Flashcards: Funcions elementals

Totes les targetes del tema

Per fer-hi una ullada ràpida o repassar-les en paper.

1. 1. Què representen $m$ i $n$ a la funció afí $y = mx + n$?

   $m$ és el pendent: el que canvia $y$ quan $x$ augmenta 1. $n$ és l'ordenada a l'origen: la recta talla l'eix OY a $(0, n)$.

2. 2. Què et diu el signe del pendent d'una recta?

   $m > 0$: funció creixent. $m < 0$: decreixent. $m = 0$: constant (recta horitzontal).

3. 3. Fórmula del pendent de la recta que passa per $(x_1, y_1)$ i $(x_2, y_2)$.

   $m = \dfrac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$: l'increment de $y$ dividit per l'increment de $x$.

4. 4. Equació punt-pendent de la recta.

   $y - y_1 = m(x - x_1)$, on $m$ és el pendent i $(x_1, y_1)$ és un punt de la recta.

5. 5. Com trobes els punts de tall d'una funció amb els eixos?

   Amb l'eix OY, fas $x = 0$ i calcules $y$. Amb l'eix OX, fas $y = 0$ i resols l'equació.

6. 6. Què et diu el signe de $a$ a la paràbola $y = ax^2 + bx + c$?

   Si $a > 0$, s'obre cap amunt i el vèrtex és un mínim. Si $a < 0$, s'obre cap avall i el vèrtex és un màxim.

7. 7. Com calcules el vèrtex de la paràbola $y = ax^2 + bx + c$?

   $x_v = -\dfrac{b}{2a}$ i $y_v$ surt de substituir $x_v$ a la funció. La recta vertical $x = x_v$ és l'eix de simetria.

8. 8. Quants punts de tall amb l'eix OX pot tenir una paràbola?

   Depèn del discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$: si $\Delta > 0$, dos; si $\Delta = 0$, un (el vèrtex); si $\Delta < 0$, cap.

9. 9. Funció de proporcionalitat inversa: expressió, domini i asímptotes.

   $y = \dfrac{k}{x}$, amb $k \neq 0$. La gràfica és una hipèrbola, el domini és $\mathbb{R} - \{0\}$ i les asímptotes són $x = 0$ i $y = 0$.

10. 10. Què et diu el signe de $k$ a $y = \dfrac{k}{x}$?

    Si $k > 0$, les branques són al 1r i al 3r quadrant i la funció decreix a cada branca. Si $k < 0$, són al 2n i al 4t i creix a cada branca.

11. 11. Error típic: $y = \dfrac{1}{x}$ és decreixent en tot el domini?

    No. Decreix a $(-\infty, 0)$ i a $(0, +\infty)$ per separat, però $f(-1) = -1 < f(1) = 1$.

12. 12. Asímptotes de $y = \dfrac{k}{x - a} + b$.

    Asímptota vertical $x = a$ (on s'anul·la el denominador) i horitzontal $y = b$. El domini és $\mathbb{R} - \{a\}$.

13. 13. Si dues magnituds són inversament proporcionals i una es duplica, què fa l'altra?

    Es redueix a la meitat, perquè el seu producte es manté constant: $x \cdot y = k$.

14. 14. Com trobes el domini d'una funció radical $y = \sqrt{\text{expressió}}$?

    Imposes que el radicand sigui més gran o igual que zero i resols la inequació. Per a $\sqrt{x + 3}$, $x \geq -3$.

15. 15. Quin recorregut té $y = \sqrt{ax + b}$, amb $a \neq 0$?

    $[0, +\infty)$: una arrel quadrada mai no dona valors negatius.

16. 16. Característiques de la funció exponencial $y = a^x$ (amb $a > 0$, $a \neq 1$).

    Domini $\mathbb{R}$, sempre positiva, passa per $(0, 1)$ i té l'asímptota horitzontal $y = 0$. No talla mai l'eix OX.

17. 17. Quan és creixent i quan decreixent l'exponencial $y = a^x$?

    Creixent si $a > 1$. Decreixent si $0 < a < 1$.

18. 18. Com escrius el valor d'una quantitat inicial $C$ que perd un $r\ \%$ cada any?

    $V(t) = C \cdot \left(1 - \dfrac{r}{100}\right)^t$. Perdre un $15\ \%$ vol dir multiplicar per $0{,}85$ cada any; guanyar-lo, per $1{,}15$.

19. 19. Característiques de la funció logarítmica $y = \log_a x$ (amb $a > 1$).

    Domini $(0, +\infty)$, passa per $(1, 0)$, té l'asímptota vertical $x = 0$ i és creixent.

20. 20. Com trobes el domini de $y = \log(\text{expressió})$?

    Imposes que l'argument sigui estrictament positiu. Per a $\log(x + 1)$, $x > -1$, i l'asímptota vertical és $x = -1$.

21. 21. Quina relació hi ha entre $y = a^x$ i $y = \log_a x$?

    Són funcions inverses: l'una desfà l'altra, $\log_a(a^x) = x$. El domini de l'una és el recorregut de l'altra.

22. 22. Funció definida a trossos: primer pas per calcular $f(a)$.

    Mirar a quin interval pertany $a$, fixant-te en els signes $<$ i $\leq$, i fer servir només l'expressió d'aquest tros.

23. 23. Quan és contínua una funció definida a trossos en un punt on canvia d'expressió?

    Quan els dos trossos donen el mateix valor en aquest punt, és a dir, la gràfica no fa cap salt.

24. 24. Com reconeixes en una taula de valors (amb $x$ d'un en un) si la funció és lineal, quadràtica o exponencial?

    Diferències constants: lineal. Diferències segones constants: quadràtica. Quocients entre valors seguits constants: exponencial.