Exercicis d'estadística bidimensional — Matemàtiques 4t ESO

Dues variables mesurades sobre els mateixos individus i estudiades juntes en parelles (x, y).

Núvol de punts (o diagrama de dispersió).

Per resumir el núvol de punts i fer prediccions d'una variable a partir de l'altra.

y = 2 · 3 + 1 = 7.

Noies: en total 18; en toquen 11, per tant 18 - 11 = 7 no en toquen cap.
Nois: 30 - 18 = 12 en total; en toquen 7, per tant 12 - 7 = 5 no en toquen.
Taula (toquen + no toquen = total): noies 11 + 7 = 18; nois 7 + 5 = 12; totals 18 + 12 = 30.
La freqüència relativa conjunta de «noia que no toca» és $\tfrac{7}{30} \approx 0{,}233$, és a dir, un 23,3 % de la classe.
Error típic: dividir entre 18 (només les noies) en lloc d'entre 30; la freqüència conjunta es calcula sobre el total d'alumnes.

$\bar{x}$ = (2 + 3 + 4 + 5 + 6)/5 = 20/5 = 4 hores.
ȳ = (35 + 31 + 30 + 27 + 22)/5 = 145/5 = 29 minuts.
El centre del núvol de punts és ($\bar{x}$, ȳ) = (4, 29). Fixa't que no és cap de les cinc parelles de dades: és un punt «mitjà».
La recta de regressió passa sempre per aquest punt, i per això s'escriu en la forma y - ȳ = m·(x - $\bar{x}$).
Comprovació: les desviacions de y respecte de la mitjana sumen zero: 6 + 2 + 1 - 2 - 7 = 0.

El coeficient de correlació lineal sempre compleix -1 ≤ r ≤ 1. Per tant, r = -1,25 i r = 1,04 són impossibles: hi ha hagut un error de càlcul.
r = 0,87: correlació positiva i forta (els punts s'acosten bastant a una recta creixent).
r = 0: no hi ha correlació lineal (els punts no segueixen cap recta, tot i que podria haver-hi una relació no lineal).
r = -0,4: correlació negativa i feble (tendència a baixar, però amb molta dispersió).
Quan |r| s'acosta a 1, la relació lineal és més forta; quan s'acosta a 0, és més feble.

A: quan x augmenta, y disminueix cada cop, i els punts quedarien gairebé alineats en una recta que baixa. Li correspon r = -0,99 (negativa i molt forta).
B: y puja i baixa sense seguir cap tendència clara; el núvol seria dispers. Li correspon r = 0,08 (pràcticament nul·la).
Descartem r = 0,99 perquè A baixa (el signe seria positiu) i r = -0,45 perquè cap dels dos conjunts té una tendència decreixent només moderada.
Comprovació amb calculadora: $r_{A}$ = -0,990 i $r_{B}$ = 0,076.

r = $σ_{xy}$/($σ_{x}$·$σ_{y}$) = -$\tfrac{5{,}4}{(1{,}5\cdot 4)}$ = -$\tfrac{5{,}4}{6}$ = -0,9.
El signe negatiu indica una correlació inversa: com més hores de son, menys errades.
Com que |r| = 0,9 és proper a 1, la relació lineal és forta.
Comprovació: el resultat està entre -1 i 1, com ha de ser sempre.

Pendent: m = σ_xy/σ_x² = 6/2² = 6/4 = 1,5.
La recta passa pel punt ($\bar{x}$, ȳ) = (4, 10): y - 10 = 1,5·(x - 4), d'on y = 1,5x - 6 + 10 = 1,5x + 4.
600 € són x = 6 centenars: y = 1,5·6 + 4 = 13, és a dir, unes vendes previstes de 13000 €.
Comprovació: per a x = 4 la recta dona y = 1,5·4 + 4 = 10 = ȳ.
Error típic: dividir per σ_x en lloc de σ_x² (donaria 3, que és incorrecte).

Lligades: hores d'estudi i nota. No lligades: el número de sabata i la nota de mates. (N'hi ha d'altres de vàlides.)

La de -0,7: la força es mira pel valor absolut, i 0,7 > 0,3.

Quan la correlació és dèbil (punts molt escampats) o quan es prediu molt lluny del rang de les dades (extrapolar).

Pendent m = -6,5: és negatiu, així que la correlació és inversa; per cada grau que puja la temperatura mitjana, la factura baixa 6,5 € de mitjana.
Ordenada a l'origen 150: és la factura prevista per a un mes amb 0 °C de temperatura mitjana, un valor possible en un mes molt fred d'hivern.
Predicció per a x = 8: y = -6,5·8 + 150 = -52 + 150 = 98 €.
Atenció: la recta dona factura zero a partir de $\tfrac{150}{6{,}5} \approx 23$ °C, i per sobre d'aquest valor la predicció no té sentit (no hi ha factures negatives).

Mitjanes: $\bar{x}$ = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)/5 = 3 i ȳ = (2 + 5 + 5 + 8 + 10)/5 = 30/5 = 6.
Suma de productes: Σxy = 1·2 + 2·5 + 3·5 + 4·8 + 5·10 = 2 + 10 + 15 + 32 + 50 = 109.
Covariància: σ_xy = Σxy/n - $\bar{x}$·ȳ = 109/5 - 3·6 = 21,8 - 18 = 3,8.
Com que σ_xy > 0, la correlació és positiva: com més mesos d'ús, més paraules apreses.
Comprovació: Σ(x - $\bar{x}$)(y - ȳ)/n = [(-2)(-4) + (-1)(-1) + 0·(-1) + 1·2 + 2·4]/5 = (8 + 1 + 0 + 2 + 8)/5 = 19/5 = 3,8.

Sumes: Σx = 10, Σy = 33, Σxy = 0 + 8 + 14 + 15 + 16 = 53, Σx² = 30 i Σy² = 81 + 64 + 49 + 25 + 16 = 235.
Mitjanes: $\bar{x}$ = 10/5 = 2 i ȳ = 33/5 = 6,6.
σ_x² = 30/5 - 2² = 2; σ_y² = 235/5 - 6,6² = 47 - 43,56 = 3,44; σ_xy = 53/5 - 2·6,6 = 10,6 - 13,2 = -2,6.
r = σ_xy/√(σ_x²·σ_y²) = -2,6/√(2·3,44) = -2,6/2,62 = -0,99.
Correlació negativa i molt forta: com més hores de videojocs, la nota tendeix a ser més baixa. Amb només cinc alumnes, però, no se'n pot deduir que els videojocs en siguin la causa.

Mitjanes: $\bar{x}$ = 21/6 = 3,5 i ȳ = 54/6 = 9.
Desviacions de x: -2,5; -1,5; -0,5; 0,5; 1,5; 2,5. Desviacions de y: 4; 2; 1; 0; -3; -4.
Σ(x - $\bar{x}$)(y - ȳ) = -10 - 3 - 0,5 + 0 - 4,5 - 10 = -28 i Σ(x - $\bar{x}$)² = 6,25 + 2,25 + 0,25 + 0,25 + 2,25 + 6,25 = 17,5.
Pendent: m = -28/17,5 = -1,6 (cada any més, el preu baixa de mitjana 160 €).
Recta: y - 9 = -1,6(x - 3,5), d'on y = -1,6x + 5,6 + 9 = -1,6x + 14,6.
Per a x = 4,5: y = -1,6·4,5 + 14,6 = 7,4, és a dir, uns 740 €.

5 anys: y = 6,2·5 + 78 = 31 + 78 = 109 cm.
8 anys: y = 6,2·8 + 78 = 49,6 + 78 = 127,6 cm.
30 anys: y = 6,2·30 + 78 = 186 + 78 = 264 cm.
Les dues primeres són interpolacions (5 i 8 són dins de l'interval 2-10 de les dades) i, com que r = 0,97 és molt proper a 1, són fiables.
La tercera és una extrapolació molt lluny del rang observat i dona un resultat absurd (264 cm): la recta només descriu el creixement durant la infància, no pas fins a l'edat adulta.

La recta de regressió passa sempre pel punt ($\bar{x}$, ȳ) = (4, 9).
Ho comprovem amb la recta de l'alumne: per a x = 4 dona y = 2·4 + 3 = 11, que no és 9. Per tant, l'ordenada a l'origen és errònia.
Amb el pendent correcte, la recta és y - 9 = 2(x - 4), d'on y = 2x - 8 + 9 = 2x + 1.
Comprovació: per a x = 4, y = 2·4 + 1 = 9 = ȳ.

Fan esport: $\tfrac{56}{70} = 0{,}80$, és a dir, un 80 % ho aprova tot.
No fan esport: $\tfrac{30}{50} = 0{,}60$, és a dir, un 60 % ho aprova tot.
En total, $\tfrac{86}{120} \approx 71{,}7$ % ho aproven tot. Si les variables fossin independents, els dos grups tindrien un percentatge semblant al del total; aquí hi ha 20 punts de diferència, així que sembla que hi ha una certa relació entre fer esport i aprovar-ho tot.
No es pot afirmar que l'esport en sigui la causa: pot haver-hi un altre factor comú (l'organització del temps, la motivació...) que expliqui els dos fets. Només hem observat una associació.

Total d'alumnes: N = 4 + 1 + 3 + 5 + 3 + 2 + 2 = 20. Cada parella compta tantes vegades com la seva freqüència.
$\bar{x}$ = (0·4 + 0·1 + 1·3 + 1·5 + 2·3 + 2·2 + 3·2)/20 = 24/20 = 1,2 germans.
ȳ = (0·4 + 1·1 + 0·3 + 1·5 + 1·3 + 2·2 + 2·2)/20 = 17/20 = 0,85 mascotes.
Σf·x·y = 0·0·4 + 0·1·1 + 1·0·3 + 1·1·5 + 2·1·3 + 2·2·2 + 3·2·2 = 0 + 0 + 0 + 5 + 6 + 8 + 12 = 31.
σ_xy = 31/20 - 1,2·0,85 = 1,55 - 1,02 = 0,53.
Com que σ_xy > 0, la correlació és positiva: els qui tenen més germans tendeixen a tenir més mascotes.

No. Hi ha correlació, però no causa: els pobles més grans tenen més cases (més cigonyes) i més gent (més nadons). Correlació no és causalitat.

y = 0,8 · 170 - 60 = 136 - 60 = 76 kg.

a) $\bar{x}$ = 130/5 = 26 i ȳ = 155/5 = 31. Desviacions de x: -4, -2, 0, 2, 4; de y: -11, -7, -1, 7, 12.
σ_x² = (16 + 4 + 0 + 4 + 16)/5 = 8, σ_x = 2,83; σ_y² = (121 + 49 + 1 + 49 + 144)/5 = 364/5 = 72,8, σ_y = 8,53; σ_xy = (44 + 14 + 0 + 14 + 48)/5 = 120/5 = 24.
b) r = 24/√(8·72,8) = 24/24,13 ≈ 0,99: correlació positiva i molt forta (els punts són gairebé sobre una recta creixent).
c) m = σ_xy/σ_x² = 24/8 = 3; y - 31 = 3(x - 26), d'on y = 3x - 47.
d) Per a 27 °C: y = 3·27 - 47 = 34 gelats; és una interpolació (27 és dins de 22-30) amb r proper a 1, així que és fiable.
Per a 12 °C: y = 3·12 - 47 = -11, un resultat impossible. És una extrapolació lluny de les dades i la recta no serveix per a aquesta temperatura.

a) De x' = 1000x surt x = x'/1000, així que y = 1,2·x'/1000 + 3,5 = 0,0012x' + 3,5 (el pendent es divideix per 1000 i l'ordenada no canvia).
b) y' = 100y = 100·(1,2x + 3,5) = 120x + 350 (el pendent i l'ordenada es multipliquen per 100).
c) r = 0,98 en els dos casos: multiplicar una variable per una constant positiva no canvia el coeficient de correlació, perquè $σ_{xy}$, $σ_{x}$ i $σ_{y}$ s'escalen igual i els factors es cancel·len.
d) z = 50 - y = 50 - 1,2x - 3,5 = -1,2x + 46,5. El pendent canvia de signe i, amb ell, r = -0,98: la força de la relació és la mateixa, però ara és inversa (més quilòmetres, menys canvi).

a) $\bar{x}$ = 3 i ȳ = 31/5 = 6,2. Σ(x - $\bar{x}$)(y - ȳ) = (-2)(2,8) + (-1)(1,8) + 0·(-0,2) + 1·(-1,2) + 2·(-3,2) = -15; Σ(x - $\bar{x}$)² = 10; Σ(y - ȳ)² = 7,84 + 3,24 + 0,04 + 1,44 + 10,24 = 22,8.
r = -15/√(10·22,8) = -15/15,10 ≈ -0,99; m = -15/10 = -1,5; y - 6,2 = -1,5(x - 3), d'on y = -1,5x + 10,7.
b) Ara n = 6: $\bar{x}$ = 21/6 = 3,5 i ȳ = 42/6 = 7. Desviacions de y: 2, 1, -1, -2, -4, 4. Σ(x - $\bar{x}$)(y - ȳ) = -5 - 1,5 + 0,5 - 1 - 6 + 10 = -3; Σ(x - $\bar{x}$)² = 17,5; Σ(y - ȳ)² = 42.
r = -3/√(17,5·42) = -3/27,11 ≈ -0,11; m = -3/17,5 ≈ -0,17; y = -0,17x + 7,6.
c) Un sol valor atípic ha fet passar r de -0,99 (correlació molt forta) a -0,11 (gairebé nul·la) i el pendent de -1,5 a -0,17. Abans de fiar-nos de r o de la recta cal revisar si hi ha dades atípiques.

a) Falsa. Les parelles compleixen y = $x^{2}$, una relació exacta. Però $\bar{x}$ = 0, ȳ = 2 i $σ_{xy}$ = $\tfrac{[(-2)\cdot 2 + (-1)\cdot (-1) + 0\cdot (-2) + 1\cdot (-1) + 2\cdot 2]}{5}$ = $\tfrac{(-4 + 1 + 0 - 1 + 4)}{5} = 0$, així que r = 0. El coeficient només mesura la relació lineal.
b) Certa: |r| = 1 vol dir que tots els punts estan alineats, i el signe negatiu indica que la recta baixa.
c) Falsa: una correlació forta no demostra causalitat; pot haver-hi una tercera variable o una coincidència.
d) Falsa: r = $σ_{xy}$/($σ_{x}$·$σ_{y}$) és simètric en x i y; el producte del denominador no depèn de l'ordre, així que el valor és el mateix.

La recta passa pel centre ($\bar{x}$, ȳ), així que ȳ = 1,8·5 + 4 = 13.
El pendent és m = σ_xy/σ_x², d'on σ_xy = m·σ_x² = 1,8·2² = 7,2.
De r = σ_xy/(σ_x·σ_y) aïllem σ_y = σ_xy/(r·σ_x) = 7,2/(0,9·2) = 7,2/1,8 = 4.
Comprovació: també es compleix m = r·σ_y/σ_x = 0,9·4/2 = 1,8.

Model de resposta:
La correlació és positiva i bastant forta (r = 0,74): els alumnes que llegeixen més minuts al dia tendeixen a tenir millor nota de Llengua.
El pendent és 0,05: de mitjana, cada minut diari més de lectura s'associa a 0,05 punts més de nota; és a dir, 10 minuts més al dia equivalen a mig punt més.
Per a x = 60 minuts, la recta prediu y = 0,05·60 + 4,6 = 7,6. És una predicció raonablement fiable perquè 60 és dins del rang observat (10-90) i la correlació és forta.
Advertència: la correlació no demostra causalitat; potser els alumnes més interessats per l'estudi també llegeixen més, de manera que llegir no és necessàriament el que fa pujar la nota.

Recta A: y = 0,5·40 + 36 = 56 min. Error: |56 - 49| = 7 min.
Recta B: y = -0,1·150 + 65 = -15 + 65 = 50 min. Error: |50 - 49| = 1 min.
En aquest cas B s'ha acostat més a la realitat, però un sol cas no demostra res: el criteri general és el coeficient de correlació.
|$r_{B}$| = 0,88 és molt més proper a 1 que |$r_{A}$| = 0,30, així que els quilòmetres d'entrenament expliquen molt millor el temps que l'edat. B és la recta més fiable (i el signe negatiu indica que pedalar més fa baixar el temps).
Amb r = 0,30, la recta A dona prediccions poc fiables en general.