Exercicis d'estadística descriptiva — Matemàtiques Aplicades a les Ciències Socials 1r Batxillerat

$\tfrac{50}{200} = 0{,}25$, és a dir el 25 %.

Les dades ja estan ordenades i n'hi ha cinc, així que la mediana és la central: 9.

La del 12 %: les dades estan menys escampades respecte de la seva mitjana.

(a) Qualitativa nominal: les categories (blau, marró, verd...) no tenen un ordre natural.
(b) Quantitativa discreta: només pren valors enters aïllats (0, 1, 2...).
(c) Quantitativa contínua: pot prendre qualsevol valor d'un interval (12,5 min, 12,53 min...).
(d) Qualitativa ordinal: són categories, però tenen un ordre natural (ESO < Batxillerat < universitat).
(e) Quantitativa contínua: el pes pot tenir qualsevol valor decimal dins d'un interval.
Idea clau: si es pot comptar, és discreta; si es mesura, és contínua; si és una categoria, és qualitativa.

Freqüència absoluta de 7 hores: 0,30·50 = 15.
Freqüència absoluta de 9 hores: la suma ha de ser 50, així que 50 − 8 − 15 − 20 = 7.
Freqüències relatives h = $\tfrac{f}{50}$: 6 h → $\tfrac{8}{50} = 0{,}16$; 7 h → 0,30; 8 h → $\tfrac{20}{50} = 0{,}40$; 9 h → $\tfrac{7}{50} = 0{,}14$.
Percentatges: 16 %, 30 %, 40 % i 14 %.
Comprovació: 8 + 15 + 20 + 7 = 50 i 0,16 + 0,30 + 0,40 + 0,14 = 1 (100 %).

Ordenem les dades: 5, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 8, 9, 10.
Moda: el valor que més es repeteix és el 5 (tres vegades).
Mediana: hi ha 10 dades (nombre parell), així que és la mitjana de les dues centrals (5a i 6a): $\tfrac{(6 + 7)}{2} = 6{,}5$.
Mitjana: la suma és 68, i $\tfrac{68}{10} = 6{,}8$.
Comprovació: cinc dades queden per sota de 6,5 i cinc per sobre.

Mitjana ponderada: cada nota es multiplica pel seu pes.
Nota final = 0,60·6,5 + 0,25·8 + 0,15·9 = 3,9 + 2 + 1,35 = 7,25.
La mitjana simple, (6,5 + 8 + 9)/3 ≈ 7,83, donaria el mateix pes a les tres parts, però l'examen val molt més (60 %) que l'actitud (15 %).
Comprovació: els pesos sumen 0,60 + 0,25 + 0,15 = 1, i 7,25 queda entre la nota més baixa (6,5) i la més alta (9).

Recorregut = màxim − mínim = 15 − 2 = 13.
Mediana ($Q_{2}$): hi ha 8 dades, així que és la mitjana de la 4a i la 5a: $\tfrac{(7 + 8)}{2} = 7{,}5$.
$Q_{1}$ és la mediana de la meitat inferior (2, 4, 5, 7): $\tfrac{(4 + 5)}{2} = 4{,}5$. $Q_{3}$ és la mediana de la meitat superior (8, 10, 12, 15): $\tfrac{(10 + 12)}{2} = 11$.
Recorregut interquartílic: $Q_{3}$ − $Q_{1}$ = 11 − 4,5 = 6,5.
Interpretació: el 50 % central de les dades es concentra en un interval de longitud 6,5, entre 4,5 i 11.

Cada valor es multiplica per la seva freqüència: 0·3 + 1·7 + 2·6 + 3·3 + 4·1 = 0 + 7 + 12 + 9 + 4 = 32.
Nombre total de llars: 3 + 7 + 6 + 3 + 1 = 20.
Mitjana = 32/20 = 1,6 ordinadors per llar.
Observació: la mitjana no ha de ser un valor possible de la variable (cap llar té 1,6 ordinadors); és un valor de referència.

Indecisos: 100 % − 45 % − 35 % = 20 %.
Freqüències absolutes: a favor 0,45·400 = 180; en contra 0,35·400 = 140; indecisos 0,20·400 = 80.
Angles (cada percentatge s'aplica als 360° del cercle): 0,45·360° = 162°; 0,35·360° = 126°; 0,20·360° = 72°.
Comprovació: 180 + 140 + 80 = 400 persones i 162° + 126° + 72° = 360°.

Les acumulades són 20, 52, 70 i 80. Fins al tercer valor hi ha 70 respostes, és a dir el 87,5 % del total.

La mitjana és (1500 + 1600 + 1700 + 1800 + 9000)/5 = 15600/5 = 3120 € i la mediana és 1.700 €. La mediana representa millor l'equip, perquè quatre dels cinc sous queden molt per sota de la mitjana, inflada pel sou de 9.000 €.

La primera: una desviació típica de 5 unitats vol dir que les vendes diàries es mouen molt poc al voltant de les 100, mentre que a la segona oscil·len molt més i costa molt més de preveure l'estoc.

Perquè és el quocient de dues magnituds que tenen les mateixes unitats, la desviació típica i la mitjana, i en dividir se simplifiquen. Això permet comparar la dispersió de conjunts mesurats en magnituds diferents, com euros i hores.

Suma de les cinc primeres notes: 5·6,4 = 32.
Per tenir mitjana 6,8 amb sis notes, la suma ha de ser 6·6,8 = 40,8. Nota necessària: 40,8 − 32 = 8,8.
Per arribar a 7 de mitjana: 6·7 = 42, i 42 − 32 = 10. Només és possible amb un 10, la nota màxima.
Comprovació: (32 + 8,8)/6 = 40,8/6 = 6,8.
Idea clau: mitjana × nombre de dades = suma total; això permet saber què falta.

Mitjana: Σ x_if_i = 4 + 20 + 42 + 32 + 20 = 118, i 118/40 = 2,95 dispositius.
Σ x_i²f_i = 1·4 + 4·10 + 9·14 + 16·8 + 25·4 = 4 + 40 + 126 + 128 + 100 = 398.
Variància: σ² = 398/40 − 2,95² = 9,95 − 8,7025 = 1,2475.
Desviació típica: σ = √1,2475 ≈ 1,12 dispositius.
Comprovació amb la definició: Σ f_i(x_i − 2,95)² = 4·3,8025 + 10·0,9025 + 14·0,0025 + 8·1,1025 + 4·4,2025 = 49,9, i 49,9/40 = 1,2475.

Marques de classe (punt mitjà de cada interval): 2, 6, 10 i 14.
Mitjana: (5·2 + 15·6 + 20·10 + 10·14)/50 = (10 + 90 + 200 + 140)/50 = 440/50 = 8,8 hores.
Variància: (5·2² + 15·6² + 20·10² + 10·14²)/50 − 8,8² = (20 + 540 + 2000 + 1960)/50 − 77,44 = 90,4 − 77,44 = 12,96.
Desviació típica: σ = √12,96 = 3,6 hores.
Coeficient de variació: CV = σ/mitjana = 3,6/8,8 ≈ 0,409, és a dir, un 40,9 %.
Interpretació: la dispersió relativa és alta (per sobre del 30 %, que és un llindar orientatiu), de manera que la mitjana de 8,8 h no és gaire representativa.

Mediana ($Q_{2}$): la 6a de les 11 dades ordenades, 6. Meitat inferior (3, 4, 4, 5, 6): $Q_{1}$ = 4. Meitat superior (7, 8, 9, 11, 25): $Q_{3}$ = 9 (en cada meitat s'exclou la mediana).
IQR = $Q_{3}$ − $Q_{1}$ = 9 − 4 = 5.
Límits: inferior 4 − 1,5·5 = −3,5; superior 9 + 1,5·5 = 16,5.
Qualsevol valor fora de [−3,5; 16,5] és atípic: el 25 ho és (25 > 16,5) i la resta no.
Interpretació: una espera de 25 minuts queda molt per damunt de la resta (la majoria no passen d'11 minuts); convé revisar-la o tractar-la a part.

Suma de notes del grup A: 20·6,5 = 130. Suma de notes del grup B: 30·7,2 = 216.
Mitjana conjunta = (130 + 216)/(20 + 30) = 346/50 = 6,92.
No és (6,5 + 7,2)/2 = 6,85 perquè els grups tenen mides diferents: el grup B, més nombrós, pesa més i fa pujar la mitjana cap a 7,2. És una mitjana ponderada pel nombre d'alumnes.
Comprovació: 6,92 queda entre 6,5 i 7,2, més a prop de 7,2, que és el del grup més gran.

La puntuació típica mesura a quantes desviacions típiques de la mitjana es troba una dada: z = (x − mitjana)/σ.
Matemàtiques: z = $\tfrac{(7{,}5 - 6)}{1{,}5} = 1$.
Economia: z = $\tfrac{(6{,}8 - 5{,}2)}{0{,}8} = 2$.
En Economia la Marta està a 2 desviacions típiques per sobre de la mitjana, i en Matemàtiques a 1. Respecte del seu grup, ha estat millor en Economia, tot i que la nota absoluta sigui més baixa (6,8 < 7,5).
Idea clau: la puntuació típica permet comparar dades de distribucions diferents.

(a) Fals: la mitjana de 2 i 3 és 2,5, que no és cap de les dades.
(b) Cert: σ = 0 vol dir que cap dada s'allunya de la mitjana, per tant totes valen el mateix.
(c) Cert: si dos valors s'empaten com a més freqüents, hi ha dues modes (distribució bimodal). Exemple: 1, 1, 2, 2, 3 té com a modes l'1 i el 2.
(d) Fals: els desviaments s'eleven al quadrat, així que la variància s'expressa en unitats al quadrat (€², cm²...). Per això s'utilitza la desviació típica, que torna a estar en les unitats de les dades.

Marques de classe: 25, 35, 45 i 55.
Mitjana: (18·25 + 12·35 + 7·45 + 3·55)/40 = 1350/40 = 33,75 anys.
Classe modal: de 20 a 30 (la més freqüent).
Mediana: la posició 20 cau a la classe de 30 a 40 (hi ha 18 socis abans). Interpolant: 30 + (20 - 18)/12 · 10 ≈ 31,67 anys.

La mitjana és (1200 + 1400 + 1400 + 1600 + 2400)/5 = 8000/5 = 1600 €. Les distàncies són -400, -200, -200, 0 i 800, i els quadrats 160.000, 40.000, 40.000, 0 i 640.000, que sumen 880.000. La variància és 880000/5 = 176000 i la desviació típica √176000 = 419,5 € aproximadament. La mitjana diu on és el centre i la desviació típica diu que els sous se n'allunyen molt, sobretot pel de 2.400 €.

Mitjana: $\tfrac{78}{6} = 13$.
Desviacions: -1, 2, -4, 1, -3, 5; quadrats: 1, 4, 16, 1, 9, 25, que sumen 56.
Variància: $\tfrac{56}{6} \approx 9{,}33$. Desviació típica: $\sqrt{9,33}$ ≈ 3,055.
Coeficient de variació: $\tfrac{3{,}055}{13} \approx 0{,}235$, un 23,5 %.

Freqüències acumulades: 8, 32, 60, 74 i 80 (N = 80).
a) Q₁ (posició 80/4 = 20) cau a [10, 20) (acumulada anterior 8, freqüència 24): Q₁ = 10 + (20 − 8)/24 · 10 = 15 min. Q₃ (posició 60): l'acumulada arriba a 60 just al final de [20, 30), així que Q₃ = 30 min.
b) Fins als 20 min hi ha 32 persones. De les 28 de l'interval [20, 30), els minuts de 20 a 25 són la meitat de l'interval: 14 persones. Total: 32 + 14 = 46 persones, és a dir, 46/80 = 0,575 = 57,5 %.
c) Percentil 90: posició 0,90·80 = 72, que cau a [30, 40) (acumulada anterior 60, freqüència 14): P₉₀ = 30 + (72 − 60)/14 · 10 ≈ 30 + 8,57 = 38,57 min.
Interpretació: el 90 % de les persones triga menys de 38,6 min i només el 10 % en triga més.

Mitjana 5: (2 + 6 + x + y)/4 = 5 → x + y = 12.
Variància 5: [(2 − 5)² + (6 − 5)² + (x − 5)² + (y − 5)²]/4 = 5 → 9 + 1 + (x − 5)² + (y − 5)² = 20 → (x − 5)² + (y − 5)² = 10.
Substituïm y = 12 − x: (x − 5)² + (7 − x)² = 10 → 2x² − 24x + 74 = 10 → x² − 12x + 32 = 0.
x = (12 ± √(144 − 128))/2 = (12 ± 4)/2, d'on x = 8 o x = 4. Com que x < y, x = 4 i y = 8.
Comprovació: les dades 2, 4, 6, 8 tenen mitjana 20/4 = 5 i variància [(−3)² + (−1)² + 1² + 3²]/4 = 20/4 = 5.

Siguin a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ e. Mediana 5 → c = 5.
Moda 4: el 4 s'ha de repetir (i més que qualsevol altre valor). Com que d i e són almenys 5, només pot fer-ho a les dues primeres posicions: a = b = 4.
Recorregut 5: e − a = 5 → e = 9.
Mitjana 6: la suma és 5·6 = 30, així que 4 + 4 + 5 + d + 9 = 30 → d = 8.
Els nombres són 4, 4, 5, 8 i 9, i cada pas ha estat forçat, de manera que la solució és única.
Comprovació: mitjana $\tfrac{30}{5} = 6$; mediana 5; moda 4 (dues vegades); recorregut 9 − 4 = 5.

El total és 40: 6 + a + 14 + b + 2 = 40 → a + b = 18.
La mitjana és 1,9, així que Σ x_if_i = 1,9·40 = 76: 0·6 + 1·a + 2·14 + 3·b + 4·2 = a + 3b + 36 = 76 → a + 3b = 40.
Restem les dues equacions: (a + 3b) − (a + b) = 40 − 18 → 2b = 22 → b = 11, i a = 18 − 11 = 7.
Freqüències: 6, 7, 14, 11 i 2.
Comprovació: total = 6 + 7 + 14 + 11 + 2 = 40 i mitjana = (7 + 28 + 33 + 8)/40 = 76/40 = 1,9.

a) Suma = 80, mitjana = 80/12 ≈ 6,67 min. Mediana: mitjana de la 6a i la 7a dada, (3 + 5)/2 = 4 min. Moda: 3 min (apareix tres vegades).
b) Meitat inferior (0, 1, 2, 3, 3, 3): Q₁ = (2 + 3)/2 = 2,5. Meitat superior (5, 6, 8, 10, 12, 27): Q₃ = (8 + 10)/2 = 9. IQR = 6,5. Límit superior = 9 + 1,5·6,5 = 18,75 i límit inferior = 2,5 − 9,75 = −7,25. El 27 supera 18,75: és un valor atípic.
c) Σ x² = 1130, variància = 1130/12 − (80/12)² ≈ 94,17 − 44,44 = 49,72 i σ = √49,72 ≈ 7,05 min. CV = 7,05/6,67 ≈ 1,06, és a dir, un 106 %.
d) El CV supera el 100 % i la mitjana (6,67) és major que la mediana (4): el valor atípic 27 estira la mitjana cap amunt. La mediana (4 min) o la moda (3 min) representen millor el retard habitual.

Abans de la pujada: CV = 300/1500 = 0,20 = 20 %.
A) Sumar una constant desplaça totes les dades: la mitjana passa a 1500 + 100 = 1600 € i la desviació típica no canvia, 300 €. CV = 300/1600 = 0,1875 = 18,75 %.
B) Multiplicar per 1,10: la mitjana és 1500·1,10 = 1650 € i la desviació típica també es multiplica per 1,10: 300·1,10 = 330 €. CV = 330/1650 = 0,20 = 20 %.
Conclusió: la pujada fixa de 100 € redueix la dispersió relativa (del 20 % al 18,75 %), perquè proporcionalment beneficia més els sous baixos; la pujada percentual la deixa igual.
Idea clau: σ no canvia en sumar una constant i es multiplica per la constant en multiplicar; per això el CV no canvia en multiplicar.