dos plans no paral·lels formen dos plans (els bisectors).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 38

Apartat a)

Resultat

d_{1}(t) = \dfrac{|4t - 2|}{3}

d_{2}(t) = \dfrac{|t + 1|}{3}

Resolució

Punt de r. $(1, t, t)$ . Als dos plans $|\vec n| = 3$ .
Fórmula punt-pla. $d = \dfrac{|ax_{0} + by_{0} + cz_{0} + d|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}}}$ .
Càlcul. $d_{1} = \dfrac{|1 + 4t - 3|}{3} = \dfrac{|4t - 2|}{3},\qquad d_{2} = \dfrac{|2 - t + 2t - 1|}{3} = \dfrac{|t + 1|}{3}$

Apartat b)

Resultat

(1, 1, 1)

, a

\tfrac{2}{3}\ \text{m}

de cada mur, i

\left(1, \tfrac{1}{5}, \tfrac{1}{5}\right)

, a

\tfrac{2}{5}\ \text{m}

. N'hi ha dos perquè hi ha dos plans bisectors.

Resolució

Equació. $|4t - 2| = |t + 1|$ té dues solucions, $A = B$ i $A = -B$ .
Primer cas. $4t - 2 = t + 1 \iff t = 1$ : punt $(1, 1, 1)$ , $d = \tfrac{2}{3}\ \text{m}$ .
Segon cas. $4t - 2 = -(t + 1) \iff t = \tfrac{1}{5}$ : punt $\left(1, \tfrac{1}{5}, \tfrac{1}{5}\right)$ , $d = \tfrac{2}{5}\ \text{m}$ .
Per què dos. El lloc dels punts equidistants de dos plans que es tallen són dos plans (un per a cada bisectriu de l'angle diedre), i la recta els talla en un punt cadascun.

Apartat c)

Resultat

Bisectors:

x - 3y + 2 = 0

(conté

(1, 1, 1)

) i

3x + y + 4z - 4 = 0

(conté

\left(1, \tfrac{1}{5}, \tfrac{1}{5}\right)

Resolució

Plans bisectors. $\dfrac{x + 2y + 2z - 3}{3} = \pm\dfrac{2x - y + 2z - 1}{3}$
Signe +. $-x + 3y - 2 = 0$ , és a dir, $x - 3y + 2 = 0$ ; $(1, 1, 1)$ el compleix: $1 - 3 + 2 = 0$ .
Signe −. $3x + y + 4z - 4 = 0$ ; $\left(1, \tfrac{1}{5}, \tfrac{1}{5}\right)$ el compleix: $3 + 0{,}2 + 0{,}8 - 4 = 0$ .

Apartat d)

Resultat

Hi hauria un únic pla equidistant (el pla mitjà) i, en general, un sol punt de r equidistant (cap si r és paral·lela als murs i no és al mig).

Resolució

Lloc equidistant. Si els murs fossin paral·lels, el lloc de punts equidistants seria un únic pla paral·lel i equidistant dels dos (el pla mitjà).
Punts de r. Una recta no paral·lela a aquest pla el talla en un sol punt equidistant; si la recta és paral·lela als murs i no és al mig, no n'hi ha cap (i si hi és continguda, tots ho són).

Errors típics

Quedar-se només amb la solució $A=B$ i perdre el segon punt.
Oblidar dividir pel mòdul de la normal; aquí és el mateix (3), però en general no ho és.
Resoldre la igualtat de distàncies sense valor absolut.
Confondre el pla bisector amb el pla mediador d'un segment.

Conceptes treballats: distància d'un punt a un pla, equacions de rectes i plans, plans bisectors, valors absoluts i equacions amb dues solucions, interpretació geomètrica.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 39

Un pal d'enllumenat vertical de 3 m s'aixeca en un vessant. En un sistema de coordenades (en m, amb $z$ vertical) la base és $B(4,0,1)$ , el cim és $T(4,0,4)$ i el terreny del vessant és el pla $\pi:\ x-4z=0$ . Els raigs de sol tenen direcció $\vec d=(2,1,-2)$ .
a) Comprova que la base és al terreny i calcula l'angle que formen els raigs de sol amb l'horitzontal.
b) Calcula el punt $T'$ on cau l'ombra del cim i la longitud de l'ombra.
c) Quina seria la longitud de l'ombra si el terreny fos horitzontal (pla $z=1$ )? Per què és més curta al vessant?

Pista 1

L'ombra del cim és el punt on la recta que passa per $T$ amb direcció $\vec d$ talla el pla del terreny.

Pista 2

L'angle amb l'horitzontal és l'angle entre la recta de direcció $\vec d$ i el pla $z=$ constant, el seu vector normal és $(0,0,1)$ .

Pista 3

A c), compara l'angle que fan els raigs amb el terreny en cada cas.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 39

Apartat a)

Resultat

La base és al terreny (

4 - 4\cdot1 = 0

); angle amb l'horitzontal

\alpha = \arcsin\tfrac{2}{3} \approx 41{,}8^{\circ}

Resolució

Base. $B(4, 0, 1)$ : $4 - 4\cdot1 = 0$ , és al pla $\pi$ .
Angle recta-pla. L'angle amb l'horitzontal és el que forma $\vec d$ amb el pla $z =$ constant, de normal $(0, 0, 1)$ : $\sin\alpha = \dfrac{|\vec d\cdot(0, 0, 1)|}{|\vec d|} = \dfrac{2}{3} \;\Rightarrow\; \alpha \approx 41{,}8^{\circ}$

Apartat b)

Resultat

T' = \left(\tfrac{32}{5}, \tfrac{6}{5}, \tfrac{8}{5}\right)

; longitud de l'ombra

\tfrac{3}{5}\sqrt{21} \approx 2{,}75\ \text{m}

Resolució

Raig pel cim. $T + \lambda\vec d = (4 + 2\lambda,\ \lambda,\ 4 - 2\lambda)$ .
Intersecció amb el terreny. $x - 4z = 0$ : $4 + 2\lambda - 16 + 8\lambda = 0 \iff \lambda = \tfrac{6}{5}$ (positiu: avancem en el sentit dels raigs). Per tant $T' = \left(\tfrac{32}{5}, \tfrac{6}{5}, \tfrac{8}{5}\right)$ .
Longitud. Des de la base B: $\overrightarrow{BT'} = \left(\tfrac{12}{5}, \tfrac{6}{5}, \tfrac{3}{5}\right)$ , de mòdul $\tfrac{3}{5}\sqrt{16 + 4 + 1} = \tfrac{3}{5}\sqrt{21} \approx 2{,}75\ \text{m}$ .

Apartat c)

Resultat

En terreny horitzontal,

\tfrac{3}{2}\sqrt{5} \approx 3{,}35\ \text{m}

. Al vessant és més curta perquè el terreny puja cap on avancen els raigs i aquests hi incideixen amb més angle (

\approx 53{,}9^{\circ}

davant

41{,}8^{\circ}

Resolució

Terreny horitzontal. $z = 1$ : $4 - 2\lambda = 1 \iff \lambda = \tfrac{3}{2}$ , $T' = \left(7, \tfrac{3}{2}, 1\right)$ i $\overrightarrow{BT'} = \left(3, \tfrac{3}{2}, 0\right)$ , de longitud $\tfrac{3}{2}\sqrt{5} \approx 3{,}35\ \text{m}$ .
Comparació. Al vessant l'ombra és més curta (2,75 m) perquè el terreny puja en la direcció cap a la qual avancen els raigs ( $+x$ ): els raigs el troben abans.
Angle amb el terreny. Equivalentment, l'angle entre els raigs i el vessant és $\arcsin\dfrac{10}{3\sqrt{17}} \approx 53{,}9^{\circ}$ , més gran que els $41{,}8^{\circ}$ del terreny horitzontal; com més gran és aquest angle, més curta és l'ombra.

Errors típics

Calcular la longitud de l'ombra com la distància de $T'$ al peu de la vertical de $T$ en lloc de la base $B$ del pal.
Confondre l'angle entre els raigs i la vertical amb l'angle amb l'horitzontal (l'ús del cosinus en lloc del sinus).
Suposar que l'ombra té la mateixa longitud que en terreny pla.
No comprovar que $\lambda\gt0$ : amb $\lambda\lt0$ la intersecció seria del costat del sol, no de l'ombra.

Conceptes treballats: intersecció recta-pla, angle recta-pla, distància entre punts, modelització d'una situació real amb rectes i plans, comparació de configuracions.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 40

Sigui $A(1,2,0)$ , $B(3,0,2)$ i la recta $r:\ (x,y,z)=(0,0,1)+t\,(1,2,0)$ .
a) Calcula el pla mediador del segment $AB$ .
b) Troba el punt $P$ de $r$ tal que el triangle $PAB$ sigui isòsceles amb $PA=PB$ i comprova-ho.
c) Calcula l'àrea del triangle $PAB$ .
d) Si en lloc de $r$ es tingués la recta $r':\ (0,0,1)+t\,(1,1,0)$ , hi hauria algun punt $P$ que complís $PA=PB$ ? Raona-ho.

Pista 1

El pla mediador d'un segment és el lloc dels punts que equidisten dels extrems; el seu vector normal és $\overrightarrow{AB}$ .

Pista 2

Un punt $P$ de $r$ té coordenades $(t,2t,1)$ : substitueix-les a l'equació del pla mediador.

Pista 3

A d), compara la direcció de $r'$ amb el pla mediador (perpendicular a la normal?) i mira si $r'$ hi està continguda.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 40

Apartat a)

Resultat

x - y + z = 2

Resolució

Plantejament. El pla mediador és el lloc dels punts que equidisten de A i B: passa pel punt mitjà i té normal $\overrightarrow{AB}$ .
Dades. Punt mitjà $M(2, 1, 1)$ i normal $\overrightarrow{AB} = (2, -2, 2) \parallel (1, -1, 1)$ .
Equació. $(x - 2) - (y - 1) + (z - 1) = 0$ , és a dir, $x - y + z = 2$ .

Apartat b)

Resultat

P(-1, -2, 1)

, amb

PA = PB = \sqrt{21}

Resolució

Plantejament. $PA = PB$ vol dir que P és al pla mediador; un punt de r és $(t, 2t, 1)$ .
Càlcul. $t - 2t + 1 = 2 \iff t = -1$ , així que $P(-1, -2, 1)$ .
Comprovació. $\overrightarrow{PA} = (2, 4, -1)$ , $|PA| = \sqrt{21}$ ; $\overrightarrow{PB} = (4, 2, 1)$ , $|PB| = \sqrt{21}$ .

Apartat c)

Resultat

Àrea

= 3\sqrt{6} \approx 7{,}35

unitats quadrades

Resolució

Fórmula. L'àrea del triangle és la meitat del mòdul del producte vectorial de dos costats.
Producte vectorial. $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AP} = (2, -2, 2)\times(-2, -4, 1) = (6, -6, -12)$ , de mòdul $\sqrt{216} = 6\sqrt{6}$ .
Àrea. $S = \tfrac{1}{2}\cdot6\sqrt{6} = 3\sqrt{6} \approx 7{,}35$ .
Comprovació. Base $|AB| = 2\sqrt{3}$ i altura $|PM| = |(3, 3, 0)| = 3\sqrt{2}$ : $\tfrac{1}{2}\cdot2\sqrt{3}\cdot3\sqrt{2} = 3\sqrt{6}$ .

Apartat d)

Resultat

No:

r'

és paral·lela al pla mediador i no hi és continguda, així que no el talla mai.

Resolució

Direcció. $(1, 1, 0)\cdot(1, -1, 1) = 0$ : $r'$ és paral·lela al pla mediador.
Un punt. $(0, 0, 1)$ no el compleix: $0 - 0 + 1 = 1 \neq 2$ , així que $r'$ no hi és continguda (de fet, $t - t + 1 = 2$ no té solució).
Conclusió. Una recta paral·lela a un pla i fora d'ell no el talla mai: no hi ha cap punt P de $r'$ amb $PA = PB$ .

Errors típics

Plantejar el pla mediador amb $A$ o $B$ (en lloc del punt mitjà) com a punt de pas.
Calcular l'àrea amb $|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AP}|$ i oblidar el factor $\tfrac12$ .
Buscar $P$ igualant $PA^2=PB^2$ i cometre errors d'àlgebra, quan el pla mediador ja ho resol directament.
Pensar que el triangle isòsceles ha de tenir un angle recte o que $PA=AB$ .

Conceptes treballats: pla mediador, intersecció recta-pla, posició relativa recta-pla, producte vectorial i àrea d'un triangle, raonament geomètric.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preguntes freqüents

Per a què serveix el producte vectorial?

Per trobar un vector perpendicular a dos vectors donats, per exemple el normal d'un pla, i per calcular àrees: el seu mòdul és l'àrea del paral·lelogram que formen.

Quina diferència hi ha entre el vector director i el vector normal?

El vector director indica la direcció d'una recta. El vector normal és perpendicular a un pla i surt directament dels coeficients de la seva equació general.

Tornar a Matemàtiques