Flashcards: Nombres reals

Totes les targetes del tema

Per fer-hi una ullada ràpida o repassar-les en paper.

1. 1. Quan és racional un nombre?

   Quan es pot escriure com una fracció $\dfrac{a}{b}$ amb $a$ i $b$ enters i $b \neq 0$. Els seus decimals són exactes o periòdics.

2. 2. Què és un nombre irracional?

   Un nombre real que no es pot escriure com a fracció: té infinits decimals sense cap patró que es repeteixi. Exemples: $\sqrt{2}$, $\sqrt{5}$, $\pi$. Compte: $\sqrt{9} = 3$ és racional.

3. 3. Error típic: 0,333… és irracional perquè els decimals no s'acaben mai?

   No. Es repeteix el període 3 i val $\dfrac{1}{3}$: és racional. Irracional vol dir decimals infinits sense cap patró.

4. 4. Diferència entre truncar i arrodonir?

   Truncar és tallar i llençar les xifres que sobren. Arrodonir és mirar la xifra següent i pujar si és 5 o més. Arrodonir dona menys error.

5. 5. Què és l'error absolut d'una aproximació?

   La diferència, sense signe, entre el valor real i l'aproximació: $|\text{valor real} - \text{aproximació}|$.

6. 6. Què és l'error relatiu i per què serveix?

   L'error absolut dividit pel valor real, sovint en %. Et diu si l'error és gros comparat amb el que mesures: $1\ \mathrm{cm}$ en un llapis no és el mateix que en un camp de futbol.

7. 7. Interval obert $(a, b)$ i interval tancat $[a, b]$: quina diferència hi ha?

   A l'obert els extrems no hi entren: $a < x < b$. Al tancat sí que hi entren: $a \le x \le b$.

8. 8. Error típic: escriure $[3, +\infty]$. Com s'escriu bé?

   $[3, +\infty)$. Al costat de l'infinit sempre hi va parèntesi: l'infinit no és un nombre i no s'hi pot arribar.

9. 9. Què és el valor absolut $|x|$?

   La distància de $x$ fins al zero. Com que és una distància, mai no és negatiu: $|-5| = |5| = 5$.

10. 10. Quantes solucions té $|x| = k$?

    Si $k > 0$, dues: $x = k$ i $x = -k$. Si $k = 0$, una: $x = 0$. Si $k < 0$, cap: no hi ha cap nombre a distància negativa del zero.

11. 11. Solució de $|x| < k$ i de $|x| > k$ (amb $k > 0$) en forma d'interval?

    $|x| < k$: $(-k, k)$, els que són a menys de $k$ del zero. $|x| > k$: $(-\infty, -k) \cup (k, +\infty)$, els que en són a més.

12. 12. Quins nombres compleixen $|x - a| \le r$?

    Els nombres que són a distància $r$ o menys del nombre $a$: l'interval $[a - r, a + r]$.

13. 13. Com s'escriu una arrel com a potència?

    Amb exponent fraccionari: $\sqrt[n]{a^{m}} = a^{m/n}$. Per exemple, $\sqrt{a} = a^{1/2}$.

14. 14. Com es reparteix l'arrel en un producte i en un quocient?

    $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{a\cdot b}$ i $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$, amb $a \ge 0$ i $b \ge 0$ (al quocient, $b > 0$).

15. 15. Error típic: $\sqrt{a + b} = \sqrt{a} + \sqrt{b}$?

    Fals. $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$, però $\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7$. L'arrel no es reparteix entre sumes ni restes.

16. 16. Com simplifiques una arrel quadrada?

    Descompons el radicand en factors primers i, per cada parella de factors iguals, en treus un a fora: $\sqrt{12} = \sqrt{2^{2}\cdot 3} = 2\sqrt{3}$.

17. 17. Quan es poden sumar dos radicals?

    Només si són semblants (mateix índex i mateix radicand), i se sumen com monomis: $5\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$. Primer simplifica'ls.

18. 18. Què és racionalitzar i com ho fas amb $\dfrac{1}{\sqrt{a}}$?

    Treure l'arrel del denominador. Multipliques dalt i baix per $\sqrt{a}$: $\dfrac{1}{\sqrt{a}} = \dfrac{\sqrt{a}}{a}$.

19. 19. Com és un nombre en notació científica?

    $a \cdot 10^{n}$, amb $1 \le a < 10$ (un sol dígit diferent de zero abans de la coma) i $n$ enter.

20. 20. En notació científica, quan és positiu l'exponent i quan és negatiu?

    Positiu si el nombre és 10 o més (mous la coma cap a l'esquerra); negatiu si és més petit que 1 (la mous cap a la dreta). L'exponent és el nombre de llocs que mous la coma.

21. 21. Com multipliques i divideixes en notació científica?

    Multipliques (o divideixes) les parts de davant i sumes (o restes) els exponents. Després ajustes si la part de davant no ha quedat entre 1 i 10.

22. 22. Error típic: $0{,}4 \cdot 10^{7}$ està en notació científica?

    No: la part de davant ha d'estar entre 1 i 10. Cal escriure $4 \cdot 10^{6}$.

23. 23. Com sumes dos nombres en notació científica?

    Primer els deixes amb el mateix exponent i després sumes les parts de davant. Els exponents només se sumen quan multipliques.

24. 24. Com es defineix el logaritme $\log_a x$?

    $\log_a x = y$ vol dir $a^{y} = x$: el logaritme és l'exponent al qual has d'elevar la base $a$ per obtenir $x$. Per exemple, $\log_2 8 = 3$.

25. 25. Quan existeix $\log_a x$?

    Quan $x > 0$ i la base és positiva i diferent d'1. Cap potència d'una base positiva dona zero ni un nombre negatiu.

26. 26. Quant valen $\log_a 1$, $\log_a a$ i $\log_a a^{n}$?

    $\log_a 1 = 0$, $\log_a a = 1$ i $\log_a a^{n} = n$. Si $\log$ no porta base escrita, és base 10.

27. 27. Propietats del logaritme d'un producte, d'un quocient i d'una potència?

    $\log(x y) = \log x + \log y$, $\log\dfrac{x}{y} = \log x - \log y$ i $\log x^{n} = n\log x$, amb $x, y > 0$.

28. 28. Error típic: el logaritme d'una suma es parteix com $\log(x + y) = \log x + \log y$?

    Fals. La propietat és per al producte: $\log(x y) = \log x + \log y$. El logaritme d'una suma no es pot partir.