Exercicis de derivades i optimització — Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat

f(1) = 7 i f(5) = 19, així que TVM = (19 - 7)/(5 - 1) = 12/4 = 3.

C'(x) = 9: el cost marginal és constant i val 9 € per unitat.

Anomenar la incògnita, escriure la funció objectiu, derivar, igualar la derivada a zero i resoldre, comprovar que el punt és el màxim o el mínim, i respondre amb unitats.

Regla de la potència: (xⁿ)' = n·xⁿ⁻¹; la derivada d'una constant és 0.
f'(x) = 5·4x³ − 3·2x + 0 = 20x³ − 6x.
g(x) = 7x⁻¹, així que g'(x) = 7·(−1)·x⁻² = −7/x².
h(x) = 6x^1/2, així que h'(x) = 6·(1/2)·x^−1/2 = 3/√x.
Error típic: derivar 7/x com si fos una fracció «de 7»; cal reescriure-la com a potència, 7x⁻¹, abans de derivar.

Derivades bàsiques: (e^x)' = e^x i (ln x)' = 1/x; els coeficients que multipliquen es mantenen i la derivada d'una suma és la suma de les derivades.
f'(x) = 3e^x − 2/x + 5.
g'(x) = e^x/4 + 8/x.
Observació: ln x només existeix per a x > 0, per això aquestes derivades només tenen sentit per a x > 0.

P'(t) = 600 − 15·2t = 600 − 30t.
P'(5) = 600 − 150 = 450 habitants per any: al cap de 5 anys la població creix a un ritme d'uns 450 habitants cada any.
P'(25) = 600 − 750 = −150 habitants per any: al cap de 25 anys la població disminueix a un ritme d'uns 150 habitants cada any.
Interpretació: el signe de la derivada indica si la població puja (P' > 0) o baixa (P' < 0); el canvi de tendència és on P'(t) = 0, és a dir, a t = 20 anys.
Comprovació: P(26) − P(25) = 25460 − 25625 = −165, un valor proper a −150.

Punt de tangència: f(2) = $2^{2}$ + 1 = 5, és a dir, (2, 5).
Pendent: f'(x) = 2x, així que m = f'(2) = 4.
Recta tangent: y − 5 = 4(x − 2) → y = 4x − 8 + 5 = 4x − 3.
Comprovació: la recta passa pel punt (2, 5), ja que 4·2 − 3 = 5.

(a) Cert: derivada positiva vol dir que la funció puja.
(b) Fals: f'(a) = 0 només assenyala un candidat a extrem. Contraexemple: f(x) = $x^{3}$ té f'(0) = 0, però creix a banda i banda de 0 i no hi ha cap extrem.
(c) Cert: una funció constant no canvia, de manera que la seva taxa de variació és 0.
(d) Fals: un màxim relatiu només és el valor més gran en un entorn del punt. Per exemple, f(x) = $x^{3}$ − 3x té un màxim relatiu en x = −1 amb valor 2, però f(3) = 18.

Els zeros de f' són x = −2 i x = 4. Provem un valor en cada tram: f'(−3) = 3·(−1)·(−7) = 21 > 0; f'(0) = 3·2·(−4) = −24 < 0; f'(5) = 3·7·1 = 21 > 0.
f creix a (−∞, −2) ∪ (4, +∞) i decreix a (−2, 4).
En x = −2, f passa de créixer a decréixer: màxim relatiu. En x = 4, passa de decréixer a créixer: mínim relatiu.

S(0) = 0, S(2) = 2² + 10·2 = 24 i S(4) = 4² + 10·4 = 56.
TVM[0, 2] = (24 − 0)/(2 − 0) = 12 centenars de subscriptors al mes.
TVM[2, 4] = (56 − 24)/(4 − 2) = 32/2 = 16 centenars al mes.
Comparació: la revista guanya subscriptors cada cop més de pressa (1200 al mes al principi i 1600 al mes després). En una funció que no és lineal, la TVM canvia segons l'interval.

f(0) = 2000 i f(10) = 2500, així que TVM = $\tfrac{(2500 - 2000)}{10} = 50$ habitants per any. El poble creix a un ritme mitjà de 50 habitants cada any.

B'(x) = -4x + 40, que val zero a x = 10. Com que la derivada és positiva abans i negativa després, hi ha un màxim. El benefici és B(10) = -200 + 400 - 50 = 150 €.

f'(x) = 2x − 12, que s'anul·la a x = 6. Abans de 6 la derivada és negativa i després positiva, així que la funció decreix fins a 6 i creix a partir de 6; a x = 6 hi ha un mínim.

Si un és x, l'altre és 60 − x i el producte és P(x) = x(60 − x) = 60x − $x^{2}$. La derivada és P'(x) = 60 − 2x, que s'anul·la a x = 30. Els dos nombres són 30 i 30, i el producte màxim és 900.

f'(1) = lim_h→0 [f(1 + h) − f(1)]/h.
f(1) = 1 + 3 = 4 i f(1 + h) = (1 + h)² + 3(1 + h) = 1 + 2h + h² + 3 + 3h = 4 + 5h + h².
Quocient incremental: (4 + 5h + h² − 4)/h = (5h + h²)/h = 5 + h (per a h ≠ 0).
f'(1) = lim_h→0 (5 + h) = 5.
Comprovació amb les regles de derivació: f'(x) = 2x + 3, i f'(1) = 5.

Producte: (u·v)' = u'·v + u·v', amb u = x² + 1 i v = e^x.
f'(x) = 2x·e^x + (x² + 1)·e^x = e^x(x² + 2x + 1) = (x + 1)²·e^x.
Quocient: (u/v)' = (u'·v − u·v')/v², amb u = 3x i v = x + 1.
g'(x) = (3(x + 1) − 3x·1)/(x + 1)² = (3x + 3 − 3x)/(x + 1)² = 3/(x + 1)².
Comprovació: g(x) = 3 − 3/(x + 1), que té la mateixa derivada, 3/(x + 1)².

Regla de la cadena: es deriva la funció de fora i es multiplica per la derivada de la de dins.
f'(x) = 4(3x² − 1)³·6x = 24x(3x² − 1)³.
g'(x) = e^2x−1·2 = 2e^2x−1.
h'(x) = (1/(5x + 2))·5 = 5/(5x + 2).
Error típic: oblidar el factor que ve de derivar l'interior (6x, 2 i 5, respectivament).

Domini: x > 0. Derivada: f'(x) = 1 − 2/x = (x − 2)/x.
f'(x) = 0 → x = 2. Com que x > 0, el signe de f' és el de x − 2: f'(1) = −1 < 0 i f'(4) = 1/2 > 0.
f decreix a (0, 2) i creix a (2, +∞).
En x = 2 passa de decréixer a créixer: mínim relatiu, de valor f(2) = 2 − 2·ln 2 ≈ 2 − 1,386 = 0,614. És el punt (2; 0,61).
Comprovació: f(1) = 1 i f(4) = 4 − 2·ln 4 ≈ 1,23, tots dos més grans que f(2).

M(x) = (0,5x² + 10x + 200)/x = 0,5x + 10 + 200/x.
Derivada: M'(x) = 0,5 − 200/x². M'(x) = 0 → x² = 200/0,5 = 400 → x = 20 (descartem x = −20).
És un mínim: M'(10) = 0,5 − 2 = −1,5 < 0 i M'(40) = 0,5 − 0,125 = 0,375 > 0.
Cost mitjà mínim: M(20) = 0,5·20 + 10 + 200/20 = 10 + 10 + 10 = 30 € per unitat.
Comprovació: en el mínim, el cost mitjà coincideix amb el cost marginal: C'(20) = 20 + 10 = 30 €.

Derivada: N'(t) = 500·0,2·e^0,2t = 100e^0,2t.
N'(5) = 100e¹ ≈ 271,8 bacteris per hora (velocitat instantània a les 5 hores).
N(4) = 500e^0,8 ≈ 1112,8 i N(6) = 500e^1,2 ≈ 1660,1. TVM = $\tfrac{(1660{,}1 - 1112{,}8)}{(6 - 4)} \approx 273{,}6$ bacteris per hora.
Els dos valors són molt propers (271,8 i 273,6): la TVM en un interval petit al voltant de t = 5 aproxima la derivada en aquest punt.
La TVM és el ritme mitjà en un interval; la derivada és el ritme en un instant.

El pendent de la tangent és la derivada: f'(x) = 2x − 4.
Imposem f'(x) = 2: 2x − 4 = 2 → x = 3.
Ordenada del punt: f(3) = 9 − 12 + 5 = 2, de manera que el punt és (3, 2).
Tangent: y − 2 = 2(x − 3) → y = 2x − 4.
Comprovació: la recta passa per (3, 2), ja que 2·3 − 4 = 2.

B'(x) = −0,06x² + 6x − 50.
B'(10) = −6 + 60 − 50 = 4: a 10 unitats, fer-ne una més augmenta el benefici uns 4 €.
B'(100) = −600 + 600 − 50 = −50: a 100 unitats, fer-ne una més el redueix uns 50 €. Ja s'ha passat de la producció òptima.

f'(x) = 3x² - 12 = 0 dona x = -2 i x = 2.
Signe de f': positiu per a x < -2, negatiu entre -2 i 2, positiu per a x > 2.
Creix a (-∞, -2) i a (2, +∞), i decreix a (-2, 2).
Màxim a (-2, 16) i mínim a (2, -16).

El benefici és B(x) = 30x - (0,25x² + 10x + 400) = -0,25x² + 20x - 400. La derivada és B'(x) = -0,5x + 20, que s'anul·la a x = 40 unitats, amb un benefici de B(40) = -400 + 800 - 400 = 0 €. Comprovació marginal: l'ingrés marginal és 30 € i el cost marginal és C'(x) = 0,5x + 10, que a 40 unitats val justament 30 €. L'empresa arriba al màxim just al llindar de rendibilitat: amb aquests costos no arriba a guanyar-hi diners.

a) Producte i cadena: C'(t) = 20e^{−$\tfrac{t}{2}$} + 20t·(−$\tfrac{1}{2}$)e^{−$\tfrac{t}{2}$} = e^{−$\tfrac{t}{2}$}(20 − 10t) = 10e^{−$\tfrac{t}{2}$}(2 − t).
b) C'(t) = 0 → 2 − t = 0 (l'exponencial mai no val 0) → t = 2. Si t < 2, C'(t) > 0 (creix); si t > 2, C'(t) < 0 (decreix). Per tant, en t = 2 h hi ha un màxim: C(2) = 40e⁻¹ ≈ 40·0,3679 ≈ 14,7 mg/L.
c) La concentració parteix de 0, puja fins a 14,7 mg/L durant les 2 primeres hores i després va baixant a mesura que l'organisme elimina el medicament.
Comprovació: C(1) = 20e^−0,5 ≈ 12,1 i C(3) = 60e^−1,5 ≈ 13,4, tots dos inferiors a 14,7.

La base és un quadrat de costat 30 − 2x i l'alçada és x: V(x) = x$(30 - 2x)^{2}$ = 4x³ − 120x² + 900x, amb 0 < x < 15.
V'(x) = 12x² − 240x + 900 = 12($x^{2}$ − 20x + 75) = 12(x − 5)(x − 15).
V'(x) = 0 → x = 5 o x = 15; només x = 5 pertany al domini (amb x = 15 la base seria de costat 0).
Signe: V'(1) > 0 (V creix) i V'(10) < 0 (V decreix), de manera que x = 5 és un màxim. (També V''(x) = 24x − 240 i V''(5) = −120 < 0.)
Volum màxim: V(5) = 5·$(30 - 10)^{2}$ = 5·400 = 2000 cm³, amb una base de 20 cm × 20 cm i 5 cm d'alçada.
Comprovació: V(4) = 4·$22^{2}$ = 1936 i V(6) = 6·$18^{2}$ = 1944, tots dos inferiors a 2000.

Quocient: R'(t) = [100(t² + 25) − 100t·2t]/(t² + 25)² = (2500 − 100t²)/(t² + 25)² = 100(25 − t²)/(t² + 25)².
R'(t) = 0 → 25 − t² = 0 → t = 5 (t = −5 queda fora del domini).
El denominador és sempre positiu, així que el signe de R' és el de 25 − t²: positiu si t < 5 (R creix) i negatiu si t > 5 (R decreix). Per tant, t = 5 és un màxim.
R(5) = 500/50 = 10 peces per hora. Per comparar, R(0) = 0 i R(10) = 1000/125 = 8 peces per hora.
El rendiment màxim s'assoleix a les 5 hores de jornada, i a les 10 hores ja ha baixat a 8.

f'(x) = 3x² + 2ax + b. En un extrem relatiu, f' = 0.
f'(1) = 0 → 3 + 2a + b = 0. f'(3) = 0 → 27 + 6a + b = 0.
Restem la primera equació de la segona: 24 + 4a = 0 → a = −6. Llavors b = −3 − 2a = −3 + 12 = 9.
f(x) = $x^{3}$ − 6x² + 9x i f'(x) = 3x² − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3).
Signe de f': positiu si x < 1, negatiu entre 1 i 3, positiu si x > 3. Per tant, x = 1 és un màxim relatiu, amb f(1) = 1 − 6 + 9 = 4, i x = 3 és un mínim relatiu, amb f(3) = 27 − 54 + 27 = 0.
Comprovació: f'(1) = 3 − 12 + 9 = 0 i f'(3) = 27 − 36 + 9 = 0.

Derivada (la de ln(x + 1) és 1/(x + 1)): B'(x) = 20/(x + 1) − 1.
B'(x) = 0 → 20/(x + 1) = 1 → x + 1 = 20 → x = 19.
Signe: B'(0) = 19 > 0 (el benefici creix) i B'(30) = 20/31 − 1 < 0 (decreix), de manera que x = 19 és un màxim. (També B''(x) = −20/(x + 1)² < 0.)
Benefici màxim: B(19) = 20·ln 20 − 19 ≈ 20·2,9957 − 19 ≈ 59,91 − 19 = 40,91 milers d'euros.
Comprovació: B(9) = 20·ln 10 − 9 ≈ 37,05 i B(29) = 20·ln 30 − 29 ≈ 39,02, tots dos inferiors a 40,91.
Interpretació: passats els 19000 € d'inversió, cada euro addicional en publicitat reporta menys d'un euro (rendiments decreixents).

El cost marginal és la derivada: C'(x) = 3x² − 24x + 60.
Per trobar-ne el mínim, derivem una altra vegada: C''(x) = 6x − 24 = 0 → x = 4. (També és el vèrtex de la paràbola C'(x): x = 24/6 = 4.)
C''(x) < 0 si x < 4 i C''(x) > 0 si x > 4: el cost marginal baixa fins a x = 4 i després puja, de manera que x = 4 és un mínim.
Valor mínim: C'(4) = 3·16 − 24·4 + 60 = 48 − 96 + 60 = 12 milers d'euros per centenar d'unitats.
Interpretació: fins a 400 unitats, cada unitat addicional costa menys que l'anterior; a partir de 400, cada unitat addicional costa més que l'anterior.
Comprovació: C'(3) = 27 − 72 + 60 = 15 i C'(5) = 75 − 120 + 60 = 15, tots dos més grans que 12.