Exercicis de camp magnètic — Física 2n Batxillerat

El camp magnètic actua sobre càrregues en moviment i corrents, i aquests exercicis t'ensenyen a calcular-ne els efectes. Aprens a trobar el sentit de la força magnètica sobre una càrrega amb la regla de la mà dreta i la calcules amb la força de Lorentz. Després calcules la força sobre un fil amb corrent dins d'un camp i el camp que crea un fil recte a una distància. Al final estudies la interacció entre dos fils paral·lels: s'atrauen o es repel·leixen segons el sentit dels corrents, i calcules la força per unitat de longitud. Les solucions inclouen el dibuix dels vectors. Errors típics: pensar que la força magnètica accelera la càrrega i aplicar la fórmula quan la velocitat és paral·lela al camp.

Tens examen d'aquest tema? Fes un simulacre de 60 minuts com el de l'institut, amb solucions i criteris de correcció.Fes el simulacre →

Nivell bàsic

Exercici 1

Quina regla dona el sentit de la força magnètica sobre una càrrega positiva que es mou dins d'un camp magnètic, i quines tres magnituds relaciona?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 1

Resultat

La regla de la mà dreta (producte vectorial

\vec F = q\,\vec v\times\vec B

): relaciona la velocitat de la càrrega, el camp magnètic i la força, que és perpendicular a totes dues.

Resolució

Plantejament. Es demana quina regla dona el sentit de la força magnètica sobre una càrrega positiva i quines magnituds hi intervenen.
Llei de Lorentz. La força magnètica és un producte vectorial: $\vec F = q\,\vec v\times\vec B$ Per tant, és perpendicular alhora a $\vec v$ i a $\vec B$ .
Regla de la mà dreta. Orientant la mà dreta segons $\vec v$ i $\vec B$ , el polze indica el sentit de $\vec v\times\vec B$ , que és el de la força si la càrrega és positiva.
Conclusió. La regla relaciona tres magnituds: velocitat, camp magnètic i força. Fixa't que, per a una càrrega negativa, la força té el sentit contrari.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 2

Quina forma tenen les línies del camp magnètic al voltant d'un fil recte amb corrent?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 2

Resultat

Són circumferències concèntriques centrades en el fil, en plans perpendiculars a ell; el sentit el dona la regla de la mà dreta.

Resolució

Plantejament. Es demana la forma de les línies de camp magnètic al voltant d'un fil recte llarg amb corrent.
Camp d'un fil rectilini. El camp només depèn de la distància al fil, $B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$ , i és tangent a les circumferències centrades en el fil: les línies són circumferències concèntriques en plans perpendiculars al fil.
Sentit. Regla de la mà dreta: amb el polze en el sentit del corrent, els dits que s'enrotllen indiquen el sentit del camp.
Conclusió. Les línies són tancades i envolten el corrent, sense principi ni final.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 3

Dos fils paral·lels porten corrents en sentits contraris. Es faran una força d'atracció o de repulsió?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 3

Resultat

Es fan una força de repulsió.

Resolució

Plantejament. Dos fils paral·lels amb corrents de sentits contraris: cal saber si s'atrauen o es repel·leixen.
Força entre corrents paral·lels. Cada fil crea un camp $B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi d}$ a la posició de l'altre, i sobre l'altre fil actua la força $\vec F = I\,\vec L\times\vec B$ .
Sentit. Aplicant la regla de la mà dreta, la força va cap a l'altre fil si els corrents tenen el mateix sentit i s'allunya d'ell si tenen sentits contraris.
Conclusió. Els fils paral·lels s'atrauen quan els corrents van en el mateix sentit i es repel·leixen quan van en sentits contraris: aquí, repulsió.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 4

Raona per què un camp magnètic no pot modificar el mòdul de la velocitat d'una partícula carregada, encara que sí que en pot canviar la direcció. Quina conseqüència té això sobre l'energia cinètica de la partícula?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 4

Resultat

Com que

\vec F\perp\vec v

, la força magnètica no fa treball: el mòdul de la velocitat i l'energia cinètica es mantenen constants; només canvia la direcció.

Resolució

Plantejament. Cal justificar per què la força magnètica no canvia el mòdul de la velocitat però sí la direcció, i què implica per a l'energia cinètica.
Força de Lorentz. $\vec F = q\,\vec v\times\vec B$ . El producte vectorial és sempre perpendicular als dos vectors: la força és perpendicular a la velocitat en tot instant.
Treball nul. Una força perpendicular al desplaçament no fa treball: $W = F\,d\cos 90^\circ = 0$ . Pel teorema de l'energia cinètica, $\Delta E_c = W = 0$ : l'energia cinètica no varia i, per tant, el mòdul de la velocitat es manté constant.
Canvi de direcció. Sí que pot canviar la direcció: la força actua com a força centrípeta i corba la trajectòria (moviment circular si $\vec v\perp\vec B$ ).
Conclusió. Contrast amb el camp elèctric: $\vec F = q\vec E$ pot tenir la direcció del moviment, fa treball i sí que accelera o frena les càrregues. Per això, en un ciclotró, qui accelera les partícules és el camp elèctric; el magnètic només les fa girar.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 5

A partir de l'expressió de la força magnètica sobre una càrrega en moviment, dedueix les unitats del tesla en funció de les unitats fonamentals del SI. Sabent que 1 T = $10^{4}$ gauss, expressa en gauss el camp magnètic terrestre, d'uns 5· $10^{-5}$ T.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 5

Resultat

1\ \text{T} = 1\ \text{N/(A}\cdot\text{m)} = 1\ \text{kg}\cdot\text{A}^{-1}\text{}\cdot\text{s}^{-2}

; el camp terrestre val

B = 0{,}5\ \text{G}

Resolució

Plantejament. A partir de $F = qvB\sin\theta$ cal deduir les unitats del tesla i passar $5\cdot10^{-5}\ \text{T}$ a gauss.
Força magnètica. Aïllem B: $B = \dfrac{F}{qv}$ . Unitats: $1\ \text{T} = 1\ \dfrac{\text{N}}{\text{C}\cdot\text{m/s}} = 1\ \dfrac{\text{N}\cdot\text{s}}{\text{C}\cdot\text{m}}$
Unitats fonamentals. Com que $1\ \text{C} = 1\ \text{A}\cdot\text{s}$ , queda $1\ \text{T} = 1\ \text{N/(A}\cdot\text{m)}$ ; i com que $1\ \text{N} = 1\ \text{kg}\cdot\text{m/s}^{2}$ : $1\ \text{T} = 1\ \dfrac{\text{kg}\cdot\text{m}}{\text{s}^{2}\text{}\cdot\text{A}\cdot\text{m}} = 1\ \text{kg}\cdot\text{A}^{-1}\text{}\cdot\text{s}^{-2}$
Camp terrestre. $B = 5\cdot10^{-5}\ \text{T}\cdot10^{4}\ \text{G/T} = 0{,}5\ \text{G}$ .
Conclusió. El tesla és una unitat molt gran: un imant de nevera crea uns $10^{-2}\ \text{T}$ i els aparells de ressonància magnètica, de l'ordre d'1 a 3 T.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 6

Un protó es mou en el sentit positiu de l'eix X dins d'una regió on hi ha un camp magnètic uniforme dirigit en el sentit positiu de l'eix Y. a) Indica la direcció i el sentit de la força magnètica. b) Quina seria si la partícula fos un electró? c) I si el protó es mogués en el sentit negatiu de l'eix X?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 6

Apartat a)

Resultat

La força té la direcció de l'eix Z i sentit +Z.

Resolució

Dades. $\vec v$ cap a +X, $\vec B$ cap a +Y, càrrega positiva (protó).
Força de Lorentz. $\vec F = q\,\vec v\times\vec B$ . Regla de la mà dreta: índex segons $\vec v$ , dit del mig segons $\vec B$ ; el polze dona $\vec v\times\vec B$ .
Càlcul. $\hat\imath\times\hat\jmath = \hat k$ . Com que $q>0$ , la força apunta cap a +Z, perpendicular alhora a la velocitat i al camp.
Conclusió. Recorda que la força magnètica sempre és perpendicular tant a la velocitat com al camp: mai no té la direcció de $\vec B$ , a diferència de la força elèctrica, que té la direcció de $\vec E$ .

Apartat b)

Resultat

Mateix mòdul i direcció (eix Z), però sentit −Z.

Resolució

Plantejament. Ara la càrrega és negativa, $q = -e$ , amb la mateixa velocitat i el mateix camp.
Càlcul. $\vec F = -e\,\vec v\times\vec B$ : el producte vectorial és el mateix (+Z), però el signe de la càrrega inverteix la força.
Conclusió. Sobre l'electró la força té el mateix mòdul i la mateixa direcció, però sentit contrari: −Z.

Apartat c)

Resultat

La força sobre el protó apunta en el sentit −Z.

Resolució

Plantejament. Protó amb $\vec v$ cap a −X i $\vec B$ cap a +Y.
Càlcul. $(-\hat\imath)\times\hat\jmath = -\hat k$ : en invertir la velocitat, el producte vectorial canvia de signe.
Conclusió. La força sobre el protó apunta cap a −Z.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 7

Es vol construir una bobina plana circular de 2 cm de radi que creï al seu centre un camp magnètic de 1,0· $10^{-3}$ T quan hi circulin 0,5 A. Quantes espires ha de tenir? $µ_{0}$ = 4π· $10^{-7}$ T·m/A.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 7

Resultat

N = 64

espires (el càlcul dona 63,7).

Resolució

Dades. $R = 0{,}02\ \text{m}$ , $B = 1{,}0\cdot10^{-3}\ \text{T}$ , $I = 0{,}5\ \text{A}$ , $\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$ . Es demana el nombre d'espires N.
Camp al centre d'una bobina plana. $B = \dfrac{\mu_0 N I}{2R}\quad\Rightarrow\quad N = \dfrac{2RB}{\mu_0 I}$
Càlcul. $N = \dfrac{2\cdot0{,}02\cdot1{,}0\cdot10^{-3}}{4\pi\cdot10^{-7}\cdot0{,}5} = \dfrac{4{,}0\cdot10^{-5}}{6{,}28\cdot10^{-7}} = 63{,}7$
Arrodoniment. El nombre d'espires ha de ser enter: calen 64 espires (amb 64 el camp és $1{,}005\cdot10^{-3}\ \text{T}$ ).
Conclusió. Fixa't que al centre de l'espira el camp és proporcional a $1/R$ : les espires més petites concentren més el camp.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 8

Dos fils rectilinis llargs i paral·lels, separats 10 cm, transporten 5 A cadascun. Calcula el camp magnètic al punt mitjà entre els dos fils si els corrents tenen el mateix sentit, i si tenen sentits contraris. $µ_{0}$ = 4π· $10^{-7}$ T·m/A.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 8

Resultat

Mateix sentit:

B = 0

; sentits contraris:

B = 4\cdot10^{-5}\ \text{T}

Resolució

Dades. Separació 10 cm, $I = 5\ \text{A}$ a cada fil; el punt mitjà és a $d = 0{,}05\ \text{m}$ de cadascun.
Camp d'un fil llarg. Cada fil crea al punt mitjà un camp perpendicular al pla dels fils: $B_1 = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi d} = 2\cdot10^{-7}\cdot\dfrac{5}{0{,}05} = 2\cdot10^{-5}\ \text{T}$
Mateix sentit. Per la regla de la mà dreta, al punt mitjà els dos camps tenen sentits contraris (un fil hi crea el camp «cap amunt» i l'altre «cap avall») i es cancel·len: $B_{\text{total}} = 0$ .
Sentits contraris. Els dos camps tenen el mateix sentit al punt mitjà i se sumen: $B_{\text{total}} = 2\cdot2\cdot10^{-5} = 4\cdot10^{-5}\ \text{T}$ .
Conclusió. Compte a no sumar sempre els mòduls: el camp magnètic és un vector i cal mirar el sentit de cada contribució.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 9

Un electró descriu una òrbita circular de 2 cm de radi dins d'un camp magnètic uniforme de 1,0· $10^{-3}$ T, perpendicular a la seva velocitat. Calcula la velocitat de l'electró i el temps que triga a fer una volta. Dades: e = 1,6· $10^{-19}$ C; $m_{e}$ = 9,11· $10^{-31}$ kg.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 9

Resultat

v = 3{,}5\cdot10^{6}\ \text{m/s}

;

T = 3{,}6\cdot10^{-8}\ \text{s}

Resolució

Dades. $r = 0{,}02\ \text{m}$ , $B = 1{,}0\cdot10^{-3}\ \text{T}$ , $e = 1{,}6\cdot10^{-19}\ \text{C}$ , $m_e = 9{,}11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$ .
Força magnètica com a força centrípeta. $|q|vB = \dfrac{mv^{2}}{r}\ \Rightarrow\ v = \dfrac{|q|Br}{m}$
Velocitat. $v = \dfrac{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot1{,}0\cdot10^{-3}\cdot0{,}02}{9{,}11\cdot10^{-31}} = 3{,}5\cdot10^{6}\ \text{m/s}$ És un 1 % de c, de manera que la mecànica clàssica és vàlida.
Període. $T = \dfrac{2\pi r}{v} = \dfrac{2\pi\cdot0{,}02}{3{,}5\cdot10^{6}} = 3{,}6\cdot10^{-8}\ \text{s}$ També es pot calcular amb $T = \dfrac{2\pi m}{|q|B}$ , que no depèn ni de la velocitat ni del radi.
Conclusió. El mòdul de la velocitat es manté constant durant tot el moviment: el camp magnètic no fa treball.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 10

Explica dues diferències entre les línies del camp elèctric creat per una càrrega puntual i les línies del camp magnètic creat per un imant, i relaciona-les amb el fet que no existeixin monopols magnètics.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 10

Resultat

Les línies elèctriques són obertes (neixen i moren en càrregues) i les magnètiques, tancades; això reflecteix que no hi ha monopols magnètics: el flux magnètic per qualsevol superfície tancada és zero.

Resolució

Diferència 1: obertes o tancades. Les línies del camp elèctric d'una càrrega són obertes: neixen a les càrregues positives i moren a les negatives (o a l'infinit). Les línies de camp magnètic són sempre tancades: a l'exterior de l'imant van del pol nord al pol sud, però continuen per l'interior del sud al nord i es tanquen sobre si mateixes.
Diferència 2: direcció de la força. La força elèctrica té la direcció de la línia de camp, però la força magnètica sobre una càrrega és perpendicular a la línia de camp.
Monopols. Es pot aïllar una càrrega elèctrica (un electró, un protó), però no un pol magnètic: si tallem un imant per la meitat obtenim dos imants complets, cadascun amb nord i sud. No existeixen monopols magnètics, i per això les línies no tenen ni principi ni final.
Conclusió. El flux magnètic a través de qualsevol superfície tancada és sempre zero (tantes línies hi entren com en surten), mentre que el flux elèctric a través d'una superfície tancada pot ser diferent de zero si tanca càrrega (teorema de Gauss).

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell intermedi

Exercici 11

Un protó (càrrega 1,6·10⁻¹⁹ C) entra a 3· $10^{6}$ m·s⁻¹ perpendicularment a un camp de 0,2 T. Calcula la força magnètica que nota.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 11

Resultat

F = 9{,}6\cdot10^{-14}\ \text{N}

Resolució

Dades. $q = 1{,}6\cdot10^{-19}\ \text{C}$ , $v = 3\cdot10^{6}\ \text{m/s}$ , $B = 0{,}2\ \text{T}$ , amb $\vec v\perp\vec B$ .
Força de Lorentz. $F = qvB\sin\theta$ ; com que la velocitat és perpendicular al camp, $\sin 90^\circ = 1$ i $F = qvB$ .
Càlcul. $F = 1{,}6\cdot10^{-19}\cdot3\cdot10^{6}\cdot0{,}2 = 9{,}6\cdot10^{-14}\ \text{N}$
Conclusió. La força és perpendicular a la velocitat i al camp, i fa que el protó descrigui un moviment circular.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 12

Un fil recte de 0,2 m per on passa un corrent de 3 A és dins d'un camp magnètic de 0,5 T, perpendicular al fil. Calcula la força que nota.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 12

Resultat

F = 0{,}3\ \text{N}

Resolució

Dades. $L = 0{,}2\ \text{m}$ , $I = 3\ \text{A}$ , $B = 0{,}5\ \text{T}$ , fil perpendicular al camp.
Força sobre un conductor. $F = BIL\sin\theta$ , amb $\theta = 90^\circ$ : $F = BIL$ .
Càlcul. $F = 0{,}5\cdot3\cdot0{,}2 = 0{,}3\ \text{N}$ .
Conclusió. Aquesta és la força que aprofiten els motors elèctrics per girar.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 13

Una càrrega es mou en la mateixa direcció que un camp magnètic (paral·lela a B). Quina força magnètica nota?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 13

Resultat

Cap:

F = 0

; la càrrega segueix recta, sense desviar-se.

Resolució

Plantejament. La velocitat és paral·lela al camp magnètic ( $\theta = 0^\circ$ ).
Força de Lorentz. $F = qvB\sin\theta$ : la força magnètica només actua sobre la component de la velocitat perpendicular al camp.
Càlcul. Amb $\theta = 0^\circ$ , $\sin 0^\circ = 0$ i $F = 0$ : la component perpendicular de la velocitat és zero.
Conclusió. La força magnètica és nul·la i la càrrega continua en línia recta amb velocitat constant.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 14

Un fil recte transporta un corrent de 20 A. Calcula el camp magnètic que crea a 10 cm de distància.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 14

Resultat

B = 4\cdot10^{-5}\ \text{T}

Resolució

Dades. $I = 20\ \text{A}$ , $d = 10\ \text{cm} = 0{,}1\ \text{m}$ , $\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$ .
Camp d'un fil rectilini llarg. $B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi d} = 2\cdot10^{-7}\cdot\dfrac{I}{d}$
Càlcul. $B = 2\cdot10^{-7}\cdot\dfrac{20}{0{,}1} = \dfrac{4\cdot10^{-6}}{0{,}1} = 4\cdot10^{-5}\ \text{T}$
Conclusió. És un camp comparable al terrestre; les línies són circumferències al voltant del fil.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 15

Un protó entra amb una velocitat de 2,0· $10^{6}$ m/s en un camp magnètic uniforme de 0,25 T, perpendicular a la velocitat. Calcula el radi de la trajectòria i el període del moviment, i raona si el període canviaria amb un protó dues vegades més ràpid. Dades: e = 1,6· $10^{-19}$ C; $m_{p}$ = 1,67· $10^{-27}$ kg.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 15

Resultat

r = 8{,}4\cdot10^{-2}\ \text{m} = 8{,}4\ \text{cm}

;

T = 2{,}6\cdot10^{-7}\ \text{s}

; el període no canviaria amb un protó dues vegades més ràpid.

Resolució

Dades. $v = 2{,}0\cdot10^{6}\ \text{m/s}$ , $B = 0{,}25\ \text{T}$ , $q = 1{,}6\cdot10^{-19}\ \text{C}$ , $m_p = 1{,}67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$ .
Força magnètica com a centrípeta. La força (perpendicular a v) fa que la trajectòria sigui una circumferència: $qvB = \dfrac{mv^{2}}{r}\ \Rightarrow\ r = \dfrac{mv}{qB}$
Radi. $r = \dfrac{1{,}67\cdot10^{-27}\cdot2{,}0\cdot10^{6}}{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot0{,}25} = \dfrac{3{,}34\cdot10^{-21}}{4{,}0\cdot10^{-20}} = 8{,}4\cdot10^{-2}\ \text{m}$
Període. $T = \dfrac{2\pi r}{v} = \dfrac{2\pi m}{qB} = \dfrac{2\pi\cdot1{,}67\cdot10^{-27}}{4{,}0\cdot10^{-20}} = 2{,}6\cdot10^{-7}\ \text{s}$ (freqüència de $3{,}8\cdot10^{6}\ \text{Hz}$ ).
Conclusió. Un protó dues vegades més ràpid descriuria una circumferència de radi doble (16,8 cm), però trigaria el mateix a fer la volta: el període només depèn de m, q i B, no de la velocitat. Aquesta propietat és la base del funcionament del ciclotró.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 16

En un selector de velocitats hi ha un camp elèctric de 3,0· $10^{4}$ V/m i un camp magnètic de 0,10 T, perpendiculars entre si i perpendiculars a la velocitat de les partícules. a) Quina velocitat han de tenir les partícules per travessar el selector sense desviar-se? b) Raona si és cert o fals que el resultat depèn de la càrrega i de la massa de la partícula. c) Què passa amb les partícules més lentes?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 16

Apartat a)

Resultat

v = 3{,}0\cdot10^{5}\ \text{m/s}

Resolució

Dades. $E = 3{,}0\cdot10^{4}\ \text{V/m}$ , $B = 0{,}10\ \text{T}$ , perpendiculars entre si i a la velocitat.
Condició de no desviació. La força elèctrica i la magnètica han de ser iguals i de sentits contraris: $qE = qvB\ \Rightarrow\ v = \dfrac{E}{B}$
Càlcul. $v = \dfrac{3{,}0\cdot10^{4}}{0{,}10} = 3{,}0\cdot10^{5}\ \text{m/s}$

Apartat b)

Resultat

Fals:

v = E/B

no depèn ni de la càrrega ni de la massa.

Resolució

Plantejament. Mirem si q o m apareixen a la condició $qE = qvB$ .
Raonament. La càrrega apareix als dos costats de la igualtat i se simplifica, i la massa no hi intervé. Amb càrrega negativa, les dues forces s'inverteixen alhora i continuen compensant-se.
Conclusió. Passen totes les partícules amb $v = E/B$ , siguin protons, electrons o ions.

Apartat c)

Resultat

Es desvien cap al costat de la força elèctrica (

qvB \lt qE

) i no surten pel forat.

Resolució

Plantejament. Si $v \lt E/B$ , la força magnètica $qvB$ és més petita que l'elèctrica $qE$ .
Raonament. La força neta té el sentit de la força elèctrica: la partícula es desvia cap a aquest costat. Les més ràpides, en canvi, es desvien cap al costat contrari (domina la magnètica).
Conclusió. Així el selector només deixa passar una velocitat concreta.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 17

En un espectròmetre de masses, ions de neó-20 i de neó-22 (masses 20 u i 22 u, càrrega +e) entren amb la mateixa velocitat, 2,0· $10^{5}$ m/s, perpendicularment a un camp magnètic de 0,50 T, descriuen mitja circumferència i impacten en una placa. Calcula el radi de cada trajectòria i la distància entre els dos punts d'impacte. Dades: u = 1,66· $10^{-27}$ kg; e = 1,6· $10^{-19}$ C.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 17

Resultat

r_{20} = 8{,}3\ \text{cm}

;

r_{22} = 9{,}1\ \text{cm}

; distància entre impactes

\approx 1{,}7\ \text{cm}

Resolució

Dades. $m_{20} = 20\ \text{u}$ , $m_{22} = 22\ \text{u}$ , $q = +e$ , $v = 2{,}0\cdot10^{5}\ \text{m/s}$ , $B = 0{,}50\ \text{T}$ , $1\ \text{u} = 1{,}66\cdot10^{-27}\ \text{kg}$ .
Radi de la trajectòria. De $qvB = mv^{2}/r$ : $r = \dfrac{mv}{qB}$ . La massa és l'única dada que canvia d'un ió a l'altre.
Neó-20. $r_{20} = \dfrac{20\cdot1{,}66\cdot10^{-27}\cdot2{,}0\cdot10^{5}}{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot0{,}50} = \dfrac{6{,}64\cdot10^{-21}}{8{,}0\cdot10^{-20}} = 0{,}083\ \text{m}$
Neó-22. $r_{22} = \tfrac{22}{20}\,r_{20} = 0{,}0913\ \text{m} = 9{,}1\ \text{cm}$ .
Separació. Cada ió impacta a una distància 2r del punt d'entrada (diàmetre de la semicircumferència): $\Delta x = 2\,(r_{22}-r_{20}) = 2\,(9{,}13-8{,}30)\ \text{cm} = 1{,}7\ \text{cm}$
Conclusió. Així se separen els isòtops: a igual velocitat i càrrega, l'ió més massiu descriu la circumferència més gran. Una separació d'1,7 cm és fàcil de mesurar.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 18

Una barra conductora de 25 cm i 50 g descansa sobre dos rails horitzontals, en una regió on hi ha un camp magnètic vertical uniforme de 0,8 T. El coeficient de fregament estàtic entre la barra i els rails és 0,2. a) Calcula el corrent mínim que ha de circular per la barra perquè comenci a moure's. b) Raona en quina direcció es mou i què passa si invertim el sentit del corrent. g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 18

Apartat a)

Resultat

I_{\text{mín}} = 0{,}49\ \text{A}

Resolució

Dades. $L = 0{,}25\ \text{m}$ , $m = 0{,}050\ \text{kg}$ , $B = 0{,}8\ \text{T}$ vertical, $\mu_e = 0{,}2$ , $g = 9{,}8\ \text{m/s}^{2}$ .
Força sobre el conductor. La barra (horitzontal) és perpendicular al camp (vertical): $F = BIL$ , horitzontal i perpendicular a la barra.
Condició per començar a moure's. La força magnètica ha d'igualar el fregament estàtic màxim: $BIL = \mu\,m\,g\ \Rightarrow\ I = \dfrac{\mu m g}{BL}$
Càlcul. $I = \dfrac{0{,}2\cdot0{,}05\cdot9{,}8}{0{,}8\cdot0{,}25} = \dfrac{0{,}098}{0{,}2} = 0{,}49\ \text{A}$

Apartat b)

Resultat

La barra llisca al llarg dels rails (sentit de

I\vec L\times\vec B

); si s'inverteix el corrent, llisca en sentit contrari.

Resolució

Direcció de la força. $\vec F = I\,\vec L\times\vec B$ és perpendicular alhora al corrent (al llarg de la barra) i al camp (vertical): és horitzontal i perpendicular a la barra, és a dir, al llarg dels rails.
Sentit. El dona la regla de la mà dreta per a $\vec L\times\vec B$ . Si invertim el sentit del corrent, $\vec L$ canvia de signe i la força també: la barra llisca cap a l'altra banda.
Conclusió. Aquest és el principi del motor lineal: un corrent dins d'un camp magnètic produeix una força mecànica.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 19

Dos fils rectilinis, llargs i paral·lels, tallen l'eix X perpendicularment: un a x = 0 amb un corrent de 3 A i l'altre a x = 0,2 m amb un corrent de 6 A, tots dos en el mateix sentit. a) Calcula el camp magnètic al punt x = 0,3 m. b) Troba el punt de l'eix X on el camp magnètic total és nul. $µ_{0}$ = 4π· $10^{-7}$ T·m/A.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 19

Apartat a)

Resultat

B = 1{,}4\cdot10^{-5}\ \text{T}

(els dos camps tenen el mateix sentit i se sumen).

Resolució

Dades. Fil 1: $I_1 = 3\ \text{A}$ a x = 0; fil 2: $I_2 = 6\ \text{A}$ a x = 0,2 m, mateix sentit. Punt x = 0,3 m: distàncies 0,3 m i 0,1 m.
Camp d'un fil llarg. $B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi d} = 2\cdot10^{-7}\cdot\dfrac{I}{d}$ .
Càlcul. $B_1 = 2\cdot10^{-7}\cdot\dfrac{3}{0{,}3} = 2\cdot10^{-6}\ \text{T},\qquad B_2 = 2\cdot10^{-7}\cdot\dfrac{6}{0{,}1} = 1{,}2\cdot10^{-5}\ \text{T}$
Superposició. El punt queda al mateix costat dels dos fils i els corrents tenen el mateix sentit, així que els dos camps tenen el mateix sentit: $B = 2\cdot10^{-6} + 1{,}2\cdot10^{-5} = 1{,}4\cdot10^{-5}\ \text{T}$ .

Apartat b)

Resultat

x \approx 0{,}067\ \text{m}

(6,7 cm del fil de 3 A, entre els dos fils).

Resolució

On pot ser nul. El camp només es pot anul·lar entre els fils, on les dues contribucions tenen sentits contraris (a fora tenen el mateix sentit).
Condició. Si x és la distància al fil de 3 A: $\dfrac{3}{x} = \dfrac{6}{0{,}2-x}\ \Rightarrow\ 3\,(0{,}2-x) = 6x\ \Rightarrow\ x = \dfrac{0{,}6}{9} = 0{,}067\ \text{m}$
Comprovació. $2\cdot10^{-7}\cdot3/0{,}067 = 9\cdot10^{-6}\ \text{T}$ i $2\cdot10^{-7}\cdot6/0{,}133 = 9\cdot10^{-6}\ \text{T}$ .
Conclusió. El punt nul és a 6,7 cm del fil de 3 A (13,3 cm del de 6 A): més a prop del corrent més feble.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 20

Una línia tancada envolta tres fils rectilinis, perpendiculars al seu pla, pels quals circulen corrents de 2 A, 3 A i 4 A; els dos primers en un sentit i el tercer en sentit contrari. a) Calcula la circulació del camp magnètic al llarg de la línia (llei d'Ampère). b) Raona si la circulació canviaria si deforméssim la línia sense deixar d'envoltar els tres fils, i quina seria si la línia no envoltés cap corrent. $µ_{0}$ = 4π· $10^{-7}$ T·m/A.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 20

Apartat a)

Resultat

\oint\vec B\cdot d\vec l = \mu_0\,(2+3-4) = 1{,}26\cdot10^{-6}\ \text{T}\cdot\text{m}

Resolució

Llei d'Ampère. La circulació del camp magnètic al llarg d'una línia tancada és $\mu_0$ vegades el corrent net que travessa la superfície limitada per la línia, comptant cada corrent amb el signe que li correspon segons el sentit de recorregut: $\oint\vec B\cdot d\vec l = \mu_0 I_{\text{net}}$
Corrent net. $I_{\text{net}} = 2 + 3 - 4 = 1\ \text{A}$ .
Càlcul. $\oint\vec B\cdot d\vec l = 4\pi\cdot10^{-7}\cdot1 = 1{,}26\cdot10^{-6}\ \text{T}\cdot\text{m}$ (amb el signe positiu si es recorre en el sentit associat als dos primers corrents).

Apartat b)

Resultat

No canviaria en deformar-la; si no envolta cap corrent, la circulació és zero.

Resolució

Deformació. La circulació només depèn del corrent net envoltat, no de la forma ni de la mida de la línia (lluny dels fils el camp és més feble, però la línia és més llarga, i els dos efectes es compensen exactament).
Sense corrent envoltat. Si la línia no envolta cap corrent, la circulació és zero, encara que el camp als punts de la línia no sigui nul.
Conclusió. La llei d'Ampère és per al magnetisme l'anàleg del teorema de Gauss per a l'electricitat; aplicada a una circumferència centrada en un fil llarg dona $B\cdot2\pi r = \mu_0 I$ , és a dir, $B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 21

Un protó amb una velocitat de 4,0· $10^{6}$ m/s entra en una regió on hi ha un camp magnètic uniforme de 0,20 T perpendicular a la velocitat, travessant perpendicularment la frontera plana de la regió. Descriu la trajectòria, calcula a quina distància del punt d'entrada surt de la regió i quant de temps hi passa. Dades: e = 1,6· $10^{-19}$ C; $m_{p}$ = 1,67· $10^{-27}$ kg.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 21

Resultat

Descriu mitja circumferència de radi

r = 0{,}21\ \text{m}

; surt a

2r = 0{,}42\ \text{m}

del punt d'entrada al cap de

t = 1{,}6\cdot10^{-7}\ \text{s}

Resolució

Dades. $v = 4{,}0\cdot10^{6}\ \text{m/s}$ , $B = 0{,}20\ \text{T}$ , $q = 1{,}6\cdot10^{-19}\ \text{C}$ , $m_p = 1{,}67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$ ; entra perpendicularment a la frontera.
Trajectòria. Dins del camp la força magnètica és perpendicular a la velocitat i constant en mòdul: el protó descriu un arc de circumferència. Com que entra perpendicularment a la frontera, en fa exactament mitja i torna a sortir per la mateixa frontera, perpendicularment i amb la velocitat invertida.
Radi. $r = \dfrac{mv}{qB} = \dfrac{1{,}67\cdot10^{-27}\cdot4{,}0\cdot10^{6}}{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot0{,}20} = 0{,}21\ \text{m}$
Punt de sortida. La distància entre l'entrada i la sortida és el diàmetre: $2r = 0{,}42\ \text{m}$ .
Temps. La meitat del període: $t = \dfrac{T}{2} = \dfrac{\pi m}{qB} = \dfrac{\pi\cdot1{,}67\cdot10^{-27}}{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot0{,}20} = 1{,}6\cdot10^{-7}\ \text{s}$
Comprovació. $t = \dfrac{\text{longitud de l'arc}}{v} = \dfrac{\pi\cdot0{,}21}{4{,}0\cdot10^{6}} = 1{,}6\cdot10^{-7}\ \text{s}$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell avançat

Exercici 22

Compara el camp magnètic que creen tres configuracions de corrent, totes amb la mateixa intensitat I = 4,0 A. (a) Un fil rectilini molt llarg, a d = 5,0 cm del fil. (b) Una espira circular de radi R = 5,0 cm, al seu centre. (c) Un solenoide de n = 2000 espires per metre, al seu interior. Dada: $μ_{0}$ = 4·π·10⁻⁷ (SI).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 22

Apartat a)

Resultat

B = 1{,}6\cdot10^{-5}\ \text{T}

Resolució

Dades. $I = 4{,}0\ \text{A}$ , $d = 0{,}050\ \text{m}$ , $\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$ .
Camp d'un fil rectilini indefinit. $B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi d}$ .
Càlcul. $B = \dfrac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot4{,}0}{2\pi\cdot0{,}050} = 1{,}6\cdot10^{-5}\ \text{T}$

Apartat b)

Resultat

B = 5{,}0\cdot10^{-5}\ \text{T}

Resolució

Camp al centre d'una espira circular. $B = \dfrac{\mu_0 I}{2R}$ , amb $R = 0{,}050\ \text{m}$ .
Càlcul. $B = \dfrac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot4{,}0}{2\cdot0{,}050} = 5{,}0\cdot10^{-5}\ \text{T}$
Comparació. Amb el mateix corrent, l'espira dona un camp unes 3 vegades (exactament $\pi$ ) més gran que el fil a la mateixa distància.

Apartat c)

Resultat

B = 1{,}0\cdot10^{-2}\ \text{T}

Resolució

Camp a l'interior d'un solenoide llarg. El camp és uniforme i val $B = \mu_0 n I$ , amb $n = 2000\ \text{espires/m}$ .
Càlcul. $B = 4\pi\cdot10^{-7}\cdot2000\cdot4{,}0 = 1{,}0\cdot10^{-2}\ \text{T}$
Comparació. El solenoide dona uns 200 cops més que l'espira (i uns 600 més que el fil): al solenoide se sumen les contribucions de moltes espires molt juntes, i per això és la manera pràctica de fabricar un camp magnètic intens i uniforme.
Conclusió. Fixa't també que al solenoide el camp no depèn del radi, només del nombre d'espires per metre.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 23

Dos fils paral·lels separats 20 cm porten corrents de 10 A cadascun en el mateix sentit. Calcula la força per metre i digues si s'atrauen o es repel·leixen.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 23

Resultat

F/L = 1{,}0\cdot10^{-4}\ \text{N/m}

; s'atrauen.

Resolució

Dades. $I_1 = I_2 = 10\ \text{A}$ , mateix sentit, $d = 20\ \text{cm} = 0{,}2\ \text{m}$ .
Força entre corrents paral·lels. $\dfrac{F}{L} = \dfrac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d} = 2\cdot10^{-7}\cdot\dfrac{I_1 I_2}{d}$
Càlcul. El producte dels corrents és $I_1 I_2 = 10^{2}\ \text{A}^{2}$ : $\dfrac{F}{L} = 2\cdot10^{-7}\cdot\dfrac{10^{2}}{0{,}2} = \dfrac{2\cdot10^{-5}}{0{,}2} = 10^{-4}\ \text{N/m}$
Conclusió. Com que els corrents van en el mateix sentit, els fils s'atrauen.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 24

Un fil llarg horitzontal fix porta 50 A. Just a sota, i paral·lel, s'hi vol fer «surar» un segon fil de 0,50 m i 2,0 g de massa que porta 25 A. (a) Els corrents han d'anar en el mateix sentit o en sentits contraris? (b) A quina distància del primer s'ha de col·locar? Dades: $μ_{0}$ = 4·π·10⁻⁷ T·m/A, g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 24

Apartat a)

Resultat

En el mateix sentit (s'han d'atraure).

Resolució

Plantejament. El segon fil és a sota del fix i el pes l'estira cap avall: per «surar», la força magnètica ha de ser cap amunt, és a dir, cap al fil de dalt.
Força entre corrents. Dos corrents paral·lels s'atrauen quan van en el mateix sentit i es repel·leixen quan van en sentits contraris.
Conclusió. El fil de sota ha de ser atret cap amunt: els corrents han d'anar en el mateix sentit.

Apartat b)

Resultat

d \approx 6{,}4\cdot10^{-3}\ \text{m} = 6{,}4\ \text{mm}

Resolució

Dades. $I_1 = 50\ \text{A}$ , $I_2 = 25\ \text{A}$ , $L = 0{,}50\ \text{m}$ , $m = 2{,}0\cdot10^{-3}\ \text{kg}$ , $g = 9{,}8\ \text{m/s}^{2}$ .
Equilibri. La força magnètica ha d'igualar el pes: $\dfrac{\mu_0 I_1 I_2 L}{2\pi d} = mg\ \Rightarrow\ d = \dfrac{\mu_0 I_1 I_2 L}{2\pi m g}$
Càlcul. $d = \dfrac{2\cdot10^{-7}\cdot50\cdot25\cdot0{,}50}{0{,}0020\cdot9{,}8} = 6{,}4\cdot10^{-3}\ \text{m}$
Conclusió. El fil ha de penjar uns 6,4 mm per sota del primer.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 25

Un protó entra en un camp magnètic uniforme de 0,20 T amb una velocitat de 5,0· $10^{6}$ m/s que forma un angle de 30° amb la direcció del camp.
a) Descompon la velocitat en les components paral·lela i perpendicular al camp i raona quin tipus de moviment segueix el protó.
b) Calcula el radi de la trajectòria i el període.
c) Calcula la distància que avança el protó al llarg del camp a cada volta (pas de l'hèlix).
Dades: e = 1,6· $10^{-19}$ C; $m_{p}$ = 1,67· $10^{-27}$ kg.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 25

Apartat a)

Resultat

v_\parallel = 4{,}3\cdot10^{6}\ \text{m/s}

;

v_\perp = 2{,}5\cdot10^{6}\ \text{m/s}

; el protó descriu una hèlix d'eix paral·lel a B.

Resolució

Dades. $v = 5{,}0\cdot10^{6}\ \text{m/s}$ a 30° de $\vec B$ , $B = 0{,}20\ \text{T}$ .
Descomposició. $v_\parallel = v\cos30^\circ = 5{,}0\cdot10^{6}\cdot0{,}866 = 4{,}3\cdot10^{6}\ \text{m/s}$ ; $v_\perp = v\sin30^\circ = 2{,}5\cdot10^{6}\ \text{m/s}$ .
Força de Lorentz. La força magnètica només depèn de la component perpendicular ( $F = qv_\perp B$ ): la component paral·lela no nota cap força i es manté constant (moviment uniforme al llarg del camp), mentre que la perpendicular produeix un moviment circular uniforme.
Conclusió. La composició dels dos moviments és una hèlix d'eix paral·lel a $\vec B$ .

Apartat b)

Resultat

r = 0{,}13\ \text{m}

;

T = 3{,}3\cdot10^{-7}\ \text{s}

Resolució

Radi. Només hi intervé la component perpendicular: $r = \dfrac{m v_\perp}{qB} = \dfrac{1{,}67\cdot10^{-27}\cdot2{,}5\cdot10^{6}}{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot0{,}20} = 0{,}13\ \text{m}$
Període. $T = \dfrac{2\pi m}{qB} = \dfrac{2\pi\cdot1{,}67\cdot10^{-27}}{3{,}2\cdot10^{-20}} = 3{,}3\cdot10^{-7}\ \text{s}$ independent de la velocitat.
Error típic. Fer servir la velocitat total en lloc de la component perpendicular per calcular el radi.

Apartat c)

Resultat

Pas de l'hèlix:

p = 1{,}4\ \text{m}

Resolució

Plantejament. El pas és la distància que el protó recorre al llarg del camp en un període.
Càlcul. $p = v_\parallel\,T = 4{,}3\cdot10^{6}\cdot3{,}3\cdot10^{-7} = 1{,}4\ \text{m}$
Conclusió. L'hèlix és molt «estirada»: el pas (1,4 m) és unes 11 vegades el radi.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 26

Un fil rectilini molt llarg transporta un corrent de 20 A. En el mateix pla hi ha una espira rectangular amb dos costats de 10 cm paral·lels al fil, situats a 2 cm i a 7 cm del fil, per la qual circulen 5 A; en el costat més proper al fil, el corrent té el mateix sentit que el del fil.
a) Calcula el camp magnètic que crea el fil sobre cada costat paral·lel.
b) Calcula la força sobre cadascun d'aquests costats i raona què passa amb les forces sobre els costats perpendiculars al fil.
c) Calcula la força neta sobre l'espira i digues si és atreta o repel·lida pel fil.
$µ_{0}$ = 4π· $10^{-7}$ T·m/A.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 26

Apartat a)

Resultat

B_1 = 2{,}0\cdot10^{-4}\ \text{T}

(a 2 cm);

B_2 = 5{,}7\cdot10^{-5}\ \text{T}

(a 7 cm), perpendiculars al pla de l'espira.

Resolució

Dades. $I_1 = 20\ \text{A}$ al fil; costats paral·lels de $L = 0{,}10\ \text{m}$ a 0,02 m i 0,07 m; $I_2 = 5\ \text{A}$ a l'espira.
Camp d'un fil llarg. $B = \dfrac{\mu_0 I_1}{2\pi d} = 2\cdot10^{-7}\cdot\dfrac{20}{d}$ .
Càlcul. $B_1 = \dfrac{4\cdot10^{-6}}{0{,}02} = 2{,}0\cdot10^{-4}\ \text{T},\qquad B_2 = \dfrac{4\cdot10^{-6}}{0{,}07} = 5{,}7\cdot10^{-5}\ \text{T}$ El camp és perpendicular al pla de l'espira.

Apartat b)

Resultat

F_1 = 1{,}0\cdot10^{-4}\ \text{N}

(atractiva);

F_2 = 2{,}9\cdot10^{-5}\ \text{N}

(repulsiva); les forces sobre els costats perpendiculars es cancel·len.

Resolució

Força sobre un conductor. Cada costat paral·lel és perpendicular a B: $F = B I_2 L$ .
Costat proper. $F_1 = 2{,}0\cdot10^{-4}\cdot5\cdot0{,}10 = 1{,}0\cdot10^{-4}\ \text{N}$ , atractiva (corrents paral·lels en el mateix sentit s'atrauen).
Costat llunyà. $F_2 = 5{,}7\cdot10^{-5}\cdot5\cdot0{,}10 = 2{,}9\cdot10^{-5}\ \text{N}$ , repulsiva (allà el corrent va en sentit contrari al del fil).
Costats perpendiculars. El camp varia al llarg del costat, però de la mateixa manera en tots dos; com que els corrents hi tenen sentits oposats, les forces són iguals i de sentit contrari i es cancel·len.

Apartat c)

Resultat

F_{\text{neta}} = 7{,}1\cdot10^{-5}\ \text{N}

cap al fil: l'espira és atreta.

Resolució

Suma de forces. Les dues forces tenen la mateixa direcció i sentits oposats: $F = F_1 - F_2 = 1{,}0\cdot10^{-4} - 2{,}9\cdot10^{-5} = 7{,}1\cdot10^{-5}\ \text{N}$
Conclusió. La força neta va cap al fil: l'espira és atreta, perquè el costat més proper (on la força és més gran) és el que s'atrau.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 27

Un ciclotró de 0,50 m de radi té un camp magnètic de 1,2 T i s'utilitza per accelerar protons.
a) Explica breument com funciona i per què la freqüència del camp elèctric altern que aplica no s'ha d'anar canviant a mesura que els protons guanyen velocitat.
b) Calcula aquesta freqüència.
c) Calcula la velocitat i l'energia cinètica màximes (en J i en MeV) que poden assolir els protons.
Dades: e = 1,6· $10^{-19}$ C; $m_{p}$ = 1,67· $10^{-27}$ kg.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 27

Apartat a)

Resultat

El camp magnètic corba els protons i l'elèctric altern els accelera; com que

T = 2\pi m/(qB)

no depèn de la velocitat, la freqüència pot ser fixa.

Resolució

Funcionament. Els protons giren dins de dues «D» semicirculars sota l'acció del camp magnètic; cada vegada que passen per l'espai entre les D, un camp elèctric altern els accelera. El camp magnètic només els corba; qui els dona energia és l'elèctric.
Període de gir. De $qvB = mv^{2}/r$ : $r = \dfrac{mv}{qB}$ i $T = \dfrac{2\pi r}{v} = \dfrac{2\pi m}{qB}$ , que no depèn de la velocitat ni del radi.
Conclusió. A cada mitja volta els protons arriben a l'espai entre les D al mateix ritme encara que vagin cada cop més ràpid i descriguin circumferències més grans; per això la freqüència del camp altern pot ser fixa (mentre la velocitat no sigui relativista).

Apartat b)

Resultat

f = 1{,}8\cdot10^{7}\ \text{Hz} = 18\ \text{MHz}

Resolució

Freqüència de ciclotró. $f = \dfrac{1}{T} = \dfrac{qB}{2\pi m}$ .
Càlcul. $f = \dfrac{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot1{,}2}{2\pi\cdot1{,}67\cdot10^{-27}} = 1{,}8\cdot10^{7}\ \text{Hz}$

Apartat c)

Resultat

v_{\text{màx}} = 5{,}7\cdot10^{7}\ \text{m/s}

;

E_{c,\text{màx}} = 2{,}8\cdot10^{-12}\ \text{J} \approx 17\ \text{MeV}

Resolució

Velocitat màxima. El radi màxim és el del ciclotró: de $r = mv/(qB)$ , $v_{\text{màx}} = \dfrac{qBR}{m} = \dfrac{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot1{,}2\cdot0{,}50}{1{,}67\cdot10^{-27}} = 5{,}7\cdot10^{7}\ \text{m/s}$
Energia cinètica. $E_c = \tfrac12 m v_{\text{màx}}^{2} = \tfrac12\cdot1{,}67\cdot10^{-27}\cdot(5{,}75\cdot10^{7})^{2} = 2{,}8\cdot10^{-12}\ \text{J}$
En MeV. Amb $1\ \text{MeV} = 1{,}6\cdot10^{-13}\ \text{J}$ : $E_c = 2{,}76\cdot10^{-12}/1{,}6\cdot10^{-13} \approx 17\ \text{MeV}$ .
Conclusió. L'energia màxima, $E_c = \dfrac{q^{2}B^{2}R^{2}}{2m}$ , creix amb $B^{2}$ i $R^{2}$ : per obtenir més energia calen imants més grans o més intensos.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 28

Un electró es mou amb velocitat v = (2· $10^{6}$ ; 0; 0) m/s en una regió on hi ha un camp magnètic uniforme B = (0; 0,1; 0,2) T.
a) Calcula el vector força magnètica que actua sobre l'electró i el seu mòdul.
b) Raona si la trajectòria és una circumferència i, si ho és, calcula'n el radi.
Dades: e = 1,6· $10^{-19}$ C; $m_{e}$ = 9,11· $10^{-31}$ kg.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 28

Apartat a)

Resultat

\vec F = (0;\ 6{,}4\cdot10^{-14};\ -3{,}2\cdot10^{-14})\ \text{N}

;

|\vec F| = 7{,}2\cdot10^{-14}\ \text{N}

Resolució

Dades. $\vec v = (2\cdot10^{6};\,0;\,0)\ \text{m/s}$ , $\vec B = (0;\,0{,}1;\,0{,}2)\ \text{T}$ , $q = -e$ .
Força de Lorentz. $\vec F = q\,\vec v\times\vec B$ . Producte vectorial: $\vec v\times\vec B = (0\cdot0{,}2-0\cdot0{,}1;\ 0\cdot0-2\cdot10^{6}\cdot0{,}2;\ 2\cdot10^{6}\cdot0{,}1-0) = (0;\ -4\cdot10^{5};\ 2\cdot10^{5})$
Força. $\vec F = -1{,}6\cdot10^{-19}\cdot(0;\ -4\cdot10^{5};\ 2\cdot10^{5}) = (0;\ 6{,}4\cdot10^{-14};\ -3{,}2\cdot10^{-14})\ \text{N}$
Mòdul. $|\vec F| = \sqrt{(6{,}4\cdot10^{-14})^{2} + (3{,}2\cdot10^{-14})^{2}} = 7{,}2\cdot10^{-14}\ \text{N}$

Apartat b)

Resultat

Sí, és una circumferència (

\vec v\perp\vec B

) de radi

r = 5{,}1\cdot10^{-5}\ \text{m}

Resolució

Condició. La trajectòria és circular si $\vec v$ és perpendicular a $\vec B$ : $\vec v\cdot\vec B = 2\cdot10^{6}\cdot0 + 0\cdot0{,}1 + 0\cdot0{,}2 = 0$ . Són perpendiculars i el moviment és circular uniforme en el pla perpendicular a $\vec B$ .
Mòdul del camp. $|\vec B| = \sqrt{0{,}1^{2}+0{,}2^{2}} = 0{,}224\ \text{T}$ .
Radi. $r = \dfrac{m v}{|q|\,|\vec B|} = \dfrac{9{,}11\cdot10^{-31}\cdot2\cdot10^{6}}{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot0{,}224} = 5{,}1\cdot10^{-5}\ \text{m}$
Comprovació. $|\vec F| = |q|vB = 1{,}6\cdot10^{-19}\cdot2\cdot10^{6}\cdot0{,}224 = 7{,}2\cdot10^{-14}\ \text{N}$ , i $\vec F\cdot\vec v = 0$ (la força és perpendicular a la velocitat, com ha de ser).

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 29

Un protó, inicialment en repòs, s'accelera amb una diferència de potencial de 2000 V i tot seguit entra perpendicularment en un camp magnètic uniforme de 0,50 T.
a) Calcula la velocitat amb què entra al camp magnètic.
b) Calcula el radi de la trajectòria circular que descriu.
c) Si es repeteix l'experiment amb una partícula alfa (q = +2e, m = 6,64· $10^{-27}$ kg) accelerada amb la mateixa diferència de potencial, raona si el radi serà més gran o més petit i calcula'l.
Dades: e = 1,6· $10^{-19}$ C; $m_{p}$ = 1,67· $10^{-27}$ kg.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 29

Apartat a)

Resultat

v = 6{,}2\cdot10^{5}\ \text{m/s}

Resolució

Dades. $\Delta V = 2000\ \text{V}$ , $q = 1{,}6\cdot10^{-19}\ \text{C}$ , $m_p = 1{,}67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$ , $B = 0{,}50\ \text{T}$ .
Conservació de l'energia. El treball del camp elèctric es converteix en energia cinètica: $q\,\Delta V = \tfrac12 m v^{2}\ \Rightarrow\ v = \sqrt{\dfrac{2q\,\Delta V}{m}}$
Càlcul. $v = \sqrt{\dfrac{2\cdot1{,}6\cdot10^{-19}\cdot2000}{1{,}67\cdot10^{-27}}} = \sqrt{3{,}83\cdot10^{11}} = 6{,}2\cdot10^{5}\ \text{m/s}$

Apartat b)

Resultat

r = 1{,}3\cdot10^{-2}\ \text{m} = 1{,}3\ \text{cm}

Resolució

Força magnètica com a centrípeta. $r = \dfrac{mv}{qB}$ .
Càlcul. $r = \dfrac{1{,}67\cdot10^{-27}\cdot6{,}2\cdot10^{5}}{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot0{,}50} = 1{,}3\cdot10^{-2}\ \text{m}$

Apartat c)

Resultat

El radi és més gran,

\sqrt2\approx1{,}41

vegades:

r_\alpha = 1{,}8\cdot10^{-2}\ \text{m} = 1{,}8\ \text{cm}

Resolució

Expressió general. Combinant les dues expressions: $r = \dfrac{1}{B}\sqrt{\dfrac{2m\,\Delta V}{q}}$ r és proporcional a $\sqrt{m/q}$ .
Raonament. La partícula alfa té unes 4 vegades la massa del protó i el doble de càrrega: m/q és el doble i el radi és $\sqrt2\approx1{,}41$ vegades més gran.
Càlcul directe. $v_\alpha = \sqrt{\dfrac{2\cdot3{,}2\cdot10^{-19}\cdot2000}{6{,}64\cdot10^{-27}}} = 4{,}4\cdot10^{5}\ \text{m/s},\qquad r_\alpha = \dfrac{6{,}64\cdot10^{-27}\cdot4{,}4\cdot10^{5}}{3{,}2\cdot10^{-19}\cdot0{,}50} = 1{,}8\cdot10^{-2}\ \text{m}$
Conclusió. Fixa't que la partícula alfa va més lenta però descriu una circumferència més gran, perquè té molta més inèrcia per unitat de càrrega.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 30

Dos fils rectilinis, llargs i paral·lels a l'eix Z, tallen el pla XY als punts A(-4; 0) i C(4; 0) (coordenades en cm). Pel fil A circulen 10 A en el sentit +Z i pel fil C, 10 A en el sentit -Z.
a) Calcula el mòdul del camp que crea cada fil al punt P(0; 3) i indica'n la direcció.
b) Calcula el vector camp magnètic total a P.
c) Calcula la força sobre un protó que passa per P amb una velocitat de 1,0· $10^{5}$ m/s en el sentit +Z.
Dades: $µ_{0}$ = 4π· $10^{-7}$ T·m/A; e = 1,6· $10^{-19}$ C.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 30

Apartat a)

Resultat

B_A = B_C = 4{,}0\cdot10^{-5}\ \text{T}

, cadascun perpendicular a la recta que uneix el fil amb P, dins del pla XY.

Resolució

Distàncies. P és a $d = \sqrt{4^{2}+3^{2}} = 5\ \text{cm}$ de cada fil.
Camp d'un fil llarg. $B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi d} = 2\cdot10^{-7}\cdot\dfrac{10}{0{,}05} = 4{,}0\cdot10^{-5}\ \text{T}$ per a cada fil.
Direcció. Cada camp és perpendicular a la recta que uneix el fil amb P (tangent a la circumferència centrada en el fil que passa per P), dins del pla XY.

Apartat b)

Resultat

\vec B = (0;\ 6{,}4\cdot10^{-5};\ 0)\ \text{T}

6{,}4\cdot10^{-5}\ \text{T}

en el sentit +Y.

Resolució

Fil A. Regla de la mà dreta: el fil A (corrent +Z) crea a P un camp perpendicular a $\vec{AP} = (4;\,3)$ , en sentit antihorari vist des de +Z: $\vec B_A = 4{,}0\cdot10^{-5}\cdot(-0{,}6;\ 0{,}8)\ \text{T}$ .
Fil C. El fil C (corrent −Z) crea un camp en sentit horari al voltant de C, perpendicular a $\vec{CP} = (-4;\,3)$ : $\vec B_C = 4{,}0\cdot10^{-5}\cdot(0{,}6;\ 0{,}8)\ \text{T}$ .
Superposició. Les components X es cancel·len i les Y se sumen: $\vec B = (0;\ 6{,}4\cdot10^{-5};\ 0)\ \text{T}$ .
Conclusió. El camp total apunta en el sentit +Y, al llarg de la mediatriu del segment AC: amb corrents antiparal·lels, a la mediatriu el camp és perpendicular al segment que uneix els fils.

Apartat c)

Resultat

\vec F = (-1{,}0\cdot10^{-18};\ 0;\ 0)\ \text{N}

1{,}0\cdot10^{-18}\ \text{N}

en el sentit −X.

Resolució

Força de Lorentz. $\vec F = q\,\vec v\times\vec B$ , amb $\vec v = (0;\,0;\,1{,}0\cdot10^{5})\ \text{m/s}$ .
Càlcul. $\vec F = 1{,}6\cdot10^{-19}\cdot(0;\,0;\,1{,}0\cdot10^{5})\times(0;\,6{,}4\cdot10^{-5};\,0) = 1{,}6\cdot10^{-19}\cdot(-6{,}4;\,0;\,0) = (-1{,}0\cdot10^{-18};\,0;\,0)\ \text{N}$
Conclusió. Mòdul $1{,}0\cdot10^{-18}\ \text{N}$ , dirigida en el sentit −X: perpendicular alhora a la velocitat (eix Z) i al camp (eix Y).

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preparat per a la universitat

Els exercicis més exigents: nivell PAU alt i primer curs de grau. Veure totes les matèries

Exercici 31

Un laboratori de datació per radiocarboni compta directament els àtoms de carboni-14 d'una mostra amb un espectròmetre de masses. Els ions $\mathrm{C}^{+}$ (càrrega +e) passen primer per un selector de velocitats, amb un camp elèctric de 2,0· $10^{5}$ V/m i un camp magnètic de 0,40 T perpendiculars entre si i a la velocitat. Els ions que el travessen sense desviar-se entren en una cambra amb un camp magnètic uniforme de 0,50 T, perpendicular a la velocitat, on descriuen mitja circumferència abans d'arribar a un detector.
a) Raona per què cal el selector de velocitats: què passaria a la cambra si els ions hi entressin amb velocitats diferents?
b) Calcula la velocitat dels ions que surten del selector.
c) Calcula el radi de la trajectòria dels ions de carboni-12 i de carboni-14 a la cambra i la distància entre els seus punts d'impacte al detector.
d) Si, per error, els ions arribessin amb càrrega +2e i la mateixa velocitat, la separació entre els impactes seria més gran o més petita? Quant valdria? Interpreta què vol dir per a la resolució de l'aparell.
Dades: e = 1,60· $10^{-19}$ C; 1 u = 1,66· $10^{-27}$ kg; m(¹²C) = 12,0 u; m(¹⁴C) = 14,0 u.

Pista 1

Al selector, l'ió passa recte només si dues forces s'anul·len. Quines són i de què depèn cadascuna?

Pista 2

A la cambra la força magnètica fa de força centrípeta. Escriu el radi en funció de m, v, q i B i pensa què és igual per als dos isòtops.

Pista 3

Després de mitja volta, cada ió impacta a una distància igual al diàmetre de la seva trajectòria des del punt d'entrada.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 31

Apartat a)

Resultat

Com que

r = mv/(qB)

depèn de la velocitat, sense el selector dos isòtops amb velocitats diferents podrien tenir el mateix radi: el selector fa que el radi només depengui de la massa.

Resolució

Radi a la cambra. $r = \dfrac{mv}{qB}$ : depèn de la massa i també de la velocitat.
Sense selector. Si els ions entressin amb velocitats diferents, un ió de ¹²C ràpid i un de ¹⁴C lent podrien tenir el mateix radi i arribar al mateix lloc, i no es podrien distingir.
Conclusió. El selector garanteix que tots tinguin la mateixa velocitat, de manera que el radi només depengui de la massa (per a una mateixa càrrega).

Apartat b)

Resultat

v = 5{,}0\cdot10^{5}\ \text{m/s}

Resolució

Dades. $E = 2{,}0\cdot10^{5}\ \text{V/m}$ , $B = 0{,}40\ \text{T}$ .
Selector de velocitats. La força elèctrica $qE$ i la magnètica $qvB$ tenen sentits oposats; passen sense desviar-se els ions per als quals s'igualen: $qE = qvB\ \Rightarrow\ v = \dfrac{E}{B}$
Càlcul. $v = \dfrac{2{,}0\cdot10^{5}}{0{,}40} = 5{,}0\cdot10^{5}\ \text{m/s}$ No depèn ni de la massa ni de la càrrega.

Apartat c)

Resultat

r_{12} = 0{,}125\ \text{m}

;

r_{14} = 0{,}145\ \text{m}

; separació

\Delta x \approx 4{,}2\cdot10^{-2}\ \text{m} = 4{,}2\ \text{cm}

Resolució

Força magnètica com a centrípeta. $qvB = \dfrac{mv^{2}}{r}\ \Rightarrow\ r = \dfrac{mv}{qB}$ , amb $B = 0{,}50\ \text{T}$ .
Carboni-12. $r_{12} = \dfrac{12{,}0\cdot1{,}66\cdot10^{-27}\cdot5{,}0\cdot10^{5}}{1{,}60\cdot10^{-19}\cdot0{,}50} = 0{,}125\ \text{m}$
Carboni-14. $r_{14} = \dfrac{14{,}0\cdot1{,}66\cdot10^{-27}\cdot5{,}0\cdot10^{5}}{1{,}60\cdot10^{-19}\cdot0{,}50} = 0{,}145\ \text{m}$
Separació. Cada ió impacta a un diàmetre (2r) del punt d'entrada: $\Delta x = 2\,(r_{14}-r_{12}) = 2\,(0{,}1453-0{,}1245) = 4{,}2\cdot10^{-2}\ \text{m}$ És una distància fàcil de resoldre amb dos detectors separats.

Apartat d)

Resultat

La separació seria més petita, la meitat:

\Delta x' \approx 2{,}1\ \text{cm}

; l'aparell discrimina pitjor les masses.

Resolució

Dependència amb la càrrega. $r \propto 1/q$ : amb càrrega 2e i la mateixa velocitat, tots dos radis es redueixen a la meitat, i també la seva diferència.
Càlcul. $\Delta x' = \Delta x/2 \approx 2{,}1\ \text{cm}$ .
Interpretació. La separació és més petita i l'aparell discrimina pitjor les masses: per això interessa treballar amb una càrrega coneguda i fixa, i com més gran és la relació m/q, més separats queden els impactes.

Errors típics

Pensar que el selector deixa passar ions d'una massa determinada: en realitat selecciona només la velocitat (v = $\tfrac{E}{B}$ ), independentment de m i q.
Prendre com a separació la diferència de radis en lloc de la diferència de diàmetres.
Oblidar convertir les masses atòmiques de u a kg.

Conceptes treballats: força de Lorentz, selector de velocitats, moviment circular en un camp magnètic, espectròmetre de masses, isòtops i datació.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 32

Per produir fluor-18, l'isòtop que es fa servir a les tomografies PET, un hospital disposa d'un ciclotró que accelera protons. El camp magnètic és de 1,5 T i el radi útil de les «des» és de 0,40 m. Cada vegada que un protó travessa l'espai entre les des, una diferència de potencial alterna de 40 kV l'accelera.
a) Demostra que el temps que tarda un protó a fer mitja volta no depèn de la seva velocitat, i calcula la freqüència que ha de tenir la tensió alterna.
b) Calcula la velocitat màxima i l'energia cinètica màxima (en J i en MeV) dels protons que surten del ciclotró.
c) Aproximadament, quantes voltes fa cada protó dins de la màquina?
d) Calcula el quocient v/c a la sortida. Raona per què, si es volguessin assolir velocitats properes a la de la llum amb una freqüència fixa, el ciclotró deixaria de funcionar (pensa en la massa relativista).
Dades: $m_{p}$ = 1,67· $10^{-27}$ kg; e = 1,60· $10^{-19}$ C; c = 3,0· $10^{8}$ m/s; 1 MeV = 1,60· $10^{-13}$ J.

Pista 1

Iguala la força magnètica a la centrípeta i escriu el període T = 2π·r/v. Què passa amb v quan simplifiques?

Pista 2

La velocitat màxima correspon al radi màxim de les des. La tensió entre les des no intervé en aquest càlcul.

Pista 3

En cada volta el protó travessa dues vegades l'espai entre les des.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 32

Apartat a)

Resultat

T = 2\pi m/(qB)

no depèn de v (la mitja volta dura

\pi m/(qB)

);

f = 2{,}3\cdot10^{7}\ \text{Hz} \approx 23\ \text{MHz}

Resolució

Força magnètica com a centrípeta. $qvB = \dfrac{mv^{2}}{r}\ \Rightarrow\ r = \dfrac{mv}{qB}$ .
Període. $T = \dfrac{2\pi r}{v} = \dfrac{2\pi m}{qB}$ La v se simplifica: quan el protó va més ràpid, descriu una circumferència més gran en proporció, i triga el mateix a fer mitja volta. Per això una tensió alterna de freqüència fixa el pot accelerar sempre en el moment just.
Freqüència. $f = \dfrac{qB}{2\pi m} = \dfrac{1{,}60\cdot10^{-19}\cdot1{,}5}{2\pi\cdot1{,}67\cdot10^{-27}} = 2{,}3\cdot10^{7}\ \text{Hz}$ (radiofreqüència).

Apartat b)

Resultat

v_{\text{màx}} = 5{,}7\cdot10^{7}\ \text{m/s}

;

E_c = 2{,}8\cdot10^{-12}\ \text{J} \approx 17\ \text{MeV}

Resolució

Velocitat màxima. Correspon al radi màxim de les des, $R = 0{,}40\ \text{m}$ : $v_{\text{màx}} = \dfrac{qBR}{m} = \dfrac{1{,}60\cdot10^{-19}\cdot1{,}5\cdot0{,}40}{1{,}67\cdot10^{-27}} = 5{,}7\cdot10^{7}\ \text{m/s}$
Energia cinètica. $E_c = \tfrac12 m v^{2} = \tfrac12\cdot1{,}67\cdot10^{-27}\cdot(5{,}75\cdot10^{7})^{2} = 2{,}8\cdot10^{-12}\ \text{J}$ i $2{,}76\cdot10^{-12}/1{,}60\cdot10^{-13} \approx 17\ \text{MeV}$ .
Conclusió. És l'ordre de magnitud dels ciclotrons hospitalaris. Fixa't que l'energia final la fixen B i R, no la tensió.

Apartat c)

Resultat

Unes

2{,}2\cdot10^{2}

voltes.

Resolució

Energia per volta. A cada pas entre les des el protó guanya $q\,\Delta V = 40\ \text{keV}$ , i en cada volta n'hi ha dos: 80 keV per volta.
Càlcul. $N \approx \dfrac{17{,}2\ \text{MeV}}{0{,}080\ \text{MeV}} \approx 2{,}2\cdot10^{2}\ \text{voltes}$
Conclusió. La tensió només determina quantes voltes calen, no l'energia final.

Apartat d)

Resultat

v/c = 0{,}19

; si la massa relativista creix, el període s'allarga i els protons es desfasen de la tensió de freqüència fixa.

Resolució

Quocient. $v/c = 5{,}75\cdot10^{7}/3{,}0\cdot10^{8} = 0{,}19$ .
Factor relativista. $\gamma = 1/\sqrt{1-0{,}19^{2}} \approx 1{,}02$ : la massa relativista és només un 2 % més gran que la de repòs, i el desfasament encara es pot tolerar.
Límit del ciclotró. Com que $T = 2\pi m/(qB)$ , si la massa relativista creix el període s'allarga: els protons arriben cada cop més tard a l'espai entre les des, i quan v s'acosta a c el desfasament acumulat fa que deixin de trobar la tensió en el sentit correcte i ja no s'acceleren.
Conclusió. Per anar més enllà calen sincrociclotrons (freqüència variable) o sincrotrons.

Errors típics

Creure que l'energia final depèn de la tensió entre les des: la limita el radi (E_c = q²·B²·R²/(2m)).
Comptar un sol pas per l'espai entre les des per volta en lloc de dos.
Confondre la freqüència f amb la velocitat angular ω = q·B/m (diferència d'un factor 2π).

Conceptes treballats: força de Lorentz, moviment circular, període independent de la velocitat, energia cinètica i treball elèctric, massa relativista, aplicacions mèdiques (PET).

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 33

Un protó del vent solar arriba a una zona propera al pol nord magnètic, on el camp magnètic terrestre val 5,0· $10^{-5}$ T. Considera'l uniforme a la regió estudiada. La velocitat del protó és de 4,0· $10^{5}$ m/s i forma un angle de 60° amb les línies de camp.
a) Raona per què la trajectòria del protó és una hèlix: què fa cadascuna de les components de la velocitat?
b) Calcula el radi de l'hèlix, el temps que triga a fer una volta i el pas de l'hèlix (distància que avança en la direcció del camp en una volta).
c) L'energia cinètica del protó augmenta, disminueix o es manté mentre gira? Justifica-ho.
d) Un electró amb la mateixa velocitat i el mateix angle, quin radi tindria? Gira en el mateix sentit que el protó?
e) Fes servir els resultats per explicar per què les aurores s'observen sobretot a prop dels pols.
Dades: $m_{p}$ = 1,67· $10^{-27}$ kg; $m_{e}$ = 9,11· $10^{-31}$ kg; e = 1,60· $10^{-19}$ C.

Pista 1

Descompon la velocitat en una component paral·lela al camp i una de perpendicular. Quina d'elles intervé en la força q·v×B?

Pista 2

El radi el determina només la component perpendicular; el període no depèn de la velocitat.

Pista 3

Per al pas, multiplica la component paral·lela de la velocitat pel període.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 33

Apartat a)

Resultat

La component perpendicular fa un moviment circular i la paral·lela, un avanç uniforme al llarg de la línia de camp: la combinació és una hèlix.

Resolució

Descomposició. $v_\perp = v\sin60^\circ$ i $v_\parallel = v\cos60^\circ$ .
Força de Lorentz. $\vec F = q\,\vec v\times\vec B$ només depèn de la component de la velocitat perpendicular al camp i és perpendicular a ella: aquesta component fa un moviment circular uniforme en el pla perpendicular a B.
Component paral·lela. No fa cap força i es manté constant: el protó avança uniformement al llarg de la línia de camp.
Conclusió. La combinació d'un gir i un avanç és una hèlix enrotllada al voltant de la línia de camp.

Apartat b)

Resultat

r = 72\ \text{m}

;

T = 1{,}3\cdot10^{-3}\ \text{s}

; pas

p = 2{,}6\cdot10^{2}\ \text{m}

Resolució

Dades. $B = 5{,}0\cdot10^{-5}\ \text{T}$ , $v = 4{,}0\cdot10^{5}\ \text{m/s}$ , 60°: $v_\perp = 3{,}46\cdot10^{5}\ \text{m/s}$ , $v_\parallel = 2{,}0\cdot10^{5}\ \text{m/s}$ .
Radi. $r = \dfrac{m v_\perp}{qB} = \dfrac{1{,}67\cdot10^{-27}\cdot3{,}46\cdot10^{5}}{1{,}60\cdot10^{-19}\cdot5{,}0\cdot10^{-5}} = 72\ \text{m}$
Període. $T = \dfrac{2\pi m}{qB} = \dfrac{2\pi\cdot1{,}67\cdot10^{-27}}{1{,}60\cdot10^{-19}\cdot5{,}0\cdot10^{-5}} = 1{,}3\cdot10^{-3}\ \text{s}$
Pas. $p = v_\parallel T = 2{,}0\cdot10^{5}\cdot1{,}31\cdot10^{-3} = 2{,}6\cdot10^{2}\ \text{m}$

Apartat c)

Resultat

Es manté constant: la força magnètica no fa treball.

Resolució

Treball de la força magnètica. La força és sempre perpendicular a la velocitat, no fa treball.
Teorema de l'energia cinètica. Com que $W = 0$ , $\Delta E_c = 0$ : el mòdul de la velocitat no canvia. Només en canvia la direcció.

Apartat d)

Resultat

r_e = 3{,}9\cdot10^{-2}\ \text{m} \approx 4\ \text{cm}

; gira en sentit oposat al protó.

Resolució

Radi. $r_e = \dfrac{m_e v_\perp}{eB} = \dfrac{9{,}11\cdot10^{-31}\cdot3{,}46\cdot10^{5}}{1{,}60\cdot10^{-19}\cdot5{,}0\cdot10^{-5}} = 3{,}9\cdot10^{-2}\ \text{m}$ unes 1830 vegades menys que el del protó (la relació de masses).
Sentit de gir. Com que la càrrega és de signe oposat, la força té sentit contrari i gira en sentit oposat.

Apartat e)

Resultat

Les partícules queden «enfilades» a les línies de camp, que a prop dels pols entren gairebé verticalment a l'atmosfera: només allà hi arriben i l'exciten.

Resolució

Escala. Els radis (de centímetres a desenes de metres) són minúsculs comparats amb les dimensions de la magnetosfera: les partícules carregades queden «enfilades» a les línies de camp i les segueixen.
Pols. A prop dels pols, les línies de camp terrestre entren gairebé verticalment a l'atmosfera, de manera que les partícules poden arribar a l'atmosfera alta i excitar-ne els àtoms d'oxigen i nitrogen, que emeten llum.
Equador. A prop de l'equador, en canvi, les línies són paral·leles a la superfície i les partícules hi passen per sobre sense baixar.

Errors típics

Fer servir la velocitat total (i no la component perpendicular) per calcular el radi.
Pensar que el camp magnètic accelera o frena el protó: la força magnètica no fa treball.
Calcular el pas amb la component perpendicular de la velocitat.

Conceptes treballats: força de Lorentz, descomposició vectorial de la velocitat, moviment helicoidal, treball de la força magnètica, camp magnètic terrestre i aurores.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 34

Molts sensors de camp magnètic (els dels mòbils, o els que mesuren la velocitat de gir d'una roda) funcionen per efecte Hall. Una làmina conductora d'amplada w i gruix d per on passa un corrent I està dins d'un camp magnètic B perpendicular a la cara gran de la làmina. Els portadors es desvien cap a una vora fins que el camp elèctric transversal que creen equilibra la força magnètica, i entre les dues vores apareix una tensió $V_{H}$ (tensió Hall).
a) Per a una làmina de coure amb w = 1,0 cm, d = 0,10 mm, I = 5,0 A i B = 1,2 T, calcula la velocitat d'arrossegament dels electrons, el camp elèctric transversal i la tensió Hall.
b) Demostra que $V_{H}$ = I·B/(n·e·d). Raona per què, per fer un sensor, convé un material amb pocs portadors per unitat de volum.
c) Calcula la tensió Hall en un sensor semiconductor amb n = 1,0· $10^{22}$ $\text{m}^{-3}$ , el mateix gruix, I = 1,0 mA i el mateix camp. Interpreta el resultat.
d) Raona com es podria saber, mesurant el signe de $V_{H}$ , si els portadors de càrrega són positius o negatius.
Dades: n(Cu) = 8,5· $10^{28}$ electrons/ $\text{m}^{3}$ ; e = 1,60· $10^{-19}$ C. El corrent es relaciona amb la velocitat dels portadors per I = n·e·v·S, on S és la secció.

Pista 1

En l'estat estacionari, la força elèctrica i la força magnètica sobre cada portador tenen el mateix mòdul.

Pista 2

La secció per on passa el corrent és S = w·d. Un camp elèctric uniforme E entre dues vores separades w dona una tensió E·w.

Pista 3

Substitueix v = I/(n·e·w·d) a $V_{H}$ = v·B·w i mira quina dimensió de la làmina desapareix.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 34

Apartat a)

Resultat

v = 3{,}7\cdot10^{-4}\ \text{m/s}

;

E_H = 4{,}4\cdot10^{-4}\ \text{V/m}

;

V_H = 4{,}4\cdot10^{-6}\ \text{V} \approx 4{,}4\ \mu\text{V}

Resolució

Dades. $w = 1{,}0\cdot10^{-2}\ \text{m}$ , $d = 1{,}0\cdot10^{-4}\ \text{m}$ , $I = 5{,}0\ \text{A}$ , $B = 1{,}2\ \text{T}$ , $n = 8{,}5\cdot10^{28}\ \text{m}^{-3}$ ; secció $S = wd$ .
Velocitat d'arrossegament. $v = \dfrac{I}{n e w d} = \dfrac{5{,}0}{8{,}5\cdot10^{28}\cdot1{,}60\cdot10^{-19}\cdot1{,}0\cdot10^{-2}\cdot1{,}0\cdot10^{-4}} = 3{,}7\cdot10^{-4}\ \text{m/s}$ (menys d'un mil·límetre per segon!).
Equilibri de forces. $eE_H = evB\ \Rightarrow\ E_H = vB = 3{,}68\cdot10^{-4}\cdot1{,}2 = 4{,}4\cdot10^{-4}\ \text{V/m}$ .
Tensió Hall. $V_H = E_H\,w = 4{,}41\cdot10^{-4}\cdot1{,}0\cdot10^{-2} = 4{,}4\cdot10^{-6}\ \text{V}$ .

Apartat b)

Resultat

V_H = \dfrac{IB}{ned}

(l'amplada se simplifica); amb pocs portadors (n petit) la tensió Hall és més gran i més fàcil de mesurar.

Resolució

Demostració. $V_H = vBw = \dfrac{I}{n e w d}\,B\,w = \dfrac{IB}{n e d}$ L'amplada se simplifica.
Dependència amb n. Com que $V_H$ és inversament proporcional a n, en un metall (n enorme) la tensió és tan petita que costa de mesurar.
Conclusió. Amb pocs portadors, per tenir el mateix corrent han d'anar molt més ràpid, la força magnètica sobre cadascun és més gran i la tensió Hall també.

Apartat c)

Resultat

V_H = 7{,}5\cdot10^{-3}\ \text{V} = 7{,}5\ \text{mV}

, més de 1000 vegades la del coure amb un corrent 5000 vegades més petit.

Resolució

Càlcul. $V_H = \dfrac{1{,}0\cdot10^{-3}\cdot1{,}2}{1{,}0\cdot10^{22}\cdot1{,}60\cdot10^{-19}\cdot1{,}0\cdot10^{-4}} = 7{,}5\cdot10^{-3}\ \text{V}$
Interpretació. Amb un corrent 5000 vegades més petit s'obté una tensió més de 1000 vegades més gran que amb el coure: per això els sensors Hall són de semiconductor.
Conclusió. A més, $V_H$ és proporcional a B: un cop calibrat, el sensor dona el camp directament.

Apartat d)

Resultat

Per a un mateix corrent, tots dos tipus de portadors s'acumulen a la mateixa vora, que queda amb el signe del portador: el signe de

V_H

revela el signe dels portadors.

Resolució

Moviment dels portadors. Per a un corrent en un sentit donat, els portadors positius es mouen en el sentit del corrent i els negatius en sentit contrari.
Força. La força $q\,\vec v\times\vec B$ té el mateix sentit en tots dos casos (canvien de signe q i v alhora). Per tant, tots dos tipus de portadors s'acumulen a la mateixa vora, i aquesta vora queda positiva o negativa segons el signe del portador.
Conclusió. El signe de $V_H$ revela el signe dels portadors (així es va descobrir que en alguns semiconductors condueixen «forats» positius).

Errors típics

Fer servir el gruix d en lloc de l'amplada w per passar del camp elèctric a la tensió: la tensió Hall és entre les vores separades per w, V_H = E·w.
Pensar que portadors negatius s'acumulen a la vora oposada a la dels positius per al mateix corrent.
Confondre la velocitat d'arrossegament (molt petita) amb la velocitat del senyal elèctric.

Conceptes treballats: força de Lorentz sobre portadors de càrrega, camp elèctric uniforme i diferència de potencial, corrent elèctric i velocitat d'arrossegament, sensors magnètics.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 35

L'imant d'un aparell de ressonància magnètica d'un hospital és un solenoide superconductor de 1,6 m de llargada i 1,0 m de diàmetre, refrigerat amb heli líquid, que crea un camp de 1,5 T a l'interior quan hi circula un corrent de 400 A.
a) Calcula el nombre d'espires del solenoide i la longitud total del fil (aproxima'l a un solenoide llarg).
b) Si es volgués fer el mateix bobinat amb fil de coure de 2,0 mm² de secció, quina resistència tindria i quina potència es dissiparia per efecte Joule? Interpreta el resultat i raona per què es fan servir superconductors.
c) La sang conté ions que es mouen amb ella. A l'aorta d'un pacient (diàmetre 2,5 cm), la sang va a 0,30 m/s perpendicularment al camp. Raona per què els ions positius i negatius se separen cap a costats oposats del vas i estima la diferència de potencial màxima que apareix entre les parets de l'aorta quan s'arriba a l'equilibri.
d) Aquesta tensió és prou gran per alterar l'electrocardiograma que es registra durant la prova, que té senyals d'1 mV aproximadament? Raona-ho.
Dades: $μ_{0}$ = 4π· $10^{-7}$ T·m/A; ρ(Cu) = 1,7· $10^{-8}$ Ω·m.

Pista 1

Per a un solenoide llarg, B = $μ_{0}$ ·N·I/L. Cada espira té una longitud igual al perímetre del solenoide.

Pista 2

R = ρ·ℓ/S i P = $I^{2}$ ·R. Compara la potència amb el consum d'una casa (uns quants kW).

Pista 3

Els ions s'acumulen a les parets fins que el camp elèctric que creen compensa la força magnètica: q·E = q·v·B.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 35

Apartat a)

Resultat

N = 4{,}8\cdot10^{3}

espires; longitud del fil

\ell = 1{,}5\cdot10^{4}\ \text{m} = 15\ \text{km}

Resolució

Dades. $L = 1{,}6\ \text{m}$ , $D = 1{,}0\ \text{m}$ , $B = 1{,}5\ \text{T}$ , $I = 400\ \text{A}$ .
Solenoide llarg. $B = \dfrac{\mu_0 N I}{L}\ \Rightarrow\ N = \dfrac{BL}{\mu_0 I} = \dfrac{1{,}5\cdot1{,}6}{4\pi\cdot10^{-7}\cdot400} = 4{,}8\cdot10^{3}\ \text{espires}$
Longitud de fil. Cada espira té la longitud del perímetre: $\ell = N\pi D = 4775\cdot\pi\cdot1{,}0 = 1{,}5\cdot10^{4}\ \text{m}$ .

Apartat b)

Resultat

R = 1{,}3\cdot10^{2}\ \Omega

;

P \approx 2\cdot10^{7}\ \text{W} = 20\ \text{MW}

: inviable; per això es fan servir superconductors (resistència nul·la).

Resolució

Resistència. $R = \rho\dfrac{\ell}{S} = 1{,}7\cdot10^{-8}\cdot\dfrac{1{,}5\cdot10^{4}}{2{,}0\cdot10^{-6}} = 1{,}3\cdot10^{2}\ \Omega$
Efecte Joule. $P = I^{2}R = 400^{2}\cdot128 \approx 2\cdot10^{7}\ \text{W} = 20\ \text{MW}$ , la potència d'una petita central elèctrica, tota convertida en calor dins del bobinat (que es fondria). A més, mantenir 400 A amb 128 Ω exigiria una tensió de 51 kV.
Superconductors. Un superconductor té resistència nul·la: un cop establert, el corrent circula indefinidament sense dissipar energia, i només cal mantenir-lo fred.

Apartat c)

Resultat

Els ions de signe oposat noten forces oposades i se separen; a l'equilibri,

E = vB = 0{,}45\ \text{V/m}

\Delta V \approx 1{,}1\cdot10^{-2}\ \text{V} \approx 11\ \text{mV}

Resolució

Força de Lorentz. Sobre cada ió, $\vec F = q\,\vec v\times\vec B$ . Com que ions positius i negatius tenen càrregues de signe oposat i es mouen amb la mateixa velocitat, les forces són oposades: els positius s'acumulen a una paret i els negatius a l'oposada.
Equilibri. Aquesta separació crea un camp elèctric transversal que creix fins que equilibra la força magnètica: $qE = qvB\ \Rightarrow\ E = vB = 0{,}30\cdot1{,}5 = 0{,}45\ \text{V/m}$
Diferència de potencial. $\Delta V = E\,d = 0{,}45\cdot0{,}025 \approx 1{,}1\cdot10^{-2}\ \text{V}$ .

Apartat d)

Resultat

Sí: uns 11 mV és unes deu vegades el senyal de l'ECG (1 mV).

Resolució

Comparació. Uns 11 mV és unes deu vegades el senyal d'un electrocardiograma, i a més varia amb cada batec (perquè la velocitat de la sang varia).
Conseqüència. Dins de l'escàner l'electrocardiograma surt distorsionat i s'ha de filtrar o interpretar amb compte.
Aplicació. És el mateix principi dels cabalímetres electromagnètics, que mesuren la velocitat d'un líquid conductor a partir d'aquesta tensió.

Errors típics

Fer servir el diàmetre en lloc del perímetre per calcular la longitud de cada espira.
Oblidar que, en l'equilibri, la força elèctrica compensa exactament la magnètica, i intentar calcular una acceleració indefinida dels ions.
No convertir mm² a $\text{m}^{2}$ (1 mm² = $10^{-6}$ $\text{m}^{2}$ ).

Conceptes treballats: camp magnètic d'un solenoide, resistència i efecte Joule, força de Lorentz sobre ions, equilibri entre força elèctrica i magnètica, aplicacions mèdiques.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 36

Al laboratori de l'institut es vol mesurar el camp magnètic entre els pols d'un imant en forma d'U. L'imant es col·loca sobre una balança electrònica i, entre els pols, es fixa (subjectat per un suport que no toca la balança) un tram de fil horitzontal de 5,0 cm perpendicular al camp. Es fa passar corrent pel fil i s'anota la lectura de la balança:
I = 0 A: 152,30 g · I = 1,0 A: 151,84 g · I = 2,0 A: 151,38 g · I = 3,0 A: 150,93 g · I = 4,0 A: 150,47 g.
a) Raona per què la lectura de la balança canvia si el fil no toca l'imant. Cap on va la força que fa el camp sobre el fil?
b) Fent la regressió lineal de la massa llegida en funció del corrent, determina el pendent i, a partir d'ell, el camp magnètic entre els pols.
c) Per què és millor fer servir el pendent de la recta que una sola mesura?
d) Si el fil formés un angle de 30° amb el camp en lloc de 90°, quina lectura s'esperaria amb I = 3,0 A?
Dades: g = 9,81 $\text{m/s}^{2}$ .

Pista 1

Pensa en la tercera llei de Newton: si l'imant fa força sobre el fil, què fa el fil sobre l'imant?

Pista 2

La variació de la lectura (en kg) multiplicada per g és la força. Per a un fil recte perpendicular al camp, F = I·L·B.

Pista 3

Si la lectura disminueix, la balança nota l'imant més «lleuger»: la força sobre l'imant és cap amunt.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 36

Apartat a)

Resultat

Per la tercera llei de Newton, el fil fa sobre l'imant una força igual i oposada a la que rep; com que la lectura baixa, la força sobre l'imant és cap amunt i la força sobre el fil és cap avall.

Resolució

Força sobre el fil. El camp de l'imant fa sobre el fil una força $\vec F = I\,\vec L\times\vec B$ .
Tercera llei de Newton. El fil (a través del camp que crea el seu corrent) fa sobre l'imant una força igual i oposada.
Conclusió. Com que la lectura disminueix, la força sobre l'imant és cap amunt, i per tant la força sobre el fil és cap avall, i el suport l'aguanta. La balança «llegeix» la força entre el fil i l'imant.

Apartat b)

Resultat

Pendent

= -0{,}457\ \text{g/A}

;

B = 9{,}0\cdot10^{-2}\ \text{T}

Resolució

Regressió lineal. De m (g) davant I (A): pendent $= -0{,}457\ \text{g/A}$ , ordenada a l'origen $= 152{,}30\ \text{g}$ (el coeficient de correlació és pràcticament −1).
Força per ampere. $\dfrac{F}{I} = 0{,}457\cdot10^{-3}\ \text{kg/A}\cdot9{,}81\ \text{m/s}^{2} = 4{,}48\cdot10^{-3}\ \text{N/A}$
Camp. $F = ILB\ \Rightarrow\ F/I = LB$ : $B = \dfrac{4{,}48\cdot10^{-3}}{0{,}050} = 9{,}0\cdot10^{-2}\ \text{T}$

Apartat c)

Resultat

El pendent fa servir totes les mesures (compensa errors aleatoris) i elimina errors sistemàtics constants, que només afecten l'ordenada.

Resolució

Errors aleatoris. El pendent fa servir totes les mesures alhora: els errors aleatoris de cada lectura es compensen en part.
Errors sistemàtics. A més, elimina errors sistemàtics constants, com una tara mal feta o la massa del suport, que només afecten l'ordenada a l'origen.
Conclusió. La linealitat dels punts confirma que $F\propto I$ , tal com prediu la llei.

Apartat d)

Resultat

Lectura

\approx 151{,}61\ \text{g}

Resolució

Dependència angular. $F = ILB\sin\theta$ : amb 30°, la força és la meitat.
Càlcul. $\Delta m = -0{,}457\cdot3{,}0\cdot\sin30^\circ = -0{,}69\ \text{g}$ , i la lectura seria $152{,}30 - 0{,}69 = 151{,}61\ \text{g}$ .

Errors típics

Interpretar la disminució de la lectura com una pèrdua de massa de l'imant en lloc d'una força magnètica.
Oblidar el factor g en passar de grams llegits a newtons, o no passar els grams a kg.
Calcular B amb una sola mesura en lloc de fer servir el pendent.

Conceptes treballats: força sobre un conductor amb corrent, tercera llei de Newton, regressió lineal i tractament de dades experimentals, dependència angular del producte vectorial.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 37

El motor d'un petit ventilador conté una bobina rectangular de 100 espires de 4,0 cm × 3,0 cm que pot girar al voltant d'un eix paral·lel als costats de 4,0 cm i que passa pel seu centre. La bobina és dins d'un camp magnètic uniforme de 0,20 T, perpendicular a l'eix, i hi circulen 0,50 A.
a) Calcula la força que el camp fa sobre cada costat de 4,0 cm quan el pla de la bobina és paral·lel al camp. Raona per què aquestes dues forces no desplacen la bobina però sí que la fan girar.
b) Calcula el moment magnètic de la bobina i el moment de força màxim. Quant val el moment quan la normal a la bobina forma 30° amb el camp? I quan és paral·lela al camp?
c) Raona per què, sense commutador, la bobina oscil·laria al voltant d'una posició d'equilibri en lloc de girar contínuament, i què fa el commutador.
d) Amb el commutador, el moment mitjà en una volta és $\tfrac{2}{\pi}$ vegades el màxim. Si el motor gira a 3000 rpm, quina potència mecànica mitjana dona?

Pista 1

Els costats de 4,0 cm són perpendiculars al camp; sobre cadascun F = N·I·L·B. Compara els sentits del corrent en tots dos costats.

Pista 2

El moment de força sobre una bobina plana és M = N·I·S·B·sin θ, on θ és l'angle entre la normal i el camp.

Pista 3

Potència en rotació: P = M·ω, amb ω en rad/s.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 37

Apartat a)

Resultat

F = 0{,}40\ \text{N}

sobre cada costat; són iguals i oposades (resultant nul·la) però no tenen la mateixa línia d'acció: formen un parell que fa girar la bobina.

Resolució

Dades. $N = 100$ , costats de $L = 0{,}040\ \text{m}$ , $B = 0{,}20\ \text{T}$ , $I = 0{,}50\ \text{A}$ .
Força sobre un conductor. Els costats de 4,0 cm són perpendiculars al camp: $F = NILB = 100\cdot0{,}50\cdot0{,}040\cdot0{,}20 = 0{,}40\ \text{N}$ .
Parell de forces. En els dos costats el corrent circula en sentits oposats, i per tant les forces són iguals i oposades: la resultant és nul·la i el centre de la bobina no es desplaça. Però no tenen la mateixa línia d'acció (estan separades 3,0 cm, a 1,5 cm de l'eix cadascuna): formen un parell de forces i fan girar la bobina.

Apartat b)

Resultat

m = 6{,}0\cdot10^{-2}\ \text{A}\cdot\text{m}^{2}

;

M_{\text{màx}} = 1{,}2\cdot10^{-2}\ \text{N}\cdot\text{m}

; a 30°,

M = 6{,}0\cdot10^{-3}\ \text{N}\cdot\text{m}

; normal paral·lela al camp,

M = 0

Resolució

Moment magnètic. $m = NIS = 100\cdot0{,}50\cdot(0{,}040\cdot0{,}030) = 6{,}0\cdot10^{-2}\ \text{A}\cdot\text{m}^{2}$ .
Moment de força. $M = mB\sin\theta$ , amb θ l'angle entre la normal i el camp. És màxim quan la normal és perpendicular al camp (pla de la bobina paral·lel a B): $M_{\text{màx}} = 6{,}0\cdot10^{-2}\cdot0{,}20 = 1{,}2\cdot10^{-2}\ \text{N}\cdot\text{m}$ (coincideix amb $F\cdot0{,}030\ \text{m} = 0{,}40\cdot0{,}030$ ).
Altres angles. Amb θ = 30°: $M = 1{,}2\cdot10^{-2}\cdot0{,}5 = 6{,}0\cdot10^{-3}\ \text{N}\cdot\text{m}$ . Amb la normal paral·lela al camp, $\sin\theta = 0$ i $M = 0$ : és la posició d'equilibri.

Apartat c)

Resultat

Sense commutador, el moment canvia de sentit en passar l'equilibri i la bobina hi oscil·la; el commutador inverteix el corrent cada mitja volta perquè el moment tingui sempre el sentit del gir.

Resolució

Sense commutador. El moment sempre tendeix a alinear el moment magnètic de la bobina amb el camp. Quan la bobina supera la posició d'equilibri per inèrcia, el moment canvia de sentit i la frena: sense res més, oscil·laria al voltant d'aquesta posició fins aturar-s'hi.
Amb commutador. El commutador inverteix el sentit del corrent cada mitja volta, just en passar per l'equilibri, de manera que el moment torna a tenir el sentit del gir i la bobina continua girant sempre en el mateix sentit.

Apartat d)

Resultat

P \approx 2{,}4\ \text{W}

Resolució

Moment mitjà. $M_{\text{mitjà}} = \tfrac{2}{\pi}\cdot1{,}2\cdot10^{-2} = 7{,}6\cdot10^{-3}\ \text{N}\cdot\text{m}$ .
Velocitat angular. $\omega = 3000\cdot2\pi/60 = 314\ \text{rad/s}$ .
Potència en rotació. $P = M\omega = 7{,}64\cdot10^{-3}\cdot314 = 2{,}4\ \text{W}$ , un valor raonable per a un ventilador petit.

Errors típics

Pensar que la força resultant fa moure la bobina: la resultant és nul·la; el que actua és un parell.
Fer servir l'angle entre el pla de la bobina i el camp en lloc de l'angle amb la normal.
Oblidar passar les rpm a rad/s.

Conceptes treballats: força sobre un conductor, parell de forces, moment magnètic d'una espira, motor de corrent continu, potència en rotació.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 38

Fins al 2019, l'ampere es definia així: «el corrent que, circulant per dos conductors rectilinis, paral·lels, infinitament llargs i separats 1 m en el buit, produeix entre ells una força de 2· $10^{-7}$ N per metre de longitud».
a) Comprova que aquesta definició és coherent amb el valor $μ_{0}$ = 4π· $10^{-7}$ T·m/A.
b) En una planta d'obtenció d'alumini per electròlisi, dues barres conductores paral·leles separades 0,50 m porten cadascuna 2,0· $10^{4}$ A en sentits oposats (anada i tornada del corrent). Calcula el camp que crea cada barra a la posició de l'altra i la força per unitat de longitud entre elles. S'atrauen o es repel·leixen? Justifica-ho.
c) Les barres s'aguanten amb suports cada 2,0 m. Quina força lateral ha de suportar cada tram entre suports?
d) En un curtcircuit, el corrent pot arribar a ser 10 vegades més gran durant uns instants. Quina força hauria de suportar el tram? Raona per què els enginyers dimensionen els suports per al curtcircuit i no per al funcionament normal.
Dades: $μ_{0}$ = 4π· $10^{-7}$ T·m/A.

Pista 1

El camp d'un fil llarg a una distància d és B = $μ_{0}$ · $\tfrac{I}{(2\pi \cdot d)}$ . La força sobre un tram L de l'altre fil és F = I·L·B.

Pista 2

Fes servir la regla de la mà dreta per al camp d'una barra i per a la força sobre l'altra. Recorda què passa amb corrents del mateix sentit.

Pista 3

Mira com depèn la força de la intensitat quan les dues barres porten el mateix corrent.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 38

Apartat a)

Resultat

F/L = \mu_0/(2\pi) = 2\cdot10^{-7}\ \text{N/m}

amb I = 1 A i d = 1 m: coherent.

Resolució

Força entre corrents paral·lels. $\dfrac{F}{L} = \dfrac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d} = \dfrac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot1\cdot1}{2\pi\cdot1} = 2\cdot10^{-7}\ \text{N/m}$
Conclusió. Coincideix: la definició antiga de l'ampere equivalia a fixar $\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m/A}$ exactament.

Apartat b)

Resultat

B = 8{,}0\cdot10^{-3}\ \text{T}

;

F/L = 1{,}6\cdot10^{2}\ \text{N/m}

; es repel·leixen (corrents oposats).

Resolució

Camp d'una barra. $B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi d} = \dfrac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot2{,}0\cdot10^{4}}{2\pi\cdot0{,}50} = 8{,}0\cdot10^{-3}\ \text{T}$ (unes 160 vegades el camp terrestre).
Força per unitat de longitud. $\dfrac{F}{L} = IB = \dfrac{\mu_0 I^{2}}{2\pi d} = 2{,}0\cdot10^{4}\cdot8{,}0\cdot10^{-3} = 1{,}6\cdot10^{2}\ \text{N/m}$
Sentit. Amb corrents de sentits oposats, la regla de la mà dreta dona una força que separa les barres: es repel·leixen.

Apartat c)

Resultat

F = 3{,}2\cdot10^{2}\ \text{N}

per tram.

Resolució

Càlcul. $F = 160\cdot2{,}0 = 3{,}2\cdot10^{2}\ \text{N}$ per tram.
Interpretació. És comparable al pes d'una massa d'uns 33 kg, però empenyent lateralment.

Apartat d)

Resultat

F = 3{,}2\cdot10^{4}\ \text{N}

per tram (100 vegades més, perquè

F\propto I^{2}

); els suports s'han de dissenyar per al cas més desfavorable, el curtcircuit.

Resolució

Dependència amb el corrent. La força és proporcional al producte dels corrents, que són iguals: $F\propto I^{2}$ . Si I es multiplica per 10, la força es multiplica per 100.
Càlcul. $F = 100\cdot3{,}2\cdot10^{2} = 3{,}2\cdot10^{4}\ \text{N}$ per tram (com el pes de més de 3 tones).
Conclusió. Encara que duri poc, aquesta força brusca pot doblegar les barres o trencar els aïlladors; per això les instal·lacions s'han de dissenyar per resistir els esforços del curtcircuit.

Errors típics

Dir que corrents oposats s'atrauen: corrents paral·lels del mateix sentit s'atrauen i els de sentits oposats es repel·leixen.
Pensar que la força es multiplica per 10 quan el corrent es multiplica per 10: com que les dues barres porten aquest corrent, la força és proporcional a I².
Confondre la força per unitat de longitud (N/m) amb la força total sobre el tram.

Conceptes treballats: camp creat per un fil rectilini, força entre corrents paral·lels, definició de l'ampere, aplicacions industrials i seguretat elèctrica.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 39

Per mesurar la component horitzontal del camp magnètic terrestre al laboratori d'un institut de Vic, es fa servir una brúixola situada al centre d'una bobina circular vertical de 20 espires i 10 cm de radi. Sense corrent, l'agulla de la brúixola s'orienta en la direcció nord-sud i el pla de la bobina es col·loca en aquesta mateixa direcció. Quan hi circulen 0,25 A, l'agulla es desvia 53°.
a) Raona per què el pla de la bobina s'ha de col·locar en la direcció nord-sud i justifica que la desviació compleix tg θ = $\tfrac{B_{\mathrm{bobina}}}{B_{h}}$ , on $B_{h}$ és la component horitzontal del camp terrestre.
b) Calcula el camp que crea la bobina al seu centre i el valor de $B_{h}$ .
c) Quin corrent caldria perquè l'agulla es desviés 45°? Què passaria si s'invertís el sentit del corrent?
d) Un alumne té un cable d'alimentació d'un aparell, amb 10 A de corrent continu, a 30 cm de la brúixola. Calcula el camp que crea en aquesta posició i compara'l amb $B_{h}$ . Interpreta-ho.
Dades: $μ_{0}$ = 4π· $10^{-7}$ T·m/A.

Pista 1

El camp al centre d'una espira circular és perpendicular al seu pla. Si el pla és nord-sud, quina direcció té aquest camp respecte del camp terrestre?

Pista 2

L'agulla s'orienta en la direcció del camp total, suma vectorial de dos camps perpendiculars.

Pista 3

Camp al centre de N espires circulars: B = $μ_{0}$ ·N· $\tfrac{I}{(2R)}$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 39

Apartat a)

Resultat

Amb el pla nord-sud, el camp de la bobina és est-oest, perpendicular a

B_h

; l'agulla segueix el camp total i

\tan\theta = B_{\text{bobina}}/B_h

Resolució

Camp al centre de la bobina. És perpendicular al pla de la bobina; si el pla és nord-sud, el camp de la bobina és est-oest, perpendicular a $B_h$ .
Superposició. L'agulla s'alinea amb el camp total $\vec B_h + \vec B_{\text{bobina}}$ ; com que són perpendiculars, l'angle respecte del nord compleix $\tan\theta = \dfrac{B_{\text{bobina}}}{B_h}$
Conclusió. Si la bobina no estigués ben orientada, una part del seu camp se sumaria a la component nord-sud i la relació ja no seria vàlida.

Apartat b)

Resultat

B_{\text{bobina}} = 3{,}1\cdot10^{-5}\ \text{T}

;

B_h = 2{,}4\cdot10^{-5}\ \text{T}

Resolució

Camp al centre de N espires. $B_{\text{bobina}} = \dfrac{\mu_0 N I}{2R} = \dfrac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot20\cdot0{,}25}{2\cdot0{,}10} = 3{,}1\cdot10^{-5}\ \text{T}$
Component horitzontal. $B_h = \dfrac{B_{\text{bobina}}}{\tan53^\circ} = \dfrac{3{,}14\cdot10^{-5}}{1{,}327} = 2{,}4\cdot10^{-5}\ \text{T}$ un valor coherent amb el de Catalunya.

Apartat c)

Resultat

I \approx 0{,}19\ \text{A}

; si s'inverteix el corrent, l'agulla es desvia el mateix angle cap a l'altre costat.

Resolució

Condició per a 45°. $\tan45^\circ = 1\ \Rightarrow\ B_{\text{bobina}} = B_h$ : $I = \dfrac{2R\,B_h}{\mu_0 N} = \dfrac{0{,}20\cdot2{,}37\cdot10^{-5}}{4\pi\cdot10^{-7}\cdot20} = 0{,}19\ \text{A}$
Inversió del corrent. El camp de la bobina canvia de sentit (passa d'apuntar a l'est a apuntar a l'oest o a l'inrevés) i l'agulla es desvia el mateix angle cap a l'altre costat.
Conclusió. Fer la mesura en els dos sentits i fer-ne la mitjana compensa una orientació imperfecta de la bobina.

Apartat d)

Resultat

B = 6{,}7\cdot10^{-6}\ \text{T}

, un 28 % de

B_h

: no és negligible i falsejaria la mesura.

Resolució

Camp d'un fil rectilini. $B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi d} = \dfrac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot10}{2\pi\cdot0{,}30} = 6{,}7\cdot10^{-6}\ \text{T}$
Comparació. $6{,}7\cdot10^{-6}/2{,}37\cdot10^{-5} \approx 0{,}28$ : un 28 % de $B_h$ .
Interpretació. No és gens negligible: segons com estigui orientat el cable, desviaria l'agulla diversos graus i falsejaria la mesura. Per això cal allunyar de la brúixola els cables amb corrent (i els objectes de ferro).

Errors típics

Fer servir $μ_{0}$ · $\tfrac{I}{(2\pi \cdot R)}$ (fil rectilini) en lloc de $μ_{0}$ ·N· $\tfrac{I}{(2R)}$ (centre d'una espira).
Sumar els mòduls dels dos camps en lloc de sumar-los vectorialment.
Oblidar el nombre d'espires.

Conceptes treballats: camp al centre d'una espira circular, camp d'un fil rectilini, superposició vectorial de camps, camp magnètic terrestre, mesura experimental.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 40

El cor d'un altaveu electrodinàmic és una bobina de 60 espires circulars de 3,0 cm de diàmetre, unida al con de l'altaveu i situada a l'entreferro d'un imant. L'imant hi crea un camp magnètic radial (dirigit cap enfora des de l'eix de la bobina) de 1,1 T, perpendicular al fil en tots els punts. El conjunt mòbil (con, bobina i suport) té una massa de 10 g. Menysprea la suspensió del con, la resistència de l'aire, la inductància de la bobina i la força electromotriu induïda pel moviment.
a) Raona per què la força que el camp fa sobre la bobina és paral·lela a l'eix i té el mateix sentit en tots els punts de l'espira. Quina seria la força neta sobre una espira circular en un camp magnètic uniforme? Si el corrent circula en sentit antihorari vist des de dalt, cap on va la força?
b) Calcula la longitud de fil que hi ha dins del camp i la força per ampere (el producte B·L). Quina força fa la bobina quan hi circulen 0,80 A?
c) L'amplificador envia un corrent sinusoïdal de valor màxim 0,80 A i freqüència 200 Hz. Calcula l'acceleració màxima del conjunt mòbil i l'amplitud del seu desplaçament. Què passaria amb l'amplitud a 100 Hz amb el mateix corrent?
d) Quin corrent continu mantindria el conjunt mòbil en equilibri contra el seu pes? Compara'l amb el corrent màxim de l'apartat anterior i interpreta el resultat.
e) La bobina té una resistència de 6,0 Ω i l'amplificador li aplica una tensió màxima de 4,8 V (la que dona els 0,80 A). Un fabricant proposa duplicar el nombre d'espires amb el mateix fil i el mateix diàmetre, «perquè la força per ampere seria el doble». Calcula la força màxima i l'acceleració màxima amb la nova bobina, que fa augmentar la massa del conjunt mòbil fins a 14 g, i valora la proposta.
Dades: g = 9,81 $\text{m/s}^{2}$ .

Pista 1

La força sobre un tros de fil és F = I·L·B·sin θ, amb la direcció donada pel producte vectorial dl × B. Aquí el fil és perpendicular al camp en tots els punts (θ = 90°).

Pista 2

La longitud de fil dins del camp és la de les N espires: L = N·2π·r (compte: el que dona l'enunciat és el diàmetre). Després F = B·I·L.

Pista 3

Una força $F_{0}$ ·sin(ω·t) sobre una massa lliure dona una acceleració d'amplitud $a_{\mathrm{màx}}$ = $\tfrac{F_{0}}{m}$ ; en un moviment sinusoïdal x(t), l'amplitud de l'acceleració és $ω^{2}$ vegades la del desplaçament.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 40

Apartat a)

Resultat

Com que

d\vec l

(tangent) i

\vec B

(radial) són perpendiculars a tot arreu,

d\vec l\times\vec B

és axial i del mateix sentit a tota l'espira; en un camp uniforme la força neta seria zero; amb corrent antihorari vist des de dalt, la força va cap avall.

Resolució

Força sobre cada element. $d\vec F = I\,d\vec l\times\vec B$ . El fil de cada espira és tangent a la circumferència i el camp és radial: en tots els punts són perpendiculars entre si, de manera que $d\vec l\times\vec B$ és paral·lel a l'eix. Per simetria, el sentit és el mateix en tots els punts: les forces de tots els segments se sumen sense cancel·lar-se.
Camp uniforme. La força neta sobre un circuit tancat és $\vec F = I\left(\oint d\vec l\right)\times\vec B = 0$ , perquè la suma vectorial dels $d\vec l$ d'una espira és zero (cada element s'anul·la amb el diametralment oposat); només hi podria haver un parell de forces. Per això l'altaveu necessita un camp radial.
Sentit. En un punt de l'espira on el camp apunta cap enfora (eix x positiu), el corrent antihorari va cap a +y: $(+\hat\jmath)\times(+\hat\imath) = -\hat k$ . La força va cap avall (el con es mou cap avall); si s'inverteix el corrent, la força s'inverteix.

Apartat b)

Resultat

L = 5{,}65\ \text{m}

;

BL = 6{,}22\ \text{N/A}

; amb 0,80 A,

F \approx 5{,}0\ \text{N}

Resolució

Longitud de fil. Compte, l'enunciat dona el diàmetre (r = 0,015 m): $L = N\cdot2\pi r = 60\cdot2\pi\cdot0{,}015 = 5{,}65\ \text{m}$ .
Força per ampere. $BL = 1{,}1\cdot5{,}65 = 6{,}22\ \text{N/A}$ .
Força. $F = BIL = 6{,}22\cdot0{,}80 = 4{,}98\ \text{N} \approx 5{,}0\ \text{N}$ .

Apartat c)

Resultat

a_{\text{màx}} \approx 498\ \text{m/s}^{2}

(unes 51 g); amplitud

x_{\text{màx}} = 3{,}2\cdot10^{-4}\ \text{m} = 0{,}32\ \text{mm}

; a 100 Hz, 4 vegades més: 1,26 mm.

Resolució

Segona llei de Newton. $a_{\text{màx}} = F_{\text{màx}}/m = 4{,}98/0{,}010 = 498\ \text{m/s}^{2} \approx 51\,g$ .
Amplitud. Com que no hi ha suspensió, no hi ha força recuperadora i $x(t) = -\dfrac{a_{\text{màx}}}{\omega^{2}}\sin(\omega t)$ , amb $\omega = 2\pi\cdot200 = 1257\ \text{rad/s}$ : $x_{\text{màx}} = \dfrac{498}{1257^{2}} = 3{,}2\cdot10^{-4}\ \text{m}$
A 100 Hz. ω es divideix per 2 i $x_{\text{màx}}$ es multiplica per 4: 1,26 mm.
Conclusió. Per a una mateixa força, l'excursió del con creix quan baixa la freqüència (per això els altaveus de greus són grans i es mouen molt).

Apartat d)

Resultat

I = 1{,}58\cdot10^{-2}\ \text{A} = 15{,}8\ \text{mA}

(horari vist des de dalt), només un 2 % del corrent màxim: el pes és negligible.

Resolució

Equilibri. $BIL = mg\ \Rightarrow\ I = \dfrac{mg}{BL} = \dfrac{0{,}010\cdot9{,}81}{6{,}22} = 1{,}58\cdot10^{-2}\ \text{A}$ , en sentit horari vist des de dalt, perquè la força vagi cap amunt.
Comparació. És només un 2 % del corrent màxim (0,80 A).
Interpretació. El pes del conjunt mòbil és negligible davant de les forces magnètiques en joc, i per això l'altaveu funciona igual en qualsevol orientació.

Apartat e)

Resultat

F_{\text{màx}} = 4{,}98\ \text{N}

(la mateixa) i

a_{\text{màx}} = 355\ \text{m/s}^{2}

(un 29 % menys): la proposta empitjora l'altaveu.

Resolució

Nova bobina. Amb 120 espires: $L = 11{,}3\ \text{m}$ i $BL = 12{,}4\ \text{N/A}$ , el doble per ampere.
Llei d'Ohm. Amb el mateix fil la resistència també es duplica (R és proporcional a la longitud): $R = 12\ \Omega$ . Amb la mateixa tensió, el corrent màxim cau a $I = 4{,}8/12 = 0{,}40\ \text{A}$ .
Força. $F_{\text{màx}} = 12{,}4\cdot0{,}40 = 4{,}98\ \text{N}$ : exactament la mateixa força. En general $F = B\,(N\cdot2\pi r)\,V/R$ i el quocient N/R no canvia.
Acceleració. A més, la massa augmenta: $a_{\text{màx}} = 4{,}98/0{,}014 = 355\ \text{m/s}^{2}$ , un 29 % menys que abans.
Conclusió. La proposta empitjora la resposta de l'altaveu; per guanyar força caldria un camp B més gran o un fil més gruixut (menys resistència) sense afegir massa.

Errors típics

Fer servir el diàmetre com si fos el radi, o la longitud d'una sola espira, en lloc de L = N·2π·r.
Pensar que una espira circular en un camp uniforme rep una força neta: la força neta és nul·la (només hi pot haver un parell).
Escriure l'amplitud del desplaçament com a_màx/ω en lloc de a_màx/ω².
Creure que duplicar les espires duplica la força a tensió constant, oblidant que la resistència també es duplica.
Barrejar el corrent màxim amb el corrent continu d'equilibri, que és molt més petit.

Conceptes treballats: força magnètica sobre un conductor (F = I·L × B), camp radial, força neta sobre un circuit tancat en un camp uniforme, segona llei de Newton, relació entre acceleració i amplitud en un moviment sinusoïdal, llei d'Ohm i resistència d'un fil, optimització d'un dispositiu electromagnètic.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preguntes freqüents

La força magnètica pot canviar la velocitat d'una càrrega?

En mòdul no, perquè sempre és perpendicular a la velocitat. Només en canvia la direcció, i per això la càrrega descriu una circumferència.

Dos fils amb corrents en sentits contraris s'atrauen o es repel·leixen?

Es repel·leixen. Si els corrents van en el mateix sentit, s'atrauen.

Tornar a Física