Exercicis d'ones i MHS — Física 2n Batxillerat

Aquest tema junta el moviment harmònic simple amb les ones mecàniques i electromagnètiques. Els exercicis et fan calcular freqüències i períodes, estudiar una massa enganxada a una molla com a oscil·lador harmònic i escriure i interpretar l'equació d'una ona. Després treballes les ones estacionàries d'una corda de guitarra fixada pels dos extrems, la diferència entre ones transversals i longitudinals i el so. Al final analitzes interferències de dos altaveus en fase i l'efecte Doppler. Les solucions relacionen cada magnitud amb les altres. Errors típics: confondre la freqüència amb la freqüència angular i comparar la diferència de camí sense dividir-la per la longitud d'ona.

Tens examen d'aquest tema? Fes un simulacre de 60 minuts com el de l'institut, amb solucions i criteris de correcció.Fes el simulacre →

Nivell bàsic

Exercici 1

Una ona té un període de 0,004 s. Quina és la seva freqüència?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 1

Resultat

f = 250\ \text{Hz}

Resolució

Dades. Període $T = 0{,}004\ \text{s}$ ; et demanen la freqüència $f$ .
Relació període–freqüència. La freqüència és la inversa del període: $f = \dfrac{1}{T}$ .
Càlcul. $f = \dfrac{1}{0{,}004\ \text{s}} = 250\ \text{Hz}$
Conclusió. L'ona fa 250 oscil·lacions cada segon; com més curt és el període, més gran és la freqüència.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 2

Classifica en mecànica o electromagnètica: el so, la llum, les ones d'una corda i les microones.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 2

Resultat

Mecàniques (necessiten un medi): el so i les ones d'una corda. Electromagnètiques (no en necessiten): la llum i les microones.

Resolució

Criteri. Una ona mecànica és la pertorbació d'un medi material i no es pot propagar en el buit; una ona electromagnètica és la propagació de camps elèctric i magnètic i sí que es propaga en el buit.
Ones mecàniques. El so (fa vibrar l'aire o el medi on es propaga) i les ones d'una corda (és la mateixa corda la que oscil·la).
Ones electromagnètiques. La llum i les microones: totes dues són radiació electromagnètica, de freqüències diferents, i arriben fins i tot a través del buit (com la llum del Sol).
Conclusió. Per tant, so i corda són mecàniques; llum i microones, electromagnètiques.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 3

Una corda de guitarra de 0,65 m està fixada pels dos extrems. Les ones hi viatgen a 260 m·s⁻¹. Calcula la freqüència del so fonamental (primer harmònic) que produeix.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 3

Resultat

f_1 = 200\ \text{Hz}

Resolució

Dades. Corda fixada pels dos extrems, $L = 0{,}65\ \text{m}$ , velocitat de les ones $v = 260\ \text{m/s}$ . Et demanen el primer harmònic.
Ones estacionàries en una corda. Cada extrem fix ha de ser un node. En el mode fonamental entre els dos extrems hi cap només mitja longitud d'ona: $\lambda_1 = 2L = 2\cdot 0{,}65 = 1{,}3\ \text{m}$
Relació fonamental de les ones. De $v = \lambda f$ aïlles la freqüència: $f_1 = \dfrac{v}{\lambda_1} = \dfrac{260}{1{,}3} = 200\ \text{Hz}$
Conclusió. En general, per a una corda amb els dos extrems fixos, $f_n = \dfrac{n\,v}{2L}$ ; amb $n = 1$ dona 200 Hz.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 4

Una emissora de ràdio FM emet a 100 MHz i un diapasó produeix un so de 440 Hz. Calcula la longitud d'ona de cada ona. Dades: c = 3· $10^{8}$ m/s; velocitat del so a l'aire, 340 m/s.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 4

Resultat

Ràdio FM:

\lambda = 3\ \text{m}

; diapasó:

\lambda \approx 0{,}77\ \text{m}

Resolució

Dades. Ràdio: $f = 100\ \text{MHz} = 1{,}00\cdot10^{8}\ \text{Hz}$ , viatja a $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ . Diapasó: $f = 440\ \text{Hz}$ , viatja a $340\ \text{m/s}$ .
Relació fonamental. Per a qualsevol ona, $v = \lambda f$ , de manera que $\lambda = \dfrac{v}{f}$ .
Ona de ràdio. És electromagnètica i va a la velocitat de la llum: $\lambda = \dfrac{3\cdot10^{8}}{100\cdot10^{6}} = 3\ \text{m}$
So del diapasó. És una ona mecànica i va a la velocitat del so: $\lambda = \dfrac{340}{440} \approx 0{,}77\ \text{m}$
Conclusió. Error típic: fer servir $c$ per al so. El so és una ona mecànica i viatja a la velocitat que li permet el medi (l'aire), no a la de la llum.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 5

Un alumne afirma que l'ona y(x, t) = 0,2·sin(6πt + 3πx) (unitats del SI) es propaga en el sentit positiu de l'eix x, a 2 m/s i amb una longitud d'ona de 3 m. Corregeix les afirmacions que siguin errònies i justifica-ho.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 5

Resultat

El sentit és negatiu de l'eix x (no positiu);

v = 2\ \text{m/s}

és correcta;

\lambda = \tfrac{2}{3}\ \text{m} \approx 0{,}67\ \text{m}

(no 3 m).

Resolució

Dades. Compara $y = 0{,}2\sin(6\pi t + 3\pi x)$ amb $y = A\sin(\omega t \pm kx)$ : $\omega = 6\pi\ \text{rad/s}$ i $k = 3\pi\ \text{rad/m}$ .
Sentit de propagació. Com que $\omega t$ i $kx$ tenen el mateix signe (+), l'ona es propaga en el sentit negatiu de l'eix x. La primera afirmació és errònia.
Velocitat. $v = \dfrac{\omega}{k} = \dfrac{6\pi}{3\pi} = 2\ \text{m/s}$ Aquesta afirmació és correcta.
Longitud d'ona. $\lambda = \dfrac{2\pi}{k} = \dfrac{2\pi}{3\pi} = \dfrac{2}{3}\ \text{m} \approx 0{,}67\ \text{m}$ no 3 m: el nombre que multiplica x és el nombre d'ona $k$ , no $\lambda$ . La tercera afirmació és errònia.
Comprovació. $f = \dfrac{\omega}{2\pi} = 3\ \text{Hz}$ i $\lambda f = 0{,}67\cdot 3 = 2\ \text{m/s} = v$ .

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 6

Raona si cada afirmació és certa o falsa: a) Quan una ona passa d'un medi a un altre, la seva freqüència no canvia. b) La velocitat de propagació d'una ona harmònica depèn de la seva amplitud. c) Una ona transporta energia però no transporta matèria.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 6

Apartat a)

Resultat

Certa: la freqüència la fixa la font i no canvia en canviar de medi.

Resolució

Qui fixa la freqüència. La freqüència d'una ona la imposa la font que la genera: el medi oscil·la al ritme de la font.
Què canvia. En passar a un altre medi canvia la velocitat de propagació i, per tant, la longitud d'ona, $\lambda = \tfrac{v}{f}$ , però no la freqüència.
Conclusió. L'afirmació és certa.

Apartat b)

Resultat

Falsa: la velocitat depèn només de les propietats del medi, no de l'amplitud.

Resolució

De què depèn la velocitat. La velocitat de propagació d'una ona depèn de les propietats del medi: per exemple, en una corda, de la tensió i de la densitat lineal, $v = \sqrt{T/\mu}$ .
Paper de l'amplitud. L'amplitud determina l'energia que transporta l'ona, no la rapidesa amb què avança.
Conclusió. L'afirmació és falsa.

Apartat c)

Resultat

Certa: l'ona transporta energia (i la pertorbació), però no matèria.

Resolució

Què fan les partícules. Les partícules del medi oscil·len al voltant de la seva posició d'equilibri i no es desplacen amb l'ona.
Què viatja. El que avança és la pertorbació i l'energia associada.
Conclusió. L'afirmació és certa.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 7

En una corda es propaga una ona harmònica. Un punt de la corda triga 0,25 s a fer una oscil·lació completa, i dos punts consecutius que vibren en fase estan separats 0,4 m. Calcula la freqüència, la longitud d'ona i la velocitat de propagació de l'ona.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 7

Resultat

f = 4\ \text{Hz}

;

\lambda = 0{,}4\ \text{m}

;

v = 1{,}6\ \text{m/s}

Resolució

Dades. Una oscil·lació completa dura $0{,}25\ \text{s}$ : és el període, $T = 0{,}25\ \text{s}$ . La distància mínima entre dos punts que vibren en fase és la longitud d'ona: $\lambda = 0{,}4\ \text{m}$ .
Freqüència. $f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{1}{0{,}25} = 4\ \text{Hz}$
Velocitat de propagació. $v = \lambda f = 0{,}4\cdot 4 = 1{,}6\ \text{m/s}$ (equivalentment, $v = \lambda/T = 0{,}4/0{,}25 = 1{,}6\ \text{m/s}$ ).
Conclusió. Recorda la doble periodicitat de l'ona: $T$ és el període en el temps i $\lambda$ , el període en l'espai.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 8

El nivell d'intensitat sonora es defineix com β = 10·log( $\tfrac{I}{I_{0}}$ ), amb $I_{0}$ = $10^{-12}$ $\text{W/m}^{2}$ . a) Quin nivell, en decibels, correspon a un so d'intensitat $10^{-6}$ $\text{W/m}^{2}$ ? b) Quina intensitat té un so de 90 dB?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 8

Apartat a)

Resultat

\beta = 60\ \text{dB}

Resolució

Dades. $I = 10^{-6}\ \text{W/m}^{2}$ , $I_0 = 10^{-12}\ \text{W/m}^{2}$ .
Nivell d'intensitat sonora. $\beta = 10\log\dfrac{I}{I_0}$ .
Càlcul. $\beta = 10\log\dfrac{10^{-6}}{10^{-12}} = 10\log 10^{6} = 10\cdot 6 = 60\ \text{dB}$
Conclusió. És el nivell d'una conversa normal.

Apartat b)

Resultat

I = 10^{-3}\ \text{W/m}^{2}

Resolució

Dades. $\beta = 90\ \text{dB}$ ; cal trobar $I$ .
Aïllar la intensitat. $90 = 10\log\dfrac{I}{10^{-12}} \;\Rightarrow\; \log\dfrac{I}{10^{-12}} = 9$
Càlcul. $I = 10^{9}\cdot 10^{-12} = 10^{-3}\ \text{W/m}^{2}$ .
Conclusió. Fixa't que passar de 60 dB a 90 dB (30 dB més) vol dir multiplicar la intensitat per 1000: l'escala de decibels és logarítmica.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 9

Un so de 680 Hz es propaga per l'aire a 340 m/s. Quina és la distància mínima entre dos punts del medi que vibren en oposició de fase?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 9

Resultat

d_{\min} = 0{,}25\ \text{m}

Resolució

Dades. $f = 680\ \text{Hz}$ , $v = 340\ \text{m/s}$ .
Longitud d'ona. $\lambda = \dfrac{v}{f} = \dfrac{340}{680} = 0{,}5\ \text{m}$
Oposició de fase. Dos punts vibren en oposició de fase quan la seva diferència de fase és $\pi$ rad, és a dir, quan estan separats mitja longitud d'ona (o un nombre senar de mitges longituds d'ona).
Càlcul. $d_{\min} = \dfrac{\lambda}{2} = 0{,}25\ \text{m}$ .
Comprovació. $\Delta\varphi = k\,d = \dfrac{2\pi}{0{,}5}\cdot 0{,}25 = \pi\ \text{rad}$ .

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 10

Associa cada situació amb el fenomen ondulatori que l'explica (reflexió, refracció, difracció o polarització): a) Sentim la conversa de dues persones que són darrere la cantonada d'un carrer. b) L'eco d'un crit en una vall. c) Una cullera dins d'un got d'aigua sembla trencada a l'alçada de la superfície. d) Unes ulleres de sol amb vidres polaritzats redueixen els reflexos d'una carretera mullada.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 10

Apartat a)

Resultat

Difracció.

Resolució

Fenomen. Les ones sonores tenen una longitud d'ona comparable a la mida de l'obstacle (la cantonada).
Conclusió. Per això voregen la cantonada i es propaguen darrere seu: és difracció.

Apartat b)

Resultat

Reflexió.

Resolució

Fenomen. El so rebota a les parets de la vall.
Conclusió. Torna cap a nosaltres amb retard i el sentim com un eco: és reflexió.

Apartat c)

Resultat

Refracció.

Resolució

Fenomen. La llum canvia de velocitat en passar de l'aigua a l'aire i, per tant, canvia de direcció.
Conclusió. Veiem la part submergida desplaçada i la cullera sembla trencada: és refracció.

Apartat d)

Resultat

Polarització.

Resolució

Fenomen. La llum reflectida a la carretera vibra majoritàriament en un pla horitzontal, i el filtre polaritzador de les ulleres la bloqueja.
Conclusió. És polarització. Fixa't que només les ones transversals es poden polaritzar; el so, que és longitudinal, no.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell intermedi

Exercici 11

Un punt d'una corda oscil·la segons l'equació d'ona y = 0,05·sin(20·π·t - 4·π·x) (unitats SI). Calcula la velocitat màxima i l'acceleració màxima amb què oscil·la un punt de la corda, i distingeix aquesta velocitat de la velocitat de propagació de l'ona.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 11

Resultat

v_{\max} = \pi \approx 3{,}14\ \text{m/s}

;

a_{\max} = 20\pi^{2} \approx 197\ \text{m/s}^{2}

; velocitat de propagació

v = 5\ \text{m/s}

Resolució

Dades. Compara amb $y = A\sin(\omega t - kx)$ : $A = 0{,}05\ \text{m}$ , $\omega = 20\pi\ \text{rad/s}$ i $k = 4\pi\ \text{rad/m}$ .
MHS de cada punt. Cada punt de la corda fa un moviment harmònic simple, amb $v_{\max} = A\omega$ i $a_{\max} = A\omega^{2}$ .
Velocitat màxima d'oscil·lació. $v_{\max} = A\omega = 0{,}05\cdot 20\pi = \pi \approx 3{,}14\ \text{m/s}$
Acceleració màxima. $a_{\max} = A\omega^{2} = 0{,}05\cdot(20\pi)^{2} = 0{,}05\cdot 400\pi^{2} = 20\pi^{2} \approx 197\ \text{m/s}^{2}$
Velocitat de propagació. És la rapidesa amb què avança la pertorbació al llarg de la corda: $v = \dfrac{\omega}{k} = \dfrac{20\pi}{4\pi} = 5\ \text{m/s}$
Conclusió. Parany: no les confonguis. La velocitat de propagació (5 m/s) és la de l'ona que avança per la corda; la velocitat màxima d'oscil·lació (3,14 m/s) és la del tros de corda que puja i baixa. Són dues coses diferents amb valors diferents.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 12

Quina diferència fonamental hi ha entre una ona transversal i una longitudinal?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 12

Resultat

En una ona transversal el medi oscil·la perpendicularment a la direcció de propagació; en una longitudinal, en la mateixa direcció.

Resolució

Ona transversal. Les partícules del medi oscil·len perpendicularment a la direcció en què avança l'ona: per exemple, una corda que puja i baixa mentre l'ona va endavant.
Ona longitudinal. Les partícules oscil·len en la mateixa direcció en què avança l'ona: per exemple, el so, en què l'aire es comprimeix i es dilata en la direcció de propagació.
Conclusió. La diferència fonamental és la direcció de l'oscil·lació del medi respecte a la direcció de propagació.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 13

Un tren fa sonar el xiulet mentre s'allunya de l'estació. Els que són a l'andana, senten el xiulet més agut o més greu que els passatgers del tren? Justifica-ho.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 13

Resultat

Els de l'andana el senten més greu: la font s'allunya i la freqüència percebuda és més baixa.

Resolució

Situació. La font (el tren) s'allunya dels observadors de l'andana; els passatgers es mouen amb la font.
Efecte Doppler. Quan la font s'allunya, les crestes de l'ona arriben més espaiades a l'observador: la longitud d'ona percebuda és més gran i la freqüència, més baixa.
Passatgers. Van amb la font: per a ells la font és quieta i no noten cap canvi, senten el to normal.
Conclusió. Per tant, els de l'andana senten el xiulet més greu que els passatgers.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 14

Una molla de constant k = 200 N/m té enganxada una massa m = 0,50 kg sobre una taula sense fregament. L'estirem A = 0,10 m i la deixem anar. Calcula l'energia mecànica de l'oscil·lador, la velocitat màxima i l'acceleració màxima.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 14

Resultat

E_m = 1{,}0\ \text{J}

;

v_{\max} = 2{,}0\ \text{m/s}

;

a_{\max} = 40\ \text{m/s}^{2}

Resolució

Dades. $k = 200\ \text{N/m}$ , $m = 0{,}50\ \text{kg}$ , $A = 0{,}10\ \text{m}$ , sense fregament.
Energia mecànica. En estirar la molla fins a l'amplitud, tota l'energia és potencial elàstica: $E_m = \tfrac{1}{2}kA^{2} = 0{,}5\cdot 200\cdot 0{,}10^{2} = 1{,}0\ \text{J}$ Com que no hi ha fregament, aquesta energia es conserva.
Pulsació. $\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}} = \sqrt{\dfrac{200}{0{,}50}} = \sqrt{400} = 20\ \text{rad/s}$
Velocitat màxima. A l'equilibri tota l'energia és cinètica: $v_{\max} = A\omega = 0{,}10\cdot 20 = 2{,}0\ \text{m/s}$ . Comprovació per energia: $\tfrac{1}{2}m v_{\max}^{2} = 0{,}5\cdot 0{,}50\cdot 2{,}0^{2} = 1{,}0\ \text{J} = E_m$ .
Acceleració màxima. Als extrems: $a_{\max} = A\omega^{2} = 0{,}10\cdot 400 = 40\ \text{m/s}^{2}$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 15

Una ona harmònica transversal d'amplitud 3 cm i freqüència 5 Hz es propaga a 20 m/s en el sentit negatiu de l'eix x. En l'instant t = 0, el punt x = 0 passa per la posició d'equilibri (fase inicial zero). a) Escriu l'equació de l'ona en unitats del SI. b) Calcula l'elongació del punt x = 1 m en l'instant t = 0,1 s.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 15

Apartat a)

Resultat

y(x,t) = 0{,}03\sin\!\left(10\pi t + \tfrac{\pi}{2}x\right)

(SI)

Resolució

Dades. $A = 0{,}03\ \text{m}$ , $f = 5\ \text{Hz}$ , $v = 20\ \text{m/s}$ , sentit negatiu de l'eix x, fase inicial zero.
Paràmetres. $\omega = 2\pi f = 10\pi\ \text{rad/s};\quad \lambda = \dfrac{v}{f} = \dfrac{20}{5} = 4\ \text{m};\quad k = \dfrac{2\pi}{\lambda} = \dfrac{\pi}{2}\ \text{rad/m}$
Sentit de propagació. Com que es propaga cap a −x, els termes $\omega t$ i $kx$ tenen el mateix signe: $y(x,t) = 0{,}03\sin\!\left(10\pi t + \tfrac{\pi}{2}x\right)$ amb y i x en metres i t en segons.
Comprovació. $v = \dfrac{\omega}{k} = \dfrac{10\pi}{\pi/2} = 20\ \text{m/s}$ , com indica l'enunciat.

Apartat b)

Resultat

y = -0{,}03\ \text{m}

(elongació màxima negativa, −3 cm)

Resolució

Substitució. $y(1;\,0{,}1) = 0{,}03\sin\!\left(10\pi\cdot 0{,}1 + \tfrac{\pi}{2}\right) = 0{,}03\sin\tfrac{3\pi}{2}$
Càlcul. $\sin\tfrac{3\pi}{2} = -1$ , de manera que $y = -0{,}03\ \text{m}$ .
Conclusió. El punt és en l'elongació màxima negativa (−3 cm).

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 16

Una ona es propaga per una corda segons y(x, t) = 0,1·sin(4πt - πx) (unitats del SI). a) Calcula la diferència de fase, en un mateix instant, entre dos punts separats 1,5 m. b) Calcula la diferència de fase, en un mateix punt, entre dos instants separats 0,25 s i interpreta el resultat. c) Quina és la distància mínima entre dos punts que vibren en fase?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 16

Apartat a)

Resultat

\Delta\varphi = 1{,}5\pi\ \text{rad} = \tfrac{3\pi}{2}\ \text{rad}

Resolució

Dades. De l'equació: $\omega = 4\pi\ \text{rad/s}$ ( $f = 2\ \text{Hz}$ , $T = 0{,}5\ \text{s}$ ) i $k = \pi\ \text{rad/m}$ ( $\lambda = 2\ \text{m}$ ).
Diferència de fase espacial. En un mateix instant, $\Delta\varphi = k\,\Delta x$ .
Càlcul. $\Delta\varphi = \pi\cdot 1{,}5 = 1{,}5\pi\ \text{rad}$ , és a dir, $\tfrac{3\pi}{2}$ rad, equivalent a $-\tfrac{\pi}{2}$ rad.

Apartat b)

Resultat

\Delta\varphi = \pi\ \text{rad}

: el punt està en oposició de fase respecte de 0,25 s abans.

Resolució

Diferència de fase temporal. En un mateix punt, $\Delta\varphi = \omega\,\Delta t$ .
Càlcul. $\Delta\varphi = 4\pi\cdot 0{,}25 = \pi\ \text{rad}$ .
Interpretació. Ha passat mig període ( $\tfrac{T}{2} = 0{,}25\ \text{s}$ ): el punt té la mateixa elongació que 0,25 s abans però de signe contrari.

Apartat c)

Resultat

\Delta x = \lambda = 2\ \text{m}

Resolució

Condició de fase. Dos punts vibren en fase si $\Delta\varphi = 2\pi\ \text{rad}$ (la mínima no nul·la).
Càlcul. $k\,\Delta x = 2\pi \Rightarrow \Delta x = \dfrac{2\pi}{\pi} = 2\ \text{m}$ , que és justament la longitud d'ona.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 17

Un altaveu petit emet so uniformement en totes direccions amb una potència de 2 W. a) Calcula la intensitat del so a 2 m i a 8 m de l'altaveu. b) Quin nivell d'intensitat sonora, en dB, hi ha a 2 m? Dada: $I_{0}$ = $10^{-12}$ $\text{W/m}^{2}$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 17

Apartat a)

Resultat

I(2\ \text{m}) = 3{,}98\cdot10^{-2}\ \text{W/m}^{2}

;

I(8\ \text{m}) = 2{,}49\cdot10^{-3}\ \text{W/m}^{2}

Resolució

Dades. Font puntual que emet uniformement, $P = 2\ \text{W}$ .
Intensitat d'una ona esfèrica. La potència es reparteix sobre una esfera de radi r: $I = \dfrac{P}{4\pi r^{2}}$ .
Càlcul. $I_2 = \dfrac{2}{4\pi\cdot 2^{2}} = \dfrac{2}{16\pi} = 3{,}98\cdot10^{-2}\ \text{W/m}^{2};\qquad I_8 = \dfrac{2}{4\pi\cdot 8^{2}} = \dfrac{2}{256\pi} = 2{,}49\cdot10^{-3}\ \text{W/m}^{2}$
Conclusió. La distància s'ha multiplicat per 4 i la intensitat ha quedat dividida per 16: la intensitat és inversament proporcional al quadrat de la distància.

Apartat b)

Resultat

\beta \approx 106\ \text{dB}

Resolució

Nivell d'intensitat sonora. $\beta = 10\log\dfrac{I}{I_0}$ , amb $I_0 = 10^{-12}\ \text{W/m}^{2}$ .
Càlcul. $\beta = 10\log\dfrac{3{,}98\cdot10^{-2}}{10^{-12}} = 10\log(3{,}98\cdot10^{10}) \approx 106\ \text{dB}$

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 18

Unes ones a la superfície de l'aigua d'una piscina, de freqüència 2 Hz, passen d'una zona profunda, on es propaguen a 2 m/s, a una zona poc profunda, on ho fan a 1,2 m/s. Els fronts d'ona arriben a la frontera entre les dues zones amb un angle d'incidència de 30°. a) Calcula l'angle de refracció. b) Calcula la longitud d'ona a cada zona.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 18

Apartat a)

Resultat

\theta_2 \approx 17{,}5^\circ

Resolució

Dades. $f = 2\ \text{Hz}$ , $v_1 = 2\ \text{m/s}$ , $v_2 = 1{,}2\ \text{m/s}$ , $\theta_1 = 30^\circ$ .
Llei de Snell per a ones. $\dfrac{\sin\theta_1}{v_1} = \dfrac{\sin\theta_2}{v_2}$
Càlcul. $\sin\theta_2 = \sin 30^\circ\cdot\dfrac{v_2}{v_1} = 0{,}5\cdot\dfrac{1{,}2}{2} = 0{,}3 \;\Rightarrow\; \theta_2 = \arcsin 0{,}3 \approx 17{,}5^\circ$
Conclusió. L'ona s'acosta a la normal perquè passa a una zona on va més lenta.

Apartat b)

Resultat

\lambda_1 = 1\ \text{m}

;

\lambda_2 = 0{,}6\ \text{m}

Resolució

La freqüència no canvia. En canviar de medi es conserva la freqüència, que fixa la font.
Càlcul. $\lambda_1 = \dfrac{v_1}{f} = \dfrac{2}{2} = 1\ \text{m}$ ; $\lambda_2 = \dfrac{v_2}{f} = \dfrac{1{,}2}{2} = 0{,}6\ \text{m}$ .
Comprovació. $\dfrac{\lambda_2}{\lambda_1} = \dfrac{v_2}{v_1} = 0{,}6$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 19

Un tub d'orgue de 0,85 m de llargada està tancat per un extrem i obert per l'altre. La velocitat del so a l'aire és de 340 m/s. a) Calcula la freqüència del so fonamental que emet. b) Quina és la freqüència del següent harmònic possible? c) Quina seria la freqüència fonamental si el tub fos obert pels dos extrems?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 19

Apartat a)

Resultat

f_1 = 100\ \text{Hz}

Resolució

Dades. Tub tancat per un extrem, $L = 0{,}85\ \text{m}$ , $v = 340\ \text{m/s}$ .
Tub tancat per un extrem. Hi ha un node a l'extrem tancat i un ventre a l'obert: la longitud del tub és un quart de longitud d'ona, $\lambda_1 = 4L = 3{,}4\ \text{m}$ .
Càlcul. $f_1 = \dfrac{v}{\lambda_1} = \dfrac{340}{3{,}4} = 100\ \text{Hz}$ .

Apartat b)

Resultat

f_3 = 300\ \text{Hz}

Resolució

Harmònics possibles. En un tub tancat només hi caben els harmònics senars: $L = n\,\dfrac{\lambda}{4}$ amb $n = 1, 3, 5,\ldots$
Càlcul. El següent és el tercer: $f_3 = 3f_1 = 300\ \text{Hz}$ .

Apartat c)

Resultat

f_1 = 200\ \text{Hz}

Resolució

Tub obert pels dos extrems. Hi ha ventres als dos extrems i $L = \dfrac{\lambda}{2}$ : $\lambda_1 = 2L = 1{,}7\ \text{m}$ .
Càlcul. $f_1 = \dfrac{340}{1{,}7} = 200\ \text{Hz}$ .
Conclusió. És el doble que en el tub tancat, i en aquest cas hi apareixen tots els harmònics.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 20

Una ambulància circula a 90 km/h per una carretera recta d'Osona fent sonar la sirena, que emet un so de 800 Hz. Un vianant aturat a la vorera la veu passar. Calcula la freqüència que percep el vianant quan l'ambulància s'hi acosta i quan se n'allunya. Dada: velocitat del so a l'aire, 340 m/s.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 20

Resultat

Quan s'acosta:

f' \approx 863\ \text{Hz}

; quan s'allunya:

f' \approx 745\ \text{Hz}

Resolució

Dades. $f = 800\ \text{Hz}$ , $v = 340\ \text{m/s}$ , velocitat de la font $v_F = 90\ \text{km/h} = 25\ \text{m/s}$ . L'observador està en repòs.
Efecte Doppler (font en moviment). $f' = f\,\dfrac{v}{v \mp v_F}$ amb signe − quan la font s'acosta i signe + quan s'allunya.
S'acosta. $f' = 800\cdot\dfrac{340}{340 - 25} = 800\cdot\dfrac{340}{315} \approx 863\ \text{Hz}$ (so més agut).
S'allunya. $f' = 800\cdot\dfrac{340}{340 + 25} = 800\cdot\dfrac{340}{365} \approx 745\ \text{Hz}$ (so més greu).
Conclusió. Error típic: oblidar passar els km/h a m/s, o posar la velocitat de la font al numerador (això només es fa amb la velocitat de l'observador).

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 21

Una corda vibra formant una ona estacionària descrita per y(x, t) = 0,1·sin(2πx)·cos(40πt) (unitats del SI). a) Determina la longitud d'ona, la freqüència i la velocitat de propagació de les ones que la formen, i l'amplitud de cadascuna. b) Troba la posició dels nodes compresos entre x = 0 i x = 1 m.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 21

Apartat a)

Resultat

\lambda = 1\ \text{m}

;

f = 20\ \text{Hz}

;

v = 20\ \text{m/s}

; amplitud de cada ona viatgera

A = 0{,}05\ \text{m}

Resolució

Dades. Compara amb $y = 2A\sin(kx)\cos(\omega t)$ : $k = 2\pi\ \text{rad/m}$ , $\omega = 40\pi\ \text{rad/s}$ , $2A = 0{,}1\ \text{m}$ .
Longitud d'ona i freqüència. $\lambda = \dfrac{2\pi}{k} = 1\ \text{m};\qquad f = \dfrac{\omega}{2\pi} = 20\ \text{Hz}$
Velocitat de propagació. $v = \lambda f = 1\cdot 20 = 20\ \text{m/s}$ .
Amplitud. L'amplitud màxima de l'ona estacionària és $2A = 0{,}1\ \text{m}$ , així que cada ona viatgera té $A = 0{,}05\ \text{m}$ .

Apartat b)

Resultat

Nodes a

x = 0

x = 0{,}5\ \text{m}

x = 1\ \text{m}

Resolució

Condició de node. Els nodes són els punts on $\sin(2\pi x) = 0$ : $2\pi x = n\pi \Rightarrow x = \dfrac{n}{2}$ .
Càlcul. Entre 0 i 1 m: $x = 0$ , $x = 0{,}5\ \text{m}$ i $x = 1\ \text{m}$ .
Conclusió. Els nodes estan separats $\tfrac{\lambda}{2} = 0{,}5\ \text{m}$ ; els ventres (x = 0,25 m i x = 0,75 m) queden a mig camí entre nodes.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell avançat

Exercici 22

Una corda de 1,2 m fixada pels dos extrems vibra en el seu tercer harmònic. Les ones hi viatgen a 180 m·s⁻¹. Calcula la longitud d'ona i la freqüència d'aquest harmònic, i digues quants nodes i quants ventres té la corda.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 22

Resultat

\lambda_3 = 0{,}8\ \text{m}

;

f_3 = 225\ \text{Hz}

; 4 nodes i 3 ventres

Resolució

Dades. Corda fixada pels dos extrems, $L = 1{,}2\ \text{m}$ , $v = 180\ \text{m/s}$ , tercer harmònic ( $n = 3$ ).
Harmònics d'una corda amb els extrems fixos. $\lambda_n = \dfrac{2L}{n},\qquad f_n = \dfrac{n\,v}{2L},\qquad n = 1, 2, 3,\ldots$
Longitud d'ona. $\lambda_3 = \dfrac{2\cdot 1{,}2}{3} = \dfrac{2{,}4}{3} = 0{,}8\ \text{m}$ .
Freqüència. $f_3 = \dfrac{v}{\lambda_3} = \dfrac{180}{0{,}8} = 225\ \text{Hz}$ (o directament $f_3 = \dfrac{3\cdot 180}{2\cdot 1{,}2} = \dfrac{540}{2{,}4} = 225\ \text{Hz}$ ).
Nodes i ventres. L'harmònic n té exactament n ventres i n + 1 nodes (comptant els dos extrems, que sempre són nodes): el tercer harmònic té 3 ventres i 4 nodes.
Conclusió. Parany: el nombre de ventres és n (aquí 3), no n + 1; els nodes són un més que els ventres perquè els dos extrems fixos també compten.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 23

Dos altaveus emeten en fase un so de longitud d'ona λ = 1 m. En un punt, el so d'un ha recorregut 5 m i el de l'altre 8 m. Digues si la interferència és constructiva o destructiva.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 23

Resultat

Interferència constructiva (

\Delta r = 3\lambda

Resolució

Dades. Fonts en fase, $\lambda = 1\ \text{m}$ , camins $r_1 = 5\ \text{m}$ i $r_2 = 8\ \text{m}$ .
Condició d'interferència. Amb fonts en fase, és constructiva si $\Delta r = n\lambda$ i destructiva si $\Delta r = (2n+1)\tfrac{\lambda}{2}$ .
Càlcul. $\Delta r = 8 - 5 = 3\ \text{m}$ ; en longituds d'ona, $\dfrac{\Delta r}{\lambda} = \dfrac{3}{1} = 3$ , un nombre enter.
Conclusió. Les ones arriben en fase: la interferència és constructiva i el so es reforça.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 24

Un pèndol de longitud L = 1,2 m i massa m = 0,30 kg es deixa anar, partint del repòs, des d'un angle petit de θ = 10° (cos(10°) ≈ 0,985). Pren g = 9,8 m·s⁻². Calcula l'energia potencial inicial, l'energia mecànica i la velocitat màxima amb què passa per la posició d'equilibri.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 24

Resultat

E_p \approx 0{,}053\ \text{J}

;

E_m \approx 0{,}053\ \text{J}

;

v_{\max} \approx 0{,}59\ \text{m/s}

Resolució

Dades. $L = 1{,}2\ \text{m}$ , $m = 0{,}30\ \text{kg}$ , $\theta = 10^\circ$ amb $\cos 10^\circ \approx 0{,}985$ , $g = 9{,}8\ \text{m/s}^{2}$ ; parteix del repòs.
Altura inicial. Parany clau: l'altura que puja la massa respecte al punt més baix NO és L, sinó $h = L(1 - \cos\theta)$ , perquè el pèndol només s'enfila una miqueta: $h = 1{,}2\cdot(1 - 0{,}985) = 1{,}2\cdot 0{,}015 = 0{,}018\ \text{m}$
Energia potencial inicial. A l'extrem el pèndol està aturat un instant i tota l'energia és potencial: $E_p = mgh = 0{,}30\cdot 9{,}8\cdot 0{,}018 \approx 0{,}053\ \text{J}$
Conservació de l'energia mecànica. Com que l'energia mecànica es conserva i a l'extrem tota és potencial, $E_m = E_p \approx 0{,}053\ \text{J}$ .
Velocitat màxima. A l'equilibri l'altura és zero i tota l'energia és cinètica: $\tfrac{1}{2}m v_{\max}^{2} = E_m$ , d'on $v_{\max} = \sqrt{\dfrac{2E_m}{m}} = \sqrt{\dfrac{2\cdot 0{,}0529}{0{,}30}} \approx 0{,}59\ \text{m/s}$ (equivalentment, $v_{\max} = \sqrt{2gh}$ ).
Conclusió. La velocitat màxima surt petita, com esperem d'una oscil·lació d'amplitud petita.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 25

L'equació d'una ona harmònica és y(x, t) = 0,05·sin(50πt - 0,5πx + $\tfrac{\pi}{2}$ ), amb x i y en metres i t en segons.
a) Determina l'amplitud, la freqüència, el període, la longitud d'ona, la velocitat de propagació i el sentit de propagació.
b) Calcula l'elongació del punt x = 2 m en l'instant t = 0,02 s.
c) Quina és la distància mínima entre dos punts que vibren en fase? I en oposició de fase?
d) En quins instants el punt x = 0 té elongació màxima positiva?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 25

Apartat a)

Resultat

A = 0{,}05\ \text{m}

;

f = 25\ \text{Hz}

;

T = 0{,}04\ \text{s}

;

\lambda = 4\ \text{m}

;

v = 100\ \text{m/s}

; sentit positiu de l'eix x

Resolució

Dades. Compara $y = 0{,}05\sin(50\pi t - 0{,}5\pi x + \tfrac{\pi}{2})$ amb $y = A\sin(\omega t - kx + \varphi_0)$ : $A = 0{,}05\ \text{m}$ , $\omega = 50\pi\ \text{rad/s}$ , $k = 0{,}5\pi\ \text{rad/m}$ .
Freqüència i període. $f = \dfrac{\omega}{2\pi} = 25\ \text{Hz}$ ; $T = \dfrac{1}{f} = 0{,}04\ \text{s}$ .
Longitud d'ona i velocitat. $\lambda = \dfrac{2\pi}{k} = 4\ \text{m}$ ; $v = \lambda f = 100\ \text{m/s}$ (o bé $v = \omega/k$ ).
Sentit. Com que $\omega t$ i $kx$ tenen signes contraris, l'ona es propaga en el sentit positiu de l'eix x.

Apartat b)

Resultat

y = 0{,}05\ \text{m}

(elongació màxima positiva)

Resolució

Fase. $50\pi\cdot 0{,}02 - 0{,}5\pi\cdot 2 + \tfrac{\pi}{2} = \pi - \pi + \tfrac{\pi}{2} = \tfrac{\pi}{2}$
Càlcul. $y = 0{,}05\sin\tfrac{\pi}{2} = 0{,}05\ \text{m}$ .
Conclusió. El punt és en l'elongació màxima positiva.

Apartat c)

Resultat

En fase:

\Delta x = 4\ \text{m}

; en oposició de fase:

\Delta x = 2\ \text{m}

Resolució

Condicions. En fase, $\Delta\varphi = 2\pi$ → $\Delta x = \lambda$ ; en oposició, $\Delta\varphi = \pi$ → $\Delta x = \tfrac{\lambda}{2}$ .
Càlcul. En fase: $\Delta x = \lambda = 4\ \text{m}$ . En oposició de fase: $\Delta x = \tfrac{\lambda}{2} = 2\ \text{m}$ .

Apartat d)

Resultat

t = 0{,}04\,n\ \text{s}

(

n = 0, 1, 2,\ldots

t = 0;\ 0{,}04;\ 0{,}08\ \text{s}\ldots

Resolució

Elongació del punt x = 0. $y(0,t) = 0{,}05\sin(50\pi t + \tfrac{\pi}{2})$ , que és màxima quan el sinus val 1.
Condició. $50\pi t + \tfrac{\pi}{2} = \tfrac{\pi}{2} + 2\pi n \;\Rightarrow\; t = \dfrac{2\pi n}{50\pi} = 0{,}04\,n\ \text{s}$
Conclusió. $t = 0\ \text{s},\ 0{,}04\ \text{s},\ 0{,}08\ \text{s}\ldots$ : un cop cada període.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 26

Un cotxe que circula a 72 km/h s'acosta perpendicularment a un mur fent sonar el clàxon, que emet un so de 500 Hz. Dada: velocitat del so a l'aire, 340 m/s.
a) Calcula la freqüència del so que arriba al mur.
b) El mur reflecteix el so. Calcula la freqüència de l'eco que percep el conductor i raona per què és diferent de 500 Hz.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 26

Apartat a)

Resultat

f_1 = 531{,}25\ \text{Hz} \approx 531\ \text{Hz}

Resolució

Dades. $f = 500\ \text{Hz}$ , $v = 340\ \text{m/s}$ , $v_c = 72\ \text{km/h} = 20\ \text{m/s}$ .
Efecte Doppler (font que s'acosta). El mur és un observador en repòs i el cotxe, una font que s'hi acosta: $f_1 = f\,\dfrac{v}{v - v_c}$ .
Càlcul. $f_1 = 500\cdot\dfrac{340}{340 - 20} = 500\cdot\dfrac{340}{320} = 531{,}25\ \text{Hz}$

Apartat b)

Resultat

f_2 = 562{,}5\ \text{Hz}

; és més agut per un doble efecte Doppler.

Resolució

El mur com a font. El mur reflecteix el so amb la freqüència que rep, 531,25 Hz, i actua com una font en repòs.
Efecte Doppler (observador que s'acosta). Ara el conductor és un observador que s'acosta a aquesta font: $f_2 = f_1\,\dfrac{v + v_c}{v} = 531{,}25\cdot\dfrac{360}{340} = 562{,}5\ \text{Hz}$
Interpretació. L'eco és més agut que el so emès perquè hi ha un doble efecte Doppler: primer el cotxe s'acosta al mur (font en moviment) i després el conductor s'acosta al so reflectit (observador en moviment).
Comprovació. $f_2 = f\,\dfrac{v + v_c}{v - v_c} = 500\cdot\dfrac{360}{320} = 562{,}5\ \text{Hz}$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 27

A 5 m d'un altaveu que emet uniformement en totes direccions, un sonòmetre marca 80 dB. Dada: $I_{0}$ = $10^{-12}$ $\text{W/m}^{2}$ .
a) Calcula la intensitat del so en aquest punt.
b) Quin nivell d'intensitat es mesurarà a 20 m de l'altaveu?
c) A quina distància el nivell serà de 60 dB?
d) Si s'engega un segon altaveu idèntic al costat del primer, quin nivell hi haurà a 5 m?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 27

Apartat a)

Resultat

I = 10^{-4}\ \text{W/m}^{2}

Resolució

Nivell d'intensitat sonora. $\beta = 10\log\dfrac{I}{I_0}$ , amb $\beta = 80\ \text{dB}$ .
Càlcul. $80 = 10\log\dfrac{I}{10^{-12}} \;\Rightarrow\; \dfrac{I}{10^{-12}} = 10^{8} \;\Rightarrow\; I = 10^{-4}\ \text{W/m}^{2}$

Apartat b)

Resultat

\beta \approx 68\ \text{dB}

Resolució

Ona esfèrica. La intensitat és inversament proporcional al quadrat de la distància, $I \propto \tfrac{1}{r^{2}}$ .
Intensitat a 20 m. $I_{20} = I_5\left(\dfrac{5}{20}\right)^{2} = \dfrac{10^{-4}}{16} = 6{,}25\cdot10^{-6}\ \text{W/m}^{2}$
Nivell. $\beta = 10\log(6{,}25\cdot10^{6}) \approx 68\ \text{dB}$ .
Conclusió. Cada cop que es dobla la distància, el nivell baixa uns 6 dB.

Apartat c)

Resultat

r = 50\ \text{m}

Resolució

Intensitat a 60 dB. Correspon a $I = 10^{-6}\ \text{W/m}^{2}$ , 100 vegades menys que a 5 m.
Càlcul. Com que $I \propto \tfrac{1}{r^{2}}$ : $r^{2} = 5^{2}\cdot 100 \Rightarrow r = 50\ \text{m}$ .

Apartat d)

Resultat

\beta \approx 83\ \text{dB}

Resolució

Superposició de fonts independents. Les intensitats se sumen: $I = 2\cdot10^{-4}\ \text{W/m}^{2}$ .
Càlcul. $\beta = 10\log(2\cdot10^{8}) = 80 + 10\log 2 \approx 83\ \text{dB}$
Conclusió. Doblar la intensitat només afegeix 3 dB: els decibels no se sumen.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 28

Dues fonts puntuals $F_{1}$ i $F_{2}$ , separades 4 m, emeten en fase ones de 2 cm d'amplitud i 1 m de longitud d'ona que es propaguen per la superfície de l'aigua (suposa que l'amplitud no disminueix amb la distància).
a) Un punt P és a 3 m de $F_{1}$ i a 5 m de $F_{2}$ . Quin tipus d'interferència hi ha a P i amb quina amplitud vibra?
b) Troba quants punts del segment $F_{1}F$ ₂ estan permanentment en repòs (interferència destructiva) i on són.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 28

Apartat a)

Resultat

Interferència constructiva; amplitud

A = 4\ \text{cm}

Resolució

Dades. Fonts en fase, $\lambda = 1\ \text{m}$ , amplitud de cada ona 2 cm; $r_1 = 3\ \text{m}$ , $r_2 = 5\ \text{m}$ .
Diferència de camins. $\Delta r = 5 - 3 = 2\ \text{m} = 2\lambda$ , un nombre enter de longituds d'ona.
Conclusió. Les ones arriben en fase i la interferència és constructiva: l'amplitud resultant és $A = 2 + 2 = 4\ \text{cm}$ .

Apartat b)

Resultat

8 punts en repòs, a

x = 0{,}25;\ 0{,}75;\ 1{,}25;\ 1{,}75;\ 2{,}25;\ 2{,}75;\ 3{,}25

3{,}75\ \text{m}

F_1

Resolució

Plantejament. Sigui x la distància d'un punt del segment a $F_1$ ; la seva distància a $F_2$ és $4 - x$ i $\Delta r = (4 - x) - x = 4 - 2x$ .
Interferència destructiva. $\Delta r = (2n + 1)\tfrac{\lambda}{2}$ , amb $\tfrac{\lambda}{2} = 0{,}5\ \text{m}$ : $4 - 2x = \pm 0{,}5;\ \pm 1{,}5;\ \pm 2{,}5;\ \pm 3{,}5$
Càlcul. $x = 0{,}25;\ 0{,}75;\ 1{,}25;\ 1{,}75;\ 2{,}25;\ 2{,}75;\ 3{,}25$ i $3{,}75\ \text{m}$ .
Conclusió. Hi ha 8 punts en repòs (nodes), separats $\tfrac{\lambda}{2} = 0{,}5\ \text{m}$ entre ells, com en una ona estacionària. No n'hi ha més perquè, sobre el segment, $|\Delta r|$ no pot superar els 4 m de separació entre les fonts.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 29

Un so de 1000 Hz passa de l'aire, on es propaga a 340 m/s, a l'aigua, on ho fa a 1500 m/s.
a) Calcula la longitud d'ona a cada medi.
b) Si l'angle d'incidència és de 10°, calcula l'angle de refracció.
c) Calcula l'angle límit a partir del qual el so es reflecteix totalment a la superfície i explica per què, des de dins de l'aigua, gairebé no se senten els sons de fora.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 29

Apartat a)

Resultat

\lambda_{\text{aire}} = 0{,}34\ \text{m}

;

\lambda_{\text{aigua}} = 1{,}5\ \text{m}

Resolució

La freqüència es conserva. En canviar de medi, $f = 1000\ \text{Hz}$ no varia; canvien v i λ.
Càlcul. $\lambda_{\text{aire}} = \dfrac{340}{1000} = 0{,}34\ \text{m}$ ; $\lambda_{\text{aigua}} = \dfrac{1500}{1000} = 1{,}5\ \text{m}$ .

Apartat b)

Resultat

\theta_2 \approx 50^\circ

Resolució

Llei de Snell per a ones. $\dfrac{\sin\theta_1}{v_1} = \dfrac{\sin\theta_2}{v_2}$ .
Càlcul. $\sin\theta_2 = \sin 10^\circ\cdot\dfrac{1500}{340} = 0{,}1736\cdot 4{,}41 = 0{,}766 \;\Rightarrow\; \theta_2 \approx 50^\circ$
Conclusió. El so s'allunya de la normal perquè passa a un medi on va més ràpid.

Apartat c)

Resultat

\theta_L \approx 13{,}1^\circ

; el so que arriba amb un angle més gran es reflecteix totalment i no entra a l'aigua.

Resolució

Angle límit. És l'angle d'incidència per al qual $\theta_2 = 90^\circ$ : $\sin\theta_L = \dfrac{v_1}{v_2} = \dfrac{340}{1500} = 0{,}227 \;\Rightarrow\; \theta_L \approx 13{,}1^\circ$
Interpretació. Només el so que arriba a la superfície amb un angle d'incidència inferior a 13° entra a l'aigua; tota la resta es reflecteix totalment. Per això, sota l'aigua, els sons exteriors arriben molt atenuats.
Conclusió. Fixa't que la reflexió total es produeix sempre en passar al medi on l'ona va més de pressa (per a la llum, el medi d'índex de refracció més petit).

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 30

L'extrem d'una corda llarga oscil·la amb un moviment harmònic simple d'amplitud 2 cm i freqüència 10 Hz, i genera una ona que es propaga a 4 m/s en el sentit positiu de l'eix x. L'extrem (x = 0) comença a oscil·lar en l'instant t = 0, i en aquest instant és en l'elongació màxima positiva.
a) Escriu l'equació de l'ona.
b) Calcula l'elongació del punt x = 0,15 m en l'instant t = 0,05 s.
c) En quin instant el punt x = 1 m assoleix per primera vegada l'elongació màxima positiva?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 30

Apartat a)

Resultat

y(x,t) = 0{,}02\sin\!\left(20\pi t - 5\pi x + \tfrac{\pi}{2}\right) = 0{,}02\cos(20\pi t - 5\pi x)

(SI)

Resolució

Dades. $A = 0{,}02\ \text{m}$ , $f = 10\ \text{Hz}$ , $v = 4\ \text{m/s}$ , sentit positiu de l'eix x; a t = 0 l'extrem és a $y = +A$ .
Paràmetres. $\omega = 2\pi f = 20\pi\ \text{rad/s};\quad \lambda = \dfrac{v}{f} = 0{,}4\ \text{m};\quad k = \dfrac{2\pi}{\lambda} = 5\pi\ \text{rad/m}$
Fase inicial. Ha de complir $y(0,0) = A$ : $\sin\varphi_0 = 1 \Rightarrow \varphi_0 = \tfrac{\pi}{2}\ \text{rad}$ .
Equació. $y(x,t) = 0{,}02\sin\!\left(20\pi t - 5\pi x + \tfrac{\pi}{2}\right)$ que també es pot escriure $y = 0{,}02\cos(20\pi t - 5\pi x)$ .

Apartat b)

Resultat

y \approx 0{,}014\ \text{m}

(1,4 cm)

Resolució

L'ona ja hi ha arribat? Hi triga $\dfrac{x}{v} = \dfrac{0{,}15}{4} = 0{,}0375\ \text{s} < 0{,}05\ \text{s}$ : sí.
Fase. $20\pi\cdot 0{,}05 - 5\pi\cdot 0{,}15 + \tfrac{\pi}{2} = \pi - 0{,}75\pi + 0{,}5\pi = 0{,}75\pi$
Càlcul. $y = 0{,}02\sin(0{,}75\pi) = 0{,}02\cdot 0{,}707 \approx 0{,}014\ \text{m}$ (1,4 cm).

Apartat c)

Resultat

t = 0{,}25\ \text{s}

Resolució

Arribada de la pertorbació. Com que l'extrem comença a oscil·lar a t = 0, l'ona arriba a x = 1 m en $t = \dfrac{x}{v} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25\ \text{s}$ ; abans, el punt encara no s'ha mogut.
Fase en aquest instant. $20\pi\cdot 0{,}25 - 5\pi + \tfrac{\pi}{2} = \tfrac{\pi}{2}$ : el punt comença a vibrar justament amb l'elongació màxima positiva, igual que ho va fer l'extrem en t = 0.
Comprovació. La condició $\sin(20\pi t - 5\pi + \tfrac{\pi}{2}) = 1$ dona $t = 0{,}25 + 0{,}1\,n\ \text{s}$ ; el primer valor possible, un cop l'ona hi ha arribat, és 0,25 s.
Conclusió. Per tant, $t = 0{,}25\ \text{s}$ . Fixa't que, si l'ona ja estigués establerta a tota la corda abans de t = 0, el primer màxim seria a t = 0,05 s: per això cal saber quan comença l'oscil·lació.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preparat per a la universitat

Els exercicis més exigents: nivell PAU alt i primer curs de grau. Veure totes les matèries

Exercici 31

Una lutier de Vic ajusta la corda de Mi agut (Mi₄) d'una guitarra elèctrica. La corda és d'acer, té un diàmetre de 0,25 mm i la longitud vibrant entre la celleta i el pont és de 64,8 cm. Quan vibra en el mode fonamental ha de sonar a 329,6 Hz.
a) Calcula la densitat lineal de massa de la corda i la tensió a què s'ha de tensar.
b) El guitarrista prem la corda al cinquè trast i la nota puja exactament cinc semitons (cada semitò multiplica la freqüència per 2^{$\tfrac{1}{12}$}). Calcula la nova freqüència i a quina distància de la celleta ha d'estar el cinquè trast. Raona per què la tensió i la velocitat de propagació no canvien en prémer la corda.
c) Amb la calor de l'escenari la tensió augmenta un 2,0 %. Calcula la nova freqüència fonamental i interpreta si el canvi és audible, sabent que l'oïda entrenada distingeix variacions d'uns 5 cents (1 semitò = 100 cents; l'interval en cents entre f₁ i f₂ és 1200·log₂(f₂/f₁)).
Dades: densitat de l'acer, ρ = 7850 $\text{kg/m}^{3}$ .

Pista 1

La densitat lineal és la massa per unitat de longitud: pensa en un cilindre d'acer d'1 m de llargada i de la secció de la corda.

Pista 2

En el mode fonamental d'una corda fixada pels dos extrems, la longitud de la corda és mitja longitud d'ona. La velocitat de propagació depèn de la tensió i de la densitat lineal.

Pista 3

Prémer la corda només canvia la longitud que vibra; per a l'apartat c), escriu com depèn f de la tensió i fes el quocient entre les dues freqüències.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 31

Apartat a)

Resultat

\mu \approx 3{,}85\cdot10^{-4}\ \text{kg/m}

;

T \approx 70{,}3\ \text{N}

Resolució

Dades. Diàmetre $d = 0{,}25\ \text{mm}$ (radi $1{,}25\cdot10^{-4}\ \text{m}$ ), $L = 0{,}648\ \text{m}$ , $f_1 = 329{,}6\ \text{Hz}$ , $\rho = 7850\ \text{kg/m}^{3}$ .
Densitat lineal. És la massa per unitat de longitud: densitat per secció. $\mu = \rho S = \rho\,\pi\left(\tfrac{d}{2}\right)^{2} = 7850\cdot\pi\cdot(1{,}25\cdot10^{-4})^{2} \approx 3{,}85\cdot10^{-4}\ \text{kg/m}$
Velocitat de l'ona. En el fonamental $\lambda_1 = 2L$ , de manera que $v = \lambda_1 f_1 = 2\cdot 0{,}648\cdot 329{,}6 \approx 427\ \text{m/s}$
Tensió. Com que $v = \sqrt{T/\mu}$ : $T = \mu v^{2} = 3{,}85\cdot10^{-4}\cdot 427^{2} \approx 70{,}3\ \text{N}$ equivalent a penjar-hi uns 7 kg.

Apartat b)

Resultat

f' \approx 440\ \text{Hz}

(La₄); el cinquè trast és a

\approx 16{,}3\ \text{cm}

de la celleta. T i v no canvien perquè no canvien ni la tensió ni el material.

Resolució

Nova freqüència. Cinc semitons: $f' = 329{,}6\cdot 2^{5/12} \approx 440\ \text{Hz}$ , que és el La₄ de referència, el que s'utilitza per afinar.
Què no canvia. La tensió la fixa la clavilla i la densitat lineal és la del material, per tant $v = \sqrt{T/\mu}$ no canvia: el que canvia és la longitud vibrant.
Longitud vibrant. Com que $f = \dfrac{v}{2L}$ , la freqüència és inversament proporcional a la longitud: $L' = L\,\dfrac{f}{f'} = 0{,}648\cdot 2^{-5/12} \approx 0{,}485\ \text{m}$
Posició del trast. $0{,}648 - 0{,}485 \approx 0{,}163\ \text{m}$ : el cinquè trast és a 16,3 cm de la celleta.

Apartat c)

Resultat

f'' \approx 332{,}9\ \text{Hz}

; l'interval és d'uns 17 cents, clarament audible.

Resolució

Dependència amb la tensió. Amb L i μ constants, $f = \dfrac{1}{2L}\sqrt{\dfrac{T}{\mu}} \propto \sqrt{T}$ .
Nova freqüència. $f'' = 329{,}6\cdot\sqrt{1{,}020} \approx 332{,}9\ \text{Hz}$ .
Interval en cents. $1200\log_2\sqrt{1{,}020} = 600\log_2 1{,}020 \approx 17\ \text{cents}$
Interpretació. És més de tres vegades el llindar de 5 cents (gairebé un sisè de semitò): la guitarra se sent clarament desafinada. Per això els músics tornen a afinar entre peces quan canvia la temperatura de l'escenari.

Errors típics

Fer servir el diàmetre en lloc del radi (o oblidar passar els mil·límetres a metres) en calcular la secció: la densitat lineal surt quatre vegades massa gran o $10^{6}$ vegades errònia.
Pensar que en prémer la corda canvia la velocitat de l'ona: canvia la longitud vibrant i, per tant, λ; v només depèn de T i μ.
Suposar que la freqüència és proporcional a la tensió: és proporcional a l'arrel quadrada de la tensió.

Conceptes treballats: ones estacionàries en una corda, mode fonamental, velocitat de propagació en funció de la tensió i la densitat lineal, relació entre freqüència i longitud vibrant, escala musical i cents.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 32

Al laboratori, un vibrador mecànic fa oscil·lar transversalment l'extrem x = 0 d'una corda llarga de densitat lineal 0,050 kg/m tensada amb una força de 80 N. L'oscil·lació té una freqüència de 25 Hz i una amplitud d'1,5 cm. Un sensor indica que a t = 0 l'extrem és a y = +0,75 cm i s'està movent cap avall. L'ona avança en el sentit positiu de l'eix X i no hi ha reflexions.
a) Calcula la velocitat de propagació, la longitud d'ona, el nombre d'ona i la freqüència angular.
b) Escriu l'equació de l'ona de la forma y(x, t) = A·sin(ω·t − k·x + $φ_{0}$ ) i justifica el valor de la fase inicial $φ_{0}$ (n'hi ha dos de possibles amb el mateix sinus: raona quin és el correcte).
c) Calcula la velocitat transversal màxima d'un punt de la corda i compara-la amb la velocitat de propagació. Interpreta per què són magnituds diferents.
d) Calcula la diferència de fase entre dos punts de la corda separats 40 cm i descriu què fa un quan l'altre és a la posició d'equilibri.

Pista 1

La velocitat de l'ona la fixen les propietats de la corda (tensió i densitat lineal), no el vibrador; el vibrador fixa la freqüència.

Pista 2

A t = 0 i x = 0 l'equació dona y = A·sin $φ_{0}$ i la velocitat transversal és A·ω·cos $φ_{0}$ . El signe d'aquesta velocitat et dirà quin dels dos angles has de triar.

Pista 3

La diferència de fase entre dos punts en el mateix instant és k·Δx.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 32

Apartat a)

Resultat

v = 40\ \text{m/s}

;

\lambda = 1{,}6\ \text{m}

;

k = 1{,}25\pi \approx 3{,}93\ \text{rad/m}

;

\omega = 50\pi \approx 157\ \text{rad/s}

Resolució

Dades. $\mu = 0{,}050\ \text{kg/m}$ , $T = 80\ \text{N}$ , $f = 25\ \text{Hz}$ , $A = 0{,}015\ \text{m}$ .
Velocitat en una corda. La fixen la tensió i la densitat lineal: $v = \sqrt{\dfrac{T}{\mu}} = \sqrt{\dfrac{80}{0{,}050}} = 40\ \text{m/s}$
Càlcul. $\lambda = \dfrac{v}{f} = \dfrac{40}{25} = 1{,}6\ \text{m}$ ; $k = \dfrac{2\pi}{\lambda} = 1{,}25\pi \approx 3{,}93\ \text{rad/m}$ ; $\omega = 2\pi f = 50\pi \approx 157\ \text{rad/s}$ .

Apartat b)

Resultat

y(x,t) = 0{,}015\sin\!\left(50\pi t - 1{,}25\pi x + \tfrac{5\pi}{6}\right)

(SI), amb

\varphi_0 = \tfrac{5\pi}{6}

Resolució

Condició de posició. A x = 0 i t = 0: $0{,}015\sin\varphi_0 = 0{,}0075 \Rightarrow \sin\varphi_0 = 0{,}5$ , que té dues solucions entre 0 i 2π: $\tfrac{\pi}{6}$ i $\tfrac{5\pi}{6}$ .
Condició de velocitat. La velocitat transversal és $v_y = \dfrac{\partial y}{\partial t} = A\omega\cos(\omega t - kx + \varphi_0)$ , que a l'origen i t = 0 val $A\omega\cos\varphi_0$ . Com que l'extrem baixa, $v_y < 0 \Rightarrow \cos\varphi_0 < 0 \Rightarrow \varphi_0 = \tfrac{5\pi}{6}$ .
Equació. $y(x,t) = 0{,}015\sin\!\left(50\pi t - 1{,}25\pi x + \tfrac{5\pi}{6}\right)\ \text{(SI)}$

Apartat c)

Resultat

v_{y,\max} \approx 2{,}36\ \text{m/s}

, unes 17 vegades menys que

v = 40\ \text{m/s}

Resolució

Velocitat transversal màxima. Cada punt fa un MHS: $v_{y,\max} = A\omega = 0{,}015\cdot 50\pi \approx 2{,}36\ \text{m/s}$ .
Comparació. És unes 17 vegades més petita que la velocitat de propagació (40 m/s).
Interpretació. Són dues coses diferents: la velocitat de propagació és la rapidesa amb què avança la pertorbació (i l'energia) al llarg de la corda i és constant; la velocitat transversal és la de cada tros de corda que puja i baixa al seu lloc amb un MHS, i depèn de l'amplitud i de la freqüència, no de la tensió.

Apartat d)

Resultat

\Delta\varphi = \tfrac{\pi}{2}\ \text{rad}

(quadratura): quan un és a l'equilibri, l'altre és en un extrem.

Resolució

Diferència de fase espacial. $\Delta\varphi = k\,\Delta x = 1{,}25\pi\cdot 0{,}40 = 0{,}5\pi\ \text{rad} = \tfrac{\pi}{2}$ .
Interpretació. Els punts estan en quadratura: quan un passa per la posició d'equilibri (amb velocitat màxima), l'altre és en un extrem (y = ±1,5 cm, velocitat nul·la).

Errors típics

Triar φ₀ = π/6 sense comprovar el sentit del moviment: dues fases amb el mateix sinus donen el mateix desplaçament però velocitats de sentit contrari.
Confondre la velocitat de propagació de l'ona amb la velocitat de vibració dels punts de la corda.
Calcular la diferència de fase amb ω·Δx o oblidar que k està en rad/m.

Conceptes treballats: equació d'una ona harmònica, fase inicial, velocitat de propagació en una corda, velocitat transversal, diferència de fase i quadratura.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 33

En un concert a la plaça Major de Vic, un sonòmetre situat a 10 m d'un conjunt d'altaveus (que es pot tractar com una font puntual que emet uniformement en totes direccions) marca 100 dB.
a) Calcula la intensitat a 10 m i la potència acústica total que emeten els altaveus.
b) Es recomana que el públic no estigui exposat a més de 85 dB durant molta estona. A quina distància mínima s'hauria de col·locar la primera fila?
c) Al costat dels altaveus hi ha un generador elèctric que, tot sol, produeix 95 dB al punt on és el sonòmetre. Quin nivell marcarà el sonòmetre amb el concert i el generador funcionant alhora? Raona per què el resultat no és 195 dB ni la mitjana.
d) Calcula el nivell d'intensitat que arribaria, segons aquest model, a un veí situat a 300 m. A la realitat el nivell mesurat és més baix: raona dues causes que el model no té en compte.
Dades: $I_{0}$ = 1,0· $10^{-12}$ $\text{W/m}^{2}$ .

Pista 1

Passa de decibels a intensitat amb la definició del nivell d'intensitat; la potència es reparteix sobre una superfície esfèrica.

Pista 2

Les intensitats de fonts independents es poden sumar; els decibels, no.

Pista 3

Si la intensitat és inversament proporcional a $r^{2}$ , multiplicar la distància per un factor N fa baixar el nivell 20·log N decibels.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 33

Apartat a)

Resultat

I = 1{,}0\cdot10^{-2}\ \text{W/m}^{2}

;

P \approx 13\ \text{W}

Resolució

Intensitat. De la definició del nivell: $100 = 10\log\dfrac{I}{I_0} \;\Rightarrow\; I = 10^{10}\cdot 10^{-12} = 1{,}0\cdot10^{-2}\ \text{W/m}^{2}$
Potència. La potència es reparteix per una esfera de radi 10 m: $P = I\cdot 4\pi r^{2} = 1{,}0\cdot10^{-2}\cdot 4\pi\cdot 100 \approx 13\ \text{W}$
Interpretació. És una potència acústica modesta: la major part de l'energia elèctrica d'un equip de so es dissipa en calor.

Apartat b)

Resultat

r' \approx 56\ \text{m}

Resolució

Intensitat a 85 dB. $I' = 10^{8{,}5}\cdot 10^{-12} \approx 3{,}2\cdot10^{-4}\ \text{W/m}^{2}$ .
Llei de l'invers del quadrat. Com que $I \propto \tfrac{1}{r^{2}}$ : $r' = r\sqrt{\dfrac{I}{I'}} = 10\sqrt{\dfrac{1{,}0\cdot10^{-2}}{3{,}2\cdot10^{-4}}} = 10\cdot 10^{0{,}75} \approx 56\ \text{m}$
Interpretació. Baixar 15 dB vol dir dividir la intensitat per $10^{1{,}5} \approx 32$ , i per això cal multiplicar la distància per $\sqrt{32} \approx 5{,}6$ .

Apartat c)

Resultat

\beta \approx 101\ \text{dB}

Resolució

Intensitat del generador. $I_g = 10^{9{,}5}\cdot 10^{-12} \approx 3{,}2\cdot10^{-3}\ \text{W/m}^{2}$ .
Superposició de fonts independents. Les dues fonts no són coherents, així que les intensitats se sumen: $I_{\text{tot}} = 1{,}0\cdot10^{-2} + 3{,}2\cdot10^{-3} = 1{,}32\cdot10^{-2}\ \text{W/m}^{2} \;\Rightarrow\; \beta = 10\log(1{,}32\cdot10^{10}) \approx 101\ \text{dB}$
Per què no 195 dB ni la mitjana. L'escala de decibels és logarítmica: sumar dB equivaldria a multiplicar intensitats. El generador només aporta un 32 % més d'intensitat, que són 1,2 dB: el so més fort domina.

Apartat d)

Resultat

\beta \approx 70\ \text{dB}

; a la realitat és menor per l'absorció de l'aire i els obstacles (i la directivitat dels altaveus).

Resolució

Atenuació amb la distància. Si $I \propto \tfrac{1}{r^{2}}$ , multiplicar la distància per N fa baixar el nivell $20\log N$ dB. De 10 m a 300 m, N = 30.
Càlcul. $\beta = 100 - 20\log 30 = 100 - 29{,}5 \approx 70\ \text{dB}$ .
Limitacions del model. A la realitat se sent menys perquè l'aire absorbeix energia (sobretot dels aguts) i els edificis fan d'obstacle i reflecteixen el so; a més, els altaveus de concert són direccionals i no emeten igual en totes direccions.

Errors típics

Sumar els decibels de dues fonts (95 + 100) en lloc de sumar les intensitats.
Fer servir I ∝ $\tfrac{1}{r}$ en lloc de $\tfrac{1}{r^{2}}$ per a una font puntual en tres dimensions.
Oblidar el factor 4π· $r^{2}$ (àrea de l'esfera) en calcular la potència.

Conceptes treballats: intensitat d'una ona esfèrica, nivell d'intensitat sonora (dB), superposició de fonts incoherents, atenuació amb la distància, limitacions del model de font puntual.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 34

Un ecògraf mèdic emet polsos d'ultrasons de 5,0 MHz que es propaguen pels teixits tous a 1540 m/s.
a) Calcula la longitud d'ona als teixits tous. Sabent que, a grans trets, no es poden distingir detalls més petits que una longitud d'ona, raona per què en ecografia s'utilitzen freqüències de megahertz i no sons audibles.
b) En explorar un ronyó, l'eco de la paret posterior arriba 65 µs després de l'eco de la paret anterior. Quin gruix té l'òrgan en aquella direcció?
c) Una part del feix arriba a un os, on el so es propaga a 4080 m/s. Calcula la freqüència i la longitud d'ona dins l'os i raona quina magnitud es manté en canviar de medi.
d) Per formar la imatge, cada pols s'ha de rebre abans d'emetre el següent. Si es vol explorar fins a 15 cm de profunditat, quin és el nombre màxim de polsos per segon?
e) Abans de l'exploració s'aplica un gel entre la sonda i la pell. Explica'n la funció.

Pista 1

La longitud d'ona s'obté de la velocitat de propagació i la freqüència. Per a l'apartat b), pensa quina distància recorre el pols entre els dos ecos.

Pista 2

Quan una ona canvia de medi, la font continua imposant el mateix ritme d'oscil·lació.

Pista 3

El temps entre polsos ha de ser, com a mínim, el temps d'anada i tornada fins a la profunditat màxima.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 34

Apartat a)

Resultat

\lambda \approx 3{,}1\cdot10^{-4}\ \text{m} = 0{,}31\ \text{mm}

; amb sons audibles λ seria de l'ordre del metre i no es veuria cap detall.

Resolució

Longitud d'ona. $\lambda = \dfrac{v}{f} = \dfrac{1540}{5{,}0\cdot10^{6}} \approx 3{,}1\cdot10^{-4}\ \text{m} = 0{,}31\ \text{mm}$
Comparació amb un so audible. Un so d'1 kHz tindria $\lambda \approx 1{,}5\ \text{m}$ als teixits, molt més gran que els òrgans: no se'n podria veure cap detall.
Conclusió. Amb megahertz, λ és de dècimes de mil·límetre i la resolució és bona (a canvi, els ultrasons d'alta freqüència s'atenuen més i penetren menys).

Apartat b)

Resultat

d \approx 5{,}0\ \text{cm}

Resolució

Plantejament. El pols que es reflecteix a la paret posterior recorre el gruix d dues vegades (anada i tornada) més que el de la paret anterior: $2d = v\,\Delta t$ .
Càlcul. $d = \dfrac{1540\cdot 65\cdot10^{-6}}{2} \approx 5{,}0\cdot10^{-2}\ \text{m} = 5{,}0\ \text{cm}$
Comprovació. És un valor raonable per a un ronyó adult.

Apartat c)

Resultat

f = 5{,}0\ \text{MHz}

(es manté);

\lambda_{\text{os}} \approx 8{,}2\cdot10^{-4}\ \text{m} = 0{,}82\ \text{mm}

Resolució

La freqüència es conserva. La fixa l'emissor i no canvia en passar d'un medi a un altre: $f = 5{,}0\ \text{MHz}$ .
Longitud d'ona a l'os. La velocitat sí que canvia, i amb ella λ: $\lambda_{\text{os}} = \dfrac{4080}{5{,}0\cdot10^{6}} \approx 8{,}2\cdot10^{-4}\ \text{m} = 0{,}82\ \text{mm}$
Conclusió. És unes 2,6 vegades més gran que als teixits tous, en la mateixa proporció que la velocitat.

Apartat d)

Resultat

Uns

5{,}1\cdot10^{3}

polsos per segon

Resolució

Temps d'anada i tornada. Fins a 15 cm: $t = \dfrac{2\cdot 0{,}15}{1540} \approx 1{,}95\cdot10^{-4}\ \text{s}$ .
Càlcul. El temps entre polsos ha de ser, com a mínim, t: $\dfrac{1}{t} \approx 5{,}1\cdot10^{3}$ polsos per segon.
Interpretació. Si s'emetessin més de pressa, un eco profund es confondria amb l'eco proper del pols següent.

Apartat e)

Resultat

El gel elimina la capa d'aire entre la sonda i la pell, on gairebé tot l'ultrasò es reflectiria.

Resolució

Sense gel. Entre la sonda i la pell hi quedaria una capa d'aire. La diferència entre l'aire i els teixits és tan gran que gairebé tot l'ultrasò es reflectiria a la superfície i no entraria al cos.
Funció del gel. Té propietats acústiques semblants a les dels teixits i elimina aquesta capa d'aire, de manera que l'ultrasò pot entrar al cos.

Errors típics

Oblidar dividir per 2: el temps mesurat correspon a l'anada i la tornada del pols.
Pensar que, en passar a l'os, canvia la freqüència: canvien la velocitat i la longitud d'ona.
Confondre microsegons i mil·lisegons en els temps d'eco.

Conceptes treballats: relació v = λ·f, refracció d'ones (la freqüència es conserva), reflexió i temps de vol, resolució i longitud d'ona, aplicacions mèdiques dels ultrasons.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 35

Un sismògraf de Vic registra un terratrèmol: les primeres ones P (longitudinals) arriben a les 03:12:40,0 i les primeres ones S (transversals) hi arriben 12,0 s més tard. A l'escorça, les ones P es propaguen a 6,0 km/s i les S a 3,5 km/s.
a) Raona per què arriben primer les ones P i calcula la distància entre el sismògraf i el focus del terratrèmol.
b) A quina hora es va produir el terratrèmol?
c) Amb un sol sismògraf, què saps i què no saps de la localització del focus? Explica com es determina l'epicentre amb diverses estacions.
d) Les ones S no travessen el nucli extern de la Terra. Què en dedueixes sobre l'estat físic del nucli extern? Justifica-ho amb el tipus d'ona.
e) Si l'ona S té una freqüència de 2,0 Hz, quina longitud d'ona té? Suposant que les ones de volum s'escampen com ones esfèriques sense absorció, quant es redueix l'amplitud en una estació situada al doble de distància?

Pista 1

Escriu el temps que triga cada tipus d'ona a recórrer la mateixa distància d i imposa que la diferència sigui de 12,0 s.

Pista 2

Les ones transversals necessiten que el medi tingui rigidesa per poder-se propagar.

Pista 3

Per a una ona esfèrica, la intensitat és inversament proporcional a $r^{2}$ i és proporcional al quadrat de l'amplitud.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 35

Apartat a)

Resultat

Les P són més ràpides;

d \approx 1{,}0\cdot10^{2}\ \text{km}

(100,8 km)

Resolució

Per què arriben primer les P. Les ones P són longitudinals (compressions) i es propaguen més de pressa que les S en qualsevol sòlid.
Plantejament. Per a la mateixa distància d: $t_S - t_P = \dfrac{d}{v_S} - \dfrac{d}{v_P} = 12{,}0\ \text{s}$
Càlcul. $d = \dfrac{12{,}0}{\tfrac{1}{3{,}5} - \tfrac{1}{6{,}0}} = \dfrac{12{,}0}{0{,}119} \approx 1{,}0\cdot10^{2}\ \text{km}\ (100{,}8\ \text{km})$

Apartat b)

Resultat

A les 03:12:23,2

Resolució

Temps de viatge de les P. $\dfrac{d}{v_P} = \dfrac{100{,}8}{6{,}0} = 16{,}8\ \text{s}$ (les S han trigat 28,8 s).
Càlcul. L'hora d'arribada coneguda és la de les P: 03:12:40,0 − 16,8 s = 03:12:23,2.

Apartat c)

Resultat

Un sol sismògraf només dona la distància (una esfera de ~101 km de radi); amb tres estacions es troba l'epicentre per triangulació.

Resolució

Una estació. Només dona la distància: el focus és en algun punt d'una esfera de 101 km de radi centrada al sismògraf (a la superfície, en una circumferència). No en saps la direcció.
Diverses estacions. Amb tres estacions, les tres circumferències es tallen en un sol punt, l'epicentre (triangulació); amb més estacions es pot estimar també la profunditat.

Apartat d)

Resultat

El nucli extern és líquid: les ones S (transversals) no es propaguen en líquids.

Resolució

Tipus d'ona. Les ones S són transversals: el medi s'ha de deformar per cisallament i recuperar-se, cosa que només passa en sòlids.
Líquids. Els líquids no tenen rigidesa de cisallament i no transmeten ones S.
Conclusió. Que les S no travessin el nucli extern indica que aquest és líquid (així es va deduir a principis del segle XX).

Apartat e)

Resultat

\lambda \approx 1{,}8\cdot10^{3}\ \text{m}

(1,75 km); al doble de distància l'amplitud es redueix a la meitat.

Resolució

Longitud d'ona. $\lambda = \dfrac{v_S}{f} = \dfrac{3{,}5\cdot10^{3}}{2{,}0} \approx 1{,}8\cdot10^{3}\ \text{m}$ (1,75 km).
Ona esfèrica. Si $I \propto \tfrac{1}{r^{2}}$ i $I \propto A^{2}$ , aleshores $A \propto \tfrac{1}{r}$ .
Conclusió. Al doble de distància l'amplitud es redueix a la meitat (i la intensitat a una quarta part). A la realitat l'absorció del terreny la redueix encara més.

Errors típics

Calcular la distància com d = v·Δt amb una sola velocitat, o amb la diferència de velocitats (v_P − v_S)·12.
Restar el temps de les ones S en lloc del de les P per trobar l'hora del terratrèmol, quan l'hora d'arribada coneguda és la de les P.
Dir que l'amplitud és inversament proporcional a r²: ho és la intensitat; l'amplitud ho és a r.

Conceptes treballats: ones longitudinals i transversals, velocitat de propagació, temps de vol, triangulació, intensitat i amplitud d'una ona esfèrica, estructura interna de la Terra.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 36

Una flauta de bambú es pot modelitzar com un tub de 60,0 cm obert pels dos extrems. Al començament d'un assaig la temperatura de l'aire dins del tub és de 20 °C, i la velocitat del so ve donada per v = 331 + 0,60·T_C (v en m/s i T_C en graus Celsius).
a) Calcula la velocitat del so a 20 °C i la freqüència fonamental de la flauta. Quines freqüències dels harmònics superiors pot produir?
b) Si es tapa un dels extrems, quina és la nova freqüència fonamental? Raona, amb la condició de nodes i ventres als extrems, quins harmònics desapareixen.
c) Després d'una estona tocant, l'alè escalfa l'aire de dins del tub fins a 35 °C. Quina freqüència fonamental té ara la flauta oberta? Per tornar a la freqüència inicial, el flautista ha d'allargar o escurçar el tub, i quant?
d) Una corda de violí afinada amb la flauta a 20 °C no canvia gaire amb la temperatura. Què sentirà el públic al final de l'assaig si no reafinen?

Pista 1

En un tub obert pels dos extrems hi ha ventres de desplaçament als dos extrems; en un tub tancat per un extrem, hi ha un node a l'extrem tancat.

Pista 2

Dibuixa el fonamental de cada tub i compara la longitud del tub amb la longitud d'ona.

Pista 3

Si la freqüència del tub és proporcional a v/L, per mantenir f constant quan v augmenta, L ha d'augmentar en la mateixa proporció.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 36

Apartat a)

Resultat

v = 343\ \text{m/s}

;

f_1 \approx 286\ \text{Hz}

; tots els harmònics: 572, 858, 1144 Hz…

Resolució

Velocitat del so. $v = 331 + 0{,}60\cdot 20 = 343\ \text{m/s}$ .
Tub obert pels dos extrems. Hi ha ventres als dos extrems i el fonamental té $L = \tfrac{\lambda_1}{2}$ : $f_1 = \dfrac{v}{2L} = \dfrac{343}{2\cdot 0{,}600} \approx 286\ \text{Hz}$
Harmònics. Hi ha tots els harmònics, $f_n = n f_1$ : 572 Hz, 858 Hz, 1144 Hz…

Apartat b)

Resultat

f'_1 \approx 143\ \text{Hz}

(una octava per sota); desapareixen els harmònics parells.

Resolució

Tub tancat per un extrem. Node a l'extrem tancat i ventre a l'obert: el fonamental té $L = \tfrac{\lambda}{4}$ , de manera que $f'_1 = \dfrac{v}{4L} = \dfrac{343}{2{,}40} \approx 143\ \text{Hz}$ una octava per sota.
Harmònics possibles. Només hi caben configuracions amb un node i un ventre als extrems, $L = (2n - 1)\tfrac{\lambda}{4}$ : només hi ha harmònics senars, 143, 429, 715 Hz…
Conclusió. Desapareixen els harmònics parells.

Apartat c)

Resultat

f_1' \approx 293\ \text{Hz}

; cal allargar el tub fins a 0,616 m, uns 1,6 cm.

Resolució

Nova velocitat. A 35 °C: $v' = 331 + 0{,}60\cdot 35 = 352\ \text{m/s}$ .
Nova freqüència. $f_1' = \dfrac{352}{1{,}200} \approx 293\ \text{Hz}$ , un 2,6 % més aguda.
Reafinar. Com que $f \propto \tfrac{v}{L}$ , per recuperar 286 Hz L ha d'augmentar en la mateixa proporció que v: $L' = L\,\dfrac{v'}{v} = 0{,}600\cdot\dfrac{352}{343} \approx 0{,}616\ \text{m}$
Conclusió. Cal allargar el tub uns 1,6 cm. Per això les flautes tenen una peça que llisca, el cap, que permet ajustar-ne la llargada per afinar.

Apartat d)

Resultat

La flauta sonarà més aguda que el violí (293 Hz davant 286 Hz) i se sentiran uns 7 o 8 batecs per segon: desafinats.

Resolució

Comparació. La corda del violí continua a uns 286 Hz, mentre que la flauta ha pujat a 293 Hz.
Batecs. Dues freqüències tan properes produeixen batecs, de freqüència igual a la diferència: unes 7 o 8 oscil·lacions d'intensitat per segon.
Conclusió. El públic sentirà els instruments desafinats entre ells.

Errors típics

Aplicar la fórmula del tub tancat (v/4L) a un tub obert pels dos extrems.
Creure que en escalfar-se la flauta canvia la freqüència perquè el tub es dilata: l'efecte principal és l'augment de la velocitat del so a l'aire.
Dir que el tub tancat té tots els harmònics: només en té de senars.

Conceptes treballats: ones estacionàries en tubs oberts i tancats, harmònics, dependència de la velocitat del so amb la temperatura, afinació d'instruments, batecs.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 37

En una sala de proves acústiques, dos altaveus petits A i B, separats 3,00 m, estan connectats al mateix amplificador i emeten en fase un to pur de 343 Hz. Un micròfon P se situa a 4,00 m de l'altaveu A, sobre la recta perpendicular al segment AB que passa per A. La velocitat del so és de 343 m/s.
a) Calcula la distància de P a B i la diferència de camins. Raona si a P hi ha interferència constructiva o destructiva.
b) Sense moure res, es va baixant la freqüència del generador. Quina és la freqüència més alta per sota de 343 Hz per a la qual P queda en un mínim d'interferència? I la primera per sobre de 343 Hz?
c) A la condició de mínim, el micròfon no registra un silenci absolut. Suposant que l'amplitud de cada ona és inversament proporcional a la distància a la font, calcula el quocient entre la intensitat al mínim i la intensitat que hi hauria en un màxim, i expressa la diferència en decibels.
d) Raona què passaria a P si els altaveus estiguessin connectats amb la polaritat invertida (en oposició de fase).

Pista 1

Fes servir el teorema de Pitàgores per a la distància PB.

Pista 2

Hi ha un mínim quan la diferència de camins és un nombre senar de mitges longituds d'ona.

Pista 3

Al punt P les dues ones arriben amb amplituds diferents; al mínim les amplituds es resten i al màxim se sumen. La intensitat és proporcional al quadrat de l'amplitud.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 37

Apartat a)

Resultat

PB = 5{,}00\ \text{m}

;

\Delta r = 1{,}00\ \text{m} = \lambda

: interferència constructiva (màxim).

Resolució

Distància PB. Pel teorema de Pitàgores: $PB = \sqrt{3{,}00^{2} + 4{,}00^{2}} = 5{,}00\ \text{m}$ .
Diferència de camins. $\Delta r = 5{,}00 - 4{,}00 = 1{,}00\ \text{m}$ . La longitud d'ona és $\lambda = \dfrac{343}{343} = 1{,}00\ \text{m}$ .
Conclusió. $\Delta r = \lambda$ : les ones arriben en fase i la interferència és constructiva (màxim).

Apartat b)

Resultat

Per sota:

f \approx 172\ \text{Hz}

(171,5 Hz); per sobre:

f \approx 515\ \text{Hz}

(514,5 Hz)

Resolució

Condició de mínim. $\Delta r = (2n + 1)\tfrac{\lambda}{2}$ , amb $\Delta r$ fix: $\lambda = \dfrac{2\Delta r}{2n + 1} = 2{,}00\ \text{m};\ 0{,}667\ \text{m};\ 0{,}400\ \text{m}\ldots$
Freqüències. $f = \dfrac{v}{\lambda} = 171{,}5\ \text{Hz};\ 514{,}5\ \text{Hz};\ 857{,}5\ \text{Hz}\ldots$
Conclusió. La més alta per sota de 343 Hz és 172 Hz (n = 0) i la primera per sobre és 515 Hz (n = 1).

Apartat c)

Resultat

\dfrac{I_{\min}}{I_{\max}} = \dfrac{1}{81} \approx 0{,}012

, és a dir, uns

-19\ \text{dB}

Resolució

Amplituds relatives a P. Si $A \propto \tfrac{1}{r}$ : $\tfrac{1}{4{,}00} = 0{,}250$ (de A) i $\tfrac{1}{5{,}00} = 0{,}200$ (de B).
Mínim i màxim. Al mínim les amplituds es resten (0,050) i al màxim se sumen (0,450). La intensitat és proporcional al quadrat de l'amplitud: $\dfrac{I_{\min}}{I_{\max}} = \left(\dfrac{0{,}050}{0{,}450}\right)^{2} = \dfrac{1}{81} \approx 0{,}012$
En decibels. $10\log\tfrac{1}{81} \approx -19\ \text{dB}$ .
Interpretació. El mínim és força pronunciat però no és un silenci: la cancel·lació només és completa si les dues amplituds són iguals. A més, a una sala real les reflexions a les parets afegeixen altres ones.

Apartat d)

Resultat

A 343 Hz, P passaria a ser un mínim: s'intercanvien màxims i mínims.

Resolució

Desfasament de π. Si els altaveus emeten en oposició de fase, s'afegeix un desfasament de π a tota la figura d'interferència: on abans hi havia màxims hi ha mínims i al revés.
Conclusió. A 343 Hz, P passaria a ser un mínim. Per això, en connectar els altaveus d'un equip de música, s'ha de respectar la polaritat (+ i −): si no, els greus es cancel·len en bona part de la sala.

Errors típics

Calcular la diferència de camins com la separació entre els altaveus (3,00 m) en lloc de PB − PA.
Fer servir la condició de mínim Δr = n·λ/2 amb qualsevol n, que inclou també els màxims.
Pensar que en un mínim d'interferència sempre hi ha silenci absolut, encara que les amplituds siguin diferents.

Conceptes treballats: interferència d'ones, diferència de camins, condicions de màxim i de mínim, relació entre intensitat i amplitud, fonts en fase i en oposició de fase.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 38

La corda de La d'un violí té una longitud vibrant de 32,5 cm i està afinada a 440 Hz (mode fonamental).
a) Calcula la velocitat de propagació de les ones a la corda.
b) El violinista fa sonar la corda en el tercer harmònic, amb una amplitud màxima de vibració (als ventres) de 2,0 mm. Escriu l'equació de l'ona estacionària de la forma y(x, t) = $A_{v}$ ·sin(k·x)·cos(ω·t), amb x mesurada des d'un extrem, i dona la posició de tots els nodes i ventres.
c) Els violinistes fan «harmònics» tocant la corda molt lleugerament (sense prémer-la contra el mànec) en un punt. Si la toquen just a un terç de la longitud, raona quins harmònics poden continuar sonant i quina és la freqüència més greu que se sent.
d) El so del tercer harmònic es propaga per l'aire de la sala a 343 m/s. Calcula'n la longitud d'ona a l'aire i explica per què no coincideix amb la longitud d'ona a la corda.

Pista 1

En el fonamental, la longitud de la corda és mitja longitud d'ona. La velocitat no depèn de l'harmònic.

Pista 2

Tocar la corda lleugerament en un punt hi obliga a haver-hi un node, però no escurça la corda.

Pista 3

Quins harmònics tenen un node a $\tfrac{L}{3}$ ? Comprova-ho amb les posicions dels nodes de cada mode.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 38

Apartat a)

Resultat

v = 286\ \text{m/s}

Resolució

Dades. $L = 0{,}325\ \text{m}$ , $f_1 = 440\ \text{Hz}$ .
Fonamental. La longitud de la corda és mitja longitud d'ona: $\lambda_1 = 2L = 0{,}650\ \text{m}$ .
Càlcul. $v = \lambda_1 f_1 = 0{,}650\cdot 440 = 286\ \text{m/s}$ . Aquesta velocitat no depèn de l'harmònic.

Apartat b)

Resultat

y = 2{,}0\cdot10^{-3}\sin(29{,}0\,x)\cos(8{,}29\cdot10^{3}\,t)

(SI); nodes a

x = 0;\ 0{,}108;\ 0{,}217;\ 0{,}325\ \text{m}

; ventres a

x = 0{,}054;\ 0{,}163;\ 0{,}271\ \text{m}

Resolució

Tercer harmònic. $f_3 = 3\cdot 440 = 1320\ \text{Hz}$ , $\lambda_3 = \tfrac{2L}{3} = 0{,}217\ \text{m}$ .
Paràmetres. $k = \dfrac{2\pi}{\lambda_3} \approx 29{,}0\ \text{rad/m}$ ; $\omega = 2\pi\cdot 1320 \approx 8{,}29\cdot10^{3}\ \text{rad/s}$ ; $A_v = 2{,}0\ \text{mm}$ .
Equació. $y(x,t) = 2{,}0\cdot10^{-3}\sin(29{,}0\,x)\cos(8{,}29\cdot10^{3}\,t)\ \text{(SI)}$
Nodes. On $\sin kx = 0$ , $x = n\tfrac{\lambda}{2}$ : x = 0; 0,108; 0,217 i 0,325 m.
Ventres. $x = \tfrac{\lambda}{4} + n\tfrac{\lambda}{2}$ : x = 0,054; 0,163 i 0,271 m.

Apartat c)

Resultat

Només sonen els harmònics múltiples de 3 (3r, 6è, 9è…); la freqüència més greu és 1320 Hz.

Resolució

Efecte de tocar lleugerament. Tocar la corda a L/3 hi imposa un node, però no l'escurça.
Quins harmònics hi tenen node. L'harmònic n té nodes a $x = m\tfrac{L}{n}$ (m = 0, 1, …, n), i L/3 és un d'ells només si n és múltiple de 3.
Conclusió. El fonamental i el segon harmònic s'apaguen i només continuen sonant el 3r, el 6è, el 9è… La nota més greu que se sent és $3\cdot 440 = 1320\ \text{Hz}$ , amb un timbre més pur i «aflautat».

Apartat d)

Resultat

\lambda_{\text{aire}} \approx 0{,}260\ \text{m}

(a la corda, 0,217 m): mateixa freqüència però velocitat diferent.

Resolució

Longitud d'ona a l'aire. $\lambda_{\text{aire}} = \dfrac{v_{\text{aire}}}{f} = \dfrac{343}{1320} \approx 0{,}260\ \text{m}$ , mentre que a la corda és 0,217 m.
Interpretació. La freqüència és la mateixa (la corda fa vibrar l'aire al seu ritme), però les velocitats de propagació a la corda i a l'aire són diferents, i per tant també ho són les longituds d'ona.

Errors típics

Pensar que, en passar al tercer harmònic, la velocitat de l'ona a la corda es triplica: es triplica la freqüència i la longitud d'ona es divideix per tres.
Confondre l'amplitud de les ones viatgeres amb l'amplitud màxima de l'ona estacionària (al ventre és el doble).
Creure que tocar lleugerament la corda a L/3 equival a escurçar-la fins a 2L/3 (aleshores sonaria 660 Hz).

Conceptes treballats: ones estacionàries, harmònics, nodes i ventres, equació de l'ona estacionària, conservació de la freqüència en canviar de medi, timbre.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 39

Una barca de pesca de l'embassament de Sau fa servir una sonda que emet polsos d'ultrasons de 40 kHz verticalment cap avall. La velocitat del so a l'aigua és de 1500 m/s i a l'aire, de 340 m/s.
a) L'eco del fons arriba 0,080 s després d'emetre el pols i, en un moment donat, apareix un segon eco a 0,050 s. Calcula la profunditat del fons i la d'aquest segon objecte. Què pot ser?
b) Calcula la longitud d'ona de l'ultrasò a l'aigua. Raona per què, amb aquesta freqüència, es poden detectar peixos petits però no cucs d'1 mm.
c) Un altaveu a la riba emet so per l'aire cap a la superfície de l'embassament. Aplicant la llei de Snell a les ones sonores, calcula l'angle límit per al pas del so de l'aire a l'aigua. Raona per què els sons de la riba gairebé no se senten sota l'aigua.
d) Si la sonda s'inclina 10° respecte a la vertical, l'ultrasò viatja en diagonal fins al fons. Suposant el fons pla a la profunditat calculada a l'apartat a), quant de temps trigaria l'eco a tornar (considerant que torna pel mateix camí)?

Pista 1

El temps de l'eco correspon a un camí d'anada i tornada.

Pista 2

La llei de Snell per a qualsevol ona es pot escriure $\tfrac{\sin\theta_{1}}{v_{1}} = \tfrac{\sin\theta_{2}}{v_{2}}$ . Hi ha angle límit quan l'ona passa a un medi on va més de pressa.

Pista 3

En inclinar la sonda, el camí fins al fons és la hipotenusa d'un triangle rectangle.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 39

Apartat a)

Resultat

Fons a 60 m; segon objecte a

\approx 38\ \text{m}

(37,5 m): probablement un banc de peixos.

Resolució

Temps de l'eco. El temps mesurat correspon a l'anada i la tornada: $d = \dfrac{v\,t}{2}$ .
Càlcul. Fons: $d = \dfrac{1500\cdot 0{,}080}{2} = 60\ \text{m}$ . Segon eco: $d' = \dfrac{1500\cdot 0{,}050}{2} = 37{,}5\ \text{m} \approx 38\ \text{m}$ .
Interpretació. És un objecte entre la barca i el fons que reflecteix part del pols: un banc de peixos (la bufeta natatòria, plena de gas, reflecteix molt bé l'ultrasò).

Apartat b)

Resultat

\lambda \approx 3{,}8\ \text{cm}

; detecta objectes de mida comparable o més gran, no d'1 mm.

Resolució

Longitud d'ona. $\lambda = \dfrac{1500}{40\cdot10^{3}} = 3{,}75\cdot10^{-2}\ \text{m} \approx 3{,}8\ \text{cm}$ .
Mida detectable. Una ona es reflecteix de manera apreciable en objectes de mida comparable o més gran que la seva longitud d'ona; amb objectes molt més petits (1 mm) l'ona els envolta i gairebé no hi ha eco.
Conclusió. Es veuen peixos de centímetres però no cucs d'1 mm; per veure detalls petits caldrien freqüències més altes.

Apartat c)

Resultat

\theta_L \approx 13{,}1^\circ

; el so de la riba arriba rasant i es reflecteix totalment.

Resolució

Hi ha angle límit? De l'aire a l'aigua el so va més de pressa ( $v_2 > v_1$ ): s'allunya de la normal i hi ha angle límit.
Llei de Snell per a ones. $\dfrac{\sin\theta_1}{v_1} = \dfrac{\sin\theta_2}{v_2}$ ; amb $\theta_2 = 90^\circ$ : $\sin\theta_L = \dfrac{v_{\text{aire}}}{v_{\text{aigua}}} = \dfrac{340}{1500} = 0{,}227 \;\Rightarrow\; \theta_L \approx 13{,}1^\circ$
Interpretació. Només el so que arriba gairebé perpendicular a la superfície (un con de 13° al voltant de la vertical) pot entrar a l'aigua; el so de la riba arriba molt rasant i es reflecteix totalment. A més, fins i tot a incidència normal, la gran diferència entre els dos medis fa que la major part del so es reflecteixi.

Apartat d)

Resultat

t \approx 0{,}081\ \text{s}

Resolució

Camí inclinat. El camí fins al fons és la hipotenusa d'un triangle rectangle: $\dfrac{d}{\cos 10^\circ} = \dfrac{60}{0{,}985} \approx 60{,}9\ \text{m}$ .
Càlcul. $t = \dfrac{2\cdot 60{,}9}{1500} \approx 0{,}0812\ \text{s} \approx 0{,}081\ \text{s}$ .
Observació. Si el fons fos realment pla, l'eco especular no tornaria cap a la sonda; el que es rep és el so retrodispersat pel fons irregular.

Errors típics

Oblidar dividir per 2 el camí recorregut per l'eco.
Aplicar l'angle límit en el sentit invers (de l'aigua a l'aire): el so, al contrari que la llum, va més de pressa a l'aigua.
Escriure la llei de Snell per al so amb índexs de refracció de la llum.

Conceptes treballats: reflexió i temps de vol, longitud d'ona i mida dels objectes detectables, refracció del so, llei de Snell amb velocitats, angle límit.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 40

Una nena llança regularment pedretes en un punt d'un estany tranquil i genera ones circulars de 4,0 Hz que es propaguen a 0,50 m/s. A 1,0 m del punt d'impacte, l'amplitud de les ones és de 2,0 cm. Suposa que l'aigua no absorbeix energia.
a) Calcula la longitud d'ona i el temps que triga el front d'ona a arribar a una fulla que sura a 4,0 m. Raona si la fulla s'acosta a la vora quan hi arriben les ones.
b) L'energia d'un front d'ona circular es reparteix al llarg d'una circumferència. Demostra que l'amplitud és inversament proporcional a $\sqrt{r}$ , i calcula a quina distància l'amplitud s'ha reduït a 1,0 cm.
c) Compara-ho amb una ona sonora esfèrica: a quina distància caldria anar perquè l'amplitud es reduís a la meitat, si a 1,0 m val $A_{0}$ ? Raona per què les ones a la superfície d'un llac es veuen des de molt lluny.
d) Si la nena llança les pedretes més de pressa (8,0 Hz) i la velocitat de propagació no canvia, què passa amb la longitud d'ona i amb l'energia que transporta cada ona si l'amplitud a 1,0 m és la mateixa?

Pista 1

La potència que transporta l'ona es reparteix per tota la longitud del front d'ona; la intensitat (potència per unitat de longitud del front) és proporcional al quadrat de l'amplitud.

Pista 2

Per a una circumferència, la longitud del front és 2π·r; per a una esfera, l'àrea és 4π· $r^{2}$ .

Pista 3

L'energia d'una ona harmònica és proporcional a $A^{2}$ · $f^{2}$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 40

Apartat a)

Resultat

\lambda = 0{,}125\ \text{m}

;

t = 8{,}0\ \text{s}

; la fulla no s'acosta a la vora, només oscil·la.

Resolució

Longitud d'ona. $\lambda = \dfrac{v}{f} = \dfrac{0{,}50}{4{,}0} = 0{,}125\ \text{m} = 12{,}5\ \text{cm}$ .
Temps fins a la fulla. $t = \dfrac{4{,}0}{0{,}50} = 8{,}0\ \text{s}$ .
La fulla. Puja i baixa (i oscil·la una mica endavant i enrere) però no és arrossegada: una ona transporta energia, no matèria. Per això la fulla no s'acosta a la vora.

Apartat b)

Resultat

A \propto \tfrac{1}{\sqrt{r}}

; l'amplitud és 1,0 cm a

r = 4{,}0\ \text{m}

Resolució

Conservació de la potència. Si no hi ha absorció, la potència P que transporta el front es conserva i es reparteix en una circumferència: $I = \dfrac{P}{2\pi r}$ .
Demostració. Com que $I \propto A^{2}$ : $A^{2} \propto \tfrac{1}{r} \Rightarrow A \propto \tfrac{1}{\sqrt{r}}$ .
Càlcul. $\dfrac{A(r)}{A(1\ \text{m})} = \sqrt{\dfrac{1{,}0}{r}} \;\Rightarrow\; \dfrac{1{,}0}{2{,}0} = \sqrt{\dfrac{1{,}0}{r}} \;\Rightarrow\; r = 4{,}0\ \text{m}$
Conclusió. Per reduir l'amplitud a la meitat cal anar 4 vegades més lluny.

Apartat c)

Resultat

Ona esfèrica: l'amplitud es redueix a la meitat a

r = 2{,}0\ \text{m}

; les ones superficials s'afebleixen més lentament (

1/\sqrt{r}

Resolució

Ona esfèrica. $I = \dfrac{P}{4\pi r^{2}} \Rightarrow A \propto \tfrac{1}{r}$ : l'amplitud es redueix a la meitat a 2,0 m.
Comparació. Les ones a la superfície s'afebleixen molt més lentament ( $1/\sqrt{r}$ en lloc d' $1/r$ ) perquè l'energia només s'escampa en dues dimensions.
Conclusió. Per això les onades d'un vaixell o d'una pedra es veuen lluny del punt on s'han generat.

Apartat d)

Resultat

\lambda' \approx 6{,}3\cdot10^{-2}\ \text{m}

(la meitat); l'energia que transporta cada ona es multiplica per 4.

Resolució

Nova longitud d'ona. $\lambda' = \dfrac{0{,}50}{8{,}0} \approx 6{,}3\cdot10^{-2}\ \text{m}$ : es redueix a la meitat.
Energia. L'energia d'una ona harmònica és proporcional a $A^{2}f^{2}$ . Amb la mateixa amplitud, l'energia per unitat de massa d'aigua oscil·lant ( $\propto A^{2}\omega^{2}$ ) es multiplica per $(8{,}0/4{,}0)^{2} = 4$ , i la potència transportada també.
Conclusió. La nena ha de llançar les pedretes amb més energia.

Errors típics

Aplicar A ∝ 1/r (ona esfèrica) a una ona que s'escampa sobre una superfície.
Pensar que les ones transporten l'aigua (i la fulla) cap a la vora.
Oblidar que l'energia d'una ona depèn del quadrat de la freqüència a més del quadrat de l'amplitud.

Conceptes treballats: ones circulars i esfèriques, conservació de l'energia en la propagació, relació entre intensitat i amplitud, transport d'energia sense transport de matèria, relació v = λ·f.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preguntes freqüents

Quina diferència hi ha entre freqüència i freqüència angular?

La freqüència f es mesura en hertz i compta les oscil·lacions per segon. La freqüència angular ω es mesura en rad/s i val 2π vegades la freqüència.

Quan hi ha interferència constructiva entre dues ones?

Quan la diferència de camí entre les dues fonts és un nombre enter de longituds d'ona: les ones arriben en fase i les amplituds se sumen.

Tornar a Física