Flashcards: Equacions, inequacions i sistemes

Totes les targetes del tema

Per fer-hi una ullada ràpida o repassar-les en paper.

1. 1. Primer pas per plantejar una equació a partir d'un enunciat?

   Dir què representa la incògnita, amb les seves unitats: «$x$ = nombre d'unitats venudes». Sense això, el resultat és un nombre sense significat.

2. 2. Fórmula de les solucions de $ax^2 + bx + c = 0$?

   $x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

3. 3. Què et diu el discriminant d'una equació de segon grau?

   $b^2 - 4ac$ diu quantes solucions reals hi ha: si és positiu, dues; si és zero, una; si és negatiu, cap.

4. 4. Quant valen la suma i el producte de les solucions de $ax^2 + bx + c = 0$?

   Suma: $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$. Producte: $x_1 \cdot x_2 = \dfrac{c}{a}$. Serveixen per comprovar les solucions (relacions de Vieta).

5. 5. D'on surten les equacions de segon grau en economia?

   Dels ingressos i dels beneficis: si el preu depèn de la quantitat, l'ingrés és el producte de dues expressions de primer grau i queda una paràbola.

6. 6. Error típic: una equació en context dona $x = 6$ i $x = -2$ treballadors. Què respons?

   Que la solució és 6 i que descartes $-2$ perquè no hi ha quantitats negatives de persones. Descartar una solució i justificar-ho forma part de la resposta.

7. 7. Com resols una equació exponencial $a^x = b$?

   Prens logaritmes als dos costats: $x \log a = \log b$, i per tant $x = \dfrac{\log b}{\log a}$.

8. 8. Quan pots resoldre una equació exponencial sense logaritmes?

   Quan els dos costats s'escriuen amb la mateixa base: de $2^x = 32 = 2^5$ surt $x = 5$. Iguales els exponents perquè una exponencial no repeteix valors, i el resultat surt exacte.

9. 9. Què vol dir $\log_a b = x$?

   Que $a^x = b$: el logaritme és l'exponent al qual cal elevar la base per obtenir el nombre.

10. 10. Propietats dels logaritmes que fas servir per ajuntar-los?

    $\log(AB) = \log A + \log B$, $\log\dfrac{A}{B} = \log A - \log B$ i $\log A^n = n \log A$.

11. 11. Estratègia per resoldre una equació logarítmica?

    Amb les propietats, deixar un sol logaritme a cada costat i desfer-lo: si $\log A = \log B$, aleshores $A = B$.

12. 12. Què has de fer sempre amb les solucions d'una equació logarítmica?

    Substituir-les a l'equació original i mirar que tots els arguments quedin positius. Si n'hi ha un de negatiu o zero, aquella solució es descarta.

13. 13. Què és la solució d'una inequació?

    Un conjunt de valors, normalment infinits, que s'escriu com un interval o una unió d'intervals. Respondre amb un sol nombre és no haver-la resolt.

14. 14. Què passa si multipliques o divideixes una inequació per un nombre negatiu?

    El signe de la desigualtat gira: de $-2x < 6$ surt $x > -3$.

15. 15. Claudàtor o parèntesi a l'extrem d'un interval?

    El claudàtor vol dir que l'extrem hi entra i el parèntesi, que no: $[10, +\infty)$ són els nombres més grans o iguals que 10.

16. 16. Passos per resoldre una inequació de segon grau?

    Portes tot a un costat, trobes les arrels com si fos una equació, que parteixen la recta en trams, i mires en quins trams l'expressió té el signe que es demana.

17. 17. On és negativa una paràbola amb el coeficient de $x^2$ positiu i dues arrels reals?

    Entre les arrels. Fora d'elles és positiva: per això $x^2 - 4 > 0$ té per solució $x < -2$ o $x > 2$.

18. 18. En una inequació amb fracció, entren a la solució els valors que anul·len el denominador?

    Mai: allà la fracció no existeix i van amb parèntesi. Els que anul·len el numerador sí que hi entren si la desigualtat és $\geq$ o $\leq$.

19. 19. En una inequació de beneficis, què canvia entre «hi ha beneficis» i «no hi ha pèrdues»?

    «Hi ha beneficis» és una desigualtat estricta, $>$, i deixa fora l'extrem; «no hi ha pèrdues» és $\geq$ i l'inclou. Al llindar només es cobreixen despeses.

20. 20. Què és la solució d'un sistema lineal de dues incògnites?

    Una parella de valors que compleix les dues equacions alhora. Gràficament, el punt on es tallen les dues rectes.

21. 21. Quantes equacions et calen per plantejar un sistema?

    Tantes com incògnites. Si n'has anomenat dues, necessites dues informacions diferents de l'enunciat; si només en trobes una, et falta fer servir alguna dada.

22. 22. En què consisteix el mètode de reducció?

    Multiplicar les equacions pels nombres que calgui perquè, en sumar-les o restar-les, una incògnita desaparegui i en quedi una de sola.

23. 23. Diferència entre els mètodes de substitució i d'igualació?

    Substitució: aïlles una incògnita en una equació i l'escrius a l'altra. Igualació: aïlles la mateixa incògnita a les dues equacions i iguales les expressions.

24. 24. Com detectes, en operar, que un sistema lineal no té solució o en té infinites?

    Si desapareixen les dues incògnites i queda una igualtat falsa, com $0 = 5$, no en té (rectes paral·leles). Si queda $0 = 0$, en té infinites (la mateixa recta).

25. 25. Com comproves la solució d'un sistema plantejat des d'un enunciat?

    Substituint la parella a les dues equacions, no només a la que has fet servir per aïllar, i mirant que tingui sentit econòmic.