Exercicis d'anàlisi — Matemàtiques 2n Batxillerat

L'anàlisi és el bloc amb més pes a la PAU de Matemàtiques II, i aquests exercicis en treballen tots els apartats. Calcules límits i resols indeterminacions, estudies la continuïtat i la derivabilitat de funcions a trossos i trobes paràmetres perquè una funció sigui contínua i derivable. Després apliques els teoremes de Bolzano, Rolle i el valor mitjà, i fas problemes d'optimització i de càlcul de paràmetres, com trobar una paràbola amb un mínim en un punt donat. Al final representes funcions. Les solucions justifiquen cada condició. Errors típics: pensar que una indeterminació 0/0 vol dir que el límit no existeix i aplicar Bolzano sense comprovar la continuïtat.

Tens examen d'aquest tema? Fes un simulacre de 60 minuts com el de l'institut, amb solucions i criteris de correcció.Fes el simulacre →

Nivell bàsic

Exercici 1

Deriva la funció f(x) = $x^{3}$ - 2x² + 5x - 1.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 1

Resultat

f'(x) = 3x^{2} - 4x + 5

Resolució

Plantejament. És un polinomi: el derivem terme a terme.
Regla de la potència. $(x^{n})' = n\,x^{n-1}$ : baixa l'exponent com a factor i el redueix en 1. La derivada d'una constant és 0.
Càlcul. La derivada de $x^{3}$ és $3x^{2}$ ; la de $-2x^{2}$ és $-4x$ ; la de $5x$ és $5$ ; la de la constant $-1$ és $0$ .
Conclusió. Per tant, $f'(x) = 3x^{2} - 4x + 5$ .

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 2

Calcula en quin punt s'anul·la la derivada de f(x) = $x^{2}$ - 6x.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 2

Resultat

x = 3

Resolució

Plantejament. Busquem els valors de x on $f'(x) = 0$ .
Derivada. Amb la regla de la potència, $f'(x) = 2x - 6$ .
Càlcul. Igualem a zero: $2x - 6 = 0 \Rightarrow x = 3$ .
Conclusió. La derivada s'anul·la a $x = 3$ : en aquest punt, $(3, -9)$ , la tangent és horitzontal.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 3

Troba el valor de x que fa mínima la funció f(x) = $x^{2}$ − 8x + 20 i digues quin és el valor mínim.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 3

Resultat

Mínim a

x = 4

; valor mínim

f(4) = 4

Resolució

Plantejament. Els candidats a extrem surten de $f'(x) = 0$ .
Derivada. $f'(x) = 2x - 8 = 0 \Rightarrow x = 4$ .
Criteri de la segona derivada. $f''(x) = 2 > 0$ : és un mínim.
Valor mínim. $f(4) = 4^{2} - 8\cdot4 + 20 = 16 - 32 + 20 = 4$ .

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 4

Calcula els límits quan x → +∞ de f(x) = (3x² - 5x + 1)/(2x² + 7) i de g(x) = $\tfrac{(2x + 1)}{(x^{2} - 3)}$ , i explica quin criteri fas servir.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 4

Resultat

\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x) = \tfrac{3}{2}

;

\displaystyle\lim_{x\to+\infty} g(x) = 0

. Criteri: comparar els graus del numerador i del denominador.

Resolució

Criteri. Quan $x \to \infty$ , en un quocient de polinomis manen els termes de grau més alt: es comparen els graus del numerador i del denominador.
Límit de f. Numerador i denominador tenen el mateix grau (2): el límit és el quocient dels coeficients principals, $\tfrac{3}{2}$ .
Comprovació amb f. Dividint numerador i denominador per $x^{2}$ : $\frac{3 - \frac{5}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{2 + \frac{7}{x^{2}}} \to \frac{3}{2},$ perquè els termes amb x al denominador tendeixen a 0.
Límit de g. El grau del numerador (1) és més petit que el del denominador (2): el denominador creix molt més de pressa i $\lim g(x) = 0$ .

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 5

Deriva la funció f(x) = $(2x^{3} - 1)^{4}$ aplicant la regla de la cadena i simplifica el resultat.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 5

Resultat

f'(x) = 24x^{2}(2x^{3} - 1)^{3}

Resolució

Plantejament. És una potència d'una funció: $f = u^{4}$ , amb $u = 2x^{3} - 1$ .
Regla de la cadena. $(u^{4})' = 4u^{3}\cdot u'$ , amb $u' = 6x^{2}$ .
Càlcul. $f'(x) = 4(2x^{3} - 1)^{3}\cdot 6x^{2} = 24x^{2}(2x^{3} - 1)^{3}$ .
Compte! L'error típic és oblidar el factor $u' = 6x^{2}$ i deixar només $4(2x^{3} - 1)^{3}$ .

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 6

Deriva i simplifica: a) f(x) = $x^{2}$ · $e^{x}$ ; b) g(x) = $\tfrac{(x + 1)}{(x - 1)}$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 6

Apartat a)

Resultat

f'(x) = x(x + 2)e^{x}

Resolució

Regla del producte. $(u\cdot v)' = u'v + uv'$ , amb $u = x^{2}$ i $v = e^{x}$ .
Càlcul. $f'(x) = 2x\cdot e^{x} + x^{2}\cdot e^{x}$ .
Simplificació. Traiem factor comú: $f'(x) = e^{x}(x^{2} + 2x) = x(x + 2)e^{x}$ .

Apartat b)

Resultat

g'(x) = -\dfrac{2}{(x - 1)^{2}}

Resolució

Regla del quocient. $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^{2}}$ , amb $u = x + 1$ i $v = x - 1$ .
Càlcul. $g'(x) = \frac{1\cdot(x - 1) - (x + 1)\cdot1}{(x - 1)^{2}} = \frac{x - 1 - x - 1}{(x - 1)^{2}} = -\frac{2}{(x - 1)^{2}}$
Interpretació. Com que $g'(x) < 0$ per a tot $x \ne 1$ , la funció g és decreixent a cada tros del seu domini.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 7

Troba l'equació de la recta tangent a la gràfica de f(x) = $x^{2}$ - 3x + 1 en el punt d'abscissa x = 2.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 7

Resultat

y = x - 3

Resolució

Punt de tangència. $f(2) = 4 - 6 + 1 = -1$ , és a dir, el punt $(2, -1)$ .
Pendent. La derivada dona el pendent de la tangent: $f'(x) = 2x - 3$ , de manera que $f'(2) = 4 - 3 = 1$ .
Equació punt-pendent. $y - f(2) = f'(2)(x - 2) \Rightarrow y + 1 = 1\cdot(x - 2) \Rightarrow y = x - 3$ .
Comprovació. Per a $x = 2$ la recta dona $y = -1$ , que coincideix amb $f(2)$ .

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 8

Calcula els límits laterals de f(x) = $\tfrac{(x + 2)}{(x - 1)}$ quan x → 1 i interpreta el resultat gràficament.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 8

Resultat

\displaystyle\lim_{x\to1^{-}} f(x) = -\infty

;

\displaystyle\lim_{x\to1^{+}} f(x) = +\infty

: la recta

x = 1

és una asímptota vertical.

Resolució

Plantejament. En $x = 1$ el numerador tendeix a 3 i el denominador a 0: el quocient es fa infinit, i el signe depèn del costat.
Per l'esquerra. Si $x \to 1^{-}$ (per exemple $x = 0{,}99$ ), el denominador és negatiu i petit: $\tfrac{3}{0^{-}} \to -\infty$ .
Per la dreta. Si $x \to 1^{+}$ (per exemple $x = 1{,}01$ ), el denominador és positiu i petit: $\tfrac{3}{0^{+}} \to +\infty$ .
Interpretació gràfica. La recta $x = 1$ és una asímptota vertical: la gràfica baixa cap a $-\infty$ per l'esquerra d'aquesta recta i puja des de $+\infty$ per la dreta.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 9

Determina el valor de a perquè la funció f(x) = $x^{2}$ + a si x ≤ 1, i f(x) = 3x - 1 si x > 1, sigui contínua en x = 1.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 9

Resultat

a = 1

Resolució

Condició de continuïtat. Perquè f sigui contínua en $x = 1$ , els dos límits laterals han de coincidir amb $f(1)$ .
Límits laterals. Per l'esquerra (i valor $f(1)$ ): $1^{2} + a = 1 + a$ . Per la dreta: $3\cdot1 - 1 = 2$ .
Càlcul. Igualem: $1 + a = 2 \Rightarrow a = 1$ .
Comprovació. Amb $a = 1$ , els dos trossos valen 2 en $x = 1$ i la gràfica no té cap salt.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 10

Deriva: a) f(x) = ln( $x^{2}$ + 1); b) g(x) = cos(3x); c) h(x) = $e^{-2x}$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 10

Apartat a)

Resultat

f'(x) = \dfrac{2x}{x^{2} + 1}

Resolució

Regla de la cadena. Derivada de la funció exterior per la derivada de la interior: $(\ln u)' = \dfrac{u'}{u}$ , amb $u = x^{2} + 1$ , $u' = 2x$ .
Càlcul. $f'(x) = \dfrac{2x}{x^{2} + 1}$ .
Compte! L'error típic és escriure $\tfrac{1}{x^{2} + 1}$ sense multiplicar per la derivada de l'interior, 2x.

Apartat b)

Resultat

g'(x) = -3\sin(3x)

Resolució

Regla de la cadena. $(\cos u)' = -\sin u\cdot u'$ , amb $u = 3x$ , $u' = 3$ .
Càlcul. $g'(x) = -\sin(3x)\cdot3 = -3\sin(3x)$ .

Apartat c)

Resultat

h'(x) = -2e^{-2x}

Resolució

Regla de la cadena. $(e^{u})' = e^{u}\cdot u'$ , amb $u = -2x$ , $u' = -2$ .
Càlcul. $h'(x) = e^{-2x}\cdot(-2) = -2e^{-2x}$ .

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell intermedi

Exercici 11

Calcula lim_{x → 3} de $\tfrac{x^{2} - 9}{x - 3}$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 11

Resultat

\displaystyle\lim_{x\to3}\frac{x^{2} - 9}{x - 3} = 6

Resolució

Indeterminació. Si substituïm $x = 3$ directament surt $\tfrac{0}{0}$ : cal treballar l'expressió.
Factorització. El numerador és una diferència de quadrats: $x^{2} - 9 = (x - 3)(x + 3)$ .
Simplificació. Simplifiquem el factor $(x - 3)$ amb el denominador: queda $x + 3$ (per a $x \ne 3$ ).
Càlcul. Ara sí, substituïm: $\displaystyle\lim_{x\to3}(x + 3) = 3 + 3 = 6$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 12

Estudia si la funció definida per f(x) = x + 1 si x ≤ 2 i f(x) = 5 si x > 2 és contínua a x = 2.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 12

Resultat

No és contínua a

x = 2

: els límits laterals valen 3 i 5 (discontinuïtat de salt).

Resolució

Plantejament. f és contínua a $x = 2$ si els dos límits laterals coincideixen entre ells i amb $f(2)$ .
Límit per l'esquerra. Amb el tros $x + 1$ : quan x s'acosta a 2, $2 + 1 = 3$ (i $f(2) = 3$ ).
Límit per la dreta. Amb la constant 5: el límit val 5.
Conclusió. Els límits laterals són 3 i 5, diferents entre ells: la funció NO és contínua a $x = 2$ ; hi ha una discontinuïtat de salt.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 13

Demostra, amb el teorema de Bolzano, que l'equació $x^{3}$ + x - 1 = 0 té almenys una solució real a l'interval (0, 1).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 13

Resultat

Com que

f(x) = x^{3} + x - 1

és contínua a

[0, 1]

f(0) = -1 < 0 < f(1) = 1

, pel teorema de Bolzano hi ha almenys una solució a

(0, 1)

Resolució

Funció. Considerem $f(x) = x^{3} + x - 1$ , que és contínua a $[0, 1]$ per ser un polinomi.
Signes als extrems. $f(0) = 0 + 0 - 1 = -1 < 0$ i $f(1) = 1 + 1 - 1 = 1 > 0$ .
Teorema de Bolzano. f és contínua i canvia de signe entre $x = 0$ i $x = 1$ : existeix almenys un $c \in (0, 1)$ amb $f(c) = 0$ .
Conclusió. Aquest c és una solució de l'equació (val aproximadament 0,68).

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 14

La paràbola f(x) = ax² + bx + c té un mínim al punt (2, -1) i talla l'eix vertical a y = 3. Troba a, b i c.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 14

Resultat

a = 1,\ b = -4,\ c = 3

, és a dir,

f(x) = x^{2} - 4x + 3

Resolució

Plantejament. Tres condicions, tres equacions. La derivada és $f'(x) = 2ax + b$ .
Condicions. Tall amb l'eix vertical a $y = 3$ : $f(0) = c = 3$ . Mínim a $x = 2$ : $f'(2) = 4a + b = 0$ , d'on $b = -4a$ . Passa per $(2, -1)$ : $f(2) = 4a + 2b + c = -1$ ; amb $c = 3$ , $2a + b = -2$ .
Càlcul. Substituïm $b = -4a$ : $2a - 4a = -2$ , d'on $a = 1$ , $b = -4$ , $c = 3$ .
Comprovació. $f'(2) = 4 - 4 = 0$ ; $f(2) = 4 - 8 + 3 = -1$ ; $f(0) = 3$ . I com que $a > 0$ , el vèrtex és un mínim.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 15

En substituir x = 4 a $\tfrac{(\sqrt{x} - 2)}{(x - 4)}$ apareix una indeterminació $\tfrac{0}{0}$ . Resol-la multiplicant pel conjugat per trobar el límit quan x → 4, i comprova el resultat amb la regla de L'Hôpital.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 15

Resultat

\displaystyle\lim_{x\to4}\frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} = \frac{1}{4}

Resolució

Indeterminació. Substituint $x = 4$ surt $\tfrac{0}{0}$ . Com que hi ha una arrel, multipliquem numerador i denominador pel conjugat $\sqrt{x} + 2$ .
Conjugat. $\frac{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)}{(x - 4)(\sqrt{x} + 2)} = \frac{x - 4}{(x - 4)(\sqrt{x} + 2)} = \frac{1}{\sqrt{x} + 2},\quad x \ne 4$ (també s'hi arriba escrivint $x - 4 = (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)$ ).
Càlcul. Ara el límit és directe: $\dfrac{1}{\sqrt{4} + 2} = \dfrac{1}{4}$ .
Comprovació amb L'Hôpital. Derivem numerador i denominador: $\dfrac{1/(2\sqrt{x})}{1} \to \dfrac{1}{2\cdot2} = \dfrac{1}{4}$ . Coincideix.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 16

Calcula el límit quan x → +∞ de $(\tfrac{(x + 3)}{(x - 1)})^{2x}$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 16

Resultat

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x + 3}{x - 1}\right)^{2x} = e^{8}

Resolució

Indeterminació. La base tendeix a 1 (mateix grau, coeficients 1/1) i l'exponent a $+\infty$ : indeterminació $1^{\infty}$ .
Fórmula del nombre e. Si $f \to 1$ i $g \to \infty$ , aleshores $\lim f^{\,g} = e^{\lim g\cdot(f - 1)}$ .
Càlcul. $f - 1 = \dfrac{x + 3}{x - 1} - 1 = \dfrac{x + 3 - x + 1}{x - 1} = \dfrac{4}{x - 1}$ , i $g\cdot(f - 1) = 2x\cdot\dfrac{4}{x - 1} = \dfrac{8x}{x - 1} \to 8$ .
Conclusió. El límit és $e^{8}$ . Error típic: respondre 1 perquè «1 elevat a qualsevol cosa és 1»; aquí la base no és exactament 1 i el resultat és un nombre finit diferent d'1.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 17

Calcula, aplicant la regla de L'Hôpital tantes vegades com calgui, el límit de $\tfrac{(e^{x} - 1 - x)}{x^{2}}$ quan x → 0.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 17

Resultat

\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^{x} - 1 - x}{x^{2}} = \frac{1}{2}

Resolució

Indeterminació. En $x = 0$ : $\tfrac{1 - 1 - 0}{0} = \tfrac{0}{0}$ . Numerador i denominador són derivables: podem aplicar la regla de L'Hôpital.
Primera aplicació. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^{x} - 1}{2x}$ , que en $x = 0$ torna a ser $\tfrac{0}{0}$ .
Segona aplicació. $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^{x}}{2} = \frac{e^{0}}{2} = \frac{1}{2}$ .
Recorda. Abans de cada aplicació cal comprovar que hi ha indeterminació $\tfrac{0}{0}$ o $\tfrac{\infty}{\infty}$ , i es deriven numerador i denominador per separat (no és la derivada d'un quocient).

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 18

Troba els punts de discontinuïtat de f(x) = $\tfrac{(x^{2} - 1)}{(x^{2} - 3x + 2)}$ i classifica'ls.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 18

Resultat

x = 1

: discontinuïtat evitable (

\lim f = -2

);

x = 2

: discontinuïtat asimptòtica (salt infinit), amb asímptota vertical

x = 2

Resolució

Factorització. $x^{2} - 1 = (x - 1)(x + 1)$ i $x^{2} - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$ . El denominador s'anul·la en $x = 1$ i $x = 2$ : són els únics punts on f no és contínua (no hi està definida).
En x = 1. Simplificant, $f(x) = \dfrac{x + 1}{x - 2}$ per a $x \ne 1$ , i $\lim_{x\to1} f(x) = \dfrac{2}{-1} = -2$ , finit. Discontinuïtat evitable: es podria eliminar definint $f(1) = -2$ .
En x = 2. El numerador tendeix a 3 i el denominador a 0: el límit per l'esquerra és $-\infty$ i per la dreta $+\infty$ . Discontinuïtat asimptòtica (de salt infinit), amb asímptota vertical $x = 2$ .
Compte! L'error típic és dir que $x = 1$ és una asímptota vertical sense simplificar abans el factor comú.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 19

Estudia la continuïtat i la derivabilitat en x = 2 de la funció f(x) = $x^{2}$ - 2x si x ≤ 2, i f(x) = ln(x - 1) si x > 2.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 19

Resultat

f és contínua en

x = 2

però no derivable (

f'(2^{-}) = 2 \ne f'(2^{+}) = 1

): punt angulós.

Resolució

Continuïtat. $f(2) = 4 - 4 = 0$ ; límit per l'esquerra 0; límit per la dreta $\ln(2 - 1) = \ln 1 = 0$ . Coincideixen: f és contínua en $x = 2$ .
Derivades laterals. Per l'esquerra, $f'(x) = 2x - 2 \Rightarrow f'(2^{-}) = 2$ . Per la dreta, $f'(x) = \dfrac{1}{x - 1} \Rightarrow f'(2^{+}) = 1$ .
Derivabilitat. Com que $2 \ne 1$ , f no és derivable en $x = 2$ : la gràfica hi té un punt angulós (dues tangents diferents).
Conclusió. Contínua però no derivable en $x = 2$ . Recorda que derivable implica contínua, però contínua no implica derivable.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 20

Comprova que la funció f(x) = $x^{3}$ - 4x compleix les hipòtesis del teorema de Rolle a l'interval [0, 2] i troba el valor c que n'assegura la conclusió.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 20

Resultat

Es compleixen les hipòtesis de Rolle;

c = \dfrac{2}{\sqrt{3}} = \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1{,}15

Resolució

Hipòtesis. f és polinòmica, per tant contínua a $[0, 2]$ i derivable a $(0, 2)$ . A més, $f(0) = 0$ i $f(2) = 8 - 8 = 0$ : $f(0) = f(2)$ .
Teorema de Rolle. Existeix almenys un $c \in (0, 2)$ amb $f'(c) = 0$ .
Càlcul. $f'(x) = 3x^{2} - 4 = 0 \Rightarrow x^{2} = \tfrac{4}{3} \Rightarrow x = \pm\tfrac{2}{\sqrt{3}} \approx \pm1{,}15$ . L'únic valor dins de $(0, 2)$ és $c = \tfrac{2}{\sqrt{3}} = \tfrac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1{,}15$ .
Interpretació. En aquest punt la tangent és horitzontal, i correspon al mínim relatiu de f entre les dues arrels 0 i 2.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 21

Aplica el teorema del valor mitjà (de Lagrange) a f(x) = ln x a l'interval [1, e]: comprova les hipòtesis i troba el punt c que compleix la tesi.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 21

Resultat

Es compleixen les hipòtesis;

c = e - 1 \approx 1{,}72

Resolució

Hipòtesis. $\ln x$ és contínua i derivable per a $x > 0$ , i per tant contínua a $[1, e]$ i derivable a $(1, e)$ . El teorema del valor mitjà assegura un $c \in (1, e)$ tal que $f'(c) = \dfrac{f(e) - f(1)}{e - 1}$ .
Pendent de la secant. $\dfrac{\ln e - \ln 1}{e - 1} = \dfrac{1 - 0}{e - 1} = \dfrac{1}{e - 1} \approx 0{,}58$ .
Càlcul de c. $f'(x) = \dfrac{1}{x}$ . Imposem $\dfrac{1}{c} = \dfrac{1}{e - 1} \Rightarrow c = e - 1 \approx 1{,}72$ .
Comprovació. $1 < 1{,}72 < 2{,}72$ : c és dins de l'interval obert, com diu el teorema.
Interpretació. En $x = c$ la tangent a la corba és paral·lela a la corda que uneix $(1, 0)$ i $(e, 1)$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell avançat

Exercici 22

Calcula lim_{x → 0} (1 + x)^{$\tfrac{1}{x}$}.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 22

Resultat

\displaystyle\lim_{x\to0}(1 + x)^{1/x} = e

Resolució

Indeterminació. En substituir surt $1^{\infty}$ . Anomenem L el límit i prenem logaritmes.
Logaritmes. $\ln L = \lim_{x\to0}\frac{1}{x}\cdot\ln(1 + x) = \lim_{x\to0}\frac{\ln(1 + x)}{x},$ que ara és una indeterminació $\tfrac{0}{0}$ .
Regla de L'Hôpital. La derivada de $\ln(1 + x)$ és $\tfrac{1}{1 + x}$ i la de x és 1: $\ln L = \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1}{1 + x} = 1$ .
Conclusió. Com que $\ln L = 1$ , resulta $L = e$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 23

Determina a i b perquè la funció definida per f(x) = ax² + bx + 1 si x ≤ 1 i f(x) = 3x - 1 si x > 1 sigui derivable a x = 1.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 23

Resultat

a = 2,\ b = -1

Resolució

Plantejament. Perquè f sigui derivable a $x = 1$ ha de ser, primer, contínua, i després tenir les derivades laterals iguals.
Continuïtat. Per l'esquerra, $a + b + 1$ ; per la dreta, $3\cdot1 - 1 = 2$ . Per tant $a + b + 1 = 2$ , és a dir, $a + b = 1$ .
Derivades laterals. La derivada del primer tram és $2ax + b$ , que a $x = 1$ val $2a + b$ ; la del segon tram és 3. Per tant $2a + b = 3$ .
Sistema. Restant la primera equació de la segona: $(2a + b) - (a + b) = 3 - 1$ , d'on $a = 2$ ; substituint, $b = 1 - 2 = -1$ .
Conclusió. Amb $a = 2$ i $b = -1$ la funció és contínua i derivable a $x = 1$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 24

Fes l'estudi complet de f(x) = $x^{3}$ − 3x i esbossa'n la gràfica descrivint-la amb paraules.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 24

Resultat

Domini

\mathbb{R}

, imparella; talls

x = 0,\ \pm\sqrt{3}

; creixent a

(-\infty, -1)\cup(1, +\infty)

i decreixent a

(-1, 1)

; màxim

(-1, 2)

, mínim

(1, -2)

, inflexió

(0, 0)

; sense asímptotes.

Resolució

Domini, simetria i talls. Domini: tot $\mathbb{R}$ (polinomi). $f(-x) = -x^{3} + 3x = -f(x)$ : és imparella (simètrica respecte de l'origen). $x^{3} - 3x = x(x^{2} - 3) = 0$ dona $x = 0$ i $x = \pm\sqrt{3}$ ; amb l'eix Y, $f(0) = 0$ . Asímptotes: cap (polinomi).
Monotonia. $f'(x) = 3x^{2} - 3 = 0 \Rightarrow x = \pm1$ . f' és positiva a $(-\infty, -1)$ i a $(1, +\infty)$ (f creixent) i negativa a $(-1, 1)$ (f decreixent).
Extrems. Amb $f''(x) = 6x$ : a $x = -1$ , $f'' = -6 < 0$ , màxim $(-1, 2)$ ; a $x = 1$ , $f'' = 6 > 0$ , mínim $(1, -2)$ .
Curvatura i inflexió. $f''(x) = 6x$ canvia de signe a $x = 0$ : còncava cap avall si $x < 0$ i cap amunt si $x > 0$ ; punt d'inflexió a $(0, 0)$ .
Gràfica. Una corba que puja des de baix a l'esquerra fins al màxim $(-1, 2)$ , baixa passant per l'origen (inflexió) fins al mínim $(1, -2)$ i torna a pujar; talla l'eix X a $-\sqrt{3}$ , 0 i $\sqrt{3}$ , amb simetria respecte de l'origen.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 25

D'una cartolina quadrada de 30 cm de costat es retalla un quadrat de x cm a cada cantonada i es pleguen les vores per formar una caixa sense tapa.
a) Expressa el volum de la caixa en funció de x i indica el domini de la funció.
b) Troba el valor de x que fa el volum màxim i calcula aquest volum.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 25

Apartat a)

Resultat

V(x) = x(30 - 2x)^{2}\ \text{cm}^{3}

, amb domini

0 < x < 15

Resolució

Dimensions de la caixa. En retallar x cm a cada cantonada, la base és un quadrat de costat $30 - 2x$ i l'altura és x.
Volum. Àrea de la base per altura: $V(x) = x(30 - 2x)^{2}$ .
Domini. Perquè hi hagi caixa cal $x > 0$ i $30 - 2x > 0$ : $0 < x < 15$ .

Apartat b)

Resultat

x = 5\ \text{cm}

;

V_{\text{màx}} = 2000\ \text{cm}^{3}

(base de 20 cm × 20 cm i altura 5 cm).

Resolució

Derivada. Producte i cadena: $V'(x) = (30 - 2x)^{2} + x\cdot2(30 - 2x)(-2) = (30 - 2x)(30 - 6x)$
Punts crítics. $V'(x) = 0 \Rightarrow x = 15$ (fora del domini, volum zero) o $x = 5$ .
Classificació. V' passa de positiu ( $x = 1$ : $28\cdot24 > 0$ ) a negatiu ( $x = 10$ : $10\cdot(-30) < 0$ ) en $x = 5$ : és un màxim. També $V''(5) = -120 < 0$ .
Volum màxim. $V(5) = 5\cdot20^{2} = 2000\ \text{cm}^{3}$ : caixa de base 20 cm × 20 cm i altura 5 cm.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 26

Es vol construir un dipòsit cilíndric obert per dalt (sense tapa) amb un volum de 8π m³. Determina el radi de la base i l'altura que fan mínima la superfície de material necessària (base més paret lateral), i calcula aquesta superfície.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 26

Resultat

r = 2\ \text{m}

h = 2\ \text{m}

;

S_{\text{mín}} = 12\pi \approx 37{,}7\ \text{m}^{2}

Resolució

Variables i lligam. Radi r i altura h. $V = \pi r^{2}h = 8\pi \Rightarrow h = \dfrac{8}{r^{2}}$ .
Funció a minimitzar. Base més paret lateral: $S(r) = \pi r^{2} + 2\pi r h = \pi r^{2} + 2\pi r\cdot\frac{8}{r^{2}} = \pi r^{2} + \frac{16\pi}{r},\quad r > 0$
Derivada. $S'(r) = 2\pi r - \dfrac{16\pi}{r^{2}} = 0 \Rightarrow 2\pi r^{3} = 16\pi \Rightarrow r^{3} = 8 \Rightarrow r = 2\ \text{m}$ .
És un mínim. $S''(r) = 2\pi + \dfrac{32\pi}{r^{3}} > 0$ per a tot $r > 0$ .
Resultat. $h = \tfrac{8}{2^{2}} = 2\ \text{m}$ i $S = 4\pi + \tfrac{16\pi}{2} = 12\pi \approx 37{,}7\ \text{m}^{2}$ . Fixa't que, sense tapa, el mínim s'obté amb $h = r$ (amb tapa seria $h = 2r$ ).

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 27

Determina els coeficients a, b i c de f(x) = $x^{3}$ + ax² + bx + c sabent que la gràfica passa pel punt (0, 1), té un extrem relatiu en x = 1 i un punt d'inflexió en x = 2. Classifica després tots els extrems relatius de la funció.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 27

Resultat

a = -6,\ b = 9,\ c = 1

f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 9x + 1

; màxim relatiu

(1, 5)

i mínim relatiu

(3, 1)

Resolució

Derivades. $f'(x) = 3x^{2} + 2ax + b$ i $f''(x) = 6x + 2a$ .
Condicions. $f(0) = 1 \Rightarrow c = 1$ ; inflexió en $x = 2$ : $f''(2) = 12 + 2a = 0 \Rightarrow a = -6$ ; extrem en $x = 1$ : $f'(1) = 3 + 2a + b = 0 \Rightarrow b = -3 + 12 = 9$ .
Punts crítics. $f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 9x + 1$ i $f'(x) = 3x^{2} - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3) = 0 \Rightarrow x = 1,\ x = 3$ .
Classificació. $f''(1) = 6 - 12 = -6 < 0$ : màxim relatiu a $(1, f(1)) = (1, 5)$ . $f''(3) = 18 - 12 = 6 > 0$ : mínim relatiu a $(3, f(3)) = (3, 1)$ .
Comprovació. $f''(2) = 0$ i f canvia de curvatura en $x = 2$ : punt d'inflexió $(2, 3)$ , que és el punt mitjà entre el màxim i el mínim, com passa sempre en una cúbica.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 28

Calcula els límits següents, indicant en cada cas quina indeterminació apareix i com la resols:
a) lim x → $0^{+}$ de x·ln x
b) lim x → +∞ de ( $\sqrt{x^{2} + 3x}$ - x)

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 28

Apartat a)

Resultat

Indeterminació

0\cdot(-\infty)

;

\displaystyle\lim_{x\to0^{+}} x\ln x = 0

Resolució

Indeterminació. Quan $x \to 0^{+}$ , $x \to 0$ i $\ln x \to -\infty$ : $0\cdot(-\infty)$ .
Quocient. Ho escrivim com $x\ln x = \dfrac{\ln x}{1/x}$ , que és del tipus $\tfrac{-\infty}{\infty}$ .
Regla de L'Hôpital. $\dfrac{1/x}{-1/x^{2}} = -x \to 0$ . Per tant, el límit val 0.

Apartat b)

Resultat

Indeterminació

\infty - \infty

;

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^{2} + 3x} - x\right) = \frac{3}{2}

Resolució

Indeterminació. Els dos termes tendeixen a $+\infty$ : $\infty - \infty$ .
Conjugat. Multipliquem i dividim per $\sqrt{x^{2} + 3x} + x$ : $\frac{x^{2} + 3x - x^{2}}{\sqrt{x^{2} + 3x} + x} = \frac{3x}{\sqrt{x^{2} + 3x} + x}$
Càlcul. Dividim numerador i denominador per x ( $x > 0$ , així que $x = \sqrt{x^{2}}$ ): $\dfrac{3}{\sqrt{1 + 3/x} + 1} \to \dfrac{3}{1 + 1} = \dfrac{3}{2}$ .
Compte! L'error típic és respondre 0 perquè « $\sqrt{x^{2}}$ és x»; la diferència no s'anul·la, tendeix a $\tfrac{3}{2}$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 29

Demostra que l'equació $x^{5}$ + 2x - 1 = 0 té exactament una solució real, i indica un interval de longitud 1 que la contingui.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 29

Resultat

Té exactament una solució real, a l'interval

(0, 1)

(val aproximadament 0,49).

Resolució

Funció. Sigui $f(x) = x^{5} + 2x - 1$ , contínua i derivable a tot $\mathbb{R}$ per ser polinòmica.
Existència (Bolzano). $f(0) = -1 < 0$ i $f(1) = 1 + 2 - 1 = 2 > 0$ . Com que f és contínua a $[0, 1]$ i canvia de signe, existeix almenys un $c \in (0, 1)$ amb $f(c) = 0$ .
Unicitat (monotonia). $f'(x) = 5x^{4} + 2 \ge 2 > 0$ per a tot x: f és estrictament creixent a $\mathbb{R}$ i no pot prendre el valor 0 dues vegades.
Alternativa amb Rolle. Si hi hagués dues arrels, entre elles hi hauria un punt amb $f' = 0$ , cosa impossible.
Conclusió. L'equació té exactament una solució real, i és a l'interval $(0, 1)$ (val aproximadament 0,49).

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 30

Sigui f(x) = x· $e^{-x}$ .
a) Determina els intervals de creixement i decreixement i els extrems relatius.
b) Calcula el límit de f quan x → +∞ i interpreta'l.
c) Escriu l'equació de la recta tangent a la gràfica en x = 0.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 30

Apartat a)

Resultat

Creixent a

(-\infty, 1)

, decreixent a

(1, +\infty)

; màxim relatiu

\left(1, \tfrac{1}{e}\right) \approx (1;\ 0{,}37)

; no hi ha mínims.

Resolució

Derivada. Regla del producte: $f'(x) = 1\cdot e^{-x} + x\cdot(-e^{-x}) = e^{-x}(1 - x)$ .
Signe de f'. Com que $e^{-x} > 0$ sempre, el signe de f' és el de $1 - x$ : $f' > 0$ si $x < 1$ i $f' < 0$ si $x > 1$ .
Extrems. f és creixent a $(-\infty, 1)$ i decreixent a $(1, +\infty)$ : en $x = 1$ hi ha un màxim relatiu de valor $f(1) = \tfrac{1}{e} \approx 0{,}37$ . No hi ha mínims.
Comprovació. $f''(x) = e^{-x}(x - 2)$ i $f''(1) = -\tfrac{1}{e} < 0$ , cosa que confirma que $x = 1$ és un màxim.

Apartat b)

Resultat

\displaystyle\lim_{x\to+\infty} x e^{-x} = 0

: la recta

y = 0

és asímptota horitzontal cap a

+\infty

Resolució

Indeterminació. $\lim x e^{-x} = \lim \dfrac{x}{e^{x}}$ és del tipus $\tfrac{\infty}{\infty}$ .
Regla de L'Hôpital. $\lim \dfrac{1}{e^{x}} = 0$ .
Interpretació. La recta $y = 0$ és una asímptota horitzontal cap a $+\infty$ ; la funció s'hi acosta per sobre, perquè $f(x) > 0$ si $x > 0$ .

Apartat c)

Resultat

y = x

Resolució

Punt i pendent. $f(0) = 0$ i $f'(0) = e^{0}(1 - 0) = 1$ .
Recta tangent. $y - 0 = 1\cdot(x - 0)$ , és a dir, $y = x$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preparat per a la universitat

Els exercicis més exigents: nivell PAU alt i primer curs de grau. Veure totes les matèries

Exercici 31

Una plataforma eòlica marina és a 3 km de la costa, en la perpendicular a la costa que passa pel punt $O$ . La subestació elèctrica és a la costa, a 8 km d' $O$ . Estendre cable per terra, seguint la costa, costa 30 milers d'euros per km, i sota l'aigua, 50 milers d'euros per km. El cable va per la costa des de la subestació fins a un punt a $x$ km d' $O$ i d'allà va directament sota l'aigua fins a la plataforma.
a) Justifica que el cost és $C(x)=30(8-x)+50\sqrt{x^2+9}$ , amb $0\le x\le8$ .
b) Troba el traçat de cost mínim i aquest cost. Compara'l amb el cost de portar tot el cable per terra fins a $O$ i amb el de portar-lo tot sota l'aigua des de la subestació.
c) Si la subestació fos a només 2 km d' $O$ , quin seria el traçat òptim? Per què no surt el mateix $x$ ?
d) Demostra que, mentre la subestació sigui a més de $\tfrac94$ km d' $O$ , el punt òptim de canvi no depèn de la distància a la subestació. Quina relació compleixen els costos unitaris i l'angle del cable submarí en aquest punt?

Pista 1

Els dos trams són un segment sobre la costa, de longitud $8-x$ , i una hipotenusa d'un triangle rectangle de catets $x$ i 3.

Pista 2

Per a minimitzar, deriva, iguala a zero i comprova que és un mínim; però no oblidis comparar amb els extrems de l'interval.

Pista 3

A c), calcula on s'anul·la la derivada i comprova si aquest valor és dins del nou interval $[0,2]$ . Si no, estudia'n el signe.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 31

Apartat a)

Resultat

C(x) = 30(8 - x) + 50\sqrt{x^{2} + 9}

(milers d'euros), amb

0 \le x \le 8

Resolució

Dades. Posem O a l'origen, la costa sobre l'eix X, la subestació a la coordenada 8 i la plataforma a $(0, 3)$ . El punt de canvi és $(x, 0)$ .
Tram per terra. De la subestació al punt de canvi hi ha $8 - x$ km sobre la costa, a 30 milers d'euros/km: $30(8 - x)$ .
Tram submarí (Pitàgores). Del punt $(x, 0)$ a la plataforma $(0, 3)$ hi ha la hipotenusa d'un triangle rectangle de catets x i 3: $\sqrt{x^{2} + 9}$ km a 50 milers d'euros/km.
Conclusió. Sumant, $C(x) = 30(8 - x) + 50\sqrt{x^{2} + 9}$ ; el punt de canvi ha de ser entre O i la subestació, $0 \le x \le 8$ .

Apartat b)

Resultat

Punt de canvi a

x = \tfrac{9}{4} = 2{,}25\ \text{km}

d'O;

C_{\text{mín}} = 360

milers d'euros; tot per terra fins a O: 390; tot sota l'aigua:

\approx 427{,}2

Resolució

Derivada. $C'(x) = -30 + \frac{50x}{\sqrt{x^{2} + 9}} = 0 \iff \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 9}} = \frac{3}{5} \iff 25x^{2} = 9x^{2} + 81 \iff x = \frac{9}{4}$
És un mínim. $C''(x) = \dfrac{450}{(x^{2} + 9)^{3/2}} > 0$ .
Cost mínim. $\sqrt{\tfrac{81}{16} + 9} = \tfrac{15}{4}$ i $C\!\left(\tfrac{9}{4}\right) = 30\cdot\tfrac{23}{4} + 50\cdot\tfrac{15}{4} = 172{,}5 + 187{,}5 = 360\ \text{(milers d'euros)}$
Comparació amb els extrems. $C(0) = 240 + 150 = 390$ (tot per terra fins a O) i $C(8) = 50\sqrt{73} \approx 427{,}2$ (tot sota l'aigua). El traçat mixt estalvia 30 000 € respecte del primer.

Apartat c)

Resultat

El cable ha d'anar tot sota l'aigua des de la subestació (

x = 2

), amb cost

50\sqrt{13} \approx 180{,}3

milers d'euros:

x = \tfrac{9}{4}

queda fora de l'interval.

Resolució

Nova funció. $C_2(x) = 30(2 - x) + 50\sqrt{x^{2} + 9}$ , amb $0 \le x \le 2$ . La derivada és la mateixa, $-30 + \dfrac{50x}{\sqrt{x^{2} + 9}}$ , i només s'anul·la a $x = \tfrac{9}{4} \notin [0, 2]$ .
Signe de la derivada. A $[0, 2]$ , $\dfrac{x}{\sqrt{x^{2} + 9}} \le \dfrac{2}{\sqrt{13}} \approx 0{,}555 < 0{,}6$ , de manera que $C_2' < 0$ : el cost és decreixent.
Mínim a l'extrem. El mínim és a $x = 2$ : tot el cable va per mar des de la subestació, amb cost $50\sqrt{13} \approx 180{,}3$ (contra $C_2(0) = 210$ ).
Per què no surt el mateix x. El punt crític no és a l'interior de l'interval: l'òptim és de frontera.

Apartat d)

Resultat

Per a qualsevol distància

d \ge \tfrac{9}{4}

, l'òptim és

x = \tfrac{9}{4}

; en aquest punt

\sin\varphi = \tfrac{30}{50} = \tfrac{3}{5}

, amb

\varphi

l'angle del cable submarí amb la perpendicular a la costa.

Resolució

Plantejament. Si la subestació és a d km d'O, $C_d(x) = 30(d - x) + 50\sqrt{x^{2} + 9}$ , amb $0 \le x \le d$ .
La derivada no depèn de d. $C_d'(x) = -30 + \dfrac{50x}{\sqrt{x^{2} + 9}}$ : el terme $30d$ és constant i desapareix en derivar. S'anul·la a $x = \tfrac{9}{4}$ , que és dins de $[0, d]$ exactament quan $d \ge \tfrac{9}{4}$ ; llavors és el mínim ( $C_d'' > 0$ ).
Relació amb l'angle. A l'òptim, $\dfrac{x}{\sqrt{x^{2} + 9}} = \sin\varphi = \dfrac{30}{50}$ , on $\varphi$ és l'angle del cable submarí amb la perpendicular a la costa: el sinus de l'angle és el quocient dels costos unitaris.
Interpretació. És una condició d'òptim anàloga a la llei de Snell de la refracció.

Errors típics

Resoldre $C'(x)=0$ i donar la solució sense comprovar que és un mínim ni que és dins de l'interval.
No comparar amb els valors als extrems de l'interval (a c) això porta a un resultat incorrecte).
Escriure el tram submarí com $x+3$ en lloc de $\sqrt{x^2+9}$ .
Confondre el cost mínim amb el valor $x$ que el minimitza.

Conceptes treballats: optimització, derivada i criteri de la segona derivada, estudi en un interval tancat, modelització geomètrica, interpretació del resultat.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 32

Una peça de formigó té forma de con recte de radi de la base 6 dm i alçada 12 dm. Se'n vol retallar un dipòsit cilíndric de volum màxim, amb l'eix coincident amb el del con i una base sobre la base del con.
a) Expressa l'alçada $h$ del cilindre en funció del seu radi $r$ i escriu el volum $V(r)$ , indicant el domini.
b) Troba les dimensions del cilindre de volum màxim i aquest volum (en litres). Justifica que és un màxim.
c) Generalitza a un con de radi $R$ i alçada $H$ : demostra que el cilindre òptim té $r=\tfrac23R$ i $h=\tfrac13H$ , i que el seu volum és els $\tfrac49$ del volum del con.
d) Comprova que el resultat de c) concorda amb el de b).

Pista 1

Dibuixa la secció per l'eix: els triangles semblants relacionen $h$ amb $r$ .

Pista 2

Pensa en els extrems del domini: què val $V$ quan $r\to0$ i quan $r\to R$ ?

Pista 3

A c), treballa amb lletres: $h=H\left(1-\frac rR\right)$ i busca el màxim de $V(r)$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 32

Apartat a)

Resultat

h = 12 - 2r

;

V(r) = \pi r^{2}(12 - 2r)\ \text{dm}^{3}

, amb

0 < r < 6

Resolució

Secció axial. Tallant per l'eix, el con és un triangle de catets $R = 6$ i $H = 12$ , i el cilindre hi és un rectangle de base r i alçada h.
Triangles semblants. $\dfrac{12 - h}{r} = \dfrac{12}{6}$ , per tant $h = 12 - 2r$ .
Volum. $V(r) = \pi r^{2}h = \pi r^{2}(12 - 2r)$ , amb $0 < r < 6$ .

Apartat b)

Resultat

r = 4\ \text{dm}

h = 4\ \text{dm}

;

V_{\text{màx}} = 64\pi \approx 201{,}1\ \text{dm}^{3}

, uns 201 L.

Resolució

Derivada. $V'(r) = \pi(24r - 6r^{2}) = 6\pi r(4 - r)$ , que s'anul·la a $r = 4$ (la solució $r = 0$ no té sentit).
És un màxim. V' passa de positiva a negativa, o $V''(4) = \pi(24 - 48) < 0$ . Com que $V(0) = V(6) = 0$ , és el màxim absolut.
Dimensions i volum. $r = 4$ dm, $h = 12 - 8 = 4$ dm i $V = \pi\cdot16\cdot4 = 64\pi \approx 201{,}1\ \text{dm}^{3}$ , és a dir, uns 201 L (1 dm³ = 1 L).

Apartat c)

Resultat

r = \tfrac{2}{3}R

h = \tfrac{1}{3}H

V = \tfrac{4}{9}\cdot\tfrac{\pi R^{2}H}{3}

: els

\tfrac{4}{9}

del volum del con (

\approx 44{,}4\ \%

Resolució

Plantejament. Per semblança, $h = H\left(1 - \dfrac{r}{R}\right)$ i $V(r) = \pi H\left(r^{2} - \dfrac{r^{3}}{R}\right)$ , amb $0 < r < R$ .
Derivada. $V'(r) = \pi H\left(2r - \frac{3r^{2}}{R}\right) = \pi H r\left(2 - \frac{3r}{R}\right) = 0 \iff r = \frac{2}{3}R,$ amb $h = \tfrac{H}{3}$ ; com a b), V' passa de positiva a negativa: màxim.
Volum. $V = \pi\cdot\frac{4R^{2}}{9}\cdot\frac{H}{3} = \frac{4}{9}\cdot\frac{\pi R^{2}H}{3},$ els $\tfrac{4}{9}$ del volum del con ( $\approx 44{,}4\ \%$ ).

Apartat d)

Resultat

Concorda:

r = 4 = \tfrac{2}{3}\cdot6

h = 4 = \tfrac{12}{3}

\tfrac{64\pi}{144\pi} = \tfrac{4}{9}

Resolució

Substitució. Amb $R = 6,\ H = 12$ : $r = \tfrac{2}{3}\cdot6 = 4$ i $h = \tfrac{12}{3} = 4$ , com a b).
Volums. El con té volum $\tfrac{1}{3}\pi\cdot36\cdot12 = 144\pi$ , i $\tfrac{64\pi}{144\pi} = \tfrac{4}{9}$ . Concorda.
Observació. El resultat de c) és independent de les dimensions del con: només hi compta la forma.

Errors típics

Escriure $h=12-r$ o $h=6-r$ en comptes de la relació correcta (cal fer triangles semblants amb les proporcions $6:12$ ).
Maximitzar l'àrea lateral o la de la base en lloc del volum.
No justificar que el punt crític és un màxim (o no mirar els extrems del domini).
Donar el resultat en dm $^3$ i confondre'l amb m $^3$ en passar a litres.

Conceptes treballats: optimització amb una variable, semblança de triangles, derivada i punts crítics, generalització amb paràmetres, relació de volums.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 33

Considera la funció $f(x)=e^x+x^2-3$ .
a) Demostra que l'equació $f(x)=0$ té almenys dues solucions reals i situa-les cada una en un interval de longitud 1.
b) Demostra que en té exactament dues.
c) Troba un interval de longitud 0,1 que contingui la solució positiva.
d) Raona que, per a tot $k$ més gran que el valor mínim de $g(x)=e^x+x^2$ (aprox. 0,83), l'equació $g(x)=k$ té exactament dues solucions. Comprova que $k=3$ compleix aquesta condició.

Pista 1

Per a a), calcula el signe de $f$ en $-2,-1,0,1$ i aplica el teorema de Bolzano.

Pista 2

Per a b), estudia $f'(x)=e^x+2x$ i $f''(x)=e^x+2$ : quants zeros pot tenir $f'$ ? Quina forma té la gràfica de $f$ si $f'$ s'anul·la una sola vegada?

Pista 3

Per a c), prova valors com $f(0{,}8)$ i $f(0{,}9)$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 33

Apartat a)

Resultat

Hi ha una solució a

(-2, -1)

i una altra a

(0, 1)

Resolució

Continuïtat. f és suma de funcions contínues (exponencial i polinomi): contínua a tot $\mathbb{R}$ .
Signes. $f(-2) = e^{-2} + 1 \approx 1{,}135 > 0$ , $f(-1) = e^{-1} - 2 \approx -1{,}632 < 0$ , $f(0) = -2 < 0$ , $f(1) = e - 2 \approx 0{,}718 > 0$ .
Teorema de Bolzano. Hi ha almenys una arrel a $(-2, -1)$ i una altra a $(0, 1)$ : almenys dues solucions.

Apartat b)

Resultat

f

decreix fins a un únic punt

c \in (-1, 0)

i creix després: té com a molt dues arrels i, amb a), exactament dues.

Resolució

Segona derivada. $f'(x) = e^{x} + 2x$ i $f''(x) = e^{x} + 2 > 0$ per a tot x: f' és estrictament creixent, així que té com a molt un zero.
Zero de f'. $f'(-1) = e^{-1} - 2 < 0$ i $f'(0) = 1 > 0$ : per Bolzano, f' té exactament un zero $c \in (-1, 0)$ .
Monotonia de f. f decreix a $(-\infty, c)$ i creix a $(c, +\infty)$ ; una funció estrictament monòtona a cada part talla l'eix com a molt una vegada en cada part.
Conclusió. No pot tenir més de dues arrels i, amb a), en té exactament dues.

Apartat c)

Resultat

La solució positiva és a l'interval

(0{,}8;\ 0{,}9)

(val aproximadament 0,834).

Resolució

Valors. $f(0{,}8) = e^{0{,}8} + 0{,}64 - 3 \approx -0{,}134 < 0$ i $f(0{,}9) = e^{0{,}9} + 0{,}81 - 3 \approx 0{,}270 > 0$ .
Bolzano. L'arrel positiva és a $(0{,}8;\ 0{,}9)$ , de longitud 0,1 (valor aproximat 0,834). L'altra arrel és $\approx -1{,}677$ .

Apartat d)

Resultat

k > \min g \approx 0{,}83

g(x) = k

té exactament una solució a cada branca: dues en total.

k = 3 > 0{,}83

compleix la condició.

Resolució

Monotonia de g. $g'(x) = e^{x} + 2x = f'(x)$ : per l'argument de b), g decreix fins a $c \approx -0{,}352$ i creix després, amb mínim $g(c) \approx 0{,}83$ .
Comportament a l'infinit. $g(x) \to +\infty$ quan $x \to \pm\infty$ .
Nombre de solucions. Si $k > g(c)$ , a cada branca (on g és contínua i estrictament monòtona, i passa de $+\infty$ a $g(c)$ o de $g(c)$ a $+\infty$ ) la gràfica talla la recta $y = k$ exactament una vegada: dues solucions.
Cas k = 3. $g(x) = 3 \iff f(x) = 0$ , i $3 > 0{,}83$ : efectivament en té dues, com hem vist.

Errors típics

Aplicar Bolzano i concloure «exactament una arrel» en lloc de «almenys una».
Oblidar comprovar que la funció és contínua (és el que permet aplicar el teorema).
Creure que un punt amb $f'(x)=0$ és sempre un extrem; aquí el que s'usa és el canvi de signe de $f'$ .
Buscar l'arrel resolent algebraicament $e^x=3-x^2$ : no té solució elemental i cal un mètode d'aproximació.

Conceptes treballats: teorema de Bolzano, monotonia i derivades successives, nombre d'arrels d'una equació, aproximació d'arrels per intervals.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 34

Considera el límit $L=\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)-ax+bx^2}{x^3}$ , amb $a,b$ constants reals.
a) Determina $a$ i $b$ perquè el límit sigui un nombre real finit.
b) Calcula'n el valor.
c) Què passa si $a=1$ però $b\ne\tfrac12$ ? I si $a\ne1$ ? Raona-ho.
d) Usa el resultat de b) per aproximar $\ln1{,}1$ amb un polinomi de grau 3 i comprova l'aproximació amb la calculadora.

Pista 1

El denominador tendeix a 0 i el numerador també (per a qualsevol $a,b$ ). Aplica L'Hôpital i fixa't en què cal que passi al nou numerador perquè no es torni a produir una divisió d'un nombre no nul per 0.

Pista 2

Hauràs d'aplicar L'Hôpital fins a tres vegades; a cada pas, el numerador ha de tendir a 0.

Pista 3

Per a d), el límit de b) diu que, per a $x$ petit, el numerador $\ln(1+x)-ax+bx^2$ és aproximadament $L\,x^3$ : aïlla $\ln(1+x)$ amb els valors trobats.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 34

Apartat a)

Resultat

a = 1,\ b = \tfrac{1}{2}

Resolució

Indeterminació. Sigui $N(x) = \ln(1 + x) - ax + bx^{2}$ ; $N(0) = 0$ , així que el límit és de la forma $\tfrac{0}{0}$ per a qualsevol a, b.
Primera aplicació de L'Hôpital. $L = \lim \dfrac{N'(x)}{3x^{2}}$ , amb $N'(x) = \dfrac{1}{1 + x} - a + 2bx$ i $N'(0) = 1 - a$ . Perquè no surti un nombre no nul dividit per 0, cal $N'(0) = 0$ : $a = 1$ .
Segona aplicació. Torna a ser $\tfrac{0}{0}$ : $L = \lim \dfrac{N''(x)}{6x}$ , amb $N''(x) = -\dfrac{1}{(1 + x)^{2}} + 2b$ i $N''(0) = 2b - 1$ . Cal $N''(0) = 0$ : $b = \tfrac{1}{2}$ .

Apartat b)

Resultat

L = \tfrac{1}{3}

Resolució

Tercera derivada. Amb $a = 1,\ b = \tfrac{1}{2}$ : $N'''(x) = \dfrac{2}{(1 + x)^{3}}$ .
Tercera aplicació de L'Hôpital. $L = \lim_{x\to0}\frac{N'''(x)}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Apartat c)

Resultat

a = 1

b \ne \tfrac{1}{2}

, el límit no existeix (laterals

+\infty

-\infty

); si

a \ne 1

, el límit és

+\infty

-\infty

(el mateix pels dos costats) segons el signe de

1 - a

Resolució

Cas a = 1, b ≠ ½. $N(x)$ es comporta com $\left(b - \tfrac{1}{2}\right)x^{2}$ i $\dfrac{N(x)}{x^{3}} \sim \dfrac{b - \frac{1}{2}}{x} \to \pm\infty$ , amb signes oposats a l'esquerra i a la dreta de 0: el límit no existeix.
Cas a ≠ 1. $N(x) \sim (1 - a)x$ i $\dfrac{N(x)}{x^{3}} \sim \dfrac{1 - a}{x^{2}} \to +\infty$ (si $a < 1$ ) o $-\infty$ (si $a > 1$ ), igual pels dos costats.
Conclusió. Només amb $a = 1$ i $b = \tfrac{1}{2}$ el límit és un nombre real finit.

Apartat d)

Resultat

\ln 1{,}1 \approx 0{,}1 - 0{,}005 + 0{,}000\overline{3} = 0{,}09533

; la calculadora dona

0{,}09531\ldots

, amb un error d'unes

2{,}3\cdot10^{-5}

Resolució

Aproximació. El resultat de b) diu que, per a x petit, $\ln(1 + x) - x + \tfrac{x^{2}}{2} \approx \tfrac{1}{3}x^{3}$ , és a dir, $\ln(1 + x) \approx x - \dfrac{x^{2}}{2} + \dfrac{x^{3}}{3}$ .
Càlcul. Amb $x = 0{,}1$ : $0{,}1 - 0{,}005 + 0{,}000\overline{3} = 0{,}09533$ .
Comprovació. $\ln 1{,}1 = 0{,}09531\ldots$ : l'error és d'unes $2{,}3\cdot10^{-5}$ .

Errors típics

Aplicar L'Hôpital sense comprovar que el límit és realment una indeterminació $0/0$ en cada pas.
Igualar només $N'(0)=0$ i oblidar-se de la segona condició, $N''(0)=0$ .
En c), dir que el límit «és infinit» sense veure que els signes laterals difereixen.
Deixar l'exercici en l'àlgebra sense comprovar el resultat amb un valor concret de $x$ .

Conceptes treballats: límits amb paràmetres, indeterminacions, regla de L'Hôpital repetida, límits laterals, aproximació polinòmica d'una funció.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 35

Considera la funció $f(x)=x^3-3x$ i el punt $P(2,2)$ .
a) Comprova que $P$ pertany a la corba i escriu la recta tangent en $P$ .
b) Troba totes les rectes tangents a la corba que passen per $P$ (el punt de tangència pot ser un altre).
c) La recta tangent en $P$ torna a tallar la corba en un altre punt. Calcula'l.
d) Explica per què una recta tangent a una corba pot tallar-la en un altre punt.

Pista 1

La tangent en el punt d'abscissa $a$ és $y=f(a)+f'(a)(x-a)$ . Perquè passi per $P$ , s'ha de complir aquesta equació per a $x=2,\ y=2$ .

Pista 2

L'equació en $a$ resultant és un polinomi de grau 3, i $a=2$ n'és arrel (per què?).

Pista 3

Per a c), resta la recta de la funció i factoritza: tens una arrel doble.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 35

Apartat a)

Resultat

f(2) = 2

, així que

P

és de la corba; tangent:

y = 9x - 16

Resolució

Pertinença. $f(2) = 8 - 6 = 2$ : $P(2, 2)$ és de la corba.
Pendent. $f'(x) = 3x^{2} - 3$ , $f'(2) = 9$ .
Recta tangent. $y = 2 + 9(x - 2) = 9x - 16$ .

Apartat b)

Resultat

Dues rectes:

y = 9x - 16

(tangent en P) i

y = 2

(tangent en

(-1, 2)

Resolució

Plantejament. La tangent en el punt d'abscissa a és $y = f(a) + f'(a)(x - a)$ . Passa per P si $f(a) + f'(a)(2 - a) = 2$ .
Equació en a. $(a^{3} - 3a) + (3a^{2} - 3)(2 - a) - 2 = -2a^{3} + 6a^{2} - 8 = -2(a + 1)(a - 2)^{2} = 0$ ( $a = 2$ n'ha de ser arrel, perquè la tangent en P passa per P).
Solucions. $a = 2$ (la tangent en P) i $a = -1$ : $f(-1) = 2$ , $f'(-1) = 0$ , tangent $y = 2$ .
Comprovació. $y = 2$ passa per $P(2, 2)$ i toca la corba a $(-1, 2)$ .

Apartat c)

Resultat

L'altre punt de tall és

(-4, -52)

Resolució

Diferència. $f(x) - (9x - 16) = x^{3} - 12x + 16 = (x - 2)^{2}(x + 4)$ : $x = 2$ és arrel doble (tangència).
Punt de tall. L'altra arrel és $x = -4$ : punt $(-4, -52)$ .
Comprovació. $9\cdot(-4) - 16 = -52 = f(-4)$ .

Apartat d)

Resultat

La tangència és una propietat local: lluny del punt de tangència la corba pot tornar a tallar la recta.

Resolució

Idea de tangent. «Tangent» vol dir que la recta s'ajusta a la corba en un entorn petit del punt (algebraicament, una arrel doble de $f(x) - \text{recta}$ ), no que no la talli enlloc més. En aquests exemples, a prop del punt de tangència la recta toca la corba sense creuar-la.
Exemples. Passa amb $y = 9x - 16$ , que torna a tallar la corba a $x = -4$ , i amb $y = 2$ , que la talla a $x = 2$ : $f(x) - 2 = (x - 2)(x + 1)^{2}$ .
Conclusió. En una cúbica, una recta pot tallar la corba fins a tres vegades: una arrel doble (tangència) i una de simple (tall).

Errors típics

Pensar que per un punt de la corba passa una única tangent: pot haver-n'hi més que toquin la corba en altres punts.
Plantejar la tangent com $y=f'(2)(x-2)$ oblidant el terme $f(a)$ .
En el polinomi cúbic resultant, perdre l'arrel doble i quedar-se només amb $a=-1$ o amb $a=2$ .
Creure que si una recta és tangent a la corba no la pot tornar a tallar enlloc més.

Conceptes treballats: recta tangent i derivada, equació d'una tangent des d'un punt, factorització de polinomis amb arrels dobles, interpretació geomètrica local/global.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 36

La concentració d'un fàrmac a la sang, en mg/L, $t$ hores després d'una injecció és $C(t)=12\,t\,e^{-t/2}$ , $t\ge0$ .
a) Quan s'assoleix la concentració màxima i quant val?
b) Quan decreix més ràpidament la concentració? Dona aquest ritme (mg/L per hora) i interpreta'l.
c) Què ocorre amb la concentració a llarg termini?
d) El fàrmac és eficaç mentre $C(t)\ge5$ mg/L. Demostra amb el teorema de Bolzano que l'interval d'eficàcia comença entre 0 i 1 h i acaba entre 4 i 5 h, i calcula'n la durada aproximada.

Pista 1

Deriva amb la regla del producte: $C'(t)=12e^{-t/2}\left(1-\tfrac t2\right)$ .

Pista 2

Els canvis més ràpids (de creixement o decreixement) corresponen als zeros de $C''$ , i el signe de $C'$ en aquests punts diu si creix o decreix.

Pista 3

A d), calcula $C(0),C(1),C(4),C(5)$ i recorda la monotonia de $C$ a cada tram.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 36

Apartat a)

Resultat

Màxim a

t = 2\ \text{h}

C(2) = \tfrac{24}{e} \approx 8{,}83\ \text{mg/L}

Resolució

Derivada. Regla del producte (i de la cadena per a $e^{-t/2}$ ): $C'(t) = 12e^{-t/2}\left(1 - \dfrac{t}{2}\right)$ .
Punt crític. Com que $e^{-t/2} > 0$ , $C'(t) = 0 \iff t = 2$ . C' passa de positiva a negativa: màxim.
Valor màxim. $C(2) = 24e^{-1} = \tfrac{24}{e} \approx 8{,}83\ \text{mg/L}$ .

Apartat b)

Resultat

t = 4\ \text{h}

, amb un ritme

C'(4) = -\tfrac{12}{e^{2}} \approx -1{,}62\ \text{mg/L}

per hora.

Resolució

Plantejament. El decreixement més ràpid correspon al valor més negatiu de C', és a dir, a un zero de C'' on C' passa de decreixent a creixent.
Segona derivada. $C''(t) = 3e^{-t/2}(t - 4)$ , que s'anul·la a $t = 4$ i canvia de signe (negativa abans, positiva després): és un punt d'inflexió, on el pendent C' és mínim.
Ritme. $C'(4) = 12e^{-2}(1 - 2) = -12e^{-2} \approx -1{,}62\ \text{mg/L}$ per hora.
Interpretació. A les 4 h la concentració, que val $C(4) \approx 6{,}50\ \text{mg/L}$ , baixa al ritme més ràpid de tot el procés: unes 1,62 mg/L cada hora.

Apartat c)

Resultat

\displaystyle\lim_{t\to\infty} C(t) = 0

: la concentració tendeix a 0 (asímptota horitzontal, l'eix OX).

Resolució

Indeterminació. $12te^{-t/2} = \dfrac{12t}{e^{t/2}}$ és del tipus $\tfrac{\infty}{\infty}$ .
Regla de L'Hôpital. $\dfrac{12}{\frac{1}{2}e^{t/2}} \to 0$ : l'exponencial decreixent guanya al factor lineal.
Interpretació. A llarg termini el fàrmac s'elimina: l'eix OX és asímptota horitzontal. La concentració només hi tendeix, no arriba a 0 en un temps finit.

Apartat d)

Resultat

L'eficàcia comença a

t_1 \approx 0{,}55\ \text{h}

i acaba a

t_2 \approx 4{,}95\ \text{h}

: dura aproximadament

4{,}4\ \text{h}

Resolució

Plantejament. Apliquem Bolzano a $C(t) - 5$ , que és contínua.
Inici. $C(0) = 0 < 5 < C(1) = 12e^{-1/2} \approx 7{,}28$ : hi ha un $t_1 \in (0, 1)$ amb $C(t_1) = 5$ .
Final. $C(4) \approx 6{,}50 > 5 > C(5) = 60e^{-5/2} \approx 4{,}93$ : hi ha un $t_2 \in (4, 5)$ amb $C(t_2) = 5$ .
Unicitat. Com que C creix fins a $t = 2$ i decreix després, cada tram té exactament una solució, i $C \ge 5$ entre elles.
Durada. Numèricament, $t_1 \approx 0{,}55\ \text{h}$ i $t_2 \approx 4{,}95\ \text{h}$ : l'eficàcia dura aproximadament $4{,}4\ \text{h}$ .

Errors típics

Confondre el màxim de $C$ (on $C'=0$ ) amb el punt on la concentració decreix més de pressa (on $C''=0$ ).
Derivar $C$ com si fos un producte de dues funcions sense aplicar bé la regla de la cadena a $e^{-t/2}$ (oblidar el $-\tfrac12$ ).
Aplicar Bolzano sense comprovar els signes de $C-5$ en els extrems de l'interval.
Dir que la concentració «arriba a 0» en un temps finit: només hi tendeix.

Conceptes treballats: funcions exponencials i derivades, màxims i punts d'inflexió amb interpretació, límits a l'infinit, teorema de Bolzano, modelització farmacocinètica.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 37

En una carretera amb límit de 90 km/h hi ha un radar de tram: dues càmeres separades 20 km mesuren el temps que triga un cotxe a recórrer el tram. La posició del cotxe (km des de la primera càmera) és $s(t)=80t+100t^2$ , amb $t$ en hores, i passa per la segona càmera a $t=0{,}2$ h.
a) Calcula la velocitat mitjana en el tram i la velocitat instantània del cotxe en passar per cada càmera.
b) Demostra que hi ha un instant en què la velocitat instantània coincideix amb la mitjana i troba'l. Quin teorema fas servir i per què se'n poden aplicar les hipòtesis?
c) El conductor al·lega que només va superar el límit «un moment». Calcula durant quant temps va anar per sobre de 90 km/h i decideix si l'al·legació té fonament. Per què el radar de tram sanciona per la mitjana?
d) Demostra que per a qualsevol funció quadràtica $g(x)=px^2+qx+r$ ( $p\ne0$ ) el punt $c$ que dona el teorema del valor mitjà a $[A,B]$ és sempre el punt mitjà de l'interval. Comprova-ho amb l'apartat b).

Pista 1

La velocitat mitjana és $\dfrac{s(0{,}2)-s(0)}{0{,}2-0}$ i la instantània és la derivada $s'(t)$ .

Pista 2

El teorema de Lagrange (valor mitjà) garanteix un $c$ tal que $s'(c)$ és igual a la velocitat mitjana. Només cal que $s$ sigui contínua i derivable.

Pista 3

A d), iguala $g'(c)$ amb el quocient incremental i aïlla $c$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 37

Apartat a)

Resultat

v_{m} = 100\ \text{km/h}

;

v(0) = 80\ \text{km/h}

a la primera càmera i

v(0{,}2) = 120\ \text{km/h}

a la segona.

Resolució

Velocitat mitjana. $s(0{,}2) = 16 + 4 = 20\ \text{km}$ , de manera que $v_{m} = \dfrac{s(0{,}2) - s(0)}{0{,}2 - 0} = \dfrac{20}{0{,}2} = 100\ \text{km/h}$ .
Velocitat instantània. És la derivada: $s'(t) = 80 + 200t$ .
A cada càmera. A la primera, $s'(0) = 80\ \text{km/h}$ ; a la segona, $s'(0{,}2) = 120\ \text{km/h}$ .

Apartat b)

Resultat

t = 0{,}1\ \text{h}

(6 min després de la primera càmera),

v = 100\ \text{km/h}

; teorema del valor mitjà (Lagrange).

Resolució

Hipòtesis. s és un polinomi: contínua a $[0;\ 0{,}2]$ i derivable a $(0;\ 0{,}2)$ .
Teorema del valor mitjà. Existeix un $c \in (0;\ 0{,}2)$ amb $s'(c) = v_{m} = 100$ .
Càlcul. $80 + 200c = 100 \iff c = 0{,}1\ \text{h}$ (6 min). Comprovem: $s'(0{,}1) = 100$ .

Apartat c)

Resultat

Va superar els 90 km/h durant

0{,}15\ \text{h} = 9\ \text{min}

dels 12: l'al·legació no té fonament.

Resolució

Instant en què arriba a 90 km/h. $s'(t) = 90 \iff 80 + 200t = 90 \iff t = 0{,}05\ \text{h}$ (3 min).
Temps per sobre del límit. Com que s' és creixent, des d'aquest moment fins al final ( $t = 0{,}2$ ) va per sobre de 90 km/h: $0{,}15\ \text{h} = 9\ \text{min}$ de 12.
Valoració. No és «un moment»: va superar el límit durant tres quarts del temps.
Per què la mitjana. El radar sanciona per la velocitat mitjana (100 km/h > 90) perquè, pel teorema del valor mitjà, si la mitjana supera el límit és segur que hi ha hagut algun instant per sobre del límit.

Apartat d)

Resultat

Per a

g(x) = px^{2} + qx + r

, el punt del teorema del valor mitjà és

c = \dfrac{A + B}{2}

; amb

A = 0,\ B = 0{,}2

dona

c = 0{,}1

, com a b).

Resolució

Derivada. $g'(c) = 2pc + q$ .
Quocient incremental. $\frac{g(B) - g(A)}{B - A} = \frac{p(B^{2} - A^{2}) + q(B - A)}{B - A} = p(A + B) + q$
Igualació. $2pc + q = p(A + B) + q \Rightarrow 2pc = p(A + B)$ i, com que $p \ne 0$ , $c = \dfrac{A + B}{2}$ .
Comprovació. Amb $A = 0,\ B = 0{,}2$ es troba $c = 0{,}1$ , com a b). Geomètricament, en una funció quadràtica la tangent paral·lela a la corda és just al mig de l'interval.

Errors típics

Confondre la velocitat mitjana (quocient incremental) amb la mitjana aritmètica de les velocitats instantànies als extrems (en aquest cas coincideix, 100, però només per ser quadràtica).
Aplicar el teorema del valor mitjà sense esmentar que cal continuïtat i derivabilitat.
Passar de minuts a hores malament ( $0{,}2$ h són 12 min, no 20).
Pensar que $c$ és únic en qualsevol funció: el teorema només n'assegura l'existència d'almenys un.

Conceptes treballats: derivada com a velocitat instantània, velocitat mitjana, teorema del valor mitjà (Lagrange), interpretació d'una situació real, demostració amb funcions quadràtiques.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 38

Considera l'equació $x^3+2x-5=0$ .
a) Demostra que té exactament una solució real i que és entre 1 i 2.
b) Troba un interval de longitud 0,1 on sigui la solució.
c) Aplica dos passos del mètode de bisecció a l'interval trobat per obtenir una aproximació amb error menor de 0,03.
d) Demostra que $x^3-3x+1=0$ té tres arrels reals. Determina, en general, per a quins valors de $k$ l'equació $x^3-3x+k=0$ té tres, dues o una solució.

Pista 1

Per a l'existència, usa Bolzano. Per a la unicitat, mira el signe de la derivada de $f(x)=x^3+2x-5$ .

Pista 2

El mètode de bisecció divideix l'interval pel punt mitjà i es queda amb la meitat on la funció canvia de signe.

Pista 3

A d), els extrems relatius de $g(x)=x^3-3x+k$ són a $x=\pm1$ ; a cada tram, $g$ és monòtona, i el nombre d'arrels depèn dels signes de $g(-1)$ i $g(1)$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 38

Apartat a)

Resultat

Té exactament una solució real, i és a

(1, 2)

Resolució

Existència (Bolzano). $f(x) = x^{3} + 2x - 5$ és contínua; $f(1) = -2 < 0$ i $f(2) = 7 > 0$ : hi ha almenys una arrel a $(1, 2)$ .
Unicitat. $f'(x) = 3x^{2} + 2 > 0$ : f és estrictament creixent i només pot tallar l'eix una vegada.
Conclusió. Exactament una arrel real, a $(1, 2)$ .

Apartat b)

Resultat

La solució és a

(1{,}3;\ 1{,}4)

Resolució

Valors. $f(1{,}3) = 2{,}197 + 2{,}6 - 5 = -0{,}203 < 0$ i $f(1{,}4) = 2{,}744 + 2{,}8 - 5 = 0{,}544 > 0$ .
Bolzano. Hi ha canvi de signe: l'arrel és a $(1{,}3;\ 1{,}4)$ , de longitud 0,1.

Apartat c)

Resultat

Després de dos passos, l'arrel és a

(1{,}325;\ 1{,}35)

; prenent el punt mitjà,

x \approx 1{,}3375

, amb error com a molt

0{,}0125 < 0{,}03

Resolució

Mètode de bisecció. Es divideix l'interval pel punt mitjà i es queda la meitat on la funció canvia de signe.
Primer pas. Punt mitjà 1,35: $f(1{,}35) \approx 2{,}4604 + 2{,}7 - 5 \approx 0{,}160 > 0$ , així que l'arrel és a $(1{,}3;\ 1{,}35)$ .
Segon pas. Punt mitjà 1,325: $f(1{,}325) \approx 2{,}326 + 2{,}65 - 5 \approx -0{,}024 < 0$ , per tant l'arrel és a $(1{,}325;\ 1{,}35)$ , de longitud 0,025.
Aproximació. Prenent el punt mitjà, 1,3375, l'error és com a molt $0{,}0125 < 0{,}03$ (qualsevol extrem de l'interval ja tindria error menor que 0,025). El valor real és $1{,}3282\ldots$

Apartat d)

Resultat

x^{3} - 3x + 1 = 0

té tres arrels, a

(-2, 0)

(0, 1)

(1, 2)

x^{3} - 3x + k = 0

té tres solucions si

-2 < k < 2

, dues (una de doble) si

k = \pm2

i una si

|k| > 2

Resolució

Tres arrels. Sigui $g(x) = x^{3} - 3x + 1$ : $g(-2) = -1 < 0$ , $g(0) = 1 > 0$ , $g(1) = -1 < 0$ , $g(2) = 3 > 0$ . Tres canvis de signe: per Bolzano, tres arrels a $(-2, 0)$ , $(0, 1)$ i $(1, 2)$ , i no n'hi pot haver més perquè és de grau 3.
Extrems de g_k. $g_k(x) = x^{3} - 3x + k$ té $g_k'(x) = 3(x^{2} - 1)$ : màxim relatiu a $x = -1$ , de valor $k + 2$ , i mínim relatiu a $x = 1$ , de valor $k - 2$ . A cada tram $(-\infty, -1)$ , $(-1, 1)$ , $(1, +\infty)$ , $g_k$ és monòtona.
Discussió. Tres arrels si $k + 2 > 0$ i $k - 2 < 0$ , és a dir, $-2 < k < 2$ ; dues arrels (una de doble) si $k = \pm2$ ; una sola si $|k| > 2$ (màxim i mínim del mateix signe).

Errors típics

Aplicar Bolzano i dir que, per tant, l'arrel és única.
Fer la bisecció dividint per la meitat sense comprovar el signe de $f$ al punt mitjà.
Pensar que un polinomi de grau 3 té sempre tres arrels reals.
En d), oblidar els casos frontera $k=\pm2$ (arrel doble).

Conceptes treballats: teorema de Bolzano, monotonia i unicitat d'arrels, mètode de bisecció, extrems relatius i nombre de solucions d'una equació amb paràmetre.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 39

Sigui $f(x)=x^2\ln x$ per a $x\gt0$ i $f(0)=0$ .
a) Demostra que $f$ és contínua a $x=0$ .
b) Estudia si $f$ és derivable a $0$ i calcula $f'(0)$ si existeix. Interpreta-ho geomètricament.
c) És contínua la derivada $f'$ a $0$ ? Existeix $f''(0)$ ?
d) Estudia la monotonia, els extrems relatius i la curvatura per a $x\gt0$ i descriu la gràfica.

Pista 1

Per als límits en 0 de la forma $0\cdot(-\infty)$ , escriu el producte com un quocient i aplica L'Hôpital.

Pista 2

La derivada en un punt on la funció s'ha definit a part es calcula amb la definició: $\displaystyle\lim_{h\to0^+}\frac{f(h)-f(0)}{h}$ .

Pista 3

Per a c), calcula $\lim_{x\to0^+}f'(x)$ i $\lim_{x\to0^+}\dfrac{f'(x)-f'(0)}{x}$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 39

Apartat a)

Resultat

\displaystyle\lim_{x\to0^{+}} x^{2}\ln x = 0 = f(0)

: f és contínua a 0.

Resolució

Indeterminació. Quan $x \to 0^{+}$ , $x^{2}\ln x$ és del tipus $0\cdot(-\infty)$ . Només ens hi podem acostar per la dreta (el domini és $[0, +\infty)$ ).
Quocient i L'Hôpital. $\lim_{x\to0^{+}}\frac{\ln x}{x^{-2}} \overset{\text{L'H}}{=} \lim\frac{1/x}{-2x^{-3}} = \lim\left(-\frac{x^{2}}{2}\right) = 0$
Conclusió. El límit coincideix amb $f(0) = 0$ : f és contínua a 0.

Apartat b)

Resultat

f és derivable a 0 (per la dreta) amb

f'(0) = 0

: la corba surt de l'origen tangent a l'eix OX.

Resolució

Definició de derivada. Com que f s'ha definit a part a 0, cal fer servir la definició: $f'(0) = \displaystyle\lim_{h\to0^{+}}\frac{h^{2}\ln h}{h} = \lim h\ln h$ .
Càlcul. $h\ln h = \dfrac{\ln h}{1/h} \overset{\text{L'H}}{\to} \dfrac{1/h}{-1/h^{2}} = -h \to 0$ . Així, $f'(0) = 0$ .
Interpretació geomètrica. La tangent a l'origen és horitzontal: la corba surt de l'origen tangent a l'eix OX.

Apartat c)

Resultat

f'

és contínua a 0, però no existeix

f''(0)

: f és

C^{1}

però no dues vegades derivable a l'origen.

Resolució

Continuïtat de f'. Per a $x > 0$ , $f'(x) = 2x\ln x + x$ , i $\displaystyle\lim_{x\to0^{+}} f'(x) = 0 = f'(0)$ (pel límit de b)): f' és contínua a 0.
Segona derivada a 0. $\lim_{x\to0^{+}}\frac{f'(x) - f'(0)}{x} = \lim(2\ln x + 1) = -\infty$ (fixa't que, per a $x > 0$ , $f''(x) = 2\ln x + 3 \to -\infty$ també).
Conclusió. No existeix $f''(0)$ . Que f' tingui límit a 0 no vol dir que f sigui derivable dues vegades a 0.

Apartat d)

Resultat

Decreixent a

(0, e^{-1/2})

i creixent a

(e^{-1/2}, +\infty)

; mínim

\left(e^{-1/2}, -\tfrac{1}{2e}\right) \approx (0{,}607;\ -0{,}184)

; còncava cap avall a

(0, e^{-3/2})

i cap amunt després; inflexió

\left(e^{-3/2}, -\tfrac{3}{2e^{3}}\right) \approx (0{,}223;\ -0{,}075)

Resolució

Monotonia. $f'(x) = x(2\ln x + 1) = 0 \iff x = e^{-1/2} \approx 0{,}607$ . f decreix a $(0, e^{-1/2})$ i creix després.
Extrem. Mínim relatiu (i absolut): $f(e^{-1/2}) = e^{-1}\cdot\left(-\tfrac{1}{2}\right) = -\dfrac{1}{2e} \approx -0{,}184$ .
Curvatura. $f''(x) = 2\ln x + 3 = 0 \iff x = e^{-3/2} \approx 0{,}223$ : f és còncava (cap avall) a $(0, e^{-3/2})$ i convexa (cap amunt) després; punt d'inflexió $\left(e^{-3/2}, -\tfrac{3}{2e^{3}}\right) \approx (0{,}223;\ -0{,}075)$ .
Gràfica. Surt de l'origen tangent a l'eix OX, per sota d'ell; té el mínim $-0{,}184$ a $x = 0{,}607$ , torna a tallar l'eix a $(1, 0)$ i creix cap a $+\infty$ .

Errors típics

Calcular el límit $\lim x^2\ln x$ com « $0\cdot\infty=$ 0 o ∞» sense resoldre la indeterminació.
Derivar $f$ a $x=0$ amb la fórmula $2x\ln x+x$ : no val a 0, perquè $\ln 0$ no existeix; cal la definició.
Confondre « $f'$ té límit a 0» amb « $f$ és derivable dues vegades a 0».
Oblidar que el domini és $[0,+\infty)$ i buscar extrems per a $x\lt0$ .

Conceptes treballats: continuïtat i derivabilitat en un punt, límits amb L'Hôpital, derivada per la definició, extrems i inflexions, estudi local d'una funció definida a trossos.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 40

Un camí segueix la corba $y=\sqrt x$ ( $x\ge0$ , unitats: hm). Un pou és al punt $A(3,0)$ .
a) Troba el punt $P$ del camí més proper al pou i la distància mínima. Justifica que és un mínim.
b) Comprova que el segment $AP$ és perpendicular a la recta tangent al camí en $P$ i explica per què ha de ser així.
c) Si el pou fos a $A\left(\tfrac14,0\right)$ , quin seria el punt més proper? Què té d'especial la derivada de $d^2$ respecte de $x$ en aquest cas? Continua sent perpendicular $AP$ a la tangent?
d) Per a un pou a $(a,0)$ qualsevol, determina el punt més proper en funció d' $a$ .

Pista 1

Minimitza el quadrat de la distància: $d^2=(x-3)^2+(\sqrt x)^2$ .

Pista 2

Per a b), deriva $d^2$ respecte de $x$ i compara-ho amb el producte escalar de $\overrightarrow{AP}$ i el vector director de la tangent, $\left(1,\tfrac{1}{2\sqrt x}\right)$ .

Pista 3

A c), recorda que $x$ ha de ser major o igual que 0. Mira el signe de la derivada a $[0,\infty)$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 40

Apartat a)

Resultat

P\left(\tfrac{5}{2}, \sqrt{\tfrac{5}{2}}\right) \approx (2{,}5;\ 1{,}58)

;

d_{\text{mín}} = \tfrac{\sqrt{11}}{2} \approx 1{,}66\ \text{hm}

Resolució

Funció a minimitzar. Per a $P(x, \sqrt{x})$ , $d^{2} = (x - 3)^{2} + (\sqrt{x})^{2} = (x - 3)^{2} + x$ . Minimitzar $d^{2}$ o d és equivalent, perquè l'arrel és creixent.
Derivada. $(d^{2})' = 2(x - 3) + 1 = 2x - 5 = 0 \iff x = \tfrac{5}{2}$ .
És un mínim. La derivada passa de negativa a positiva (o $(d^{2})'' = 2 > 0$ ).
Resultat. $P = \left(\tfrac{5}{2}, \sqrt{\tfrac{5}{2}}\right)$ i $d^{2} = \tfrac{1}{4} + \tfrac{5}{2} = \tfrac{11}{4}$ : $d = \tfrac{\sqrt{11}}{2} \approx 1{,}66\ \text{hm}$ .

Apartat b)

Resultat

\overrightarrow{AP}\cdot\vec{u} = 0

: AP és perpendicular a la tangent, com ha de passar en un mínim interior de la distància.

Resolució

Vectors. El pendent de la tangent a P és $\dfrac{1}{2\sqrt{5/2}}$ , amb vector director $\vec{u} = \left(1, \dfrac{1}{2\sqrt{5/2}}\right)$ ; $\overrightarrow{AP} = \left(-\tfrac{1}{2}, \sqrt{\tfrac{5}{2}}\right)$ .
Producte escalar. $\overrightarrow{AP}\cdot\vec{u} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5/2}}{2\sqrt{5/2}} = -\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 0:$ perpendiculars.
Per què. No és casualitat: la derivada de $d^{2}$ en moure P sobre la corba és proporcional al producte escalar de $\overrightarrow{AP}$ amb la tangent ( $\tfrac{1}{2}(d^{2})' = \overrightarrow{AP}\cdot\vec{u}$ ); en un mínim interior s'anul·la, és a dir, $AP \perp$ tangent. Si no ho fos, movent P cap a un costat s'acostaria al pou.

Apartat c)

Resultat

El punt més proper és l'origen

(0, 0)

, a distància

\tfrac{1}{4}

hm;

(d^{2})' = 2x + \tfrac{1}{2} > 0

no s'anul·la al domini (mínim a l'extrem), però AP sí que és perpendicular a la tangent (vertical) a l'origen.

Resolució

Nova funció. $d^{2} = \left(x - \tfrac{1}{4}\right)^{2} + x$ i $(d^{2})' = 2x + \tfrac{1}{2} > 0$ per a tot $x \ge 0$ : la distància és creixent.
Mínim a l'extrem. El mínim és a $x = 0$ : el punt més proper és l'origen $(0, 0)$ , a distància $\tfrac{1}{4}$ . La derivada no s'anul·la dins del domini (l'únic candidat seria $x = -\tfrac{1}{4}$ , fora de la corba).
Perpendicularitat. Sí que es compleix: a l'origen la tangent a $y = \sqrt{x}$ és vertical i AP és horitzontal. Que la derivada respecte de x no s'hi anul·li és perquè x no és un bon paràmetre a l'origen (la tangent hi és vertical).

Apartat d)

Resultat

a \ge \tfrac{1}{2}

, el punt més proper és

\left(a - \tfrac{1}{2}, \sqrt{a - \tfrac{1}{2}}\right)

; si

a < \tfrac{1}{2}

, és l'origen.

Resolució

Derivada. $d^{2} = (x - a)^{2} + x$ , $(d^{2})' = 2x - 2a + 1 = 0 \iff x = a - \tfrac{1}{2}$ .
Cas a ≥ ½. El valor és admissible ( $x \ge 0$ ) i és un mínim: el punt més proper és $\left(a - \tfrac{1}{2}, \sqrt{a - \tfrac{1}{2}}\right)$ , a distància $\sqrt{a - \tfrac{1}{4}}$ .
Cas a < ½. $(d^{2})' > 0$ a tot $[0, +\infty)$ : el mínim és a l'origen (distància $|a|$ ).
Comprovació. Per a $a = 3$ : $x = \tfrac{5}{2}$ , el resultat de a); per a $a = \tfrac{1}{4}$ , l'origen, com a c).

Errors típics

Maximitzar o derivar $d$ amb l'arrel sense simplificar, amb errors d'àlgebra, quan és més senzill derivar $d^2$ .
No limitar el domini a $x\ge0$ i donar un punt fora de la corba.
Comparar la distància només amb l'origen o amb un altre punt i no amb tot el domini.
Concloure que no hi ha mínim perquè la derivada no s'anul·la: el mínim pot ser a l'extrem del domini.

Conceptes treballats: optimització, distància entre punts, mínim en un interval no fitat superiorment, tangent i perpendicularitat, discussió segons un paràmetre.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preguntes freqüents

Què diu el teorema de Bolzano?

Que si una funció és contínua en un interval tancat i pren valors de signe contrari als extrems, té almenys un zero dins de l'interval.

Una funció contínua en un punt sempre hi és derivable?

No. Ha de ser contínua, però a més les derivades laterals han de coincidir. Una funció amb un punt angulós, com el valor absolut a x = 0, és contínua però no derivable.

Tornar a Matemàtiques