Exercicis de funcions elementals — Matemàtiques 4t ESO

L'equació d'una recta és y = mx + n, on m és el pendent i n l'ordenada a l'origen (el punt de tall amb l'eix OY).
Amb m = -2 i n = 3: y = -2x + 3.
El pendent és negatiu, així que la funció és decreixent: quan x augmenta 1 unitat, y disminueix 2.
Comprovació: x = 0 → y = 3 (el punt (0, 3)); x = 1 → y = 1.

Substituïm cada valor de x.
x = -4: y = -(-4)/2 + 3 = 2 + 3 = 5.
x = 0: y = 0 + 3 = 3.
x = 2: y = -2/2 + 3 = -1 + 3 = 2.
x = 6: y = -6/2 + 3 = -3 + 3 = 0.
Els punts són (-4, 5), (0, 3), (2, 2) i (6, 0). El pendent és -1/2 (funció decreixent) i la recta talla l'eix OX en x = 6.

L'abscissa del vèrtex és x = -b/(2a) = 6/(2·1) = 3.
L'ordenada: y = 3² - 6·3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4.
Vèrtex: V = (3, -4).
Com que a = 1 > 0, la paràbola s'obre cap amunt i el vèrtex és un mínim.

Amb l'eix OY: x = 0 → y = 6, el punt (0, 6).
Amb l'eix OX: y = 0 → $x^{2}$ - 5x + 6 = 0 → x = $\tfrac{(5 \pm \sqrt{25 - 24})}{2}$ = $\tfrac{(5 \pm 1)}{2}$, és a dir, x = 3 i x = 2.
Punts: (2, 0) i (3, 0).
Comprovació: $2^{2}$ - 5·2 + 6 = 0 i $3^{2}$ - 5·3 + 6 = 0.

y(1) = 12, y(2) = 6, y(3) = 4, y(4) = 3, y(6) = 2 i y(-3) = -4.
Quan x s'acosta a 0, |y| creix sense límit (no es pot dividir per 0): hi ha una asímptota vertical en x = 0.
Quan |x| és molt gran, y s'acosta a 0: hi ha una asímptota horitzontal en y = 0.
Observa la proporcionalitat inversa: quan x es duplica, y es redueix a la meitat, i el producte x·y sempre val 12.

L'arrel quadrada només existeix si el radicand no és negatiu: x - 4 ≥ 0 → x ≥ 4.
Domini = [4, +∞).
Comprovació: f(4) = 0 i f(8) = 2 existeixen; f(3) = $\sqrt{-1}$ no existeix.

2^-2 = 1/4 = 0,25; 2^-1 = 1/2 = 0,5; 2⁰ = 1; 2¹ = 2; 2³ = 8.
Els valors de y augmenten quan x augmenta: la funció és creixent (la base 2 és més gran que 1).
A més, y sempre és positiva, i quan x és molt negativa, y s'acosta a 0 sense arribar-hi: l'eix OX (y = 0) és una asímptota horitzontal.

El logaritme només existeix per a arguments estrictament positius: x - 2 > 0 → x > 2.
Domini = (2, +∞).
Quan x s'acosta a 2 per la dreta, l'argument s'acosta a 0 i el logaritme tendeix a -∞: l'asímptota vertical és la recta x = 2.
Comprovació: x = 3 → log 1 = 0; x = 12 → log 10 = 1.

Cal triar l'expressió segons el valor de x.
x = -3 < 2: f(-3) = -3 + 1 = -2.
x = 2 ≥ 2: f(2) = 5 - 2 = 3.
x = 5 ≥ 2: f(5) = 5 - 5 = 0.
Observació: la primera expressió també donaria 2 + 1 = 3 en x = 2, així que els dos trossos s'uneixen sense salt.

a) Lineal (polinomi de grau 1).
b) Quadràtica (polinomi de grau 2, la seva gràfica és una paràbola).
c) De proporcionalitat inversa (la x és al denominador; la gràfica és una hipèrbola).
d) Radical (la x és sota una arrel).
e) Exponencial (la x és a l'exponent).
f) Logarítmica (la x és l'argument d'un logaritme).
Error típic: confondre y = $x^{2}$ (la x és la base: quadràtica) amb y = $2^{x}$ (la x és l'exponent: exponencial).

Pendent: m = (8 - 2)/(3 - 1) = 6/2 = 3.
Equació punt-pendent amb (1, 2): y - 2 = 3(x - 1) → y = 3x - 1.
Tall amb l'eix OY (x = 0): y = -1, el punt (0, -1).
Tall amb l'eix OX (y = 0): 3x - 1 = 0 → x = 1/3, el punt (1/3, 0).
Comprovació: per a x = 3, y = 3·3 - 1 = 8.

Cost fix de 3 € més 1,20 € per km: C(x) = 1,2x + 3 (funció lineal amb pendent 1,2 i ordenada a l'origen 3).
15 km: C(15) = 1,2·15 + 3 = 18 + 3 = 21 €.
Amb 33 €: 1,2x + 3 = 33 → 1,2x = 30 → x = 25 km.
Comprovació: C(25) = 30 + 3 = 33 €.

Com que a = -1 < 0, la paràbola s'obre cap avall i el vèrtex és un màxim.
Vèrtex: x = -4/(2·(-1)) = 2 i y = -4 + 8 - 3 = 1, és a dir, V = (2, 1).
Tall amb OY (x = 0): (0, -3).
Talls amb OX: -$x^{2}$ + 4x - 3 = 0 → $x^{2}$ - 4x + 3 = 0 → x = 1 i x = 3, és a dir, (1, 0) i (3, 0).
Comprovació: l'eix de simetria és x = 2, i els talls 1 i 3 són simètrics respecte d'ell.

És una paràbola que s'obre cap avall; l'alçada màxima és al vèrtex: t = -20/(2·(-5)) = 2 s.
h(2) = -5·4 + 20·2 = -20 + 40 = 20 m.
Torna a terra quan h = 0: -5t² + 20t = 0 → -5t(t - 4) = 0 → t = 0 (el llançament) o t = 4 s.
La pilota puja durant 2 s i baixa durant 2 s: triga 4 s en total.

A 80 km/h: t = 240/80 = 3 h.
A 120 km/h: t = 240/120 = 2 h.
Si la velocitat es duplica (de 80 a 160 km/h): t = 240/160 = 1,5 h, la meitat de 3 h.
És una funció de proporcionalitat inversa: el producte v·t = 240 és constant, i si una magnitud es duplica, l'altra es redueix a la meitat.

Domini: el denominador no pot ser zero, x - 2 ≠ 0, així que Dom = ℝ - {2}.
Asímptota vertical: x = 2 (quan x s'acosta a 2, el denominador s'acosta a 0).
Quan |x| és molt gran, 1/(x - 2) s'acosta a 0 i y s'acosta a 3: asímptota horitzontal y = 3.
És la hipèrbola y = 1/x desplaçada 2 unitats a la dreta i 3 amunt.
Comprovació: x = 3 → y = 1 + 3 = 4; x = 1 → y = -1 + 3 = 2.

Domini: 2x + 6 ≥ 0 → x ≥ -3, és a dir, [-3, +∞).
Recorregut: una arrel quadrada mai no és negativa i pren tots els valors a partir de 0: [0, +∞).
x = -3: $\sqrt{0}$ = 0. x = -1: $\sqrt{4}$ = 2. x = 5: $\sqrt{16}$ = 4.
Comprovació: la funció és creixent, i els valors 0, 2 i 4 van augmentant.

N(5) = 500·$2^{5}$ = 500·32 = 16000 bacteris.
500·$2^{t}$ = 8000 → $2^{t}$ = 16 = $2^{4}$ → t = 4 hores.
Comprovació: N(4) = 500·16 = 8000.

V(3) = 20000·$0{,}85^{3}$ = 20000·0,614125 = 12282,50 €.
La funció és decreixent perquè la base, 0,85, està entre 0 i 1: cada any el valor es multiplica per 0,85, que és menys d'1.
El valor mai no arriba a ser 0: l'eix OX (V = 0) és una asímptota horitzontal.

Domini: l'argument ha de ser positiu, x - 1 > 0 → x > 1, és a dir, (1, +∞). L'asímptota vertical és x = 1.
Tall amb OX (y = 0): log₂(x - 1) + 3 = 0 → log₂(x - 1) = -3 → x - 1 = 2^-3 = 1/8.
x = 1 + 1/8 = 9/8 = 1,125, el punt (9/8, 0).
Comprovació: log₂(1/8) + 3 = -3 + 3 = 0.

f(-1) = 2·(-1) + 1 = -1 (primer tros). f(0) = $0^{2}$ = 0 (segon tros). f(3) = 4 (tercer tros).
En x = 0: per l'esquerra, 2x + 1 s'acosta a 1, però f(0) = 0. Hi ha un salt: no és contínua en x = 0.
En x = 2: per l'esquerra, $x^{2}$ s'acosta a 4, per la dreta el valor és 4 i f(2) = 4. Els trossos encaixen: és contínua en x = 2.

Primer tros (0 ≤ t ≤ 3): C(t) = 2t. A les 3 h el cost és 6 €.
Segon tros: a partir de les 3 h se sumen 1 € per hora, C(t) = 6 + (t - 3) = t + 3. Arriba al màxim de 10 € quan t + 3 = 10, és a dir, a t = 7 h.
Tercer tros (t > 7): C(t) = 10.
C(t) = 2t si 0 ≤ t ≤ 3; t + 3 si 3 < t ≤ 7; 10 si t > 7.
C(2,5) = 5 €; C(5) = 8 €; C(9) = 10 €.
Comprovació: la funció és contínua: en t = 3, 2·3 = 6 = 3 + 3, i en t = 7, 7 + 3 = 10.

El semiperímetre és 20 m, així que l'altre costat mesura 20 - x. Àrea: A(x) = x(20 - x) = -$x^{2}$ + 20x, amb 0 < x < 20.
És una paràbola que s'obre cap avall: el màxim és al vèrtex, x = -20/(2·(-1)) = 10.
Aleshores l'altre costat també mesura 10 m: el corral òptim és un quadrat de 10 m × 10 m.
Àrea màxima: A(10) = 10·10 = 100 $\text{m}^{2}$.

L'abscissa del vèrtex és x = -b/(2a) = 1, d'on b = -2a.
El vèrtex és un punt de la paràbola: per a x = 1, y = 2 → a + b + 3 = 2 → a + b = -1.
Substituïm b = -2a: a - 2a = -1 → a = 1 i b = -2.
La paràbola és y = x² - 2x + 3.
Comprovació: y(1) = 1 - 2 + 3 = 2 i x_v = 2/(2·1) = 1.

Pel punt (0, 3): k·$a^{0}$ = k = 3.
Pel punt (2, 12): 3·$a^{2}$ = 12 → $a^{2}$ = 4 → a = 2 (descartem a = -2 perquè la base ha de ser positiva).
La funció és y = 3·$2^{x}$.
Per a x = 4: y = 3·$2^{4}$ = 3·16 = 48.
Comprovació: y(2) = 3·4 = 12.

g(f(3)) = log₂($2^{3}$) = log₂ 8 = 3.
f(g(5)) = 2^{log₂ 5} = 5 (per la definició de logaritme).
Cada funció desfà l'altra, i per això són inverses.
Dominis: Dom f = ℝ i Dom g = (0, +∞); el recorregut de f és (0, +∞) i el de g és ℝ: s'intercanvien.
Asímptotes: f té l'horitzontal y = 0 i g té la vertical x = 0. Les gràfiques són simètriques respecte de la recta y = x.

Volem C(n) ≤ 25: 600/n ≤ 25 → 600 ≤ 25n → n ≥ 24.
Han de ser com a mínim 24 persones (amb 24, cadascú paga exactament 25 €).
Si n es duplica, C es redueix a la meitat: C(2n) = 600/(2n) = C(n)/2. Per exemple, amb n = 12 cadascú paga 50 € i amb n = 24, 25 €.
És proporcionalitat inversa: el cost per persona s'acosta a 0 (asímptota horitzontal C = 0) però mai no hi arriba.

A: els quocients entre valors consecutius són constants (6/2 = 18/6 = 54/18 = 3): exponencial, y = 2·3^x.
B: les diferències entre valors consecutius són constants (2): lineal, amb pendent 2 i ordenada 1, y = 2x + 1.
C: les diferències són 1, 3 i 5, que no són constants, però les segones diferències sí (2 i 2): quadràtica. Amb y(0) = 1 i coeficient de x² igual a 1 (la meitat de 2), surt y = x² + 1.
Comprovació de C: 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 2, 4 + 1 = 5, 9 + 1 = 10.

a) Falsa. $2^{x}$ és sempre positiva, mai no val 0; l'eix OX és una asímptota, però no el talla.
b) Falsa. Només està definida per a x > 0: no existeix el logaritme de 0 ni d'un nombre negatiu.
c) Falsa. És decreixent en cada branca per separat, però en conjunt no ho és: -1 < 1 i, tanmateix, f(-1) = -1 < f(1) = 1.
d) Certa. Si els trossos encaixen en els punts de canvi, la funció és contínua; per exemple, f(x) = x + 1 si x < 2 i 5 - x si x ≥ 2 val 3 per les dues bandes en x = 2.

Continuïtat en x = 3: pel primer tros, f(3) = 9 - 6 = 3; pel segon, el valor és 3. Coincideixen: és contínua.
El primer tros és una paràbola amb vèrtex en x = -$\tfrac{(-2)}{(2\cdot 1)} = 1$, on f(1) = 1 - 2 = -1; s'obre cap amunt, així que és un mínim.
Com que l'altre tros val 3, el mínim de la funció és -1, en x = 1.
Creixement: decreixent a (-∞, 1), creixent a (1, 3) i constant a (3, +∞) (val 3).
Comprovació: f(0) = 0, f(2) = 0 i f(3) = 3, coherent amb el mínim en x = 1.