Exercicis de nombres reals — Matemàtiques 4t ESO

Racionals: $\tfrac{3}{7}$, $\sqrt{49}$ = 7 i -4,8. Irracionals: $\sqrt{12}$ (no surt exacta) i 0,101001000..., perquè els decimals no repeteixen cap període: el patró creix.

A [-3, 2) sí, perquè el claudàtor l'inclou. A (-3, 2) no, perquè el parèntesi l'exclou. A (-∞, -3] sí, i de fet és l'extrem dret.

El 0,9 · $10^{6}$. La part de davant ha d'estar entre 1 i 10, i el 0,9 és més petit que 1. Ben escrit seria 9 · $10^{5}$.

Anomenem N = 2,3636… El període té 2 xifres, així que multipliquem per 100: 100N = 236,3636…
Restem les dues igualtats perquè desaparegui la part periòdica: 100N - N = 236,3636… - 2,3636… → 99N = 234.
N = 234/99. Simplifiquem dividint numerador i denominador per 9: N = 26/11.
Comprovació: 26 : 11 = 2,3636…, el nombre inicial. Regla ràpida per als periòdics purs: (236 - 2)/99 = 234/99.

A = (-2, 5]: el -2 no hi pertany (parèntesi, desigualtat estricta) i el 5 sí (claudàtor, desigualtat amb ≤).
B = [3, +∞): semirecta tancada per l'esquerra; el 3 hi pertany, i +∞ sempre va amb parèntesi perquè no és cap nombre.
C = {x ∈ R | -1 ≤ x < 4}: el -1 hi pertany i el 4 no.
Recorda: el claudàtor [ ] indica que l'extrem és inclòs; el parèntesi ( ), que és exclòs.

Exponent negatiu: s'inverteix la base. 2^-3 = 1/2³ = 1/8.
(3/4)^-2 = (4/3)² = 16/9.
Exponent fraccionari: el denominador és l'índex de l'arrel i el numerador, l'exponent. 8^2/3 = (³√8)² = 2² = 4.
16^-1/2 = 1/16^1/2 = 1/√16 = 1/4.
Error típic: pensar que 2^-3 és negatiu; l'exponent negatiu indica una inversa, no un signe.

Descomponem el radicand en factors primers i traiem fora els grups d'exponent igual a l'índex.
$\sqrt{72}$ = $\sqrt{2^{3}\cdot 3^{2}}$ = $\sqrt{2^{2}\cdot 2\cdot 3^{2}}$ = 2·3·$\sqrt{2}$ = 6$\sqrt{2}$.
³$\sqrt{54}$ = ³$\sqrt{2\cdot 3^{3}}$ = 3·³$\sqrt{2}$.
$\sqrt{x^{7}}$ = $\sqrt{x^{6}\cdot x}$ = $x^{3}$·$\sqrt{x}$ (cada parell d'exponents surt de l'arrel quadrada com un sol factor).
Comprovació: $(6\sqrt{2})^{2}$ = 36·2 = 72.

0,000045 = 4,5·$10^{-5}$ (la coma es desplaça 5 llocs cap a la dreta: exponent negatiu).
3250000000 = 3,25·$10^{9}$ (la coma es desplaça 9 llocs cap a l'esquerra: exponent positiu).
Producte: es multipliquen les parts decimals i se sumen els exponents: (2·3,5)·10^{5 + (-8)} = 7·$10^{-3}$.
Com que 7 està entre 1 i 10, ja és notació científica: 7·$10^{-3}$ = 0,007.

log_a N = y vol dir a^y = N: en cada cas busquem l'exponent.
log₃ 81 = 4, perquè 3⁴ = 81.
log 0,001 = -3, perquè 10^-3 = 0,001.
log₂ (1/16) = -4, perquè 2^-4 = 1/16.
ln e⁵ = 5, perquè la base del logaritme neperià és e.
log₅ √5 = 1/2, perquè √5 = 5^1/2.

Truncament: es tallen les xifres a partir de les centèsimes: 2,71.
Arrodoniment: com que la xifra següent (8) és 5 o més, pugem la centèsima: 2,72.
Error absolut = |valor exacte - aproximació|. Truncament: |2,71828 - 2,71| = 0,00828. Arrodoniment: |2,71828 - 2,72| = 0,00172.
L'arrodoniment és millor perquè té un error absolut més petit; en general, arrodonir mai no dona un error més gran que truncar.

a) 9. b) |3 - 8| = |-5| = 5: primer opero a dins. c) 2 - 6 = -4. Aquí el resultat sí que és negatiu, perquè el valor absolut ja s'ha aplicat abans de restar.

$\sqrt{12}$ = 2·$\sqrt{3}$ i $\sqrt{27}$ = 3·$\sqrt{3}$. Ara els dos tenen $\sqrt{3}$ i es poden sumar: 2·$\sqrt{3}$ + 3·$\sqrt{3}$ = 5·$\sqrt{3}$. Sense simplificar primer no els hauries pogut sumar.

No els puc sumar amb exponents diferents. Passo el segon a exponent 5: 3 · $10^{4}$ = 0,3 · $10^{5}$. Ara sí: 4,2 + 0,3 = 4,5, o sigui 4,5 · $10^{5}$.

La suma de logaritmes és el logaritme del producte: log(5·4) = log 20.

A conté els nombres des de -3 (inclòs) fins a 4 (exclòs); B, des de 1 (exclòs) fins a 7 (inclòs).
Unió (els punts que són en algun dels dos): A ∪ B = [-3, 7], és a dir, -3 ≤ x ≤ 7. El 4 hi és perquè pertany a B.
Intersecció (els punts comuns): A ∩ B = (1, 4), és a dir, 1 < x < 4.
El 4 no pertany a A ∩ B, perquè no pertany a A (A és obert per la dreta).
Error típic: tancar l'extrem 4 a la intersecció; un punt només hi és si pertany als dos intervals alhora.

|x - 2| ≤ 3 vol dir que la distància de x a 2 és com a màxim 3: -3 ≤ x - 2 ≤ 3 → -1 ≤ x ≤ 5. Solució: [-1, 5].
|x| > 5 vol dir que la distància de x a 0 és més gran que 5: x < -5 o x > 5. Solució: (-∞, -5) ∪ (5, +∞).
L'interval (-1, 7) té centre $\tfrac{(-1 + 7)}{2} = 3$ i radi (7 - (-1))/2 = 4: són els punts que disten de 3 menys de 4 unitats, |x - 3| < 4.
Comprovació: x = 7 dona |7 - 3| = 4, que no és menor que 4, coherent amb l'extrem exclòs.

N = 1,2777… Multipliquem per 100 perquè el període quedi just després de la coma: 100N = 127,77…; i per 10: 10N = 12,77…
Restem: 100N - 10N = 127 - 12 → 90N = 115 → N = 115/90 = 23/18.
M = 0,58333…: 1000M = 583,33… i 100M = 58,33…; restem: 900M = 525 → M = 525/900 = 7/12.
Suma: 23/18 + 7/12 = 46/36 + 21/36 = 67/36.
Comprovació: 67 : 36 = 1,8611…, i 1,2777… + 0,58333… = 1,8611…

Passem els radicals a potències d'exponent fraccionari amb base 2.
a) √2 · ³√4 = 2^1/2 · (2²)^1/3 = 2^1/2 · 2^2/3 = 2^{3/6 + 4/6} = 2^7/6 = ⁶√(2⁷) = 2·⁶√2.
(Equival a passar els dos radicals a índex 6: ⁶√(2³) · ⁶√(2⁴) = ⁶√(2⁷).)
b) ⁴√8 : √2 = 2^3/4 : 2^1/2 = 2^{3/4 - 2/4} = 2^1/4 = ⁴√2.
Comprovació amb calculadora: √2 · ³√4 ≈ 1,414·1,587 ≈ 2,245 i 2·⁶√2 ≈ 2·1,122 ≈ 2,245.

Racionalitzar és eliminar el radical del denominador multiplicant numerador i denominador per una expressió adequada.
a) $\tfrac{10}{\sqrt{5}}$ = $\tfrac{(10\cdot \sqrt{5})}{(\sqrt{5}\cdot \sqrt{5})} = 10$$\sqrt{5}$/5 = 2$\sqrt{5}$.
b) Per a una arrel cúbica cal completar el cub: 4/³$\sqrt{2}$ = (4·³$\sqrt{2^{2}}$)/(³$\sqrt{2}$·³$\sqrt{2^{2}}$) = 4·³$\sqrt{4}$/³$\sqrt{8}$ = 4·³$\tfrac{\sqrt{4}}{2} = 2$·³$\sqrt{4}$.
c) $\tfrac{3}{(2\sqrt{3})}$ = $\tfrac{(3\cdot \sqrt{3})}{(2\sqrt{3}\cdot \sqrt{3})} = 3$$\sqrt{3}$/(2·3) = $\tfrac{\sqrt{3}}{2}$.
Error típic a b): multiplicar només per ³$\sqrt{2}$, que deixa ³$\sqrt{4}$ al denominador i no l'elimina.

log 6 = log (2·3) = log 2 + log 3 = 0,301 + 0,477 = 0,778.
log 8 = log 2³ = 3·log 2 = 3·0,301 = 0,903.
log 1,5 = log (3/2) = log 3 - log 2 = 0,477 - 0,301 = 0,176.
log 0,02 = log (2/100) = log 2 - log 100 = 0,301 - 2 = -1,699.
Recorda: log (a + b) no és log a + log b; les propietats només valen per a productes, quocients i potències.

a) Dividim: $\tfrac{(3\cdot 10^{-5})}{(1{,}2\cdot 10^{-7})}$ = ($\tfrac{3}{1{,}2}$)·10^{-5 - (-7)} = 2,5·$10^{2}$ = 250. La cèl·lula és 250 vegades més gran.
b) Longitud = 2,5·$10^{4}$ · 1,2·$10^{-7}$ = (2,5·1,2)·10^{4 + (-7)} = 3·$10^{-3}$ m.
Passem a mil·límetres: 3·$10^{-3}$ m = 3 mm.
Comprovació: 25000 virus de 0,00000012 m fan 0,003 m, que són 3 mm.

Busco quadrats perfectes que envoltin el 30: $5^{2}$ = 25 i $6^{2}$ = 36. Com que 25 < 30 < 36, tenim 5 < $\sqrt{30}$ < 6. És entre 5 i 6, i més a prop del 5 perquè 30 és més a prop de 25 que de 36.

Multiplico pel conjugat, $\sqrt{5}$ + 1. A baix: ($\sqrt{5}$ - 1)($\sqrt{5}$ + 1) = 5 - 1 = 4. A dalt: 4·($\sqrt{5}$ + 1). Queda $\sqrt{5}$ + 1.

Hauria de trobar un exponent y tal que $2^{y}$ = -8. Però una potència de base positiva sempre dona un resultat positiu, per petit que el facis. No hi ha cap y que ho compleixi.

Primera fracció: multipliquem numerador i denominador pel conjugat del denominador, √3 + √2: (√3 + √2)²/((√3)² - (√2)²) = (3 + 2√6 + 2)/(3 - 2) = 5 + 2√6.
Segona fracció: multipliquem per √3 - √2: (√3 - √2)²/(3 - 2) = 3 - 2√6 + 2 = 5 - 2√6.
Suma: (5 + 2√6) + (5 - 2√6) = 10.
El resultat és un nombre natural tot i que cada sumand és irracional: els termes amb √6 són oposats i s'anul·len.
Comprovació: la primera fracció val ≈ 3,146/0,318 ≈ 9,90 i la segona ≈ 0,10; la suma dona 10.

a) Falsa: $\sqrt{2}$ i -$\sqrt{2}$ són irracionals i la seva suma és 0, que és racional.
b) Certa: si q·i fos un racional r, aleshores i = $\tfrac{r}{q}$ seria un quocient de racionals, és a dir, racional, cosa que contradiu la hipòtesi. Exemple: 2·$\sqrt{3}$ = $\sqrt{12}$ és irracional.
c) Falsa: $\tfrac{1}{3} = 0{,}333$… té infinites xifres decimals però és racional, perquè és periòdic. Els irracionals són els decimals infinits NO periòdics.
d) Certa: $\sqrt{2}$ · $\sqrt{8}$ = $\sqrt{16}$ = 4, racional. També $\sqrt{2}$ · $\sqrt{2}$ = 2.

Escrivim tot en base 2: 4^-2 = (2²)^-2 = 2^-4; 8^1/3 = (2³)^1/3 = 2; √2 = 2^1/2.
Numerador: 2³·2^-4 = 2^-1. Denominador: 2¹·2^1/2 = 2^3/2.
Quocient: 2^{-1 - 3/2} = 2^-5/2.
Com a fracció: 2^-5/2 = 1/2^5/2 = 1/(2²·2^1/2) = 1/(4√2) = √2/(4·2) = √2/8.
Comprovació: √2/8 ≈ 1,414/8 ≈ 0,177 i 2^-2,5 ≈ 0,177.

a) La diferència de logaritmes és el logaritme del quocient: log₂ (48/3) = log₂ 16 = 4.
b) Canvi de base a 2: log₈ 32 = log₂ 32 / log₂ 8 = 5/3. Comprovació: 8^5/3 = (³√8)⁵ = 2⁵ = 32.
c) 0,04 = 4/100 = 1/25 = 5^-2, així que log₅ 0,04 = -2.
d) Producte de potències de la mateixa base: 10^{2 + log 3} = 10²·10^{log 3} = 100·3 = 300, perquè 10^{log 3} = 3 per la definició de logaritme.

a) log₂ x = -3 → x = 2^-3 = 1/8.
b) log_x 49 = 2 → x² = 49 → x = 7 (descartem x = -7: la base d'un logaritme ha de ser positiva i diferent d'1).
c) log₃ (x + 2) = 2 → x + 2 = 3² = 9 → x = 7. Comprovació: log₃ 9 = 2.
d) 1/8 = 2^-3, així que 2^{x - 1} = 2^-3; si les bases són iguals, els exponents també ho han de ser: x - 1 = -3 → x = -2.

a) Error relatiu màxim = error absolut / valor mesurat = 0,05/20,3 ≈ 0,0025, és a dir, un 0,25 %.
b) El costat real està entre 20,25 cm i 20,35 cm, de manera que l'àrea està entre 20,25² = 410,06 cm² i 20,35² = 414,12 cm².
c) L'àrea calculada, 20,3² = 412,09 cm², pot variar uns ±2 cm² segons l'apartat b): les centèsimes (i fins i tot les dècimes) no són fiables.
És més honest donar l'àrea amb 3 xifres significatives, A ≈ 412 cm², les mateixes que té la mesura del costat.
Idea clau: en multiplicar, l'error relatiu de l'àrea és aproximadament el doble del del costat (uns 0,5 %), i el resultat mai no pot ser més precís que les dades.