Exercicis de binomial i normal — Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat

Quatre: nombre fix de repeticions, dos resultats possibles, probabilitat d'èxit constant i repeticions independents.

La mitjana, que marca el centre de la campana, i la desviació típica, que en marca l'amplada.

z = $\tfrac{(66 - 50)}{8} = 2$: el valor és dues desviacions típiques per sobre de la mitjana.

La suma de totes les probabilitats d'una variable aleatòria discreta ha de ser 1: 0,1 + 0,3 + k + 0,2 = 1, d'on 0,6 + k = 1 i k = 0,4.
P(X ≥ 2) = P(X = 2) + P(X = 3) = 0,4 + 0,2 = 0,6.
Comprovació amb el contrari: P(X ≥ 2) = 1 - P(X ≤ 1) = 1 - (0,1 + 0,3) = 0,6.

Mitjana: μ = Σ x·P(x) = 1·0,2 + 2·0,5 + 3·0,3 = 0,2 + 1 + 0,9 = 2,1 cotxes per família.
Variància: σ² = Σ x²·P(x) - μ² = (1·0,2 + 4·0,5 + 9·0,3) - 2,1² = (0,2 + 2 + 2,7) - 4,41 = 4,9 - 4,41 = 0,49.
Desviació típica: σ = √0,49 = 0,7 cotxes.
Interpretació: la mitjana (2,1) no cal que sigui un valor possible de la variable; el nombre de cotxes d'una família s'allunya típicament uns 0,7 de la mitjana.

Una binomial exigeix un nombre fix n de proves independents, amb dos resultats (èxit o fracàs) i la mateixa probabilitat d'èxit p en cada prova.
a) Sí: n = 5 llançaments independents i èxit = «surt 6», amb p = 1/6. X ~ B(5; 1/6).
b) No: sense reposició, les extraccions no són independents i la probabilitat de treure vermella canvia (4/10 a la primera, 3/9 o 4/9 a la segona...). Només seria binomial amb reposició: B(3; 0,4).
c) No: el nombre de proves no està fixat d'avançada (es repeteix fins que surt cara), així que X no pot ser binomial.

Cada client és una prova independent amb dos resultats (paga amb targeta o no) i p = 0,25 constant, i n = 48 és fix: X ~ B(48; 0,25).
Mitjana: μ = n·p = 48·0,25 = 12 clients.
Desviació típica: σ = $\sqrt{n\cdot p\cdot q}$ = $\sqrt{48\cdot 0{,}25\cdot 0{,}75}$ = $\sqrt{9}$ = 3 clients.
Interpretació: entre 48 clients esperem uns 12 que paguin amb targeta, amb una dispersió típica de 3.

La tipificació és z = (x - μ)/σ; per recuperar la puntuació, aïllem x: x = μ + z·σ.
Per a z = -1,5: x = 100 + (-1,5)·15 = 100 - 22,5 = 77,5 punts (per sota de la mitjana, perquè z és negatiu).
Per a z = 2: x = 100 + 2·15 = 130 punts.
Comprovació: (77,5 - 100)/15 = -1,5 i (130 - 100)/15 = 2.

Complementari: P(Z > 1,2) = 1 - P(Z ≤ 1,2) = 1 - 0,8849 = 0,1151.
Simetria de la campana respecte de 0: P(Z ≤ -1,2) = P(Z ≥ 1,2) = 0,1151.
Entre els dos valors: P(-1,2 ≤ Z ≤ 1,2) = P(Z ≤ 1,2) - P(Z ≤ -1,2) = 0,8849 - 0,1151 = 0,7698.
Comprovació: 1 - 2·0,1151 = 0,7698; entre -1,2 i 1,2 hi ha aproximadament el 77 % de l'àrea.

Regla empírica per a una normal: aproximadament el 68 % dels valors són a menys d'una desviació típica de la mitjana (μ ± σ), el 95 % a menys de dues (μ ± 2σ) i el 99,7 % a menys de tres (μ ± 3σ).
Entre 140 g i 160 g: és 150 ± 10 = μ ± σ, per tant aproximadament el 68 % de les pomes.
Entre 130 g i 170 g: és 150 ± 20 = μ ± 2σ, per tant aproximadament el 95 % de les pomes.
Conseqüència: només un 5 % pesa menys de 130 g o més de 170 g (un 2,5 % a cada banda, per la simetria).

El nombre de trucades és una variable aleatòria discreta i el temps de cada trucada és contínua.

El guany net és 10 - 3 = 7 € amb probabilitat 0,25 i -3 € amb probabilitat 0,75, així que E(X) = 7 · 0,25 - 3 · 0,75 = 1,75 - 2,25 = -0,5 €. No convé: a la llarga es perden 50 cèntims per partida.

És una B(6; 0,5), així que P(X = 4) = C(6, 4) · $0{,}5^{4}$ · $0{,}5^{2}$ = 15 · 0,015625 = 0,234 aproximadament.

El 29,5: com que la binomial és discreta i la normal contínua, el valor sencer 30 es representa per l'interval de 29,5 a 30,5, i «com a mínim 30» comença a 29,5.

Cada pregunta és una prova independent amb probabilitat d'encert p = 1/4 = 0,25: X ~ B(10; 0,25).
P(X = 3) = C_10,3·0,25³·0,75⁷ = 120·0,015625·0,1335 ≈ 0,2503.
Per a «almenys una» fem servir el contrari: P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - 0,75¹⁰ = 1 - 0,0563 = 0,9437.
Interpretació: encertar-ne exactament 3 passa aproximadament un 25 % de les vegades, i la mitjana d'encerts és n·p = 2,5.

X = nombre de llaunes defectuoses de la caixa: X ~ B(10; 0,05).
«Com a màxim una» vol dir X ≤ 1, és a dir, P(X = 0) + P(X = 1).
P(X = 0) = 0,95¹⁰ = 0,599.
P(X = 1) = C_10,1·0,05·0,95⁹ = 10·0,05·0,630 = 0,315.
P(X ≤ 1) = 0,599 + 0,315 = 0,914.
Interpretació: aproximadament en el 91 % de les caixes hi haurà com a màxim una llauna defectuosa.

X ~ B(3; 1/6), amb P(X = k) = C_3,k·(1/6)^k·(5/6)^3-k:
P(0) = 125/216 ≈ 0,579; P(1) = 3·25/216 = 75/216 ≈ 0,347; P(2) = 3·5/216 = 15/216 ≈ 0,069; P(3) = 1/216 ≈ 0,005 (la suma és 216/216 = 1).
Mitjana: μ = (0·125 + 1·75 + 2·15 + 3·1)/216 = 108/216 = 0,5.
Variància: σ² = (0·125 + 1·75 + 4·15 + 9·1)/216 - 0,5² = 144/216 - 0,25 = 0,6667 - 0,25 = 0,4167.
Fórmules: n·p = 3·(1/6) = 0,5 i n·p·q = 3·(1/6)·(5/6) = 15/36 = 0,4167. Coincideixen.

Tipifiquem: Z = $\tfrac{(X - 25)}{5}$.
X > 32,5: z = $\tfrac{(32{,}5 - 25)}{5} = 1{,}5$, així que P(X > 32,5) = P(Z > 1,5) = 1 - 0,9332 = 0,0668 (un 6,7 %).
20 < X < 30: z va de $\tfrac{(20 - 25)}{5}$ = -1 a $\tfrac{(30 - 25)}{5} = 1$. P(-1 < Z < 1) = P(Z < 1) - P(Z < -1) = 0,8413 - (1 - 0,8413) = 0,6826.
Comprovació: aquest 68,3 % coincideix amb la regla empírica per a μ ± σ.

Cal trobar la nota x tal que P(X ≥ x) = 0,10, és a dir, P(X ≤ x) = 0,90.
A la taula de la N(0, 1), P(Z ≤ 1,28) ≈ 0,90, així que la puntuació típica és z = 1,28.
Desfem la tipificació: x = μ + z·σ = 6,2 + 1,28·1,5 = 6,2 + 1,92 = 8,12.
La beca es dona a partir d'una nota d'aproximadament 8,12.
Comprovació: (8,12 - 6,2)/1,5 = 1,28.

X = nombre de comandes retornades: X ~ B(200; 0,3). Com que n·p = 60 i n·q = 140 són ≥ 5, podem aproximar per Y ~ N(60; 6,48), on μ = 200·0,3 = 60 i σ = $\sqrt{200\cdot 0{,}3\cdot 0{,}7}$ = $\sqrt{42}$ ≈ 6,48.
«Menys de 50» vol dir X ≤ 49, i amb la correcció de continuïtat el límit passa a 49,5: P(X < 50) ≈ P(Y ≤ 49,5).
Tipifiquem: z = $\tfrac{(49{,}5 - 60)}{6{,}48}$ = -1,62.
P(Z ≤ -1,62) = 1 - P(Z ≤ 1,62) = 1 - 0,9474 = 0,0526.
La probabilitat és d'aproximadament 0,053 (un 5,3 %); amb la binomial exacta surt 0,051, així que l'aproximació és bona. Error típic: tipificar 50 en lloc de 49,5.

No es poden comparar directament 65 i 72, perquè els tests tenen mitjana i dispersió diferents; cal tipificar.
Test 1: $z_{1}$ = $\tfrac{(65 - 55)}{8} = 1{,}25$.
Test 2: $z_{2}$ = $\tfrac{(72 - 60)}{10} = 1{,}2$.
Com que 1,25 > 1,2, en el primer test queda una mica més per sobre de la mitjana, mesurat en desviacions típiques, tot i que la nota bruta és més baixa.
Amb la taula: P(Z ≤ 1,25) = 0,8944 i P(Z ≤ 1,2) = 0,8849; al test 1 supera aproximadament el 89,4 % dels alumnes i al test 2 el 88,5 %.

Premi esperat: (300 + 5 · 20)/500 = 400/500 = 0,80 €.
Guany esperat: 0,80 - 2 = -1,20 €.
No és just: de mitjana es perden 1,20 € per butlleta. És el benefici de qui organitza la rifa (600 € menys 400 € de premis).

És una B(8; 0,2).
P(X = 0) = $0{,}8^{8}$ ≈ 0,1678.
P(X = 1) = 8 · 0,2 · $0{,}8^{7}$ ≈ 0,3355.
P(X ≥ 2) = 1 - 0,1678 - 0,3355 ≈ 0,4967.

n · p = 400 · 0,15 = 60 i n · (1-p) = 340, tots dos per sobre de 5, així que es pot aproximar. Els paràmetres són μ = 60 i σ = $\sqrt{400 \cdot 0{,}15 \cdot 0{,}85}$ = $\sqrt{51}$ = 7,14 aproximadament. El valor 75 està a $\tfrac{(75 - 60)}{7{,}14} = 2{,}1$ desviacions típiques de la mitjana, o sigui que sí que seria excepcional: per la regla del 95 %, els valors normals cauen dins de dues desviacions.

X = nombre de peces defectuoses de la caixa: si l'afirmació és certa, X ~ B(25; 0,04). Volem P(X ≥ 4) = 1 - P(X ≤ 3).
P(0) = 0,96²⁵ = 0,3604; P(1) = 25·0,04·0,96²⁴ = 0,3754; P(2) = C_25,2·0,04²·0,96²³ = 300·0,0016·0,96²³ = 0,1877; P(3) = C_25,3·0,04³·0,96²² = 2300·0,000064·0,96²² = 0,0600.
P(X ≤ 3) = 0,3604 + 0,3754 + 0,1877 + 0,0600 = 0,9835, per tant P(X ≥ 4) = 1 - 0,9835 = 0,0165.
Conclusió: si l'afirmació fos certa, trobar 4 o més peces defectuoses en 25 només passaria un 1,65 % de les vegades. És un resultat poc probable i això fa dubtar de l'afirmació del fabricant (no la refuta amb certesa, però hi va en contra).
Context: el nombre esperat de defectuoses és μ = 25·0,04 = 1, i 4 queda ben lluny d'aquest valor.

Sigui n el nombre de tirs: X ~ B(n; 0,3). Volem P(X ≥ 1) > 0,99.
P(X ≥ 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - $0{,}7^{n}$, així que cal 1 - $0{,}7^{n}$ > 0,99, és a dir, $0{,}7^{n}$ < 0,01.
Prenent logaritmes: n·ln 0,7 < ln 0,01. Com que ln 0,7 és negatiu, en dividir canvia el sentit de la desigualtat: n > ln 0,01 / ln 0,7 = $\tfrac{(-4{,}605)}{(-0{,}3567)} = 12{,}9$.
Per tant, cal fer com a mínim 13 tirs.
Comprovació: amb 12 tirs, 1 - $0{,}7^{12}$ = 1 - 0,0138 = 0,9862 (no arriba a 0,99); amb 13 tirs, 1 - $0{,}7^{13}$ = 1 - 0,0097 = 0,9903 (supera 0,99).

X = nombre d'assistents: X ~ B(225; 0,8). Com que n·p = 180 i n·q = 45 són ≥ 5, podem aproximar per Y ~ N(μ, σ) amb μ = 225·0,8 = 180 i σ = $\sqrt{225\cdot 0{,}8\cdot 0{,}2}$ = $\sqrt{36}$ = 6.
Falten butaques si X > 190, és a dir, X ≥ 191. Amb la correcció de continuïtat: P(X ≥ 191) ≈ P(Y ≥ 190,5).
Tipifiquem: z = $\tfrac{(190{,}5 - 180)}{6} = 1{,}75$.
P(Z ≥ 1,75) = 1 - 0,9599 = 0,0401.
Hi ha aproximadament un 4 % de probabilitat que no hi hagi butaca per a tothom.
Comprovació: amb la binomial exacta la probabilitat és 0,037, de manera que l'aproximació és bona. Error típic: tipificar 190 o 191 en lloc de 190,5.

a) P(X < 5) = 0,1587 = 1 - 0,8413 = P(Z < -1), així que la nota 5 té puntuació típica z = -1: (5 - 6,4)/σ = -1, d'on σ = 1,4.
b) El 2,28 % superior vol dir P(Z ≥ z) = 0,0228, és a dir, P(Z ≤ z) = 0,9772, i per les dades z = 2. La nota és x = 6,4 + 2·1,4 = 9,2.
c) z = (9 - 6,4)/1,4 = 1,857 ≈ 1,86. P(X ≥ 9) = P(Z ≥ 1,86) = 1 - 0,9686 = 0,0314, és a dir, un 3,1 % dels alumnes.
Comprovació: 9 és una mica més baix que 9,2, per això el percentatge (3,1 %) és una mica més gran que el 2,28 %.

a) Per a X: n·p = 40·0,05 = 2 < 5, així que no es pot aproximar per una normal (la distribució és molt asimètrica). Per a Y: n·p = 20 i n·q = 20, tots dos ≥ 5, de manera que sí que es pot aproximar.
b) X no es pot aproximar, així que cal fer servir la binomial: P(X ≤ 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0,95⁴⁰ + 40·0,05·0,95³⁹ = 0,1285 + 0,2706 = 0,3991.
c) Y ≈ W ~ N(μ, σ) amb μ = 40·0,5 = 20 i σ = √(40·0,5·0,5) = √10 ≈ 3,16. Amb la correcció de continuïtat, P(Y ≥ 25) ≈ P(W ≥ 24,5): z = (24,5 - 20)/3,16 = 1,42, així que P ≈ 1 - 0,9222 = 0,0778.
Comprovació: el valor exacte amb la binomial és 0,0769, molt a prop de l'aproximació.

a) Certa. La corba és simètrica respecte de μ, així que deixa el 50 % de l'àrea a cada banda.
b) Falsa. L'àrea entre μ - σ i μ + σ és sempre aproximadament el 68 %, sigui quina sigui σ; una σ més gran només fa la campana més ampla i més baixa (en tipificar, aquest interval és sempre entre -1 i 1).
c) Certa. En una variable contínua la probabilitat és una àrea sota la corba, i un sol punt té àrea 0. Només els intervals tenen probabilitat positiva; per això P(X ≤ 3) = P(X < 3).
d) Falsa. n·p és la mitjana; la variància és n·p·q.
e) Certa. Amb p = q = 0,5, P(X = k) = C_10,k/1024, i C_10,4 = C_10,6 = 210; per tant, totes dues valen $\tfrac{210}{1024} \approx 0{,}205$.