Exercicis de regressió i correlació — Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat

Que per cada unitat que augmenta la variable x, la variable y augmenta 2,5 unitats.

Extrapolar. La predicció deixa de ser fiable perquè no se sap si la relació es manté fora del que s'ha observat.

Estimar un valor de y per a una x que és dins del rang de les dades observades. És més fiable que extrapolar (fer-ho fora del rang).

Mitjanes: $\bar{x}$ = (4 + 5 + 6 + 8 + 7)/5 = 30/5 = 6 i ȳ = (5 + 6 + 8 + 9 + 7)/5 = 35/5 = 7. El punt mitjà és (6, 7).
La recta de regressió passa sempre pel punt mitjà, així que y - 7 = 0,9·(x - 6).
Equació: y = 0,9x + 1,6 (ordenada a l'origen: 7 - 0,9·6 = 7 - 5,4 = 1,6).
Comprovació: per a x = 6, y = 0,9·6 + 1,6 = 7 = ȳ.

El signe negatiu indica una relació inversa: els dies més càlids el consum de gas tendeix a ser més baix, i els dies més freds, més alt.
No es pot valorar la força: la covariància té unitats (°C·kWh) i el seu valor canvia si canviem d'unitats (en Wh seria -35200 amb exactament la mateixa relació).
Per mesurar la força cal el coeficient de correlació r = cov/($s_{x}$·$s_{y}$), que no té unitats i sempre està entre -1 i 1.

a) Dependència funcional: l'àrea queda determinada exactament pel costat (A = $c^{2}$); tots els punts cauen sobre una corba, sense cap dispersió.
b) Dependència estadística: en general, a més alçada més pes, però no hi ha cap fórmula exacta; el núvol de punts mostra una tendència directa amb dispersió (0 < r < 1).
c) Independència: cap de les dues variables influeix en l'altra; el núvol de punts no mostra cap tendència i r ≈ 0.

El coeficient de determinació és $r^{2}$ = $0{,}92^{2}$ = 0,8464 ≈ 0,85.
Significa que, aproximadament, el 85 % de la variabilitat de la facturació queda explicada per la relació lineal amb la superfície; el 15 % restant depèn d'altres factors (ubicació, tipus de producte, horari...).
Com que $r^{2}$ és proper a 1, les prediccions fetes amb la recta de regressió seran fiables, sempre dins del rang de superfícies observat.

Fals. El coeficient de correlació no té unitats i no canvia si fem un canvi d'escala en una variable (ni tampoc si hi sumem una constant).
El que sí que es multiplica per 10 és la covariància (cov' = 10·cov) i també la desviació típica de x (s'_x = 10·$s_{x}$); en fer el quocient r = cov/($s_{x}$·$s_{y}$), els dos factors 10 es cancel·len.
A més, r mai no pot valer més de 1, així que multiplicar-lo per 10 no tindria cap sentit.

El pendent és negatiu (-0,8): quan el preu puja 1 €, el nombre d'entrades venudes baixa, de mitjana, 0,8 unitats. La correlació és inversa (negativa).
El pendent de la recta i el coeficient de correlació tenen sempre el mateix signe, perquè tots dos depenen del signe de la covariància: b = cov/$s_{x}$² i r = cov/($s_{x}$·$s_{y}$), i les desviacions típiques són positives.
Per tant, r no pot valer 0,7: ha de ser negatiu (per exemple, -0,7 sí que seria un valor possible).

La força de la relació lineal la dona el valor absolut |r|, i el signe en dona el sentit.
Ordre de més forta a més feble: preu-unitats venudes (|r| = 0,91, inversa, molt forta); alçada pares-fills (0,78, directa, forta); son-rendiment (0,35, directa, feble); germans-nota d'anglès (0,10, inversa, pràcticament nul·la).
Error típic: pensar que 0,35 és «més gran» que -0,91; el signe no indica força, només sentit.

És una relació directa, perquè el sou puja amb l'antiguitat, i molt forta: cada dos anys d'antiguitat el sou puja exactament 150 €, o sigui que els punts estan alineats.

Es mou entre -1 i 1, tots dos inclosos. Un valor de -1 indica una relació inversa perfecta: tots els punts cauen exactament sobre una recta de pendent negatiu.

Se'n conclou que no hi ha relació lineal entre les dues variables. El que no se'n pot concloure és que no hi hagi cap relació: podria ser-hi però tenir forma corba, i per això cal mirar el núvol de punts.

Per cada miler d'euros que s'inverteix en publicitat, les vendes pugen 4.000 €.

Mitjanes: $\bar{x}$ = 50/10 = 5 i ȳ = 80/10 = 8.
Covariància: cov = Σxy/n - $\bar{x}$·ȳ = 460/10 - 5·8 = 46 - 40 = 6.
Variàncies: s_x² = 290/10 - 5² = 29 - 25 = 4 i s_y² = 740/10 - 8² = 74 - 64 = 10.
Correlació: r = cov/(s_x·s_y) = 6/√(4·10) = 6/√40 = 6/6,325 ≈ 0,95: relació directa i molt forta.
Recta: pendent b = cov/s_x² = 6/4 = 1,5 i ordenada a = ȳ - b·$\bar{x}$ = 8 - 1,5·5 = 0,5. Per tant, y = 1,5x + 0,5.
Interpretació: cada membre més de la família suposa, de mitjana, 1,5 desenes d'euros (15 €) més de despesa setmanal.

Taula de doble entrada (sexe × esport): noies, 72 sí i 48 no; nois, 56 sí i 24 no.
Distribució marginal d'«esport»: sí = 72 + 56 = 128 alumnes (64 %); no = 48 + 24 = 72 alumnes (36 %).
Distribucions condicionades: noies que fan esport, 72/120 = 0,60 (60 %); nois que fan esport, 56/80 = 0,70 (70 %).
Com que els percentatges són diferents (60 % i 70 %), en aquesta mostra la pràctica d'esport depèn una mica del sexe: hi ha relació, encara que moderada. Si les variables fossin independents, els dos percentatges coincidirien amb el global, el 64 %.

Mitjanes: $\bar{x}$ = 30/5 = 6 i ȳ = 35/5 = 7.
Covariància: cov = [(2 - 6)(5 - 7) + (4 - 6)(6 - 7) + (6 - 6)(7 - 7) + (8 - 6)(9 - 7) + (10 - 6)(8 - 7)]/5 = (8 + 2 + 0 + 4 + 4)/5 = 18/5 = 3,6.
Variància de x: s_x² = (16 + 4 + 0 + 4 + 16)/5 = 40/5 = 8.
Pendent b = 3,6/8 = 0,45; ordenada a = 7 - 0,45·6 = 4,3. Recta: y = 0,45x + 4,3.
Estimació per a 7 hores: y = 0,45·7 + 4,3 = 7,45 ≈ 7,5 (interpolació, dins del rang 2–10 hores).
Alumne de 10 hores: valor estimat 0,45·10 + 4,3 = 8,8; residu = 8 - 8,8 = -0,8 (ha tret 0,8 punts menys del que prediu la recta).

a) Pendent 2,4: per cada m² més de superfície, el preu augmenta, de mitjana, 2,4 milers d'euros (2400 €). L'ordenada 35 seria el preu d'un pis de 0 m²: no té sentit real, només és el punt on la recta talla l'eix vertical (x = 0 queda molt fora del rang 50–120).
b) y = 2,4·90 + 35 = 216 + 35 = 251, és a dir, uns 251000 €.
c) Residu = valor real − valor estimat = 270 − 251 = 19 milers d'euros. És positiu: el pis és 19000 € més car del que correspondria a la seva superfície (potser per l'estat de conservació, la planta o les vistes).

El producte dels pendents de les dues rectes de regressió és r²: b·b' = r².
Per tant, b' = r²/b = (-0,6)²/(-1,2) = 0,36/(-1,2) = -0,3.
La recta de x sobre y també passa pel punt mitjà (10, 18): x - 10 = -0,3·(y - 18), és a dir, x = -0,3y + 15,4.
Per estimar x a partir de y s'ha de fer servir aquesta segona recta (la de x sobre y), no aïllar x de la primera: les dues rectes només coincideixen si r = ±1.
Comprovació: la recta de y sobre x també passa per (10, 18): -1,2·10 + 30 = 18.

Una correlació forta no demostra causalitat: que dues variables creixin juntes no vol dir que una sigui la causa de l'altra.
Aquí hi ha una tercera variable oculta, la magnitud de l'incendi: un incendi gran fa que s'hi enviïn molts bombers i, alhora, que els danys siguin grans. Els bombers no provoquen els danys; els dos fets tenen la mateixa causa.
Si s'enviessin menys bombers, els danys serien encara més grans. Per establir una relació causa-efecte caldria un estudi controlat o, com a mínim, comparar incendis de la mateixa magnitud.

El pendent de la recta de y sobre x es pot escriure com b = r·$\tfrac{s_{y}}{s_{x}} = 0{,}8$·$\tfrac{10}{8} = 1$ (és el mateix que b = cov/$s_{x}$², ja que cov = r·$s_{x}$·$s_{y}$ = 0,8·8·10 = 64 i $\tfrac{64}{64} = 1$).
Ordenada: a = ȳ - b·$\bar{x}$ = 68 - 1·170 = -102.
Recta: y = x - 102 (cada centímetre més d'alçada suposa, de mitjana, 1 kg més de pes).
Estimació per a 180 cm: y = 180 - 102 = 78 kg.
Amb r = 0,8 ($r^{2}$ = 0,64) l'estimació és raonable però no exacta: només el 64 % de la variabilitat del pes s'explica per l'alçada.

Els punts estan perfectament alineats: cada hora més de xarxes va amb mitja hora menys de son. És una relació lineal negativa perfecta (r = −1).
Recta: y = 9 − 0,5x.
Atenció: amb només sis persones, i dades tan perfectes, això no prova que les xarxes causin dormir menys. Caldria una mostra gran i pensar en altres factors.

Mitjanes: 6 per a x i 11 per a y.
Covariància: (2·5 + 4·9 + 6·10 + 8·14 + 10·17)/5 − 6 · 11 = 388/5 − 66 = 11,6.
Desviacions típiques: σ_x = √8 ≈ 2,828 i σ_y ≈ 4,147.
r = 11,6/(2,828 · 4,147) ≈ 0,989: correlació positiva molt forta.

Mitjanes: 3 i 16. Covariància: 5,8. Variància de x: 2.
Pendent: $\tfrac{5{,}8}{2} = 2{,}9$. Recta: y - 16 = 2,9·(x - 3), és a dir, y = 2,9x + 7,3.
Amb x = 6: 2,9 · 6 + 7,3 = 24,7, unes vendes de 24.700 €. Cal anar amb compte: 6 ja és fora del rang observat (de 1 a 5).

Mitjanes: $\bar{x}$ = 21/6 = 3,5 i ȳ = 81/6 = 13,5.
Sumes de desviacions: Σ(x - $\bar{x}$)(y - ȳ) = (-2,5)(4,5) + (-1,5)(2,5) + (-0,5)(1,5) + (0,5)(-1,5) + (1,5)(-2,5) + (2,5)(-4,5) = -31,5; Σ(x - $\bar{x}$)² = 17,5; Σ(y - ȳ)² = 57,5.
a) r = -31,5/√(17,5·57,5) = -31,5/√1006,25 = -31,5/31,72 ≈ -0,99 (podem treballar amb les sumes directament perquè els factors 1/n de la covariància i de les desviacions típiques es cancel·len). Relació inversa gairebé perfecta: el preu baixa de manera molt regular amb l'antiguitat.
b) Pendent b = -31,5/17,5 = -1,8 (equival a cov/s_x² = (-5,25)/2,917); ordenada a = 13,5 - (-1,8)·3,5 = 13,5 + 6,3 = 19,8. Recta: y = -1,8x + 19,8. Cada any d'antiguitat el preu baixa, de mitjana, 1800 €.
c) 4,5 anys: y = -1,8·4,5 + 19,8 = 11,7, uns 11700 €; és una interpolació (dins del rang 1–6) i, amb |r| ≈ 0,99, molt fiable. 7 anys: y = -1,8·7 + 19,8 = 7,2, uns 7200 €; és una extrapolació (fora del rang observat), menys fiable, tot i que 7 és a prop de 6 i la tendència és molt clara.
Comprovació: la recta passa pel punt mitjà: -1,8·3,5 + 19,8 = 13,5 = ȳ.

a) El producte dels pendents de les dues rectes és $r^{2}$: 0,5·1,2 = 0,6, així que r = ±$\sqrt{0,6}$ ≈ ±0,77. Com que els dos pendents són positius, la covariància és positiva i r = +0,77: relació directa, moderadament forta.
b) Les dues rectes passen pel punt mitjà, que és la seva intersecció. Substituint y = 0,5x + 4 a la segona: x = 1,2·(0,5x + 4) - 2 = 0,6x + 2,8, d'on 0,4x = 2,8 i $\bar{x}$ = 7; llavors ȳ = 0,5·7 + 4 = 7,5.
c) Les dues rectes de regressió són diferents: la de y sobre x minimitza els errors verticals (en y) i la de x sobre y, els horitzontals (en x). Només coincideixen quan r = ±1. Si x = 2y - 8 fos la recta de x sobre y, el producte de pendents seria 0,5·2 = 1 i r valdria 1, cosa que contradiu r ≈ 0,77.
Comprovació: el punt (7; 7,5) compleix la segona recta: 1,2·7,5 - 2 = 7.

a) Mitjanes $\bar{x}$ = 3 i ȳ = 6. Desviacions: x - $\bar{x}$ = (-2, -1, 0, 1, 2) i y - ȳ = (-4, -2, 0, 2, 4). Σ(x - $\bar{x}$)(y - ȳ) = 8 + 2 + 0 + 2 + 8 = 20; Σ(x - $\bar{x}$)² = 10; Σ(y - ȳ)² = 40. r = 20/√(10·40) = 20/√400 = 20/20 = 1: tots els punts estan sobre la recta y = 2x, correlació directa perfecta.
b) Ara $\bar{x}$ = 21/6 = 3,5 i ȳ = 30/6 = 5. Desviacions: x - $\bar{x}$ = (-2,5; -1,5; -0,5; 0,5; 1,5; 2,5) i y - ȳ = (-3, -1, 1, 3, 5, -5). Σ(x - $\bar{x}$)(y - ȳ) = 7,5 + 1,5 - 0,5 + 1,5 + 7,5 - 12,5 = 5; Σ(x - $\bar{x}$)² = 17,5; Σ(y - ȳ)² = 9 + 1 + 1 + 9 + 25 + 25 = 70. r = 5/√(17,5·70) = 5/√1225 = 5/35 ≈ 0,14.
c) Un sol punt atípic ha fet passar r d'1 a 0,14: el coeficient de correlació és molt sensible als valors extrems. Abans de calcular r cal mirar el núvol de punts i, si un punt és clarament anòmal (error de mesura o circumstància excepcional), analitzar-lo a part i fer-ho constar en les conclusions.

a) Falsa. r = 0 només indica que no hi ha relació lineal; pot haver-hi una relació no lineal forta. Per exemple, els punts (-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1) i (2, 4) compleixen y = $x^{2}$ i tenen covariància 0 (les desviacions de x són -2, -1, 0, 1, 2 i les de y són 2, -1, -2, -1, 2: la suma de productes és -4 + 1 + 0 - 1 + 4 = 0).
b) Certa. Totes dues rectes passen pel punt mitjà i, com que en general són rectes diferents, aquest és el seu punt de tall.
c) Falsa. Això és el que diu el pendent de la recta de regressió, no r. El coeficient de correlació no té unitats i només mesura la força i el sentit de la relació lineal.
d) Certa. Els pendents són b = cov/$s_{x}$² i b' = cov/$s_{y}$²; com que les variàncies són positives, els dos pendents tenen el signe de la covariància.
e) Certa. És la interpretació del coeficient de determinació: el 49 % de la variació de y s'explica per la recta i el 51 % restant queda sense explicar (r = ±0,7).

a) r = cov/($s_{x}$·$s_{y}$) = −$\tfrac{12}{(2\cdot 8)}$ = −$\tfrac{12}{16}$ = −0,75: relació inversa i força forta ($r^{2}$ = 0,5625: el 56 % de la variació del consum s'explica per la temperatura).
b) Pendent b = cov/$s_{x}$² = −$\tfrac{12}{4}$ = −3; ordenada a = ȳ − b·$\bar{x}$ = 50 − (−3)·15 = 95. Recta: y = −3x + 95 (cada grau més de temperatura redueix el consum, de mitjana, 3 kWh). Per a 20 °C: y = −3·20 + 95 = 35 kWh.
c) En dividir y per 1000, la covariància es divideix per 1000 (cov' = −0,012), el pendent també (b' = −0,003 MWh/°C), igual que l'ordenada (0,095) i $s_{y}$ (0,008). El coeficient de correlació no canvia: r = −$\tfrac{0{,}012}{(2\cdot 0{,}008)}$ = −0,75, perquè és adimensional i no depèn de les unitats.

a) $r^{2}$ = $0{,}6^{2}$ = 0,36: només el 36 % de les diferències en el percentatge de reciclatge s'explica per la renda; el 64 % restant depèn d'altres factors (sistema de recollida, campanyes, mida del municipi...). Les prediccions seran només orientatives.
b) x = 22: y = 1,5·22 + 20 = 53 %; és una interpolació (22 està entre 14 i 26) i té sentit. x = 60: y = 1,5·60 + 20 = 110 %, un percentatge impossible: és una extrapolació molt allunyada del rang observat, i la relació lineal no es pot mantenir indefinidament (y no pot superar el 100 %).
c) Residu = valor real - valor estimat = 60 - 53 = 7 punts percentuals: el municipi recicla més del que prediu la recta per a la seva renda.
Error típic: donar per bo un resultat de la recta sense mirar si és possible en el context.