Exercicis de geometria analítica — Matemàtiques 4t ESO

$\sqrt{6^{2} + 8^{2}}$ = $\sqrt{36 + 64}$ = $\sqrt{100}$ = 10.

Pendent m = -2; ordenada a l'origen n = 3.

Totes dues tenen pendent -1: sí, són paral·leles.

Les components del vector AB s'obtenen restant les coordenades de l'origen A a les de l'extrem B: AB = (-1 - 3, 6 - (-2)) = (-4, 8).
Mòdul: |AB| = $\sqrt{(-4)^{2} + 8^{2}}$ = $\sqrt{16 + 64}$ = $\sqrt{80}$ = 4$\sqrt{5}$ ≈ 8,94.
El vector BA és l'oposat: BA = (4, -8), amb el mateix mòdul.
Comprovació: A + AB = (3 - 4, -2 + 8) = (-1, 6) = B.

Les operacions es fan component a component.
u + v = (2 + (-1), -3 + 4) = (1, 1).
u - v = (2 - (-1), -3 - 4) = (3, -7).
2u = (4, -6) i 3v = (-3, 12); per tant 2u - 3v = (4 - (-3), -6 - 12) = (7, -18).
Comprovació: (u + v) + (u - v) = (4, -6) = 2u.

El punt mitjà té per coordenades la mitjana de les coordenades dels extrems: M = ($\tfrac{(1 + 9)}{2}$, $\tfrac{(2 + 6)}{2}$) = (5, 4).
Distància de A a M: $\sqrt{(5 - 1)^{2} + (4 - 2)^{2}}$ = $\sqrt{16 + 4}$ = $\sqrt{20}$ = 2$\sqrt{5}$ ≈ 4,47 km.
Distància de B a M: $\sqrt{(9 - 5)^{2} + (6 - 4)^{2}}$ = $\sqrt{16 + 4}$ = $\sqrt{20}$ ≈ 4,47 km, igual que l'anterior.
Comprovació: la distància AB = $\sqrt{64 + 16}$ = $\sqrt{80}$ ≈ 8,94 km, que és el doble de 4,47.

Recta horitzontal: tots els seus punts tenen la mateixa y, la del punt donat: y = -2. El seu pendent és 0 (no puja ni baixa).
Recta vertical: tots els seus punts tenen la mateixa x: x = 3. No té pendent (el pendent no està definit), perquè no es pot escriure en la forma y = mx + n.
Comprovació: el punt (3, -2) compleix y = -2 i x = 3, i les dues rectes són perpendiculars entre elles.

Aïllem y: 3y = -2x + 6 → y = (-$\tfrac{2}{3}$)x + 2.
Pendent: m = -$\tfrac{2}{3}$. Ordenada a l'origen: n = 2, és a dir, el punt (0, 2).
Tall amb l'eix horitzontal: y = 0 → 2x - 6 = 0 → x = 3, punt (3, 0).
Comprovació: 2·3 + 3·0 - 6 = 0 i 2·0 + 3·2 - 6 = 0.

Un punt pertany a la recta si les seves coordenades verifiquen l'equació.
P: 2·2 + 1 = 5 → sí.
Q: 2·(-1) + 1 = -1 → sí.
R: 2·4 + 1 = 9, però la y del punt és 8 → no.
S(a, 11): 11 = 2a + 1 → 2a = 10 → a = 5.
Comprovació: la recta passa per (5, 11), perquè 2·5 + 1 = 11.

En unes equacions paramètriques x = x₀ + v₁t, y = y₀ + v₂t, el punt (x₀, y₀) pertany a la recta i el vector (v₁, v₂) n'és un vector director.
Aquí: punt (1, -3) i vector director v = (2, 4).
Per a t = 2: x = 1 + 4 = 5 i y = -3 + 8 = 5, és a dir, el punt (5, 5).
Pendent: m = v₂/v₁ = 4/2 = 2.
Comprovació: l'equació explícita és y = 2x - 5 (del punt (1, -3): -3 = 2 + n → n = -5) i el punt (5, 5) la compleix: 2·5 - 5 = 5.

(3 · (-2), 3 · 5) = (-6, 15).

y - 4 = -1(x - 3); y = -x + 3 + 4; y = -x + 7.

Pendents 3 i -$\tfrac{1}{3}$. Producte: 3 · (-$\tfrac{1}{3}$) = -1. Sí, són perpendiculars.

$\sqrt{(2 - (-1))^{2} + (6 - 2)^{2}}$ = $\sqrt{3^{2} + 4^{2}}$ = 5.

Vectorial: (x, y) = (2, -1) + t·(3, 2).
Paramètriques: x = 2 + 3t, y = -1 + 2t.
Contínua (aïllem t de les dues equacions i les igualem): (x - 2)/3 = (y + 1)/2.
General: creuem els denominadors, 2(x - 2) = 3(y + 1) → 2x - 4 = 3y + 3 → 2x - 3y - 7 = 0.
Comprovació: el punt P(2, -1) compleix 2·2 - 3·(-1) - 7 = 4 + 3 - 7 = 0 i el punt que correspon a t = 1, (5, 1), també: 10 - 3 - 7 = 0.

El punt de tall és la solució del sistema format per les dues equacions. De la primera, y = 3x - 4. A la segona: x + 2(3x - 4) = 6 → 7x - 8 = 6 → x = 2, i y = 3·2 - 4 = 2.
El punt de tall és (2, 2).
Es tallen en un sol punt perquè tenen pendents diferents: $m_{r}$ = 3 i $m_{s}$ = -$\tfrac{1}{2}$.
Comprovació: 3·2 - 2 = 4 i 2 + 2·2 = 6.

Dues rectes paral·leles tenen el mateix pendent. El pendent de 3x - 2y + 5 = 0 és m = 3/2 (perquè y = (3/2)x + 5/2).
Recta pel punt (4, 1) amb pendent 3/2: y - 1 = (3/2)(x - 4) → 2y - 2 = 3x - 12 → 3x - 2y - 10 = 0.
Observa que només ha canviat el terme independent: les rectes paral·leles tenen els mateixos coeficients de x i de y.
Comprovació: 3·4 - 2·1 - 10 = 12 - 2 - 10 = 0.

AB = √((7 - 1)² + (1 - 1)²) = √36 = 6.
BC = √((4 - 7)² + (5 - 1)²) = √(9 + 16) = 5.
AC = √((4 - 1)² + (5 - 1)²) = √(9 + 16) = 5.
Dos costats iguals (BC = AC = 5): el triangle és isòsceles. Perímetre = 6 + 5 + 5 = 16.
Àrea: agafem AB com a base (6), que és horitzontal; l'altura és la diferència de y entre C i la base: 5 - 1 = 4. Àrea = 6·4/2 = 12.
Comprovació: en un isòsceles l'altura cau al punt mitjà de la base, (4, 1), i 4 és la coordenada x de C.

En un paral·lelogram, els vectors AB i DC són iguals. AB = (4 - 1, 2 - 1) = (3, 1).
Si D = (x, y), DC = (5 - x, 5 - y) = (3, 1) → x = 2 i y = 4. Per tant D(2, 4).
Comprovació: les diagonals AC i BD tenen el mateix punt mitjà: el de AC és (3, 3) i el de BD és ($\tfrac{(4 + 2)}{2}$, $\tfrac{(2 + 4)}{2}$) = (3, 3).

Tres punts estan alineats si les rectes AB i AC tenen el mateix pendent.
Pendent de AB: (6 - 2)/(3 - 1) = 2.
Pendent de AC: (12 - 2)/(k - 1) = 10/(k - 1).
Igualem: 10/(k - 1) = 2 → k - 1 = 5 → k = 6.
Comprovació: el pendent de BC és (12 - 6)/(6 - 3) = 2, igual que el de AB.

El pendent d'una recta és la tangent del seu angle d'inclinació: m = tg α.
a) m = (2 - 1)/(3 - 0) = 1/3 → α = tan^-1(1/3) ≈ 18,4°.
b) m = tg 60° = √3 ≈ 1,73. Com que la recta passa per (0, -2), l'ordenada a l'origen és -2: y = √3·x - 2.
Comprovació: el pendent √3 correspon a un angle de 60° (tg 60° = √3) i la recta talla l'eix vertical a (0, -2).

Pendent m = $\tfrac{(7 - 3)}{(3 - 1)} = 2$. Punt-pendent amb (1, 3): y - 3 = 2(x - 1); y = 2x + 1.

Pendent perpendicular: -$\tfrac{1}{2}$. Punt-pendent amb (4, 3): y - 3 = -$\tfrac{1}{2}$ · (x - 4); y = -$\tfrac{x}{2}$ + 2 + 3; y = -$\tfrac{x}{2}$ + 5.

El mitjà és la mitjana: $\tfrac{(1 + x)}{2} = 3$ dona x = 5; $\tfrac{(2 + y)}{2} = 4$ dona y = 6. L'altre extrem és (5, 6).

Punt mitjà: M = ((1 + 5)/2, (2 + 4)/2) = (3, 3).
Pendent de AB: (4 - 2)/(5 - 1) = 1/2. La mediatriu és perpendicular a AB, així que el seu pendent és l'invers canviat de signe: m = -2.
Recta pel punt (3, 3) amb pendent -2: y - 3 = -2(x - 3) → y = -2x + 9.
Comprovació: el punt P(4, 1) pertany a la recta (-8 + 9 = 1) i equidista dels extrems: PA = √(3² + 1²) = √10 i PB = √(1² + 3²) = √10.

a) M = ((8 + 2)/2, (2 + 6)/2) = (5, 4). La mediana passa per A(0, 0) i M(5, 4): el pendent és 4/5, així que y = (4/5)x, o en forma general 4x - 5y = 0.
b) Pendent de BC: (6 - 2)/(2 - 8) = 4/(-6) = -2/3. L'altura és perpendicular a BC: el seu pendent és 3/2. Passa per A(0, 0): y = (3/2)x, o en forma general 3x - 2y = 0.
Comprovació: M(5, 4) compleix 4·5 - 5·4 = 0, i l'altura és perpendicular a BC perquè (-2/3)·(3/2) = -1.
La mediana i l'altura des del mateix vèrtex no coincideixen perquè el triangle no és isòsceles respecte d'A (AB = √68 i AC = √40).

Calculem els costats: AB = $\sqrt{16 + 1}$ = $\sqrt{17}$; BC = $\sqrt{(5 - 4)^{2} + (5 - 1)^{2}}$ = $\sqrt{1 + 16}$ = $\sqrt{17}$; CD = $\sqrt{(1 - 5)^{2} + (4 - 5)^{2}}$ = $\sqrt{16 + 1}$ = $\sqrt{17}$; DA = $\sqrt{1 + 16}$ = $\sqrt{17}$.
Els quatre costats són iguals: és un rombe (és, a més, un paral·lelogram: AB = (4, 1) i DC = (5 - 1, 5 - 4) = (4, 1), vectors iguals).
Perquè fos un quadrat, les diagonals haurien de ser iguals. AC = $\sqrt{25 + 25}$ = $\sqrt{50}$ ≈ 7,07 i BD = $\sqrt{(1 - 4)^{2} + (4 - 1)^{2}}$ = $\sqrt{18}$ ≈ 4,24. No són iguals, per tant no és un quadrat.
Comprovació: les diagonals d'un rombe són perpendiculars: el pendent de AC és 1 i el de BD és $\tfrac{(4 - 1)}{(1 - 4)}$ = -1, amb producte -1.

Aïllant y de cada equació, els pendents són m_r = -k/2 i m_s = -3/(k + 1) (cal k ≠ -1 perquè s tingui pendent).
Paral·leles: m_r = m_s → -k/2 = -3/(k + 1) → k(k + 1) = 6 → k² + k - 6 = 0 → k = (-1 ± 5)/2, és a dir, k = 2 o k = -3.
Per a k = 2 els pendents són -1 i -1; per a k = -3 són 3/2 i 3/2. En tots dos casos són rectes diferents, perquè els termes independents no són proporcionals.
Perpendiculars: m_r·m_s = -1 → (-k/2)·(-3/(k + 1)) = -1 → 3k/(2(k + 1)) = -1 → 3k = -2k - 2 → 5k = -2 → k = -2/5.
Comprovació: per a k = -2/5, m_r = 1/5 i m_s = -3/(3/5) = -5, i el producte és -1.

a) Pendent de la carretera: $\tfrac{(0 - 3)}{(6 - 0)}$ = -$\tfrac{1}{2}$. Passa per (0, 3): y = -$\tfrac{x}{2}$ + 3, o en forma general x + 2y - 6 = 0.
b) El camí és perpendicular: el seu pendent és 2. Passa per P(5, 5): y - 5 = 2(x - 5) → y = 2x - 5.
c) Intersecció: 2x - 5 = -$\tfrac{x}{2}$ + 3 → ($\tfrac{5}{2}$)x = 8 → x = 3,2 i y = 2·3,2 - 5 = 1,4. El camí arriba a la carretera al punt Q(3,2; 1,4).
Longitud: PQ = $\sqrt{(5 - 3{,}2)^{2} + (5 - 1{,}4)^{2}}$ = $\sqrt{3{,}24 + 12{,}96}$ = $\sqrt{16,2}$ ≈ 4,02 km.
Comprovació: Q és a la carretera: 3,2 + 2·1,4 - 6 = 0.

Un punt de la recta té la forma (x, x + 1). La seva distància a l'origen és $\sqrt{x^{2} + (x + 1)^{2}}$ i ha de valer 5.
Elevem al quadrat: $x^{2}$ + $(x + 1)^{2}$ = 25 → 2x² + 2x + 1 = 25 → $x^{2}$ + x - 12 = 0.
x = $\tfrac{(-1 \pm \sqrt{1 + 48})}{2}$ = $\tfrac{(-1 \pm 7)}{2}$, és a dir, x = 3 o x = -4.
Els punts són (3, 4) i (-4, -3).
Comprovació: $\sqrt{3^{2} + 4^{2}}$ = 5 i $\sqrt{(-4)^{2} + (-3)^{2}}$ = 5.