Flashcards: Combinatòria i probabilitat

Totes les targetes del tema

Per fer-hi una ullada ràpida o repassar-les en paper.

1. 1. Què diu el principi de multiplicació?

   Si una tria es fa en etapes, el total de possibilitats és el producte de les opcions de cada etapa: 4 primers plats i 3 segons donen $4 \cdot 3 = 12$ menús.

2. 2. Error típic: sumar les opcions de cada etapa. Quan se suma i quan es multiplica?

   Es multiplica quan les etapes s'encadenen (per a cada primer plat, tots els segons). Se suma només quan les opcions són alternatives excloents.

3. 3. Per a què serveix un diagrama d'arbre en un recompte?

   Per a experiments en etapes amb poques possibilitats: cada etapa és una branca i hi veus totes les possibilitats, no només quantes n'hi ha.

4. 4. Què canvia entre un experiment amb reposició i un sense reposició?

   Amb reposició l'element torna i el nombre d'opcions es manté a cada etapa. Sense reposició no torna i a cada extracció hi ha una opció menys.

5. 5. Quines dues preguntes decideixen l'eina de recompte?

   Importa l'ordre? Es poden repetir els elements? Amb les dues respostes, la fórmula queda determinada.

6. 6. Quan es fan servir les variacions i amb quina fórmula?

   Quan importa l'ordre i no hi ha repetició: $V(m, n) = \dfrac{m!}{(m-n)!}$. Exemple: el podi d'una cursa.

7. 7. Importa l'ordre i els elements es poden repetir: quina eina de recompte toca?

   Variacions amb repetició: $VR(m, n) = m^n$. Exemple: una contrasenya de 4 xifres, $10^4$ possibilitats.

8. 8. Si has d'ordenar tots els elements d'un conjunt, quina eina fas servir i quantes ordenacions hi ha?

   Permutacions: $P(n) = n!$. Exemple: l'ordre d'intervenció de 6 ponents, $6! = 720$.

9. 9. Què són les combinacions i com es calculen?

   Quan no importa l'ordre i no hi ha repetició: $C(m, n) = \dfrac{m!}{n!\,(m-n)!}$. Exemple: una comissió de 3 persones entre 12.

10. 10. Prova ràpida per decidir entre variacions i combinacions

    Canvia l'ordre d'un resultat concret. Si és un altre resultat (podi, càrrecs diferents), són variacions; si és el mateix (comissió, grup), són combinacions.

11. 11. Error típic: fer servir variacions per comptar comissions. Què passa?

    Com que l'ordre no importa, són combinacions. Amb variacions el resultat surt multiplicat per $n!$: 1.320 en lloc de 220 comissions de 3 entre 12.

12. 12. Què és l'espai mostral i què és un succés?

    L'espai mostral és el conjunt de tots els resultats possibles. Un succés és qualsevol subconjunt seu, com «treure un nombre parell».

13. 13. Regla de Laplace i condició per aplicar-la

    $P(A) = \dfrac{\text{casos favorables}}{\text{casos possibles}}$, només si tots els resultats són igualment probables. Una probabilitat sempre val entre 0 (impossible) i 1 (segur).

14. 14. Com s'estima una probabilitat quan els casos no són igualment probables?

    Amb la freqüència relativa observada en moltes repeticions, com fan les asseguradores amb les dades històriques.

15. 15. Probabilitat del contrari: fórmula i quan et convé

    $P(\text{no } A) = 1 - P(A)$. Convé amb «com a mínim un»: el contrari és «cap», que es compta molt més fàcil.

16. 16. Probabilitat de la unió de dos successos

    $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$. Es resta la intersecció perquè, si no, els casos comuns es compten dues vegades i et pot sortir més d'1.

17. 17. Què són dos successos incompatibles i com queda la unió?

    No poden passar alhora: la intersecció és buida i $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

18. 18. Fórmula de la probabilitat condicionada

    $P(B|A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$: probabilitat de $B$ sabent que ha passat $A$. Saber $A$ redueix l'espai mostral als casos que el compleixen.

19. 19. Com calcules una probabilitat condicionada a partir d'una taula de dades?

    Mires només la fila o la columna del succés que se sap i hi calcules la proporció del que es pregunta.

20. 20. Quan són independents dos successos?

    Quan saber-ne un no canvia la probabilitat de l'altre: $P(B|A) = P(B)$. Només llavors $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.

21. 21. Regles per calcular amb un diagrama d'arbre de probabilitats

    Al llarg d'un camí es multipliquen les probabilitats de les branques. Camins diferents que porten al mateix resultat se sumen.

22. 22. Error típic: multiplicar com si fossin independents en un experiment sense reposició

    La segona probabilitat depèn de la primera. Amb 4 boles blanques de 10, dues blanques són $\frac{4}{10} \cdot \frac{3}{9}$, no $\frac{4}{10} \cdot \frac{4}{10}$.

23. 23. $P(B|A)$ i $P(A|B)$ són la mateixa probabilitat?

    No, i sovint són molt diferents: tenir febre si es té grip és molt probable; tenir grip si es té febre, molt menys. Mira quin succés se sap i quin es pregunta.