Exercicis de límits i continuïtat — Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat

Se substitueix directament: 3 · 2 + 5 = 11. El límit és 11.

Val 0, perquè el denominador creix més de pressa que el numerador.

Tres: que la funció hi estigui definida, que hi existeixi el límit (els dos laterals coincideixen) i que el límit i el valor de la funció siguin iguals.

Per l'esquerra (x < 1) s'usa x + 3: lim_x→1− (x + 3) = 1 + 3 = 4.
Per la dreta (x ≥ 1) s'usa 5 − x: lim_x→1+ (5 − x) = 5 − 1 = 4.
Els dos límits laterals coincideixen, de manera que existeix el límit: lim_x→1 f(x) = 4.
El valor de la funció és f(1) = 5 − 1 = 4, igual que el límit. Per tant, f és contínua en x = 1.

Quan |x| és molt gran, el terme de grau més alt és el que mana.
Primer límit: 5x² − 100x. Quan x → +∞, el terme 5x² creix molt més de pressa que 100x i és positiu: el límit és +∞.
Segon límit: $x^{3}$ + 2x. Quan x → −∞, $x^{3}$ és negatiu i molt gran en valor absolut, i 2x també és negatiu: el límit és −∞.
Comprovació numèrica: per a x = 1000, 5x² − 100x = 5000000 − 100000 = 4900000; per a x = −1000, $x^{3}$ + 2x = −$10^{9}$ − 2000, un nombre enorme i negatiu.

Per la dreta (x > 2, per exemple x = 2,001): x − 2 és un nombre molt petit i positiu, i 1/(x − 2) = 1/0,001 = 1000. Com més a prop de 2, més gran: lim_x→2+ 1/(x − 2) = +∞.
Per l'esquerra (x < 2, per exemple x = 1,999): x − 2 és un nombre molt petit i negatiu, i 1/(−0,001) = −1000. Com més a prop de 2, més negatiu: lim_x→2− 1/(x − 2) = −∞.
Els límits laterals són infinits (i de signe oposat), per tant el límit en x = 2 no existeix i la recta x = 2 és una asímptota vertical de f.

3^x té base més gran que 1: quan x → +∞ creix sense límit, de manera que el límit és +∞.
Quan x → −∞, 3^x = 1/3^|x| es fa cada cop més petit (3⁻¹⁰ ≈ 0,00002): el límit és 0.
En 100·0,8^x la base és un nombre entre 0 i 1, de manera que les potències de 0,8 van disminuint (0,8¹⁰ ≈ 0,107 i 0,8⁵⁰ ≈ 0,000014): el límit és 0.
Interpretació: amb el pas dels anys el valor de l'aparell s'acosta a 0 € sense arribar-hi mai; la recta y = 0 és una asímptota horitzontal.

(a) Si x = 2: (4 − 4)/(2 − 2) = 0/0, indeterminat. Cal factoritzar, x² − 4 = (x − 2)(x + 2), i simplificar; el límit és 4.
(b) Si x = 1: 4/0, de la forma k/0 amb k ≠ 0. No és una indeterminació: cal estudiar els límits laterals (donen +∞ per la dreta i −∞ per l'esquerra).
(c) Quan x → +∞: ∞/∞, indeterminat. Es resol comparant els graus (o dividint per x); el resultat és 2.
(d) Si x = 0: 5/2. El límit és 5/2, sense cap altre treball.
Resum: només 0/0 i ∞/∞ són indeterminacions; un resultat k/0 indica una asímptota vertical.

(a) Discontinuïtat evitable: el límit existeix (val 3) però no coincideix amb el valor de la funció, que no existeix. Es pot «arreglar» definint f(1) = 3.
(b) Discontinuïtat de salt finit: els límits laterals existeixen i són finits però diferents; el salt val 5 − 2 = 3.
(c) Discontinuïtat de salt infinit (asimptòtica): algun límit lateral és infinit i la recta x = 1 és una asímptota vertical.
Recorda les tres condicions de continuïtat: f(1) existeix, el límit existeix i tots dos coincideixen. En cada cas en falla alguna.

Una funció racional és contínua en tots els punts on està definida, i només deixa de ser-ho on el denominador s'anul·la.
$x^{2}$ − x − 12 = 0 → x = $\tfrac{(1 \pm \sqrt{1 + 48})}{2}$ = $\tfrac{(1 \pm 7)}{2}$, d'on x = 4 o x = −3.
Per tant, f és discontinua en x = −3 i en x = 4, i contínua a la resta de punts.
Comprovació del tipus: en x = 4 el numerador val 5 i en x = −3 val −2, tots dos diferents de 0. Així, en tots dos punts el límit és infinit i hi ha una asímptota vertical.

Quan x creix, $\tfrac{100}{x}$ s'acosta a 0, així que el límit és 0. Vol dir que repartint el cost fix entre moltes unitats, la part que en toca a cadascuna es fa tan petita com es vulgui.

Els graus de dalt i de baix són iguals, així que el límit és el quocient dels coeficients principals: $\tfrac{600}{3} = 200$.

Per l'esquerra, 4 · 20 = 80; per la dreta, 60 + 2 · 20 = 100. Hi ha un salt de 100 - 80 = 20 €: passar de 20 unitats encareix de cop la factura en 20 €.

Al mes 10, f(10) = 800/20 = 40 milers d'abonats. Els graus de dalt i de baix són iguals, així que l'asímptota horitzontal és y = 80/1 = 80: el servei tendeix als 80.000 abonats.

Si substituïm x = 3: (9 − 9)/(9 − 15 + 6) = 0/0, una indeterminació.
Factoritzem: x² − 9 = (x − 3)(x + 3) i x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3) (les arrels són 2 i 3).
Simplifiquem el factor x − 3, que no és 0 quan x s'acosta a 3 sense ser-hi: (x + 3)/(x − 2).
lim_x→3 (x + 3)/(x − 2) = 6/1 = 6.
Comprovació: per a x = 3,001, (6,001)/(1,001) ≈ 5,995, molt a prop de 6.

L'error és creure que $\tfrac{0}{0}$ val 0. En substituir x = −1, el numerador i el denominador valen 0: és una indeterminació i el resultat pot ser qualsevol valor; cal treballar l'expressió.
Factoritzem: $x^{2}$ − 1 = (x − 1)(x + 1) i simplifiquem x + 1 (que no és 0 si x ≠ −1): $\tfrac{(x^{2} - 1)}{(x + 1)} = x$ − 1.
lim_x→−1 (x − 1) = −2.
Comprovació: x = −1,001 → $\tfrac{(0{,}002001)}{(-0{,}001)}$ = −2,001, i x = −0,999 → $\tfrac{(-0{,}001999)}{(0{,}001)}$ = −1,999: els valors s'acosten a −2.

Cal que els límits laterals i f(1) coincideixin.
Per la dreta (i en el punt): $x^{2}$ + 3 → 1 + 3 = 4, així que f(1) = 4.
Per l'esquerra: 2x + k → 2 + k.
Continuïtat: 2 + k = 4 → k = 2.
Comprovació: amb k = 2, f(x) = 2x + 2 si x < 1, que tendeix a 4 quan x s'acosta a 1, el mateix valor que f(1) = 4.

T(0) = 20/5 = 4 min; T(4) = 20/(5 − 4) = 20 min; T(4,9) = 20/0,1 = 200 min.
Quan x → 5−, el denominador 5 − x és positiu i s'acosta a 0, mentre que el numerador és 20: el quocient creix sense límit. lim_x→5− T(x) = +∞.
Interpretació: a mesura que les trucades que arriben per minut s'acosten a 5 (la capacitat del servei), el temps d'espera es dispara i el servei es col·lapsa. La recta x = 5 és una asímptota vertical.

Perquè x = 2 sigui asímptota vertical, el denominador ha de valdre 0 en x = 2 i el numerador no: posem x − 2 al denominador.
Perquè y = 3 sigui asímptota horitzontal, el numerador i el denominador han de tenir el mateix grau, amb quocient de coeficients principals igual a 3: per exemple, numerador 3x + 1.
Una possible funció: f(x) = (3x + 1)/(x − 2).
Comprovació: lim_x→±∞ (3x + 1)/(x − 2) = 3/1 = 3. En x = 2 el numerador val 7 ≠ 0 i el denominador val 0: lim_x→2+ f(x) = +∞ i lim_x→2− f(x) = −∞.
Altres respostes correctes: 3x/(x − 2) o (6x − 5)/(2x − 4); n'hi ha infinites amb aquest patró.

U(0) = 5 − 4·1 = 1, o sigui 1000 usuaris al principi.
U(3) = 5 − 4·$0{,}7^{3}$ = 5 − 4·0,343 = 5 − 1,372 = 3,628, és a dir, 3628 usuaris al cap de 3 mesos.
Límit: com que 0,7 és menor que 1, $0{,}7^{t}$ → 0 quan t → +∞, i U(t) → 5 − 0 = 5.
Interpretació: el servei creix cada mes però cada cop més a poc a poc, i s'estabilitza al voltant de 5000 usuaris; la recta y = 5 és una asímptota horitzontal (el límit de capacitat del mercat).

El denominador x² − 9 = (x − 3)(x + 3) s'anul·la en x = 3 i x = −3: f no està definida en aquests dos punts.
Per a x ≠ 3, simplifiquem: f(x) = (x − 3)/((x − 3)(x + 3)) = 1/(x + 3).
x = 3: lim_x→3 1/(x + 3) = 1/6, un valor finit. Discontinuïtat evitable (si definim f(3) = 1/6, la funció queda contínua en aquest punt).
x = −3: lim_x→−3+ 1/(x + 3) = +∞ i lim_x→−3− 1/(x + 3) = −∞. Discontinuïtat de salt infinit, amb asímptota vertical x = −3.
Comprovació: per a x = 3,001, 0,001/0,006001 ≈ 0,1666, molt a prop de 1/6 ≈ 0,1667.

A x = 0: per l'esquerra, 0 + 1 = 1; per la dreta i en el punt, 1. És contínua.
A x = 2: per l'esquerra, 1; per la dreta i en el punt, 2·2 - 2 = 2. Els laterals no coincideixen: hi ha una discontinuïtat de salt, d'1 unitat.
Als altres punts, cada tros és un polinomi i és continu.

El denominador s'anul·la a x = 0, així que hi ha una asímptota vertical a x = 0: amb molt poca gent atesa el cost per persona es dispara. Separant la fracció, C(x) = 12000/x + 40, i el límit a l'infinit és 40, o sigui una asímptota horitzontal a y = 40. C(200) = 60 + 40 = 100 € i C(2000) = 6 + 40 = 46 € per persona. El model diu que la campanya només surt a compte a gran escala i que el cost per persona mai no baixa dels 40 €.

(a) f(0) = 12 hores.
(b) A l'infinit, el quocient tendeix a $\tfrac{2}{1} = 2$: y = 2. Per molta experiència que tingui, l'equip no baixarà de 2 hores: és el temps mínim de la tasca.
(c) L'asímptota vertical seria a x = −1, però x són setmanes i no pot ser negativa: queda fora del domini del problema.

Cada tros és un polinomi i, per tant, és continu dins del seu interval. Només cal imposar la continuïtat en els punts de canvi, x = 1 i x = 3.
x = 1: per l'esquerra, 1 + 2 = 3; per la dreta (i f(1)), a + b. Cal que a + b = 3.
x = 3: per l'esquerra (i f(3)), 3a + b; per la dreta, 3·3 − 2 = 7. Cal que 3a + b = 7.
Restem les dues equacions: (3a + b) − (a + b) = 7 − 3 → 2a = 4 → a = 2, i llavors b = 3 − 2 = 1.
El tros central és 2x + 1.
Comprovació: en x = 1, 2·1 + 1 = 3 i en x = 3, 2·3 + 1 = 7, els mateixos valors que donen els trossos veïns.

a) $x^{2}$ − 2x = x(x − 2) = 0 → x = 0 i x = 2. Domini: tots els reals excepte 0 i 2.
Factoritzem: 2x² − 8 = 2(x − 2)(x + 2), de manera que, per a x ≠ 0 i x ≠ 2, f(x) = 2(x − 2)(x + 2)/(x(x − 2)) = 2(x + 2)/x.
b) x = 2: lim_x→2 2(x + 2)/x = 2·$\tfrac{4}{2} = 4$, un valor finit. Discontinuïtat evitable (hi ha un «forat» al punt (2, 4)).
c) x = 0: el numerador tendeix a 2·2 = 4 ≠ 0 i el denominador a 0. Per la dreta, $\tfrac{4}{0}$+ = +∞; per l'esquerra, $\tfrac{4}{0}$− = −∞. Hi ha una asímptota vertical, x = 0.
d) lim_x→±∞ 2(x + 2)/x = 2: asímptota horitzontal, y = 2.

a) N(0) = 1000/(1 + 9·1) = 1000/10 = 100 alumnes.
b) N(3) = 1000/(1 + 9·0,5³) = 1000/(1 + 9·0,125) = 1000/2,125 ≈ 470,6, és a dir, uns 471 alumnes.
c) Quan t → +∞, 0,5^t → 0 (la base està entre 0 i 1). El denominador tendeix a 1 + 0 = 1 i N(t) → 1000/1 = 1000.
Significat: el rumor acabarà arribant a tots els alumnes de l'institut; la recta y = 1000 és una asímptota horitzontal, i el creixement s'alenteix a mesura que s'hi acosta.
Comprovació: N(10) = 1000/(1 + 9/1024) ≈ 991,3, ja molt a prop de 1000.

a) En x = 12000: 0,10·12000 = 1200 i 1200 + 0,20·0 = 1200. En x = 30000: 1200 + 0,20·18000 = 4800 i 4800 + 0,30·0 = 4800. Els límits laterals coincideixen amb el valor: no hi ha salts.
b) T(20000) = 1200 + 0,20·8000 = 2800 €, tipus mitjà 2800/20000 = 0,14 = 14 %. T(60000) = 4800 + 0,30·30000 = 13800 €, tipus mitjà 13800/60000 = 0,23 = 23 %.
c) Per a x > 30000, T(x) = 0,30x − 4200, així que T(x)/x = 0,30 − 4200/x. Quan x → +∞, 4200/x → 0 i el límit és 0,30.
Interpretació: el tipus mitjà augmenta amb la renda però mai no arriba al 30 %, que és el tipus més alt de l'escala (asímptota horitzontal y = 0,30).

(a) Cert: la continuïtat en un punt inclou que existeixi el límit i que sigui igual a f(a).
(b) Fals: el límit pot existir i no coincidir amb f(a), o f(a) pot no existir. Contraexemple: f(x) = (x² − 1)/(x − 1) té límit 2 en x = 1, però f(1) no està definida.
(c) Cert: f(x) = 1/(x² − 1) té asímptotes verticals en x = 1 i en x = −1.
(d) Fals: l'asímptota descriu el comportament quan x és molt gran, però la gràfica pot tallar-la en punts concrets. Contraexemple: f(x) = (3x² + x)/(x² + 1) té límit 3 quan x → +∞ i, tanmateix, f(3) = 30/10 = 3.

Una possible funció: f(x) = x + 1 si x ≤ 2; f(x) = 2x − 1 si 2 < x < 5; f(x) = 12 si x ≥ 5.
x = 2: per l'esquerra, 2 + 1 = 3; per la dreta, 2·2 − 1 = 3; i f(2) = 3. Els tres valors coincideixen: f és contínua.
x = 5: per l'esquerra, 2·5 − 1 = 9; per la dreta, 12. Els límits laterals existeixen, són finits i es diferencien en 12 − 9 = 3: salt finit de 3 unitats.
Hi ha infinites respostes correctes; l'important és igualar els valors dels trossos en x = 2 i separar-los exactament 3 unitats en x = 5.