Exercicis d'educació financera — Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat

L'índex de variació és 1 + $\tfrac{15}{100} = 1{,}15$.
Preu final: 40 · 1,15 = 46 €.

I = 1 − $\tfrac{8}{100} = 0{,}92$.

$C_{f}$ = 500 · $1{,}05^{1}$ = 525 €.
Amb un sol període l'interès simple donaria el mateix resultat.

Índex de variació = preu final / preu inicial = 715/650 = 1,10.
Com que 1,10 = 1 + 0,10, l'augment ha estat del 10 %.
Comprovació: 650 · 1,10 = 715 €.
Error típic: calcular la diferència (65 €) i dividir-la pel preu final en lloc de l'inicial: 65/715 ≈ 9,1 %, que és incorrecte.

Fals. L'índex de variació total és el producte dels índexs: 1,20 · 0,80 = 0,96, és a dir, el preu final és un 4 % més baix que l'inicial.
Amb 50 €: després de la pujada, 50 · 1,20 = 60 €; després de la baixada, 60 · 0,80 = 48 €.
El 20 % de baixada s'aplica sobre 60 € (12 €), que és més que el 20 % de pujada sobre 50 € (10 €); per això no es compensen.

Interès simple: I = C₀ · r · t = 1200 · 0,03 · 4 = 144 €.
Capital final: C_f = C₀ + I = 1200 + 144 = 1344 €.
En règim simple els interessos són els mateixos cada any (36 €), perquè sempre es calculen sobre el capital inicial.

El preu amb IVA és el preu sense IVA multiplicat per l'índex 1,21: 605 = P · 1,21.
Preu sense IVA: P = 605/1,21 = 500 €.
IVA: 605 − 500 = 105 €. Comprovació: 21 % de 500 = 0,21 · 500 = 105 €.
Error típic: calcular el 21 % de 605 (127,05 €) i restar-lo; l'IVA es calcula sobre la base, no sobre el preu final.

El sou es multiplica per 1,02, però els preus es multipliquen per 1,04. El poder adquisitiu varia segons l'índex $\tfrac{1{,}02}{1{,}04} \approx 0{,}9808$.
Com que 0,9808 < 1, el treballador ha perdut poder adquisitiu: 1 − 0,9808 = 0,0192, aproximadament un 1,92 %.
Error típic: restar directament 2 % − 4 % = −2 %; és una aproximació acceptable, però el càlcul exacte es fa amb el quocient d'índexs.

Tipus de cada període: el nominal es reparteix entre els 12 mesos: i = 0,06/12 = 0,005, és a dir, un 0,5 % mensual.
Períodes en 3 anys: n = 3 · 12 = 36 capitalitzacions.
Capital final: C_f = 1000 · (1 + 0,005)³⁶ = 1000 · 1,005³⁶ ≈ 1196,68 €.
Error típic: fer 1000 · 1,06³⁶ (el tipus ha de ser el del període, el mensual) o bé 1000 · 1,005³ (l'exponent compta mesos, no anys).

a) Simple: els interessos no s'acumulen al capital, de manera que cada any se'n generen els mateixos.
b) Compost: els interessos es capitalitzen i generen nous interessos («interessos sobre interessos»).
c) Simple: l'interès es calcula sempre sobre el mateix capital inicial.
d) Compost: $C_{0}$ · $(1 + r)^{t}$ és la fórmula del creixement compost; la del simple és $C_{0}$ · (1 + r · t).
Exemple: 1000 € al 4 % durant 2 anys donen 1080 € en règim simple i 1081,60 € en règim compost; la diferència (1,60 €) és el 4 % dels 40 € d'interessos del primer any.

L'índex de la rebaixa és 1 - 0,40 = 0,60.
Per desfer la variació es divideix: $\tfrac{48}{0{,}60} = 80$ €.
El preu original era de 80 €. Sumar-hi un 40 % (que donaria 48 · 1,40 = 67,20 €) és l'error habitual.

Aïllem el tipus: i = ($\tfrac{C_{f}}{C_{0}}$)^{$\tfrac{1}{t}$} - 1 = ($\tfrac{3000}{2500}$)^{$\tfrac{1}{4}$} - 1.
(1,2)^{$\tfrac{1}{4}$} = 1,046635 aproximadament.
i = 0,046635, és a dir un 4,66 % anual aproximadament.

Tipus per període: $\tfrac{0{,}04}{4} = 0{,}01$. Nombre de períodes: 4 · 5 = 20.
$C_{f}$ = 2000 · $1{,}01^{20}$.
$1{,}01^{20}$ = 1,220190 aproximadament.
$C_{f}$ = 2440,38 €.

q = 5000 · 0,04 / (1 - 1,04⁻⁴).
1,04⁴ = 1,169859, així que 1,04⁻⁴ = 0,854804.
Denominador: 1 - 0,854804 = 0,145196.
q = 200 / 0,145196 = 1377,45 €.

Els índexs de variació es multipliquen: 1,10 · 1,05 · 0,92 = 1,0626.
Variació equivalent: 1,0626 − 1 = 0,0626, és a dir, una pujada del 6,26 %.
Preu final: 200 · 1,0626 = 212,52 €.
Comprovació pas a pas: 200 → 220 → 231 → 231 · 0,92 = 212,52 €.
Error típic: sumar els percentatges (10 + 5 − 8 = 7 %); cada variació s'aplica sobre el preu ja modificat, no sobre l'inicial.

Volem C₀ · 1,04^t = 2 · C₀, o sigui 1,04^t = 2 (el capital inicial no hi influeix).
Prenem logaritmes: t · log(1,04) = log(2), d'on t = log(2)/log(1,04) = 0,30103/0,017033 ≈ 17,67 anys.
Com que els interessos s'abonen cada any, caldrà esperar 18 anys sencers per tenir, com a mínim, el doble.
Comprovació: 1,04¹⁷ ≈ 1,948 (encara no s'ha doblat) i 1,04¹⁸ ≈ 2,026 (ja s'ha doblat).

Planteig: C₀ · 1,03⁵ = 5000.
1,03⁵ ≈ 1,15927, així que C₀ = 5000/1,15927 ≈ 4313,04 €.
Comprovació: 4313,04 · 1,15927 ≈ 5000,00 €.
Els 686,96 € de diferència són els interessos acumulats durant els 5 anys. Aquest càlcul s'anomena actualitzar (o descomptar) un capital.

Interès simple: I = C₀ · r · t, amb el temps en anys: 18 mesos = 1,5 anys.
360 = 4000 · r · 1,5 = 6000 · r, d'on r = 360/6000 = 0,06.
El tipus d'interès és del 6 % anual.
Comprovació: en un any, 4000 · 0,06 = 240 €; en mig any més, 120 €; total, 360 €.
Error típic: posar t = 18 (mesos) a la fórmula amb un tipus anual; s'obté r = 0,005, que no té sentit com a tipus anual.

Cada ingrés capitalitza un nombre diferent d'anys: el primer, 3 anys; el segon, 2; el tercer, 1.
Primer ingrés: 1000 · $1{,}04^{3}$ = 1124,86 €; segon: 1000 · $1{,}04^{2}$ = 1081,60 €; tercer: 1000 · 1,04 = 1040 €.
Capital final: 1124,86 + 1081,60 + 1040 = 3246,46 €.
Amb la fórmula de les anualitats de capitalització: $C_{f}$ = a · (1 + r) · ($(1 + r)^{n}$ − 1)/r = 1000 · 1,04 · $\tfrac{(1{,}04^{3} - 1)}{0{,}04} = 3246{,}46$ €.
Dels 3246,46 €, 3000 € són aportacions i 246,46 € són interessos.

Guany: 1000 − 985 = 15 €, obtinguts en un any.
Rendibilitat: $\tfrac{15}{985} = 0{,}01523$, aproximadament l'1,52 % anual (el guany es compara amb el que s'ha pagat, 985 €, no amb els 1000 € finals).
Dipòsit a l'1,4 %: 985 · 0,014 = 13,79 € d'interès, menys que els 15 € de la lletra.
Per tant, la lletra és més rendible (1,52 % contra 1,4 %).

Amb capitalització mensual, el tipus de cada mes és $\tfrac{0{,}06}{12} = 0{,}005$ i en un any hi ha 12 capitalitzacions.
TAE = $(1 + 0{,}005)^{12}$ − 1 = $1{,}005^{12}$ − 1 ≈ 0,06168, és a dir, un 6,17 %.
1000 € al 6 % anual: 1060 €. 1000 € al 6 % nominal mensual: 1000 · $1{,}005^{12}$ ≈ 1061,68 €.
L'afirmació és falsa: capitalitzar més sovint fa que els interessos de cada mes generin interessos nous, i la TAE supera el nominal (6,17 % > 6 %). Només coincideixen si la capitalització és anual.

Primer producte: TAE = $(1 + \tfrac{0{,}048}{12})^{12}$ - 1 = $1{,}004^{12}$ - 1.
$1{,}004^{12}$ = 1,049070 aproximadament, o sigui una TAE del 4,91 %.
Segon producte: TAE = $(1 + \tfrac{0{,}049}{2})^{2}$ - 1 = $1{,}0245^{2}$ - 1.
$1{,}0245^{2}$ = 1,04960025, o sigui una TAE del 4,96 %.
Guanya el segon. Capitalitzar més sovint ajuda, però aquí no compensa el tipus nominal més alt de l'altre.

Com que les quotes són mensuals, cal passar-ho tot a mesos.
Tipus mensual: i = 0,06/12 = 0,005. Nombre de períodes: n = 12 · 5 = 60.
q = 20000 · 0,005 / (1 - 1,005⁻⁶⁰).
1,005⁶⁰ = 1,348850, així que 1,005⁻⁶⁰ = 0,741372.
Denominador: 1 - 0,741372 = 0,258628.
q = 100 / 0,258628 = 386,66 €.
L'error típic aquí és fer servir el 6 % i 5 períodes en comptes del 0,5 % i 60 períodes.

Quota: a = 3000 · 0,05/(1 - 1,05⁻³) ≈ 1.101,63 €.
Any 1: interessos 3000 · 0,05 = 150 €; amortització 1101,63 - 150 = 951,63 €; queda 2.048,37 €.
Any 2: interessos 102,42 €; amortització 999,21 €; queda 1.049,16 €.
Any 3: interessos 52,46 €; amortització 1.049,16 €; queda 0 (per l'arrodoniment, l'última quota s'ajusta a 1.101,62 €).
Fixa't que cada any es paguen menys interessos i s'amortitza més capital.

a) Tipus mensual: i = 0,036/12 = 0,003; nombre de quotes: n = 10 · 12 = 120.
La quota a d'un préstec de capital C és a = C · i/(1 − (1 + i)⁻ⁿ); aïllant el capital: C = a · (1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i.
1,003⁻¹²⁰ ≈ 0,69807, així que C = 300 · (1 − 0,69807)/0,003 = 300 · 100,643 ≈ 30194,76 €. Poden demanar uns 30190 € com a màxim.
b) Total pagat: 300 · 120 = 36000 €. Interessos: 36000 − 30194,76 ≈ 5805,24 €.
Comprovació: 30194,76 · 0,003/(1 − 0,69807) ≈ 300 €.

a) a = C · i/(1 − (1 + i)⁻ⁿ) = 10000 · 0,05/(1 − 1,05⁻⁵) = 500/(1 − 0,78353) ≈ 2309,75 €.
b) Any 1: interès = 5 % de 10000 = 500 €; capital amortitzat = 2309,75 − 500 = 1809,75 €; pendent = 10000 − 1809,75 = 8190,25 €.
Any 2: interès = 5 % de 8190,25 = 409,51 €; amortitzat = 2309,75 − 409,51 = 1900,24 €; pendent = 8190,25 − 1900,24 = 6290,01 €.
c) Interès de la tercera quota: 5 % de 6290,01 = 314,50 € (i s'amortitzaran 1995,25 € de capital).
Observa que la quota és constant, però cada any els interessos baixen i la part de capital amortitzat puja.

a) A: 6000 · (1 + 0,03 · 5) = 6000 · 1,15 = 6900 €. B: 6000 · $1{,}028^{5}$ ≈ 6000 · 1,1481 = 6888,38 €. Als 5 anys convé A.
b) A: 6000 · (1 + 0,03 · 10) = 7800 €. B: 6000 · $1{,}028^{10}$ ≈ 6000 · 1,3180 = 7908,29 €. Als 10 anys convé B.
c) L'interès simple creix de manera lineal (sempre 180 € l'any) i el compost, de manera exponencial (cada any els interessos són més grans). Encara que B tingui un tipus més baix, a la llarga el creixement exponencial guanya.
Comparant els índexs: any 5 → 1,15 contra 1,1481; any 6 → 1,18 contra 1,1802. A partir del sisè any l'opció B ja dona més capital.

a) Interessos bruts: 5000 · 0,03 = 150 €. Impost: 19 % de 150 = 28,50 €. Interessos nets: 150 − 28,50 = 121,50 € (equivalentment, 150 · 0,81).
b) Rendibilitat neta: $\tfrac{121{,}50}{5000} = 0{,}0243$, un 2,43 %.
c) Capital final net: 5121,50 €. Per comparar-lo amb els 5000 € inicials cal descomptar-li la inflació: $\tfrac{5121{,}50}{1{,}025} \approx 4996{,}59$ €.
Com que 4996,59 < 5000, s'ha perdut poder adquisitiu (un 0,07 %): la rendibilitat neta (2,43 %) és inferior a la inflació (2,5 %). Un dipòsit només fa guanyar poder adquisitiu si la rendibilitat neta supera la inflació.

a) Si l'aportació anual és A, la primera capitalitza 2 anys, la segona 1 i la tercera 0: A · 1,03² + A · 1,03 + A = 15000.
A · (1,0609 + 1,03 + 1) = A · 3,0909 = 15000, d'on A = 15000/3,0909 ≈ 4852,96 €.
Amb la fórmula: A = C_f · r/((1 + r)ⁿ − 1) = 15000 · 0,03/(1,03³ − 1) = 450/0,092727 ≈ 4852,96 €.
b) Sense interessos caldria estalviar 15000/3 = 5000 € l'any. Els interessos permeten aportar 147,04 € menys cada any: en total s'aporten uns 14559 € i els 441 € restants són interessos.
Comprovació: 4852,96 · 1,0609 + 4852,96 · 1,03 + 4852,96 ≈ 15000 €.

a) Interès pagat: 530 − 500 = 30 €; tipus trimestral: $\tfrac{30}{500} = 0{,}06$, un 6 % per trimestre.
b) En un any hi ha 4 trimestres i el tipus es capitalitza: TAE = $(1 + 0{,}06)^{4}$ − 1 = $1{,}06^{4}$ − 1 ≈ 0,2625, és a dir, un 26,25 %.
c) És gairebé quatre vegades la TAE del banc (26,25 % contra 7 %). Amb el préstec bancari, 500 € durant 3 mesos costarien 500 · (1,07^{$\tfrac{1}{4}$} − 1) ≈ 8,53 € d'interessos, no 30 €.
L'anunci enganya perquè 30 € semblen pocs, però el termini és molt curt: anualitzat, el cost és enorme. Error típic: calcular la TAE com 4 · 6 % = 24 %; la TAE té en compte la capitalització i per això surt més alta.