Exercicis d'inducció electromagnètica — Física 2n Batxillerat

Q: Què diu la llei de Lenz?

Que el corrent induït té un sentit tal que s'oposa a la variació del flux que l'ha produït.

Q: Per què un transformador no funciona amb corrent continu?

Perquè necessita un flux magnètic variable per induir corrent al secundari. Amb corrent continu el flux és constant i no s'indueix res.

La inducció explica com es genera la major part de l'electricitat que fem servir, i aquests exercicis la treballen a fons. Comences per les maneres de fer variar el flux magnètic a través d'una espira i calcules el flux amb l'angle correcte. Després apliques la llei de Faraday-Lenz per trobar la força electromotriu induïda i el sentit del corrent, en casos com una barra que llisca sobre dos rails o una espira que gira dins d'un camp, que és el principi de l'alternador. Al final estudies el transformador. Les solucions plantegen cada pas amb unitats. Errors típics: prendre l'angle respecte al pla de l'espira en lloc de la normal i oblidar el nombre d'espires.

Tens examen d'aquest tema? Fes un simulacre de 60 minuts com el de l'institut, amb solucions i criteris de correcció.Fes el simulacre →

Nivell bàsic

Exercici 1

Digues tres maneres diferents de fer canviar el flux magnètic a través d'una espira.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 1

Resultat

Variant el camp B, variant l'àrea S travessada pel camp o variant l'angle θ entre el camp i la normal (fent girar l'espira).

Resolució

Plantejament. El flux magnètic a través d'una espira plana en un camp uniforme és $\Phi = B\cdot S\cdot\cos\theta$ i qualsevol canvi d'un d'aquests tres factors el fa variar.
Canviar B. Acostant o allunyant un imant, o variant el corrent d'un electroimant, canvia el valor del camp que travessa l'espira.
Canviar S. Deformant l'espira, o fent-la entrar o sortir d'una zona amb camp, canvia l'àrea efectiva travessada per les línies de camp.
Canviar θ. Fent girar l'espira dins del camp, l'angle entre B i la normal canvia contínuament (és el principi de l'alternador).
Conclusió. Qualsevol de les tres maneres fa variar el flux i, per la llei de Faraday, indueix corrent a l'espira.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 2

Què diu la llei de Lenz, en una frase?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 2

Resultat

El corrent induït circula en el sentit en què el seu propi camp magnètic s'oposa a la variació de flux que l'ha produït.

Resolució

Llei de Lenz. És el signe menys de la llei de Faraday: $\varepsilon = -\dfrac{d\Phi}{dt}$ .
Interpretació. Si el flux augmenta, el corrent induït crea un camp contrari; si el flux disminueix, en crea un del mateix sentit per compensar la pèrdua.
Conclusió. És una conseqüència de la conservació de l'energia: la inducció sempre s'oposa a la causa que la produeix.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 3

Un transformador té el mateix nombre d'espires al primari que al secundari. Quina tensió dona a la sortida? Per a què pot servir?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 3

Resultat

Dona la mateixa tensió que a l'entrada (

V_2 = V_1

); serveix com a transformador d'aïllament, per separar elèctricament els dos circuits.

Resolució

Relació de transformació. En un transformador ideal $\dfrac{V_2}{V_1} = \dfrac{N_2}{N_1}$
Càlcul. Si $N_2 = N_1$ , el quocient val 1 i, per tant, $V_2 = V_1$ : la tensió no canvia.
Utilitat. Els dos circuits només estan connectats a través del flux magnètic del nucli, no per cap cable: el transformador aïlla elèctricament el circuit de sortida del d'entrada (transformador d'aïllament), cosa que millora la seguretat.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 4

Acostem un imant a una espira circular en repòs, amb el pol nord per davant, seguint l'eix de l'espira. a) Raona, aplicant la llei de Lenz, en quin sentit circula el corrent induït (vist des de l'imant). b) Què passa quan l'allunyem? c) L'espira és atreta o repel·lida per l'imant en cada cas?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 4

Apartat a)

Resultat

El corrent induït és antihorari vist des de l'imant (la cara de l'espira que mira l'imant es comporta com un pol nord).

Resolució

Plantejament. Les línies de camp surten del pol nord; en acostar-lo, cada cop n'hi ha més que travessen l'espira: el flux augmenta.
Llei de Lenz. El corrent induït crea un camp que s'oposa a aquest augment, és a dir, un camp que apunta cap a l'imant.
Sentit. L'espira es comporta com un imant amb el pol nord encarat a l'imant. Vist des de l'imant, un camp que apunta cap a l'observador correspon a un corrent antihorari.

Apartat b)

Resultat

El corrent s'inverteix: és horari vist des de l'imant (l'espira li presenta un pol sud).

Resolució

Plantejament. En allunyar l'imant, el flux a través de l'espira disminueix.
Llei de Lenz. Ara el corrent induït reforça el camp de l'imant: el seu camp apunta de l'espira cap enllà de l'imant.
Sentit. La cara que mira l'imant és un pol sud i el corrent, vist des de l'imant, és horari.

Apartat c)

Resultat

En acostar-lo, l'espira és repel·lida; en allunyar-lo, és atreta: en tots dos casos s'oposa al moviment.

Resolució

En acostar. Dos pols nord s'enfronten (el de l'imant i el «nord» induït de l'espira): hi ha repulsió.
En allunyar. El pol sud induït atrau el pol nord de l'imant: hi ha atracció.
Conclusió. En els dos casos l'efecte s'oposa al moviment de l'imant; per això cal fer força (treball) per moure'l, i aquest treball és l'origen de l'energia elèctrica induïda.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 5

Raona si són certes o falses: a) «Si acostem un imant a una bobina el doble de ràpid, la fem induïda es duplica.» b) «Si dupliquem el nombre d'espires de la bobina, la fem induïda es duplica.» c) «Si deixem l'imant quiet a dins de la bobina, es manté una fem induïda constant.»

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 5

Apartat a)

Resultat

Certa: la fem depèn de la rapidesa de la variació de flux; la mateixa variació en la meitat de temps dona el doble de fem.

Resolució

Llei de Faraday. $\varepsilon = -N\,\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t}$
Raonament. Si l'imant es mou el doble de ràpid, el mateix $\Delta\Phi$ es produeix en la meitat de temps $\Delta t$ , i la fem es duplica.
Conclusió. La fem depèn de la rapidesa amb què varia el flux, no del valor del flux.

Apartat b)

Resultat

Certa: la fem és proporcional al nombre d'espires.

Resolució

Raonament. Cada espira nota la mateixa variació de flux i les fems de totes les espires se sumen, perquè estan en sèrie.
Conclusió. Com que $\varepsilon = -N\,\Delta\Phi/\Delta t$ , si N es duplica, la fem també es duplica.

Apartat c)

Resultat

Falsa: amb l'imant quiet el flux és constant i la fem és nul·la.

Resolució

Raonament. Amb l'imant quiet dins de la bobina el flux pot ser molt gran, però no varia: $\Delta\Phi/\Delta t = 0$ .
Conclusió. La fem induïda és zero: només hi ha inducció mentre el flux varia. No confonguis «molt flux» amb «molta fem».

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 6

Un transformador ideal té 1200 espires al primari i 60 al secundari, i es connecta a la xarxa de 230 V. a) Calcula la tensió al secundari. b) Si el secundari subministra 4 A, quin corrent circula pel primari? c) Comprova que la potència es conserva.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 6

Apartat a)

Resultat

V_2 = 11{,}5\ \text{V}

(transformador reductor, relació 20 : 1).

Resolució

Dades. $N_1 = 1200$ , $N_2 = 60$ , $V_1 = 230\ \text{V}$ .
Relació de transformació. En un transformador ideal $\dfrac{V_2}{V_1} = \dfrac{N_2}{N_1}$ .
Càlcul. $V_2 = 230\cdot\dfrac{60}{1200} = 11{,}5\ \text{V}$ És un transformador reductor de relació 20 : 1.

Apartat b)

Resultat

I_1 = 0{,}2\ \text{A}

Resolució

Conservació de la potència. Com que no hi ha pèrdues, $P_1 = P_2$ : $V_1\cdot I_1 = V_2\cdot I_2$ .
Càlcul. $I_1 = \dfrac{V_2\cdot I_2}{V_1} = \dfrac{11{,}5\cdot 4}{230} = 0{,}2\ \text{A}$
Interpretació. Els corrents van al revés que les tensions: $\dfrac{I_1}{I_2} = \dfrac{N_2}{N_1}$ .

Apartat c)

Resultat

P_1 = P_2 = 46\ \text{W}

Resolució

Primari. $P_1 = V_1\cdot I_1 = 230\cdot 0{,}2 = 46\ \text{W}$ .
Secundari. $P_2 = V_2\cdot I_2 = 11{,}5\cdot 4 = 46\ \text{W}$ .
Conclusió. Coincideixen: el transformador no «crea» energia; redueix la tensió a canvi d'augmentar el corrent.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 7

Una espira conductora es mou amb velocitat constant dins d'una regió on hi ha un camp magnètic uniforme perpendicular al seu pla, sense sortir-ne. Raona si s'hi indueix corrent. I si la mateixa espira, quieta, es troba en un camp magnètic que augmenta amb el temps?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 7

Resultat

Movent-se dins del camp uniforme no s'indueix corrent (el flux no varia); quieta en un camp que augmenta, sí que s'indueix corrent.

Resolució

Plantejament. Només hi ha fem induïda si varia el flux $\Phi = B\cdot S\cdot\cos\theta$ (llei de Faraday, $\varepsilon = -\Delta\Phi/\Delta t$ ).
Primer cas. B és uniforme (val el mateix a tot arreu), la superfície de l'espira és la mateixa i l'orientació no varia: el flux és constant, $\Delta\Phi/\Delta t = 0$ , i la fem és nul·la. Sobre les càrregues de cada costat de l'espira sí que actua una força magnètica, però les fems dels costats oposats es compensen i no circula cap corrent net.
Segon cas. Encara que l'espira estigui quieta, el flux augmenta perquè B creix: $\varepsilon = -S\cdot\Delta B/\Delta t \neq 0$ , i circula un corrent induït que, per la llei de Lenz, crea un camp oposat al creixement de B.
Conclusió. El que importa és la variació del flux, tant si la causa és el moviment com si és el canvi del camp.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 8

Una placa de coure penja com un pèndol i oscil·la entre els pols d'un imant potent. S'observa que s'atura molt de pressa, mentre que sense l'imant oscil·la molta estona. Explica el fenomen i cita dues aplicacions pràctiques.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 8

Resultat

Els corrents de Foucault induïts a la placa la frenen (llei de Lenz) i dissipen l'energia en calor. Aplicacions: frens magnètics (trens, camions, atraccions) i cuines d'inducció; també detectors de metalls.

Resolució

Inducció. Quan la placa entra o surt de la regió del camp, el flux magnètic a través seu varia i s'hi indueixen corrents que circulen en remolins dins del metall: els corrents de Foucault (o corrents paràsits).
Llei de Lenz. Aquests corrents s'oposen a la causa que els produeix, el moviment de la placa: la força magnètica sobre ells frena el pèndol.
Energia. L'energia mecànica es dissipa en forma de calor per efecte Joule dins del coure, i per això el pèndol s'atura ràpidament. Si la placa tingués talls (com una pinta), els corrents no es podrien tancar i la frenada seria molt més feble.
Aplicacions. Frens magnètics de trens, camions i muntanyes russes (frenen sense fregament ni desgast); cuines d'inducció (els corrents induïts escalfen directament el fons de l'olla); detectors de metalls.
Al revés. Quan aquests corrents són una pèrdua, s'eviten: els nuclis dels transformadors es fan amb làmines aïllades entre si per reduir-los.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 9

Per una bobina de 500 espires hi circula un corrent de 0,8 A, i el flux magnètic a través de cada espira val 4· $10^{-4}$ Wb. a) Calcula el coeficient d'autoinducció de la bobina. b) Quina fem d'autoinducció apareix si el corrent varia a un ritme de 20 A/s?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 9

Apartat a)

Resultat

L = 0{,}25\ \text{H}

Resolució

Dades. $N = 500$ , $I = 0{,}8\ \text{A}$ , $\Phi = 4\cdot10^{-4}\ \text{Wb}$ per espira.
Coeficient d'autoinducció. Relaciona el flux total amb el corrent que el crea: $N\cdot\Phi = L\cdot I$ .
Càlcul. $L = \dfrac{N\cdot\Phi}{I} = \dfrac{500\cdot 4\cdot10^{-4}}{0{,}8} = 0{,}25\ \text{H}$
Interpretació. L només depèn de la geometria de la bobina i del material del nucli, no del corrent: si el corrent es dobla, el flux també, i el quocient no canvia.

Apartat b)

Resultat

|\varepsilon| = 5\ \text{V}

Resolució

Fem d'autoinducció. $\varepsilon = -L\cdot\dfrac{\Delta I}{\Delta t}$ .
Càlcul. $|\varepsilon| = 0{,}25\cdot 20 = 5\ \text{V}$
Signe. El signe negatiu indica que la fem s'oposa a la variació del corrent: si el corrent augmenta, la fem el frena; si disminueix, el manté.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 10

Una espira quadrada de 10 cm de costat està totalment dins d'una regió de camp magnètic uniforme de 0,4 T perpendicular al seu pla. L'estirem i surt completament de la regió en 0,05 s. Calcula la fem mitjana induïda i raona el sentit del corrent (horari o antihorari) si el camp apunta cap a l'observador.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 10

Resultat

|\varepsilon| = 0{,}08\ \text{V}

; el corrent circula en sentit antihorari (vist per l'observador).

Resolució

Dades. $S = (0{,}10)^{2} = 0{,}01\ \text{m}^{2}$ , $B = 0{,}4\ \text{T}$ perpendicular al pla, $\Delta t = 0{,}05\ \text{s}$ .
Fluxos. Inicial: $\Phi_1 = B\cdot S = 0{,}4\cdot 0{,}01 = 4\cdot10^{-3}\ \text{Wb}$ ( $\theta = 0^\circ$ ). Final, fora del camp: $\Phi_2 = 0$ .
Llei de Faraday. $|\varepsilon| = \dfrac{|\Delta\Phi|}{\Delta t} = \dfrac{4\cdot10^{-3}}{0{,}05} = 0{,}08\ \text{V}$
Sentit (llei de Lenz). El flux cap a l'observador disminueix; el corrent induït crea un camp cap a l'observador per compensar la pèrdua, i això correspon a un corrent antihorari vist per l'observador.
Conclusió. La fem apareix només mentre l'espira està sortint (el flux varia); un cop a fora, deixa d'haver-hi corrent.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell intermedi

Exercici 11

Una espira té el pla paral·lel a un camp magnètic (el camp llisca ran del pla de l'espira). Quant val el flux? Justifica-ho.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 11

Resultat

\Phi = 0

: cap línia de camp travessa l'espira.

Resolució

Plantejament. El flux és $\Phi = B\cdot S\cdot\cos\theta$ , on θ és l'angle entre el camp i la normal a la superfície.
Angle. Si el pla de l'espira és paral·lel al camp, la normal és perpendicular al camp: $\theta = 90^\circ$ i $\cos 90^\circ = 0$ .
Càlcul. $\Phi = B\cdot S\cdot\cos 90^\circ = 0$
Conclusió. Té sentit: cap línia de camp travessa l'espira, totes hi passen de costat.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 12

Una barra conductora de 0,2 m de llarg llisca sense fregament sobre dos rails paral·lels i horitzontals, tancats per un extrem amb una resistència. Tot el muntatge és dins d'un camp magnètic de 0,5 T perpendicular al pla dels rails. La barra es mou a velocitat constant de 3 m/s i el circuit té una resistència total de 0,6 ohms. Calcula la fem de moviment induïda i el corrent que circula per la barra.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 12

Resultat

\varepsilon = 0{,}3\ \text{V}

;

I = 0{,}5\ \text{A}

Resolució

Dades. $L = 0{,}2\ \text{m}$ , $B = 0{,}5\ \text{T}$ , $v = 3\ \text{m/s}$ , $R = 0{,}6\ \Omega$ . En moure's, la barra escombra àrea i el flux a través del circuit canvia: apareix una fem de moviment.
Fem de moviment. En un temps $\Delta t$ la barra avança $v\cdot\Delta t$ i afegeix una àrea $L\cdot v\cdot\Delta t$ ; el flux canvia $B\cdot L\cdot v\cdot\Delta t$ i, dividint per $\Delta t$ : $\varepsilon = B\cdot L\cdot v$
Càlcul de la fem. $\varepsilon = 0{,}5\cdot 0{,}2\cdot 3 = 0{,}3\ \text{V}$ .
Llei d'Ohm. $I = \dfrac{\varepsilon}{R} = \dfrac{0{,}3}{0{,}6} = 0{,}5\ \text{A}$
Sentit (llei de Lenz). Com que el flux augmenta en escombrar més àrea, el corrent induït circula de manera que crea un camp que s'oposa a aquest augment, per frenar el canvi.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 13

Una bobina té una autoinducció (inductància) de 0,5 H. El corrent que hi circula augmenta de manera uniforme de 0 a 2 A en 0,1 s. a) Calcula la fem d'autoinducció que apareix a la bobina, ε = -L·(ΔI/Δt). b) Quina energia magnètica queda emmagatzemada a la bobina quan hi circulen els 2 A, sabent que E = ( $\tfrac{1}{2}$ )·L· $I^{2}$ ?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 13

Apartat a)

Resultat

\varepsilon = -10\ \text{V}

(mòdul 10 V, oposada a l'augment del corrent).

Resolució

Autoinducció. És el mateix fenomen de Faraday, però la bobina s'indueix fem a ella mateixa: si el seu propi corrent canvia, canvia el flux que ella crea, i apareix una fem que s'oposa al canvi.
Càlcul. $\varepsilon = -L\cdot\dfrac{\Delta I}{\Delta t} = -0{,}5\cdot\dfrac{2 - 0}{0{,}1} = -10\ \text{V}$
Interpretació. El signe menys (llei de Lenz) indica que aquesta fem s'oposa a l'augment del corrent: la bobina «frena» el creixement del corrent. El mòdul és 10 V.

Apartat b)

Resultat

E = 1\ \text{J}

Resolució

Energia magnètica. $E = \tfrac{1}{2}\cdot L\cdot I^{2}$ , amb el corrent final $I = 2\ \text{A}$ .
Càlcul. $E = \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}5\cdot 2^{2} = 1\ \text{J}$
Interpretació. És l'energia que la bobina ha «guardat» en el seu camp magnètic mentre el corrent pujava, i que retornaria al circuit si el corrent tornés a baixar.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 14

Una espira de 100 voltes i àrea 0,05 $\text{m}^{2}$ gira dins d'un camp magnètic uniforme de 0,2 T amb una velocitat angular constant de 120 rad/s. La fem que hi apareix és alterna sinusoïdal, ε = N·B·S·ω·sin(ω·t). Calcula la fem màxima, la freqüència del corrent generat i el valor de la fem en l'instant en què ω·t = 30°.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 14

Resultat

\varepsilon_{\text{màx}} = 120\ \text{V}

;

f = 19{,}1\ \text{Hz}

;

\varepsilon(30^\circ) = 60\ \text{V}

Resolució

Plantejament. És un generador: com que l'espira gira, l'angle entre el camp i la normal canvia contínuament, el flux puja i baixa com un cosinus i la fem surt sinusoïdal, $\varepsilon = N\cdot B\cdot S\cdot\omega\cdot\sin(\omega t)$ .
Fem màxima. És l'amplitud, el factor que multiplica el sinus: $\varepsilon_{\text{màx}} = N\cdot B\cdot S\cdot\omega = 100\cdot 0{,}2\cdot 0{,}05\cdot 120 = 120\ \text{V}$
Freqüència. De $\omega = 2\pi f$ : $f = \dfrac{\omega}{2\pi} = \dfrac{120}{2\pi} = 19{,}1\ \text{Hz}$
Valor instantani. $\varepsilon = \varepsilon_{\text{màx}}\cdot\sin 30^\circ = 120\cdot 0{,}5 = 60\ \text{V}$ .
Conclusió. És la meitat de la fem màxima, com toca perquè $\sin 30^\circ = 0{,}5$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 15

Una bobina de 200 espires i 20 cm² de secció té el pla perpendicular a un camp magnètic que varia amb el temps segons B = 0,2 + 0,5·t (B en tesles i t en segons). a) Calcula la fem induïda. b) Si la resistència de la bobina és de 4 Ω, quin corrent hi circula? c) Raona si el corrent és constant.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 15

Apartat a)

Resultat

\varepsilon = -0{,}2\ \text{V}

(mòdul 0,2 V).

Resolució

Dades. $N = 200$ , $S = 20\ \text{cm}^{2} = 20\cdot10^{-4}\ \text{m}^{2}$ , $B = 0{,}2 + 0{,}5\,t$ perpendicular al pla.
Flux total. $N\cdot\Phi = 200\cdot(0{,}2 + 0{,}5\,t)\cdot 20\cdot10^{-4} = 0{,}08 + 0{,}2\,t\ \ (\text{Wb})$
Llei de Faraday. $\varepsilon = -\dfrac{d(N\Phi)}{dt} = -0{,}2\ \text{V}$ . En valor absolut, 0,2 V; el signe indica que el corrent induït s'oposa a l'augment del flux.

Apartat b)

Resultat

I = 0{,}05\ \text{A} = 50\ \text{mA}

Resolució

Llei d'Ohm. $I = \dfrac{|\varepsilon|}{R}$ .
Càlcul. $I = \dfrac{0{,}2}{4} = 0{,}05\ \text{A} = 50\ \text{mA}$

Apartat c)

Resultat

Sí, és constant: el camp creix linealment i la derivada del flux és constant.

Resolució

Raonament. B creix a un ritme constant de 0,5 T/s, de manera que $d\Phi/dt$ és constant i, per tant, la fem i el corrent també ho són mentre duri aquest creixement.
Conclusió. El valor inicial del camp (0,2 T) no influeix en la fem; només compta el ritme de variació, 0,5 T/s.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 16

El flux magnètic a través d'una espira varia amb el temps segons Φ(t) = (3· $t^{2}$ - 2·t)· $10^{-3}$ , amb Φ en webers i t en segons. a) Obtén l'expressió de la fem induïda en funció del temps. b) Calcula la fem a t = 0 i a t = 2 s. c) En quin instant la fem és nul·la? Interpreta-ho.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 16

Apartat a)

Resultat

\varepsilon(t) = (2 - 6\,t)\cdot10^{-3}\ \text{V}

Resolució

Llei de Faraday. $\varepsilon = -\dfrac{d\Phi}{dt}$ .
Derivada. $\varepsilon = -\dfrac{d}{dt}\left[(3t^{2} - 2t)\cdot10^{-3}\right] = -(6t - 2)\cdot10^{-3} = (2 - 6t)\cdot10^{-3}\ \text{V}$

Apartat b)

Resultat

\varepsilon(0) = 2\ \text{mV}

;

\varepsilon(2\ \text{s}) = -10\ \text{mV}

Resolució

t = 0. $\varepsilon = 2\cdot10^{-3}\ \text{V} = 2\ \text{mV}$ .
t = 2 s. $\varepsilon = (2 - 12)\cdot10^{-3} = -10\cdot10^{-3}\ \text{V} = -10\ \text{mV}$ .
Interpretació. El canvi de signe indica que el corrent induït ha invertit el sentit.

Apartat c)

Resultat

t = \tfrac{1}{3}\ \text{s} \approx 0{,}33\ \text{s}

: el flux passa per un mínim i, momentàniament, no varia.

Resolució

Condició. $\varepsilon = 0 \Rightarrow 2 - 6t = 0 \Rightarrow t = \tfrac{1}{3}\ \text{s} \approx 0{,}33\ \text{s}$ .
Interpretació. En aquest instant el flux passa per un mínim (deixa de disminuir i comença a augmentar): la seva derivada és zero i no hi ha fem.
Compte. A t = 0,33 s el flux no és nul: $\Phi = \left(3\cdot\tfrac{1}{9} - \tfrac{2}{3}\right)\cdot10^{-3} = -0{,}33\cdot10^{-3}\ \text{Wb}$ . El que és nul és el ritme de variació, i és això el que determina la fem.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 17

Es vol construir un petit generador amb una bobina de 50 espires de 80 cm² cadascuna que giri dins d'un camp magnètic uniforme de 0,1 T. a) A quina velocitat angular ha de girar perquè la fem màxima sigui de 12 V? b) Expressa el resultat en revolucions per minut i calcula la freqüència del corrent altern obtingut. c) Escriu l'expressió de la fem en funció del temps.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 17

Apartat a)

Resultat

\omega = 300\ \text{rad/s}

Resolució

Dades. $N = 50$ , $S = 80\ \text{cm}^{2} = 80\cdot10^{-4}\ \text{m}^{2}$ , $B = 0{,}1\ \text{T}$ , $\varepsilon_{\text{màx}} = 12\ \text{V}$ .
Generador. Si la bobina gira amb velocitat angular ω, $\Phi = N B S\cos(\omega t)$ i $\varepsilon = -\dfrac{d\Phi}{dt} = N B S\omega\sin(\omega t)$ ; el valor màxim és $\varepsilon_{\text{màx}} = N B S\omega$ .
Càlcul. $\omega = \dfrac{\varepsilon_{\text{màx}}}{N B S} = \dfrac{12}{50\cdot 0{,}1\cdot 80\cdot10^{-4}} = \dfrac{12}{0{,}04} = 300\ \text{rad/s}$

Apartat b)

Resultat

\approx 2865\ \text{rpm}

(unes 2900 voltes per minut);

f = 47{,}7\ \text{Hz}

Resolució

Freqüència. $f = \dfrac{\omega}{2\pi} = \dfrac{300}{2\pi} = 47{,}7\ \text{Hz}$ La freqüència del corrent és la mateixa que la de gir.
En rpm. $47{,}7\ \text{voltes/s}\cdot 60\ \text{s/min} \approx 2865\ \text{rpm}$ .

Apartat c)

Resultat

\varepsilon(t) = 12\cdot\sin(300\,t)\ \text{V}

(t en s)

Resolució

Expressió. $\varepsilon(t) = \varepsilon_{\text{màx}}\cdot\sin(\omega t) = 12\cdot\sin(300\,t)\ \text{V}$ , prenent el flux màxim a t = 0.
Observació. Per obtenir més fem sense girar més ràpid caldria augmentar N, B o S.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 18

Una central petita ha de transportar 50 kW de potència fins a un poble per una línia de 2 Ω de resistència total. Calcula la potència perduda a la línia per efecte Joule si es transporta a) a 400 V i b) a 20 kV. c) Explica el paper dels transformadors en el transport d'energia elèctrica.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 18

Apartat a)

Resultat

P_{\text{perduda}} = 31\,250\ \text{W} \approx 31\ \text{kW}

(el 62,5 % de la potència)

Resolució

Plantejament. El corrent de la línia el fixa la potència transportada, $I = P/V$ , i les pèrdues per efecte Joule són $P_{\text{perduda}} = I^{2}\cdot R$ .
Corrent. $I = \dfrac{50\,000}{400} = 125\ \text{A}$ .
Pèrdues. $P_{\text{perduda}} = 125^{2}\cdot 2 = 31\,250\ \text{W}$ Un 62,5 % de la potència: inacceptable.

Apartat b)

Resultat

P_{\text{perduda}} = 12{,}5\ \text{W}

(només el 0,025 %)

Resolució

Corrent. $I = \dfrac{50\,000}{20\,000} = 2{,}5\ \text{A}$ .
Pèrdues. $P_{\text{perduda}} = 2{,}5^{2}\cdot 2 = 12{,}5\ \text{W}$ Només un 0,025 % de la potència.

Apartat c)

Resultat

Els transformadors eleven la tensió per al transport (corrent petit, pèrdues mínimes) i la tornen a baixar fins als 230 V prop dels consumidors.

Resolució

Comparació. En multiplicar la tensió per 50, el corrent es divideix per 50 i les pèrdues, proporcionals a $I^{2}$ , es divideixen per 2500.
Paper dels transformadors. A la sortida de la central un transformador elevador puja la tensió a desenes o centenars de kV per al transport, i prop dels consumidors una cadena de transformadors reductors la torna a baixar fins als 230 V.
Conclusió. Com que els transformadors només funcionen amb corrent altern, aquesta és la raó principal per la qual la xarxa elèctrica és de corrent altern.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 19

Un avió amb una envergadura de 40 m vola horitzontalment a 250 m/s sobre la plana de Vic, on la component vertical del camp magnètic terrestre és d'uns 4· $10^{-5}$ T. a) Calcula la diferència de potencial que s'indueix entre els extrems de les ales. b) Raona si aquesta fem es podria aprofitar per encendre una bombeta connectada entre els dos extrems de les ales amb un cable.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 19

Apartat a)

Resultat

\varepsilon = 0{,}4\ \text{V}

Resolució

Plantejament. Les ales són un conductor de 40 m que es mou perpendicularment a la component vertical del camp: hi apareix una fem de moviment.
Mecanisme. Les càrregues lliures de l'ala noten la força magnètica $q\,\vec v\times\vec B$ al llarg de l'ala i s'acumulen en un extrem fins que el camp elèctric que creen equilibra la força magnètica.
Càlcul. $\varepsilon = B\cdot L\cdot v = 4\cdot10^{-5}\cdot 40\cdot 250 = 0{,}4\ \text{V}$

Apartat b)

Resultat

No: el cable que tanca el circuit també es mou dins del camp i s'hi indueix la mateixa fem, que compensa la de l'ala.

Resolució

Raonament. Un cable que uneixi els dos extrems es mou amb la mateixa velocitat dins del mateix camp i s'hi indueix exactament la mateixa fem, en el mateix sentit que al llarg de l'ala.
Circuit tancat. En el circuit ala + cable les dues fems es compensen i el flux total a través del circuit no varia: no circula corrent.
Conclusió. Només es podria obtenir corrent si una part del circuit estigués en repòs respecte del camp (com en el cas d'una barra que llisca sobre uns rails fixos).

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 20

Una bobina de 300 espires i 25 cm² està situada amb el pla perpendicular a un camp magnètic uniforme de 0,5 T. Es fa girar mitja volta (180°) al voltant d'un eix del seu pla en 0,1 s. a) Calcula el flux inicial i el final a través d'una espira. b) Calcula la fem mitjana induïda. c) Un alumne diu que, com que el flux té el mateix valor absolut al principi i al final, la fem mitjana és zero. Corregeix-lo.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 20

Apartat a)

Resultat

\Phi_1 = 1{,}25\cdot10^{-3}\ \text{Wb}

;

\Phi_2 = -1{,}25\cdot10^{-3}\ \text{Wb}

Resolució

Dades. $S = 25\ \text{cm}^{2} = 25\cdot10^{-4}\ \text{m}^{2}$ , $B = 0{,}5\ \text{T}$ ; inicialment $\theta = 0^\circ$ i, després de mitja volta, $\theta = 180^\circ$ .
Flux inicial. $\Phi_1 = B\cdot S\cdot\cos 0^\circ = 0{,}5\cdot 25\cdot10^{-4} = 1{,}25\cdot10^{-3}\ \text{Wb}$ .
Flux final. $\Phi_2 = B\cdot S\cdot\cos 180^\circ = -1{,}25\cdot10^{-3}\ \text{Wb}$ .

Apartat b)

Resultat

|\varepsilon| = 7{,}5\ \text{V}

Resolució

Variació de flux. Per espira: $\Delta\Phi = \Phi_2 - \Phi_1 = -2{,}5\cdot10^{-3}\ \text{Wb}$ , el doble del flux inicial en valor absolut.
Llei de Faraday. $|\varepsilon| = N\cdot\dfrac{|\Delta\Phi|}{\Delta t} = 300\cdot\dfrac{2{,}5\cdot10^{-3}}{0{,}1} = 7{,}5\ \text{V}$

Apartat c)

Resultat

La variació de flux no és zero sinó

2\,B\,S

: el flux té signe i canvia de

+B S

-B S

Resolució

El flux té signe. En girar 180° les línies de camp travessen l'espira pel costat contrari i el flux passa de $+1{,}25\cdot10^{-3}$ a $-1{,}25\cdot10^{-3}\ \text{Wb}$ .
Conclusió. La variació és $2\,B\,S$ , no zero, i la fem mitjana és 7,5 V. Si només hagués girat 90° (en el mateix temps), la variació seria $B\,S$ i la fem mitjana, 3,75 V. L'error de l'alumne és oblidar el signe del flux en girar l'espira.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 21

Una espira quadrada es desplaça amb velocitat constant sobre un pla i travessa una regió rectangular on hi ha un camp magnètic uniforme perpendicular al pla, dirigit cap a l'observador; la regió és més gran que l'espira. Classifica què passa en cadascuna de les tres etapes (mentre entra, mentre és completament a dins i mentre surt): si hi ha corrent induït o no, en quin sentit circula i cap a on apunta la força magnètica neta sobre l'espira.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 21

Resultat

Entrant: corrent horari i força que frena l'espira. A dins: no hi ha corrent ni força neta. Sortint: corrent antihorari i força que torna a frenar-la.

Resolució

Mentre entra. El flux cap a l'observador augmenta. Hi ha corrent induït i, per la llei de Lenz, crea un camp que s'hi oposa (cap endins): corrent horari. La força magnètica neta, sobre el costat que ja és dins del camp, s'oposa al moviment: frena l'espira.
Completament a dins. El flux és constant (B uniforme i mateixa superfície): no hi ha fem ni corrent, i la força neta és zero (les forces sobre costats oposats es cancel·len).
Mentre surt. El flux disminueix; el corrent induït reforça el camp (cap a l'observador): corrent antihorari. La força neta torna a oposar-se al moviment i frena l'espira.
Conclusió. La inducció sempre s'oposa a la variació del flux i, per tant, al moviment que la causa. Per mantenir la velocitat constant cal fer una força externa que compensi aquesta frenada, i el seu treball és l'energia que es dissipa per efecte Joule a l'espira.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell avançat

Exercici 22

La mateixa espira (S = 0,04 $\text{m}^{2}$ , B = 0,5 T) es col·loca de manera que el camp forma 30° amb la normal a la superfície. Quant val ara el flux?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 22

Resultat

\Phi \approx 1{,}7\cdot10^{-2}\ \text{Wb}

(0,017 Wb)

Resolució

Dades. $S = 0{,}04\ \text{m}^{2}$ , $B = 0{,}5\ \text{T}$ i l'angle entre el camp i la normal és $\theta = 30^\circ$ .
Flux magnètic. $\Phi = B\cdot S\cdot\cos\theta$ .
Càlcul. $\Phi = 0{,}5\cdot 0{,}04\cdot\cos 30^\circ = 0{,}02\cdot 0{,}866 = 1{,}7\cdot10^{-2}\ \text{Wb}$
Conclusió. És una mica menor que el màxim (0,02 Wb, amb el camp perpendicular a l'espira), com toca en no estar del tot de cara al camp.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 23

Una barra metàl·lica de 0,4 m llisca sobre dos rails conductors paral·lels dins d'un camp magnètic uniforme de 0,6 T perpendicular al pla del circuit. Un motor exterior manté la barra a velocitat constant de 5 m/s. La resistència total del circuit és de 2 ohms. a) Calcula la fem induïda i el corrent. b) Determina la força que el camp exerceix sobre la barra i explica per què cal un motor per mantenir-la a velocitat constant. c) Calcula la potència dissipada al circuit i comprova que coincideix amb la potència mecànica que aporta el motor.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 23

Apartat a)

Resultat

\varepsilon = 1{,}2\ \text{V}

;

I = 0{,}6\ \text{A}

Resolució

Dades. $L = 0{,}4\ \text{m}$ , $B = 0{,}6\ \text{T}$ , $v = 5\ \text{m/s}$ , $R = 2\ \Omega$ .
Fem de moviment. $\varepsilon = B\cdot L\cdot v = 0{,}6\cdot 0{,}4\cdot 5 = 1{,}2\ \text{V}$ .
Llei d'Ohm. $I = \dfrac{\varepsilon}{R} = \dfrac{1{,}2}{2} = 0{,}6\ \text{A}$ .

Apartat b)

Resultat

F = 0{,}144\ \text{N}

, oposada al moviment; cal un motor que faci una força igual i contrària.

Resolució

Força sobre un conductor. La barra porta corrent i és dins d'un camp: $F = B\cdot I\cdot L = 0{,}6\cdot 0{,}6\cdot 0{,}4 = 0{,}144\ \text{N}$
Llei de Lenz. Aquesta força s'oposa al moviment (el frena): és la «reacció» que evita el moviment perpetu.
Conclusió. Per mantenir la velocitat constant, un motor exterior ha de fer una força igual i contrària; sense ell, la barra es frenaria fins a parar-se.

Apartat c)

Resultat

P = 0{,}72\ \text{W}

, tant la dissipada com la mecànica del motor.

Resolució

Potència dissipada. Per efecte Joule: $P = \varepsilon\cdot I = 1{,}2\cdot 0{,}6 = 0{,}72\ \text{W}$ (o $I^{2}R = 0{,}6^{2}\cdot 2 = 0{,}72\ \text{W}$ ).
Potència del motor. $P = F\cdot v = 0{,}144\cdot 5 = 0{,}72\ \text{W}$ .
Conclusió. Coincideixen: l'energia mecànica que aporta el motor es converteix íntegrament en calor a la resistència. És la conservació de l'energia, la mateixa idea que hi ha darrere del signe de Lenz.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 24

El rotor d'un alternador és una bobina de 200 espires quadrades de costat 0,1 m, que gira a 1500 voltes per minut dins d'un camp magnètic uniforme de 0,5 T. La fem generada és ε = N·B·S·ω·sin(ω·t). a) Determina la velocitat angular en rad/s i la freqüència de la fem. b) Calcula la fem màxima. c) Quin és el valor instantani de la fem als 0,005 s (suposant que a t = 0 el flux és màxim)?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 24

Apartat a)

Resultat

\omega = 50\pi \approx 157\ \text{rad/s}

;

f = 25\ \text{Hz}

Resolució

Freqüència de gir. En un minut fa 1500 voltes: $f = \dfrac{1500}{60} = 25\ \text{voltes/s} = 25\ \text{Hz}$ .
Velocitat angular. $\omega = 2\pi f = 2\pi\cdot 25 = 50\pi \approx 157{,}08\ \text{rad/s}$
Conclusió. La freqüència de la fem coincideix amb la de gir: $f = 25\ \text{Hz}$ .

Apartat b)

Resultat

\varepsilon_{\text{màx}} \approx 157\ \text{V}

Resolució

Àrea de l'espira. $S = 0{,}1\cdot 0{,}1 = 0{,}01\ \text{m}^{2}$ .
Fem màxima. $\varepsilon_{\text{màx}} = N\cdot B\cdot S\cdot\omega = 200\cdot 0{,}5\cdot 0{,}01\cdot 157{,}08 = 157\ \text{V}$

Apartat c)

Resultat

\varepsilon(0{,}005\ \text{s}) \approx 111\ \text{V}

Resolució

Angle girat. $\omega t = 157{,}08\cdot 0{,}005 = 0{,}785\ \text{rad} = \tfrac{\pi}{4}$ , és a dir, 45°. Si a t = 0 el flux és màxim, $\Phi = N B S\cos(\omega t)$ i la fem és $\varepsilon = \varepsilon_{\text{màx}}\sin(\omega t)$ .
Càlcul. $\varepsilon = 157\cdot\sin 45^\circ = 157\cdot 0{,}707 = 111\ \text{V}$
Compte. La calculadora ha d'estar en radians (o convertir l'angle a graus com hem fet); i el factor que multiplica el sinus és $\varepsilon_{\text{màx}}$ , no cap altre.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 25

Una barra conductora horitzontal de 0,3 m i 0,1 kg pot lliscar sense fregament per dos rails verticals conductors, units per dalt amb una resistència de 0,5 Ω. Tot el conjunt és dins d'un camp magnètic uniforme horitzontal de 0,8 T, perpendicular al pla dels rails. La barra es deixa caure.
a) Explica per què la barra acaba caient a velocitat constant.
b) Calcula aquesta velocitat límit.
c) Calcula el corrent que circula en aquesta situació i comprova que la potència dissipada a la resistència coincideix amb la potència del pes.
g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ .

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 25

Apartat a)

Resultat

La força magnètica induïda (cap amunt) creix amb la velocitat fins a igualar el pes: llavors la força neta és zero i la velocitat ja no canvia.

Resolució

Fem i corrent. En caure, la barra talla les línies de camp i s'hi indueix una fem $\varepsilon = B L v$ , que fa circular un corrent $I = \dfrac{B L v}{R}$ pel circuit.
Força magnètica. Sobre la barra amb corrent apareix una força $F = B\cdot I\cdot L = \dfrac{B^{2}L^{2}v}{R}$ que, per la llei de Lenz, s'oposa al moviment (cap amunt).
Conclusió. Aquesta força creix amb la velocitat fins a igualar el pes; aleshores la força neta és zero i la barra continua baixant amb velocitat constant.

Apartat b)

Resultat

v_{\text{lím}} \approx 8{,}5\ \text{m/s}

Resolució

Condició. $m g = \dfrac{B^{2}L^{2}v_{\text{lím}}}{R}$ .
Càlcul. $v_{\text{lím}} = \dfrac{m g R}{B^{2}L^{2}} = \dfrac{0{,}1\cdot 9{,}8\cdot 0{,}5}{0{,}8^{2}\cdot 0{,}3^{2}} = \dfrac{0{,}49}{0{,}0576} = 8{,}5\ \text{m/s}$

Apartat c)

Resultat

I \approx 4{,}1\ \text{A}

;

P_{\text{dissipada}} = P_{\text{pes}} \approx 8{,}3\ \text{W}

Resolució

Fem i corrent. $\varepsilon = B L v = 0{,}8\cdot 0{,}3\cdot 8{,}5 = 2{,}04\ \text{V}$ ; $I = \dfrac{2{,}04}{0{,}5} = 4{,}1\ \text{A}$ (també $I = \dfrac{m g}{B L} = \dfrac{0{,}98}{0{,}24} = 4{,}1\ \text{A}$ ).
Comprovació de la força. $F = B I L = 0{,}8\cdot 4{,}1\cdot 0{,}3 = 0{,}98\ \text{N} = m g$ .
Potències. Dissipada: $P = I^{2}R = 4{,}1^{2}\cdot 0{,}5 = 8{,}3\ \text{W}$ . Del pes: $P = m g v = 0{,}98\cdot 8{,}5 = 8{,}3\ \text{W}$ .
Conclusió. Coincideixen: l'energia potencial que perd la barra es converteix íntegrament en calor a la resistència (no en energia cinètica, perquè v ja no augmenta).

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 26

Un solenoide llarg de 1000 espires per metre transporta un corrent altern I(t) = 2·sin(100π·t) (I en amperes, t en segons). A l'interior, coaxial amb ell, hi ha una bobina petita de 50 espires i 4 cm² de secció.
a) Calcula el valor màxim del camp magnètic a l'interior del solenoide.
b) Escriu l'expressió del flux a través de la bobina petita en funció del temps.
c) Obtén la fem induïda a la bobina i el seu valor màxim, i indica la freqüència del corrent induït.
$µ_{0}$ = 4π· $10^{-7}$ T·m/A.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 26

Apartat a)

Resultat

B_{\text{màx}} = 2{,}51\cdot10^{-3}\ \text{T}

Resolució

Camp d'un solenoide. $B = \mu_0\cdot n\cdot I$ , amb $n = 1000\ \text{espires/m}$ .
Càlcul. $B_{\text{màx}} = 4\pi\cdot10^{-7}\cdot 1000\cdot 2 = 2{,}51\cdot10^{-3}\ \text{T}$
Variació temporal. El camp varia com el corrent: $B(t) = 2{,}51\cdot10^{-3}\cdot\sin(100\pi t)\ \text{T}$ .

Apartat b)

Resultat

N\Phi(t) = 5{,}03\cdot10^{-5}\cdot\sin(100\pi t)\ \text{Wb}

(per espira,

1{,}01\cdot10^{-6}\cdot\sin(100\pi t)\ \text{Wb}

)

Resolució

Orientació. El camp és paral·lel a l'eix i, per tant, perpendicular a les espires de la bobina petita ( $\cos\theta = 1$ ).
Flux total. $N\Phi(t) = N\cdot B(t)\cdot S = 50\cdot 2{,}51\cdot10^{-3}\cdot 4\cdot10^{-4}\cdot\sin(100\pi t) = 5{,}03\cdot10^{-5}\cdot\sin(100\pi t)\ \text{Wb}$
Per espira. Si es demana el flux per cada espira, cal dividir per 50: $1{,}01\cdot10^{-6}\cdot\sin(100\pi t)\ \text{Wb}$ .

Apartat c)

Resultat

\varepsilon(t) = -1{,}58\cdot10^{-2}\cdot\cos(100\pi t)\ \text{V}

;

\varepsilon_{\text{màx}} \approx 16\ \text{mV}

;

f = 50\ \text{Hz}

Resolució

Llei de Faraday. $\varepsilon = -\dfrac{d(N\Phi)}{dt} = -5{,}03\cdot10^{-5}\cdot 100\pi\cdot\cos(100\pi t) = -1{,}58\cdot10^{-2}\cdot\cos(100\pi t)\ \text{V}$
Valor màxim. $\varepsilon_{\text{màx}} = (N\Phi)_{\text{màx}}\cdot\omega = 5{,}03\cdot10^{-5}\cdot 314 = 1{,}6\cdot10^{-2}\ \text{V} = 16\ \text{mV}$ .
Freqüència. $\omega = 100\pi\ \text{rad/s} \Rightarrow f = \dfrac{\omega}{2\pi} = 50\ \text{Hz}$ , la mateixa que el corrent del solenoide.
Conclusió. És la base del transformador: un corrent altern en una bobina indueix una fem alterna de la mateixa freqüència en una altra.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 27

Un transformador rebaixa la tensió de la xarxa (230 V) a 12 V per alimentar una làmpada halògena de 60 W. El transformador té un rendiment del 90 %.
a) Calcula la relació entre el nombre d'espires del primari i del secundari.
b) Calcula el corrent al secundari i al primari.
c) Explica per què el transformador no funciona si el connectem a una bateria de corrent continu.
d) Un alumne diu que un transformador amb més espires al secundari que al primari «dona més energia de la que rep». Corregeix-lo.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 27

Apartat a)

Resultat

N_1/N_2 \approx 19{,}2

(unes 19 espires al primari per cada espira del secundari)

Resolució

Relació de transformació. $\dfrac{N_1}{N_2} = \dfrac{V_1}{V_2}$ .
Càlcul. $\dfrac{N_1}{N_2} = \dfrac{230}{12} = 19{,}2$

Apartat b)

Resultat

I_2 = 5\ \text{A}

;

I_1 \approx 0{,}29\ \text{A}

Resolució

Secundari. $I_2 = \dfrac{P_2}{V_2} = \dfrac{60}{12} = 5\ \text{A}$ .
Rendiment. La potència absorbida pel primari és $P_1 = \dfrac{P_2}{\eta} = \dfrac{60}{0{,}9} = 66{,}7\ \text{W}$ .
Primari. $I_1 = \dfrac{P_1}{V_1} = \dfrac{66{,}7}{230} = 0{,}29\ \text{A}$
Comparació. Si fos ideal serien 0,26 A; la diferència cobreix les pèrdues per efecte Joule als bobinats i per corrents de Foucault al nucli.

Apartat c)

Resultat

Amb corrent continu el flux al nucli és constant i no s'indueix cap fem al secundari.

Resolució

Principi. El transformador es basa en la inducció: el corrent del primari crea un flux al nucli que, en variar, indueix una fem al secundari.
Amb corrent continu. El flux és constant, no hi ha variació i la fem al secundari és zero (només hi hauria un impuls breu en connectar i en desconnectar).
A més. El primari, amb una resistència molt petita, deixaria passar un corrent enorme i es cremaria.

Apartat d)

Resultat

És fals: un elevador augmenta la tensió però redueix el corrent en la mateixa proporció; la potència de sortida és, com a màxim, la d'entrada.

Resolució

Raonament. En un transformador ideal $V_1 I_1 = V_2 I_2$ : si $V_2 > V_1$ , aleshores $I_2 < I_1$ .
Conclusió. La potència de sortida és, com a màxim, igual a la d'entrada (en un transformador real, sempre una mica més petita). Es transforma la tensió, no es crea energia.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 28

Una barra conductora de 0,5 m i 200 g pot lliscar sense fregament sobre dos rails horitzontals, dins d'un camp magnètic vertical uniforme de 0,6 T. Els rails es connecten a una pila de 12 V i la resistència total del circuit és de 3 Ω.
a) Calcula el corrent inicial, la força sobre la barra i l'acceleració inicial.
b) Explica per què, a mesura que la barra agafa velocitat, el corrent disminueix.
c) Calcula la velocitat màxima que pot assolir la barra.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 28

Apartat a)

Resultat

I_0 = 4\ \text{A}

;

F = 1{,}2\ \text{N}

;

a_0 = 6\ \text{m/s}^{2}

Resolució

Corrent inicial. En engegar, la barra està quieta i només hi ha la fem de la pila: $I_0 = \dfrac{V}{R} = \dfrac{12}{3} = 4\ \text{A}$ .
Força sobre la barra. La barra és perpendicular al camp: $F = B\cdot I\cdot L = 0{,}6\cdot 4\cdot 0{,}5 = 1{,}2\ \text{N}$ .
Segona llei de Newton. $a_0 = \dfrac{F}{m} = \dfrac{1{,}2}{0{,}2} = 6\ \text{m/s}^{2}$

Apartat b)

Resultat

La barra en moviment genera una fem induïda oposada a la de la pila (fem contraelectromotriu), i el corrent net disminueix.

Resolució

Fem de moviment. Quan la barra es mou, talla les línies de camp i s'hi indueix una fem $\varepsilon = B L v$ que, per la llei de Lenz, s'oposa a la de la pila.
Corrent. $I = \dfrac{V - B L v}{R}$ cada cop més petit a mesura que v creix, i amb ell la força i l'acceleració.

Apartat c)

Resultat

v_{\text{màx}} = 40\ \text{m/s}

Resolució

Condició. La velocitat màxima s'assoleix quan la fem induïda iguala la de la pila: el corrent és zero, no hi ha força i la barra ja no s'accelera.
Càlcul. $B L v_{\text{màx}} = V \Rightarrow v_{\text{màx}} = \dfrac{12}{0{,}6\cdot 0{,}5} = 40\ \text{m/s}$
A la pràctica. El fregament limita la velocitat a un valor més baix, en què la força magnètica (amb un corrent petit però no nul) compensa el fregament. Aquest és el principi del motor lineal.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 29

El flux magnètic a través de cada espira d'una bobina de 20 espires i 10 Ω de resistència varia així: augmenta linealment de 0 a 6· $10^{-3}$ Wb entre t = 0 i t = 2 s; es manté constant entre t = 2 s i t = 5 s; i disminueix linealment fins a zero entre t = 5 s i t = 6 s.
a) Calcula la fem induïda i el corrent en cada tram.
b) Raona com són els sentits dels corrents del primer i del tercer tram.
c) Calcula la càrrega total que circula per la bobina en el primer tram.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 29

Apartat a)

Resultat

Tram 1:

|\varepsilon| = 0{,}06\ \text{V}

I = 6\ \text{mA}

; tram 2:

\varepsilon = 0

I = 0

; tram 3:

|\varepsilon| = 0{,}12\ \text{V}

I = 12\ \text{mA}

Resolució

Llei de Faraday. $|\varepsilon| = N\cdot\dfrac{|\Delta\Phi|}{\Delta t}$ i $I = \dfrac{|\varepsilon|}{R}$ , amb $N = 20$ i $R = 10\ \Omega$ .
Tram 1 (0–2 s). $\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t} = \dfrac{6\cdot10^{-3}}{2} = 3\cdot10^{-3}\ \text{Wb/s}$ ; $|\varepsilon_1| = 20\cdot 3\cdot10^{-3} = 0{,}06\ \text{V}$ ; $I_1 = \dfrac{0{,}06}{10} = 6\cdot10^{-3}\ \text{A} = 6\ \text{mA}$ .
Tram 2 (2–5 s). El flux és constant: $\varepsilon_2 = 0$ i $I_2 = 0$ , encara que el flux sigui màxim.
Tram 3 (5–6 s). $\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t} = \dfrac{-6\cdot10^{-3}}{1} = -6\cdot10^{-3}\ \text{Wb/s}$ ; $|\varepsilon_3| = 20\cdot 6\cdot10^{-3} = 0{,}12\ \text{V}$ ; $I_3 = 12\ \text{mA}$ .
Interpretació. La fem del tercer tram és el doble que la del primer perquè la mateixa variació de flux passa en la meitat de temps.

Apartat b)

Resultat

Els corrents del primer i del tercer tram tenen sentits contraris.

Resolució

Llei de Lenz. Al primer tram el flux augmenta: el corrent crea un camp que s'oposa al flux. Al tercer tram el flux disminueix: el corrent crea un camp que el reforça.
Conclusió. Per tant, els dos corrents circulen en sentits oposats.

Apartat c)

Resultat

Q = 1{,}2\cdot10^{-2}\ \text{C}

Resolució

Càrrega. $Q = I_1\cdot\Delta t = 6\cdot10^{-3}\cdot 2 = 1{,}2\cdot10^{-2}\ \text{C}$ .
Comprovació. També $Q = \dfrac{N\cdot\Delta\Phi}{R} = \dfrac{20\cdot 6\cdot10^{-3}}{10} = 1{,}2\cdot10^{-2}\ \text{C}$ que no depèn del temps que trigui la variació.
Observació. Al tercer tram circula la mateixa càrrega en sentit contrari.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 30

Una espira circular de 4 cm de radi i 0,2 Ω de resistència té el pla perpendicular a un camp magnètic uniforme que disminueix uniformement de 0,6 T a 0 en 0,3 s.
a) Calcula la fem induïda i el corrent.
b) Calcula la càrrega total que ha circulat per l'espira i demostra que no depèn de la durada de la variació.
c) Calcula l'energia dissipada a l'espira i explica d'on prové.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 30

Apartat a)

Resultat

|\varepsilon| \approx 1{,}0\cdot10^{-2}\ \text{V} = 10\ \text{mV}

;

I \approx 5{,}0\cdot10^{-2}\ \text{A} = 50\ \text{mA}

Resolució

Superfície i fluxos. $S = \pi r^{2} = \pi\cdot 0{,}04^{2} = 5{,}03\cdot10^{-3}\ \text{m}^{2}$ . Flux inicial: $\Phi_1 = B S = 0{,}6\cdot 5{,}03\cdot10^{-3} = 3{,}02\cdot10^{-3}\ \text{Wb}$ ; flux final: 0.
Llei de Faraday. Com que la variació és uniforme, la fem és constant: $|\varepsilon| = \dfrac{|\Delta\Phi|}{\Delta t} = \dfrac{3{,}02\cdot10^{-3}}{0{,}3} = 1{,}0\cdot10^{-2}\ \text{V}$
Corrent. $I = \dfrac{\varepsilon}{R} = \dfrac{0{,}0101}{0{,}2} = 5{,}0\cdot10^{-2}\ \text{A}$ .
Sentit (llei de Lenz). El corrent crea un camp del mateix sentit que el camp que desapareix.

Apartat b)

Resultat

Q = \dfrac{\Delta\Phi}{R} \approx 1{,}5\cdot10^{-2}\ \text{C}

, independent de

\Delta t

Resolució

Càlcul. $Q = I\cdot\Delta t = 0{,}050\cdot 0{,}3 = 1{,}5\cdot10^{-2}\ \text{C}$ .
Demostració. $Q = I\,\Delta t = \dfrac{\varepsilon}{R}\,\Delta t = \dfrac{\Delta\Phi}{R\,\Delta t}\,\Delta t = \dfrac{\Delta\Phi}{R} = \dfrac{3{,}02\cdot10^{-3}}{0{,}2} = 1{,}5\cdot10^{-2}\ \text{C}$ El temps es cancel·la.
Exemple. Si el camp s'anul·lés en 3 s, la fem i el corrent serien 10 vegades més petits, però durarien 10 vegades més i la càrrega seria la mateixa.

Apartat c)

Resultat

E \approx 1{,}5\cdot10^{-4}\ \text{J}

; prové del treball de l'agent que fa variar el camp.

Resolució

Efecte Joule. $E = \varepsilon\cdot I\cdot\Delta t = I^{2}R\,\Delta t = 0{,}050^{2}\cdot 0{,}2\cdot 0{,}3 = 1{,}5\cdot10^{-4}\ \text{J}$
Origen. Prové de l'agent que fa variar el camp magnètic (per exemple, el circuit que alimenta l'electroimant), que ha de fer treball contra l'efecte del corrent induït.
Diferència amb la càrrega. A diferència de la càrrega, l'energia sí que depèn de la durada: com més ràpid canvia el flux, més energia es dissipa.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preparat per a la universitat

Els exercicis més exigents: nivell PAU alt i primer curs de grau. Veure totes les matèries

Exercici 31

En una torre de caiguda lliure d'un parc d'atraccions, la cabina (500 kg amb els passatgers) cau verticalment i entra a la zona de frenada a 25 m/s. Sota la cabina hi ha unes aletes de coure que passen entre dues files d'imants permanents. En un model simplificat, el conjunt equival a una barra conductora de 0,50 m que es mou perpendicularment a un camp de 0,80 T, formant un circuit tancat de resistència total 5,0· $10^{-4}$ Ω.
a) Calcula la fem induïda, el corrent i la força magnètica sobre la cabina en entrar a la zona de frenada. Raona, amb la llei de Lenz, el sentit d'aquesta força.
b) Calcula l'acceleració de la cabina en aquest instant (té en compte el pes).
c) Demostra que la força de frenada és proporcional a la velocitat i calcula la velocitat a la qual la cabina deixaria d'accelerar o frenar (velocitat límit). Raona per què aquest sistema sol no pot aturar la cabina.
d) La zona de frenada fa 20 m i la cabina en surt a 20,8 m/s. Calcula l'energia dissipada i on va a parar. Quina és la potència dissipada en entrar a la zona?
e) Raona per què els enginyers consideren aquest fre «segur per fallada»: què passa si s'interromp el subministrament elèctric del parc?
Dades: g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ .

Pista 1

La fem d'un conductor que es mou perpendicularment a un camp és ε = B·L·v. Amb la resistència tens el corrent, i la força sobre el conductor és F = I·L·B.

Pista 2

Combina les tres expressions anteriors en una de sola i mira com depèn de v. La velocitat límit s'assoleix quan la força magnètica iguala el pes.

Pista 3

L'energia dissipada és la pèrdua d'energia mecànica: variació d'energia cinètica més variació d'energia potencial.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 31

Apartat a)

Resultat

\varepsilon = 10\ \text{V}

;

I = 2{,}0\cdot10^{4}\ \text{A}

;

F = 8{,}0\cdot10^{3}\ \text{N}

, cap amunt (oposada a la velocitat).

Resolució

Dades. $m = 500\ \text{kg}$ , $v_0 = 25\ \text{m/s}$ , $L = 0{,}50\ \text{m}$ , $B = 0{,}80\ \text{T}$ , $R = 5{,}0\cdot10^{-4}\ \Omega$ .
Fem de moviment. $\varepsilon = B\cdot L\cdot v = 0{,}80\cdot 0{,}50\cdot 25 = 10\ \text{V}$ .
Corrent. $I = \dfrac{\varepsilon}{R} = \dfrac{10}{5{,}0\cdot10^{-4}} = 2{,}0\cdot10^{4}\ \text{A}$ Els corrents de Foucault en un bloc de coure poden ser enormes perquè la resistència és molt petita.
Força. $F = I\cdot L\cdot B = 2{,}0\cdot10^{4}\cdot 0{,}50\cdot 0{,}80 = 8{,}0\cdot10^{3}\ \text{N}$ .
Sentit (llei de Lenz). El corrent induït s'oposa a la causa que el produeix, el moviment relatiu de les aletes respecte dels imants: la força és cap amunt, oposada a la velocitat.

Apartat b)

Resultat

a = 6{,}2\ \text{m/s}^{2}

cap amunt (la cabina frena).

Resolució

Forces. Sobre la cabina actuen el pes, $m g = 500\cdot 9{,}8 = 4{,}9\cdot10^{3}\ \text{N}$ cap avall, i la força magnètica, $8{,}0\cdot10^{3}\ \text{N}$ cap amunt.
Segona llei de Newton. $a = \dfrac{F - m g}{m} = \dfrac{8{,}0\cdot10^{3} - 4{,}9\cdot10^{3}}{500} = \dfrac{3{,}1\cdot10^{3}}{500} = 6{,}2\ \text{m/s}^{2}$
Conclusió. L'acceleració és cap amunt: la cabina frena, amb una desacceleració suportable (menor que g).

Apartat c)

Resultat

F = \dfrac{B^{2}L^{2}}{R}\,v

;

v_{\text{lím}} \approx 15\ \text{m/s}

. El fre sol no pot aturar la cabina: per sota de 15 m/s ja no venç el pes.

Resolució

Força proporcional a v. $F = I L B = \dfrac{B L v}{R}\cdot L B = \dfrac{B^{2}L^{2}}{R}\,v$ amb $\dfrac{B^{2}L^{2}}{R} = \dfrac{0{,}80^{2}\cdot 0{,}50^{2}}{5{,}0\cdot10^{-4}} = 320\ \text{N}\cdot\text{s/m}$ .
Velocitat límit. La cabina deixa de frenar quan $F = m g$ : $v_{\text{lím}} = \dfrac{m g R}{B^{2}L^{2}} = \dfrac{500\cdot 9{,}8\cdot 5{,}0\cdot10^{-4}}{0{,}80^{2}\cdot 0{,}50^{2}} = 15\ \text{m/s}$
Per què no s'atura. A mesura que la cabina s'alenteix la força disminueix, i per sota de 15 m/s ja no pot vèncer el pes: la cabina tendeix a baixar a velocitat constant, però no s'atura. Al final de la caiguda calen frens de fricció o un tram horitzontal.

Apartat d)

Resultat

E_{\text{dissipada}} \approx 1{,}5\cdot10^{5}\ \text{J}

, en calor a les aletes (efecte Joule);

P_{\text{entrada}} = 2{,}0\cdot10^{5}\ \text{W}

Resolució

Pèrdua d'energia mecànica. Cal sumar la variació d'energia cinètica i la d'energia potencial en els 20 m: $E = \tfrac{1}{2}m\,(v_0^{2} - v_f^{2}) + m g h = \tfrac{1}{2}\cdot 500\cdot(25^{2} - 20{,}8^{2}) + 500\cdot 9{,}8\cdot 20$
Càlcul. $E = 4{,}8\cdot10^{4} + 9{,}8\cdot10^{4} = 1{,}5\cdot10^{5}\ \text{J}$ . Es converteix en calor a les aletes per efecte Joule (els corrents induïts les escalfen).
Potència en entrar. $P = F\cdot v = 8{,}0\cdot10^{3}\cdot 25 = 2{,}0\cdot10^{5}\ \text{W}$ , que coincideix amb $I^{2}R = (2{,}0\cdot10^{4})^{2}\cdot 5{,}0\cdot10^{-4}$ : tota la potència mecànica que es perd es dissipa al circuit.

Apartat e)

Resultat

Funciona sense cap font externa: els imants són permanents i el corrent el genera el mateix moviment, de manera que una apagada no l'afecta.

Resolució

Raonament. Els imants són permanents i el corrent el genera el mateix moviment: el fre no necessita cap font d'energia externa ni cap mecanisme que s'hagi d'activar.
Conclusió. Si falla el subministrament elèctric, el fre continua funcionant igual, i com més ràpid va la cabina, més fort frena.

Errors típics

Oblidar el pes en calcular l'acceleració dins de la zona de frenada.
Creure que la força magnètica és constant: és proporcional a la velocitat i disminueix a mesura que la cabina frena.
Comptar només la variació d'energia cinètica i oblidar l'energia potencial perduda en els 20 m de baixada.

Conceptes treballats: fem de moviment, llei de Lenz, força sobre un conductor, velocitat límit, corrents de Foucault, conservació de l'energia i efecte Joule.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 32

Una bicicleta porta un llum alimentat per una dinamo de botella: un petit corró de 1,0 cm de radi gira en contacte amb el pneumàtic, sense lliscar, i fa girar un imant dins d'una bobina fixa. En un model simplificat, la bobina té 500 espires de 1,7· $10^{-4}$ $\text{m}^{2}$ i l'imant hi crea un camp de 0,20 T que gira amb el corró, de manera que el flux per espira és Φ = B·S·cos(ω·t). El llum és una bombeta de 6,0 V i 3,0 W (valors eficaços).
a) Si la bicicleta va a 18 km/h, raona per què el corró gira amb una velocitat lineal de 18 km/h a la seva perifèria i calcula'n la velocitat angular.
b) Calcula la fem màxima i la fem eficaç de la dinamo, i la freqüència del corrent altern. Escriu l'expressió de ε(t).
c) Si la resistència de la bombeta és constant i la de la bobina és negligible, quina potència rep la bombeta quan la bicicleta va a 9 km/h? Raona la resposta.
d) Quan la bicicleta va a pas de vianant (3,6 km/h), la llum fa pampallugues visibles. Explica per què.
e) Molts ciclistes noten que costa una mica més pedalar quan el llum és encès. Explica-ho amb la llei de Lenz.

Pista 1

El punt del corró que toca el pneumàtic no llisca: té la mateixa velocitat que la perifèria de la roda, que és la velocitat de la bicicleta.

Pista 2

Deriva el flux total N·B·S·cos(ω·t) respecte del temps. La fem màxima és N·B·S·ω i el valor eficaç és el màxim dividit per $\sqrt{2}$ .

Pista 3

Si la velocitat es redueix a la meitat, què passa amb ω i amb la fem? I amb la potència en una resistència fixa?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 32

Apartat a)

Resultat

La perifèria del corró va a la velocitat de la bicicleta (contacte sense lliscar);

\omega = 5{,}0\cdot10^{2}\ \text{rad/s}

(unes 4800 rpm).

Resolució

Rodolament sense lliscar. La roda rodola sobre el terra sense lliscar, i la seva perifèria es mou respecte de l'eix a la velocitat de la bicicleta. El corró toca el pneumàtic sense lliscar, i per tant la perifèria del corró es mou també a $v = 18\ \text{km/h} = 5{,}0\ \text{m/s}$ .
Velocitat angular. $\omega = \dfrac{v}{r} = \dfrac{5{,}0}{0{,}010} = 5{,}0\cdot10^{2}\ \text{rad/s}$ unes 4800 rpm. Compte: el radi que cal és el del corró, no el de la roda.

Apartat b)

Resultat

\varepsilon_0 = 8{,}5\ \text{V}

;

\varepsilon_{\text{ef}} \approx 6{,}0\ \text{V}

;

f \approx 80\ \text{Hz}

;

\varepsilon(t) = 8{,}5\cdot\sin(500\,t)

(SI)

Resolució

Llei de Faraday. $\varepsilon = -N\dfrac{d\Phi}{dt} = N B S\omega\,\sin(\omega t)$
Fem màxima. $\varepsilon_0 = 500\cdot 0{,}20\cdot 1{,}7\cdot10^{-4}\cdot 500 = 8{,}5\ \text{V}$ .
Fem eficaç. $\varepsilon_{\text{ef}} = \dfrac{8{,}5}{\sqrt 2} = 6{,}0\ \text{V}$ , justament la tensió nominal de la bombeta.
Freqüència i expressió. $f = \dfrac{\omega}{2\pi} = \dfrac{500}{2\pi} = 80\ \text{Hz}$ ; $\varepsilon(t) = 8{,}5\cdot\sin(500\,t)$ (SI).

Apartat c)

Resultat

P = 0{,}75\ \text{W}

, la quarta part dels 3,0 W.

Resolució

Resistència de la bombeta. $R = \dfrac{V^{2}}{P} = \dfrac{6{,}0^{2}}{3{,}0} = 12\ \Omega$ .
A 9 km/h. ω és la meitat i la fem també: $\varepsilon_{\text{ef}} = 3{,}0\ \text{V}$ .
Potència. $P = \dfrac{\varepsilon_{\text{ef}}^{2}}{R} = \dfrac{3{,}0^{2}}{12} = 0{,}75\ \text{W}$
Conclusió. Com que la fem és proporcional a la velocitat i la potència al quadrat de la fem, la potència és proporcional al quadrat de la velocitat: la llum és molt més feble quan es va a poc a poc.

Apartat d)

Resultat

A 3,6 km/h la freqüència és només d'uns 16 Hz: la llum s'apaga i s'encén unes 32 vegades per segon, prou lent perquè l'ull ho percebi.

Resolució

Freqüència. $v = 3{,}6\ \text{km/h} = 1{,}0\ \text{m/s}$ : $\omega = 100\ \text{rad/s}$ i $f = 16\ \text{Hz}$ .
Parpelleig. El corrent passa per zero dues vegades per període, i la bombeta s'apaga i s'encén unes 32 vegades per segon; a més, la potència és baixa i el filament no té temps de mantenir-se calent.
Conclusió. L'ull percep aquestes variacions lentes com un parpelleig.

Apartat e)

Resultat

El corrent induït crea un moment de força que s'oposa a la rotació (llei de Lenz): el ciclista ha de fer el treball que es converteix en energia elèctrica.

Resolució

Llei de Lenz. Amb el circuit tancat, el corrent induït crea un camp que s'oposa a la variació de flux, és a dir, a la rotació de l'imant: apareix un moment de força resistent sobre el corró.
Energia. El ciclista ha de fer un treball addicional, que és precisament l'energia elèctrica que arriba a la bombeta; la dinamo no dona energia «gratis».
Comparació. Amb el llum apagat (circuit obert) no hi ha corrent ni frenada magnètica.

Errors típics

Calcular ω amb el radi de la roda en lloc del radi del corró.
Pensar que la potència és proporcional a la velocitat: és proporcional al quadrat de la fem i, per tant, de la velocitat.
Creure que la dinamo dona energia «gratis»: l'energia elèctrica surt del treball del ciclista.

Conceptes treballats: llei de Faraday, alternador, valors eficaços, potència elèctrica, llei de Lenz i conservació de l'energia, cinemàtica de rotació.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 33

Un parc eòlic genera 20 MW que s'han de portar fins a una subestació situada a 40 km. La línia té dos conductors d'alumini (anada i tornada, és a dir, 80 km de cable en total) de 300 mm² de secció. Fes servir un model monofàsic simplificat en què la potència transportada és P = V·I.
a) Calcula la resistència total de la línia.
b) Calcula el corrent i la potència perduda a la línia si es transporta a 25 kV i si es transporta a 220 kV. Expressa les pèrdues en percentatge.
c) Demostra que, per a una potència i una línia donades, les pèrdues són inversament proporcionals al quadrat de la tensió, i comprova-ho amb els resultats anteriors.
d) Per elevar la tensió de 25 kV a 220 kV es fa servir un transformador amb 400 espires al primari. Quantes n'ha de tenir el secundari? Quin corrent circula pel primari i pel secundari (transformador ideal)?
e) Raona per què els transformadors no funcionen amb corrent continu i per què no es transporta l'energia a tensions encara molt més altes, per exemple 5000 kV.
Dades: ρ(Al) = 2,8·10⁻⁸ Ω·m.

Pista 1

R = ρ·ℓ/S, amb la longitud total de cable i la secció en m².

Pista 2

El corrent el fixa la potència que es vol transportar: I = P/V. Les pèrdues són I²·R.

Pista 3

En un transformador ideal, V₂/V₁ = N₂/N₁ i la potència d'entrada és igual a la de sortida.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 33

Apartat a)

Resultat

R \approx 7{,}5\ \Omega

Resolució

Dades. Longitud total de cable $\ell = 80\ \text{km} = 8{,}0\cdot10^{4}\ \text{m}$ (anada i tornada); $S = 300\ \text{mm}^{2} = 3{,}00\cdot10^{-4}\ \text{m}^{2}$ .
Resistència d'un conductor. $R = \rho\,\dfrac{\ell}{S} = 2{,}8\cdot10^{-8}\cdot\dfrac{8{,}0\cdot10^{4}}{3{,}00\cdot10^{-4}} = 7{,}5\ \Omega$

Apartat b)

Resultat

A 25 kV:

I = 800\ \text{A}

P_{\text{perd}} \approx 4{,}8\ \text{MW}

(24 %); a 220 kV:

I \approx 91\ \text{A}

P_{\text{perd}} \approx 62\ \text{kW}

(0,31 %)

Resolució

Plantejament. El corrent el fixa la potència transportada, $I = P/V$ (no $V/R$ : la tensió de transport no és la que cau a la línia), i les pèrdues són $I^{2}R$ .
A 25 kV. $I = \dfrac{20\cdot10^{6}}{25\cdot10^{3}} = 800\ \text{A}$ ; $P_{\text{perd}} = 800^{2}\cdot 7{,}47 = 4{,}8\cdot10^{6}\ \text{W} = 4{,}8\ \text{MW}$ , el 24 % de la potència generada!
A 220 kV. $I = \dfrac{20\cdot10^{6}}{220\cdot10^{3}} = 91\ \text{A}$ ; $P_{\text{perd}} = 90{,}9^{2}\cdot 7{,}47 = 6{,}2\cdot10^{4}\ \text{W} = 62\ \text{kW}$ , només el 0,31 %.

Apartat c)

Resultat

P_{\text{perd}} = \dfrac{P^{2}R}{V^{2}} \propto \dfrac{1}{V^{2}}

; multiplicar V per 8,8 divideix les pèrdues per 77.

Resolució

Demostració. $P_{\text{perd}} = I^{2}R = \left(\dfrac{P}{V}\right)^{2}R = \dfrac{P^{2}R}{V^{2}}$ Amb P i R fixes, les pèrdues són inversament proporcionals a $V^{2}$ .
Comprovació. La tensió es multiplica per $\dfrac{220}{25} = 8{,}8$ i les pèrdues es divideixen per $8{,}8^{2} = 77$ : $4{,}78\ \text{MW}/77 = 62\ \text{kW}$ , d'acord amb l'apartat b).

Apartat d)

Resultat

N_2 = 3520

espires (

\approx 3{,}5\cdot10^{3}

);

I_1 = 800\ \text{A}

I_2 \approx 91\ \text{A}

Resolució

Relació de transformació. $N_2 = N_1\cdot\dfrac{V_2}{V_1} = 400\cdot\dfrac{220}{25} = 3520\ \text{espires}$
Corrents. Amb la potència conservada (ideal), al primari circulen $I_1 = P/V_1 = 800\ \text{A}$ i al secundari $I_2 = P/V_2 = 91\ \text{A}$ .
Conclusió. El transformador eleva la tensió i redueix el corrent en la mateixa proporció; no «crea» potència.

Apartat e)

Resultat

Amb corrent continu el flux al nucli no varia i no s'indueix res; tensions molt més altes exigirien aïllaments i torres enormes i provocarien descàrregues (efecte corona).

Resolució

Corrent continu. El transformador funciona per inducció: el corrent del primari ha de crear un flux variable al nucli perquè, per la llei de Faraday, s'indueixi una fem al secundari. Amb corrent continu el flux és constant i al secundari no s'indueix res.
Tensions molt altes. Les pèrdues baixarien encara més, però caldrien aïlladors enormes, distàncies de seguretat i torres molt més grans, i apareixerien descàrregues a l'aire al voltant dels conductors (efecte corona).
Conclusió. La tensió de transport és un compromís entre les pèrdues per efecte Joule i el cost i la seguretat de la instal·lació.

Errors típics

Fer servir 40 km en lloc de 80 km de cable (el corrent ha d'anar i tornar).
Calcular el corrent de la línia amb I = $\tfrac{V}{R}$ fent servir la tensió de transport: la tensió de transport no és la que cau a la línia; el corrent el fixa la potència transportada.
Pensar que el transformador elevador «crea» potència: si eleva la tensió, redueix el corrent.

Conceptes treballats: resistència elèctrica, efecte Joule, transformador i llei de Faraday, transport d'energia en alta tensió, energies renovables.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 34

Una placa d'inducció té sota el vidre una bobina recorreguda per un corrent altern de 25 kHz. En un model molt simplificat, el fons d'una olla d'acer es comporta com una espira circular de 10 cm de radi i resistència efectiva 0,15 Ω, travessada perpendicularment per un camp magnètic uniforme B(t) = $B_{0}$ ·sin(ω·t), amb $B_{0}$ = 5,0 mT.
a) Raona, amb les lleis de Faraday i de Joule, per què s'escalfa el fons de l'olla però no el vidre de la placa. Per què una olla de vidre no s'escalfaria?
b) Calcula la fem màxima i la fem eficaç induïdes en el fons de l'olla.
c) Calcula la potència mitjana que es dissipa al fons de l'olla.
d) Si tota aquesta potència passa a l'aigua, quant temps cal per escalfar 1,5 L d'aigua de 15 °C a 100 °C?
e) Si la placa funcionés a 50 Hz amb la mateixa amplitud de camp, quina fem màxima s'induiria? Interpreta el resultat i explica per què les plaques treballen a freqüències d'unes desenes de kHz (pensa també en l'oïda humana).
Dades: c(aigua) = 4180 J/(kg·K); densitat de l'aigua 1,0 kg/L.

Pista 1

El flux a través del fons és Φ = B(t)·S. Deriva'l respecte del temps per obtenir la fem.

Pista 2

La potència mitjana en una resistència és $ε_{\mathrm{ef}}$ ²/R.

Pista 3

La fem màxima és S· $B_{0}$ ·ω: és proporcional a la freqüència.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 34

Apartat a)

Resultat

El camp variable indueix corrents de Foucault al fons conductor de l'olla, que l'escalfen per efecte Joule; el vidre és aïllant i no hi circula corrent.

Resolució

Llei de Faraday. El camp variable crea un flux variable a través del fons metàl·lic de l'olla i s'hi indueix una fem.
Llei de Joule. Com que el fons és conductor, hi circulen corrents induïts (corrents de Foucault) que l'escalfen per efecte Joule.
El vidre. El vidre ceràmic de la placa també és travessat pel camp, però és aïllant: s'hi indueix fem però no hi circula corrent i no s'escalfa (només rep calor de l'olla, no és ell qui l'escalfa).
Olla de vidre. Tampoc no conduiria i, per tant, no s'escalfaria.

Apartat b)

Resultat

\varepsilon_0 \approx 25\ \text{V}

;

\varepsilon_{\text{ef}} \approx 17\ \text{V}

Resolució

Fem. $\Phi(t) = S B_0\sin(\omega t) \Rightarrow \varepsilon = -\dfrac{d\Phi}{dt} = -S B_0\omega\cos(\omega t)$ .
Dades. $S = \pi\cdot 0{,}10^{2} = 3{,}14\cdot10^{-2}\ \text{m}^{2}$ (amb el radi, no el diàmetre); $\omega = 2\pi\cdot 25\cdot10^{3} = 1{,}57\cdot10^{5}\ \text{rad/s}$ .
Càlcul. $\varepsilon_0 = 3{,}14\cdot10^{-2}\cdot 5{,}0\cdot10^{-3}\cdot 1{,}57\cdot10^{5} = 24{,}7 \approx 25\ \text{V}$ $\varepsilon_{\text{ef}} = \dfrac{24{,}7}{\sqrt 2} = 17\ \text{V}$ .

Apartat c)

Resultat

P \approx 2{,}0\ \text{kW}

Resolució

Potència mitjana. Cal fer servir la fem eficaç (amb la màxima sortiria el doble): $P = \dfrac{\varepsilon_{\text{ef}}^{2}}{R}$ .
Càlcul. $P = \dfrac{17{,}4^{2}}{0{,}15} = 2{,}0\cdot10^{3}\ \text{W} = 2{,}0\ \text{kW}$ la potència típica d'un fogó.

Apartat d)

Resultat

t \approx 2{,}6\cdot10^{2}\ \text{s} \approx 4{,}4\ \text{min}

Resolució

Calor necessària. $Q = m c\,\Delta T = 1{,}5\cdot 4180\cdot 85 = 5{,}3\cdot10^{5}\ \text{J}$ .
Temps. $t = \dfrac{Q}{P} = \dfrac{5{,}33\cdot10^{5}}{2{,}03\cdot10^{3}} = 2{,}6\cdot10^{2}\ \text{s} \approx 4{,}4\ \text{min}$
A la pràctica. Tarda una mica més per les pèrdues de calor.

Apartat e)

Resultat

\varepsilon_0 \approx 4{,}9\cdot10^{-2}\ \text{V}

(500 vegades menys) i la potència 250 000 vegades menor: l'olla no s'escalfaria. Per sobre de 20 kHz, a més, no se sent cap brunzit.

Resolució

Proporcionalitat. La fem màxima és $S B_0\omega$ , proporcional a la freqüència: a 50 Hz seria 500 vegades més petita.
Càlcul. $\varepsilon_0 = 24{,}7\cdot\dfrac{50}{25\,000} = 4{,}9\cdot10^{-2}\ \text{V}$ i la potència ( $\propto\varepsilon^{2}$ ) seria 250 000 vegades més petita: l'olla no s'escalfaria.
Conclusió. Per això les plaques treballen a desenes de kHz. A més, per sobre de 20 kHz les vibracions que el camp provoca a l'olla no són audibles per l'oïda humana.

Errors típics

Fer servir el diàmetre en lloc del radi per calcular l'àrea.
Calcular la potència amb la fem màxima en lloc de l'eficaç (dona el doble).
Dir que la placa escalfa l'olla per conducció des del vidre calent.

Conceptes treballats: llei de Faraday amb camp variable, corrents de Foucault, valors eficaços, efecte Joule, calor específica, aplicacions domèstiques.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 35

Els raspalls de dents elèctrics es carreguen sense contactes metàl·lics: la base conté un solenoide de 400 espires i 4,0 cm de llargada, alimentat amb un corrent altern de 50 kHz. El mànec del raspall, que s'encaixa a dins, conté una bobina de 150 espires de 6,0 mm de radi. Suposa que el camp a l'interior del solenoide és uniforme i té una amplitud de 2,0 mT.
a) Raona per què aquest sistema no funcionaria amb corrent continu, i per què la carcassa de plàstic no impedeix la transferència d'energia.
b) Calcula l'amplitud del corrent que ha de circular pel solenoide de la base.
c) Calcula la fem màxima i la fem eficaç induïdes a la bobina del raspall.
d) Si el raspall s'encaixa mal i l'eix de la seva bobina forma 30° amb el del solenoide, quina fem màxima s'indueix?
e) La bateria del raspall s'ha de carregar amb corrent continu. Raona quin element ha de tenir el circuit del mànec i quin avantatge pràctic té aquest sistema per a un aparell que es fa servir al bany.
Dades: $μ_{0}$ = 4π· $10^{-7}$ T·m/A.

Pista 1

El camp a l'interior d'un solenoide llarg és B = $μ_{0}$ ·N·I/L.

Pista 2

La fem màxima a la bobina del raspall és $N_{2}$ · $B_{0}$ · $S_{2}$ ·ω.

Pista 3

Si la bobina està inclinada, el flux depèn del cosinus de l'angle entre el camp i la normal a les espires.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 35

Apartat a)

Resultat

Amb corrent continu el flux seria constant i no s'induiria cap fem; el plàstic no apantalla el camp magnètic.

Resolució

Llei de Faraday. La fem al raspall només apareix si el flux a través de la seva bobina varia. Amb corrent continu, el camp de la base seria constant i no s'induiria res.
Carcassa. El plàstic és transparent al camp magnètic (no l'apantalla), i per això el camp travessa les dues carcasses.

Apartat b)

Resultat

I_0 \approx 0{,}16\ \text{A}

Resolució

Camp d'un solenoide. $B_0 = \mu_0\cdot\dfrac{N_1\,I_0}{L}$ .
Càlcul. $I_0 = \dfrac{B_0 L}{\mu_0 N_1} = \dfrac{2{,}0\cdot10^{-3}\cdot 0{,}040}{4\pi\cdot10^{-7}\cdot 400} = 0{,}16\ \text{A}$

Apartat c)

Resultat

\varepsilon_0 \approx 11\ \text{V}

;

\varepsilon_{\text{ef}} \approx 7{,}5\ \text{V}

Resolució

Dades. $S_2 = \pi\cdot(6{,}0\cdot10^{-3})^{2} = 1{,}13\cdot10^{-4}\ \text{m}^{2}$ ; $\omega = 2\pi\cdot 5{,}0\cdot10^{4} = 3{,}14\cdot10^{5}\ \text{rad/s}$ . Compte: el nombre d'espires és el de la bobina del raspall, 150.
Fem màxima. $\varepsilon_0 = N_2 B_0 S_2\,\omega = 150\cdot 2{,}0\cdot10^{-3}\cdot 1{,}13\cdot10^{-4}\cdot 3{,}14\cdot10^{5} = 10{,}7 \approx 11\ \text{V}$
Fem eficaç. $\varepsilon_{\text{ef}} = \dfrac{10{,}7}{\sqrt 2} = 7{,}5\ \text{V}$ .
Interpretació. És suficient per carregar una bateria d'uns pocs volts. Fixa't que l'alta freqüència permet obtenir una fem raonable amb un camp i una bobina petits.

Apartat d)

Resultat

\varepsilon_0' \approx 9{,}2\ \text{V}

Resolució

Flux amb inclinació. El flux depèn del cosinus de l'angle entre el camp i la normal a les espires: queda multiplicat per $\cos 30^\circ$ (no pel sinus).
Càlcul. $\varepsilon_0' = 10{,}7\cdot\cos 30^\circ = 9{,}2\ \text{V}$
Observació. Si el raspall s'inclinés 90°, el flux seria nul i no es carregaria.

Apartat e)

Resultat

Cal un rectificador (díodes); avantatge: el mànec pot ser completament estanc, sense contactes metàl·lics exposats a l'aigua.

Resolució

Rectificació. La fem induïda és alterna i la bateria necessita corrent en un sol sentit: cal un rectificador (díodes) que converteixi el corrent altern en continu.
Avantatge. No hi ha contactes metàl·lics exposats, el mànec pot ser completament estanc i no hi ha risc que l'aigua provoqui curtcircuits o corrosió.
Conclusió. És el mateix principi que la càrrega sense fils dels mòbils.

Errors típics

Pensar que el camp magnètic no travessa el plàstic.
Oblidar el nombre d'espires de la bobina del raspall o fer servir el del solenoide.
Fer servir el sinus de l'angle d'inclinació en lloc del cosinus per al flux.

Conceptes treballats: camp d'un solenoide, llei de Faraday, inducció mútua, valors eficaços, flux i orientació, rectificació, càrrega sense fils.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 36

La pastilla d'una guitarra elèctrica és un imant permanent envoltat per una bobina de 7000 espires. Les cordes, d'acer, queden imantades per l'imant. Quan una corda vibra sobre la pastilla, el flux a través de cada espira varia aproximadament com Φ(t) = $Φ_{0}$ + $Φ_{1}$ ·sin(2π·f·t), amb $Φ_{1}$ = 5,0· $10^{-8}$ Wb.
a) Raona per què una guitarra elèctrica no funciona amb cordes de niló.
b) La corda La té una longitud vibrant de 0,648 m i la seva freqüència fonamental és de 110 Hz. Calcula la velocitat de propagació de les ones a la corda.
c) Escriu l'expressió de la fem induïda a la bobina quan la corda vibra en el mode fonamental i calcula'n el valor màxim. Per què el terme $Φ_{0}$ no hi contribueix?
d) El guitarrista prem la corda al traste 12, que redueix la longitud vibrant a la meitat. Quina freqüència sona? Si $Φ_{1}$ no canvia, quina és la nova fem màxima?
e) Si la pastilla estigués just sota el punt mitjà de la corda, captaria el segon harmònic? Raona per què les guitarres tenen pastilles en diferents posicions i sonen diferent.

Pista 1

Pensa en què cal perquè el moviment de la corda canviï el camp magnètic a l'interior de la bobina.

Pista 2

En una corda fixa pels dos extrems, el mode fonamental té λ = 2L. La fem és −N·dΦ/dt.

Pista 3

En el segon harmònic, quins punts de la corda no es mouen?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 36

Apartat a)

Resultat

El niló no és magnètic: la seva vibració no altera el camp de l'imant dins de la bobina i no hi ha variació de flux ni fem.

Resolució

Llei de Faraday. La fem només apareix si el flux a través de la bobina varia.
Corda d'acer. Una corda d'acer imantada que s'acosta i s'allunya de la pastilla modifica el camp a l'interior de la bobina i, per tant, el flux.
Corda de niló. No és magnètica, no altera el camp i, per molt que vibri, no indueix cap fem.

Apartat b)

Resultat

v \approx 1{,}4\cdot10^{2}\ \text{m/s}

(142,6 m/s)

Resolució

Mode fonamental. En una corda fixa pels dos extrems, $\lambda = 2L = 2\cdot 0{,}648 = 1{,}296\ \text{m}$ (no $\lambda = L$ ).
Velocitat de propagació. $v = \lambda\cdot f = 1{,}296\cdot 110 = 142{,}6 \approx 1{,}4\cdot10^{2}\ \text{m/s}$

Apartat c)

Resultat

\varepsilon(t) = -N\Phi_1\,2\pi f\cos(2\pi f t)

;

\varepsilon_0 \approx 0{,}24\ \text{V}

\Phi_0

és constant i la seva derivada és zero.

Resolució

Llei de Faraday. $\varepsilon = -N\dfrac{d\Phi}{dt} = -N\,\Phi_1\cdot 2\pi f\cdot\cos(2\pi f t)$
Valor màxim. $\varepsilon_0 = 7000\cdot 5{,}0\cdot10^{-8}\cdot 2\pi\cdot 110 = 0{,}24\ \text{V}$ .
El terme constant. $\Phi_0$ és el flux de l'imant amb la corda en repòs: és constant i la seva derivada és zero. Només la part del flux que varia genera senyal.

Apartat d)

Resultat

f' = 220\ \text{Hz}

(una octava més aguda);

\varepsilon_0' \approx 0{,}48\ \text{V}

Resolució

Nova freqüència. La velocitat de l'ona no canvia (mateixa corda i mateixa tensió); amb la meitat de longitud, λ es redueix a la meitat: $f' = \dfrac{v}{2L'} = \dfrac{142{,}6}{2\cdot 0{,}324} = 220\ \text{Hz}$
Nova fem màxima. Com que la fem és proporcional a la freqüència, $\varepsilon_0' = 2\cdot 0{,}24 = 0{,}48\ \text{V}$ .
A la pràctica. $\Phi_1$ també canvia, perquè depèn de l'amplitud de vibració sobre la pastilla.

Apartat e)

Resultat

No: el punt mitjà és un node del segon harmònic. Cada posició capta amb intensitat diferent cada harmònic i per això el timbre canvia.

Resolució

Segon harmònic. En el segon harmònic, el punt mitjà de la corda és un node: no es mou i no fa variar el flux. Una pastilla situada just sota aquest punt no captaria aquest harmònic.
Posició de les pastilles. Cada posició capta amb intensitat diferent cada harmònic (segons si hi ha un node o un ventre a sobre), i per això el timbre canvia.
Conclusió. La pastilla propera al pont sona més brillant i la del mànec, més suau.

Errors típics

Pensar que el flux constant Φ₀ també genera fem.
Fer servir λ = L en lloc de λ = 2L per al mode fonamental d'una corda fixa pels dos extrems.
Creure que la velocitat de l'ona canvia en prémer un traste: el que canvia és la longitud vibrant.

Conceptes treballats: llei de Faraday amb flux variable, ones estacionàries en cordes, harmònics, nodes i ventres, aplicacions musicals.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 37

Al laboratori es deixa caure un imant petit, amb el pol nord cap avall, a través d'una bobina vertical de 200 espires connectada a un sensor de tensió. L'imant es deixa anar 20 cm per sobre de la bobina. Quan és al centre de la bobina, el flux a través de cada espira és de 3,0· $10^{-5}$ Wb, i aquest flux passa de pràcticament zero al valor màxim mentre l'imant recorre uns 2,0 cm. Menysprea la frenada magnètica i la variació de la velocitat dins de la bobina.
a) Descriu i raona la forma del gràfic ε(t) que s'obté: quants polsos hi ha i quin signe té cadascun?
b) Estima la fem mitjana durant l'entrada de l'imant a la bobina.
c) Demostra que l'àrea sota cada pols del gràfic ε(t) val N· $Φ_{\mathrm{màx}}$ independentment de la velocitat de l'imant, i calcula-la.
d) A la realitat, el segon pols és una mica més alt i més estret que el primer. Per què?
e) Si es deixa caure l'imant des de 80 cm, com canvien l'altura i l'amplada dels polsos? I l'àrea?
f) Mirant la bobina des de dalt, en quin sentit circula el corrent induït quan l'imant s'hi acosta? Justifica-ho amb la llei de Lenz.
Dades: g = 9,8 $\text{m/s}^{2}$ .

Pista 1

El flux augmenta quan l'imant entra i disminueix quan surt. La fem depèn de la derivada del flux.

Pista 2

La velocitat d'arribada surt de la caiguda lliure. El temps que dura l'entrada és la distància dividida per la velocitat.

Pista 3

L'àrea sota ε(t) és la integral de N·dΦ/dt respecte del temps: només depèn dels valors inicial i final del flux.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 37

Apartat a)

Resultat

Dos polsos de signes contraris (entrada i sortida), separats per un pas per zero quan l'imant és al centre.

Resolució

Entrada. Mentre l'imant entra, el flux augmenta i s'indueix una fem d'un signe.
Centre. Quan és al centre, el flux és màxim i la seva derivada és nul·la: $\varepsilon = 0$ . Compte: la fem no és màxima al centre.
Sortida. Quan surt, el flux disminueix i la fem té el signe oposat.
Conclusió. El gràfic té dos polsos de signes contraris separats per un pas per zero.

Apartat b)

Resultat

\varepsilon_{\text{mitjana}} \approx 0{,}59\ \text{V}

Resolució

Velocitat d'arribada. Caiguda lliure de 20 cm: $v = \sqrt{2 g h} = \sqrt{2\cdot 9{,}8\cdot 0{,}20} = 1{,}98\ \text{m/s}$ .
Durada de l'entrada. $\Delta t \approx \dfrac{0{,}020}{1{,}98} = 1{,}0\cdot10^{-2}\ \text{s}$ .
Llei de Faraday. $\varepsilon_{\text{mitjana}} = N\dfrac{\Delta\Phi}{\Delta t} = \dfrac{200\cdot 3{,}0\cdot10^{-5}}{1{,}01\cdot10^{-2}} = 0{,}59\ \text{V}$

Apartat c)

Resultat

Àrea

= N\,\Phi_{\text{màx}} = 6{,}0\cdot10^{-3}\ \text{V}\cdot\text{s}

(

= 6{,}0\cdot10^{-3}\ \text{Wb}

), independent de la velocitat.

Resolució

Demostració. $\int\varepsilon\,dt = \int N\dfrac{d\Phi}{dt}\,dt = N\,\Delta\Phi = N\,(\Phi_{\text{màx}} - 0)$
Càlcul. Àrea $= 200\cdot 3{,}0\cdot10^{-5} = 6{,}0\cdot10^{-3}\ \text{V}\cdot\text{s}$ .
Interpretació. No depèn de com de ràpid canvia el flux, sinó només de quant canvia. El segon pols té la mateixa àrea i signe contrari: en total, el flux torna a ser zero.

Apartat d)

Resultat

L'imant continua accelerant dins de la bobina i surt més ràpid que entra: el flux varia més de pressa i el pols és més alt; com que l'àrea és la mateixa, ha de ser més estret.

Resolució

Raonament. L'imant continua accelerant per la gravetat mentre travessa la bobina: surt més ràpid que entra.
Conseqüència. El flux varia més de pressa, la fem és més gran i el pols dura menys temps.
Conclusió. Com que l'àrea ha de ser la mateixa ( $6{,}0\cdot10^{-3}\ \text{V}\cdot\text{s}$ ), si és més alt ha de ser més estret.

Apartat e)

Resultat

Altura doble (

\approx 1{,}2\ \text{V}

), amplada meitat; l'àrea no canvia (

6{,}0\cdot10^{-3}\ \text{V}\cdot\text{s}

Resolució

Velocitat. Des de 80 cm (4 vegades l'altura), $v = \sqrt{2 g h}$ es dobla: $v = \sqrt{2\cdot 9{,}8\cdot 0{,}80} = 3{,}96\ \text{m/s}$ .
Polsos. Duren la meitat i són el doble d'alts ( $\varepsilon \approx 1{,}2\ \text{V}$ ).
Àrea. Continua sent $6{,}0\cdot10^{-3}\ \text{V}\cdot\text{s}$ : un imant més ràpid no fa polsos amb més àrea.

Apartat f)

Resultat

Antihorari vist des de dalt.

Resolució

Variació de flux. Les línies surten del pol nord, que mira cap avall: quan l'imant s'acosta per dalt, el flux cap avall a través de la bobina augmenta.
Llei de Lenz. El corrent induït crea un camp que s'oposa a aquest augment (no al camp de l'imant), és a dir, cap amunt dins de la bobina: la cara superior es comporta com un pol nord que repel·leix l'imant.
Sentit. Un camp que apunta cap a l'observador (cap amunt, mirant des de dalt) correspon a un corrent antihorari.

Errors típics

Pensar que la fem és màxima quan l'imant és al centre de la bobina: és on el flux és màxim, però la seva variació és nul·la.
Creure que un imant més ràpid fa polsos amb més àrea: l'àrea només depèn de la variació total del flux.
Aplicar la regla de Lenz com si el corrent s'oposés al camp de l'imant en lloc d'oposar-se a la variació del flux.

Conceptes treballats: llei de Faraday, llei de Lenz, interpretació de gràfics ε(t), caiguda lliure, conservació del flux total, treball experimental.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 38

Una barra conductora de longitud R gira amb velocitat angular ω al voltant d'un dels seus extrems, en un pla perpendicular a un camp magnètic uniforme B.
a) Demostra que la fem entre els extrems de la barra és ε = ½·B·ω· $R^{2}$ , fent servir l'àrea que escombra la barra per unitat de temps.
b) Les pales d'un helicòpter fan 5,0 m i giren a 400 rpm en un lloc on la component vertical del camp magnètic terrestre és 4,0· $10^{-5}$ T. Calcula la fem entre el centre del rotor i la punta d'una pala. Raona per què no es pot aprofitar per encendre un llum a bord.
c) El disc de Faraday és un generador format per un disc de coure de 15 cm de radi que gira a 3000 rpm dins d'un camp de 0,80 T perpendicular al disc; uns fregadors recullen el corrent entre l'eix i la vora. Calcula la fem i el corrent si la resistència total del circuit és 0,010 Ω. Interpreta el resultat: per a quin tipus d'aplicació és útil un generador d'aquest estil?
d) Explica per què, quan es tanca el circuit, cal fer més força per mantenir el disc girant a la mateixa velocitat.

Pista 1

En un temps dt, la barra gira un angle ω·dt i escombra un sector circular. Quina àrea té aquest sector?

Pista 2

Fem = B·(àrea escombrada per unitat de temps). Passa les rpm a rad/s.

Pista 3

Per mesurar la fem de la pala cal un circuit tancat: els cables que van fins al voltímetre també giren dins del mateix camp.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 38

Apartat a)

Resultat

\varepsilon = \dfrac{d\Phi}{dt} = B\cdot\dfrac{dA}{dt} = \tfrac{1}{2}\,B\,\omega R^{2}

Resolució

Àrea escombrada. En un temps dt, la barra gira $d\theta = \omega\,dt$ i escombra un sector circular d'àrea $dA = \tfrac{1}{2}R^{2}\,d\theta$ (no l'àrea completa del cercle).
Flux escombrat. $d\Phi = B\,dA = \tfrac{1}{2}B R^{2}\omega\,dt$ .
Llei de Faraday. $\varepsilon = \dfrac{d\Phi}{dt} = \tfrac{1}{2}\,B\,\omega R^{2}$
Comprovació. Cada tros de barra a una distància r té una velocitat $\omega r$ ; la velocitat mitjana de la barra és $\omega R/2$ (no la de la punta, $\omega R$ ): $\varepsilon = B\cdot R\cdot\dfrac{\omega R}{2}$ , el mateix resultat.

Apartat b)

Resultat

\varepsilon \approx 2{,}1\cdot10^{-2}\ \text{V} = 21\ \text{mV}

; no es pot aprofitar perquè el cable de tornada, que gira amb la pala, té la mateixa fem en sentit contrari.

Resolució

Velocitat angular. $\omega = 400\cdot\dfrac{2\pi}{60} = 41{,}9\ \text{rad/s}$ .
Càlcul. $\varepsilon = \tfrac{1}{2}\cdot 4{,}0\cdot10^{-5}\cdot 41{,}9\cdot 5{,}0^{2} = 2{,}1\cdot10^{-2}\ \text{V} \approx 21\ \text{mV}$
Per què no serveix. És molt petita, però a més no es pot aprofitar: per fer circular corrent caldria tancar el circuit amb un cable que tornés del centre a la punta girant amb la pala, i en aquest cable s'induiria exactament la mateixa fem en sentit contrari. La fem neta en el circuit seria zero.

Apartat c)

Resultat

\varepsilon \approx 2{,}8\ \text{V}

;

I \approx 2{,}8\cdot10^{2}\ \text{A}

: generador de baixa tensió i corrent continu molt intens (electròlisi industrial, soldadura).

Resolució

Velocitat angular. $\omega = 3000\cdot\dfrac{2\pi}{60} = 314\ \text{rad/s}$ .
Fem. El disc equival a moltes barres radials en paral·lel: $\varepsilon = \tfrac{1}{2}\cdot 0{,}80\cdot 314\cdot 0{,}15^{2} = 2{,}8\ \text{V}$
Corrent. $I = \dfrac{\varepsilon}{R} = \dfrac{2{,}83}{0{,}010} = 2{,}8\cdot10^{2}\ \text{A}$ .
Interpretació. És un generador de baixa tensió però de corrent molt intens i continu (no altern, perquè la fem no canvia de signe). És útil en aplicacions que necessiten molt de corrent continu a poca tensió, com l'electròlisi industrial o alguns tipus de soldadura.

Apartat d)

Resultat

El corrent pel disc rep una força magnètica que, per la llei de Lenz, s'oposa al gir; cal fer treball per compensar-la.

Resolució

Força magnètica. Quan circula corrent pel disc, el camp fa una força sobre els portadors ( $\vec F = I\,\vec L\times\vec B$ ) que, segons la llei de Lenz, s'oposa al gir.
Energia. Per mantenir la velocitat, el motor o la persona que fa girar el disc ha de fer un treball que es converteix en energia elèctrica (i en calor per efecte Joule).
Comparació. Amb el circuit obert no hi ha corrent i no hi ha aquesta frenada.

Errors típics

Fer servir l'àrea completa del cercle en lloc de l'àrea escombrada per unitat de temps.
Fer servir la velocitat de la punta (ω·R) en lloc de la velocitat mitjana (ω·R/2) a ε = B·L·v.
Pensar que es pot obtenir corrent d'una pala que gira simplement connectant-hi un cable: els cables que giren amb ella tenen la mateixa fem.

Conceptes treballats: llei de Faraday, fem de moviment, flux escombrat, generadors homopolars, llei de Lenz, camp magnètic terrestre.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 39

Un prototip per aprofitar l'energia de les onades consisteix en una boia que puja i baixa amb l'aigua i que arrossega una bobina de 500 espires circulars de 20 cm de radi. La bobina es mou al llarg d'un imant fix que crea sobre els fils un camp radial (perpendicular al fil en tots els punts de cada espira) de 0,60 T. Les onades fan que la boia descrigui un moviment harmònic simple vertical d'1,0 m d'amplitud i 8,0 s de període.
a) Raona per què, en moure's la bobina amb velocitat v, s'indueix en cada espira una fem B·ℓ·v, on ℓ és la longitud de l'espira.
b) Calcula la velocitat màxima de la boia, la fem màxima i la fem eficaç. Escriu ε(t) si a t = 0 la boia és a la posició d'equilibri pujant.
c) Si la bobina alimenta una resistència de 20 Ω (la de la bobina és negligible), quina potència mitjana s'obté?
d) Quina és la freqüència del corrent generat? Raona per què no es pot connectar directament a la xarxa elèctrica de 50 Hz.
e) Quan el circuit està tancat, raona què passa amb el moviment de la boia respecte del cas en què el circuit és obert. D'on surt l'energia elèctrica?

Pista 1

Pensa en la força de Lorentz sobre els electrons del fil quan aquest es mou perpendicularment al camp.

Pista 2

En un MHS, v(t) = A·ω·cos(ω·t) i $v_{\mathrm{màx}}$ = A·ω, amb ω = 2π/T.

Pista 3

La fem de la bobina és N·B·(2π·r)·v(t); la potència mitjana és $ε_{\mathrm{ef}}$ ²/R.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 39

Apartat a)

Resultat

La força de Lorentz

q\,\vec v\times\vec B

és tangent al fil en cada punt; el seu treball per unitat de càrrega al llarg de l'espira és

\varepsilon = B\,\ell\,v

Resolució

Força de Lorentz. Cada electró del fil es mou amb la bobina amb velocitat v (vertical), perpendicular al camp radial. La força $q\,\vec v\times\vec B$ és tangent al fil en cada punt i empeny els electrons al llarg de l'espira.
Fem. El treball per unitat de càrrega en tota l'espira és la fem: $\varepsilon = v\cdot B\cdot\ell$ , amb $\ell = 2\pi r$ (el perímetre, no el radi).
Equivalència. És el mateix resultat que dona la llei de Faraday considerant el flux que «talla» el fil en moure's.

Apartat b)

Resultat

v_{\text{màx}} \approx 0{,}79\ \text{m/s}

;

\varepsilon_0 \approx 3{,}0\cdot10^{2}\ \text{V}

;

\varepsilon_{\text{ef}} \approx 2{,}1\cdot10^{2}\ \text{V}

;

\varepsilon(t) = 296\cdot\cos(0{,}785\,t)

(SI)

Resolució

MHS. $\omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{8{,}0} = 0{,}785\ \text{rad/s}$ ; $v_{\text{màx}} = A\omega = 1{,}0\cdot 0{,}785 = 0{,}79\ \text{m/s}$ (no confonguis l'amplitud amb la velocitat màxima).
Fem màxima. $\ell = 2\pi\cdot 0{,}20 = 1{,}26\ \text{m}$ : $\varepsilon_0 = N B\ell\,v_{\text{màx}} = 500\cdot 0{,}60\cdot 1{,}26\cdot 0{,}785 = 3{,}0\cdot10^{2}\ \text{V}$
Fem eficaç. $\varepsilon_{\text{ef}} = \dfrac{296}{\sqrt 2} = 2{,}1\cdot10^{2}\ \text{V}$ .
Expressió temporal. Si a t = 0 la boia és a l'equilibri pujant, $x(t) = A\sin(\omega t)$ i $v(t) = A\omega\cos(\omega t)$ : $\varepsilon(t) = 296\cdot\cos(0{,}785\,t)$ (SI).

Apartat c)

Resultat

P \approx 2{,}2\ \text{kW}

Resolució

Potència mitjana. $P = \dfrac{\varepsilon_{\text{ef}}^{2}}{R}$ .
Càlcul. $P = \dfrac{209^{2}}{20} = 2{,}2\cdot10^{3}\ \text{W} \approx 2{,}2\ \text{kW}$

Apartat d)

Resultat

f = 0{,}125\ \text{Hz}

; no té ni la freqüència ni la tensió constant de la xarxa: cal rectificar, emmagatzemar i tornar a convertir a 50 Hz (inversor).

Resolució

Freqüència. $f = \dfrac{1}{T} = 0{,}125\ \text{Hz}$ : la fem canvia de sentit cada 4 s, i la seva amplitud varia amb l'alçada de cada onada.
Connexió a la xarxa. No té ni la freqüència ni la tensió constant de la xarxa: cal rectificar-la, emmagatzemar l'energia i tornar-la a convertir en alterna de 50 Hz amb electrònica de potència (un inversor).

Apartat e)

Resultat

El corrent fa que el camp exerceixi una força que amorteix l'oscil·lació de la boia (llei de Lenz); l'energia elèctrica surt de l'energia mecànica de les onades.

Resolució

Llei de Lenz. Amb el circuit tancat circula corrent per la bobina i el camp fa sobre ella una força que s'oposa al seu moviment: actua com un amortiment que redueix l'amplitud de l'oscil·lació de la boia.
Energia. L'energia elèctrica surt de l'energia mecànica de les onades, que fan treball contra aquesta força.
Comparació. Amb el circuit obert, la boia oscil·laria sense aquesta frenada.

Errors típics

Fer servir el radi en lloc del perímetre per a la longitud de cada espira.
Confondre l'amplitud del MHS amb la velocitat màxima: v_màx = A·ω.
Pensar que l'energia elèctrica no afecta el moviment de la boia: per la llei de Lenz, la generació l'amorteix.

Conceptes treballats: moviment harmònic simple, fem de moviment i força de Lorentz, valors eficaços, llei de Lenz i amortiment, energies renovables marines.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 40

En un motor de gasolina, l'espurna de la bugia la produeix una bobina d'encesa: dues bobines enrotllades sobre el mateix nucli de ferro. Pel primari circula un corrent continu de 5,0 A; quan un interruptor electrònic el talla bruscament, el corrent cau a zero en 0,10 ms. L'autoinducció del primari és de 8,0 mH i el secundari té 75 vegades més espires que el primari.
a) Raona per què tallar bruscament un corrent en una bobina produeix una fem molt gran, i per què no passa res mentre el corrent és constant.
b) Calcula la fem autoinduïda mitjana al primari durant el tall.
c) Suposant que tot el flux del primari travessa el secundari, demostra que ε₂/ε₁ = N₂/N₁ i calcula la fem al secundari.
d) Els elèctrodes de la bugia estan separats 0,80 mm. Calcula el camp elèctric mitjà entre ells i compara'l amb la rigidesa dielèctrica de l'aire a pressió atmosfèrica, 3,0·10⁶ V/m. Raona per què cal tant de marge dins del cilindre, on el gas està comprimit.
e) Si el corrent es tallés lentament, en 10 ms, quina fem hi hauria al primari? Saltaria l'espurna?

Pista 1

Per la llei de Faraday aplicada a la mateixa bobina, la fem autoinduïda és ε = L·ΔI/Δt.

Pista 2

Si totes les espires de les dues bobines són travessades pel mateix flux variable, la fem de cada bobina és proporcional al seu nombre d'espires.

Pista 3

Entre dues plaques (o elèctrodes) molt propers, el camp mitjà és E = ΔV/d.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 40

Apartat a)

Resultat

La fem és proporcional a la rapidesa amb què varia el corrent (i el flux): un tall brusc dona una fem enorme; amb corrent constant no hi ha variació ni fem.

Resolució

Autoinducció. La fem induïda és proporcional a la rapidesa amb què varia el flux, que en una bobina és proporcional al corrent ( $\Phi_{\text{total}} = L\cdot I$ ): $\varepsilon = -L\,\dfrac{dI}{dt}$ .
Corrent constant. El flux no varia i no hi ha cap fem induïda.
Tall brusc. Si el corrent passa de 5,0 A a zero en un temps molt curt, la variació de flux és molt ràpida i la fem és molt gran. Per la llei de Lenz, aquesta fem s'oposa a la disminució del corrent: «intenta» mantenir-lo.

Apartat b)

Resultat

\varepsilon_1 = 4{,}0\cdot10^{2}\ \text{V}

Resolució

Dades. $L = 8{,}0\ \text{mH}$ , $\Delta I = 5{,}0\ \text{A}$ , $\Delta t = 0{,}10\ \text{ms} = 1{,}0\cdot10^{-4}\ \text{s}$ (compte a passar els mil·lisegons a segons).
Càlcul. $\varepsilon_1 = L\,\dfrac{\Delta I}{\Delta t} = \dfrac{8{,}0\cdot10^{-3}\cdot 5{,}0}{1{,}0\cdot10^{-4}} = 4{,}0\cdot10^{2}\ \text{V}$ molt més que els 12 V de la bateria del cotxe.

Apartat c)

Resultat

\varepsilon_2/\varepsilon_1 = N_2/N_1

;

\varepsilon_2 = 3{,}0\cdot10^{4}\ \text{V} = 30\ \text{kV}

Resolució

Demostració. Si cada espira de les dues bobines és travessada pel mateix flux Φ, $\varepsilon_1 = N_1\dfrac{d\Phi}{dt}$ i $\varepsilon_2 = N_2\dfrac{d\Phi}{dt}$ ; dividint, $\dfrac{\varepsilon_2}{\varepsilon_1} = \dfrac{N_2}{N_1}$
Càlcul. $\varepsilon_2 = 75\cdot 400 = 3{,}0\cdot10^{4}\ \text{V} = 30\ \text{kV}$ .
Observació. Fixa't que no és el corrent continu de la bateria el que indueix la fem al secundari, sinó el tall (la variació) del corrent.

Apartat d)

Resultat

E \approx 3{,}8\cdot10^{7}\ \text{V/m}

, unes 12 vegades la rigidesa dielèctrica de l'aire a 1 atm; el gas comprimit necessita un camp molt més intens per ionitzar-se.

Resolució

Camp mitjà. Cal dividir la tensió per la distància entre elèctrodes: $E = \dfrac{\Delta V}{d} = \dfrac{3{,}0\cdot10^{4}}{8{,}0\cdot10^{-4}} = 3{,}8\cdot10^{7}\ \text{V/m}$
Comparació. $\dfrac{3{,}75\cdot10^{7}}{3{,}0\cdot10^{6}} \approx 12$ : unes 12 vegades la rigidesa dielèctrica de l'aire a pressió atmosfèrica.
Gas comprimit. Dins del cilindre, la barreja d'aire i gasolina està comprimida: les molècules estan més juntes, els electrons recorren distàncies més curtes entre xocs i guanyen menys energia, de manera que el gas necessita un camp molt més intens per ionitzar-se. El marge garanteix que l'espurna salti sempre.

Apartat e)

Resultat

\varepsilon_1 = 4{,}0\ \text{V}

\varepsilon_2 = 3{,}0\cdot10^{2}\ \text{V}

: no saltaria l'espurna.

Resolució

Primari. $\varepsilon_1 = \dfrac{8{,}0\cdot10^{-3}\cdot 5{,}0}{1{,}0\cdot10^{-2}} = 4{,}0\ \text{V}$
Secundari. $\varepsilon_2 = 75\cdot 4{,}0 = 3{,}0\cdot10^{2}\ \text{V}$ , molt lluny dels milers de volts necessaris (el camp mitjà seria $3{,}8\cdot10^{5}\ \text{V/m}$ , per sota de la rigidesa de l'aire): no saltaria l'espurna.
Conclusió. La clau del sistema no és la intensitat del corrent sinó la rapidesa del tall.

Errors típics

Pensar que el transformador funciona amb el corrent continu de la bateria: el que indueix la fem és el tall (la variació) del corrent.
Oblidar passar els mil·lisegons a segons.
Comparar la tensió (V) amb la rigidesa dielèctrica (V/m) sense dividir per la distància entre elèctrodes.

Conceptes treballats: autoinducció, llei de Faraday i de Lenz, inducció mútua i relació d'espires, camp elèctric i diferència de potencial, ruptura dielèctrica, aplicacions a l'automòbil.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preguntes freqüents

Què diu la llei de Lenz?

Que el corrent induït té un sentit tal que s'oposa a la variació del flux que l'ha produït.

Per què un transformador no funciona amb corrent continu?

Perquè necessita un flux magnètic variable per induir corrent al secundari. Amb corrent continu el flux és constant i no s'indueix res.

Tornar a Física