Exercicis de semblança i teorema de Tales — Matemàtiques 4t ESO

Dues figures són semblants si tenen els angles iguals i els costats homòlegs proporcionals. Tots els angles d'un rectangle són de 90°, així que només cal comparar els costats.
$\tfrac{15}{6} = 2{,}5$ i $\tfrac{10}{4} = 2{,}5$: els quocients coincideixen, per tant són semblants.
La raó de semblança del segon respecte del primer és k = 2,5 (el segon és una ampliació).
Comprovació: 6·2,5 = 15 i 4·2,5 = 10.

L'escala 1:50000 vol dir que 1 cm del mapa representa 50000 cm de la realitat.
Distància real = 3,2 · 50000 = 160000 cm.
Passem a quilòmetres: 160000 cm = 1600 m = 1,6 km.
Comprovació: 1,6 km = 160000 cm, i 160000/50000 = 3,2 cm al mapa.

Passem la distància real a centímetres: 12 km = 12000 m = 1200000 cm.
L'escala és la raó entre la mesura al mapa i la real: 4,8 : 1200000.
Dividim per 4,8 per deixar l'1 a l'esquerra: 1 : (1200000/4,8) = 1 : 250000.
Comprovació: 4,8 · 250000 = 1200000 cm = 12 km.

Si la raó de semblança (de longituds) és k, la raó entre les àrees és $k^{2}$.
Aquí k = 3, així que les àrees es multipliquen per $3^{2}$ = 9.
Àrea del gran = 8 · 9 = 72 cm².
Error típic: multiplicar l'àrea només per 3 (donaria 24 cm²).

Tots els cubs són semblants. Raó de semblança (longituds): k = 6/3 = 2.
Raó entre àrees: k² = 4 (una cara de 3 × 3 = 9 cm² i una de 6 × 6 = 36 cm²; 36/9 = 4).
Raó entre volums: k³ = 8 (3³ = 27 cm³ i 6³ = 216 cm³; 216/27 = 8).

Calculem el tercer angle de cada triangle, sabent que els tres sumen 180°.
Primer triangle: 180° - 50° - 60° = 70°, així que els angles són 50°, 60° i 70°.
Segon triangle: 180° - 50° - 70° = 60°, així que els angles són 50°, 70° i 60°.
Els dos triangles tenen els mateixos tres angles, de manera que són semblants (criteri d'angles: amb dos angles iguals ja n'hi ha prou).

Ampliar al 150 % és multiplicar les longituds per k = 1,5.
Dimensions de la còpia: 8 · 1,5 = 12 cm i 6 · 1,5 = 9 cm.
Àrea original: 8 · 6 = 48 cm². Àrea de la còpia: 12 · 9 = 108 cm².
L'àrea queda multiplicada per $\tfrac{108}{48} = 2{,}25$, que és $k^{2}$ = $1{,}5^{2}$ (i no per 1,5).

Pel teorema de Tales, els segments determinats per rectes paral·leles sobre dues transversals són proporcionals.
3/5 = 6/x → x = 5 · 6/3 = 10 cm.
Comprovació: 3/5 = 0,6 i 6/10 = 0,6.

Els triangles ADE i ABC estan en posició de Tales (comparteixen l'angle A i DE ∥ BC), així que són semblants i els seus costats són proporcionals.
AD/AB = AE/AC → 3/9 = 4/AC → AC = 4 · 9/3 = 12 cm.
Comprovació: la raó de semblança és 3/9 = 1/3 i 4 · 3 = 12.

Els raigs del sol són paral·lels, així que el pal amb la seva ombra i l'arbre amb la seva ombra formen dos triangles rectangles semblants.
alçada/ombra és constant: $\tfrac{2}{3}$ = $\tfrac{h}{12}$ → h = 2 · $\tfrac{12}{3} = 8$ m.
Comprovació: l'ombra de l'arbre és 4 vegades la del pal (12 = 4 · 3), així que l'alçada també és 4 vegades la del pal (8 = 4 · 2).

Cada centímetre del plànol representa 200 cm reals.
5 cm · 200 = 1000 cm = 10 m i 3 cm · 200 = 600 cm = 6 m.
Àrea real = 10 · 6 = 60 $\text{m}^{2}$.
Comprovació: l'àrea al plànol és 5 · 3 = 15 cm²; l'àrea real es multiplica per $200^{2}$: 15 · 40000 = 600000 cm² = 60 $\text{m}^{2}$ (1 $\text{m}^{2}$ = 10000 cm²).

L'escala 1:25 vol dir que les longituds reals són 25 vegades les de la maqueta, així que k = 25.
Els volums es multipliquen per $k^{3}$ = $25^{3}$ = 15625.
Capacitat real = 12 · 15625 = 187500 litres.
Com que 1 $\text{m}^{3}$ = 1000 L, són 187,5 $\text{m}^{3}$.
Error típic: multiplicar només per 25 (o per $25^{2}$); en volums cal elevar la raó al cub.

Pel teorema de Tales, AD/DB = AE/EC.
x/(x + 3) = 6/9 = 2/3 → 3x = 2(x + 3) → 3x = 2x + 6 → x = 6.
Així AD = 6 i DB = 6 + 3 = 9, i AB = AD + DB = 15 cm.
Comprovació: AD/DB = 6/9 = 2/3 i AE/EC = 6/9 = 2/3.

Els triangles formats per cada objecte i la seva ombra són semblants (raigs de sol paral·lels).
1,70/2,5 = h/40 → h = 1,70 · 40/2,5 = 68/2,5 = 27,2 m.
Comprovació: 27,2/40 = 0,68 i 1,70/2,5 = 0,68.

El costat més curt del primer (6 cm) correspon al més curt del segon (9 cm): k = 9/6 = 1,5.
Els altres costats: 8 · 1,5 = 12 cm i 10 · 1,5 = 15 cm.
Perímetre del segon: 9 + 12 + 15 = 36 cm.
Comprovació: el perímetre del primer és 6 + 8 + 10 = 24 cm, i 24 · 1,5 = 36 cm (els perímetres també es multipliquen per k).

La raó entre àrees és el quadrat de la raó de semblança: 18/50 = 0,36 = k².
Per tant, k = √0,36 = 0,6 (del gran al petit).
Costat del petit = 15 · 0,6 = 9 cm.
Comprovació: 9/15 = 0,6 i 0,6² = 0,36 = 18/50.

Dos triangles són semblants si els seus costats homòlegs són proporcionals; emparellem els costats ordenats de menor a major.
Primer parell: $\tfrac{6}{4} = 1{,}5$; $\tfrac{9}{6} = 1{,}5$; $\tfrac{12}{8} = 1{,}5$. Els tres quocients són iguals: són semblants, amb k = 1,5.
Segon parell: $\tfrac{6}{3} = 2$; $\tfrac{8}{4} = 2$; $\tfrac{11}{6} \approx 1{,}83$. Els quocients no coincideixen: no són semblants (si el darrer costat fos 12, sí que ho serien).

2 + 3 + 4 = 9 parts iguals en total. Cada part mesura $\tfrac{18}{9} = 2$ cm.
Les tres parts mesuren 2 · 2 = 4 cm, 3 · 2 = 6 cm i 4 · 2 = 8 cm.
Sobre el paper, es traça una semirecta auxiliar amb 9 segments iguals, s'uneix el seu extrem final amb l'extrem del segment i es tracen paral·leles; Tales assegura que les parts surten proporcionals.
Comprovació: 4 + 6 + 8 = 18 cm i 4 : 6 : 8 = 2 : 3 : 4.

Els perímetres (longituds) es multipliquen per la raó de semblança: perímetre del gran = 24 · $\tfrac{5}{2} = 60$ cm.
Les àrees es multipliquen per $k^{2}$: àrea del petit = 187,5 · $(\tfrac{2}{5})^{2}$ = 187,5 · $\tfrac{4}{25} = 30$ cm².
Comprovació: $\tfrac{30}{187{,}5} = 0{,}16$ = $(\tfrac{2}{5})^{2}$.

Distància real = 7,5 · 200000 = 1500000 cm = 15000 m = 15 km.
Temps = distància/velocitat = 15/90 = 1/6 h = 10 minuts.
Comprovació: a 90 km/h, en 10 minuts (1/6 d'hora) es recorren 90/6 = 15 km.

AB = AD + DB = 6 + 4 = 10 cm.
Els triangles ADE i ABC són semblants: DE/BC = AD/AB → 9/BC = 6/10.
BC = 9 · 10/6 = 15 cm.
Error típic: plantejar 9/BC = 6/4, que compara una part del costat (AD) amb l'altra part (DB) en lloc de comparar-la amb el costat sencer AB.

Els triangles rectangles ACT (angle recte en A) i BCD (angle recte en B) són semblants: tenen un angle recte i els angles en C són oposats pel vèrtex, per tant iguals.
Els costats homòlegs són proporcionals: AT/BD = AC/CB.
AT/12 = 10/6 → AT = 12 · 10/6 = 20 m.
Comprovació: la raó de semblança és BD/AT = 12/20 = 0,6 i CB/AC = 6/10 = 0,6.

Comparem les raons: AD/AB = 8/12 = 2/3 i AE/AC = 10/15 = 2/3. Són iguals.
Pel recíproc del teorema de Tales, si una recta talla dos costats d'un triangle en segments proporcionals, és paral·lela al tercer costat: DE ∥ BC.
Els triangles ADE i ABC són semblants amb k = 2/3, així que DE = 2/3 · BC = 2/3 · 18 = 12 cm.
Comprovació: 12/18 = 2/3.

ADE i ABC estan en posició de Tales, així que són semblants amb raó k = AD/AB = 3/5.
La raó entre àrees és k² = 9/25, d'on àrea(ADE) = 100 · 9/25 = 36 cm².
El trapezi és el que queda: 100 - 36 = 64 cm².
Comprovació: 36/100 = 0,36 = 0,6².

Raó de semblança: k = 30/24 = 1,25.
Els volums (capacitats) es multipliquen per k³ = 1,25³ = 1,953125: la segona ampolla té una capacitat d'uns 1,95 litres.
Les àrees es multipliquen per k² = 1,25² = 1,5625: l'etiqueta mesura 100 · 1,5625 = 156,25 cm².
Comprovació: una ampolla només un 25 % més alta té gairebé el doble de capacitat, perquè el volum creix amb el cub de la raó.

Sigui s la longitud de l'ombra de la nena. El triangle gran té com a catets la farola (6 m) i la distància del peu de la farola a l'extrem de l'ombra (9 + s); el petit té com a catets la nena (1,5 m) i l'ombra (s). Són semblants.
6/(9 + s) = 1,5/s → 6s = 1,5(9 + s) → 6s = 13,5 + 1,5s → 4,5s = 13,5 → s = 3 m.
Comprovació: 6/(9 + 3) = 0,5 i 1,5/3 = 0,5.

a) Falsa. Els angles són sempre rectes, però els costats poden no ser proporcionals: un rectangle de 2 × 1 i un de 3 × 1 donen els quocients $\tfrac{3}{2}$ i $\tfrac{1}{1}$, que són diferents.
b) Certa. Els angles són rectes i els costats sempre són proporcionals (la raó és el quocient dels costats).
c) Falsa. El volum es multiplica per $2^{3}$ = 8.
d) Certa. Tots els angles són de 60°, per tant (criteri d'angles) són semblants.
e) Falsa. Un isòsceles amb angles 80°, 50°, 50° i un altre amb 20°, 80°, 80° tenen angles diferents.

Dimensions reals: 6 cm · 2000 = 12000 cm = 120 m i 2 cm · 2000 = 4000 cm = 40 m.
Àrea real = 120 · 40 = 4800 $\text{m}^{2}$ = 0,48 ha (1 ha = 10000 $\text{m}^{2}$).
En un plànol 1:5000: 12000 cm/5000 = 2,4 cm i 4000 cm/5000 = 0,8 cm. La finca mesuraria 2,4 cm × 0,8 cm.
Comprovació: l'àrea al segon plànol seria 1,92 cm², i 1,92 · $5000^{2}$ = 48000000 cm² = 4800 $\text{m}^{2}$.

Pel principi de reflexió, l'angle amb què arriba la llum al mirall és igual a l'angle amb què en surt. Per això els dos triangles rectangles (arbre–mirall i ulls–mirall) són semblants.
alçada de l'arbre/distància arbre–mirall = alçada dels ulls/distància ulls–mirall: h/8 = 1,70/2.
h = 8 · 1,70/2 = 6,8 m.
Comprovació: 6,8/8 = 0,85 i 1,70/2 = 0,85.

La raó entre àrees és k² = (2/3)² = 4/9, així que A₁ = (4/9)·A₂.
Com que A₁ + A₂ = 130: (4/9)·A₂ + A₂ = 130 → (13/9)·A₂ = 130 → A₂ = 130 · 9/13 = 90 cm².
Aleshores A₁ = 130 - 90 = 40 cm².
Comprovació: 40/90 = 4/9 = (2/3)².