Flashcards: La derivada i les seves aplicacions

Totes les targetes del tema

Per fer-hi una ullada ràpida o repassar-les en paper.

1. 1. Fórmula de la taxa de variació mitjana d'una funció en $[a, b]$?

   $\mathrm{TVM} = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a}$: el que canvia la funció dividit pel que canvia la variable.

2. 2. Error típic: com has de donar una taxa de variació o un marginal?

   Sempre amb unitats, perquè és un ritme: euros per unitat produïda, habitants per any. Sense les unitats la interpretació és impossible.

3. 3. Què és la derivada $f'(a)$?

   El ritme de canvi instantani a $a$: el valor al qual s'acosta la taxa de variació mitjana quan l'interval es fa cada cop més petit, $f'(a) = \displaystyle\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$.

4. 4. Interpretació gràfica de la TVM i de la derivada?

   La TVM és el pendent de la recta que uneix dos punts de la corba; la derivada és el pendent de la recta tangent en un punt.

5. 5. Què és el cost marginal?

   La derivada de la funció de cost, $C'(x)$. S'interpreta com el que costa produir una unitat més a partir del nivell de producció actual.

6. 6. Què és l'ingrés marginal i fins quan convé produir una unitat més?

   És la derivada de l'ingrés, $I'(x)$. Convé produir una unitat més mentre l'ingrés marginal superi el cost marginal.

7. 7. Per què els costos fixos no apareixen al cost marginal?

   Perquè són una constant, i la derivada d'una constant és 0: de $C(x) = 9x + 250$ surt $C'(x) = 9$. Té sentit, perquè no depenen de les unitats produïdes.

8. 8. Regla de la potència per derivar?

   $(x^n)' = n\,x^{n-1}$: l'exponent baixa a multiplicar i se li resta una unitat.

9. 9. Com derives una constant per una funció i una suma de termes?

   La constant es queda multiplicant, $(5x^3)' = 15x^2$, i una suma o resta es deriva terme a terme.

10. 10. Regla de derivació d'un producte?

    $(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'$.

11. 11. Regla de derivació d'un quocient?

    $\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}$. Es fa servir sobretot per derivar costos mitjans.

12. 12. Error típic: la derivada d'un quocient és el quocient de les derivades?

    No. Aplica la regla del quocient o simplifica abans: $\dfrac{500 + 8x}{x} = \dfrac{500}{x} + 8$.

13. 13. Derivades de $e^x$ i de $\ln x$?

    $(e^x)' = e^x$ i $(\ln x)' = \dfrac{1}{x}$.

14. 14. Derivada de $\dfrac{k}{x}$, amb $k$ constant?

    L'escrius com $k\,x^{-1}$ i apliques la regla de la potència: $\left(\dfrac{k}{x}\right)' = -\dfrac{k}{x^2}$.

15. 15. Què et diu el signe de la derivada sobre la funció?

    Si $f'(x) > 0$ en un interval, la funció hi creix; si $f'(x) < 0$, hi decreix.

16. 16. Què és un punt crític?

    Un valor on $f'(x) = 0$. És candidat a màxim o a mínim, però encara cal comprovar de quina mena és.

17. 17. Com decideixes amb el signe de la derivada si un punt crític és màxim o mínim?

    Mires el signe de $f'$ abans i després: si passa de positiu a negatiu, és un màxim; si passa de negatiu a positiu, és un mínim.

18. 18. Criteri de la segona derivada per classificar un punt crític $a$?

    Si $f''(a) < 0$, hi ha un màxim; si $f''(a) > 0$, un mínim. Estalvia la taula de signes.

19. 19. Passos per estudiar el creixement i els extrems d'una funció?

    Derivar, igualar la derivada a zero i resoldre, partir la recta amb les solucions, mirar el signe de $f'$ a cada tram i calcular el valor de la funció als extrems.

20. 20. Error típic: n'hi ha prou amb el punt crític quan et demanen el benefici màxim?

    No: el punt crític diu on és el màxim; per saber quant val, el substitueixes a la funció original. La resposta completa són les dues coses, per exemple 40 unitats i 900 €.

21. 21. Què és la funció objectiu?

    La funció que vols fer màxima o mínima en un problema d'optimització. Escriure-la a partir de l'enunciat és el pas principal i el que de veritat s'avalua.

22. 22. Passos d'un problema d'optimització?

    Anomenar la incògnita, escriure la funció objectiu, derivar i igualar a zero, resoldre quedant-te amb les solucions amb sentit, comprovar que és el màxim o mínim buscat i respondre amb unitats.

23. 23. Què fas si la funció objectiu té dues variables?

    Aïlles una de les variables a la condició que les lliga i la substitueixes a la funció, que queda amb una sola variable. Només llavors pots derivar.

24. 24. A què equival $B'(x) = 0$ en termes marginals?

    A $I'(x) = C'(x)$: l'ingrés marginal iguala el cost marginal. Abans cada unitat afegida suma benefici; després, en resta.

25. 25. Per què en optimització has de mirar també els extrems del domini?

    Perquè si el domini està limitat, per una capacitat màxima o un pressupost, el millor valor pot ser al final de l'interval i no en un punt crític.

26. 26. Error típic: per trobar el benefici màxim, pots derivar la funció d'ingrés?

    No: abans de derivar, escriu la funció objectiu que demana l'enunciat, aquí el benefici. Maximitzar l'ingrés i maximitzar el benefici solen donar produccions diferents.