Exercicis d'inequacions i sistemes d'inequacions — Matemàtiques 4t ESO

a) x > -2, és a dir, (-2, +∞): el -2 no hi pertany (desigualtat estricta, parèntesi).
b) x ≤ 5, és a dir, (-∞, 5]: el 5 sí que hi pertany (claudàtor).
c) 1 ≤ x < 6, és a dir, [1, 6): claudàtor a l'1 perquè hi és inclòs i parèntesi al 6 perquè n'és exclòs.
Sobre la recta numèrica, els extrems exclosos es marquen amb un cercle buit i els inclosos, amb un cercle ple.
Recorda: l'infinit sempre porta parèntesi, perquè no és cap nombre.

Substituïm cada valor a l'expressió 2x - 3 i comprovem si el resultat és menor que 5.
x = -2: 2·(-2) - 3 = -7 < 5, és solució.
x = 0: 2·0 - 3 = -3 < 5, és solució.
x = 3: 2·3 - 3 = 3 < 5, és solució.
x = 5: 2·5 - 3 = 7, que no és menor que 5: no és solució.
Comprovació: la solució general és x < 4, i només el 5 queda fora.

Sumem 5 als dos membres: 3x ≤ 15.
Dividim entre 3 (positiu, el sentit no canvia): x ≤ 5.
Solució: (-∞, 5].
Comprovació: x = 5 dona 3·5 - 5 = 10 ≤ 10 (compleix) i x = 6 dona 13, que és més gran que 10 (no compleix).

Dividim els dos membres entre -2, que és negatiu, i per això el sentit de la desigualtat es gira: x ≤ -4.
Motiu: 2 < 3, però si multipliquem per -1 obtenim -2 > -3; multiplicar per un negatiu inverteix l'ordre dels nombres.
Solució: (-∞, -4].
Comprovació: x = -5 dona -2·(-5) = 10 ≥ 8 (compleix) i x = 0 dona 0, que no és més gran o igual que 8 (no compleix).

a) Cercle buit al 2: el 2 no hi és. La semirecta cap a la dreta són els nombres més grans que 2: (2, +∞), és a dir, x > 2.
b) Cercles plens: els dos extrems hi són. Interval tancat: [-1, 3], és a dir, -1 ≤ x ≤ 3.
c) Cercle ple al 0 (hi és) i cap a l'esquerra, els nombres menors: (-∞, 0], és a dir, x ≤ 0.

Anomenem x el nombre. El triple és 3x, i li sumem 4: 3x + 4 < 19.
Restem 4: 3x < 15. Dividim entre 3: x < 5.
Són solució tots els nombres menors que 5: (-∞, 5).
Comprovació: x = 4 dona 3·4 + 4 = 16 < 19; x = 5 dona 19, que no és menor que 19, i per això el 5 queda exclòs.

Busquem les arrels de $x^{2}$ - 9 = 0: x = -3 i x = 3. La paràbola y = $x^{2}$ - 9 s'obre cap amunt, així que és negativa entre les dues arrels.
Solució: -3 < x < 3, és a dir, (-3, 3) (extrems exclosos perquè la desigualtat és estricta).
Comprovació: x = 0 dona -9 < 0 (compleix) i x = 4 dona 7, que és positiu (no compleix).
Error típic: escriure només x < 3; el -5, per exemple, és menor que 3 però $(-5)^{2}$ - 9 = 16 > 0.

Substituïm x i y de cada punt i mirem si la desigualtat és certa.
(1, 2): 2x - 3 = -1 i 2 > -1, és cert: el punt és solució.
(3, -1): 2x - 3 = 3 i -1 > 3 és fals: no és solució.
(0, 0): 2x - 3 = -3 i 0 > -3, és cert: és solució.
Els punts que compleixen la inequació són els que queden per sobre de la recta y = 2x - 3.

Si la desigualtat és estricta (< o >), la frontera NO forma part de la solució (es dibuixa discontínua). Si és ≤ o ≥, SÍ que en forma part (es dibuixa contínua).
a) No (<). b) Sí (≥). c) Sí (≤). d) No (>).
Comprovació amb un punt de la frontera: (0, 1) és sobre y = x + 1, però 1 < 0 + 1 és fals; en canvi (1, 2) és sobre y = 2x, i 2 ≥ 2·1 és cert.

Un nombre és solució del sistema si compleix les dues inequacions alhora, així que la solució és la intersecció dels dos conjunts: (1, +∞) ∩ (-∞, 5].
Solució: (1, 5], és a dir, 1 < x ≤ 5.
Els enters que la compleixen són 2, 3, 4 i 5.
Comprovació: x = 5 compleix les dues (5 > 1 i 5 ≤ 5), però x = 1 no (1 > 1 és fals).

Treiem el parèntesi: 3x - 6 - 5 < 2x + 4, és a dir, 3x - 11 < 2x + 4.
Passem les x a l'esquerra i els nombres a la dreta: 3x - 2x < 4 + 11, d'on x < 15.
Solució: (-∞, 15).
Comprovació: x = 0 dona 3·(-2) - 5 = -11 < 4 (compleix), i x = 15 dona 34 < 34, que és fals (el 15 queda exclòs).

Multipliquem tots els termes per 6, que és positiu i és el mínim comú múltiple dels denominadors: 3(x + 1) - 2(x - 2) > 6.
Treiem els parèntesis: 3x + 3 - 2x + 4 > 6, és a dir, x + 7 > 6.
x > -1. Solució: (-1, +∞).
Comprovació: x = 0 dona 1/2 + 2/3 = 7/6 > 1 (compleix) i x = -1 dona 0 + 1 = 1, que no és més gran que 1 (queda exclòs).
Error típic: oblidar multiplicar per 6 el terme sense denominador (l'1 de la dreta).

Arrels de $x^{2}$ - 3x - 10 = 0: x = $\tfrac{(3 \pm \sqrt{9 + 40})}{2}$ = $\tfrac{(3 \pm 7)}{2}$, és a dir, x = 5 i x = -2.
La paràbola s'obre cap amunt, així que és positiva fora de les arrels i negativa entre elles. Com que volem ≥ 0, agafem l'exterior i incloem les arrels.
Solució: (-∞, -2] ∪ [5, +∞).
Comprovació: x = 0 dona -10 (no compleix, és a l'interval central) i x = 6 dona 36 - 18 - 10 = 8 ≥ 0 (compleix).

Multipliquem per -1 per tenir coeficient positiu a $x^{2}$; en fer-ho, el sentit de la desigualtat es gira: $x^{2}$ - 4x + 3 < 0.
Arrels de $x^{2}$ - 4x + 3 = 0: x = $\tfrac{(4 \pm 2)}{2}$, és a dir, x = 1 i x = 3. La paràbola s'obre cap amunt i és negativa entre les arrels.
Solució: (1, 3).
Comprovació amb la inequació original: x = 2 dona -4 + 8 - 3 = 1 > 0 (compleix) i x = 0 dona -3 (no compleix).

Resolem cada inequació per separat.
2x - 1 > 3 → 2x > 4 → x > 2.
5 - x ≥ 1 → -x ≥ -4 → x ≤ 4 (en dividir entre -1, el sentit es gira).
La solució del sistema és la intersecció: (2, +∞) ∩ (-∞, 4] = (2, 4].
Comprovació: x = 3 compleix les dues; x = 4 també (7 > 3 i 5 - 4 = 1 ≥ 1); x = 2 no compleix la primera (3 > 3 és fals).

Primera: x + 3 < 1 → x < -2, és a dir, (-∞, -2).
Segona: 2x - 1 > 5 → 2x > 6 → x > 3, és a dir, (3, +∞).
Cal que es compleixin alhora, però cap nombre no pot ser menor que -2 i més gran que 3: la intersecció (-∞, -2) ∩ (3, +∞) és buida.
El sistema no té solució (∅).

Anomenem n el nombre de classes. Cost de la primera: 40 + 18n; cost de la segona: 25n.
Volem que la primera sigui més barata: 40 + 18n < 25n → 40 < 7n → n > $\tfrac{40}{7} \approx 5{,}71$.
Com que n ha de ser enter, a partir de 6 classes.
Comprovació: amb 5 classes, 40 + 90 = 130 € contra 125 € (guanya la segona); amb 6 classes, 40 + 108 = 148 € contra 150 € (guanya la primera).

Sigui x la llargada, en cm. El perímetre és 2(8 + x) i ha de ser menor que 50: 2(8 + x) < 50.
Dividim entre 2: 8 + x < 25, d'on x < 17.
A més, una llargada ha de ser positiva: x > 0. Per tant, 0 < x < 17, és a dir, l'interval (0, 17).
Comprovació: x = 16 dona un perímetre de 48 cm (menor que 50) i x = 17 en dona 50, que no és menor que 50.

Substituïm el punt (0, 3) a l'expressió: 2x - 1 = -1, i y = 3 és més gran que -1. Per tant, el semiplà és el que queda per sobre de la recta, on y és més gran que 2x - 1.
Com que la frontera hi està inclosa, la desigualtat no és estricta: y ≥ 2x - 1.
Comprovació: (2, 5) és per sobre de la recta i 5 ≥ 2·2 - 1 = 3 és cert; (2, 0) és per sota i 0 ≥ 3 és fals; (1, 1) és sobre la frontera i 1 ≥ 1 és cert.

Un punt pertany a la regió si compleix les tres inequacions a la vegada.
(1, 2): 1 ≥ 0, 2 ≥ 0 i 1 + 2 = 3 ≤ 6. Pertany.
(4, 3): 4 + 3 = 7, que no és ≤ 6. No pertany.
(0, 6): 0 ≥ 0, 6 ≥ 0 i 0 + 6 = 6 ≤ 6. Pertany (és a la frontera).
(-1, 2): x = -1 no compleix x ≥ 0. No pertany.
La regió és el triangle de vèrtexs (0, 0), (6, 0) i (0, 6), vora inclosa.

És una doble inequació: l'operem a les tres parts alhora.
Restem 1: -4 < 2x ≤ 8. Dividim entre 2: -2 < x ≤ 4.
La solució és l'interval (-2, 4].
Els enters que hi són: -1, 0, 1, 2, 3 i 4.
Comprovació: x = 4 dona 2·4 + 1 = 9 ≤ 9 (compleix) i x = -2 dona -3, que no és més gran que -3 (queda exclòs).

a) $x^{2}$ + 4x + 4 = $(x + 2)^{2}$, que és ≥ 0 sempre i només val 0 en x = -2. Per tant, és positiu per a tots els nombres excepte el -2: (-∞, -2) ∪ (-2, +∞).
b) $x^{2}$ - 6x + 9 = $(x - 3)^{2}$, que mai no és negatiu: només pot ser ≤ 0 si val 0, és a dir, en x = 3. Solució: x = 3 (un únic punt).
c) El discriminant és 1 - 4 = -3 < 0: no té arrels reals i la paràbola, que s'obre cap amunt, queda sempre per sobre de l'eix. Solució: tots els nombres reals.
Idea clau: amb una arrel doble o cap arrel, la paràbola no canvia de signe i el resultat no és el d'una inequació amb dues arrels diferents.

Primera: $x^{2}$ - 4 ≤ 0 té arrels x = -2 i x = 2; la paràbola és negativa o nul·la entre elles: [-2, 2].
Segona: x - 1 > 0 → x > 1, és a dir, (1, +∞).
La solució del sistema és la intersecció: [-2, 2] ∩ (1, +∞) = (1, 2].
Comprovació: x = 2 dona 4 - 4 = 0 ≤ 0 i 2 - 1 = 1 > 0 (compleix); x = 1 no compleix la segona (0 > 0 és fals).

Primera inequació: les arrels de $x^{2}$ - 2x - 8 = 0 són x = $\tfrac{(2 \pm 6)}{2}$, és a dir, -2 i 4. La paràbola és negativa entre elles: (-2, 4).
Segona inequació: 3x ≥ 6 → x ≥ 2, és a dir, [2, +∞).
Intersecció: [2, 4).
Els enters que hi són: 2 i 3.
Comprovació: x = 4 no serveix, perquè 16 - 8 - 8 = 0 no és menor que 0; x = 1 no serveix, perquè 3·1 - 2 = 1 no és ≥ 4.

El nombre de solucions depèn del discriminant: Δ = $(-4)^{2}$ - 4·1·k = 16 - 4k.
Cap solució real: Δ < 0 → 16 - 4k < 0 → -4k < -16 → k > 4 (el sentit es gira en dividir entre -4).
Dues solucions diferents: Δ > 0 → 16 - 4k > 0 → k < 4.
Si k = 4, Δ = 0 i hi ha una arrel doble (x = 2).
Comprovació: k = 5 dona $x^{2}$ - 4x + 5 = 0 amb Δ = -4 < 0 (cap solució); k = 0 dona x(x - 4) = 0, amb dues solucions, 0 i 4.

L'arrel quadrada només existeix si el radicand no és negatiu: $x^{2}$ - 5x + 4 ≥ 0.
Arrels de $x^{2}$ - 5x + 4 = 0: x = $\tfrac{(5 \pm 3)}{2}$, és a dir, x = 1 i x = 4. La paràbola s'obre cap amunt, així que és positiva fora de les arrels.
Domini: (-∞, 1] ∪ [4, +∞).
Comprovació: f(0) = $\sqrt{4}$ = 2 existeix; per a x = 2 el radicand val 4 - 10 + 4 = -2 < 0 i f(2) no existeix.

Guanya diners quan el benefici és positiu: -$x^{2}$ + 60x - 500 > 0.
Multipliquem per -1 i girem el sentit: $x^{2}$ - 60x + 500 < 0.
Arrels: x = $\tfrac{(60 \pm \sqrt{3600 - 2000})}{2}$ = $\tfrac{(60 \pm 40)}{2}$, és a dir, x = 10 i x = 50. La paràbola és negativa entre les arrels: 10 < x < 50.
Guanya diners si en ven entre 11 i 49 samarretes (si en ven 10 o 50, el benefici és exactament 0).
Comprovació: B(30) = -900 + 1800 - 500 = 400 > 0, i B(10) = -100 + 600 - 500 = 0.

Condicions: hores de fusteria, 4x + 2y ≤ 40; almenys 3 taules, x ≥ 3; i no es poden fabricar quantitats negatives, y ≥ 0.
Sistema: 4x + 2y ≤ 40, x ≥ 3, y ≥ 0 (amb x i y enters).
(5, 8): 4·5 + 2·8 = 36 ≤ 40, 5 ≥ 3 i 8 ≥ 0. Es compleix tot: és possible (sobren 4 hores).
(8, 6): 4·8 + 2·6 = 44, que supera les 40 hores. No és possible.

a) Falsa. -3 < 1, però $(-3)^{2}$ = 9 no és menor que $1^{2}$ = 1. Només és certa si a i b són positius.
b) Certa. Multiplicar per -1 gira el sentit de la desigualtat; per exemple, 2 < 5 i -2 > -5.
c) Certa. $x^{2}$ ≥ 0 sempre, així que $x^{2}$ + 1 ≥ 1 i mai no pot ser negatiu.
d) Falsa. També compleix x < -2 (per exemple, x = -3 dona 9 > 4). La solució és (-∞, -2) ∪ (2, +∞).

Si l'amplada és x, la llargada és 10 - x (la suma dels dos costats és la meitat del perímetre), amb 0 < x < 10.
Àrea: A = x(10 - x) = -$x^{2}$ + 10x. Volem -$x^{2}$ + 10x > 21, és a dir, $x^{2}$ - 10x + 21 < 0.
Arrels: x = $\tfrac{(10 \pm \sqrt{100 - 84})}{2}$ = $\tfrac{(10 \pm 4)}{2}$, és a dir, x = 3 i x = 7. La paràbola és negativa entre elles: 3 < x < 7.
Comprovació: x = 5 dona una àrea de 25 $\text{m}^{2}$ (> 21), x = 3 en dona 21 (no és més gran que 21) i x = 8 en dona 16.