Exercicis de successions i progressions — Matemàtiques 4t ESO

$a_{1}$ = 2, $a_{2}$ = 6, $a_{3}$ = 10.

d = 14 - 10 = 4.

$a_{4}$ = 5 · $2^{3}$ = 5 · 8 = 40.

Substituïm n = 1, 2, 3, 4, 5 en cada fórmula.
$a_{n}$ = $n^{2}$ - 3n: $a_{1}$ = 1 - 3 = -2; $a_{2}$ = 4 - 6 = -2; $a_{3}$ = 9 - 9 = 0; $a_{4}$ = 16 - 12 = 4; $a_{5}$ = 25 - 15 = 10.
$b_{n}$ = $(-1)^{n}$·(n + 1): $b_{1}$ = (-1)·2 = -2; $b_{2}$ = (+1)·3 = 3; $b_{3}$ = (-1)·4 = -4; $b_{4}$ = 5; $b_{5}$ = -6.
El factor $(-1)^{n}$ fa que els signes s'alternin: és negatiu si n és senar i positiu si n és parell.

Mirem si la diferència entre termes consecutius (aritmètica) o el quocient (geomètrica) és constant.
a) 4 - 7 = 1 - 4 = -2 - 1 = -3: aritmètica de diferència d = -3.
b) 6/2 = 18/6 = 54/18 = 3: geomètrica de raó r = 3.
c) Les diferències són 3, 5, 7, 9 i els quocients 4, 9/4, 16/9, 25/16: no són constants. No és ni aritmètica ni geomètrica (són els quadrats perfectes).
d) 40/80 = 20/40 = 10/20 = 1/2: geomètrica de raó r = 1/2 (decreixent).

La fórmula diu que cada terme s'obté multiplicant l'anterior per 2 i restant-hi 1.
$a_{1}$ = 3; $a_{2}$ = 2·3 - 1 = 5; $a_{3}$ = 2·5 - 1 = 9; $a_{4}$ = 2·9 - 1 = 17; $a_{5}$ = 2·17 - 1 = 33.
Diferències: 2, 4, 8, 16 (no són constants). Quocients: $\tfrac{5}{3}$, $\tfrac{9}{5}$, $\tfrac{17}{9}$, $\tfrac{33}{17}$ (tampoc). No és ni aritmètica ni geomètrica.

El terme general d'una progressió aritmètica és a_n = a₁ + (n - 1)·d.
Aquí a_n = 7 + (n - 1)·(-2) = 7 - 2n + 2 = 9 - 2n.
a₁₅ = 9 - 2·15 = 9 - 30 = -21.
Comprovació: a₁ = 9 - 2 = 7 i a₂ = 9 - 4 = 5, que és 7 - 2.

La raó és el quocient entre un terme i l'anterior: 27/81 = 1/3 i 9/27 = 1/3. Com que és el mateix, és geomètrica de raó r = 1/3.
Cada terme és el de davant multiplicat per 1/3: a₄ = 9·(1/3) = 3, a₅ = 3·(1/3) = 1 i a₆ = 1·(1/3) = 1/3.
Els termes següents són 3, 1 i 1/3.
Comprovació: a₆ = 81·(1/3)⁵ = 81/243 = 1/3.

Els senars formen una progressió aritmètica amb $a_{1}$ = 1, d = 2 i $a_{30}$ = 59 (comprovació: 1 + 29·2 = 59).
La suma dels n primers termes és $S_{n}$ = ($a_{1}$ + $a_{n}$)·$\tfrac{n}{2}$.
$S_{30}$ = (1 + 59)·$\tfrac{30}{2} = 60$·15 = 900.
Relació: 900 = $30^{2}$. La suma dels n primers senars és sempre $n^{2}$: 1 + 3 = 4 = $2^{2}$, 1 + 3 + 5 = 9 = $3^{2}$, …

Cada terme s'obté multiplicant l'anterior per -1/2: 64, -32, 16, -8, 4. Els signes s'alternen perquè la raó és negativa.
El terme general és a_n = 64·(-1/2)^n-1.
a₈ = 64·(-1/2)⁷ = 64·(-1/128) = -1/2.
Comprovació: a₅ = 64·(-1/2)⁴ = 64/16 = 4, que coincideix amb el cinquè terme de la llista.

$a_{1}$ = 1, r = 2. $S_{10}$ = 1 · $\tfrac{(2^{10} - 1)}{(2 - 1)} = 1024$ - 1 = 1023.

a₁ = 9 i r = 3/9 = 1/3. Com que |r| < 1: S = 9/(1 - 1/3) = 9/(2/3) = 27/2 = 13,5.

$C_{3}$ = 500 · $(1{,}02)^{3}$ = 500 · 1,061208 = 530,60 euros.

8000 · $(1{,}01)^{2}$ = 8000 · 1,0201 = 8160,8, o sigui uns 8160 habitants.

De a₂ a a₆ hi ha 4 salts de mida d: a₆ = a₂ + 4d → 19 = 7 + 4d → d = 3.
Primer terme: a₁ = a₂ - d = 7 - 3 = 4.
Terme general: a_n = 4 + (n - 1)·3 = 3n + 1.
a₂₅ = 3·25 + 1 = 76.
Comprovació: a₂ = 3·2 + 1 = 7 i a₆ = 3·6 + 1 = 19.

De a₂ a a₅ hi ha 3 multiplicacions per la raó: a₅ = a₂·r³ → 162 = 6·r³ → r³ = 27 → r = 3.
Primer terme: a₁ = a₂/r = 6/3 = 2.
Els cinc primers termes són 2, 6, 18, 54, 162.
Comprovació: 54·3 = 162.

a) Si inserim 3 termes entre 5 i 25, en total hi ha 5 termes, amb a₁ = 5 i a₅ = 25. Aleshores 25 = 5 + 4d → d = 5. La successió és 5, 10, 15, 20, 25 i els mitjans aritmètics són 10, 15 i 20.
b) Amb 2 mitjans hi ha 4 termes: a₁ = 4 i a₄ = 108. Aleshores 108 = 4·r³ → r³ = 27 → r = 3. La successió és 4, 12, 36, 108 i els mitjans geomètrics són 12 i 36.
Comprovació: 12·3 = 36 i 36·3 = 108.

Els nombres de seients per fila formen una progressió aritmètica amb a₁ = 12 i d = 2.
Última fila: a₁₅ = 12 + 14·2 = 40 seients.
Total: S₁₅ = (a₁ + a₁₅)·15/2 = (12 + 40)·15/2 = 52·15/2 = 390 seients.
Comprovació: la fila central (la 8a) té 12 + 7·2 = 26 seients, i 26·15 = 390, perquè en una progressió aritmètica la suma és el terme central pel nombre de termes.

A cada plec el gruix es multiplica per 2 (raó 2), de manera que després de n plecs és 0,1·$2^{n}$ mm: una progressió geomètrica.
10 plecs: 0,1·$2^{10}$ = 0,1·1024 = 102,4 mm = 10,24 cm.
20 plecs: 0,1·$2^{20}$ = 0,1·1048576 = 104857,6 mm ≈ 104,9 m.
Cada 10 plecs el gruix es multiplica per $2^{10}$ = 1024. Per això s'arriba tan ràpid a mides enormes, tot i que a la pràctica és impossible plegar un full tantes vegades.

Aquí a₁ = 100 i d = -6, així que a_n = 100 + (n - 1)·(-6) = 106 - 6n.
Volem a_n < 0: 106 - 6n < 0 → 6n > 106 → n > 17,67.
El primer nombre natural més gran que 17,67 és n = 18.
a₁₈ = 106 - 108 = -2: és el primer terme negatiu i ocupa el lloc 18.
Comprovació: a₁₇ = 106 - 102 = 4 > 0 i a₁₈ = -2 < 0.

a) Els termes són 1² + 1, 2² + 1, 3² + 1, 4² + 1, 5² + 1: a_n = n² + 1. (Les diferències 3, 5, 7, 9 no són constants, així que no és aritmètica.)
b) El numerador és n i el denominador és n + 1: b_n = n/(n + 1).
c) Cada terme és el doble de l'anterior: progressió geomètrica amb a₁ = 3 i r = 2, de manera que c_n = 3·2^n-1.
Comprovació: a₅ = 26, b₄ = 4/5 i c₅ = 3·16 = 48.

3n - 1 = 44; 3n = 45; n = 15. És el terme 15.

Són 3, 6, ..., 99: una aritmètica amb a₁ = 3, d = 3. El terme 99 = 3 + (n - 1) · 3 dona n = 33 termes. Suma: S = (3 + 99) · 33 / 2 = 1683.

1000 · $(1 + i)^{3}$ = 1157,63, per tant $(1 + i)^{3}$ = 1,15763. L'arrel cúbica dona 1 + i = 1,05, o sigui i = 0,05: un 5 % anual.

Primera caiguda: 10 m. Després, a cada rebot la pilota puja i torna a baixar la mateixa altura. Les altures de pujada són 6, 3,6, 2,16, …: una progressió geomètrica amb a₁ = 6 i r = 0,6.
Com que |r| < 1, la suma infinita és S = a₁/(1 - r) = 6/(1 - 0,6) = 6/0,4 = 15 m.
Cada pujada es recorre dues vegades (amunt i avall): 2·15 = 30 m.
Distància total = 10 + 30 = 40 m.
Comprovació: els primers trams recorreguts són 10 m, 12 m, 7,2 m, 4,32 m, … i la suma d'aquests trams s'acosta a 40 m.

A) Interès compost: cada any el capital es multiplica per 1,03 (progressió geomètrica). C = 1000·1,03¹⁰ = 1000·1,3439 = 1343,92 €.
B) Interès simple: cada any s'afegeix sempre el 3,2 % de 1000 = 32 € (progressió aritmètica de diferència 32). C = 1000 + 10·32 = 1320 €.
Convé l'oferta A, que dona 23,92 € més, tot i que el seu percentatge anual és menor.
Idea clau: l'interès compost creix en progressió geomètrica i, amb el temps, acaba superant l'interès simple, que creix en progressió aritmètica.

Després de n anys, el capital és C_n = 2000·1,04ⁿ. Volem 2000·1,04ⁿ > 2500 → 1,04ⁿ > 1,25.
Prenem logaritmes: n·log 1,04 > log 1,25 → n > log 1,25 / log 1,04 = 0,09691/0,01703 ≈ 5,69.
Per tant calen 6 anys complets.
Comprovació: C₅ = 2000·1,04⁵ = 2433,31 € (encara no arriba a 2500) i C₆ = 2000·1,04⁶ = 2530,64 € (ja ho supera).

Els sumands són 0,45; 0,0045; 0,000045; … Cada un s'obté multiplicant l'anterior per 0,01, així que formen una progressió geomètrica amb a₁ = 0,45 i r = 0,01.
Com que |r| < 1, la suma infinita és S = a₁/(1 - r) = 0,45/0,99 = 45/99.
Simplifiquem dividint entre 9: S = 5/11.
Comprovació: 5 : 11 = 0,4545…

Anomenem els tres nombres a/r, a i a·r (progressió geomètrica de raó r, amb a el terme central).
Producte: (a/r)·a·(a·r) = a³ = 216 → a = 6.
Suma: 6/r + 6 + 6r = 26 → 6/r + 6r = 20 → multipliquem per r i dividim entre 2: 3 + 3r² = 10r → 3r² - 10r + 3 = 0.
r = (10 ± √(100 - 36))/6 = (10 ± 8)/6, és a dir, r = 3 o r = 1/3.
Amb r = 3: 2, 6, 18. Amb r = 1/3: 18, 6, 2 (els mateixos nombres en ordre invers).
Comprovació: 2 + 6 + 18 = 26 i 2·6·18 = 216.

Aquí a₁ = 5 i d = 3, així que a_n = 5 + 3(n - 1) = 3n + 2.
S_n = (a₁ + a_n)·n/2 = (5 + 3n + 2)·n/2 = (3n + 7)·n/2.
Imposem S_n = 440: (3n² + 7n)/2 = 440 → 3n² + 7n - 880 = 0.
n = (-7 ± √(49 + 10560))/6 = (-7 ± 103)/6, és a dir, n = 16 o n = -55/3. Descartem la solució negativa (n ha de ser un nombre natural).
S'han sumat 16 termes i l'últim és a₁₆ = 3·16 + 2 = 50.
Comprovació: (5 + 50)·16/2 = 55·8 = 440.