Flashcards: Límits i continuïtat

Totes les targetes del tema

Per fer-hi una ullada ràpida o repassar-les en paper.

1. 1. Què és el límit d'una funció quan $x$ tendeix a $a$?

   El valor cap al qual s'acosta $f(x)$ quan $x$ s'acosta a $a$, tant si la funció hi està definida com si no.

2. 2. Error típic: el límit en un punt és el valor de la funció en aquell punt?

   No necessàriament: el límit mira els valors del voltant. La funció pot no estar definida al punt o valer-hi una altra cosa.

3. 3. Què són els límits laterals?

   Els valors cap als quals tendeix la funció quan t'acostes al punt per l'esquerra, amb valors més petits, i per la dreta, amb valors més grans.

4. 4. Quan existeix el límit d'una funció en un punt?

   Quan els dos límits laterals coincideixen. Si són diferents, el límit no existeix i la gràfica hi fa un salt.

5. 5. Primer pas per calcular qualsevol límit?

   Substituir el valor. Si surt un nombre, aquell és el límit; només cal fer alguna cosa més si surt una expressió sense sentit, com $0/0$.

6. 6. Què fas si en substituir en una funció racional surt $0/0$?

   Factoritzes el numerador i el denominador, simplifiques el factor comú i tornes a substituir.

7. 7. Per què una indeterminació $0/0$ en una funció racional sempre es pot simplificar?

   Perquè si el numerador i el denominador s'anul·len tots dos a $x = a$, tots dos tenen el factor $(x - a)$.

8. 8. Límit a l'infinit d'una funció racional quan els graus de dalt i de baix són diferents?

   Si el grau del numerador és més gran, la funció creix sense límit. Si és més petit, el límit és 0, per gran que sigui el coeficient.

9. 9. I si el numerador i el denominador tenen el mateix grau?

   El límit és el quocient dels coeficients dels termes de grau més alt: $\displaystyle\lim_{x \to \infty} \frac{3x^2 + 2x}{x^2 - 5} = 3$.

10. 10. Truc per calcular un límit a l'infinit d'una funció racional quan dubtes?

    Dividir el numerador i el denominador per la potència més alta de $x$: els termes amb $x$ al denominador tendeixen a zero i queda a la vista el que mana.

11. 11. Què pot voler dir en economia el límit a l'infinit d'un model?

    Infinit: el model es dispara i segurament deixa de ser realista. Finit: la magnitud s'estabilitza en un valor. Zero: la magnitud es dilueix.

12. 12. Cap a on tendeix el cost mitjà $\dfrac{F + c\,x}{x}$ quan la producció es fa molt gran?

    Cap a $c$, el cost variable per unitat: els costos fixos $F$ es dilueixen, però el cost unitari no desapareix.

13. 13. Quines tres condicions ha de complir una funció per ser contínua a $x = a$?

    Que estigui definida a $a$, que hi tingui límit, és a dir, laterals iguals, i que aquest límit sigui igual a $f(a)$.

14. 14. Què és una funció definida a trossos?

    Una funció amb una expressió diferent segons l'interval en què es troba la variable. És la forma habitual de les tarifes per trams i dels impostos per graons.

15. 15. On has d'estudiar la continuïtat d'una funció a trossos feta de rectes i paràboles?

    Només als punts de canvi: dins de cada tros, les rectes i les paràboles ja són contínues.

16. 16. Com calcules els límits laterals al punt de canvi d'una funció a trossos?

    El de l'esquerra, substituint a l'expressió del tram anterior; el de la dreta, substituint a l'expressió del tram següent.

17. 17. Error típic: si els dos límits laterals coincideixen, la funció ja és contínua?

    No: també han de coincidir amb el valor que la definició assigna al punt. Una funció pot tenir límit en un punt i no ser-hi contínua.

18. 18. Què vol dir un salt en una tarifa per trams i com en mesures la mida?

    La mida és la diferència entre els dos límits laterals. Vol dir que consumir una mica més et fa pagar molt més de cop.

19. 19. Com trobes el paràmetre que fa contínua una funció a trossos?

    Iguales els dos límits laterals al punt de canvi i aïlles el paràmetre.

20. 20. Què és una asímptota?

    Una recta a la qual la gràfica s'acosta tant com vulguis quan $x$ tendeix a un valor o a l'infinit. En un model econòmic marca un sostre, un terra o un punt de ruptura.

21. 21. Com trobes una asímptota horitzontal?

    Calculant el límit a l'infinit: si val un nombre finit $L$, l'asímptota horitzontal és la recta $y = L$.

22. 22. Com trobes una asímptota vertical d'una funció racional?

    Iguales el denominador a zero i comproves que el numerador no s'anul·la al mateix valor $a$. Llavors $x = a$ és una asímptota vertical.

23. 23. Error típic: si numerador i denominador s'anul·len tots dos a $x = a$, hi ha asímptota vertical?

    No necessàriament: hi ha un factor comú. Simplifica'l; si el denominador ja no s'anul·la a $a$, el que queda és un forat, una discontinuïtat evitable, no una asímptota.

24. 24. Què vol dir en context una asímptota horitzontal?

    El valor on s'estabilitza el model a llarg termini. Per exemple, $y = 30$ en una quota de mercat vol dir que s'estanca al 30 %; sense aquesta lectura l'exercici queda a mig fer.

25. 25. Què assenyala en context una asímptota vertical?

    Un valor que el model no pot descriure: a prop seu la funció es dispara, com el cost per unitat quan t'acostes a la capacitat màxima de la fàbrica.

26. 26. Què fas amb una asímptota vertical que cau fora del domini del context, per exemple en anys negatius?

    La descartes per al problema: queda fora del domini real i no afecta el que descriu el model.