Exercicis de física moderna — Física 2n Batxillerat

Q: Per què més intensitat de llum no sempre arrenca electrons?

Perquè a l'efecte fotoelèctric el que compta és l'energia de cada fotó, que depèn de la freqüència. Si la freqüència és més baixa que la llindar, cap electró surt, per molta intensitat que hi hagi.

Q: Quan emet un fotó un àtom?

Quan un electró baixa d'un nivell d'energia més alt a un de més baix. L'energia del fotó és la diferència entre els dos nivells. Per pujar, l'àtom n'absorbeix un.

La física moderna explica fenòmens que la física clàssica no podia entendre, i és un bloc habitual a la PAU. Els exercicis et fan aplicar l'efecte fotoelèctric: la freqüència llindar, l'energia cinètica dels electrons i el potencial de frenada. Després treballes el model de Bohr de l'àtom d'hidrogen, calculant l'energia dels fotons emesos o absorbits en els salts entre nivells, i la dualitat ona-corpuscle. Al final estudies els postulats de la relativitat especial i la física nuclear, amb desintegracions com la del sodi-24. Les solucions comproven sempre les unitats. Errors típics: pensar que amb més intensitat de llum sempre s'arrenquen electrons i confondre quan l'àtom emet i quan absorbeix.

Tens examen d'aquest tema? Fes un simulacre de 60 minuts com el de l'institut, amb solucions i criteris de correcció.Fes el simulacre →

Nivell bàsic

Exercici 1

Què vol dir que la llum té 'dualitat ona-corpuscle'?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 1

Resultat

La llum es comporta com una ona en uns fenòmens (difracció, interferència) i com un feix de partícules (fotons) en d'altres (efecte fotoelèctric).

Resolució

Què es demana. Explicar què vol dir que la llum tingui un doble comportament, ondulatori i corpuscular.
Comportament ondulatori. En la difracció i la interferència la llum es comporta com una ona: es desvia en passar per escletxes i forma franges de llum i foscor.
Comportament corpuscular. En l'efecte fotoelèctric la llum es comporta com un feix de partícules, els fotons, cadascun amb una energia $E = h\cdot f$ que cedeix de cop a un sol electró.
Conclusió. La llum no és exclusivament una ona ni exclusivament un feix de partícules: mostra una cara o l'altra segons l'experiment que fem.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 2

Segons la relativitat, pot un objecte amb massa arribar a la velocitat de la llum?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 2

Resultat

No. Cap objecte amb massa pot arribar a

c

: caldria comunicar-li una energia infinita.

Resolució

Què es demana. Saber si un cos amb massa pot assolir la velocitat de la llum segons la relativitat especial.
Energia relativista. L'energia d'una partícula és $E = \gamma\cdot m\cdot c^{2},\qquad \gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - v^{2}/c^{2}}}$
Límit v → c. Quan $v \to c$ , el denominador tendeix a zero i $\gamma \to \infty$ : l'energia necessària seria infinita.
Conclusió. La velocitat de la llum és el límit de l'univers: cap objecte amb massa la pot assolir. Només la llum, sense massa, hi viatja.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 3

Quins són els dos postulats de la relativitat especial?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 3

Resultat

1) Les lleis de la física són les mateixes en tots els sistemes de referència inercials. 2) La velocitat de la llum al buit és la mateixa per a tots els observadors inercials, independentment del moviment de la font.

Resolució

Primer postulat (principi de relativitat). Les lleis de la física són les mateixes en tots els sistemes de referència inercials: cap experiment no permet distingir quin està «en repòs».
Segon postulat (constància de c). La velocitat de la llum al buit, $c$ , és la mateixa per a tots els observadors inercials, independentment del moviment de la font o de l'observador.
Conclusió. D'aquests dos postulats se'n dedueixen la dilatació del temps, la contracció de la longitud i l'equivalència massa-energia.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 4

Un punter làser verd emet llum de 532 nm amb una potència d'1 mW. Calcula l'energia d'un fotó (en J i en eV) i el nombre de fotons que emet cada segon. Dades: h = 6,63· $10^{-34}$ J·s; c = 3· $10^{8}$ m/s; 1 eV = 1,6· $10^{-19}$ J.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 4

Resultat

E = 3{,}74\cdot10^{-19}\ \text{J} = 2{,}34\ \text{eV}

;

N = 2{,}67\cdot10^{15}

fotons cada segon.

Resolució

Dades. $\lambda = 532\ \text{nm} = 532\cdot10^{-9}\ \text{m}$ , $P = 1\ \text{mW} = 10^{-3}\ \text{W}$ . Es demana l'energia d'un fotó i el nombre de fotons per segon.
Energia d'un fotó (Planck). $E = h\cdot f = \dfrac{h\cdot c}{\lambda} = \dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot 3\cdot10^{8}}{532\cdot10^{-9}} = 3{,}74\cdot10^{-19}\ \text{J}$
En electronvolts. $E = \dfrac{3{,}74\cdot10^{-19}}{1{,}6\cdot10^{-19}} = 2{,}34\ \text{eV}$
Nombre de fotons. La potència és l'energia emesa per segon: $P = N\cdot E$ , d'on $N = \dfrac{P}{E} = \dfrac{10^{-3}}{3{,}74\cdot10^{-19}} = 2{,}67\cdot10^{15}\ \text{fotons/s}$
Conclusió. Fixa't que, encara que cada fotó porta molt poca energia, el nombre de fotons és enorme: per això a escala macroscòpica la llum sembla contínua.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 5

Una nau espacial passa per davant de la Terra a 0,8c. Un rellotge a bord marca que un procés ha durat 60 minuts. Quant ha durat aquest procés segons els observadors de la Terra? Com s'anomena aquest fenomen?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 5

Resultat

\Delta t = 100\ \text{min}

; és la dilatació del temps.

Resolució

Dades. $v = 0{,}8c$ . El rellotge de bord està en repòs respecte del procés, així que mesura el temps propi: $\Delta t_{0} = 60\ \text{min}$ .
Factor de Lorentz. $\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - v^{2}/c^{2}}} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - 0{,}8^{2}}} = \dfrac{1}{\sqrt{0{,}36}} = \dfrac{1}{0{,}6} = 1{,}67$
Dilatació del temps. Per als observadors de la Terra: $\Delta t = \gamma\cdot\Delta t_{0} = \dfrac{60}{0{,}6} = 100\ \text{min}$
Conclusió. És la dilatació del temps: els rellotges en moviment semblen anar més lents vistos des de l'observador respecte del qual es mouen. El temps propi és sempre el més curt.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 6

Un alumne afirma: «Una regla que fa 1 m en repòs passa per davant nostre a 0,6c; com que el factor γ val 1,25, nosaltres la veiem de 1,25 m». Corregeix el raonament i dona el resultat correcte.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 6

Resultat

La regla es contrau:

L = L_{0}/\gamma = 0{,}8\ \text{m}

, no 1,25 m.

Resolució

Dades. $L_{0} = 1\ \text{m}$ (longitud pròpia, en repòs), $v = 0{,}6c$ .
Factor de Lorentz. $\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - 0{,}6^{2}}} = \dfrac{1}{0{,}8} = 1{,}25$ Aquest valor és correcte, però l'alumne l'aplica al revés.
Contracció de la longitud. Les longituds en la direcció del moviment es contrauen: $L = \dfrac{L_{0}}{\gamma} = \dfrac{1}{1{,}25} = 0{,}8\ \text{m}$ Nosaltres mesurem la regla més curta, no més llarga.
Regla general. La longitud pròpia $L_{0}$ (mesurada per qui viatja amb la regla) és sempre la màxima: el factor $\gamma$ multiplica els temps (dilatació) i divideix les longituds (contracció).
Conclusió. A més, la contracció només afecta la dimensió paral·lela a la velocitat: l'amplada i el gruix de la regla no canvien.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 7

Calcula l'energia en repòs d'un electró en joules i en megaelectronvolts. Què representa aquesta energia? Dades: $m_{e}$ = 9,11· $10^{-31}$ kg; c = 3· $10^{8}$ m/s; 1 eV = 1,6· $10^{-19}$ J.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 7

Resultat

E_{0} = 8{,}2\cdot10^{-14}\ \text{J} = 0{,}512\ \text{MeV}

; és l'energia associada a la massa en repòs de l'electró.

Resolució

Dades. $m_{e} = 9{,}11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$ , $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ . Es demana l'energia en repòs.
Equivalència massa-energia d'Einstein. $E_{0} = m\cdot c^{2} = 9{,}11\cdot10^{-31}\cdot(3\cdot10^{8})^{2} = 8{,}2\cdot10^{-14}\ \text{J}$
En electronvolts. $E_{0} = \dfrac{8{,}2\cdot10^{-14}}{1{,}6\cdot10^{-19}} = 5{,}12\cdot10^{5}\ \text{eV} = 0{,}512\ \text{MeV}$
Què representa. És l'energia associada a la massa de l'electró pel sol fet d'existir, independentment del seu moviment: la que s'alliberaria si la seva massa es transformés completament en energia. Per exemple, en anihilar-se un electró i un positró en repòs es produeixen dos fotons, cadascun amb aquesta energia.
Conclusió. L'energia total d'una partícula en moviment és $E = \gamma\cdot m\cdot c^{2}$ , i la cinètica, $E_{c} = E - E_{0}$ .

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 8

El treball d'extracció del sodi és 2,3 eV. Calcula la longitud d'ona llindar d'aquest metall i raona si una llum vermella de 650 nm pot extreure'n electrons. Dades: h = 6,63· $10^{-34}$ J·s; c = 3· $10^{8}$ m/s; 1 eV = 1,6· $10^{-19}$ J.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 8

Resultat

\lambda_{0} = 5{,}4\cdot10^{-7}\ \text{m} = 540\ \text{nm}

; la llum vermella de 650 nm no n'extreu electrons (1,91 eV < 2,3 eV).

Resolució

Dades. $W = 2{,}3\ \text{eV} = 2{,}3\cdot1{,}6\cdot10^{-19} = 3{,}68\cdot10^{-19}\ \text{J}$ . Es demana la longitud d'ona llindar $\lambda_{0}$ .
Condició llindar. A la llindar, l'energia del fotó és just el treball d'extracció: $h\cdot f_{0} = \dfrac{h\cdot c}{\lambda_{0}} = W$
Càlcul. $\lambda_{0} = \dfrac{h\cdot c}{W} = \dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot 3\cdot10^{8}}{3{,}68\cdot10^{-19}} = 5{,}4\cdot10^{-7}\ \text{m} = 540\ \text{nm}$
Llum de 650 nm. Només extreuen electrons les radiacions amb $\lambda \lt \lambda_{0}$ (fotons més energètics). Un fotó de 650 nm porta $E = \dfrac{h\cdot c}{\lambda} = \dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot3\cdot10^{8}}{650\cdot10^{-9}} = 1{,}91\ \text{eV} \lt 2{,}3\ \text{eV}$
Conclusió. No hi ha emissió, per intensa que sigui la llum. Error típic: creure que augmentant la intensitat s'aconsegueix l'emissió; la intensitat només augmenta el nombre de fotons, no l'energia de cadascun.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 9

Calcula la longitud d'ona de De Broglie d'una pilota de 0,15 kg que es mou a 20 m/s i raona per què no observem cap comportament ondulatori en els objectes quotidians. Dada: h = 6,63· $10^{-34}$ J·s.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 9

Resultat

\lambda = 2{,}2\cdot10^{-34}\ \text{m}

: és massa petita perquè la difracció o la interferència siguin observables.

Resolució

Dades. $m = 0{,}15\ \text{kg}$ , $v = 20\ \text{m/s}$ .
Hipòtesi de De Broglie. Tota partícula amb quantitat de moviment $p$ té associada una longitud d'ona $\lambda = \dfrac{h}{p} = \dfrac{h}{m\cdot v}$
Càlcul. $\lambda = \dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}}{0{,}15\cdot 20} = \dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}}{3} = 2{,}2\cdot10^{-34}\ \text{m}$
Comparació. Aquesta longitud d'ona és uns $10^{19}$ vegades més petita que un nucli atòmic ( $10^{-15}\ \text{m}$ ): cap obstacle ni cap escletxa pot tenir una mida comparable, i per això la difracció i la interferència són totalment inobservables.
Conclusió. El caràcter ondulatori només es manifesta en partícules de massa molt petita (electrons, neutrons), per a les quals $\lambda$ és de l'ordre de les distàncies atòmiques.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 10

Explica breument tres fets experimentals de l'efecte fotoelèctric que la teoria ondulatòria clàssica de la llum no podia explicar, i com els explica la hipòtesi dels fotons d'Einstein.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 10

Resultat

La freqüència llindar, la independència de l'energia cinètica respecte de la intensitat i l'emissió instantània: s'expliquen perquè cada electró absorbeix un sol fotó d'energia

h\cdot f

Resolució

Fet 1: freqüència llindar. Per sota d'una certa freqüència no s'emeten electrons, per intensa que sigui la llum. Segons l'ona clàssica, qualsevol freqüència hauria d'acabar extraient electrons si la intensitat era prou gran. Amb fotons, cada electró absorbeix un sol fotó d'energia $h\cdot f$ , que ha de superar el treball d'extracció $W$ .
Fet 2: energia cinètica màxima. Depèn de la freqüència i no de la intensitat: $E_{c,\text{màx}} = h\cdot f - W$ Clàssicament hauria d'augmentar amb la intensitat (més energia de l'ona).
Fet 3: emissió instantània. Els electrons surten de seguida, fins i tot amb llum molt feble. L'ona clàssica necessitaria temps per acumular prou energia a l'electró; el fotó la lliura tota de cop.
Paper de la intensitat. La intensitat de la llum només determina el nombre de fotons i, per tant, el nombre d'electrons emesos (la intensitat del corrent), no la seva energia.
Conclusió. Els tres fets confirmen que la llum transporta l'energia en paquets (fotons), tal com va proposar Einstein.

T'has encallat? T'ajudem amb el dubte Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell intermedi

Exercici 11

Calcula l'energia d'un fotó de llum ultraviolada de freqüència 1· $10^{15}$ Hz. Dada: h = 6,63·10⁻³⁴ J·s.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 11

Resultat

E = 6{,}63\cdot10^{-19}\ \text{J}

(uns 4,1 eV).

Resolució

Dades. $f = 1\cdot10^{15}\ \text{Hz}$ , $h = 6{,}63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ . Es demana l'energia d'un fotó.
Equació de Planck. L'energia d'un fotó és proporcional a la seva freqüència: $E = h\cdot f$ .
Càlcul. $E = 6{,}63\cdot10^{-34}\cdot 1\cdot10^{15} = 6{,}63\cdot10^{-19}\ \text{J}$
Conclusió. En electronvolts són $6{,}63\cdot10^{-19}/1{,}6\cdot10^{-19} \approx 4{,}1\ \text{eV}$ . És més energètic que un fotó de llum visible (1,8–3,1 eV), com toca a l'ultraviolat.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 12

En el model de Bohr, els nivells d'energia de l'àtom d'hidrogen valen $E_{n}$ = - $\tfrac{13{,}6}{n^{2}}$ eV (amb n = 1, 2, 3...). Un electró passa del nivell n = 2 al nivell n = 1. (a) Calcula l'energia dels dos nivells. (b) L'àtom emet o absorbeix un fotó? (c) Calcula l'energia d'aquest fotó, en eV i en J. Dada: 1 eV = 1,6·10⁻¹⁹ J.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 12

Apartat a)

Resultat

E_{1} = -13{,}6\ \text{eV}

;

E_{2} = -3{,}4\ \text{eV}

Resolució

Dades. $E_{n} = -\dfrac{13{,}6}{n^{2}}\ \text{eV}$ , amb n = 1 i n = 2.
Càlcul. $E_{1} = -\dfrac{13{,}6}{1^{2}} = -13{,}6\ \text{eV};\qquad E_{2} = -\dfrac{13{,}6}{2^{2}} = -\dfrac{13{,}6}{4} = -3{,}4\ \text{eV}$
Interpretació. Compte: els nivells són negatius (l'electró està lligat a l'àtom); com més amunt (més n), menys negatiu.

Apartat b)

Resultat

L'àtom emet un fotó.

Resolució

Plantejament. L'electró baixa del nivell n = 2 al nivell n = 1, que té menys energia.
Conservació de l'energia. L'energia que perd l'electró se l'emporta un fotó: l'àtom emet radiació.

Apartat c)

Resultat

E_{\text{fotó}} = 10{,}2\ \text{eV} = 1{,}63\cdot10^{-18}\ \text{J}

Resolució

Plantejament. L'energia del fotó és la diferència entre els dos nivells, no un dels nivells.
Càlcul. $E_{\text{fotó}} = E_{2} - E_{1} = -3{,}4 - (-13{,}6) = 10{,}2\ \text{eV}$ Surt positiva, com ha de ser l'energia d'un fotó.
En joules. $E_{\text{fotó}} = 10{,}2\cdot 1{,}6\cdot10^{-19} = 1{,}63\cdot10^{-18}\ \text{J}$
Conclusió. Parany: qui posa directament $E = -3{,}4\ \text{eV}$ (un nivell) s'equivoca; el fotó s'endú la diferència d'energia entre els dos esglaons.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 13

El nucli d'heli-4 està format per 2 protons i 2 neutrons, però la seva massa (4,0015 u) és menor que la suma de les dels seus components. Calcula (a) el defecte de massa Δm, (b) l'energia d'enllaç del nucli i (c) l'energia d'enllaç per nucleó. Dades: massa del protó = 1,0073 u; massa del neutró = 1,0087 u; 1 u = 1,66·10⁻²⁷ kg; c = 3· $10^{8}$ m·s⁻¹.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 13

Apartat a)

Resultat

\Delta m = 0{,}0305\ \text{u} = 5{,}06\cdot10^{-29}\ \text{kg}

Resolució

Dades. Nucli d'heli-4: 2 protons (1,0073 u) i 2 neutrons (1,0087 u); massa del nucli 4,0015 u; $1\ \text{u} = 1{,}66\cdot10^{-27}\ \text{kg}$ .
Massa dels components. $2\cdot1{,}0073 + 2\cdot1{,}0087 = 2{,}0146 + 2{,}0174 = 4{,}0320\ \text{u}$
Defecte de massa. És la massa que «falta» respecte als components lliures: $\Delta m = 4{,}0320 - 4{,}0015 = 0{,}0305\ \text{u}$
En kg. $\Delta m = 0{,}0305\cdot1{,}66\cdot10^{-27} = 5{,}06\cdot10^{-29}\ \text{kg}$ És positiu (components menys nucli), perquè el nucli lligat «pesa» menys que les seves peces soltes.

Apartat b)

Resultat

E_{e} = 4{,}56\cdot10^{-12}\ \text{J}

(uns 28,5 MeV).

Resolució

Equivalència massa-energia. La massa que falta s'ha convertit en l'energia que manté unit el nucli (energia d'enllaç): $E = \Delta m\cdot c^{2}$ .
Càlcul. $E = 5{,}06\cdot10^{-29}\cdot(3\cdot10^{8})^{2} = 5{,}06\cdot10^{-29}\cdot9\cdot10^{16} = 4{,}56\cdot10^{-12}\ \text{J}$
Conclusió. Parany: cal convertir les u a kg abans de multiplicar per $c^{2}$ , i no oblidar elevar c al quadrat ( $9\cdot10^{16}$ , no $3\cdot10^{8}$ ).

Apartat c)

Resultat

E_{e}/A = 1{,}14\cdot10^{-12}\ \text{J}

per nucleó (uns 7,1 MeV).

Resolució

Plantejament. Dividim l'energia d'enllaç entre els 4 nucleons (2 protons + 2 neutrons).
Càlcul. $\dfrac{E_{e}}{A} = \dfrac{4{,}56\cdot10^{-12}}{4} = 1{,}14\cdot10^{-12}\ \text{J/nucleó}$
Conclusió. En unitats nuclears són uns 7,1 MeV per nucleó: l'heli-4 és un nucli molt estable.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 14

El sodi-24 (²⁴₁₁Na) és un isòtop amb excés de neutrons que es desintegra per emissió beta menys. En aquest procés, un neutró del nucli es transforma en un protó i s'emet un electró i un antineutrí. (a) Escriu i balanceja l'equació nuclear de la desintegració. (b) Identifica el nucli fill (element i nombre atòmic Z). (c) De quin tipus de desintegració es tracta?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 14

Apartat a)

Resultat

\mathrm{^{24}_{11}Na} \rightarrow \mathrm{^{24}_{12}Mg} + \mathrm{^{\ 0}_{-1}e} + \bar{\nu}_{e}

Resolució

Plantejament. En la desintegració beta menys un neutró del nucli es transforma en un protó: el nombre màssic A es manté (24) i el nombre atòmic Z augmenta en 1 (d'11 a 12).
Equació. $\mathrm{^{24}_{11}Na} \rightarrow \mathrm{^{24}_{12}Mg} + \mathrm{^{\ 0}_{-1}e} + \bar{\nu}_{e}$ L'antineutrí no té càrrega ni massa apreciable.
Comprovació de conservació. A: 24 = 24 + 0 + 0; Z: 11 = 12 + (−1) + 0 (l'electró compta com a Z = −1).

Apartat b)

Resultat

El nucli fill és el magnesi-24,

\mathrm{^{24}_{12}Mg}

(Z = 12).

Resolució

Nombre atòmic. Z passa d'11 a 12.
Identificació. L'element amb Z = 12 és el magnesi; com que A = 24, és el magnesi-24.

Apartat c)

Resultat

És una desintegració beta menys (β⁻).

Resolució

Característiques. S'emet un electró (i un antineutrí), Z puja 1 i A es manté.
Conclusió. Parany: en la beta menys Z augmenta (no disminueix), perquè apareix un protó nou; l'electró emès s'escriu $\mathrm{^{\ 0}_{-1}e}$ i és el seu −1 el que fa quadrar les càrregues.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 15

Un metall té un treball d'extracció de 2,0 eV i s'il·lumina amb llum de 400 nm. Calcula: a) l'energia dels fotons incidents en eV; b) l'energia cinètica màxima dels electrons emesos i la seva velocitat; c) el potencial de frenada. Dades: h = 6,63· $10^{-34}$ J·s; c = 3· $10^{8}$ m/s; e = 1,6· $10^{-19}$ C; $m_{e}$ = 9,11· $10^{-31}$ kg.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 15

Apartat a)

Resultat

E = 4{,}97\cdot10^{-19}\ \text{J} = 3{,}11\ \text{eV}

Resolució

Dades. $\lambda = 400\ \text{nm}$ , $W = 2{,}0\ \text{eV}$ .
Energia del fotó. $E = \dfrac{h\cdot c}{\lambda} = \dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot3\cdot10^{8}}{400\cdot10^{-9}} = 4{,}97\cdot10^{-19}\ \text{J}$
En eV. $E = \dfrac{4{,}97\cdot10^{-19}}{1{,}6\cdot10^{-19}} = 3{,}11\ \text{eV}$ Com que 3,11 eV > 2,0 eV, aquesta llum sí que extreu electrons.

Apartat b)

Resultat

E_{c,\text{màx}} = 1{,}11\ \text{eV} = 1{,}77\cdot10^{-19}\ \text{J}

;

v = 6{,}2\cdot10^{5}\ \text{m/s}

Resolució

Equació d'Einstein de l'efecte fotoelèctric. $E_{c,\text{màx}} = h\cdot f - W = 3{,}11 - 2{,}0 = 1{,}11\ \text{eV} = 1{,}77\cdot10^{-19}\ \text{J}$
Velocitat. De $E_{c} = \tfrac{1}{2}\cdot m\cdot v^{2}$ : $v = \sqrt{\dfrac{2\cdot1{,}77\cdot10^{-19}}{9{,}11\cdot10^{-31}}} = 6{,}2\cdot10^{5}\ \text{m/s}$
Comprovació. És molt menor que c: no cal fer servir la relativitat.

Apartat c)

Resultat

V_{0} = 1{,}11\ \text{V}

Resolució

Potencial de frenada. És el que anul·la el corrent: $e\cdot V_{0} = E_{c,\text{màx}}$ .
Càlcul. $V_{0} = \dfrac{1{,}77\cdot10^{-19}}{1{,}6\cdot10^{-19}} = 1{,}11\ \text{V}$ En volts coincideix numèricament amb l'energia cinètica en eV.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 16

Els nivells d'energia de l'àtom d'hidrogen són $E_{n}$ = − $\tfrac{13{,}6}{n^{2}}$ eV. Un àtom té l'electró al nivell n = 2. a) Quina energia mínima cal per ionitzar-lo? b) Quina és la longitud d'ona màxima d'un fotó capaç de fer-ho? A quina zona de l'espectre pertany? Dades: h = 6,63· $10^{-34}$ J·s; c = 3· $10^{8}$ m/s; 1 eV = 1,6· $10^{-19}$ J.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 16

Apartat a)

Resultat

E_{\text{ionització}} = 3{,}4\ \text{eV}

Resolució

Plantejament. Ionitzar vol dir portar l'electró fins a $E = 0$ ( $n \to \infty$ ).
Energia del nivell 2. $E_{2} = -\dfrac{13{,}6}{4} = -3{,}4\ \text{eV}$
Conclusió. L'energia mínima necessària és 0 − (−3,4) = 3,4 eV, molt menys que els 13,6 eV que caldrien des de l'estat fonamental.

Apartat b)

Resultat

\lambda_{\text{màx}} = 3{,}66\cdot10^{-7}\ \text{m} = 366\ \text{nm}

: ultraviolat.

Resolució

Energia mínima del fotó. $E = 3{,}4\ \text{eV} = 3{,}4\cdot1{,}6\cdot10^{-19} = 5{,}44\cdot10^{-19}\ \text{J}$ .
Longitud d'ona màxima. Com que $E = h\cdot c/\lambda$ , a energia mínima li correspon la longitud d'ona màxima: $\lambda_{\text{màx}} = \dfrac{h\cdot c}{E} = \dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot3\cdot10^{8}}{5{,}44\cdot10^{-19}} = 3{,}66\cdot10^{-7}\ \text{m} = 366\ \text{nm}$
Zona de l'espectre. És radiació ultraviolada (just per sota dels 400 nm del visible).
Conclusió. Fotons de longitud d'ona més gran (menys energètics) no poden ionitzar l'àtom des de n = 2; els de longitud d'ona més petita sí, i l'energia sobrant se l'emporta l'electró com a energia cinètica.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 17

Els muons són partícules que es creen a uns 10 km d'altura per l'acció dels raigs còsmics i tenen una vida mitjana pròpia de 2,2 µs. Un muó baixa cap a terra a 0,995c. a) Quina distància recorreria, segons la física clàssica, abans de desintegrar-se? b) Calcula la seva vida mitjana mesurada des de terra i la distància que recorre realment, i explica per què detectem muons a nivell del mar. Dada: c = 3· $10^{8}$ m/s.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 17

Apartat a)

Resultat

d = 657\ \text{m}

(clàssicament no arribarien a terra).

Resolució

Dades. $\tau_{0} = 2{,}2\ \mu\text{s}$ , $v = 0{,}995c$ , altura de creació ≈ 10 km.
Càlcul clàssic. $d = v\cdot t = 0{,}995\cdot3\cdot10^{8}\cdot2{,}2\cdot10^{-6} = 657\ \text{m}$
Conclusió. Segons la física clàssica, els muons no arribarien ni de bon tros a terra.

Apartat b)

Resultat

\tau = 22\ \mu\text{s}

;

d = 6{,}6\ \text{km}

: per la dilatació del temps, una fracció important dels muons arriba a terra.

Resolució

Factor de Lorentz. $\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - 0{,}995^{2}}} = \dfrac{1}{\sqrt{0{,}009975}} = 10{,}0$
Dilatació del temps. Vida mitjana mesurada des de terra: $\Delta t = \gamma\cdot\Delta t_{0} = 10{,}0\cdot2{,}2 = 22\ \mu\text{s}$
Distància recorreguda. $d = 0{,}995\cdot3\cdot10^{8}\cdot22\cdot10^{-6} = 6{,}6\cdot10^{3}\ \text{m} = 6{,}6\ \text{km}$ És comparable als 10 km de l'atmosfera: una fracció important dels muons arriba a terra, tal com s'observa.
Des del punt de vista del muó. El seu rellotge marca 2,2 µs, però l'atmosfera està contreta: $10\ \text{km}/10 = 1\ \text{km}$ . Les dues descripcions són coherents.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 18

Un electró es mou a 0,9c. Calcula la seva energia cinètica relativista i compara-la amb el valor que dona la fórmula clàssica ½·m· $v^{2}$ . Dades: $m_{e}$ = 9,11· $10^{-31}$ kg; c = 3· $10^{8}$ m/s; 1 eV = 1,6· $10^{-19}$ J.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 18

Resultat

E_{c} = 1{,}06\cdot10^{-13}\ \text{J} = 0{,}66\ \text{MeV}

; la fórmula clàssica dona

3{,}3\cdot10^{-14}\ \text{J} = 0{,}21\ \text{MeV}

, unes 3,2 vegades menys.

Resolució

Factor de Lorentz. $\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - 0{,}9^{2}}} = \dfrac{1}{\sqrt{0{,}19}} = 2{,}29$
Energia en repòs. $E_{0} = m\cdot c^{2} = 9{,}11\cdot10^{-31}\cdot9\cdot10^{16} = 8{,}2\cdot10^{-14}\ \text{J}$
Energia cinètica relativista. $E_{c} = (\gamma - 1)\cdot m\cdot c^{2} = 1{,}29\cdot8{,}2\cdot10^{-14} = 1{,}06\cdot10^{-13}\ \text{J} = 0{,}66\ \text{MeV}$
Valor clàssic. Amb $v = 0{,}9c = 2{,}7\cdot10^{8}\ \text{m/s}$ : $\tfrac{1}{2}\cdot m\cdot v^{2} = 0{,}5\cdot9{,}11\cdot10^{-31}\cdot(2{,}7\cdot10^{8})^{2} = 3{,}3\cdot10^{-14}\ \text{J} = 0{,}21\ \text{MeV}$
Conclusió. La fórmula clàssica dona un valor unes 3,2 vegades més petit: a velocitats properes a c cal l'expressió relativista. Fixa't que l'energia cinètica (0,66 MeV) ja supera l'energia en repòs de l'electró (0,51 MeV).

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 19

Un electró i un protó tenen la mateixa energia cinètica, 100 eV. Calcula la longitud d'ona de De Broglie de cadascun i raona quin dels dos presentaria efectes de difracció més visibles en travessar un cristall. Dades: h = 6,63· $10^{-34}$ J·s; $m_{e}$ = 9,11· $10^{-31}$ kg; $m_{p}$ = 1,67· $10^{-27}$ kg; 1 eV = 1,6· $10^{-19}$ J.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 19

Resultat

\lambda_{e} = 1{,}23\cdot10^{-10}\ \text{m}

;

\lambda_{p} = 2{,}87\cdot10^{-12}\ \text{m}

; l'electró es difracta molt més.

Resolució

Dades. $E_{c} = 100\cdot1{,}6\cdot10^{-19} = 1{,}6\cdot10^{-17}\ \text{J}$ , molt menor que les energies en repòs: tractament no relativista.
Hipòtesi de De Broglie. Amb $p = \sqrt{2\cdot m\cdot E_{c}}$ : $\lambda = \dfrac{h}{p} = \dfrac{h}{\sqrt{2\cdot m\cdot E_{c}}}$
Electró. $\lambda_{e} = \dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}}{\sqrt{2\cdot9{,}11\cdot10^{-31}\cdot1{,}6\cdot10^{-17}}} = \dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}}{5{,}4\cdot10^{-24}} = 1{,}23\cdot10^{-10}\ \text{m}$
Protó. $\lambda_{p} = \dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}}{\sqrt{2\cdot1{,}67\cdot10^{-27}\cdot1{,}6\cdot10^{-17}}} = 2{,}87\cdot10^{-12}\ \text{m}$
Comparació. A igual energia, $\lambda_{e}/\lambda_{p} = \sqrt{m_{p}/m_{e}} = 42{,}8$ : la partícula més lleugera té la longitud d'ona més gran.
Conclusió. La de l'electró (0,123 nm) és de l'ordre de la distància entre àtoms d'un cristall, i per això es difracta clarament; la del protó és 43 vegades més petita i els efectes serien molt menys apreciables.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 20

Un electró està confinat en una regió de la mida d'un àtom, de manera que la indeterminació de la seva posició és Δx = 1· $10^{-10}$ m. a) Calcula la indeterminació mínima de la seva quantitat de moviment i de la seva velocitat. b) Raona si té sentit parlar de la trajectòria de l'electró dins de l'àtom. Dades: h = 6,63· $10^{-34}$ J·s; $m_{e}$ = 9,11· $10^{-31}$ kg.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 20

Apartat a)

Resultat

\Delta p \geq 5{,}3\cdot10^{-25}\ \text{kg}\cdot\text{m/s}

;

\Delta v \geq 5{,}8\cdot10^{5}\ \text{m/s}

Resolució

Principi d'indeterminació de Heisenberg. $\Delta x\cdot\Delta p \geq \dfrac{h}{4\pi}$
Quantitat de moviment. $\Delta p \geq \dfrac{h}{4\pi\cdot\Delta x} = \dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}}{4\pi\cdot10^{-10}} = 5{,}3\cdot10^{-25}\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$
Velocitat. $\Delta v = \dfrac{\Delta p}{m} = \dfrac{5{,}3\cdot10^{-25}}{9{,}11\cdot10^{-31}} = 5{,}8\cdot10^{5}\ \text{m/s}$

Apartat b)

Resultat

No té sentit parlar d'una trajectòria definida: només de la probabilitat de trobar l'electró en cada regió (orbitals).

Resolució

Comparació. La indeterminació de la velocitat (uns 600 km/s) és de l'ordre de la mateixa velocitat de l'electró a l'àtom (uns $2\cdot10^{6}\ \text{m/s}$ ).
Conseqüència. No és possible conèixer alhora on és i com es mou amb precisió i, per tant, no té sentit parlar d'una òrbita o trajectòria definida: només podem parlar de la probabilitat de trobar l'electró en cada regió (orbitals).
Conclusió. No és una limitació dels aparells, sinó una propietat fonamental de la natura.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 21

El Sol radia energia amb una potència de 3,8· $10^{26}$ W. a) Quina massa perd cada segon? b) Si la massa del Sol és 2· $10^{30}$ kg, quants anys trigaria a perdre l'1 % de la seva massa a aquest ritme? Dades: c = 3· $10^{8}$ m/s; 1 any = 3,16· $10^{7}$ s.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 21

Apartat a)

Resultat

\Delta m = 4{,}2\cdot10^{9}\ \text{kg}

cada segon (uns 4 milions de tones).

Resolució

Dades. $P = 3{,}8\cdot10^{26}\ \text{W}$ : cada segon el Sol radia $E = 3{,}8\cdot10^{26}\ \text{J}$ .
Equivalència massa-energia. L'energia radiada surt de la massa: $E = \Delta m\cdot c^{2}$ .
Càlcul. $\Delta m = \dfrac{E}{c^{2}} = \dfrac{3{,}8\cdot10^{26}}{9\cdot10^{16}} = 4{,}2\cdot10^{9}\ \text{kg}$

Apartat b)

Resultat

t = 4{,}7\cdot10^{18}\ \text{s} = 1{,}5\cdot10^{11}

anys.

Resolució

Massa a perdre. L'1 % de la massa: $0{,}01\cdot2\cdot10^{30} = 2\cdot10^{28}\ \text{kg}$ .
Temps. $t = \dfrac{2\cdot10^{28}}{4{,}2\cdot10^{9}} = 4{,}7\cdot10^{18}\ \text{s} = \dfrac{4{,}7\cdot10^{18}}{3{,}16\cdot10^{7}} = 1{,}5\cdot10^{11}\ \text{anys}$
Conclusió. Són 150 000 milions d'anys, molt més que l'edat de l'Univers ( $1{,}4\cdot10^{10}$ anys): la pèrdua de massa per radiació és insignificant a escala de la vida del Sol.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Nivell avançat

Exercici 22

Un metall té una freqüència llindar $f_{0}$ = 6· $10^{14}$ Hz (la mínima que arrenca electrons). (a) Determina el treball d'extracció W del metall. (b) L'il·luminem amb llum de freqüència f = 1· $10^{15}$ Hz: calcula l'energia cinètica màxima dels electrons. (c) Calcula el potencial de frenada $V_{0}$ que els atura (e· $V_{0}$ = E_c,max). (d) Sortirien electrons amb llum de f = 4· $10^{14}$ Hz? Dades: h = 6,63·10⁻³⁴ J·s; e = 1,6·10⁻¹⁹ C.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 22

Apartat a)

Resultat

W = 3{,}98\cdot10^{-19}\ \text{J}

(uns 2,5 eV).

Resolució

Dades. $f_{0} = 6\cdot10^{14}\ \text{Hz}$ , $h = 6{,}63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ .
Condició llindar. A la freqüència llindar, el fotó té just l'energia per arrencar l'electró sense energia cinètica sobrant: $W = h\cdot f_{0}$ .
Càlcul. $W = 6{,}63\cdot10^{-34}\cdot6\cdot10^{14} = 3{,}98\cdot10^{-19}\ \text{J}$

Apartat b)

Resultat

E_{c,\text{màx}} = 2{,}65\cdot10^{-19}\ \text{J}

Resolució

Equació d'Einstein. Amb $f = 1\cdot10^{15}\ \text{Hz}$ (per sobre de la llindar), l'energia sobrant queda com a cinètica: $E_{c,\text{màx}} = h\cdot f - W$ .
Càlcul. $E_{c,\text{màx}} = 6{,}63\cdot10^{-34}\cdot1\cdot10^{15} - 3{,}98\cdot10^{-19} = 6{,}63\cdot10^{-19} - 3{,}98\cdot10^{-19} = 2{,}65\cdot10^{-19}\ \text{J}$

Apartat c)

Resultat

V_{0} = 1{,}66\ \text{V}

Resolució

Potencial de frenada. $e\cdot V_{0} = E_{c,\text{màx}}$ .
Càlcul. $V_{0} = \dfrac{E_{c,\text{màx}}}{e} = \dfrac{2{,}65\cdot10^{-19}}{1{,}6\cdot10^{-19}} = 1{,}66\ \text{V}$

Apartat d)

Resultat

No surt cap electró: 4·10¹⁴ Hz és menor que la freqüència llindar.

Resolució

Comparació. $f = 4\cdot10^{14}\ \text{Hz} \lt f_{0} = 6\cdot10^{14}\ \text{Hz}$ : cada fotó té $h\cdot f = 2{,}65\cdot10^{-19}\ \text{J} \lt W$ .
Conclusió. El fotó no té prou energia per arrencar cap electró, per molta intensitat que hi posem. Parany: per sota de f₀ no hi ha emissió; i el treball d'extracció es calcula amb la freqüència llindar f₀, no amb la freqüència de la llum que arriba.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 23

En l'àtom d'hidrogen (nivells de Bohr $E_{n}$ = − $\tfrac{13{,}6}{n^{2}}$ eV), un electró salta del nivell n = 3 al n = 2 i emet un fotó. Calcula la longitud d'ona λ d'aquest fotó i digues a quina zona de l'espectre pertany. Dades: 1 eV = 1,6·10⁻¹⁹ J; h = 6,63·10⁻³⁴ J·s; c = 3· $10^{8}$ m·s⁻¹.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 23

Resultat

\lambda = 6{,}6\cdot10^{-7}\ \text{m}

(uns 660 nm): llum visible vermella.

Resolució

Nivells d'energia (model de Bohr). $E_{3} = -\dfrac{13{,}6}{3^{2}} = -1{,}51\ \text{eV};\qquad E_{2} = -\dfrac{13{,}6}{2^{2}} = -3{,}4\ \text{eV}$
Energia del fotó. L'electró baixa, així que emet un fotó d'energia igual a la diferència: $\Delta E = E_{3} - E_{2} = -1{,}51 - (-3{,}4) = 1{,}89\ \text{eV}$
En joules. Passem a unitats SI abans de calcular λ: $\Delta E = 1{,}89\cdot1{,}6\cdot10^{-19} = 3{,}02\cdot10^{-19}\ \text{J}$ .
Longitud d'ona. De $\Delta E = h\cdot f = h\cdot c/\lambda$ : $\lambda = \dfrac{h\cdot c}{\Delta E} = \dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot3\cdot10^{8}}{3{,}02\cdot10^{-19}} = \dfrac{1{,}99\cdot10^{-25}}{3{,}02\cdot10^{-19}} = 6{,}6\cdot10^{-7}\ \text{m}$
Conclusió. Són uns 660 nm: cau a la zona visible (llum vermella; és la línia $\mathrm{H_{\alpha}}$ de Balmer). Parany: cal usar la diferència de nivells (no un nivell sol) i passar-la a joules abans de dividir; si es deixa en eV, λ surt equivocada per un factor $1{,}6\cdot10^{-19}$ .

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 24

Un electró s'accelera des del repòs amb una diferència de potencial de 150 V. (a) Calcula'n la velocitat final. (b) Calcula'n la longitud d'ona de De Broglie. (c) Compara-la amb la distància entre els àtoms d'un cristall, d'uns 10⁻¹⁰ m: què s'hi observarà? Dades: e = 1,6·10⁻¹⁹ C, $m_{e}$ = 9,1·10⁻³¹ kg, h = 6,63·10⁻³⁴ J·s.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 24

Apartat a)

Resultat

v = 7{,}3\cdot10^{6}\ \text{m/s}

Resolució

Dades. $V = 150\ \text{V}$ , $m_{e} = 9{,}1\cdot10^{-31}\ \text{kg}$ , $e = 1{,}6\cdot10^{-19}\ \text{C}$ ; l'electró parteix del repòs.
Conservació de l'energia. L'energia elèctrica es converteix en cinètica: $e\cdot V = \tfrac{1}{2}\cdot m\cdot v^{2}$ .
Càlcul. $v = \sqrt{\dfrac{2\cdot e\cdot V}{m}} = \sqrt{\dfrac{2\cdot1{,}6\cdot10^{-19}\cdot150}{9{,}1\cdot10^{-31}}} = 7{,}3\cdot10^{6}\ \text{m/s}$ És un 2 % de c: el tractament clàssic és vàlid.

Apartat b)

Resultat

\lambda = 1{,}0\cdot10^{-10}\ \text{m}

Resolució

Hipòtesi de De Broglie. $\lambda = \dfrac{h}{m\cdot v}$ .
Càlcul. $\lambda = \dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}}{9{,}1\cdot10^{-31}\cdot7{,}26\cdot10^{6}} = 1{,}0\cdot10^{-10}\ \text{m}$

Apartat c)

Resultat

És del mateix ordre que la distància entre àtoms: el cristall fa de xarxa de difracció i s'observen figures de difracció d'electrons.

Resolució

Comparació. $\lambda \approx 1\cdot10^{-10}\ \text{m}$ , igual que la separació entre àtoms del cristall.
Conclusió. El cristall fa de xarxa de difracció i els electrons hi donen figures de difracció, com una ona. Ho van observar Davisson i Germer el 1927.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 25

En un experiment d'efecte fotoelèctric s'il·lumina un metall amb llum de freqüència 1,0· $10^{15}$ Hz i es mesura un potencial de frenada de 2,14 V; amb llum de 7,5· $10^{14}$ Hz, el potencial de frenada és d'1,11 V.
a) A partir d'aquestes dades, determina el valor de la constant de Planck.
b) Calcula el treball d'extracció del metall en J i en eV.
c) Calcula la freqüència llindar.
d) Si es duplica la intensitat de la llum de 1,0· $10^{15}$ Hz, com canvien el potencial de frenada i el corrent de saturació? Dada: e = 1,6· $10^{-19}$ C.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 25

Apartat a)

Resultat

h = 6{,}6\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}

Resolució

Equació d'Einstein. $e\cdot V_{0} = h\cdot f - W$ , una per a cada freqüència.
Eliminem W. Restant les dues equacions: $e\cdot(V_{1} - V_{2}) = h\cdot(f_{1} - f_{2})$ .
Càlcul. $h = \dfrac{e\cdot(V_{1} - V_{2})}{f_{1} - f_{2}} = \dfrac{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot(2{,}14 - 1{,}11)}{1{,}0\cdot10^{15} - 7{,}5\cdot10^{14}} = \dfrac{1{,}6\cdot10^{-19}\cdot1{,}03}{2{,}5\cdot10^{14}} = 6{,}6\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$
Conclusió. Coincideix amb el valor acceptat ( $6{,}63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ ). És el pendent de la gràfica de $V_{0}$ en funció de f multiplicat per e.

Apartat b)

Resultat

W = 3{,}2\cdot10^{-19}\ \text{J} = 2{,}0\ \text{eV}

Resolució

Plantejament. Aïllem W d'una de les equacions: $W = h\cdot f_{1} - e\cdot V_{1}$ .
Càlcul. $W = 6{,}6\cdot10^{-34}\cdot1{,}0\cdot10^{15} - 1{,}6\cdot10^{-19}\cdot2{,}14 = 6{,}6\cdot10^{-19} - 3{,}42\cdot10^{-19} = 3{,}2\cdot10^{-19}\ \text{J}$
En eV. $W = 3{,}2\cdot10^{-19}/1{,}6\cdot10^{-19} = 2{,}0\ \text{eV}$ .

Apartat c)

Resultat

f_{0} = 4{,}8\cdot10^{14}\ \text{Hz}

Resolució

Condició llindar. $h\cdot f_{0} = W$ .
Càlcul. $f_{0} = \dfrac{W}{h} = \dfrac{3{,}2\cdot10^{-19}}{6{,}6\cdot10^{-34}} = 4{,}8\cdot10^{14}\ \text{Hz}$

Apartat d)

Resultat

El potencial de frenada no canvia; el corrent de saturació es duplica.

Resolució

Potencial de frenada. Depèn només de la freqüència i del metall (de l'energia de cada fotó), no de la intensitat: es manté en 2,14 V.
Corrent de saturació. En duplicar la intensitat arriben el doble de fotons per segon i s'emeten el doble d'electrons per segon: el corrent de saturació es duplica.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 26

En un tub de descàrrega, els àtoms d'hidrogen s'exciten fins al nivell n = 4. Els nivells d'energia són $E_{n}$ = − $\tfrac{13{,}6}{n^{2}}$ eV.
a) Quantes línies espectrals diferents poden emetre aquests àtoms en tornar a l'estat fonamental? Enumera les transicions.
b) Calcula la longitud d'ona més gran i la més petita que s'emeten i indica a quina zona de l'espectre pertanyen.
c) Quines d'aquestes línies són visibles (entre 400 nm i 700 nm)? Dades: h = 6,63· $10^{-34}$ J·s; c = 3· $10^{8}$ m/s; 1 eV = 1,6· $10^{-19}$ J.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 26

Apartat a)

Resultat

6 línies: 4→3, 4→2, 4→1, 3→2, 3→1 i 2→1.

Resolució

Plantejament. Des de n = 4 l'electró pot baixar a qualsevol nivell inferior, directament o en diversos salts.
Transicions possibles. 4→3, 4→2, 4→1, 3→2, 3→1 i 2→1: en total, 6 línies (en general, n(n − 1)/2 = 4·3/2 = 6).
Energies dels nivells. $E_{1} = -13{,}6\ \text{eV}$ ; $E_{2} = -3{,}4\ \text{eV}$ ; $E_{3} = -1{,}51\ \text{eV}$ ; $E_{4} = -0{,}85\ \text{eV}$ .

Apartat b)

Resultat

\lambda_{\text{màx}} = 1{,}88\cdot10^{-6}\ \text{m}

(4→3, infraroig);

\lambda_{\text{mín}} = 9{,}75\cdot10^{-8}\ \text{m}

(4→1, ultraviolat).

Resolució

Relació energia–longitud d'ona. $\lambda = h\cdot c/\Delta E$ : la longitud d'ona més gran correspon al salt de menys energia i la més petita, al de més energia.
Salt 4→3 (mínima energia). $\Delta E = -0{,}85 - (-1{,}51) = 0{,}66\ \text{eV} = 1{,}06\cdot10^{-19}\ \text{J}$ $\lambda = \dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot3\cdot10^{8}}{1{,}06\cdot10^{-19}} = 1{,}88\cdot10^{-6}\ \text{m} = 1880\ \text{nm}$ (infraroig).
Salt 4→1 (màxima energia). $\Delta E = -0{,}85 - (-13{,}6) = 12{,}75\ \text{eV} = 2{,}04\cdot10^{-18}\ \text{J}$ $\lambda = \dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot3\cdot10^{8}}{2{,}04\cdot10^{-18}} = 9{,}75\cdot10^{-8}\ \text{m} = 97{,}5\ \text{nm}$ (ultraviolat).

Apartat c)

Resultat

Són visibles la 4→2 (488 nm, blau) i la 3→2 (658 nm, vermell).

Resolució

Salt 4→2. $\Delta E = 2{,}55\ \text{eV} \Rightarrow \lambda = 488\ \text{nm}$ (blau).
Salt 3→2. $\Delta E = 1{,}89\ \text{eV} \Rightarrow \lambda = 658\ \text{nm}$ (vermell).
Conclusió. Són les dues línies visibles (sèrie de Balmer). Les que acaben a n = 1 són ultraviolades (sèrie de Lyman: 97,5 nm, 103 nm i 122 nm) i la 4→3 és infraroja (sèrie de Paschen).

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 27

Una nau viatja a 0,6c des de la Terra fins a una estrella situada a 12 anys llum (distància mesurada des de la Terra).
a) Quant dura el viatge segons els observadors de la Terra?
b) Quant dura segons els tripulants de la nau?
c) Quina distància Terra-estrella mesuren els tripulants?
d) Comprova que, per als tripulants, distància i temps són coherents amb la velocitat de 0,6c.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 27

Apartat a)

Resultat

t = 20

anys.

Resolució

Dades. Distància Terra–estrella (longitud pròpia, mesurada des de la Terra): 12 anys llum; v = 0,6c.
Càlcul. $t = \dfrac{d}{v} = \dfrac{12\ \text{anys llum}}{0{,}6c} = 20\ \text{anys}$

Apartat b)

Resultat

\Delta t_{0} = 16

anys.

Resolució

Factor de Lorentz. $\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - 0{,}6^{2}}} = \dfrac{1}{0{,}8} = 1{,}25$
Temps propi. Per als tripulants, sortida i arribada passen al mateix lloc (la nau): mesuren el temps propi. $\Delta t_{0} = \dfrac{\Delta t}{\gamma} = \dfrac{20}{1{,}25} = 16\ \text{anys}$
Conclusió. Han envellit 4 anys menys que els seus companys de la Terra.

Apartat c)

Resultat

L = 9{,}6

anys llum.

Resolució

Longitud pròpia. La distància Terra–estrella és una longitud pròpia del sistema Terra (els dos extrems hi estan en repòs).
Contracció de la longitud. Per a la nau està contreta: $L = \dfrac{L_{0}}{\gamma} = \dfrac{12}{1{,}25} = 9{,}6\ \text{anys llum}$

Apartat d)

Resultat

t = 9{,}6/0{,}6 = 16

anys, el mateix temps propi de l'apartat b): les dues descripcions són coherents.

Resolució

Càlcul. Per als tripulants, l'estrella s'acosta a 0,6c i ha de recórrer 9,6 anys llum: $t = \dfrac{9{,}6}{0{,}6} = 16\ \text{anys}$
Conclusió. És exactament el temps propi de l'apartat b). La dilatació del temps (vista des de la Terra) i la contracció de la longitud (vista des de la nau) són dues maneres coherents de descriure el mateix fet.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 28

En el model de Bohr, l'electró de l'àtom d'hidrogen en l'estat fonamental descriu una òrbita de radi 5,29· $10^{-11}$ m amb una velocitat de 2,19· $10^{6}$ m/s.
a) Calcula la longitud d'ona de De Broglie d'aquest electró.
b) Compara-la amb la longitud de l'òrbita i interpreta el resultat.
c) En el nivell n = 3 el radi és 9 vegades més gran i la velocitat, 3 vegades més petita. Quantes longituds d'ona caben a la tercera òrbita? Dades: h = 6,63· $10^{-34}$ J·s; $m_{e}$ = 9,11· $10^{-31}$ kg.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 28

Apartat a)

Resultat

\lambda = 3{,}32\cdot10^{-10}\ \text{m}

Resolució

Hipòtesi de De Broglie. $\lambda = \dfrac{h}{m\cdot v}$ .
Càlcul. $\lambda = \dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}}{9{,}11\cdot10^{-31}\cdot2{,}19\cdot10^{6}} = 3{,}32\cdot10^{-10}\ \text{m}$

Apartat b)

Resultat

2\pi r_{1} = 3{,}32\cdot10^{-10}\ \text{m} = \lambda

: a la primera òrbita hi cap exactament una longitud d'ona (ona estacionària).

Resolució

Longitud de l'òrbita. $2\pi\cdot r = 2\pi\cdot5{,}29\cdot10^{-11} = 3{,}32\cdot10^{-10}\ \text{m}$ Coincideix exactament amb λ.
Interpretació. Les òrbites permeses de Bohr són aquelles en què l'ona de l'electró és estacionària, $2\pi\cdot r = n\cdot\lambda$ ; si no fos així, l'ona s'anul·laria a si mateixa per interferència.
Conclusió. La quantització de Bohr, que era un postulat, queda justificada per la hipòtesi de De Broglie.

Apartat c)

Resultat

Hi caben exactament 3 longituds d'ona.

Resolució

Dades. A n = 3: $r_{3} = 9\cdot r_{1}$ i $v_{3} = v_{1}/3$ , de manera que $\lambda_{3} = h/(m\cdot v_{3}) = 3\cdot\lambda_{1}$ .
Càlcul. $\dfrac{2\pi\cdot r_{3}}{\lambda_{3}} = \dfrac{9\cdot(2\pi\cdot r_{1})}{3\cdot\lambda_{1}} = \dfrac{9}{3} = 3$
Conclusió. A la tercera òrbita hi caben exactament 3 longituds d'ona, com correspon a n = 3.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 29

Un làser de 500 nm i 2,0 W de potència incideix perpendicularment sobre una superfície negra que absorbeix tota la llum.
a) Calcula l'energia i la quantitat de moviment d'un fotó.
b) Quants fotons arriben a la superfície cada segon?
c) Calcula la força que la llum exerceix sobre la superfície i comprova que coincideix amb P/c. Dades: h = 6,63· $10^{-34}$ J·s; c = 3· $10^{8}$ m/s.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 29

Apartat a)

Resultat

E = 3{,}98\cdot10^{-19}\ \text{J}

;

p = 1{,}33\cdot10^{-27}\ \text{kg}\cdot\text{m/s}

Resolució

Energia del fotó. $E = \dfrac{h\cdot c}{\lambda} = \dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot3\cdot10^{8}}{500\cdot10^{-9}} = 3{,}98\cdot10^{-19}\ \text{J}$
Quantitat de moviment. $p = \dfrac{h}{\lambda} = \dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}}{500\cdot10^{-9}} = 1{,}33\cdot10^{-27}\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$ (també $p = E/c$ ).

Apartat b)

Resultat

N = 5{,}0\cdot10^{18}

fotons cada segon.

Resolució

Potència i fotons. La potència és l'energia que arriba per segon: $P = N\cdot E$ .
Càlcul. $N = \dfrac{P}{E} = \dfrac{2{,}0}{3{,}98\cdot10^{-19}} = 5{,}0\cdot10^{18}\ \text{fotons/s}$

Apartat c)

Resultat

F = 6{,}7\cdot10^{-9}\ \text{N} = P/c

Resolució

Segona llei de Newton. Cada fotó absorbit cedeix tota la seva quantitat de moviment a la superfície; la força és la quantitat de moviment transferida per unitat de temps.
Càlcul. $F = N\cdot p = 5{,}0\cdot10^{18}\cdot1{,}33\cdot10^{-27} = 6{,}7\cdot10^{-9}\ \text{N}$
Comprovació. $\dfrac{P}{c} = \dfrac{2{,}0}{3\cdot10^{8}} = 6{,}7\cdot10^{-9}\ \text{N}$ Coincideix, perquè $F = N\cdot(E/c) = P/c$ .
Conclusió. És una força minúscula, però és la base de les veles solars: amb superfícies enormes i sense fregament, la pressió de la llum pot propulsar una sonda. Si la superfície fos un mirall, la força seria el doble.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 30

a) A quina velocitat l'energia cinètica d'una partícula iguala la seva energia en repòs?
b) A quina velocitat la seva energia total és 10 vegades l'energia en repòs?
c) Raona, a partir de l'expressió de l'energia relativista, per què cap partícula amb massa pot arribar a la velocitat de la llum. Dada: c = 3· $10^{8}$ m/s.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 30

Apartat a)

Resultat

v = 0{,}866c = 2{,}6\cdot10^{8}\ \text{m/s}

Resolució

Energia relativista. Energia total $E = \gamma\cdot m\cdot c^{2}$ , amb $\gamma = 1/\sqrt{1 - v^{2}/c^{2}}$ ; energia cinètica $E_{c} = (\gamma - 1)\cdot m\cdot c^{2}$ .
Condició. $E_{c} = m\cdot c^{2} \Rightarrow \gamma - 1 = 1 \Rightarrow \gamma = 2$ .
Càlcul. $1 - \dfrac{v^{2}}{c^{2}} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow v = c\cdot\sqrt{\tfrac{3}{4}} = 0{,}866c = 2{,}6\cdot10^{8}\ \text{m/s}$

Apartat b)

Resultat

v = 0{,}995c

Resolució

Condició. $E = 10\cdot m\cdot c^{2} \Rightarrow \gamma = 10$ .
Càlcul. $1 - \dfrac{v^{2}}{c^{2}} = \dfrac{1}{100} \Rightarrow v = c\cdot\sqrt{0{,}99} = 0{,}995c$

Apartat c)

Resultat

Quan

v \to c

\gamma \to \infty

: caldria una energia infinita per arribar a c.

Resolució

Límit. Quan $v \to c$ , el denominador $\sqrt{1 - v^{2}/c^{2}} \to 0$ i $\gamma \to \infty$ : l'energia (i la quantitat de moviment) de la partícula tendiria a infinit.
Conseqüència. Caldria subministrar-li una energia infinita, cosa impossible.
Comprovació amb a) i b). Multiplicar per 5 l'energia total (de 2mc² a 10mc²) només fa passar la velocitat de 0,866c a 0,995c: a mesura que ens acostem a c, l'energia afegida gairebé no augmenta la velocitat.
Conclusió. Només les partícules sense massa, com els fotons, viatgen a c.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preparat per a la universitat

Els exercicis més exigents: nivell PAU alt i primer curs de grau. Veure totes les matèries

Exercici 31

En un experiment de recerca s'il·lumina una làmina de potassi (treball d'extracció 2,29 eV) amb llum ultraviolada de 250 nm. Els fotoelectrons que surten perpendicularment a la làmina passen per una escletxa i entren en una regió on hi ha un camp magnètic uniforme d'1,0· $10^{-4}$ T, perpendicular a la seva velocitat.
a) Calcula l'energia dels fotons, l'energia cinètica màxima dels fotoelectrons i el potencial de frenada.
b) Calcula el radi de la trajectòria circular dels electrons més ràpids dins del camp magnètic. Raona per què el camp magnètic no els canvia l'energia cinètica.
c) Es dobla la intensitat de la llum ultraviolada sense canviar-ne la longitud d'ona. Què passa amb el nombre d'electrons, amb el radi màxim de les trajectòries i amb el potencial de frenada? Justifica-ho amb el model de fotons d'Einstein.
d) Calcula la longitud d'ona màxima que pot arrencar electrons del potassi. A quina zona de l'espectre correspon?
Dades: h = 6,63· $10^{-34}$ J·s; c = 3,00· $10^{8}$ m/s; e = 1,60· $10^{-19}$ C; $m_{e}$ = 9,11· $10^{-31}$ kg.

Pista 1

Cada fotó cedeix tota la seva energia a un sol electró; una part es fa servir per arrencar-lo i la resta és energia cinètica.

Pista 2

La força magnètica fa de força centrípeta; necessites la velocitat dels electrons més ràpids, que pots obtenir de la seva energia cinètica.

Pista 3

Pensa què determina la intensitat de la llum en el model de fotons: el nombre de fotons o l'energia de cada fotó?

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 31

Apartat a)

Resultat

E = 7{,}96\cdot10^{-19}\ \text{J} = 4{,}97\ \text{eV}

;

E_{c,\text{màx}} = 2{,}68\ \text{eV} = 4{,}29\cdot10^{-19}\ \text{J}

;

V_{0} = 2{,}68\ \text{V}

Resolució

Dades. $\lambda = 250\ \text{nm}$ , $W = 2{,}29\ \text{eV}$ . Cada fotó cedeix tota la seva energia a un sol electró: una part l'arrenca i la resta és energia cinètica.
Energia del fotó. $E = \dfrac{h\cdot c}{\lambda} = \dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot3{,}00\cdot10^{8}}{250\cdot10^{-9}} = 7{,}96\cdot10^{-19}\ \text{J} = 4{,}97\ \text{eV}$
Equació d'Einstein. $E_{c,\text{màx}} = E - W = 4{,}97 - 2{,}29 = 2{,}68\ \text{eV} = 4{,}29\cdot10^{-19}\ \text{J}$
Potencial de frenada. $e\cdot V_{0} = E_{c,\text{màx}} \Rightarrow V_{0} = 2{,}68\ \text{V}$ .

Apartat b)

Resultat

r = 5{,}5\cdot10^{-2}\ \text{m} = 5{,}5\ \text{cm}

; la força magnètica és perpendicular a la velocitat i no fa treball.

Resolució

Velocitat dels electrons més ràpids. $v = \sqrt{\dfrac{2E_{c}}{m_{e}}} = \sqrt{\dfrac{2\cdot4{,}29\cdot10^{-19}}{9{,}11\cdot10^{-31}}} = 9{,}7\cdot10^{5}\ \text{m/s}$ Molt menor que c: el tractament clàssic és correcte.
Força de Lorentz com a força centrípeta. $q\cdot v\cdot B = m\cdot\dfrac{v^{2}}{r} \Rightarrow r = \dfrac{m_{e}\cdot v}{e\cdot B}$
Càlcul. $r = \dfrac{9{,}11\cdot10^{-31}\cdot9{,}7\cdot10^{5}}{1{,}60\cdot10^{-19}\cdot1{,}0\cdot10^{-4}} = 5{,}5\cdot10^{-2}\ \text{m} = 5{,}5\ \text{cm}$
Per què no canvia l'energia. La força magnètica és sempre perpendicular a la velocitat: no fa treball i, pel teorema de l'energia cinètica, el mòdul de la velocitat no canvia; només en canvia la direcció.

Apartat c)

Resultat

Surt el doble d'electrons; el radi màxim (5,5 cm) i el potencial de frenada (2,68 V) no canvien.

Resolució

Model de fotons. En doblar la intensitat amb la mateixa λ, arriben el doble de fotons per segon, però cada fotó té la mateixa energia.
Conseqüències. Surten el doble d'electrons (el corrent es dobla), però l'energia cinètica màxima de cada electró no canvia: el radi màxim continua essent 5,5 cm i el potencial de frenada, 2,68 V.
Conclusió. Un model purament ondulatori prediria electrons més energètics amb llum més intensa, cosa que no s'observa.

Apartat d)

Resultat

\lambda_{0} = 5{,}43\cdot10^{-7}\ \text{m} = 543\ \text{nm}

: llum visible verda.

Resolució

Condició llindar. El fotó té just l'energia W: $h\cdot c/\lambda_{0} = W$ .
Càlcul. $\lambda_{0} = \dfrac{h\cdot c}{W} = \dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot3{,}00\cdot10^{8}}{2{,}29\cdot1{,}60\cdot10^{-19}} = 5{,}43\cdot10^{-7}\ \text{m} = 543\ \text{nm}$
Conclusió. És llum visible verda. Qualsevol llum de λ més curta (verd, blau, violeta, UV) arrenca electrons del potassi; la vermella, no.

Errors típics

Restar el treball d'extracció en eV de l'energia del fotó en J sense passar-los a les mateixes unitats.
Pensar que el camp magnètic accelera o frena els electrons.
Afirmar que més intensitat dona electrons més ràpids.

Conceptes treballats: efecte fotoelèctric, energia del fotó, treball d'extracció, potencial de frenada, força de Lorentz i moviment circular, model de fotons.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 32

El sensor d'una porta automàtica és una fotocèl·lula amb un càtode de cesi (treball d'extracció 2,10 eV) il·luminada per un LED blau de 470 nm. La fotocèl·lula absorbeix 2,0 mW de llum.
a) Calcula l'energia cinètica màxima dels fotoelectrons (en eV) i el potencial de frenada.
b) Calcula el nombre de fotons que arriben cada segon al càtode. Si per cada 10 fotons només se n'allibera un electró que arriba a l'ànode (rendiment quàntic del 10 %), quin és el corrent màxim de la fotocèl·lula?
c) Per estalviar, un tècnic proposa canviar el LED blau per un LED vermell de 700 nm i de potència més alta, 10 mW. Raona si la porta funcionarà.
d) Si es representa l'energia cinètica màxima dels fotoelectrons en funció de la freqüència de la llum per a aquest càtode, s'obté una recta. Què representen el pendent i el punt de tall amb l'eix de freqüències? Calcula aquest punt de tall.
Dades: h = 6,63· $10^{-34}$ J·s; c = 3,00· $10^{8}$ m/s; e = 1,60· $10^{-19}$ C.

Pista 1

Calcula l'energia d'un fotó blau en eV i compara-la amb el treball d'extracció.

Pista 2

El corrent és la càrrega que circula per segon: nombre d'electrons per segon multiplicat per la càrrega de l'electró.

Pista 3

Per a la llum vermella, la pregunta clau no és quanta potència hi arriba, sinó si un sol fotó té prou energia.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 32

Apartat a)

Resultat

E_{c,\text{màx}} = 0{,}54\ \text{eV}

;

V_{0} = 0{,}54\ \text{V}

Resolució

Energia d'un fotó blau. $E = \dfrac{h\cdot c}{\lambda} = \dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot3{,}00\cdot10^{8}}{470\cdot10^{-9}} = 4{,}23\cdot10^{-19}\ \text{J} = 2{,}64\ \text{eV}$ Supera el treball d'extracció (2,10 eV): hi ha emissió.
Equació d'Einstein. $E_{c,\text{màx}} = E - W = 2{,}64 - 2{,}10 = 0{,}54\ \text{eV}$
Potencial de frenada. $e\cdot V_{0} = E_{c,\text{màx}} \Rightarrow V_{0} = 0{,}54\ \text{V}$ .

Apartat b)

Resultat

N = 4{,}7\cdot10^{15}

fotons/s;

I = 7{,}6\cdot10^{-5}\ \text{A} \approx 76\ \mu\text{A}

Resolució

Nombre de fotons. $N = \dfrac{P}{E} = \dfrac{2{,}0\cdot10^{-3}}{4{,}23\cdot10^{-19}} = 4{,}7\cdot10^{15}\ \text{fotons/s}$
Rendiment quàntic. Electrons per segon: $0{,}10\cdot4{,}7\cdot10^{15} = 4{,}7\cdot10^{14}$ .
Corrent. El corrent és la càrrega que circula per segon: $I = 4{,}7\cdot10^{14}\cdot1{,}60\cdot10^{-19} = 7{,}6\cdot10^{-5}\ \text{A} \approx 76\ \mu\text{A}$ un corrent fàcil de detectar amb un amplificador.

Apartat c)

Resultat

La porta no funcionarà: cada fotó vermell té 1,78 eV < 2,10 eV.

Resolució

Energia d'un fotó vermell. $E = \dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot3{,}00\cdot10^{8}}{700\cdot10^{-9}} = 2{,}84\cdot10^{-19}\ \text{J} = 1{,}78\ \text{eV} \lt 2{,}10\ \text{eV}$
Raonament. Cap fotó té prou energia per arrencar un electró, i un electró no pot acumular l'energia de dos fotons. Encara que la potència sigui cinc vegades més gran, el corrent serà nul.
Conclusió. La porta no funcionarà. (La longitud d'ona llindar del cesi és $h\cdot c/W = 592\ \text{nm}$ .)

Apartat d)

Resultat

Pendent = constant de Planck h; tall amb l'eix de freqüències = freqüència llindar

f_{0} = 5{,}07\cdot10^{14}\ \text{Hz}

Resolució

Equació de la recta. $E_{c,\text{màx}} = h\cdot f - W$ : és una recta en funció de f.
Interpretació. El pendent és la constant de Planck h (igual per a tots els metalls) i el tall amb l'eix de freqüències ( $E_{c} = 0$ ) és la freqüència llindar.
Càlcul. $f_{0} = \dfrac{W}{h} = \dfrac{2{,}10\cdot1{,}60\cdot10^{-19}}{6{,}63\cdot10^{-34}} = 5{,}07\cdot10^{14}\ \text{Hz}$ Per a freqüències més petites no hi ha emissió.

Errors típics

Pensar que més potència compensa una freqüència per sota del llindar.
Calcular el corrent amb el nombre de fotons sense aplicar el rendiment quàntic.
Confondre el pendent de la recta $E_{c}$ –f (h) amb el treball d'extracció.

Conceptes treballats: efecte fotoelèctric, freqüència llindar, potencial de frenada, nombre de fotons i potència, corrent elèctric, interpretació de la gràfica $E_{c}$ –f.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 33

En un microscopi electrònic de transmissió, els electrons parteixen pràcticament del repòs i s'acceleren amb una diferència de potencial V.
a) Calcula la longitud d'ona de De Broglie d'electrons accelerats amb 50 V, amb el tractament clàssic. Raona per què aquests electrons es difracten en un cristall amb distàncies entre àtoms de l'ordre de 0,2 nm.
b) Per a V = 30 kV, calcula la longitud d'ona amb el tractament clàssic i amb el relativista. Per al relativista: obté γ a partir de E_c = (γ − 1)·m_e·c², després la velocitat i finalment la quantitat de moviment p = γ·m_e·v. Quin error relatiu es comet amb el càlcul clàssic?
c) Repeteix el càlcul per a V = 300 kV. A partir de quina tensió aproximada creus que cal fer servir la relativitat? Justifica-ho.
d) Raona per què un microscopi electrònic pot distingir detalls molt més petits que un microscopi òptic que fa servir llum de 500 nm.
Dades: h = 6,63·10⁻³⁴ J·s; m_e = 9,11·10⁻³¹ kg; e = 1,60·10⁻¹⁹ C; c = 3,00·10⁸ m/s.

Pista 1

L'energia cinètica que guanya l'electró és e·V; en el tractament clàssic, p = √(2·m·E_c).

Pista 2

Calcula primer l'energia en repòs de l'electró, m_e·c², en electronvolts i compara-la amb l'energia cinètica que guanya.

Pista 3

Si γ = 1 + E_c/(m_e·c²), aleshores v = c·√(1 − 1/γ²).

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 33

Apartat a)

Resultat

\lambda = 1{,}74\cdot10^{-10}\ \text{m} \approx 0{,}17\ \text{nm}

: és de l'ordre de la distància entre àtoms, i per això es difracten.

Resolució

Energia cinètica. $E_{c} = e\cdot V = 1{,}60\cdot10^{-19}\cdot50 = 8{,}0\cdot10^{-18}\ \text{J}$ .
Hipòtesi de De Broglie (clàssic). Amb $p = \sqrt{2\cdot m_{e}\cdot E_{c}}$ : $\lambda = \dfrac{h}{\sqrt{2\cdot m_{e}\cdot e\cdot V}} = \dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}}{\sqrt{2\cdot9{,}11\cdot10^{-31}\cdot8{,}0\cdot10^{-18}}} = 1{,}74\cdot10^{-10}\ \text{m}$
Conclusió. És del mateix ordre que les distàncies entre els àtoms d'un cristall (0,2 nm): la xarxa cristal·lina fa de xarxa de difracció i els electrons hi mostren comportament ondulatori (és el que van observar Davisson i Germer).

Apartat b)

Resultat

Clàssic:

\lambda = 7{,}09\ \text{pm}

; relativista:

\lambda = 6{,}99\ \text{pm}

; error relatiu ≈ 1,5 %.

Resolució

Energia en repòs. $m_{e}\cdot c^{2} = 8{,}20\cdot10^{-14}\ \text{J} = 512\ \text{keV}$ ; l'electró en guanya 30 keV.
Càlcul clàssic. $\lambda = \dfrac{h}{\sqrt{2\cdot m_{e}\cdot e\cdot V}} = 7{,}09\cdot10^{-12}\ \text{m} = 7{,}09\ \text{pm}$
Càlcul relativista. $\gamma = 1 + \dfrac{E_{c}}{m_{e}c^{2}} = 1 + \dfrac{30}{512} = 1{,}0586;\quad v = c\sqrt{1 - \tfrac{1}{\gamma^{2}}} = 0{,}328c = 9{,}85\cdot10^{7}\ \text{m/s}$ $p = \gamma\cdot m_{e}\cdot v = 9{,}49\cdot10^{-23}\ \text{kg}\cdot\text{m/s} \Rightarrow \lambda = \dfrac{h}{p} = 6{,}99\ \text{pm}$
Error relatiu. $\dfrac{7{,}09 - 6{,}99}{6{,}99} = 1{,}5\ \%$ A 30 kV els electrons ja van a un terç de c, però l'error és encara petit.

Apartat c)

Resultat

Clàssic: 2,24 pm; relativista: 1,97 pm (error del 14 %). Cal la relativitat a partir d'uns 50–100 kV.

Resolució

Càlcul clàssic. Per a 300 kV: $\lambda = h/\sqrt{2\cdot m_{e}\cdot e\cdot V} = 2{,}24\ \text{pm}$ .
Càlcul relativista. $\gamma = 1 + \dfrac{300}{512} = 1{,}586;\quad v = 0{,}776c;\quad p = \gamma\cdot m_{e}\cdot v = 3{,}36\cdot10^{-22}\ \text{kg}\cdot\text{m/s} \Rightarrow \lambda = 1{,}97\ \text{pm}$
Error. L'error clàssic és del 14 %, inacceptable.
Quan cal la relativitat. Quan l'energia cinètica no és molt petita davant de $m_{e}c^{2} \approx 0{,}5\ \text{MeV}$ : amb unes desenes de keV (uns quants per cent de l'energia en repòs) l'error ja és d'uns quants per cent (2,4 % a 50 kV, 4,8 % a 100 kV). A partir d'uns 50–100 kV cal fer el càlcul relativista.

Apartat d)

Resultat

Perquè la longitud d'ona dels electrons (2–7 pm) és unes 10⁵ vegades més petita que la de la llum visible, i el detall mínim que es pot resoldre és de l'ordre de λ.

Resolució

Límit de resolució. El detall mínim que pot resoldre un instrument és de l'ordre de la longitud d'ona que fa servir, a causa de la difracció.
Comparació. Amb λ ≈ 2–7 pm, unes 10⁵ vegades més petita que la de la llum visible (500 nm), un microscopi electrònic pot arribar a resolucions atòmiques.
Conclusió. A la pràctica, la resolució queda limitada per les imperfeccions de les lents magnètiques a uns 0,05–0,1 nm, però és molt millor que la d'un microscopi òptic.

Errors típics

Fer servir la fórmula clàssica p = √(2m·E_c) a energies comparables a l'energia en repòs.
Confondre la tensió (V) amb l'energia (eV) en canviar d'unitats.
Pensar que, com que els electrons tenen massa, no poden tenir propietats ondulatòries.

Conceptes treballats: hipòtesi de De Broglie, dualitat ona-partícula, energia en repòs, massa relativista i factor γ, difracció d'electrons, resolució d'un microscopi.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 34

En els centres de recerca amb reactors o fonts d'espal·lació s'estudia l'estructura dels materials amb neutrons «tèrmics», d'energia cinètica 0,025 eV (l'energia típica de les partícules a temperatura ambient).
a) Calcula la velocitat i la longitud d'ona de De Broglie d'aquests neutrons. Raona per què són adequats per estudiar cristalls, on els àtoms estan separats unes dècimes de nanòmetre.
b) Quina energia hauria de tenir un fotó (raigs X) per tenir la mateixa longitud d'ona? I un electró?
c) Raona dos avantatges dels neutrons davant dels raigs X per estudiar materials (pensa en la càrrega elèctrica i en l'energia).
d) Calcula la longitud d'ona de De Broglie d'una pilota de tennis de 57 g a 50 m/s i interpreta per què no observem efectes ondulatoris en objectes macroscòpics.
Dades: h = 6,63· $10^{-34}$ J·s; $m_{n}$ = 1,675· $10^{-27}$ kg; $m_{e}$ = 9,11· $10^{-31}$ kg; c = 3,00· $10^{8}$ m/s; 1 eV = 1,60· $10^{-19}$ J.

Pista 1

Passa l'energia a joules; a aquestes energies el tractament clàssic és perfecte.

Pista 2

Per al fotó, E = h·c/λ; per a l'electró, cal trobar l'energia cinètica que dona una quantitat de moviment p = $\tfrac{h}{\lambda}$ .

Pista 3

La longitud d'ona s'ha de comparar amb la mida dels obstacles o de les escletxes amb què interacciona la partícula.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 34

Apartat a)

Resultat

v = 2{,}2\cdot10^{3}\ \text{m/s}

;

\lambda = 1{,}8\cdot10^{-10}\ \text{m} = 0{,}18\ \text{nm}

, de l'ordre de la separació entre àtoms.

Resolució

Energia en joules. $E_{c} = 0{,}025\cdot1{,}60\cdot10^{-19} = 4{,}0\cdot10^{-21}\ \text{J}$ ; a aquesta energia el tractament clàssic és perfecte.
Velocitat. $v = \sqrt{\dfrac{2E_{c}}{m_{n}}} = \sqrt{\dfrac{2\cdot4{,}0\cdot10^{-21}}{1{,}675\cdot10^{-27}}} = 2{,}2\cdot10^{3}\ \text{m/s}$
Hipòtesi de De Broglie. $\lambda = \dfrac{h}{m_{n}\cdot v} = \dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}}{1{,}675\cdot10^{-27}\cdot2{,}19\cdot10^{3}} = 1{,}8\cdot10^{-10}\ \text{m} = 0{,}18\ \text{nm}$
Conclusió. És del mateix ordre que la distància entre els àtoms d'un cristall, de manera que els neutrons s'hi difracten i el patró de difracció permet deduir l'estructura.

Apartat b)

Resultat

Fotó:

E = 1{,}10\cdot10^{-15}\ \text{J} \approx 6{,}9\ \text{keV}

(raigs X); electró:

E_{c} = 7{,}4\cdot10^{-18}\ \text{J} \approx 46\ \text{eV}

Resolució

Fotó. Per a un fotó, $E = h\cdot c/\lambda$ : $E = \dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot3{,}00\cdot10^{8}}{1{,}81\cdot10^{-10}} = 1{,}10\cdot10^{-15}\ \text{J} \approx 6{,}9\ \text{keV}$
Electró. Necessita la mateixa quantitat de moviment: $p = h/\lambda = 3{,}66\cdot10^{-24}\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$ , i $E_{c} = \dfrac{p^{2}}{2m_{e}} = \dfrac{(3{,}66\cdot10^{-24})^{2}}{2\cdot9{,}11\cdot10^{-31}} = 7{,}4\cdot10^{-18}\ \text{J} \approx 46\ \text{eV}$
Comparació. Amb la mateixa longitud d'ona, el neutró té unes $2{,}7\cdot10^{5}$ vegades menys energia que el fotó, perquè la seva massa és molt gran.

Apartat c)

Resultat

El neutró no té càrrega (penetra molt i «veu» els nuclis, fins i tot els àtoms lleugers) i té molt poca energia (no altera la mostra).

Resolució

Càrrega. El neutró no té càrrega: no interacciona amb els núvols electrònics sinó amb els nuclis (i amb el magnetisme dels àtoms), de manera que penetra molt dins dels materials i «veu» àtoms lleugers com l'hidrogen, que els raigs X gairebé no detecten.
Energia. La seva energia (0,025 eV) és tan baixa que no altera ni trenca les molècules estudiades, a diferència dels fotons de 7 keV.

Apartat d)

Resultat

\lambda = 2{,}3\cdot10^{-34}\ \text{m}

: massa petita perquè hi hagi efectes ondulatoris observables.

Resolució

Hipòtesi de De Broglie. $\lambda = \dfrac{h}{m\cdot v} = \dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}}{0{,}057\cdot50} = 2{,}3\cdot10^{-34}\ \text{m}$
Comparació. És més de $10^{18}$ vegades més petita que un nucli atòmic: no hi ha cap obstacle ni escletxa d'aquesta mida.
Conclusió. Els efectes ondulatoris (difracció, interferència) són totalment inobservables, i per això els objectes macroscòpics es comporten com a partícules clàssiques. La pilota sí que té longitud d'ona, però és massa petita per tenir efectes observables.

Errors típics

Fer servir E = h·c/λ (només vàlida per a fotons) per a l'electró o el neutró.
Oblidar convertir els eV a joules abans d'aplicar p = $\sqrt{2m\cdot E_{c}}$ .
Concloure que la pilota no té longitud d'ona: en té, però és massa petita per tenir efectes observables.

Conceptes treballats: hipòtesi de De Broglie, quantitat de moviment, energia del fotó, difracció en cristalls, comparació de partícules, límit clàssic.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 35

Al Gran Col·lisionador d'Hadrons (LHC) del CERN, els protons recorren un anell de 26,66 km de circumferència. S'injecten amb una energia total de 450 GeV i s'acceleren fins a una energia total de 6,8 TeV.
a) Calcula el factor γ dels protons a 6,8 TeV i la seva massa relativista. Quantes vegades és més gran que la massa en repòs?
b) Demostra que, per a γ molt gran, $1 - \tfrac{v}{c} \approx \tfrac{1}{2\gamma^{2}}$ , i calcula quant li falta a la velocitat dels protons per arribar a c, a 450 GeV i a 6,8 TeV.
c) Calcula quantes voltes per segon fa cada protó a l'anell. Canvia apreciablement aquest nombre durant l'acceleració de 450 GeV a 6,8 TeV? Calcula la diferència en el temps d'una volta.
d) Interpreta el resultat: en què s'inverteix l'energia que l'accelerador dona als protons, si gairebé no augmenten la velocitat?
Dades: $m_{p}$ = 1,67· $10^{-27}$ kg; $m_{p}$ · $c^{2}$ = 938 MeV; c = 3,00· $10^{8}$ m/s.

Pista 1

L'energia total és E = γ· $m_{p}$ · $c^{2}$ .

Pista 2

Escriu $\tfrac{1}{\gamma^{2}} = 1 - \beta^{2} = (1 - \beta)(1 + \beta)$ i fes servir que β ≈ 1 en el segon factor.

Pista 3

La calculadora no distingeix v de c: treballa directament amb 1 − β.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 35

Apartat a)

Resultat

\gamma = 7{,}2\cdot10^{3}

(7250);

m = 1{,}21\cdot10^{-23}\ \text{kg}

, unes 7250 vegades la massa en repòs.

Resolució

Energia total relativista. $E = \gamma\cdot m_{p}\cdot c^{2}$ , d'on $\gamma = E/(m_{p}c^{2})$ .
Factor γ. $\gamma = \dfrac{6{,}8\cdot10^{6}\ \text{MeV}}{938\ \text{MeV}} = 7{,}2\cdot10^{3}\ (7250)$
Massa relativista. $m = \gamma\cdot m_{p} = 7250\cdot1{,}67\cdot10^{-27} = 1{,}21\cdot10^{-23}\ \text{kg}$
Conclusió. És unes 7250 vegades la massa en repòs (aproximadament la massa de 30 nuclis d'urani-238, de $3{,}95\cdot10^{-25}\ \text{kg}$ cadascun).

Apartat b)

Resultat

1 - \beta \approx 1/(2\gamma^{2})

. A 6,8 TeV:

1 - \beta = 9{,}5\cdot10^{-9}

(2,9 m/s menys que c); a 450 GeV:

1 - \beta = 2{,}2\cdot10^{-6}

(650 m/s menys que c).

Resolució

Demostració. Amb $\beta = v/c$ : $\dfrac{1}{\gamma^{2}} = 1 - \beta^{2} = (1 - \beta)(1 + \beta) \approx 2(1 - \beta)\ \text{quan}\ \beta \to 1 \;\Rightarrow\; 1 - \beta \approx \dfrac{1}{2\gamma^{2}}$
A 6,8 TeV. $1 - \beta = \dfrac{1}{2\cdot7250^{2}} = 9{,}5\cdot10^{-9}$ És a dir, $v = 0{,}9999999905c$ , només $9{,}5\cdot10^{-9}\cdot c = 2{,}9\ \text{m/s}$ menys que c.
A 450 GeV. $\gamma = 450/0{,}938 = 480$ : $1 - \beta = \dfrac{1}{2\cdot480^{2}} = 2{,}2\cdot10^{-6}$ és a dir, $v = 0{,}9999978c$ (650 m/s menys que c).
Per què cal l'aproximació. La calculadora no distingeix v de c: per això treballem directament amb 1 − β.

Apartat c)

Resultat

1{,}13\cdot10^{4}

voltes per segon; gairebé no canvia: el temps d'una volta disminueix només

1{,}9\cdot10^{-10}\ \text{s}

Resolució

Temps d'una volta. Com que $v \approx c$ : $t = \dfrac{L}{c} = \dfrac{26{,}66\cdot10^{3}}{3{,}00\cdot10^{8}} = 8{,}89\cdot10^{-5}\ \text{s} \Rightarrow \dfrac{1}{t} = 1{,}13\cdot10^{4}\ \text{voltes/s}$
Diferència entre 450 GeV i 6,8 TeV. $\Delta t \approx \dfrac{L}{c}\cdot[(1 - \beta_{1}) - (1 - \beta_{2})] = 8{,}89\cdot10^{-5}\cdot2{,}2\cdot10^{-6} = 1{,}9\cdot10^{-10}\ \text{s}$
Conclusió. La freqüència de gir canvia només dues parts per milió durant tota l'acceleració.

Apartat d)

Resultat

L'energia no augmenta la velocitat (ja és pràcticament c) sinó l'energia, la quantitat de moviment i la massa relativista dels protons.

Resolució

Interpretació. L'energia es converteix en augment de massa relativista (o, dit d'una altra manera, d'energia i quantitat de moviment), no de velocitat: l'energia es multiplica per 15 mentre que la velocitat gairebé no canvia, perquè c és un límit que no es pot assolir.
Conclusió. Aquesta energia és la que, en el xoc, es pot convertir en partícules noves ( $E = m\cdot c^{2}$ ), com el bosó de Higgs.

Errors típics

Fer servir l'energia cinètica clàssica ½·m·v², que donaria velocitats superiors a c.
Escriure v = c perquè la calculadora dona β = 1: la velocitat d'una partícula amb massa sempre és més petita que c.
Confondre l'energia total amb l'energia cinètica (aquí la diferència, 938 MeV, és negligible, però no a energies baixes).

Conceptes treballats: relativitat especial, factor γ, massa relativista, energia relativista, límit de velocitat c, acceleradors de partícules.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 36

Els satèl·lits del sistema GPS descriuen òrbites circulars de 2,66· $10^{7}$ m de radi al voltant del centre de la Terra. Els receptors calculen la posició a partir del temps que triguen a arribar els senyals de ràdio, de manera que els rellotges atòmics dels satèl·lits han de ser extraordinàriament precisos.
a) Calcula la velocitat orbital i el període dels satèl·lits GPS.
b) Per la relativitat especial, un rellotge en moviment avança més lentament. Demostra que per a v ≪ c el factor γ és aproximadament 1 + $v^{2}$ /(2c²) i calcula quants microsegons per dia s'endarrereix un rellotge del satèl·lit respecte a un de terrestre (considera la Terra en repòs). Per què no es pot calcular directament amb la calculadora?
c) Si no es corregís aquest efecte, quin error en la distància s'acumularia en un dia?
d) La relativitat general (que no estudiem) prediu un efecte de signe contrari, un avançament d'uns 45 µs/dia per estar en un camp gravitatori més feble. Quin efecte net hi ha? Interpreta per què sense la relativitat el GPS no funcionaria.
Dades: G = 6,67· $10^{-11}$ N· $\text{m}^{2}$ /kg²; $M_{T}$ = 5,97· $10^{24}$ kg; c = 3,00· $10^{8}$ m/s.

Pista 1

La força gravitatòria fa de força centrípeta.

Pista 2

Fes servir el desenvolupament $(1 - x)^{-1/2} \approx 1 + \tfrac{x}{2}$ per a x petit.

Pista 3

El retard acumulat en un dia és la fracció (γ − 1) multiplicada per la durada d'un dia en segons.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 36

Apartat a)

Resultat

v = 3{,}87\cdot10^{3}\ \text{m/s}

;

T = 4{,}32\cdot10^{4}\ \text{s} = 12{,}0\ \text{h}

Resolució

Força gravitatòria com a força centrípeta. $\dfrac{G\cdot M\cdot m}{r^{2}} = \dfrac{m\cdot v^{2}}{r} \Rightarrow v = \sqrt{\dfrac{G\cdot M}{r}}$
Velocitat orbital. $v = \sqrt{\dfrac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}97\cdot10^{24}}{2{,}66\cdot10^{7}}} = 3{,}87\cdot10^{3}\ \text{m/s}$
Període. $T = \dfrac{2\pi\cdot r}{v} = 4{,}32\cdot10^{4}\ \text{s} = 12{,}0\ \text{h}$ (dues voltes al dia).

Apartat b)

Resultat

\gamma \approx 1 + 8{,}3\cdot10^{-11}

; el rellotge s'endarrereix

7{,}2\ \mu\text{s}

per dia.

Resolució

Aproximació per a v ≪ c. Amb el desenvolupament $(1 - x)^{-1/2} \approx 1 + x/2$ per a x petit: $\gamma = \left(1 - \dfrac{v^{2}}{c^{2}}\right)^{-1/2} \approx 1 + \dfrac{v^{2}}{2c^{2}}$
Càlcul. $\gamma - 1 = \dfrac{(3{,}87\cdot10^{3})^{2}}{2\cdot9{,}00\cdot10^{16}} = 8{,}3\cdot10^{-11}$
Per què no amb la calculadora. Les calculadores treballen amb 10–12 xifres i donarien γ = 1 o un resultat dominat per l'arrodoniment; per això cal l'aproximació.
Retard en un dia. El rellotge del satèl·lit marca menys temps en una fracció $\gamma - 1$ : $\Delta t = 8{,}3\cdot10^{-11}\cdot86\,400 = 7{,}2\cdot10^{-6}\ \text{s} = 7{,}2\ \mu\text{s}$

Apartat c)

Resultat

d = 2{,}2\cdot10^{3}\ \text{m}

: uns 2 km d'error cada dia.

Resolució

Plantejament. Els senyals viatgen a c: un error en el temps es tradueix en un error de distància $c\cdot\Delta t$ .
Càlcul. $d = c\cdot\Delta t = 3{,}00\cdot10^{8}\cdot7{,}2\cdot10^{-6} = 2{,}2\cdot10^{3}\ \text{m}$
Conclusió. Cada dia s'acumularien uns 2 km d'error, quan el GPS dona precisions de pocs metres.

Apartat d)

Resultat

Efecte net: un avançament d'uns

38\ \mu\text{s}

per dia (uns 11 km d'error diari) si no es corregís.

Resolució

Balanç. $+45 - 7 = +38\ \mu\text{s/dia}$ d'avançament dels rellotges dels satèl·lits, que equivaldrien a uns $3{,}00\cdot10^{8}\cdot38\cdot10^{-6} \approx 11\ \text{km}$ d'error diari.
Correcció. Per això els rellotges s'ajusten abans del llançament perquè, en òrbita, marquin el ritme correcte.
Conclusió. Sense tenir en compte la relativitat, el GPS acumularia errors de quilòmetres cada dia i no funcionaria. És una comprovació quotidiana que les dues teories de la relativitat descriuen bé la natura.

Errors típics

Calcular γ directament amb la calculadora i concloure que no hi ha cap efecte.
Pensar que el rellotge del satèl·lit va més de pressa per la relativitat especial: un rellotge en moviment s'endarrereix.
Oblidar passar el dia a segons.

Conceptes treballats: dilatació del temps, factor γ i aproximació per a velocitats petites, velocitat orbital, tercera llei de Kepler, aplicacions de la relativitat (GPS).

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 37

Els detectors de raigs còsmics han registrat protons que arriben a la Terra amb un factor γ ≈ 1,0· $10^{10}$ . Suposa que un d'aquests protons travessa tota la Via Làctia, que té un diàmetre d'1,0· $10^{5}$ anys llum mesurat des de la galàxia.
a) Quant temps triga a travessar la galàxia segons un observador en repòs respecte a la galàxia? I segons un hipotètic rellotge que viatgés amb el protó? Expressa'l en minuts.
b) Quin diàmetre té la galàxia en el sistema de referència del protó? Compara'l amb la distància Terra-Sol.
c) Explica per què els dos resultats anteriors són coherents entre ells (què «veu» cadascun dels observadors).
d) Calcula l'energia total del protó en joules i en electronvolts, i compara-la amb l'energia cinètica d'una pilota de tennis de 57 g llançada a 25 km/h. Interpreta el resultat.
Dades: 1 any llum = 9,46· $10^{15}$ m; 1 any = 3,156· $10^{7}$ s; $m_{p}$ = 1,67· $10^{-27}$ kg; c = 3,00· $10^{8}$ m/s; 1 eV = 1,60· $10^{-19}$ J; distància Terra-Sol = 1,50· $10^{11}$ m.

Pista 1

Amb un γ tan gran, la velocitat del protó és c a efectes pràctics.

Pista 2

El temps propi (el que mesura un rellotge que es mou amb el protó) és el temps de la galàxia dividit per γ.

Pista 3

Des del protó, la galàxia és la que es mou: les longituds en la direcció del moviment es contrauen.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 37

Apartat a)

Resultat

Galàxia:

1{,}0\cdot10^{5}

anys; rellotge del protó:

3{,}2\cdot10^{2}\ \text{s} \approx 5{,}3

minuts.

Resolució

Observador galàctic. Amb un γ tan gran, $v \approx c$ : el protó triga $1{,}0\cdot10^{5}$ anys a recórrer $1{,}0\cdot10^{5}$ anys llum (és la definició d'any llum).
Dilatació del temps. El temps propi (el del rellotge que viatja amb el protó) és el de la galàxia dividit per γ: $\Delta t_{0} = \dfrac{\Delta t}{\gamma} = \dfrac{1{,}0\cdot10^{5}\cdot3{,}156\cdot10^{7}}{1{,}0\cdot10^{10}} = 3{,}2\cdot10^{2}\ \text{s} \approx 5{,}3\ \text{min}$

Apartat b)

Resultat

L = 9{,}5\cdot10^{10}\ \text{m}

, unes 0,63 vegades la distància Terra–Sol.

Resolució

Contracció de la longitud. Des del protó, la galàxia és la que es mou i es contrau en la direcció del moviment: $L = \dfrac{L_{0}}{\gamma} = \dfrac{1{,}0\cdot10^{5}\cdot9{,}46\cdot10^{15}}{1{,}0\cdot10^{10}} = 9{,}5\cdot10^{10}\ \text{m}$
Comparació. $9{,}5\cdot10^{10}/1{,}50\cdot10^{11} = 0{,}63$ : per al protó, la galàxia és un disc aplanat més petit que l'òrbita de la Terra.

Apartat c)

Resultat

Tots dos coincideixen en el fet físic: en el rellotge del protó passen uns 5 minuts mentre travessa la galàxia.

Resolució

Observador galàctic. La galàxia té la seva mida pròpia, però el rellotge del protó va 10¹⁰ vegades més lent.
Protó. El seu rellotge va normal, però la galàxia que se li acosta a gairebé c està contreta 10¹⁰ vegades.
Conclusió. Tots dos coincideixen en el fet físic: en el rellotge del protó passen uns 5 minuts mentre la travessa (per exemple, si fos una partícula inestable, tots dos predirien el mateix sobre si arriba a l'altra banda).

Apartat d)

Resultat

E = 1{,}5\ \text{J} = 9{,}4\cdot10^{18}\ \text{eV}

; la pilota té

E_{c} = 1{,}4\ \text{J}

: una sola partícula porta tanta energia com la pilota.

Resolució

Energia del protó. $E = \gamma\cdot m_{p}\cdot c^{2} = 1{,}0\cdot10^{10}\cdot1{,}67\cdot10^{-27}\cdot9{,}00\cdot10^{16} = 1{,}5\ \text{J} = 9{,}4\cdot10^{18}\ \text{eV}$
Energia de la pilota. 25 km/h = 6,94 m/s: $E_{c} = \tfrac{1}{2}\cdot0{,}057\cdot(6{,}94)^{2} = 1{,}4\ \text{J}$
Interpretació. Una sola partícula subatòmica porta tanta energia com una pilota de tennis llançada suaument: més d'un milió de vegades més que els protons de l'LHC (6,8 TeV).
Conclusió. Encara no se sap amb certesa quins fenòmens astrofísics poden accelerar partícules fins a aquestes energies.

Errors típics

Multiplicar el temps per γ en lloc de dividir-lo per obtenir el temps propi.
Pensar que els dos observadors es contradiuen: cadascun descriu el mateix fenomen des del seu sistema de referència.
Fer servir ½·m· $v^{2}$ per a l'energia del protó.

Conceptes treballats: dilatació del temps, contracció de la longitud, temps propi i longitud pròpia, energia relativista, raigs còsmics.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 38

Els fanals antics de vapor de sodi, que encara es veuen en algunes carreteres d'Osona, fan una llum groga gairebé monocromàtica de 589 nm, que correspon a un salt dels electrons de l'àtom de sodi entre dos nivells d'energia.
a) Calcula la diferència d'energia (en eV) entre els dos nivells del sodi responsables d'aquesta llum.
b) Un fanal consumeix 70 W, i el 30 % d'aquesta potència s'emet com a llum de 589 nm. Quants fotons emet per segon?
c) Les línies visibles de l'hidrogen corresponen a salts fins al nivell n = 2. Amb el model de Bohr ( $E_{n}$ = − $\tfrac{13{,}6}{n^{2}}$ eV), calcula les longituds d'ona de les quatre primeres línies d'aquesta sèrie. Podria ser d'hidrogen una línia a 589 nm? Interpreta per què els espectres permeten identificar els elements, fins i tot en estrelles llunyanes.
d) Si la llum blanca travessa vapor de sodi fred, a l'espectre transmès apareix una línia fosca a 589 nm. Explica-ho.
e) Raona per què, sota la llum d'un fanal de sodi, un cotxe vermell i un de blau semblen de colors foscos gairebé iguals.
Dades: h = 6,63· $10^{-34}$ J·s; c = 3,00· $10^{8}$ m/s; 1 eV = 1,60· $10^{-19}$ J.

Pista 1

L'energia del fotó emès és igual a la diferència d'energia entre els nivells.

Pista 2

Per a cada salt n → 2, calcula ΔE i després λ = h·c/ΔE.

Pista 3

Un àtom absorbeix fotons que tenen exactament l'energia d'una de les seves transicions.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 38

Apartat a)

Resultat

\Delta E = 3{,}38\cdot10^{-19}\ \text{J} = 2{,}11\ \text{eV}

Resolució

Plantejament. L'energia del fotó emès és igual a la diferència d'energia entre els dos nivells.
Càlcul. $\Delta E = \dfrac{h\cdot c}{\lambda} = \dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot3{,}00\cdot10^{8}}{589\cdot10^{-9}} = 3{,}38\cdot10^{-19}\ \text{J} = 2{,}11\ \text{eV}$

Apartat b)

Resultat

N = 6{,}2\cdot10^{19}

fotons per segon.

Resolució

Potència lluminosa. Només el 30 % s'emet com a llum de 589 nm: 0,30 · 70 = 21 W.
Càlcul. $N = \dfrac{P}{E} = \dfrac{21}{3{,}38\cdot10^{-19}} = 6{,}2\cdot10^{19}\ \text{fotons/s}$

Apartat c)

Resultat

658 nm, 488 nm, 435 nm i 411 nm; cap no és a 589 nm: cada element té un espectre propi, com una empremta dactilar.

Resolució

Sèrie de Balmer. Per a cada salt n → 2: $\Delta E = 13{,}6\cdot\left(\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{n^{2}}\right)\ \text{eV},\qquad \lambda = \dfrac{h\cdot c}{\Delta E}$
Càlcul. n = 3 → 1,89 eV → λ = 658 nm (vermell); n = 4 → 2,55 eV → 488 nm (blau-verd); n = 5 → 2,86 eV → 435 nm (violeta); n = 6 → 3,02 eV → 411 nm (violeta).
Línia de 589 nm. Cap línia de l'hidrogen cau a 589 nm: no pot ser d'hidrogen.
Interpretació. Els nivells d'energia de cada element són diferents i, per tant, també ho són les longituds d'ona que emet o absorbeix: l'espectre és una «empremta dactilar». Analitzant la llum d'una estrella se'n pot saber la composició sense anar-hi.

Apartat d)

Resultat

Els àtoms de sodi absorbeixen els fotons de 2,11 eV i els reemeten en totes direccions: en la direcció del feix falta llum de 589 nm.

Resolució

Absorció. Els àtoms de sodi en l'estat fonamental absorbeixen els fotons de 2,11 eV, que tenen exactament l'energia per passar al nivell superior.
Reemissió. Després els reemeten en totes direccions, de manera que en la direcció del feix falta llum de 589 nm i apareix una línia fosca.
Conclusió. És el que passa amb la llum del Sol, que travessa l'atmosfera solar més freda: línies de Fraunhofer.

Apartat e)

Resultat

La llum del fanal només conté 589 nm i cap dels dos cotxes reflecteix bé el groc: tots dos tornen molt poca llum i es veuen foscos.

Resolució

Llum incident. La llum del fanal només conté 589 nm (groc).
Reflexió. Un objecte vermell reflecteix sobretot λ llargues i un de blau, curtes; si cap dels dos reflecteix bé el groc de 589 nm, tots dos tornen molt poca llum i es veuen foscos i sense color.
Conclusió. El color d'un objecte depèn de la llum que hi arriba, no només del material.

Errors típics

Confondre l'energia d'un nivell amb la diferència d'energia entre nivells.
Fer servir la potència elèctrica total (70 W) en lloc de la part emesa com a llum de 589 nm.
Calcular les línies de Balmer amb salts fins a n = 1 (aquestes són a l'ultraviolat).

Conceptes treballats: nivells d'energia atòmics, espectres d'emissió i d'absorció, model de Bohr, energia del fotó, potència i nombre de fotons, color dels objectes.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 39

Al sincrotró ALBA (Cerdanyola del Vallès), els electrons circulen per l'anell d'emmagatzematge amb una energia total de 3,0 GeV. En els imants de corbament, on el camp magnètic és d'1,42 T perpendicular a la velocitat, descriuen arcs de circumferència.
a) Calcula el factor γ dels electrons i la seva massa relativista.
b) Un alumne calcula la velocitat amb la fórmula clàssica ½· $m_{e}$ · $v^{2}$ = $E_{c}$ . Quin resultat obté? Interpreta per què és absurd.
c) Calcula el radi de curvatura dels electrons als imants. Fes servir que la força magnètica fa de força centrípeta i que la quantitat de moviment relativista és p = γ· $m_{e}$ ·v ≈ γ· $m_{e}$ ·c.
d) Si l'energia dels electrons es dobla mantenint el camp, com canvia el radi? Raona per què els acceleradors de més energia han de ser més grans o tenir imants més intensos.
Dades: $m_{e}$ = 9,11· $10^{-31}$ kg; $m_{e}$ · $c^{2}$ = 0,511 MeV; e = 1,60· $10^{-19}$ C; c = 3,00· $10^{8}$ m/s.

Pista 1

L'energia total és γ· $m_{e}$ · $c^{2}$ ; a aquesta energia, la diferència entre energia total i cinètica és negligible.

Pista 2

Escriu q·v·B = m· $\tfrac{v^{2}}{r}$ amb la massa relativista γ· $m_{e}$ .

Pista 3

Si v ≈ c, la quantitat de moviment és proporcional a l'energia.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 39

Apartat a)

Resultat

\gamma = 5{,}9\cdot10^{3}

(5870); massa relativista

5{,}3\cdot10^{-27}\ \text{kg}

Resolució

Energia total. $E = \gamma\cdot m_{e}\cdot c^{2}$ .
Factor γ. $\gamma = \dfrac{E}{m_{e}c^{2}} = \dfrac{3{,}0\cdot10^{3}\ \text{MeV}}{0{,}511\ \text{MeV}} = 5{,}9\cdot10^{3}\ (5870)$
Massa relativista. $\gamma\cdot m_{e} = 5870\cdot9{,}11\cdot10^{-31} = 5{,}3\cdot10^{-27}\ \text{kg}$ més de tres vegades la massa en repòs d'un protó.

Apartat b)

Resultat

Obtindria

v = 3{,}2\cdot10^{10}\ \text{m/s} \approx 108c

, impossible: en realitat

v = 0{,}999999985c

Resolució

Energia cinètica. A aquesta energia, la diferència entre energia total i cinètica és negligible: $E_{c} \approx 3{,}0\cdot10^{9}\cdot1{,}60\cdot10^{-19} = 4{,}8\cdot10^{-10}\ \text{J}$ .
Càlcul clàssic. $v = \sqrt{\dfrac{2\cdot4{,}8\cdot10^{-10}}{9{,}11\cdot10^{-31}}} = 3{,}2\cdot10^{10}\ \text{m/s} \approx 108c$
Per què és absurd. Cap partícula amb massa pot assolir c. La mecànica clàssica només és vàlida si $E_{c} \ll m\cdot c^{2}$ , i aquí $E_{c}$ és unes 6000 vegades l'energia en repòs.
Velocitat real. $v = c\cdot\sqrt{1 - \dfrac{1}{\gamma^{2}}} = 0{,}999999985c$

Apartat c)

Resultat

r = 7{,}1\ \text{m}

Resolució

Força magnètica com a força centrípeta. Amb la massa relativista: $e\cdot v\cdot B = \gamma\cdot m_{e}\cdot\dfrac{v^{2}}{r} \Rightarrow r = \dfrac{\gamma\cdot m_{e}\cdot v}{e\cdot B} \approx \dfrac{\gamma\cdot m_{e}\cdot c}{e\cdot B}$
Càlcul. $r = \dfrac{5870\cdot9{,}11\cdot10^{-31}\cdot3{,}00\cdot10^{8}}{1{,}60\cdot10^{-19}\cdot1{,}42} = 7{,}1\ \text{m}$
Comprovació. De manera equivalent, $p \approx E/c = 1{,}6\cdot10^{-18}\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$ i $r = p/(e\cdot B) = 7{,}1\ \text{m}$ .

Apartat d)

Resultat

El radi es dobla (uns 14 m): a més energia cal un anell més gran o imants més intensos.

Resolució

Proporcionalitat. Com que $v \approx c$ , $p \approx E/c$ i $r \approx \dfrac{E}{e\cdot B\cdot c}$ : el radi és proporcional a l'energia. Si l'energia es dobla, el radi es dobla (14 m).
Conseqüència. Per mantenir les partícules dins d'un anell de mida fixa a energies més altes cal un camp més intens; si els imants ja són al límit, l'anell ha de ser més gran.
Conclusió. Per això l'LHC, amb protons de 6,8 TeV, té 27 km de circumferència i imants superconductors de més de 8 T.

Errors típics

Fer servir r = $m_{e}$ ·v/(e·B) amb la massa en repòs, que dona un radi 5870 vegades massa petit.
Aplicar l'energia cinètica clàssica a partícules relativistes.
Pensar que, en doblar l'energia, la velocitat es dobla.

Conceptes treballats: massa relativista i factor γ, energia relativista, límit clàssic, força de Lorentz i moviment circular, acceleradors de partícules.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Exercici 40

Un dels arguments que van portar Einstein a proposar els fotons és que l'emissió fotoelèctrica és pràcticament instantània, fins i tot amb llum molt feble. Una làmina d'un metall amb treball d'extracció 2,3 eV s'il·lumina amb llum violeta de 400 nm i d'intensitat molt baixa, 1,0· $10^{-3}$ $\text{W/m}^{2}$ .
a) Segons el model clàssic, l'energia de la llum es reparteix uniformement pel front d'ona. Si cada àtom de la superfície recull l'energia que arriba a una àrea de $(1{,}0\cdot 10^{-10}\ \text{m})^{2}$ , quant de temps hauria d'esperar un electró per acumular prou energia per sortir del metall?
b) Experimentalment, els primers electrons surten en menys de $10^{-9}$ s. Explica com ho interpreta el model de fotons.
c) Calcula quants fotons arriben cada segon a 1,0 cm² de la làmina i l'energia cinètica màxima dels fotoelectrons.
d) Raona què passaria, segons cadascun dels dos models, si la mateixa intensitat fos de llum vermella de 700 nm.
Dades: h = 6,63· $10^{-34}$ J·s; c = 3,00· $10^{8}$ m/s; 1 eV = 1,60· $10^{-19}$ J.

Pista 1

Potència que rep un àtom = intensitat × àrea. El temps d'espera és l'energia necessària dividida per aquesta potència.

Pista 2

En el model de fotons l'energia arriba en paquets: n'hi ha prou que un sol fotó toqui un electró.

Pista 3

Calcula l'energia d'un fotó de 700 nm i compara-la amb el treball d'extracció.

Mira la solucióAmaga la solucióde l'exercici 40

Apartat a)

Resultat

t = 3{,}7\cdot10^{4}\ \text{s} \approx 10

hores.

Resolució

Potència que rep un àtom. $P = I\cdot A = 1{,}0\cdot10^{-3}\cdot(1{,}0\cdot10^{-10})^{2} = 1{,}0\cdot10^{-23}\ \text{W}$
Energia necessària. $W = 2{,}3\cdot1{,}60\cdot10^{-19} = 3{,}7\cdot10^{-19}\ \text{J}$ .
Temps d'espera (model clàssic). $t = \dfrac{W}{P} = \dfrac{3{,}7\cdot10^{-19}}{1{,}0\cdot10^{-23}} = 3{,}7\cdot10^{4}\ \text{s} \approx 10\ \text{h}$

Apartat b)

Resultat

La llum arriba en paquets d'energia h·f: n'hi ha prou que un sol fotó toqui un electró perquè surti immediatament.

Resolució

Model de fotons. La llum arriba en paquets d'energia h·f. La llum feble vol dir pocs fotons, no fotons febles.
Emissió immediata. Cada fotó que és absorbit cedeix de cop tota la seva energia a un electró, que surt immediatament si h·f > W. Amb poca intensitat surten pocs electrons, però els primers surten sense cap retard.
Conclusió. El retard nul observat és incompatible amb el model clàssic i encaixa amb el de fotons.

Apartat c)

Resultat

N = 2{,}0\cdot10^{11}

fotons per segon;

E_{c,\text{màx}} = 0{,}8\ \text{eV}

Resolució

Energia d'un fotó. $E_{\text{fotó}} = \dfrac{h\cdot c}{\lambda} = \dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot3{,}00\cdot10^{8}}{400\cdot10^{-9}} = 4{,}97\cdot10^{-19}\ \text{J} = 3{,}11\ \text{eV}$
Nombre de fotons. Potència sobre 1,0 cm²: $1{,}0\cdot10^{-3}\cdot1{,}0\cdot10^{-4} = 1{,}0\cdot10^{-7}\ \text{W}$ $N = \dfrac{1{,}0\cdot10^{-7}}{4{,}97\cdot10^{-19}} = 2{,}0\cdot10^{11}\ \text{fotons/s}$ Tot i que la llum és molt feble, arriben molts fotons.
Equació d'Einstein. $E_{c,\text{màx}} = 3{,}11 - 2{,}3 = 0{,}8\ \text{eV}$

Apartat d)

Resultat

Model clàssic: l'electró acabaria sortint després d'unes 10 h. Model de fotons: no surt cap electró (1,78 eV < 2,3 eV). L'experiment dona la raó al model de fotons.

Resolució

Energia d'un fotó vermell. $E = \dfrac{6{,}63\cdot10^{-34}\cdot3{,}00\cdot10^{8}}{700\cdot10^{-9}} = 1{,}78\ \text{eV} \lt 2{,}3\ \text{eV}$
Model clàssic. L'electró només hauria d'esperar més o menys temps (amb la mateixa intensitat, unes 10 h, igual) i acabaria sortint.
Model de fotons. Cap fotó té prou energia i no surt cap electró, per molt que s'esperi o s'augmenti la intensitat.
Conclusió. L'experiment confirma el model de fotons: per sota de la freqüència llindar no hi ha emissió.

Errors típics

Pensar que llum feble vol dir fotons de menys energia: vol dir menys fotons.
Barrejar eV i J en calcular el temps d'espera.
Concloure que el model clàssic falla només numèricament: falla qualitativament (llindar de freqüència i absència de retard).

Conceptes treballats: efecte fotoelèctric, model de fotons vs model ondulatori, intensitat i potència, freqüència llindar, energia del fotó.

Nivell PAU: t'ajudem amb el dubte? Pregunta-ho per WhatsApp · Ensenya-ho a casa

Preguntes freqüents

Per què més intensitat de llum no sempre arrenca electrons?

Perquè a l'efecte fotoelèctric el que compta és l'energia de cada fotó, que depèn de la freqüència. Si la freqüència és més baixa que la llindar, cap electró surt, per molta intensitat que hi hagi.

Quan emet un fotó un àtom?

Quan un electró baixa d'un nivell d'energia més alt a un de més baix. L'energia del fotó és la diferència entre els dos nivells. Per pujar, l'àtom n'absorbeix un.

Tornar a Física