Exercicis d'àlgebra lineal — Matemàtiques 2n Batxillerat

L'àlgebra lineal surt cada any a la PAU de Matemàtiques II, i aquests exercicis la treballen de dalt a baix. Comences amb operacions amb matrius i càlcul de determinants, i continues amb el rang, també quan depèn d'un paràmetre, com en una matriu amb k a la diagonal. Després resols sistemes pel mètode de Gauss i fas servir el teorema de Rouché-Frobenius per discutir-los segons els valors d'un paràmetre: compatible determinat, indeterminat o incompatible. Les solucions segueixen els passos que es valoren a l'examen. Errors típics: creure que el producte de matrius és commutatiu i sumar els dos productes en un determinant 2×2 en lloc de restar-los.

Tens examen d'aquest tema? Fes un simulacre de 60 minuts com el de l'institut, amb solucions i criteris de correcció.Fes el simulacre →

Nivell bàsic

Exercici 1

Donades les matrius A de files (1, 2) i (0, 3), i B de files (4, 1) i (2, 5), calcula la matriu 2A - B.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 1

Resultat

2A - B = \begin{pmatrix}-2&3\\-2&1\end{pmatrix}

Resolució

Dades. $A = \begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}$ i $B = \begin{pmatrix}4&1\\2&5\end{pmatrix}$ . Totes dues són 2×2, així que es poden restar.
Producte per un escalar. Per calcular $2A$ multipliquem cada element per 2: $2A = \begin{pmatrix}2&4\\0&6\end{pmatrix}$
Resta element a element. Restem B posició per posició: primera fila $(2-4,\ 4-1) = (-2,\ 3)$ ; segona fila $(0-2,\ 6-5) = (-2,\ 1)$ .
Conclusió. $2A - B = \begin{pmatrix}-2&3\\-2&1\end{pmatrix}$

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 2

Si el determinant d'una matriu és zero, què podem dir de la seva inversa?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 2

Resultat

No té inversa: una matriu quadrada és invertible si i només si el seu determinant és diferent de zero.

Resolució

Què es demana. Saber què passa amb la inversa d'una matriu quadrada A quan $\det(A) = 0$ .
Determinant del producte. Si existís $A^{-1}$ , tindríem $\det(A)\cdot\det(A^{-1}) = \det(A\cdot A^{-1}) = \det(I) = 1$ .
Contradicció. Amb $\det(A) = 0$ , el producte de l'esquerra valdria $0\cdot\det(A^{-1}) = 0 \neq 1$ : és impossible.
Conclusió. La matriu no és invertible (és singular). A més, la fórmula $A^{-1} = \dfrac{1}{\det(A)}\,(\operatorname{Adj}A)^{t}$ faria dividir per zero.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 3

Determina el rang de la matriu de files (1, 2, 3) i (2, 4, 6).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 3

Resultat

\operatorname{rang} = 1

Resolució

Dades. La matriu $\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&6\end{pmatrix}$ té dues files; el rang és el nombre de files linealment independents.
Proporcionalitat. Fixa't que la segona fila, $(2, 4, 6)$ , és exactament el doble de la primera, $(1, 2, 3)$ : $F_2 = 2F_1$ .
Gauss. Fent $F_2 \to F_2 - 2F_1$ queda la fila $(0, 0, 0)$ : només hi ha una fila no nul·la.
Conclusió. Com que una fila és proporcional a l'altra, només n'hi ha una d'independent: el rang és 1.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 4

Donades les matrius A, de files (1, 2) i (3, -1), i B, de files (2, 0) i (1, 4), calcula A·B i B·A. Es compleix que A·B = B·A?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 4

Resultat

A\cdot B = \begin{pmatrix}4&8\\5&-4\end{pmatrix}

;

B\cdot A = \begin{pmatrix}2&4\\13&-2\end{pmatrix}

; no es compleix:

A\cdot B \neq B\cdot A

Resolució

Dades. $A = \begin{pmatrix}1&2\\3&-1\end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix}2&0\\1&4\end{pmatrix}$ . Cada element del producte s'obté multiplicant una fila de la primera matriu per una columna de la segona.
Càlcul d'A·B. Fila 1: $(1\cdot2 + 2\cdot1,\ 1\cdot0 + 2\cdot4) = (4,\ 8)$ . Fila 2: $(3\cdot2 + (-1)\cdot1,\ 3\cdot0 + (-1)\cdot4) = (5,\ -4)$ . $A\cdot B = \begin{pmatrix}4&8\\5&-4\end{pmatrix}$
Càlcul de B·A. Fila 1: $(2\cdot1 + 0\cdot3,\ 2\cdot2 + 0\cdot(-1)) = (2,\ 4)$ . Fila 2: $(1\cdot1 + 4\cdot3,\ 1\cdot2 + 4\cdot(-1)) = (13,\ -2)$ . $B\cdot A = \begin{pmatrix}2&4\\13&-2\end{pmatrix}$
Conclusió. Les dues matrius són diferents: $A\cdot B \neq B\cdot A$ . El producte de matrius no és commutatiu en general, i per això en una equació matricial cal multiplicar pel mateix costat a les dues bandes.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 5

Raona si és cert o fals: per a qualsevol matriu quadrada A, la matriu A + $A^{t}$ és simètrica. Comprova-ho amb A de files (1, 2) i (5, 3), i digues què passa amb A - $A^{t}$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 5

Resultat

Cert:

A + A^{t}

sempre és simètrica. Amb l'exemple,

A + A^{t} = \begin{pmatrix}2&7\\7&6\end{pmatrix}

(simètrica) i

A - A^{t} = \begin{pmatrix}0&-3\\3&0\end{pmatrix}

, que és antisimètrica.

Resolució

Definició. Una matriu M és simètrica si $M^{t} = M$ , i antisimètrica si $M^{t} = -M$ .
Propietats de la transposició. Com que $(M + N)^{t} = M^{t} + N^{t}$ i $(A^{t})^{t} = A$ : $(A + A^{t})^{t} = A^{t} + (A^{t})^{t} = A^{t} + A = A + A^{t}$ És la mateixa matriu, així que l'afirmació és certa per a qualsevol A quadrada.
Comprovació amb l'exemple. $A = \begin{pmatrix}1&2\\5&3\end{pmatrix}$ , $A^{t} = \begin{pmatrix}1&5\\2&3\end{pmatrix}$ i $A + A^{t} = \begin{pmatrix}2&7\\7&6\end{pmatrix}$ : els elements simètrics respecte de la diagonal coincideixen.
Cas de la resta. $A - A^{t} = \begin{pmatrix}0&-3\\3&0\end{pmatrix}$ . En general, $(A - A^{t})^{t} = A^{t} - A = -(A - A^{t})$ .
Conclusió. $A - A^{t}$ és antisimètrica: té zeros a la diagonal i els elements simètrics són oposats.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 6

A és una matriu quadrada d'ordre 3 amb det(A) = 3. Calcula, indicant quina propietat fas servir en cada cas, det(2A), det( $A^{t}$ ), det( $A^{-1}$ ) i det( $A^{2}$ ).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 6

Resultat

\det(2A) = 24

;

\det(A^{t}) = 3

;

\det(A^{-1}) = \tfrac{1}{3}

;

\det(A^{2}) = 9

Resolució

Dades. A és d'ordre 3 i $\det(A) = 3$ .
det(2A): factor per files. Multiplicar la matriu per 2 multiplica per 2 cadascuna de les 3 files, i cada fila treu un factor 2 del determinant: $\det(2A) = 2^{3}\cdot\det(A) = 8\cdot3 = 24$
det(A^t): transposició. El determinant no canvia en transposar: $\det(A^{t}) = \det(A) = 3$ .
det(A⁻¹) i det(A²): determinant del producte. Com que $\det(A)\cdot\det(A^{-1}) = \det(A\cdot A^{-1}) = \det(I) = 1$ , tenim $\det(A^{-1}) = \dfrac{1}{\det(A)} = \dfrac{1}{3}$ . I $\det(A^{2}) = \det(A\cdot A) = \det(A)\cdot\det(A) = 3^{2} = 9$ .
Error típic. Escriure $\det(2A) = 2\cdot\det(A) = 6$ : el factor surt elevat a l'ordre de la matriu (aquí, al cub).

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 7

Calcula la matriu inversa de A, de files (3, 5) i (1, 2), i comprova que A· $A^{-1}$ = I.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 7

Resultat

A^{-1} = \begin{pmatrix}2&-5\\-1&3\end{pmatrix}

, i

A\cdot A^{-1} = I

Resolució

Determinant. $\det(A) = 3\cdot2 - 5\cdot1 = 1 \neq 0$ , així que A té inversa.
Fórmula de la inversa 2×2. Per a $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$ : $A^{-1} = \dfrac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$ s'intercanvien els elements de la diagonal i es canvia el signe dels altres dos.
Càlcul. $A^{-1} = \dfrac{1}{1}\begin{pmatrix}2&-5\\-1&3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&-5\\-1&3\end{pmatrix}$
Comprovació. $A\cdot A^{-1}$ : fila 1 $(3\cdot2 + 5\cdot(-1),\ 3\cdot(-5) + 5\cdot3) = (1,\ 0)$ ; fila 2 $(1\cdot2 + 2\cdot(-1),\ 1\cdot(-5) + 2\cdot3) = (0,\ 1)$ . Surt la identitat, com cal.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 8

Calcula, pel mètode de Gauss, el rang de la matriu de files (1, -1, 2), (2, 1, 1) i (3, 0, 3).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 8

Resultat

\operatorname{rang} = 2

Resolució

Dades. Matriu de files $(1, -1, 2)$ , $(2, 1, 1)$ i $(3, 0, 3)$ . Per Gauss, fem zeros sota la diagonal; el rang és el nombre de files no nul·les que queden.
Zeros a la primera columna. $F_2 \to F_2 - 2F_1 = (0, 3, -3)$ i $F_3 \to F_3 - 3F_1 = (0, 3, -3)$ .
Zeros a la segona columna. Les dues files noves són iguals: $F_3 \to F_3 - F_2 = (0, 0, 0)$ . $\begin{pmatrix}1&-1&2\\0&3&-3\\0&0&0\end{pmatrix}$
Conclusió. Queden dues files no nul·les, $(1, -1, 2)$ i $(0, 3, -3)$ : el rang és 2. Comprovació: la tercera fila original és la suma de les dues primeres, $(1, -1, 2) + (2, 1, 1) = (3, 0, 3)$ .

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 9

Sense resoldre'ls, classifica aquests tres sistemes (compatible determinat, compatible indeterminat o incompatible) i justifica la resposta:
a) x + 2y = 3, 2x + 4y = 7
b) x + 2y = 3, 2x + 4y = 6
c) x + 2y = 3, x - y = 0

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 9

Apartat a)

Resultat

Incompatible:

\operatorname{rang}(A) = 1 \neq \operatorname{rang}(A|B) = 2

Resolució

Comparació de coeficients. La segona equació té els coeficients doble que la primera ( $2x + 4y$ ), però el terme independent no ( $7 \neq 2\cdot3 = 6$ ).
Rouché-Frobenius. $\operatorname{rang}(A) = 1$ i $\operatorname{rang}(A|B) = 2$ : rangs diferents, sistema incompatible.
Interpretació. Són dues rectes paral·leles: no tenen cap punt en comú.

Apartat b)

Resultat

Compatible indeterminat (infinites solucions):

\operatorname{rang}(A) = \operatorname{rang}(A|B) = 1 \lt 2

Resolució

Comparació. La segona equació és exactament el doble de la primera, terme independent inclòs ( $6 = 2\cdot3$ ).
Rouché-Frobenius. $\operatorname{rang}(A) = \operatorname{rang}(A|B) = 1$ , menor que el nombre d'incògnites (2): compatible indeterminat.
Interpretació. És la mateixa recta repetida; les solucions són $x = 3 - 2y$ , amb y qualsevol.

Apartat c)

Resultat

Compatible determinat (solució única,

x = 1,\ y = 1

Resolució

Comparació. Els coeficients no són proporcionals: $\tfrac{1}{1} \neq \tfrac{2}{-1}$ .
Determinant. $\det(A) = 1\cdot(-1) - 2\cdot1 = -3 \neq 0$ , de manera que $\operatorname{rang}(A) = \operatorname{rang}(A|B) = 2$ = nombre d'incògnites.
Conclusió. Compatible determinat: dues rectes que es tallen en un sol punt, $(x, y) = (1, 1)$ .

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 10

Escriu en forma matricial A·X = B el sistema 2x - y + 3z = 4, x + 2z = -1, 3x + y - z = 0. Indica l'ordre de cada matriu i escriu també la matriu ampliada (A|B).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 10

Resultat

\begin{pmatrix}2&-1&3\\1&0&2\\3&1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\-1\\0\end{pmatrix}

; A és 3×3, X i B són 3×1, i (A|B) és 3×4.

Resolució

Plantejament. La matriu de coeficients A es forma amb els coeficients de x, y, z de cada equació, posant 0 on falta una incògnita (la y de la segona equació); X és la columna d'incògnites i B la de termes independents.
Forma matricial. $\begin{pmatrix}2&-1&3\\1&0&2\\3&1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4\\-1\\0\end{pmatrix}$
Ordres. A és d'ordre 3×3, X és 3×1 i B és 3×1: el producte d'una 3×3 per una 3×1 dona una 3×1, com cal.
Matriu ampliada. S'obté afegint B com a quarta columna, i és d'ordre 3×4: $(A|B) = \left(\begin{array}{ccc|c}2&-1&3&4\\1&0&2&-1\\3&1&-1&0\end{array}\right)$
Error típic. Oblidar el 0 de la y a la segona equació, que desquadra tota la matriu.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell intermedi

Exercici 11

Calcula el determinant de la matriu 3×3 de files (1, 2, 0), (3, 1, 1) i (0, 2, 1) per la regla de Sarrus.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 11

Resultat

\det = -7

Resolució

Dades. $\begin{vmatrix}1&2&0\\3&1&1\\0&2&1\end{vmatrix}$
Regla de Sarrus. Sumem els productes de les tres diagonals descendents i restem els de les tres ascendents.
Diagonals descendents. $1\cdot1\cdot1 + 2\cdot1\cdot0 + 0\cdot3\cdot2 = 1 + 0 + 0 = 1$ .
Diagonals ascendents. $0\cdot1\cdot0 + 1\cdot1\cdot2 + 2\cdot3\cdot1 = 0 + 2 + 6 = 8$ .
Conclusió. $\det = 1 - 8 = -7$ . Com que no és zero, la matriu té inversa i el seu rang és 3.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 12

Estudia el rang de la matriu $M = \begin{pmatrix} k & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & k \end{pmatrix}$ segons els valors del paràmetre k.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 12

Resultat

k \neq 1

k \neq -2

\operatorname{rang}(M) = 3

; si

k = 1

\operatorname{rang}(M) = 1

; si

k = -2

\operatorname{rang}(M) = 2

Resolució

Plantejament. M és 3×3: tindrà rang 3 exactament quan $\det(M) \neq 0$ . Busquem, doncs, els valors de k que anul·len el determinant.
Determinant. Per Sarrus, $\det(M) = k^{3} + 1 + 1 - k - k - k = k^{3} - 3k + 2 = (k - 1)^{2}(k + 2)$ que s'anul·la per a $k = 1$ i $k = -2$ .
Cas general. Si $k \neq 1$ i $k \neq -2$ , el determinant no és zero i $\operatorname{rang}(M) = 3$ .
Cas k = 1. Les tres files són $(1, 1, 1)$ , totes iguals: $\operatorname{rang}(M) = 1$ .
Cas k = −2. $M = \begin{pmatrix}-2&1&1\\1&-2&1\\1&1&-2\end{pmatrix}$ . El determinant és 0, però el menor $\begin{vmatrix}-2&1\\1&-2\end{vmatrix} = 4 - 1 = 3 \neq 0$ , de manera que $\operatorname{rang}(M) = 2$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 13

Resol pel mètode de Cramer el sistema 2x + y = 5 i x - y = 1.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 13

Resultat

x = 2,\ y = 1

Resolució

Dades. Sistema $2x + y = 5$ , $x - y = 1$ . La matriu de coeficients és $\begin{pmatrix}2&1\\1&-1\end{pmatrix}$ , amb $\det = 2\cdot(-1) - 1\cdot1 = -3$ . Com que no és zero, es pot aplicar Cramer.
Regla de Cramer. Cada incògnita és un quocient de determinants: al numerador, la columna de la incògnita se substitueix pels termes independents $(5, 1)$ .
Càlcul de x. $x = \dfrac{\begin{vmatrix}5&1\\1&-1\end{vmatrix}}{-3} = \dfrac{5\cdot(-1) - 1\cdot1}{-3} = \dfrac{-6}{-3} = 2$
Càlcul de y. $y = \dfrac{\begin{vmatrix}2&5\\1&1\end{vmatrix}}{-3} = \dfrac{2\cdot1 - 5\cdot1}{-3} = \dfrac{-3}{-3} = 1$
Comprovació. $2\cdot2 + 1 = 5$ i $2 - 1 = 1$ . La solució és $x = 2,\ y = 1$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 14

En un sistema de 3 equacions amb 3 incògnites, el determinant de la matriu de coeficients val 6 (diferent de zero). Classifica el sistema sense resoldre'l.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 14

Resultat

Compatible determinat: té una única solució.

Resolució

Dades. Sistema 3×3 amb $\det(A) = 6 \neq 0$ .
Rang de A. Si $\det(A) \neq 0$ , la matriu de coeficients té rang màxim: $\operatorname{rang}(A) = 3$ .
Rang de l'ampliada. La matriu ampliada $(A|b)$ és 3×4 i no pot tenir rang més gran que 3 (només té 3 files), i com a mínim té el de A: $\operatorname{rang}(A|b) = 3$ .
Teorema de Rouché-Frobenius. $\operatorname{rang}(A) = \operatorname{rang}(A|b) = n = 3$ : el sistema és compatible determinat, amb una única solució (es podria trobar per Cramer).

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 15

Troba les matrius X i Y que compleixen el sistema 2X + Y = A, X - Y = B, on A té files (4, 3) i (1, 6) i B té files (-1, 3) i (-1, 3).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 15

Resultat

X = \begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}

Y = \begin{pmatrix}2&-1\\1&0\end{pmatrix}

Resolució

Plantejament. $2X + Y = A$ , $X - Y = B$ . Es resol com un sistema ordinari, perquè només hi intervenen sumes i productes per escalars.
Reducció. Sumant les dues equacions s'elimina Y: $3X = A + B$ , amb $A + B = \begin{pmatrix}3&6\\0&9\end{pmatrix}$ .
Càlcul de X. $X = \tfrac{1}{3}(A + B) = \begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}$
Càlcul de Y. De la segona equació, $Y = X - B$ : files $(1 - (-1),\ 2 - 3) = (2,\ -1)$ i $(0 - (-1),\ 3 - 3) = (1,\ 0)$ . $Y = \begin{pmatrix}2&-1\\1&0\end{pmatrix}$
Comprovació. $2X + Y$ té files $(2 + 2,\ 4 - 1) = (4,\ 3)$ i $(0 + 1,\ 6 + 0) = (1,\ 6)$ , que és A.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 16

Calcula, fent zeros amb les propietats dels determinants i desenvolupant per una línia, el determinant de la matriu
$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 16

Resultat

\det = -14

Resolució

Propietat. Restar a una fila un múltiple d'una altra no canvia el determinant. Fem zeros a la primera columna fent servir l'1 de la posició (1, 1).
Zeros. $F_2 \to F_2 - 2F_1 = (0, -1, 1, -2)$ i $F_4 \to F_4 - F_1 = (0, -2, 1, 1)$ ; la tercera fila ja comença per 0. $\begin{vmatrix}1&2&0&1\\0&-1&1&-2\\0&1&2&1\\0&-2&1&1\end{vmatrix}$
Desenvolupament per la primera columna. Només queda l'1 de la posició (1, 1), amb signe +: $\det = 1\cdot\begin{vmatrix}-1&1&-2\\1&2&1\\-2&1&1\end{vmatrix}$
Sarrus. Termes positius: $(-1)\cdot2\cdot1 + 1\cdot1\cdot(-2) + (-2)\cdot1\cdot1 = -2 - 2 - 2 = -6$ . Termes negatius: $(-2)\cdot2\cdot(-2) + (-1)\cdot1\cdot1 + 1\cdot1\cdot1 = 8 - 1 + 1 = 8$ .
Conclusió. $\det = -6 - 8 = -14$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 17

Resol l'equació matricial X·A + B = C, on A té files (2, 1) i (3, 2), B té files (1, 1) i (0, 2) i C té files (3, 2) i (7, 6).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 17

Resultat

X = \begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}

Resolució

Aïllem X. $X\cdot A = C - B$ . Com que A multiplica per la dreta, cal multiplicar per $A^{-1}$ per la dreta: $X = (C - B)\cdot A^{-1}$
Inversa de A. $\det(A) = 2\cdot2 - 1\cdot3 = 1$ , i $A^{-1} = \begin{pmatrix}2&-1\\-3&2\end{pmatrix}$ .
Càlcul. $C - B = \begin{pmatrix}2&1\\7&4\end{pmatrix}$ . Fila 1: $(2\cdot2 + 1\cdot(-3),\ 2\cdot(-1) + 1\cdot2) = (1,\ 0)$ ; fila 2: $(7\cdot2 + 4\cdot(-3),\ 7\cdot(-1) + 4\cdot2) = (2,\ 1)$ . $X = \begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}$
Comprovació. $X\cdot A$ té files $(2,\ 1)$ i $(4 + 3,\ 2 + 2) = (7,\ 4)$ ; sumant B surt $(3,\ 2)$ i $(7,\ 6)$ , que és C.
Error típic. Escriure $X = A^{-1}\cdot(C - B)$ : com que el producte no és commutatiu, sortiria una altra matriu.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 18

Calcula, pel mètode de la matriu adjunta, la inversa de la matriu A de files (1, 0, 1), (0, 1, 0) i (1, 1, 2). Comprova el resultat.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 18

Resultat

A^{-1} = \begin{pmatrix}2&1&-1\\0&1&0\\-1&-1&1\end{pmatrix}

Resolució

Determinant. Desenvolupant per la primera fila: $\det(A) = 1\cdot(1\cdot2 - 0\cdot1) - 0 + 1\cdot(0\cdot1 - 1\cdot1) = 2 - 1 = 1 \neq 0$ , de manera que existeix la inversa.
Adjunts. Cada adjunt és el menor complementari amb el signe $(-1)^{i+j}$ : $A_{11} = 2,\ A_{12} = 0,\ A_{13} = -1$ ; $A_{21} = 1,\ A_{22} = 1,\ A_{23} = -1$ ; $A_{31} = -1,\ A_{32} = 0,\ A_{33} = 1$ .
Fórmula de la inversa. $A^{-1} = \dfrac{1}{\det(A)}\,(\operatorname{Adj}A)^{t}$ . La matriu d'adjunts té files $(2, 0, -1)$ , $(1, 1, -1)$ i $(-1, 0, 1)$ ; la transposem i dividim per 1: $A^{-1} = \begin{pmatrix}2&1&-1\\0&1&0\\-1&-1&1\end{pmatrix}$
Comprovació. $A\cdot A^{-1}$ : fila 1 $\to (2 - 1,\ 1 - 1,\ -1 + 1) = (1, 0, 0)$ ; fila 3 $\to (2 + 0 - 2,\ 1 + 1 - 2,\ -1 + 0 + 2) = (0, 0, 1)$ . Surt la identitat.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 19

Estudia, segons els valors del paràmetre a, el rang de la matriu de files (1, 2, 3), (2, a, 6) i (3, 6, a).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 19

Resultat

\operatorname{rang} = 3

a \neq 4

a \neq 9

;

\operatorname{rang} = 2

a = 4

a = 9

Resolució

Plantejament. El rang és 3 quan el determinant no és zero; busquem els valors de a que l'anul·len.
Determinant. Desenvolupant per la primera fila: $\det = 1\cdot(a^{2} - 36) - 2\cdot(2a - 18) + 3\cdot(12 - 3a) = a^{2} - 13a + 36 = (a - 4)(a - 9)$
Cas general. Si $a \neq 4$ i $a \neq 9$ , el determinant és diferent de zero i el rang és 3.
Cas a = 4. Files $(1, 2, 3)$ , $(2, 4, 6)$ , $(3, 6, 4)$ : la segona és el doble de la primera, però el menor de les files 1 i 3 amb les columnes 1 i 3 val $1\cdot4 - 3\cdot3 = -5 \neq 0$ . Rang 2.
Cas a = 9. Files $(1, 2, 3)$ , $(2, 9, 6)$ , $(3, 6, 9)$ : la tercera és el triple de la primera, i el menor $\begin{vmatrix}1&2\\2&9\end{vmatrix} = 9 - 4 = 5 \neq 0$ . Rang 2.
Conclusió. Rang 3 si $a \neq 4$ i $a \neq 9$ ; rang 2 si $a = 4$ o $a = 9$ . Mai és 1, perquè sempre hi ha files no proporcionals.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 20

Resol pel mètode de Gauss el sistema x - y + 2z = 1, 2x + y + z = 5, 3x + 3z = 6, i expressa'n la solució en funció d'un paràmetre.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 20

Resultat

Compatible indeterminat:

(x, y, z) = (2 - t,\ 1 + t,\ t)

, amb

t \in \mathbb{R}

Resolució

Matriu ampliada. $\left(\begin{array}{ccc|c}1&-1&2&1\\2&1&1&5\\3&0&3&6\end{array}\right)$
Mètode de Gauss. $F_2 \to F_2 - 2F_1 = (0, 3, -3 \,|\, 3)$ i $F_3 \to F_3 - 3F_1 = (0, 3, -3 \,|\, 3)$ . Llavors $F_3 - F_2 = (0, 0, 0 \,|\, 0)$ : la tercera equació és combinació de les altres dues.
Discussió. $\operatorname{rang}(A) = \operatorname{rang}(A|B) = 2 \lt 3$ incògnites: sistema compatible indeterminat, amb un grau de llibertat.
Resolució. Prenem $z = t$ . De la segona fila, $3y - 3t = 3$ , és a dir, $y = 1 + t$ . De la primera, $x = 1 + y - 2z = 1 + 1 + t - 2t = 2 - t$ .
Comprovació. Amb $t = 1$ , $(1, 2, 1)$ : $1 - 2 + 2 = 1$ , $2 + 2 + 1 = 5$ i $3 + 3 = 6$ . Solució: $(x, y, z) = (2 - t,\ 1 + t,\ t)$ , amb t real qualsevol.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 21

En una cafeteria de Vic, dos croissants, un cafè i un suc costen 5,90 €; un croissant, dos cafès i un suc costen 6,20 €, i un croissant, un cafè i dos sucs costen 6,70 €. Planteja un sistema d'equacions i calcula el preu de cada producte.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 21

Resultat

Croissant

1{,}20\ \text{€}

; cafè

1{,}50\ \text{€}

; suc

2{,}00\ \text{€}

Resolució

Plantejament. Siguin x, y, z els preus (en €) del croissant, el cafè i el suc: $\begin{cases}2x + y + z = 5{,}9\\ x + 2y + z = 6{,}2\\ x + y + 2z = 6{,}7\end{cases}$
Suma de les tres equacions. $4x + 4y + 4z = 18{,}8$ , és a dir, $x + y + z = 4{,}7$ .
Càlcul. Restem aquesta igualtat de cada equació: de la primera, $x = 5{,}9 - 4{,}7 = 1{,}2$ ; de la segona, $y = 6{,}2 - 4{,}7 = 1{,}5$ ; de la tercera, $z = 6{,}7 - 4{,}7 = 2$ .
Comprovació. $2\cdot1{,}2 + 1{,}5 + 2 = 5{,}9$ €. També es pot resoldre per Gauss o per Cramer, amb $\det(A) = 4$ .
Conclusió. El croissant val 1,20 €, el cafè 1,50 € i el suc 2 €.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell avançat

Exercici 22

Resol l'equació matricial A·X = B, on A té files (2, 1) i (1, 1), i B és la columna (3, 1). Calcula primer la inversa de A.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 22

Resultat

A^{-1} = \begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}

;

X = \begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}

, és a dir,

x = 2,\ y = -1

Resolució

Aïllem X. Multiplicant $A\cdot X = B$ per l'esquerra per la inversa: $X = A^{-1}\cdot B$ .
Inversa de A. $\det(A) = 2\cdot1 - 1\cdot1 = 1 \neq 0$ , així que A té inversa. Per a una 2×2 s'intercanvien els elements de la diagonal, es canvia el signe dels altres dos i es divideix pel determinant: $A^{-1} = \begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}$
Producte. $X = \begin{pmatrix}1&-1\\-1&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\cdot3 + (-1)\cdot1\\(-1)\cdot3 + 2\cdot1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}$
Comprovació. Amb el sistema original: $2\cdot2 + 1\cdot(-1) = 3$ i $1\cdot2 + 1\cdot(-1) = 1$ , que són els termes de B.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 23

Resol pel mètode de Gauss el sistema x + y + z = 6, 2x - y + z = 3 i x + 2y - z = 2.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 23

Resultat

x = 1,\ y = 2,\ z = 3

(compatible determinat)

Resolució

Plantejament. Prenem la primera equació, $x + y + z = 6$ , com a referència per eliminar la x de les altres dues.
Eliminació. Segona menys el doble de la primera: $-3y - z = 3 - 12 = -9$ , és a dir, $3y + z = 9$ . Tercera menys la primera: $y - 2z = 2 - 6 = -4$ .
Sistema reduït. De $3y + z = 9$ aïllem $z = 9 - 3y$ i ho substituïm a $y - 2z = -4$ : $y - 2(9 - 3y) = -4$ , o sigui $7y = 14$ i $y = 2$ .
Substitució enrere. $z = 9 - 3\cdot2 = 3$ , i de la primera equació $x = 6 - 2 - 3 = 1$ .
Conclusió. $x = 1,\ y = 2,\ z = 3$ : sistema compatible determinat. Comprovació: $2 - 2 + 3 = 3$ i $1 + 4 - 3 = 2$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 24

Discuteix, segons els valors del paràmetre m, el sistema x + y + z = 1, x + my + z = 2, x + y + mz = 3. (Només cal dir de quin tipus és per a cada valor de m; no cal resoldre'l.)

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 24

Resultat

m \neq 1

: compatible determinat; si

m = 1

: incompatible.

Resolució

Plantejament. El paràmetre és a la matriu de coeficients $A = \begin{pmatrix}1&1&1\\1&m&1\\1&1&m\end{pmatrix}$ . Discutim amb el teorema de Rouché-Frobenius.
Determinant. $\det(A) = 1\cdot(m^{2} - 1) - 1\cdot(m - 1) + 1\cdot(1 - m) = m^{2} - 2m + 1 = (m - 1)^{2}$
Cas m ≠ 1. $\det(A) \neq 0$ , així que $\operatorname{rang}(A) = \operatorname{rang}(A|b) = 3$ = nombre d'incògnites: compatible determinat (solució única).
Cas m = 1. Les tres files de A són iguals, $(1, 1, 1)$ , i $\operatorname{rang}(A) = 1$ . La columna de termes independents $(1, 2, 3)$ fa pujar el rang de l'ampliada a 2 (per exemple, $\begin{vmatrix}1&1\\1&2\end{vmatrix} = 1 \neq 0$ ). Com que $1 \neq 2$ , incompatible.
Conclusió. Si m és diferent d'1, compatible determinat; si $m = 1$ , incompatible (les equacions dirien alhora $x + y + z = 1, 2$ i $3$ ).

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 25

Considera el sistema homogeni x + 2y - z = 0, 2x + ay + z = 0, x - y + 2z = 0.
a) Determina per a quins valors de a té solucions diferents de la trivial.
b) Resol-lo per a aquest valor de a.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 25

Apartat a)

Resultat

Només per a

a = 1

(llavors

\det(A) = 0

); per a

a \neq 1

l'única solució és la trivial.

Resolució

Sistema homogeni. Sempre és compatible, perquè té la solució $(0, 0, 0)$ . Té més solucions només si $\operatorname{rang}(A) \lt 3$ , és a dir, si $\det(A) = 0$ .
Determinant. $\det(A) = 1\cdot(2a + 1) - 2\cdot(4 - 1) + (-1)\cdot(-2 - a) = 2a + 1 - 6 + 2 + a = 3a - 3$
Conclusió. S'anul·la només per a $a = 1$ . Per tant, si $a \neq 1$ l'única solució és la trivial, i si $a = 1$ hi ha infinites solucions (compatible indeterminat).

Apartat b)

Resultat

(x, y, z) = (t,\ -t,\ -t)

, amb

t \in \mathbb{R}

Resolució

Sistema per a a = 1. $x + 2y - z = 0$ , $2x + y + z = 0$ , $x - y + 2z = 0$ . Té rang 2: un grau de llibertat.
Reducció. Sumant les dues primeres: $3x + 3y = 0$ , és a dir, $y = -x$ . De la primera, $z = x + 2y = x - 2x = -x$ .
Solució. Amb $x = t$ : $(x, y, z) = (t,\ -t,\ -t)$ , amb t un nombre real qualsevol.
Comprovació. A la tercera equació: $t - (-t) + 2(-t) = 0$ . Correcte.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 26

Discuteix, segons els valors del paràmetre a, el sistema x + y - z = 1, 2x + 3y + az = 3, x + ay + 3z = 2, i resol-lo en el cas en què sigui compatible indeterminat.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 26

Resultat

a \neq 2

a \neq -3

: compatible determinat; si

a = -3

: incompatible; si

a = 2

: compatible indeterminat, amb solució

(x, y, z) = (5t,\ 1 - 4t,\ t)

Resolució

Determinant. $\det(A) = 1\cdot(9 - a^{2}) - 1\cdot(6 - a) + (-1)\cdot(2a - 3) = -a^{2} - a + 6 = -(a - 2)(a + 3)$
Cas general. Si $a \neq 2$ i $a \neq -3$ : $\det(A) \neq 0$ , $\operatorname{rang}(A) = \operatorname{rang}(A|B) = 3$ = nombre d'incògnites. Pel teorema de Rouché-Frobenius, compatible determinat.
Cas a = 2. Files de $(A|B)$ : $(1, 1, -1 \,|\, 1)$ , $(2, 3, 2 \,|\, 3)$ , $(1, 2, 3 \,|\, 2)$ . Gauss: $F_2 - 2F_1 = (0, 1, 4 \,|\, 1)$ i $F_3 - F_1 = (0, 1, 4 \,|\, 1)$ , iguals. $\operatorname{rang}(A) = \operatorname{rang}(A|B) = 2 \lt 3$ : compatible indeterminat.
Cas a = −3. $F_2 - 2F_1 = (0, 1, -1 \,|\, 1)$ i $F_3 - F_1 = (0, -4, 4 \,|\, 1)$ ; llavors $F_3 + 4F_2 = (0, 0, 0 \,|\, 5)$ , és a dir, $0 = 5$ . $\operatorname{rang}(A) = 2$ i $\operatorname{rang}(A|B) = 3$ : incompatible.
Resolució per a a = 2. Amb $z = t$ , de la segona fila $y = 1 - 4t$ , i de la primera $x = 1 - y + z = 1 - 1 + 4t + t = 5t$ . Solució: $(5t,\ 1 - 4t,\ t)$ .
Comprovació. Amb $t = 0$ , $(0, 1, 0)$ compleix $0 + 1 - 0 = 1$ , $0 + 3 + 0 = 3$ i $0 + 2 + 0 = 2$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 27

Sigui A la matriu de files (a, 1, 0), (1, a, 1) i (0, 1, a).
a) Determina per a quins valors de a la matriu A té inversa.
b) Calcula $A^{-1}$ per a a = 2.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 27

Apartat a)

Resultat

A és invertible per a tot

a \neq 0,\ \sqrt{2},\ -\sqrt{2}

Resolució

Condició. A té inversa si i només si $\det(A) \neq 0$ .
Determinant. Desenvolupant per la primera fila: $\det(A) = a\cdot(a^{2} - 1) - 1\cdot(a - 0) + 0 = a^{3} - 2a = a(a^{2} - 2)$
Conclusió. S'anul·la per a $a = 0$ , $a = \sqrt{2}$ i $a = -\sqrt{2}$ . Per a qualsevol altre valor, A és invertible.

Apartat b)

Resultat

A^{-1} = \dfrac{1}{4}\begin{pmatrix}3&-2&1\\-2&4&-2\\1&-2&3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac34&-\tfrac12&\tfrac14\\-\tfrac12&1&-\tfrac12\\\tfrac14&-\tfrac12&\tfrac34\end{pmatrix}

Resolució

Dades. Per a $a = 2$ , $A = \begin{pmatrix}2&1&0\\1&2&1\\0&1&2\end{pmatrix}$ i $\det(A) = 2\cdot(4 - 2) = 4$ (o bé $8 - 4 = 4$ ).
Adjunts. $A_{11} = 3,\ A_{12} = -2,\ A_{13} = 1$ ; $A_{21} = -2,\ A_{22} = 4,\ A_{23} = -2$ ; $A_{31} = 1,\ A_{32} = -2,\ A_{33} = 3$ . Com que A és simètrica, la matriu d'adjunts transposada coincideix amb ella mateixa.
Fórmula de la inversa. $A^{-1} = \dfrac{1}{\det(A)}(\operatorname{Adj}A)^{t} = \dfrac{1}{4}\begin{pmatrix}3&-2&1\\-2&4&-2\\1&-2&3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\tfrac34&-\tfrac12&\tfrac14\\-\tfrac12&1&-\tfrac12\\\tfrac14&-\tfrac12&\tfrac34\end{pmatrix}$
Comprovació. La primera fila de A per la primera columna de $A^{-1}$ : $2\cdot\tfrac34 + 1\cdot(-\tfrac12) + 0 = 1$ ; per la segona columna: $2\cdot(-\tfrac12) + 1\cdot1 + 0 = 0$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 28

Troba totes les matrius X d'ordre 2 que commuten amb A, de files (1, 2) i (0, 1), és a dir, que compleixen A·X = X·A. Escriu-ne dos exemples concrets diferents de la identitat.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 28

Resultat

X = \begin{pmatrix}p&q\\0&p\end{pmatrix}

, amb

p, q \in \mathbb{R}

. Exemples:

\begin{pmatrix}2&5\\0&2\end{pmatrix}

\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}

Resolució

Plantejament. Sigui $X = \begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}$ . Calculem els dos productes: $A\cdot X = \begin{pmatrix}p + 2r&q + 2s\\r&s\end{pmatrix},\qquad X\cdot A = \begin{pmatrix}p&2p + q\\r&2r + s\end{pmatrix}$
Igualtat element a element. $p + 2r = p \Rightarrow r = 0$ ; $q + 2s = 2p + q \Rightarrow s = p$ ; $r = r$ ; $2r + s = s \Rightarrow r = 0$ (coherent).
Solució general. $X = \begin{pmatrix}p&q\\0&p\end{pmatrix}$ , amb p i q reals qualssevol: totes les matrius triangulars superiors amb els dos elements de la diagonal iguals. La mateixa A és d'aquesta forma ( $p = 1,\ q = 2$ ), com era d'esperar.
Exemples i comprovació. $\begin{pmatrix}2&5\\0&2\end{pmatrix}$ o $\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ . Amb la primera, $A\cdot X$ té files $(2, 9)$ i $(0, 2)$ , i $X\cdot A$ té files $(2, 4 + 5) = (2, 9)$ i $(0, 2)$ : commuten.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 29

Sigui A la matriu de files (2, -1) i (1, 0).
a) Comprova que $A^{2}$ = 2A - I.
b) Demostra que $A^{n}$ = n·A - (n - 1)·I per a tot nombre natural n, i calcula $A^{10}$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 29

Apartat a)

Resultat

A^{2} = 2A - I = \begin{pmatrix}3&-2\\2&-1\end{pmatrix}

: es compleix.

Resolució

Càlcul de A². Files $(2\cdot2 + (-1)\cdot1,\ 2\cdot(-1) + (-1)\cdot0) = (3,\ -2)$ i $(1\cdot2 + 0\cdot1,\ 1\cdot(-1) + 0\cdot0) = (2,\ -1)$ .
Càlcul de 2A − I. Files $(4 - 1,\ -2 - 0) = (3,\ -2)$ i $(2 - 0,\ 0 - 1) = (2,\ -1)$ .
Conclusió. Les dues matrius coincideixen: $A^{2} = 2A - I$ .

Apartat b)

Resultat

A^{n} = nA - (n - 1)I = \begin{pmatrix}n + 1&-n\\n&1 - n\end{pmatrix}

;

A^{10} = \begin{pmatrix}11&-10\\10&-9\end{pmatrix}

Resolució

Inducció: cas base. Per a $n = 1$ és evident ( $A = 1\cdot A - 0\cdot I$ ), i per a $n = 2$ és l'apartat a).
Pas d'inducció. Suposem $A^{n} = nA - (n - 1)I$ . Aleshores, fent servir $A^{2} = 2A - I$ : $A^{n+1} = A^{n}\cdot A = nA^{2} - (n - 1)A = n(2A - I) - (n - 1)A = (n + 1)A - nI$ que és la fórmula per a $n + 1$ .
En components. $A^{n}$ té files $(2n - (n - 1),\ -n) = (n + 1,\ -n)$ i $(n,\ -(n - 1)) = (n,\ 1 - n)$ .
Càlcul de A¹⁰. $A^{10} = 10A - 9I = \begin{pmatrix}11&-10\\10&-9\end{pmatrix}$
Comprovació. $A^{3} = A^{2}\cdot A$ té files $(3\cdot2 - 2\cdot1,\ -3 + 0) = (4,\ -3)$ i $(2\cdot2 - 1\cdot1,\ -2 + 0) = (3,\ -2)$ , que coincideix amb la fórmula per a $n = 3$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 30

Raona si cada afirmació és certa o falsa (si és falsa, dona un contraexemple):
a) Si A i B són matrius quadrades amb A·B = 0 (matriu nul·la), aleshores A = 0 o B = 0.
b) Si A és invertible i $A^{2}$ = A, aleshores A = I.
c) Si A és una matriu 3×3 de rang 3, el sistema A·X = B és compatible determinat sigui quina sigui la columna B.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 30

Apartat a)

Resultat

Falsa. Contraexemple:

A = B = \begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}

compleixen

A\cdot B = 0

sense ser nul·les.

Resolució

Contraexemple. Amb $A = B = \begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ , el producte $A\cdot B$ és la matriu nul·la i cap de les dues és zero.
Conclusió. A diferència dels nombres, en matrius hi ha divisors de zero: la regla «si $ab = 0$ , llavors $a = 0$ o $b = 0$ » no val.

Apartat b)

Resultat

Certa: multiplicant per

A^{-1}

s'obté

A = I

Resolució

Demostració. Multiplicant $A^{2} = A$ per $A^{-1}$ per l'esquerra: $A^{-1}\cdot A\cdot A = A^{-1}\cdot A$ , és a dir, $I\cdot A = I$ , i per tant $A = I$ .
Paper de la hipòtesi. Sense la hipòtesi d'invertible seria falsa: $\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$ compleix $A^{2} = A$ i no és la identitat.

Apartat c)

Resultat

Certa:

\operatorname{rang}(A) = \operatorname{rang}(A|B) = 3

per a qualsevol B, i la solució única és

X = A^{-1}B

Resolució

Rangs. Si $\operatorname{rang}(A) = 3$ , aleshores $\det(A) \neq 0$ ; la matriu ampliada $(A|B)$ també té rang 3, perquè conté A i no pot tenir rang més gran que el nombre de files (3).
Teorema de Rouché-Frobenius. $\operatorname{rang}(A) = \operatorname{rang}(A|B) = 3$ = nombre d'incògnites: el sistema és compatible determinat sigui quina sigui B, amb solució única $X = A^{-1}\cdot B$ (o per Cramer).

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preparat per a la universitat

Els exercicis més exigents: nivell PAU alt i primer curs de grau. Veure totes les matèries

Exercici 31

Una rotonda té quatre trams d'un sol sentit, $AB$ , $BC$ , $CD$ i $DA$ , amb fluxos $x_1, x_2, x_3, x_4$ (vehicles per hora), respectivament. Als quatre encreuaments entren i surten vehicles de l'exterior: a A entren 400 veh/h i en surten 250; a B entren 300 i en surten 350; a C entren 250 i en surten 150; a D entren 100 i en surten 300. En règim estacionari, a cada encreuament el que arriba és igual al que marxa.
a) Planteja el sistema, escriu-ne la matriu ampliada i discuteix-lo amb el mètode de Gauss. Resol-lo.
b) Els fluxos no poden ser negatius, i el tram $BC$ admet com a màxim 300 veh/h. Entre quins valors pot variar $x_4$ ? Quin és el flux total mínim que circula per la rotonda?
c) Per obres, el tram $DA$ queda tallat ( $x_4=0$ ). Quin flux hi ha als altres trams?
d) Si a l'encreuament A entressin 450 veh/h en lloc de 400 (la resta igual), demostra que el sistema seria incompatible i explica-ho en termes de trànsit.

Pista 1

Escriu una equació per encreuament: vehicles que hi arriben (pel tram anterior i de l'exterior) = vehicles que en marxen (pel tram següent i cap a l'exterior).

Pista 2

Fixa't que, en fer Gauss, una de les equacions desapareix. Quina llei de conservació global hi ha al darrere?

Pista 3

A b), imposa $x_i\ge 0$ i $x_2\le 300$ sobre la solució escrita en funció del paràmetre $x_4$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 31

Apartat a)

Resultat

Compatible indeterminat (

\operatorname{rang} = 3 \lt 4

x_1 = t + 150,\ x_2 = t + 100,\ x_3 = t + 200,\ x_4 = t

Resolució

Plantejament. A cada encreuament, el que arriba (pel tram anterior i de l'exterior) és igual al que marxa (pel tram següent i cap a l'exterior): $\begin{aligned}A:&\ x_4 + 400 = x_1 + 250 &&\Rightarrow x_1 - x_4 = 150\\ B:&\ x_1 + 300 = x_2 + 350 &&\Rightarrow x_1 - x_2 = 50\\ C:&\ x_2 + 250 = x_3 + 150 &&\Rightarrow x_2 - x_3 = -100\\ D:&\ x_3 + 100 = x_4 + 300 &&\Rightarrow x_3 - x_4 = 200\end{aligned}$
Matriu ampliada. $\left(\begin{array}{cccc|c}1&0&0&-1&150\\1&-1&0&0&50\\0&1&-1&0&-100\\0&0&1&-1&200\end{array}\right)$
Mètode de Gauss. Fem $F_2 \to F_2 - F_1$ , després $F_3 \to F_3 + F_2$ i $F_4 \to F_4 + F_3$ ; la darrera fila queda $(0\ 0\ 0\ 0 \,|\, 0)$ . Per tant $\operatorname{rang}(A) = \operatorname{rang}(A^{*}) = 3 \lt 4$ : sistema compatible indeterminat amb un paràmetre.
Resolució. Posant $x_4 = t$ : $x_1 = t + 150,\qquad x_2 = t + 100,\qquad x_3 = t + 200,\qquad x_4 = t$
Interpretació. La fila que desapareix expressa una llei de conservació global: el total que entra a la rotonda ( $400 + 300 + 250 + 100 = 1050$ ) és igual al total que en surt ( $250 + 350 + 150 + 300 = 1050$ ). Per això les quatre equacions no són independents.

Apartat b)

Resultat

0 \le x_4 \le 200

veh/h; flux total mínim

450

veh/h (per a

x_4 = 0

Resolució

Restriccions. Tots els fluxos han de ser no negatius i $x_2 \le 300$ . Com que $x_1, x_2, x_3$ valen $t$ més una quantitat positiva, n'hi ha prou amb $x_4 = t \ge 0$ .
Límit del tram BC. $x_2 = t + 100 \le 300 \iff t \le 200$ (l'enunciat només limita el tram BC). Així $0 \le x_4 \le 200$ veh/h.
Flux total. $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 4t + 450$ , que creix amb t: el mínim és $450$ veh/h, per a $t = 0$ .

Apartat c)

Resultat

x_1 = 150,\ x_2 = 100,\ x_3 = 200

veh/h (i

x_4 = 0

Resolució

Substitució. Amb $t = x_4 = 0$ : $(x_1, x_2, x_3, x_4) = (150,\ 100,\ 200,\ 0)$ . És un valor admissible de b).
Interpretació. El tram més carregat és CD (200 veh/h), que absorbeix la diferència entre els 250 vehicles que arriben a C de l'exterior i els 150 que en surten.

Apartat d)

Resultat

El sistema és incompatible (

0 = -50

): entrarien 50 veh/h més dels que en surten i no hi hauria règim estacionari.

Resolució

Nova equació. Si a A entren 450, la primera equació passa a ser $x_1 - x_4 = 200$ ; la resta no canvia.
Gauss. Les mateixes operacions donen ara l'última fila $(0\ 0\ 0\ 0 \,|\, -50)$ , és a dir, $0 = -50$ : $\operatorname{rang}(A) = 3 \lt \operatorname{rang}(A^{*}) = 4$ , sistema incompatible.
Interpretació. Ara entrarien 1100 veh/h i en sortirien 1050: els 50 vehicles de més s'acumularien a la rotonda, i no hi pot haver cap règim estacionari.

Errors típics

Pensar que, com que hi ha 4 equacions i 4 incògnites, el sistema ha de ser compatible determinat sense calcular el rang.
Oblidar les entrades i sortides de l'exterior en plantejar les equacions dels nodes.
Donar la solució amb paràmetre i no imposar després $x_i\ge 0$ : un flux negatiu no té sentit.
Interpretar «incompatible» com «el càlcul està mal fet» en lloc de com una incoherència del model.

Conceptes treballats: modelització amb sistemes lineals, matriu ampliada, mètode de Gauss, teorema de Rouché-Frobenius (rang), sistema compatible indeterminat, interpretació de la solució amb restriccions.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 32

Una xarxa de bicicletes compartides té dues estacions, A i B, i 100 bicicletes en total. Cada vespre, el 80 % de les bicicletes que són a A al matí hi són també l'endemà al matí i el 20 % acaba a B; de les que són a B, el 70 % hi torna i el 30 % acaba a A. Avui al matí n'hi ha 30 a A i 70 a B (considerem valors esperats, per això poden sortir decimals).
a) Escriu la matriu $M$ que transforma el vector $X_n=\begin{pmatrix}A_n\\B_n\end{pmatrix}$ en $X_{n+1}$ i calcula la distribució d'aquí a 1 dia i a 2 dies.
b) Existeix una distribució estable ( $MX=X$ )? Troba-la i raona per què cal que $\det(M-I)=0$ .
c) Demostra que $d_n=A_n-60$ compleix $d_{n+1}=\tfrac12 d_n$ i dedueix una fórmula per a $A_n$ i el seu límit.
d) Cap a quina distribució tendiria el sistema si avui es partís d'una altra distribució inicial qualsevol? Per què la suma $A_n+B_n$ es manté constant?

Pista 1

Cada columna de $M$ descriu cap on van les bicicletes d'una estació: les columnes han de sumar 1.

Pista 2

Una distribució estable és un vector $X\ne 0$ tal que $(M-I)X=0$ . Quan un sistema homogeni té solucions no nul·les?

Pista 3

Per a c), substitueix $B_n=100-A_n$ i obtindràs una recurrència d'una sola variable.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 32

Apartat a)

Resultat

M = \begin{pmatrix}0{,}8&0{,}3\\0{,}2&0{,}7\end{pmatrix}

;

X_1 = \begin{pmatrix}45\\55\end{pmatrix}

X_2 = \begin{pmatrix}52{,}5\\47{,}5\end{pmatrix}

Resolució

Matriu de transició. Cada columna descriu cap on van les bicicletes d'una estació (i suma 1): $A_{n+1} = 0{,}8A_n + 0{,}3B_n$ , $B_{n+1} = 0{,}2A_n + 0{,}7B_n$ . $M = \begin{pmatrix}0{,}8&0{,}3\\0{,}2&0{,}7\end{pmatrix}$
D'aquí a 1 dia. $X_1 = MX_0 = \begin{pmatrix}0{,}8\cdot30 + 0{,}3\cdot70\\0{,}2\cdot30 + 0{,}7\cdot70\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}45\\55\end{pmatrix}$
D'aquí a 2 dies. $X_2 = MX_1 = \begin{pmatrix}0{,}8\cdot45 + 0{,}3\cdot55\\0{,}2\cdot45 + 0{,}7\cdot55\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}52{,}5\\47{,}5\end{pmatrix}$

Apartat b)

Resultat

Sí:

A = 60,\ B = 40

. Cal

\det(M - I) = 0

perquè el sistema homogeni

(M - I)X = 0

tingui solucions no nul·les.

Resolució

Plantejament. Una distribució estable compleix $MX = X \iff (M - I)X = 0$ , amb $X \neq 0$ (hi ha 100 bicicletes).
Sistema homogeni. Només té solucions no nul·les si el determinant és zero. Efectivament: $\det(M - I) = \begin{vmatrix}-0{,}2&0{,}3\\0{,}2&-0{,}3\end{vmatrix} = 0{,}06 - 0{,}06 = 0$
Resolució. Les dues equacions són la mateixa, $-0{,}2A + 0{,}3B = 0$ , és a dir, $2A = 3B$ : una recta de solucions. Cal afegir-hi la condició $A + B = 100$ , i surt $A = 60,\ B = 40$ .

Apartat c)

Resultat

A_n = 60 - 30\left(\tfrac12\right)^{n}

;

\displaystyle\lim_{n\to\infty} A_n = 60

Resolució

Una sola variable. Com que $B_n = 100 - A_n$ : $A_{n+1} = 0{,}8A_n + 0{,}3(100 - A_n) = 0{,}5A_n + 30$ .
Recurrència de d_n. $d_{n+1} = A_{n+1} - 60 = 0{,}5A_n - 30 = \tfrac12(A_n - 60) = \tfrac12 d_n$ .
Progressió geomètrica. De raó $\tfrac12$ i $d_0 = 30 - 60 = -30$ , així que $d_n = -30\left(\tfrac12\right)^{n}$ i $A_n = 60 - 30\left(\tfrac12\right)^{n},\qquad \lim_{n\to\infty} A_n = 60$
Comprovació. $A_2 = 60 - 30/4 = 52{,}5$ , com a l'apartat a). La distribució tendeix a 60/40, però no hi arriba en un nombre finit de dies.

Apartat d)

Resultat

Sempre tendeix a

(60, 40)

; la suma es manté perquè les columnes de M sumen 1 (cap bicicleta es perd ni es crea).

Resolució

Qualsevol distribució inicial. Amb $A_0$ qualsevol, $d_n = (A_0 - 60)/2^{n} \to 0$ : sempre es tendeix a $(60, 40)$ . La distribució estable és un estat d'equilibri al qual s'arriba des de qualsevol punt de partida.
Conservació. $A_{n+1} + B_{n+1} = (0{,}8 + 0{,}2)A_n + (0{,}3 + 0{,}7)B_n = A_n + B_n$ , perquè les columnes de M sumen 1.
Interpretació. Cada bicicleta que surt d'una estació arriba a l'altra (o s'hi queda): no se'n perden ni se'n creen, i el total sempre és 100.

Errors típics

Fer la matriu per files en lloc de per columnes (cal que $MX$ tingui el sentit «de l'estació cap a l'altra» correcte).
Buscar la distribució estable resolent només $MX=X$ i oblidar la condició $A+B=100$ : la solució és una recta, no un punt.
Concloure que, com que $\det(M-I)=0$ , «no hi ha solució»: justament perquè és zero n'hi ha de no trivials.
Afirmar que la distribució arriba a 60/40 al cap d'un nombre finit de dies: només hi tendeix.

Conceptes treballats: producte de matrius, matrius de transició, sistemes homogenis i determinant, recurrències geomètriques, límit i interpretació de l'estat estacionari.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 33

Considera la matriu $A=\begin{pmatrix}3&1&0\\1&k&1\\0&1&3\end{pmatrix}$ i el vector columna $C=\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}$ . Cerquem vectors columna $X$ tals que $AX=2X+C$ .
a) Reescriu l'equació com $(A-2I)X=C$ i determina per a quins valors de $k$ té solució única.
b) Resol-la per a $k=5$ .
c) Per a $k=4$ , resol l'equació i interpreta geomètricament el resultat. Què passa si en lloc de $C=(1,2,1)^t$ fos $C=(1,3,1)^t$ ?
d) Per a $k=4$ , troba la condició que han de complir $c_1,c_2,c_3$ perquè $(A-2I)X=(c_1,c_2,c_3)^t$ tingui solució, i explica-la mirant les files de la matriu.

Pista 1

$AX-2X=(A-2I)X$ : no pots «treure factor comú» $X$ sense posar la matriu identitat.

Pista 2

El nombre de solucions depèn del determinant de $A-2I$ i, quan val 0, del rang de la matriu ampliada.

Pista 3

A d), observa la relació entre les tres files de $A-2I$ quan $k=4$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 33

Apartat a)

Resultat

\det(A - 2I) = k - 4

: solució única si i només si

k \neq 4

Resolució

Reescriptura. $AX = 2X + C \iff AX - 2IX = C \iff (A - 2I)X = C$ . Cal la identitat: no es pot restar un nombre a una matriu. $A - 2I = \begin{pmatrix}1&1&0\\1&k-2&1\\0&1&1\end{pmatrix}$
Determinant. Desenvolupant per la primera fila: $\det(A - 2I) = 1\cdot\big((k - 2) - 1\big) - 1\cdot(1 - 0) = k - 4$ .
Conclusió. Hi ha solució única (sistema de Cramer) si i només si $k \neq 4$ .

Apartat b)

Resultat

X = \begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}

Resolució

Sistema per a k = 5. $x + y = 1$ , $x + 3y + z = 2$ , $y + z = 1$ .
Resolució. De la primera i la tercera, $x = z = 1 - y$ ; a la segona, $(1 - y) + 3y + (1 - y) = 2$ , és a dir, $2 + y = 2$ : $y = 0$ , i $x = z = 1$ .
Comprovació. $AX = (3, 2, 3)^{t}$ i $2X + C = (2, 0, 2)^{t} + (1, 2, 1)^{t} = (3, 2, 3)^{t}$ .

Apartat c)

Resultat

X = (\lambda,\ 1 - \lambda,\ \lambda)^{t}

: una recta de solucions. Amb

C = (1, 3, 1)^{t}

, incompatible.

Resolució

Rang per a k = 4. $\det = 0$ i $\operatorname{rang}(A - 2I) = 2$ : la fila 2, $(1, 2, 1)$ , és la suma de la 1 i la 3.
Sistema. $x + y = 1$ , $x + 2y + z = 2$ , $y + z = 1$ . La segona equació és la suma de les altres dues, terme independent inclòs ( $2 = 1 + 1$ ): compatible indeterminat.
Solució. Amb $x = \lambda$ : $y = 1 - \lambda$ , $z = 1 - y = \lambda$ . $X = (\lambda,\ 1 - \lambda,\ \lambda)^{t}$ : geomètricament, els tres plans es tallen en una recta.
Cas C = (1, 3, 1)^t. La segona equació diria $3 = 1 + 1$ : $\operatorname{rang}(A^{*}) = 3 \gt 2$ , sistema incompatible. Amb la mateixa $A - 2I$ , el sistema pot ser compatible o incompatible segons C.

Apartat d)

Resultat

c_2 = c_1 + c_3

(és a dir,

c_1 - c_2 + c_3 = 0

Resolució

Relació entre files. Per a $k = 4$ , fila 2 = fila 1 + fila 3 a la matriu $A - 2I$ .
Condició de compatibilitat. El sistema només té solució si el terme independent compleix la mateixa relació (si no, el rang de l'ampliada puja a 3): $c_2 = c_1 + c_3$ .
Comprovació. Els dos casos de c) hi encaixen: $2 = 1 + 1$ sí (compatible), $3 = 1 + 1$ no (incompatible).

Errors típics

Escriure $AX-2X=(A-2)X$ (restar un nombre a una matriu): cal $2I$ .
Aplicar Cramer quan $\det=0$ , o concloure que «si el determinant és 0, no hi ha solució».
Oblidar mirar el rang de la matriu ampliada quan $k=4$ : amb el mateix $A-2I$ el sistema pot ser compatible o incompatible segons $C$ .
Donar la solució de c) com un únic vector sense paràmetre.

Conceptes treballats: equacions matricials, discussió de sistemes segons un paràmetre i segons el terme independent, determinants, rang, compatibilitat (Rouché-Frobenius).

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 34

Sigui $A=\begin{pmatrix}3&-2&2\\1&0&1\\0&0&1\end{pmatrix}$ .
a) Comprova que $A^2=3A-2I$ .
b) Dedueix, sense aplicar cap fórmula d'inversió, que $A$ és invertible i expressa $A^{-1}$ en funció de $A$ i $I$ . Calcula'n els elements.
c) Demostra per inducció que $A^n=(2^n-1)A-(2^n-2)I$ per a tot $n\ge 1$ i calcula $A^{10}$ .
d) De $A^2-3A+2I=0$ es pot escriure $(A-I)(A-2I)=0$ . Vol dir això que $A=I$ o $A=2I$ ? Raona la resposta.

Pista 1

Per a b), aïlla la matriu identitat: de $A^2-3A=-2I$ treu $A$ factor comú per l'esquerra.

Pista 2

Per a la inducció, a la hipòtesi per a $n$ multiplica per $A$ i substitueix $A^2$ per $3A-2I$ .

Pista 3

A d), compara el que passa amb nombres reals (si $ab=0$ llavors $a=0$ o $b=0$ ) amb el producte de matrius.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 34

Apartat a)

Resultat

A^{2} = 3A - 2I = \begin{pmatrix}7&-6&6\\3&-2&3\\0&0&1\end{pmatrix}

: es compleix.

Resolució

Càlcul de A². Fila per columna: $A^{2} = \begin{pmatrix}7&-6&6\\3&-2&3\\0&0&1\end{pmatrix}$
Càlcul de 3A − 2I. $3A - 2I = \begin{pmatrix}9-2&-6&6\\3&-2&3\\0&0&3-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}7&-6&6\\3&-2&3\\0&0&1\end{pmatrix}$
Conclusió. Coincideixen: $A^{2} = 3A - 2I$ .

Apartat b)

Resultat

A^{-1} = \tfrac12(3I - A) = \begin{pmatrix}0&1&-1\\-\tfrac12&\tfrac32&-\tfrac12\\0&0&1\end{pmatrix}

Resolució

Aïllem la identitat. $A^{2} - 3A = -2I \iff A(A - 3I) = -2I \iff A\cdot\dfrac{3I - A}{2} = I$ .
Conclusió teòrica. Existeix una matriu que multiplicada per A dona I; per tant A és invertible i $A^{-1} = \tfrac12(3I - A)$ , sense aplicar cap fórmula d'inversió.
Elements. $A^{-1} = \tfrac12\begin{pmatrix}0&2&-2\\-1&3&-1\\0&0&2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0&1&-1\\-\tfrac12&\tfrac32&-\tfrac12\\0&0&1\end{pmatrix}$

Apartat c)

Resultat

A^{10} = 1023A - 1022I = \begin{pmatrix}2047&-2046&2046\\1023&-1022&1023\\0&0&1\end{pmatrix}

Resolució

Cas base. Per a $n = 1$ : $(2 - 1)A - (2 - 2)I = A$ . Correcte.
Pas d'inducció. Suposem la fórmula certa per a n. Multiplicant per A i substituint $A^{2} = 3A - 2I$ : $A^{n+1} = (2^{n} - 1)A^{2} - (2^{n} - 2)A = (2^{n} - 1)(3A - 2I) - (2^{n} - 2)A = (2^{n+1} - 1)A - (2^{n+1} - 2)I$
Comprovació dels coeficients. $3(2^{n} - 1) - (2^{n} - 2) = 2^{n+1} - 1$ i $2(2^{n} - 1) = 2^{n+1} - 2$ . Queda demostrat per a tot $n \ge 1$ .
Càlcul de A¹⁰. $2^{10} = 1024$ : $A^{10} = 1023A - 1022I = \begin{pmatrix}2047&-2046&2046\\1023&-1022&1023\\0&0&1\end{pmatrix}$

Apartat d)

Resultat

No.

A \neq I

A \neq 2I

, però

(A - I)(A - 2I) = 0

: en matrius hi ha divisors de zero.

Resolució

La factorització és correcta. $(A - I)(A - 2I) = A^{2} - 3A + 2I = 0$ , perquè I commuta amb A.
Però A no és I ni 2I. La diagonal de A és $(3, 0, 1)$ . De fet, $A - I = \begin{pmatrix}2&-2&2\\1&-1&1\\0&0&0\end{pmatrix}$ i $A - 2I = \begin{pmatrix}1&-2&2\\1&-2&1\\0&0&-1\end{pmatrix}$ són no nul·les i el seu producte és la matriu nul·la.
Conclusió. El principi d'anul·lació del producte («si $ab = 0$ , llavors $a = 0$ o $b = 0$ ») només val en $\mathbb{R}$ , no en el conjunt de matrius.

Errors típics

Concloure « $A=I$ o $A=2I$ » a partir de $(A-I)(A-2I)=0$ , aplicant la regla dels nombres reals.
Escriure $A^{-1}=\frac{1}{A}$ o dividir per una matriu.
Passar de $A^2=3A-2I$ a $A=3-2$ (oblidar que $I$ i $A$ no es poden tractar com a nombres).
A la inducció, comprovar només $n=1$ i no fer el pas d' $n$ a $n+1$ .

Conceptes treballats: potències de matrius, relació polinòmica, matriu inversa sense càlcul directe, demostració per inducció, àlgebra de matrius (no commutativitat i divisors de zero).

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 35

Per xifrar missatges de tres lletres, cada lletra es substitueix pel seu lloc a l'alfabet de 26 lletres (A=1, B=2, …, Z=26) i s'obté un vector columna $X$ . El missatge xifrat és $Y=KX$ , amb $K=\begin{pmatrix}1&2&1\\0&1&1\\1&1&a\end{pmatrix}$ .
a) Calcula $\det K$ i digues per a quins valors d' $a$ es pot desxifrar qualsevol missatge.
b) Per a $a=1$ , calcula $K^{-1}$ , xifra el missatge «PAU» i desxifra el missatge que dona el vector $(43,12,34)^t$ .
c) Per a $a=0$ , troba un vector $X\ne 0$ tal que $KX=0$ i fes-lo servir per construir dos missatges diferents de tres lletres que donin el mateix xifrat. Per què això fa inservible el sistema?
d) Si $a$ és un nombre enter, per a quins valors la matriu $K^{-1}$ només té elements enters?

Pista 1

Per desxifrar cal poder aïllar $X$ de $Y=KX$ . Què necessites de $K$ ?

Pista 2

Per a c), resol el sistema homogeni $KX=0$ ; si $KX_1=KX_2$ , què val $K(X_1-X_2)$ ?

Pista 3

A d), escriu $K^{-1}=\frac{1}{\det K}\,\operatorname{Adj}(K)^t$ i observa els elements de l'adjunta.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 35

Apartat a)

Resultat

\det K = a

: es pot desxifrar qualsevol missatge si i només si

a \neq 0

Resolució

Determinant. Desenvolupant per la primera columna: $\det K = 1\cdot\begin{vmatrix}1&1\\1&a\end{vmatrix} + 1\cdot\begin{vmatrix}2&1\\1&1\end{vmatrix} = (a - 1) + 1 = a$
Condició per desxifrar. Cal poder aïllar X de $Y = KX$ , és a dir, $X = K^{-1}Y$ : K ha de ser invertible, $\det K \neq 0$ .
Conclusió. Es pot desxifrar qualsevol missatge si i només si $a \neq 0$ .

Apartat b)

Resultat

K^{-1} = \begin{pmatrix}0&-1&1\\1&0&-1\\-1&1&1\end{pmatrix}

; «PAU»

\to (39, 22, 38)^{t}

;

(43, 12, 34)^{t} \to (22, 9, 3)^{t}

= «VIC».

Resolució

Inversa. Per a $a = 1$ , $\det K = 1$ i, per adjunts, $K^{-1} = \begin{pmatrix}0&-1&1\\1&0&-1\\-1&1&1\end{pmatrix}$ (es comprova que $KK^{-1} = I$ ).
Xifrat de «PAU». P = 16, A = 1, U = 21: $X = (16, 1, 21)^{t}$ i $Y = KX = (16 + 2 + 21,\ 1 + 21,\ 16 + 1 + 21)^{t} = (39,\ 22,\ 38)^{t}$
Desxifrat. $X = K^{-1}(43, 12, 34)^{t} = (-12 + 34,\ 43 - 34,\ -43 + 12 + 34)^{t} = (22,\ 9,\ 3)^{t}$ que són les lletres V, I, C: «VIC».

Apartat c)

Resultat

X = \lambda(1, -1, 1)^{t}

; per exemple, «BBB» i «CAC» donen tots dos

(8, 4, 4)^{t}

: no es pot saber quin era l'original.

Resolució

Sistema homogeni. Per a $a = 0$ , $KX = 0$ dona $x_1 + 2x_2 + x_3 = 0$ , $x_2 + x_3 = 0$ , $x_1 + x_2 = 0$ : $x_2 = -x_3$ i $x_1 = x_3$ . Les solucions són $\lambda(1, -1, 1)^{t}$ .
Dos missatges amb el mateix xifrat. Si $X_1 - X_2 = (1, -1, 1)^{t}$ , llavors $K(X_1 - X_2) = 0$ i $KX_1 = KX_2$ . Prenem $(3, 1, 3)^{t}$ («CAC») i $(2, 2, 2)^{t}$ («BBB»): $K(2, 2, 2)^{t} = K(3, 1, 3)^{t} = (8, 4, 4)^{t}$
Conclusió. Dos missatges diferents tenen el mateix xifrat i el receptor no pot saber quin era l'original. La transformació no és injectiva, i $\det K = 0$ n'és la causa.

Apartat d)

Resultat

Només per a

a = 1

a = -1

Resolució

Inversa general. Calculant els adjunts, per a qualsevol $a \neq 0$ : $K^{-1} = \dfrac{1}{\det K}(\operatorname{Adj}K)^{t} = \dfrac{1}{a}\begin{pmatrix}a-1&1-2a&1\\1&a-1&-1\\-1&1&1\end{pmatrix}$
Condició necessària. L'element de la posició (1, 3) és $\tfrac{1}{a}$ , que només és enter si $a = \pm1$ .
Condició suficient. Per a $a = \pm1$ , dividir per $\pm1$ deixa enters tots els elements (la matriu adjunta és entera). Així, només amb $a = 1$ o $a = -1$ es desxifra sempre amb nombres enters. Fixa't que per desxifrar n'hi ha prou amb $\det K \neq 0$ , però només amb $\det K = \pm1$ la inversa és entera.

Errors típics

Pensar que cal que $\det K=1$ per desxifrar: n'hi ha prou amb $\det K\ne 0$ (però només amb $\pm1$ la inversa és entera).
Aplicar $K^{-1}$ per la dreta, $XK^{-1}$ , en lloc de $K^{-1}Y$ .
Confondre la matriu adjunta amb la seva transposada en calcular la inversa.
Respondre a c) «no hi ha solució» en veure $\det K=0$ : hi ha infinites solucions del sistema homogeni.

Conceptes treballats: matrius invertibles i determinant, càlcul de la inversa per adjunts, aplicació a la criptografia (xifratge de Hill), sistemes homogenis, injectivitat d'una transformació lineal.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 36

Per ajustar (igualar) la combustió del propà cal trobar enters positius $a,b,c,d$ tals que $a\,\mathrm{C_3H_8}+b\,\mathrm{O_2}\longrightarrow c\,\mathrm{CO_2}+d\,\mathrm{H_2O}$ .
a) Imposa la conservació dels àtoms de C, H i O i escriu el sistema homogeni $3\times4$ . Per què ha de ser indeterminat? Resol-lo i dona la solució amb els enters positius més petits.
b) Generalitza a un alcà $\mathrm{C}_n\mathrm{H}_{2n+2}$ : comprova que $(a,b,c,d)=(2,\ 3n+1,\ 2n,\ 2n+2)$ és solució i aplica-ho al butà ( $n=4$ ). Per què s'ha escollit $a=2$ i no $a=1$ ?
c) Es cremen 440 g de propà (massa molar 44 g/mol). Quants mols d'O $_2$ calen i quants grams de CO $_2$ (44 g/mol) es produeixen?
d) Comprova la llei de conservació de la massa amb $M(\mathrm{O_2})=32$ i $M(\mathrm{H_2O})=18$ g/mol.

Pista 1

Una equació per element: C, H i O. Cada coeficient multiplica els àtoms que hi ha a la fórmula.

Pista 2

Un sistema homogeni sempre té la solució trivial; el que cal és que en tingui més. Compara el nombre d'incògnites amb el rang.

Pista 3

Per a la generalització, deixa $a$ lliure, expressa $c,d,b$ en funció d' $a$ i $n$ , i busca el valor mínim d' $a$ que els faci enters per a tot $n$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 36

Apartat a)

Resultat

\mathrm{C_3H_8} + 5\,\mathrm{O_2} \rightarrow 3\,\mathrm{CO_2} + 4\,\mathrm{H_2O}

, és a dir,

(a, b, c, d) = (1, 5, 3, 4)

Resolució

Conservació dels àtoms. C: $3a = c$ . H: $8a = 2d$ . O: $2b = 2c + d$ . Cada coeficient multiplica els àtoms que hi ha a la fórmula.
Sistema homogeni 3×4. Amb columnes $a, b, c, d$ : $\begin{pmatrix}3&0&-1&0\\8&0&0&-2\\0&2&-2&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}$ El rang és 3 i hi ha 4 incògnites: compatible indeterminat amb 1 paràmetre.
Per què és indeterminat. Ho és per naturalesa: si una combinació de mols compleix la conservació, qualsevol múltiple també. L'equació química fixa una proporció, no una quantitat.
Resolució. $c = 3a$ , $d = 4a$ , $b = \dfrac{2c + d}{2} = 5a$ . Els enters positius més petits s'obtenen amb $a = 1$ : $\mathrm{C_3H_8} + 5\,\mathrm{O_2} \rightarrow 3\,\mathrm{CO_2} + 4\,\mathrm{H_2O}$

Apartat b)

Resultat

Butà:

2\,\mathrm{C_4H_{10}} + 13\,\mathrm{O_2} \rightarrow 8\,\mathrm{CO_2} + 10\,\mathrm{H_2O}

. S'escull

a = 2

perquè amb

a = 1

el coeficient

b = \tfrac{3n+1}{2}

no és enter quan n és parell.

Resolució

Condicions per a C_nH_2n+2. C: $c = na$ . H: $(2n + 2)a = 2d$ , és a dir, $d = (n + 1)a$ . O: $b = \dfrac{2c + d}{2} = \dfrac{(3n + 1)a}{2}$ .
Comprovació de la solució. Amb $a = 2$ : $c = 2n$ , $d = 2n + 2$ , $b = 3n + 1$ . Efectivament, C: $2n = 2n$ ; H: $(2n + 2)\cdot2 = 2(2n + 2)$ ; O: $2(3n + 1) = 2\cdot2n + (2n + 2)$ . Són enters per a tot n.
Per què a = 2. Amb $a = 1$ , $b = \tfrac{3n + 1}{2}$ només és enter si n és senar (per al propà, $n = 3$ , sí; per al butà, no). El valor mínim d'a que fa enters tots els coeficients per a qualsevol n és 2.
Butà (n = 4). $(a, b, c, d) = (2,\ 13,\ 8,\ 10)$ : $2\,\mathrm{C_4H_{10}} + 13\,\mathrm{O_2} \rightarrow 8\,\mathrm{CO_2} + 10\,\mathrm{H_2O}$ (no s'ha de donar com a final $\tfrac{13}{2}$ mols d'O₂).

Apartat c)

Resultat

50\ \text{mol}

d'O₂;

1320\ \text{g}

de CO₂.

Resolució

Mols de propà. $n = \dfrac{440\ \text{g}}{44\ \text{g/mol}} = 10\ \text{mol}$ .
Estequiometria. Els coeficients es refereixen a mols, no a grams. Per la proporció $1 : 5 : 3 : 4$ : 50 mol d'O₂, 30 mol de CO₂ i 40 mol d'H₂O.
Massa de CO₂. $30\ \text{mol}\cdot44\ \text{g/mol} = 1320\ \text{g}$ .

Apartat d)

Resultat

Reactius:

2040\ \text{g}

; productes:

2040\ \text{g}

. La massa es conserva.

Resolució

Massa dels reactius. $440 + 50\cdot32 = 440 + 1600 = 2040\ \text{g}$ .
Massa dels productes. $1320 + 40\cdot18 = 1320 + 720 = 2040\ \text{g}$ .
Conclusió. Les dues masses coincideixen: es compleix la llei de conservació de la massa, com cal (és conseqüència de la conservació dels àtoms que hem imposat).

Errors típics

Plantejar el balanç amb els subíndexs de la fórmula en lloc dels coeficients (confondre $a$ amb el 3 del $\mathrm{C_3}$ ).
Esperar una solució única: el sistema és homogeni i indeterminat, i la solució «bona» és la proporció més petita d'enters.
Aplicar els coeficients de l'equació a grams en lloc de mols.
Donar coeficients fraccionaris (per exemple, 13/2 mols d'O $_2$ per al butà) com a equació final.

Conceptes treballats: sistemes homogenis, rang i solucions paramètriques, modelització d'equacions químiques, generalització amb un paràmetre, estequiometria bàsica.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 37

Sigui $A$ una matriu $3\times3$ de columnes $C_1,C_2,C_3$ amb $\det A=4$ . Calcula, justificant-ho amb les propietats dels determinants (sense conèixer els elements de $A$ ), el determinant de les matrius següents:
a) la de columnes $(C_1+2C_2,\ C_2,\ 3C_3)$ ;
b) la de columnes $(C_3,\ C_1,\ C_2)$ ;
c) la de columnes $(C_1-C_2,\ C_2-C_3,\ C_3-C_1)$ , i explica per què dona aquest resultat;
d) $-2A^{-1}$ i $A^tA^2$ ;
e) Demostra que tota matriu antisimètrica $B$ d'ordre 3 ( $B^t=-B$ ) té determinant zero. És cert també per a ordre 2?

Pista 1

Un determinant és lineal en cada columna, canvia de signe si en permutes dues i no canvia si sumes a una columna un múltiple d'una altra.

Pista 2

A c), suma les tres columnes noves. Què obtens? Què implica sobre la dependència lineal?

Pista 3

Per a d) i e), recorda $\det(kM)=k^n\det M$ per a una matriu d'ordre $n$ , $\det M^t=\det M$ i $\det(MN)=\det M\det N$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 37

Apartat a)

Resultat

\det = 12

Resolució

Propietats. Sumar a una columna un múltiple d'una altra no canvia el determinant, i un factor d'una columna es pot treure fora.
Càlcul. $\det(C_1 + 2C_2,\ C_2,\ 3C_3) = 3\det(C_1 + 2C_2,\ C_2,\ C_3) = 3\det(C_1, C_2, C_3) = 3\cdot4 = 12$
Error típic. Els determinants no són additius: no és $4 + 2\cdot(\ldots) + 3$ .

Apartat b)

Resultat

\det = 4

Resolució

Propietat. Cada permutació de dues columnes canvia el signe del determinant.
Càlcul. $(C_3, C_1, C_2)$ s'obté de $(C_1, C_2, C_3)$ amb dues permutacions: primer $C_2 \leftrightarrow C_3$ , que dona $(C_1, C_3, C_2)$ , i després s'intercanvien les dues primeres columnes, que dona $(C_3, C_1, C_2)$ .
Conclusió. El signe canvia dues vegades: $\det = (-1)^{2}\cdot4 = 4$ . Una permutació cíclica de tres columnes és parella.

Apartat c)

Resultat

\det = 0

, perquè les tres columnes sumen el vector zero i, per tant, són linealment dependents.

Resolució

Suma de les columnes. $(C_1 - C_2) + (C_2 - C_3) + (C_3 - C_1) = 0$ .
Dependència lineal. La tercera columna és l'oposada de la suma de les altres dues; les columnes són linealment dependents i el determinant és 0.
Interpretació. Tot i que $C_1, C_2, C_3$ siguin independents ( $\det A = 4 \neq 0$ ), les seves diferències cícliques només generen un pla.

Apartat d)

Resultat

\det(-2A^{-1}) = -2

;

\det(A^{t}A^{2}) = 64

Resolució

Propietats. Per a una matriu d'ordre n, $\det(kM) = k^{n}\det M$ ; a més, $\det M^{t} = \det M$ , $\det M^{-1} = \tfrac{1}{\det M}$ i $\det(MN) = \det M\cdot\det N$ .
Primer determinant. Com que l'ordre és 3: $\det(-2A^{-1}) = (-2)^{3}\det A^{-1} = \dfrac{-8}{4} = -2$ (error típic: escriure $-2/4$ i oblidar elevar el factor al cub).
Segon determinant. $\det(A^{t}A^{2}) = \det A^{t}\cdot(\det A)^{2} = 4\cdot16 = 64$

Apartat e)

Resultat

\det B = 0

per a tota antisimètrica d'ordre 3 (ordre senar). Per a ordre 2 és fals:

\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}

té determinant 1.

Resolució

Demostració. $\det B = \det B^{t} = \det(-B) = (-1)^{3}\det B = -\det B$ de manera que $2\det B = 0$ i $\det B = 0$ .
Paper de l'ordre. La demostració fa servir que l'ordre és senar ( $(-1)^{3} = -1$ ). Amb ordre 2, $(-1)^{2} = 1$ i no se'n dedueix res.
Contraexemple d'ordre 2. $B = \begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}$ és antisimètrica i $\det B = 1 \neq 0$ . En general, $\begin{vmatrix}0&p\\-p&0\end{vmatrix} = p^{2}$ .

Errors típics

Escriure $\det(-2A^{-1})=-2/4$ oblidant elevar el factor al cub (l'ordre és 3).
Dir que $\det(C_1+2C_2,C_2,3C_3)=4+2\cdot\det(\ldots)+3$ : els determinants no són additius.
Pensar que una permutació cíclica de columnes canvia el signe (aquesta és parella).
Generalitzar a) i e) a qualsevol ordre sense revisar la paritat.

Conceptes treballats: propietats dels determinants (linealitat per columnes, permutacions, determinant del producte, de la inversa i de la transposada), dependència lineal, demostració.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 38

Una nutricionista combina tres aliments, A, B i C, en quantitats $x,y,z$ (en porcions). Cada porció aporta: A, 3 g de proteïna, 2 g de fibra i 1 g de greix; B, 1 g de proteïna, 4 g de fibra i 1 g de greix; C, 2 g de proteïna, 1 g de fibra i $t$ g de greix (el valor de $t$ depèn de la marca de C). Es vol arribar a 14 g de proteïna, 15 g de fibra i 10 g de greix.
a) Escriu el sistema en forma matricial, calcula el determinant de la matriu de coeficients i digues per a quins valors de $t$ la dieta és única.
b) Per a $t=2$ calcula la dieta (i comprova $x$ amb Cramer).
c) Per a $t=\tfrac35$ , demostra que els objectius són incompatibles. Quina relació hi ha entre les tres equacions i què vol dir en termes nutricionals?
d) Per a $t=\tfrac35$ , quin objectiu de greix (en lloc de 10 g) permetria assolir els 14 g de proteïna i 15 g de fibra? Descriu totes les dietes possibles amb quantitats no negatives.

Pista 1

Cada fila de la matriu és un nutrient i cada columna, un aliment.

Pista 2

Quan el determinant és zero, mira si una fila és combinació lineal de les altres dues; l'objectiu del greix haurà de seguir la mateixa combinació.

Pista 3

A d), el sistema té rang 2 amb 3 incògnites: expressa $x$ i $y$ en funció de $z$ i imposa $x,y,z\ge 0$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 38

Apartat a)

Resultat

\det N = 10t - 6

: la dieta és única si i només si

t \neq \tfrac35

Resolució

Plantejament. Cada fila és un nutrient i cada columna, un aliment: $3x + y + 2z = 14$ (proteïna), $2x + 4y + z = 15$ (fibra), $x + y + tz = 10$ (greix).
Forma matricial. $\begin{pmatrix}3&1&2\\2&4&1\\1&1&t\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}14\\15\\10\end{pmatrix}$
Determinant. Desenvolupant per la primera fila: $\det N = 3(4t - 1) - 1\cdot(2t - 1) + 2(2 - 4) = 10t - 6$ .
Conclusió. El sistema és de Cramer (dieta única) si i només si $10t - 6 \neq 0$ , és a dir, $t \neq \tfrac35$ .

Apartat b)

Resultat

x = 2,\ y = 2,\ z = 3

porcions.

Resolució

Determinant. Amb $t = 2$ : $\det N = 14$ .
Regla de Cramer per a x. $x = \dfrac{1}{14}\begin{vmatrix}14&1&2\\15&4&1\\10&1&2\end{vmatrix} = \dfrac{28}{14} = 2$
Resta d'incògnites. Per Gauss (o Cramer) s'obté també $y = 2,\ z = 3$ .
Comprovació. $6 + 2 + 6 = 14$ , $4 + 8 + 3 = 15$ , $2 + 2 + 6 = 10$ .

Apartat c)

Resultat

Incompatible:

F_3 = \tfrac15(F_1 + F_2)

, i el greix hauria de ser

5{,}8\ \text{g} \neq 10\ \text{g}

Resolució

Relació entre files. Amb $t = \tfrac35$ : fila 3 = $\tfrac15$ (fila 1 + fila 2), perquè $\tfrac{3 + 2}{5} = 1$ , $\tfrac{1 + 4}{5} = 1$ i $\tfrac{2 + 1}{5} = \tfrac35$ . Per tant $\operatorname{rang}N = 2$ .
Terme independent. Si el sistema fos compatible, el greix hauria de seguir la mateixa combinació: $\tfrac{14 + 15}{5} = 5{,}8 \neq 10$ . Així, $\operatorname{rang}N = 2 \lt \operatorname{rang}(N|b) = 3$ : incompatible.
Interpretació nutricional. Amb aquesta marca de C, el greix total sempre és la cinquena part de proteïna + fibra: els tres objectius no es poden fixar de manera independent.

Apartat d)

Resultat

Greix

5{,}8\ \text{g}

. Dietes:

x = \tfrac{41}{10} - \tfrac{7}{10}z,\ y = \tfrac{17}{10} + \tfrac{1}{10}z

, amb

0 \le z \le \tfrac{41}{7} \approx 5{,}86

Resolució

Objectiu de greix. Cal que el greix sigui $\tfrac{14 + 15}{5} = 5{,}8\ \text{g}$ . Aleshores $\operatorname{rang}N = \operatorname{rang}(N|b) = 2 \lt 3$ : compatible indeterminat, infinites dietes.
Resolució. Resolent les dues primeres equacions amb z com a paràmetre: $x = \tfrac{41}{10} - \tfrac{7}{10}z,\qquad y = \tfrac{17}{10} + \tfrac{1}{10}z$
Quantitats no negatives. $y \ge 0$ sempre que $z \ge 0$ ; $x \ge 0 \iff z \le \tfrac{41}{7} \approx 5{,}86$ . Per tant, totes les dietes admissibles són $z \in \left[0,\ \tfrac{41}{7}\right]$ amb x i y donats per les fórmules.
Exemple. $z = 0$ : $x = 4{,}1,\ y = 1{,}7$ .

Errors típics

Dir «si el determinant és zero, el sistema no té solució»: pot ser compatible indeterminat (apartat d).
Fer la matriu amb files = aliments (transposta de la bona) i després interpretar mal les columnes.
Oblidar la condició $x,y,z\ge0$ en problemes amb quantitats reals.
Aplicar Cramer a c) o d), on el determinant és zero.

Conceptes treballats: modelització amb sistemes 3×3, determinant i Cramer, discussió amb un paràmetre i amb el terme independent, dependència lineal de files, solucions paramètriques amb restriccions.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 39

Es vol ajustar una funció quadràtica $y=ax^2+bx+c$ a tres mesures experimentals: $(1,\,2)$ , $(2,\,3)$ i $(k,\,y_3)$ .
a) Escriu el sistema en $a,b,c$ i calcula el determinant de la matriu de coeficients en funció de $k$ . Quan és un sistema de Cramer?
b) Troba la funció per a $k=3$ i $y_3=6$ .
c) Per a $k=2$ discuteix els casos $y_3=6$ i $y_3=3$ , i interpreta'ls. En el segon, dona totes les funcions quadràtiques (permetent $a=0$ ) que passen pels tres punts.
d) Discuteix el cas $k=1$ . Dedueix una condició sobre les abscisses perquè sempre hi hagi una única funció quadràtica per tres punts.

Pista 1

Cada punt $(x_0,y_0)$ dona una equació $a x_0^2+b x_0+c=y_0$ .

Pista 2

El determinant s'anul·la quan dues abscisses coincideixen: pensa-hi geomètricament.

Pista 3

Quan $k=2$ , el punt 2 i el punt 3 tenen la mateixa abscissa: poden ser el mateix punt o dos punts diferents sobre una vertical.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 39

Apartat a)

Resultat

\det = -(k - 1)(k - 2)

: és un sistema de Cramer si i només si

k \neq 1

k \neq 2

Resolució

Plantejament. Cada punt $(x_0, y_0)$ dona una equació $ax_0^{2} + bx_0 + c = y_0$ : $a + b + c = 2,\qquad 4a + 2b + c = 3,\qquad k^{2}a + kb + c = y_3$
Determinant. $\begin{vmatrix}1&1&1\\4&2&1\\k^{2}&k&1\end{vmatrix} = (2 - k) - (4 - k^{2}) + (4k - 2k^{2}) = -k^{2} + 3k - 2 = -(k - 1)(k - 2)$ (és un determinant de tipus Vandermonde).
Conclusió. Solució única si i només si $k \neq 1$ i $k \neq 2$ : el determinant s'anul·la quan dues abscisses coincideixen.

Apartat b)

Resultat

y = x^{2} - 2x + 3

Resolució

Sistema per a k = 3. $a + b + c = 2$ , $4a + 2b + c = 3$ , $9a + 3b + c = 6$ .
Reducció. Restant equacions consecutives: $3a + b = 1$ i $5a + b = 3$ ; per tant $2a = 2$ , $a = 1$ , $b = -2$ i $c = 2 - 1 + 2 = 3$ .
Comprovació. $y(1) = 2$ , $y(2) = 4 - 4 + 3 = 3$ , $y(3) = 9 - 6 + 3 = 6$ . La funció és $y = x^{2} - 2x + 3$ .

Apartat c)

Resultat

y_3 = 6

: incompatible.

y_3 = 3

: compatible indeterminat,

y = ax^{2} + (1 - 3a)x + (1 + 2a)

, amb

a \in \mathbb{R}

Resolució

Cas y₃ = 6. El punt $(2, 6)$ té la mateixa abscissa que $(2, 3)$ i diferent ordenada: cap funció pot passar per tots dos. Les equacions $4a + 2b + c = 3$ i $4a + 2b + c = 6$ es contradiuen (rang 2 contra rang 3): incompatible.
Cas y₃ = 3. És el mateix punt repetit; només queden dues condicions per a tres incògnites (rang 2 = rang de l'ampliada $\lt 3$ ): compatible indeterminat.
Totes les funcions. Resolent $a + b + c = 2$ , $4a + 2b + c = 3$ amb a com a paràmetre: $b = 1 - 3a$ , $c = 1 + 2a$ (equivalentment, amb c com a paràmetre, $a = \tfrac{c - 1}{2}$ , $b = \tfrac{5 - 3c}{2}$ ).
Exemples. $a = 1$ dona $y = x^{2} - 2x + 3$ (la funció de b); $a = 0$ dona la recta $y = x + 1$ . Cal permetre $a = 0$ : si els punts estan alineats, la «paràbola» és una recta.

Apartat d)

Resultat

k = 1

: incompatible si

y_3 \neq 2

i compatible indeterminat si

y_3 = 2

. Hi ha una única funció quadràtica (amb a possiblement 0) si les tres abscisses són diferents.

Resolució

Cas k = 1. El tercer punt és $(1, y_3)$ , amb la mateixa abscissa que $(1, 2)$ . Si $y_3 \neq 2$ (per exemple 6), no hi ha cap funció: incompatible. Si $y_3 = 2$ , és el mateix punt i n'hi ha infinites.
Condició general. El determinant de la matriu de coeficients per a abscisses $x_1, x_2, x_3$ s'anul·la exactament quan dues abscisses coincideixen.
Conclusió. Si les tres abscisses són diferents, el sistema és de Cramer i hi ha una única funció $y = ax^{2} + bx + c$ (amb a possiblement 0) que passa pels tres punts.

Errors típics

Pensar que per tres punts sempre passa una única paràbola, sense mirar les abscisses (dos punts amb la mateixa abscissa no determinen una funció).
Descartar $a=0$ : si els tres punts estan alineats, la «paràbola» és una recta.
A c), donar només una solució del sistema indeterminat com si fos l'única.
Calcular malament el determinant per un error de signe en desenvolupar.

Conceptes treballats: sistemes de Cramer, determinant (de tipus Vandermonde), discussió de sistemes, interpolació polinòmica, relació entre incompatibilitat/indeterminació i geometria.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 40

Una economia simplificada té dos sectors, energia (1) i indústria (2). Per produir 1 M€ d'energia calen 0,5 M€ d'energia i 0,25 M€ d'indústria; per produir 1 M€ d'indústria calen 0,2 M€ d'energia i 0,5 M€ d'indústria. La producció que no es consumeix dins del sistema constitueix la demanda final $D=(100,\,200)^t$ M€. Si $X$ és el vector de produccions, $X=AX+D$ .
a) Escriu la matriu tecnològica $A$ i interpreta'n el significat de l'element $a_{21}$ .
b) Calcula $(I-A)^{-1}$ i la producció necessària $X$ .
c) Si la demanda final d'indústria puja 40 M€ (i la d'energia no canvia), quant ha d'augmentar la producció de cada sector? Per què l'augment d'indústria és superior als 40 M€?
d) Una altra economia fictícia té $A'=\begin{pmatrix}0{,}5&0{,}5\\0{,}5&0{,}5\end{pmatrix}$ . Demostra que no pot satisfer la demanda $D=(100,200)^t$ i interpreta-ho.

Pista 1

$X=AX+D\iff(I-A)X=D$ . La clau és que $I-A$ sigui invertible.

Pista 2

L'increment de producció per a un increment de demanda $\Delta D$ és $(I-A)^{-1}\Delta D$ : només cal la segona columna de la inversa.

Pista 3

A d), calcula el determinant d' $I-A'$ i mira què passa amb les dues equacions si les sumes.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 40

Apartat a)

Resultat

A = \begin{pmatrix}0{,}5&0{,}2\\0{,}25&0{,}5\end{pmatrix}

;

a_{21} = 0{,}25

són els M€ d'indústria necessaris per produir 1 M€ d'energia.

Resolució

Matriu tecnològica. La columna j recull el que necessita el sector j per produir 1 M€: $A = \begin{pmatrix}0{,}5&0{,}2\\0{,}25&0{,}5\end{pmatrix}$
Interpretació d'a₂₁. Fila 2 (indústria, qui aporta), columna 1 (energia, qui consumeix): $a_{21} = 0{,}25$ M€ d'indústria per cada M€ d'energia produït.

Apartat b)

Resultat

(I - A)^{-1} = \begin{pmatrix}2{,}5&1\\1{,}25&2{,}5\end{pmatrix}

;

X = \begin{pmatrix}450\\625\end{pmatrix}

M€

Resolució

Plantejament. $X = AX + D \iff (I - A)X = D$ , i la clau és que $I - A$ sigui invertible: $I - A = \begin{pmatrix}0{,}5&-0{,}2\\-0{,}25&0{,}5\end{pmatrix},\qquad \det(I - A) = 0{,}25 - 0{,}05 = 0{,}2$
Inversa. $(I - A)^{-1} = \dfrac{1}{0{,}2}\begin{pmatrix}0{,}5&0{,}2\\0{,}25&0{,}5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2{,}5&1\\1{,}25&2{,}5\end{pmatrix}$
Producció. $X = (I - A)^{-1}D = \begin{pmatrix}2{,}5\cdot100 + 1\cdot200\\1{,}25\cdot100 + 2{,}5\cdot200\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}450\\625\end{pmatrix}$
Comprovació. $AX + D = (225 + 125 + 100,\ 112{,}5 + 312{,}5 + 200) = (450,\ 625)$ .

Apartat c)

Resultat

\Delta X = \begin{pmatrix}40\\100\end{pmatrix}

: energia

+40

M€ i indústria

+100

M€.

Resolució

Increment. $\Delta X = (I - A)^{-1}\Delta D$ , i només cal la segona columna de la inversa: $\Delta X = \begin{pmatrix}2{,}5&1\\1{,}25&2{,}5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0\\40\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}40\\100\end{pmatrix}$
Interpretació. Cal produir 100 M€ més d'indústria perquè 60 M€ es consumeixen dins del propi sistema: per fabricar indústria cal indústria (i energia), i aquesta nova producció també en requereix. A més, calen 40 M€ més d'energia.
Efecte multiplicador. El factor 2,5 de la diagonal de $(I - A)^{-1}$ és el que recull aquest efecte: la producció no puja només 40.

Apartat d)

Resultat

\det(I - A') = 0

i el sistema és incompatible (

0 = 300

): l'economia no és productiva.

Resolució

Determinant. $I - A' = \begin{pmatrix}0{,}5&-0{,}5\\-0{,}5&0{,}5\end{pmatrix},\qquad \det(I - A') = 0{,}25 - 0{,}25 = 0$ La matriu no és invertible.
Compatibilitat. El sistema és $0{,}5x_1 - 0{,}5x_2 = 100$ i $-0{,}5x_1 + 0{,}5x_2 = 200$ . Sumant les dues equacions: $0 = 300$ . Incompatible (no indeterminat: cal mirar el terme independent).
Interpretació. Cada sector necessita tanta producció per sostenir-se com la que genera (les columnes de $A'$ sumen 1), de manera que no en queda res per a la demanda final: és una economia no productiva, i no hi ha cap vector de produccions que serveixi.

Errors típics

Invertir la matriu $A$ en lloc d' $I-A$ , o escriure $X=A^{-1}D$ .
Interpretar l'element $a_{ij}$ al revés (quin sector aporta i quin consumeix).
Pensar que si la demanda puja 40, la producció també puja només 40.
Concloure a d) «sistema indeterminat» perquè el determinant és zero, sense comprovar el terme independent.

Conceptes treballats: models d'entrada-sortida de Leontief, matriu inversa, equacions matricials $X=AX+D$ , interpretació econòmica dels resultats, compatibilitat d'un sistema.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preguntes freqüents

Què diu el teorema de Rouché-Frobenius?

Que un sistema és compatible si el rang de la matriu de coeficients és igual al de la matriu ampliada. Si a més coincideix amb el nombre d'incògnites, és determinat; si no, indeterminat.

El producte de matrius és commutatiu?

No. En general A·B és diferent de B·A, i fins i tot pot passar que un dels dos productes no es pugui fer per les dimensions.

Tornar a Matemàtiques